Рассмотрим вначале случай, когда число уравнений равно числу переменных, т.е. m = n. Тогда матрица системы - квадратная, а ее определитель называют определителем системы.

Метод обратной матрицы

Рассмотрим в общем виде систему уравнений АХ = В с невырожденной квадратной матрицей А. В этом случае существует обратная матрица А -1 . Домножим слева обе части на А -1 . Получим А -1 АХ = А -1 В. Отсюда ЕХ = А -1 В и

Последнее равенство представляет собой матричную формулу для нахождения решения таких систем уравнений. Использование этой формулы получило название метода обратной матрицы

Например, решим этим методом следующую систему:

;

В конце решения системы можно сделать проверку, подставив найденные значения в уравнения системы. При этом они должны обратиться в верные равенства.

Для рассмотренного примера проведем проверку:

Метод решения систем линейных уравнений с квадратной матрицей по формулам Крамера

Пусть n= 2:

Если обе части первого уравнения умножить на a 22 , а обе части второго – на (-a 12), и затем сложить полученные уравнения, то мы исключим из системы переменнуюx 2 . Аналогично можно исключить переменнуюx 1 (умножив обе части первого уравнения на (-a 21), а обе части второго – наa 11). В результате получим систему:

Выражение в скобках есть определитель системы

Обозначим

Тогда система примет вид:

Из полученной системы следует, что если определитель системы 0, то система будет совместной и определенной. Ее единственное решение можно вычислить по формулам:

Если = 0, а 1 0 и/или 2 0, то уравнения системы примут вид 0*х 1 = 2 и/или0*х 1 = 2 . В этом случае система будет несовместной.

В случае, когда = 1 = 2 = 0, система будет совместной и неопределенной (будет иметь бесконечное множество решений), так как примет вид:

Теорема Крамера (доказательство опустим). Если определитель матрицы системыnуравненийне равен нулю, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

,

где  j - определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Вышеприведенные формулы называют формулами Крамера .

В качестве примера решим этим методом систему, которую до этого решали методом обратной матрицы:

Недостатки рассмотренных методов:

1) существенная трудоемкость (вычисление определителей и нахождение обратной матрицы);

2) ограниченная область применения (для систем с квадратной матрицей).

Реальных экономические ситуации чаще моделируются системами, в которых число уравнений и переменных довольно значительное, причем уравнений больше, чем переменных Поэтому на практике более распространен следующий метод.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения переменных)

Этот метод используется для решения системы m линейных уравнений с n переменными в общем виде. Его суть заключается в применении к расширенной матрице системы равносильных преобразований, с помощью которых система уравнений преобразуется к виду, когда ее решения становится легко найти (если они есть).

Это такой вид, в котором левая верхняя часть матрицы системы будет представлять собой ступенчатую матрицу. Этого добиваются с помощью тех же приемов, с помощью которых получали ступенчатую матрицу с целью определения ранга. При этом применяют к расширенной матрице элементарные преобразования, которые позволят получить равносильную систему уравнений. После этого расширенная матрица примет вид:

Получение такой матрицы называют прямым ходом метода Гаусса.

Нахождение из соответствующей системы уравнений значений переменных называют обратным ходом метода Гаусса. Рассмотрим его.

Отметим, что последние (m – r) уравнений примут вид:

Если хотя бы одно из чисел
не равно нулю, то соответствующее равенство будет ложным, а вся система несовместной.

Поэтому для любой совместной системы
. В этом случае последние (m – r) уравнений при любых значениях переменных будут тождествами 0 = 0, и их можно не принимать во внимание при решении системы (просто отбросить соответствующие строки).

После этого система примет вид:

Рассмотрим вначале случай, когда r=n. Тогда система примет вид:

Из последнего уравнения системы можно однозначно найти x r .

Зная x r , из него можно однозначно выразитьx r -1 . Затем из предыдущего уравнения, знаяx r иx r -1 , можно выразитьx r -2 и т.д. доx 1 .

Итак, в этом случае система будет совместной и определенной.

Теперь рассмотрим случай, когда rбазисными (основными), а все остальные –небазисными (неосновными, свободными). Последнее уравнение системы будет иметь вид:

Из этого уравнения можно выразить базисную переменную x r через небазисные:

Предпоследнее уравнение будет иметь вид:

Подставив в него вместо x r полученное выражение, можно будет выразить базисную переменнуюx r -1 через небазисные. И т.д. до переменнойx 1 . Чтобы получить решение системы, можно приравнять небазисные переменные к произвольным значениям и после этого вычислить базисные переменные по полученным формулам. Таким образом, в этом случае система будет совместной и неопределенной (иметь бесконечное множество решений).

Например, решим систему уравнений:

Совокупность базисных переменных будем называть базисом системы. Совокупность столбцов коэффициентов при них тоже будем называтьбазисом (базисными столбцами), илибазисным минором матрицы системы. То решение системы, в котором все небазисные переменные равны нулю, будем называтьбазисным решением .

В предыдущем примере базисным решением будет (4/5; -17/5; 0; 0) (переменные х 3 и х 4 (с 1 и с 2) приравнены к нулю, а базисные переменные х 1 и х 2 рассчитаны через них). Чтобы привести пример небазисного решения, надо приравнять х 3 и х 4 (с 1 и с 2) к произвольным числам, неравным одновременно нулю, и рассчитать через них остальные переменные. Например, при с 1 = 1 и с 2 = 0 получим небазисное решение – (4/5; -12/5; 1; 0). Подстановкой легко убедиться, что оба решения – верные.

Очевидно, что в неопределенной системе небазисных решений может быть бесконечно много. Сколько может быть базисных решений? Каждой строке преобразованной матрицы должна соответствовать одна базисная переменная. Всего в задаче nпеременных, а базисных строк –r. Поэтому число всевозможных наборов базисных переменных не может превысить число сочетаний изnпоr 2 . Оно может быть меньше, чем , потому что не всегда можно преобразовать систему к такому виду, чтобы именно этот набор переменных был базисным.

Что это за вид? Это такой вид, когда матрица, образованная из столбцов коэффициентов при этих переменных, будет ступенчатой, и при этом будет состоять из rстрок. Т.е. ранг матрицы коэффициентов при этих переменных должен быть равенr. Большеrон быть не может, так как число столбцов равноr. Если он окажется меньшеr, то это говорит о линейной зависимости столбцов при переменных. Такие столбцы не могут составить базис.

Рассмотрим, какие еще базисные решения могут быть найдены в рассмотренном выше примере. Для этого рассмотрим всевозможные сочетания из четырех переменных по две базисных. Таких сочетаний будет
, причем одно из них (х 1 и х 2) уже было рассмотрено.

Возьмем переменные х 1 и х 3 . Найдем ранг матрицы коэффициентов при них:

Так как он равен двум, они могут быть базисными. Приравняем небазисные переменные х 2 и х 4 к нулю: х 2 = х 4 = 0. Тогда из формулы х 1 = 4/5 – (1/5)*х 4 следует, что х 1 = 4/5, а из формулы х 2 = -17/5 + х 3 - - (7/5)*х 4 = -17/5 + х 3 следует, что х 3 = х 2 +17/5 = 17/5. Таким образом, мы получим базисное решение (4/5; 0; 17/5; 0).

Аналогично можно получить базисные решения для базисных переменных х 1 и х 4 – (9/7; 0; 0; -17/7); х 2 и х 4 – (0; -9; 0; 4); х 3 и х 4 – (0; 0; 9; 4).

Переменные х 2 и х 3 в этом примере нельзя взять в качестве базисных, так как ранг соответствующей матрицы равен единице, т.е. меньше двух:

.

Возможен и другой подход к определению того, можно или нет составить базис из некоторых переменных. При решении примера в итоге преобразования матрицы системы к ступенчатому виду она приняла вид:

Выбирая пары переменных, можно было рассчитать соответствующие миноры этой матрицы. Легко убедиться, что для всех пар, кроме х 2 и х 3 , они не равны нулю, т.е. столбцы линейно независимы. И только для столбцов при переменных х 2 и х 3
, что говорит об их линейной зависимости.

Рассмотрим еще один пример. Решим систему уравнений

Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво - оно привелось к неверному равенству 0 = -1, следовательно, данная система несовместна.

Метод Жордана-Гаусса 3 представляет собой развитие метода Гаусса. Суть его состоит в том, что расширенную матрицу системы преобразуют к виду, когда коэффициенты приrпеременных образуют единичную матрицу с точностью до перестановки строк или столбцов 4 (гдеr– ранг матрицы системы).

Решим этим методом систему:

Рассмотрим расширенную матрицу системы:

В этой матрице выберем единичный элемент. Например, коэффициент при х 2 в третьем ограничении 5 . Добьемся, чтобы в остальных строках в этом столбце стояли нули, т.е. сделаем столбец единичным. В процессе преобразований будем называть этотстолбец разрешающим (ведущим, ключевым). Третье ограничение (третьюстроку ) тоже будем называтьразрешающей . Самэлемент , который стоит на пересечении разрешающих строки и столбца (здесь это единица), тоже называютразрешающим .

В первой строке сейчас стоит коэффициент (-1). Чтобы получить на его месте ноль, умножим третью строку на (-1) и вычтем результат из первой строки (т.е. просто сложим первую строку с третьей).

Во второй строке стоит коэффициент 2. Чтобы получить на его месте ноль, умножим третью строку на 2 и вычтем результат из первой строки.

Результат преобразований будет иметь вид:

Из этой матрицы хорошо видно, что одно из первых двух ограничений можно вычеркнуть (соответствующие строки пропорциональны, т.е. эти уравнения следуют друг из друга). Вычеркнем, например, второе:

Итак, в новой системе два уравнения. Получен единичный столбец (второй), причем единица здесь стоит во второй строке. Запомним, что второму уравнению новой системы у нас будет соответствовать базисная переменная х 2 .

Выберем базисную переменную для первой строки. Это может быть любая переменная, кроме х 3 (потому что при х 3 в первом ограничении стоит нулевой коэффициент, т.е. набор переменных х 2 и х 3 здесь базисным быть не может). Можно взять первую или четвертую переменную.

Выберем х 1 . Тогда разрешающим элементом будет 5, и обе части разрешающего уравнения придется разделить на пять, чтобы получить в первом столбце первой строки единицу.

Добьемся, чтобы в остальных строках (т.е. во второй строке) в первом столбце стояли нули. Так как сейчас во второй строке стоит не ноль, а 3, надо вычесть из второй строки элементы преобразованной первой строки, умноженные на 3:

Из полученной матрицы можно непосредственно извлечь одно базисное решение, приравняв небазисные переменные к нулю, а базисные – к свободным членам в соответствующих уравнениях: (0,8; -3,4; 0; 0). Можно также вывести общие формулы, выражающие базисные переменные через небазисные: х 1 = 0,8 – 1,2х 4 ; х 2 = -3,4 + х 3 + 1,6х 4 . Эти формулы описывают все бесконечное множество решений системы (приравнивая х 3 и х 4 к произвольным числам, можно вычислить х 1 и х 2).

Отметим, что суть преобразований на каждом этапе метода Жордана-Гаусса заключалась в следующем:

1) разрешающую строку делили на разрешающий элемент, чтобы получить на его месте единицу,

2) из всех остальных строк вычитали преобразованную разрешающую, умноженную на тот элемент, который стоял в данной строке в разрешающем столбце, чтобы получить на месте этого элемента ноль.

Рассмотрим еще раз преобразованную расширенную матрицу системы:

Из этой записи видно, что ранг матрицы системы А равен r.

В ходе проведенных рассуждений мы установили, что система будет совместной тогда и только тогда, когда
. Это означает, что расширенная матрица системы будет иметь вид:

Отбрасывая нулевые строки, мы получим, что ранг расширенной матрицы системы тоже равен r.

Теорема Кронекера-Капелли . Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Вспомним, что ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк. Из этого следует, что если ранг расширенной матрицы меньше числа уравнений, то уравнения системы линейно зависимы, и одно или несколько из них могут быть исключены из системы (поскольку являются линейной комбинацией остальных). Система уравнений будет линейно независимой лишь в том случае, если ранг расширенной матрицы равен числу уравнений.

При этом для совместных систем линейных уравнений можно утверждать, что если ранг матрицы равен числу переменных, то система имеет единственное решение, а если он меньше числа переменных, то система неопределенная и имеет бесконечно много решений.

1Например, пусть в матрице пять строк (исходный порядок строк – 12345). Надо поменять вторую строку и пятую. Чтобы вторая строка попала на место пятой, «сдвинулась» вниз, последовательно три раза поменяем соседние строки: вторую и третью (13245), вторую и четвертую (13425) и вторую и пятую (13452). Затем, чтобы пятая строка попала на место второй в исходной матрице, надо «сдвинуть» вверх пятую строку путем только двух последовательных перемен: пятой и четвертой строк (13542) и пятой и третьей (15342).

2Числом сочетаний из n по r называют число всех различных r–элементных подмножеств n–элементного множества (различными множествами считаются те, которые имеют различный состав элементов, порядок отбора при этом не важен). Его вычисляют по формуле:
. Напомним смысл знака “!” (факториал):
0!=1.)

3Поскольку этот метод более распространен, чем рассмотренный ранее метод Гаусса, и по своей сути представляет собой сочетание прямого и обратного хода метода Гаусса, его тоже иногда называют методом Гаусса, опуская первую часть названия.

4Например,
.

5Если бы в матрице системы не было единиц, то можно было бы, например, разделить обе части первого уравнения на два, и тогда первый коэффициент стал бы единичным; или т.п.

1. Метод подстановки : из какого-либо уравнения системы выражаем одно неизвестное через другое и подставляем во второе уравнение системы.

Задача. Решить систему уравнений:

Решение. Из первого уравнения системы выражаем у через х и подставляем во второе уравнение системы. Получим систему равносильную исходной.

После приведения подобных членов система примет вид:

Из второго уравнения находим: . Подставив это значение в уравнение у = 2 - 2х , получим у = 3. Следовательно, решением данной системы является пара чисел .

2. Метод алгебраического сложения : путем сложения двух уравнений получить уравнение с одной переменной.

Задача. Решить систему уравнение:

Решение. Умножив обе части второго уравнения на 2, получим систему равносильную исходной. Сложив два уравнения этой системы, придем к системе

После приведения подобных членов данная система примет вид: Из второго уравнения находим . Подставив это значение в уравнение 3х + 4у = 5, получим , откуда . Следовательно, решением данной системы является пара чисел .

3. Метод введения новых переменных : ищем в системе некоторые повторяющиеся выражения, которые обозначим новыми переменными, тем самым упрощая вид системы.

Задача. Решить систему уравнений:

Решение. Запишем данную систему иначе:

Пусть х + у = u, ху = v. Тогда получим систему

Решим ее методом подстановки. Из первого уравнения системы выразим u через v и подставим во второе уравнение системы. Получим систему т.е.

Из второго уравнение системы находим v 1 = 2, v 2 = 3.

Подставив эти значения в уравнение u = 5 - v , получим u 1 = 3,
u 2 = 2. Тогда имеем две системы

Решая первую систему, получим две пары чисел (1; 2), (2; 1). Вторая система решений не имеет.

Упражнения для самостоятельной работы

1. Решить системы уравнений методом подстановки.

Материал этой статьи предназначен для первого знакомства с системами уравнений. Здесь мы введем определение системы уравнений и ее решений, а также рассмотрим наиболее часто встречающиеся виды систем уравнений. По обыкновению будем приводить поясняющие примеры.

Навигация по странице.

Что такое система уравнений?

К определению системы уравнений будем подбираться постепенно. Сначала лишь скажем, что его удобно дать, указав два момента: во-первых, вид записи, и, во-вторых, вложенный в эту запись смысл. Остановимся на них по очереди, а затем обобщим рассуждения в определение систем уравнений.

Пусть перед нами несколько каких-нибудь . Для примера возьмем два уравнения 2·x+y=−3 и x=5 . Запишем их одно под другим и объединим слева фигурной скобкой:

Записи подобного вида, представляющие собой несколько расположенных в столбик уравнений и объединенных слева фигурной скобкой, являются записями систем уравнений.

Что же означают такие записи? Они задают множество всех таких решений уравнений системы, которые являются решением каждого уравнения.

Не помешает описать это другими словами. Допустим, какие-то решения первого уравнения являются решениями и всех остальных уравнений системы. Так вот запись системы как раз их и обозначает.

Теперь мы готовы достойно воспринять определение системы уравнений.

Определение.

Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения системы.

Аналогичное определение приведено в учебнике , однако там оно дано не для общего случая, а для двух рациональных уравнений с двумя переменными.

Основные виды

Понятно, что разнообразных уравнений бесконечно много. Естественно, и составленных с их использованием систем уравнений также бесконечно много. Поэтому, для удобства изучения и работы с системами уравнений есть смысл их разделить на группы по схожим характеристикам, а дальше перейти к рассмотрению систем уравнений отдельных видов.

Первое подразделение напрашивается по числу уравнений, входящих в систему. Если уравнений два, то можно сказать, что перед нами система двух уравнений, если три – то система трех уравнений, и т.д. Понятно, что не имеет смысла говорить о системе одного уравнения, так как в этом случае по сути мы имеем дело с самим уравнением, а не с системой.

Следующее деление базируется на числе переменных, участвующих в записи уравнений системы. Если переменная одна, то мы имеем дело с системой уравнений с одной переменной (еще говорят с одной неизвестной), если две – то с системой уравнений с двумя переменными (с двумя неизвестными), и т.д. Например, - это система уравнений с двумя переменными x и y .

При этом имеется в виду число всех различных переменных, участвующих в записи. Они не обязательно должны все сразу входить в запись каждого уравнения, достаточно их наличия хотя бы в одном уравнении. К примеру, - это система уравнений с тремя переменными x , y и z . В первом уравнение переменная x присутствует явно, а y и z – неявно (можно считать, что эти переменные имеют нуль), а во втором уравнении есть x и z , а переменная y явно не представлена. Другими словами, первое уравнение можно рассматривать как , а второе – как x+0·y−3·z=0 .

Третий момент, в котором различаются системы уравнений, это вид самих уравнений.

В школе изучение систем уравнений начинается с систем двух линейных уравнений с двумя переменными . То есть, такие системы составляют два линейных уравнения. Вот пара примеров: и . На них и познаются азы работы с системами уравнений.

При решении более сложных задач можно столкнуться и с системами трех линейных уравнений с тремя неизвестными.

Дальше в 9 классе в системы двух уравнений с двумя переменными добавляются нелинейные уравнения, по большей части целые уравнения второй степени, реже – более высоких степеней. Эти системы называют системами нелинейных уравнений, при необходимости уточняют число уравнений и неизвестных. Покажем примеры таких систем нелинейных уравнений: и .

А дальше в системах встречаются и , к примеру, . Их обычно называют просто системами уравнений, не уточняя, каких именно уравнений. Здесь стоит заметить, что наиболее часто про систему уравнений говорят просто «система уравнений», а уточнения добавляют лишь при необходимости.

В старших классах по мере изучения материала в системы проникают иррациональные, тригонометрические, логарифмические и показательные уравнения : , , .

Если заглянуть еще дальше в программу первых курсов ВУЗов, то основной упор сделан на исследование и решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) , то есть, уравнений, в левых частях которых многочлены первой степени, а в правых – некоторые числа. Но там, в отличие от школы, уже берутся не два линейных уравнения с двумя переменными, а произвольное число уравнений с произвольным числом переменных, зачастую не совпадающим с числом уравнений .

Что называется решением системы уравнений?

К системам уравнений непосредственно относится термин «решение системы уравнений». В школе дается определение решения системы уравнений с двумя переменными :

Определение.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное , другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.

Например, пара значений переменных x=5 , y=2 (ее можно записать как (5, 2) ) является решением системы уравнений по определению, так как уравнения системы при подстановке в них x=5 , y=2 обращаются в верные числовые равенства 5+2=7 и 5−2=3 соответственно. А вот пара значений x=3 , y=0 не является решением этой системы, так как при подстановке этих значений в уравнения, первое из них обратится в неверное равенство 3+0=7 .

Аналогичные определения можно сформулировать и для систем с одной переменной, а также для систем с тремя, четырьмя и т.д. переменными.

Определение.

Решением системы уравнений с одной переменной будет значение переменной, являющееся корнем всех уравнений системы, то есть, обращающее все уравнения в верные числовые равенства.

Приведем пример. Рассмотрим систему уравнений с одной переменной t вида . Число −2 является ее решением, так как и (−2) 2 =4 , и 5·(−2+2)=0 – верные числовые равенства. А t=1 – не является решением системы, так как подстановка этого значения даст два неверных равенства 1 2 =4 и 5·(1+2)=0 .

Определение.

Решением системы с тремя, четырьмя и т.д. переменными называется тройка, четверка и т.д. значений переменных соответственно, обращающая в верные равенства все уравнения системы.

Так по определению тройка значений переменных x=1 , y=2 , z=0 – решение системы , так как 2·1=2 , 5·2=10 и 1+2+0=3 - верные числовые равенства. А (1, 0, 5) не является решением этой системы, так как при подстановке этих значений переменных в уравнения системы второе из них обращается в неверное равенство 5·0=10 , да и третье тоже 1+0+5=3 .

Заметим, что системы уравнений могут не иметь решений, могут иметь конечное число решений, например, одно, два, …, а могут иметь бесконечно много решений. В этом Вы убедитесь по мере углубления в тему.

Учитывая определения системы уравнений и их решений можно заключить, что решение системы уравнений представляет собой пересечение множеств решений всех ее уравнений.

В заключение приведем несколько связанных определений:

Определение.

несовместной , если она не имеет решений, в противном случае система называется совместной .

Определение.

Система уравнений называется неопределенной , если она имеет бесконечно много решений, и определенной , если имеет конечное число решений, либо не имеет их вообще.

Эти термины вводятся, например, в учебнике , однако в школе применяются довольно редко, чаще их можно услышать в высших учебных заведениях.

Список литературы.

1. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
2. Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
3. Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.
4. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
5. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.
6. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
7. А. Г. Курош . Курс высшей алгебры.
8. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия: Учеб.: Для вузов. – 5-е изд. – М.: Наука. Физматлит, 1999. – 224 с. – (Курс высшей математики и мат. физики). – ISBN 5-02-015234 – X (Вып. 3)

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Правила ввода уравнений

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

При вводе уравнений можно использовать скобки . При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов.
Например: 6x+1 = 5(x+y)+2

В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.

Правила ввода десятичных дробей.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например: 2.1n + 3,5m = 55

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &

Примеры.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

Решить систему уравнений

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

У вас в браузере отключено выполнение JavaScript.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки:
1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую;
2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

$$ \left\{ \begin{array}{l} 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end{array} \right. $$

Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему:
$$ \left\{ \begin{array}{l} y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end{array} \right. $$

Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Rightarrow -5x+14-6x=3 \Rightarrow -11x=-11 \Rightarrow x=1 $$

Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Пара (1;4) - решение системы

Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными . Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.

Решение систем линейных уравнений способом сложения

Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений - способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения:
1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы;
3) решают получившееся уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.

Пример. Решим систему уравнений:
$$ \left\{ \begin{array}{l} 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end{array} \right. $$

В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему
$$ \left\{ \begin{array}{l} 3x=33 \\ x-3y=38 \end{array} \right. $$

Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение \(x-3y=38 \) получим уравнение с переменной y: \(11-3y=38 \). Решим это уравнение:
\(-3y=27 \Rightarrow y=-9 \)

Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: \(x=11; y=-9 \) или \((11; -9) \)

Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.

Книги (учебники) Рефераты ЕГЭ и ОГЭ тесты онлайн Игры, головоломки Построение графиков функций Орфографический словарь русского языка Словарь молодежного слэнга Каталог школ России Каталог ССУЗов России Каталог ВУЗов России Список задач