Слово «соответствие» в русском языке употребляется довольно часто, оно означает соотношение между чем-либо, выражающее согласованность, равенство в каком-либо отношении (толковый словарь Ожегова).

В жизни часто приходится слышать: «Этот учебник соответствует данной программе, а этот учебник не соответствует (но может соответствовать другой программе); это яблоко соответствует высшему сорту, а это только первому». Мы говорим, что этому ответу на экзамене соответствует оценка «отлично», этому – «хорошо». Мы говорим, что этому человеку соответствует (в смысле подходит) одежда 46 размера. В соответствии с инструкцией следует поступать так, а не иначе. Наблюдается соответствие между количеством солнечных дней в году и урожайностью культуры.

Если попытаться проанализировать эти примеры, то можно заметить, что во всех случаях речь идет о двух классах объектов, причем между объектами из одного класса устанавливается по определенным правилам некая связь с объектами другого класса. Например, в случае соответствия одежды определенного размера, один класс объектов – это люди, а другой класс объектов – это некоторые натуральные числа, играющие роль размеров одежды. Правило, по которому устанавливается соответствие, можем задать, например, с помощью естественного алгоритма – примерки конкретного костюма или определения «на глаз» его годности.

Мы будем рассматривать соответствия, для которых классы объектов, между которыми устанавливается соответствие и правило установления соответствия, вполне определены. Многочисленные примеры таких соответствий изучались в школе. Прежде всего, это, конечно, функции. Любая функция есть пример соответствия. Действительно, рассмотрим, например, функцию у = х + 3. Если не говорится специально об области определения функции, то считают, что каждому числовому значению аргумента х соответствует числовое значение у , которое находится по правилу: к х нужно прибавить 3. В этом случае соответствие устанавливается между множествами R и R действительных чисел.

Заметим, что установление связей между двумя множествами X и Y связано с рассмотрением пар объектов, образованных из элементов множества X и соответствующих элементов множества Y .

Определение. Соответствием между множествами X и Y называют всякое непустое подмножество декартова произведения X ´ Y .

Множество X называется областью отправления соответствия, множество Y – областью прибытия соответствия.

Соответствия между множествами принято обозначать прописными буквами латинского алфавита, например, R, S, Т . Если R – некоторое соответствие между множествами X и Y , то, согласно определению, соответствия, R Í Х ´ Y и R ≠ Æ. Раз соответствие между множествами X и Y есть всякое подмножество декартова произведения Х ´ Y , т.е. является множеством упорядоченных пар, то способы задания соответствий по существу такие же, как и способы задания множеств. Итак, соответствие R между множествами X и Y можно задать:

а) перечислением всех пар элементов (х, y ) Î R ;

б) указанием характеристического свойства, которым обладают все пары (х, у ) множества R и не обладает ни одна пара, не являющаяся его элементом.

П р и м е р ы.

1) Соответствие R между множествами X = {20, 25} и Y = {4, 5, 6} задано указанием характеристического свойства: «х кратно у »,
х Î Х , у Î Y . Тогда множество R = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.

2) Соответствие R между множествами X = {2, 4, 6, 8} и

Y = {1, 3, 5} задано множеством пар R = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.

Если R – соответствие между двумя числовыми множествами X и Y , то, изобразив все пары чисел, находящихся в соответствии R на координатной плоскости, получим фигуру, называемую графиком соответствия R . Обратно, любое подмножество точек координатной плоскости считают графиком некоторого соответствия между числовыми множествами X и Y .

Граф соответствия

Для наглядного изображения соответствий между конечными множествами кроме графика применяются графы. (От греческого слова «графо» – пишу, сравните: график, телеграф).

Для построения графа соответствия между множествами X и Y элементы каждого из множеств изображают точками на плоскости, после проводят стрелки от х Î Х к у Î Y , если пара (х, у ) принадлежит данному соответствию. Получается чертеж, состоящий из точек и стрелок.

П р и м е р. Соответствие R между множествами X = {2, 3, 4, 5} и Y = {4, 9} задано перечислением пар R = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.

Точно так же можно записать 4R 4, 3R 9. И вообще, если пара
(х, y ) Î R , то говорят, что элементу х Î Х соответствует элемент у Î Y и записывают хRу . Элемент 2 Î Х называется прообразом элемента
4 Î Y при соответствии R и обозначается 4R -1 2. Аналогично можно записать 4R -1 4, 9R -1 3.

Понятие соответствия. Способы задания соответствий

Первоначально алгеброй называли учение о решении уравнений. За много столетий своего развития алгебра превратилась в науку, которая изучает операции и отношения на различных множествах. Поэтому не случайно уже в начальной школе дети знакомятся с такими алгебраическими понятиями, как выражение (числовое и с переменными), числовое равенство, числовое неравенство, уравнение. Они изучают различные свойства арифметических действий над числами, которые позволяют рационально выполнять вычисления. И, конечно, в начальном курсе математики происходит их знакомство с различными зависимостями, отношениями, но чтобы использовать их в целях развития мыслительной деятельности детей, учитель должен овладеть некоторыми общими понятиями современной алгебры - понятием соответствия, отношения, алгебраической операции и др. Кроме того, усваивая математический язык, используемый в алгебре, учитель сможет глубже понять сущность математического моделирования реальных явлений и процессов.

Изучая окружающий нас мир, математика рассматривает не только его объекты, но и главным образом связи между ними. Эти связи называют зависимостями, соответствиями, отношениями, функциями. Например, при вычислении длин предметов устанавливаются соответствия между предметами и числами, которые являются значениями их длин; при решении задач на движение устанавливается зависимость между пройденным расстоянием и временем, если скорость движения постоянна.

Конкретные зависимости, соответствия, отношения между объектами в математике изучались с момента ее возникновения. Но вопрос о том, что общее имеют самые разные соответствия, какова сущность любого соответствия, был поставлен в конце XIX - начале XX века, и ответ на него был найден в рамках теории множеств.

В начальном курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в методике изучения этих взаимосвязей.

Рассмотрим три примера соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.

В первом случае мы устанавливаем соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выясняем, какое число соответствует каждой из данных фигур, характеризуя ее площадь. В третьем ищем число, которое является решением уравнения.

Что общее имеют эти соответствия?

Видим, что во всех случаях мы имеем два множества: в первом - это множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений), во втором - это множество из трех геометрических фигур и множество N натуральных чисел; в третьем - это множество из трех уравнений и множество N натуральных чисел.

Выполняя предложенные задания, мы устанавливаем связь (соответствие) между элементами этих множеств. Ее можно представить наглядно, при помощи графов (рис. 1).

Можно задать эти соответствия, перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии:

I. {(в 1 , 4), (в 3 , 20)};

II. {(F 1 , 4), (F 2 , 10), (F 3 , 10)};

III. {(у 1 , 4), (у 2 , 11), (у 3 , 4)}.

Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами X и Y можно рассматривать как множество упорядоченных пар , образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары - это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.

Определение. Соответствием между элементами множество X и Y называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств.

Соответствия принято обозначать буквами Р, S, T, R и др. Если S - соответствие между элементами множеств X и Y, то, согласно определению, S Х х Y.

Выясним теперь, как задают соответствия между двумя множествами. Поскольку соответствие - это подмножество, то его можно задавать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества. Так, соответствие между множествами X = {1, 2, 4, 6} и Y = {3, 5} можно задать:

1) при помощи предложения с двумя переменными: а < b при условии, что а X, b Y;

2) перечислив пары чисел, принадлежащих подмножеству декартова произведения XxY: {(1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)}. К этому способу задания относят также задание соответствия при помощи графа (рис. 2) и графика (рис. 3)

Рис. 2 Рис. 3

Нередко, изучая соответствия между элементами множеств X и Y, приходится рассматривать и соответствие, ему обратное. Пусть, например,

S - соответствие «больше на 2» между элементами множеств

Х = {4,5,8, 10} и Y= {2,3,6}. Тогда S={(4, 2), (5,3), (8, 6)} и его граф будет таким, как на рисунке 4а.

Соответствие, обратное данному, - это соответствие «меньше на 2». Оно рассматривается между элементами множеств Y и X, и чтобы его представить наглядно, достаточно на графе отношения S направление стрелок поменять на противоположное (рис. 4б). Если соответствие «меньше на 2» обозначить S -1 , то S -1 = {(2,4), (3,5), (6,8)}.

Условимся предложение «элемент х находится в соответствии S с элементом у» записывать кратко так: xSy. Запись xSy можно рассматривать как обобщение записей конкретных соответствий: х = 2у; х > 3у+1 и др.

Воспользуемся введенной записью для определения понятия соответствия, обратного данному.

Определение. Пусть S - соответствие между элементами множеств X и Y. Соответствие S -1 между элементами множеств Y и X называется обратным данному, если yS -x тогда и только тогда, когда xSy .

Соответствия S и S -1 называют взаимно обратными. Выясним особенности их графиков.

Построим график соответствия S = {(4, 2), (5, 3), (8, 6)} (рис. 5а). При построении графика соответствия S -1 = {(2, 4), (3, 5), (6, 8)} мы должны первую компоненту выбирать из множества Y = {2, 3, 6}, а вторую - из множества X = {4, 5, 8, 10}. В результате график соответствия S -1 совпадет с графиком соответствия S. Чтобы различать графики соответствий S и S -1 ,

условились первую компоненту пары соответствия S -1 считать абсциссой, а вторую - ординатой. Например, если (5, 3) S, то (3, 5) S -1 . Точки с координатами (5, 3) и (3, 5), а в общем случае (х, у) и (у, х) симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Следовательно, графики взаимно обратных соответствий S и S -1 симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

Чтобы построить график соответствия S -1 , достаточно изобразить на координатной плоскости точки, симметричные точкам графика S относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов.

О РЕШЕНИИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.

IX. Прямоугольные треугольники.

§ 83. Соотношения между элементами прямоугольного треугольника.

В § 20 были выведены тригонометрические соотношения между элементами прямоугольного треугольника; а именно, из определения тригонометрических функций были выведены формулы (черт. 40):

sin A = a / c ; cos A = b / c ; tg A = a / b

Определяя из этих формул а, b и с , найдем:

1) а = с sin A 2) b = с cos A; 3} а = b tg A.

Словесные формулировки приведены в §§20-21. К этим формулам надо добавить еще три, известные из геометрии:

A + B = 90°; c 2 = a 2 + b 2 ; S = 1 / 2 ab .

§ 84. Между элементами всякого треугольника существуют только три независимых соотношения. В состав треугольника входят три стороны и три угла; но из этих шести элементов достаточно иметь три (исключай случай трех углов), чтобы можно было построить треугольник и тем самым получить остальные три элемента. Отсюда следует, что и при вычислении в треугольнике можно определить три элемента по данным остальным; а для этого число различных уравнений между элементами треугольника должно быть равно также трем. Если уравнений получено более трех, то некоторые из них будут уже следствием других.

В прямоугольном треугольнике основными соотношениями считаются обыкновенно следующие:

A + В = 90°; а = с sin A; b = с cos A.

Остальные можно вывести из них.

§ 85. Решение прямоугольных треугольников.

Основными элементами треугольника считаются стороны и углы. Поэтому при решении прямоугольного треугольника в зависимости от того, какие элементы даны, могут представиться 4 случая, разобранные в следующих параграфах. При этом в числе данных непременно должен быть один линейный элемент, так как иначе нельзя узнать размеры треугольника: по трем углам можно построить сколько угодно подобных треугольников.

Решение треугольников (как и решение всяких математических задач) проводится сначала, по возможности, до конца в общем виде; затем подставляются числовые данные и производятся вычисления. Все нижеследующие примеры решены с помощью таблиц Брадиса, сначала по натуральным значениям тригонометрических функций, потом - по логарифмам.

На случай пользования пятизначными таблицами сохранены примеры решения треугольников и по этим таблицам.

§ 86. 1-й случай. Даны гипотенуза и острый угол (с и А). Найти другой острый угол, катеты и площадь (В, a, b , S).

I. Решение в общем виде.

II. Числовой пример: с = 627; A = 23°30"

Решение.

В = 90° - 23°30" = 66°30"; а = 627 sin 23°30"

По таблице VIII Брадиса находим sin 23°30" = 0,3987; следовательно:

а = 627 0,3987 = 249,9849;
а ≈ 250 (лин. единиц);
b = 627 cos 23°30" = 627 0,9171 = 575,0227.
b ≈ 575 (лин. единиц);
S = 1 / 2 249,98 575,02 = 71 872 (кв. единиц). л

§ 87. 2-й случай. Даны катет и острый угол (а и А). Найти В, с, b , S.

I. Решение в общем виде.

II. Числовой пример: а =18; А = 47°.

Решение.

§ 88. 3-й случай. Даны гипотенуза и катет (с и а ). Найти А, В, b , S.

I. Решение в общем виде.

sin A = a / c ; cos B = a / c ; b = √c 2 - a 2 ; S = a / 2 √c 2 - a 2 .

II. Числовой пример: с = 65; а =16.

I Решение.

sin A= 16 / 65 = 0,2461; А = 14°12" + 3" = 14°15";
В = 90° - 14°15" = 75°45";

b = √65 2 -16 2 = √(65 + 16) (65 -16) = √81 49 = 9 7;
b = 63 (лин. единиц);

S = 16 / 2 63 = 504 (кв. единиц).

§ 89. 4-й случай. Даны оба катета (а и b ). Найти А, В, с , S.

I. Решение в общем виде.

tg A = a / b ; tg B = b / a ; c = √a 2 + b 2 ; S = ab / 2

II. Числовой пример: a = 25; b = 40.

Решение.

tg A = 25 / 40 = 0,625; A = 32°; B = 58°;
c = √25 2 +40 2 ≈ 47,2; S = 500 (кв. единиц).

Вариант 1

№

Соответствием между множествами X и Y называется любое _________________________________ ________________________________________________________________ Х х Y .

№2. На рисунках соответствия между множествами заданы с помощью графов. Укажите граф соответствия, в котором область определения соответствия не совпадает с множеством отправления соответствия.

№

1
) график, 2) граф, 3) перечисление пар, 4) характеристическое свойство

а
) б) а < b

№4. На каком рисунке изображены графики обратных соответствий?

а
) б) в) г)

№5. Между множествами М = {А, Б, В, Г, Д} и N = {1, 2, 3, 4, 5} задано соответствие Q : «элемент m идет в русском алфавите под номером n ». Укажите верные утверждения:

Множества M и N являются равномощными.

Область определения соответствия Q совпадает с его множеством значений.

№6. (Практическое задание). Между множествами А = {1, 2, 3, 4, 5} и В = {2, 4, 6, 8,10} задано соответствие Т: «а меньше b на 2»

Перечислите пары соответствия Т

Задайте соответствие Т -1 , обратное данному, перечислите его пары

Постройте графики соответствий Т и Т -1 в одной системе координат

Тест по теме «Соответствия между множествами»

Вариант 2

№1. Вставь пропущенные слова в предложении:

Соответствием между множествами X и Y называется множество ______________________________, первая компонента которых _____________________ множеству Х, а вторая - ___________________.

№2. На рисунках соответствия между множествами заданы с помощью графов. Укажите граф соответствия, в котором множество значений соответствия совпадает с множеством прибытия соответствия.

№3. Сопоставьте название способа задания соответствия и его изображение.

1
), перечисление пар 2) характеристическое свойство, 3) график, 4) граф

а) б) а < b в) Р = {(2;3), (5;6), (4;5)} г)

№4. На каком рисунке изображен график взаимно однозначного соответствия?

а
) б) в) г)

№5. Между множествами А = { 1, 2, 3, 4, } и В = { 2, 4, 6, 8, 9} задано соответствие Q : «а меньше b в 3 раза». Укажите верные утверждения:

Соответствие является взаимно однозначным.

Соответствие «b больше а в 3 раза» является обратным данному.

Область определения соответствия Q не совпадает с его множеством отправления..

№6. (Практическое задание). Между множествами М = {1, 2, 3, 4, 5} и N = {1, 2, 4, 6, 8,10} задано соответствие Т: m 2 = n

Перечислите пары соответствия Т.

Перечислите пары соответствия Т -1 , обратного данному, постройте его граф.

Постройте графики соответствий Т и Т -1 в одной системе координат.

Тест по теме «Соответствия между множествами»

Таблица ответов.

1 вариант.

2 вариант.

Подмножество; декартова произведения множеств

Упорядоченных пар; принадлежит; множеству У

1г, 2а, 3в, 4б

1в, 2б, 3г, 4а

а, б

б,в

Критерий оценки:

№1 – 2 балла

№2 – 1 балл

№3 – 1 балл

№4 – 1 балл

№5 – 3 балла

№6 – 4 балла

Итого 12 баллов.

Отметки:

12-11 баллов – 5

10 – 9 баллов – 4

8 – 6 баллов – 3

Менее 6 баллов – 2

Вариант 1

№1. Вставь пропущенные слова в предложении:

Отношением на множествеX называется любое _________________________________ ________________________________________________________________ Х х Х.

№2. На множестве А = {1, 2, 3, 4, 5, 6} заданы различные отношения:

Укажите графы:

№

отношением эквивалентности.

отношением порядка

отношением параллельности на множестве прямых плоскости

№

а
) б) в) г)

№5. Сопоставить отношения, заданные на множестве домов и их свойства:

«иметь столько же этажей»

«иметь больше квартир»

«быть построенным раньше на 2 года»

Рефлексивность

Симметричность

Антисимметричность

Транзитивность

№х не старше у », заданного на множестве детей. Является ли это отношение отношением порядка?

Ольга 7лет

Николай 8 лет

Валентин 9лет

Анатолий 8 лет

Светлана 7 лет

Петр 7 лет

Тест по теме «Отношения между множествами»

Вариант 2

№1. Вставь пропущенные слова в предложении:

Отношением на множестве X называется множество ______________________________, обе компоненты которых _____________________ множеству Х.

№2. На множестве { 2, 3, 5, 7, 9} заданы различные отношения:

Укажите графы:

№
3. По графу определить, какие из отношений являются:

отношением порядка

отношением «меньше или равно» на множестве N

№4. На каком рисунке изображен граф отношения между множествами?

а
) б) в) г)

№5. Сопоставить отношения, заданные на множестве учащихся класса и их свойства:

«жить на той же улице»

«быть старше на 1 год»

«жить ближе к школе»

Рефлексивность

Симметричность

Антисимметричность

Транзитивность

№6. (Практическое задание). Постройте граф отношения «х имеет тот же пол, что и у », заданного на множестве детей. Является ли это отношение отношением эквивалентности?

Ольга

Николай

Валентин

Анатолий

Светлана

Петр

Тест по теме «Отношения между множествами»

Таблица ответов.

1 вариант.

2 вариант.

Подмножество; декартова произведения множества (декартова квадрата)

Упорядоченных пар; принадлежат; множеству Х

1а, 2а, 3а,б, 4б, 5а, 6б, 7б

1б, в, 2в, 3б, 4в, 5б, 6в, 7в

1а, 2б, 3а,г

1а,в, 2в

а – 1, 2, 4; б – 3, 4; в – 3

а – 1, 2, 4; б – 3, в – 3, 4

Критерий оценки:

№1 – 2 балла

№2 – 7 баллов

№3 – 3 балла

№4 – 1 балл

№5 – 3 балла

№6 – 2 балла

Итого 18 баллов.

Отметки:

18-17 баллов – 5

16 – 13 баллов – 4

12 – 9 баллов – 3

Менее 9 баллов – 2

Чтобы построить математическую теорию нужны не только сами элементы, но и отношения между ними. Для чисел имеет смысл понятие равенства: а = b. Если числа а и b разные, а? b, тогда возможно или а > b, или а

Две прямые плоскости могут быть перпендикулярными, параллельными, пересекаться под некоторым углом.

Все эти отношения касаются двух объектов. Поэтому они называются бинарными отношениями.

Для изучения отношений между объектами в математике создана теория бинарных отношений.

Когда мы рассматриваем те или иные отношения, мы всегда имеем дело с упорядоченными парами, образованными из элементов данного множества. Например, для отношения «больше на 4», которое рассматривается на множестве Х = {2, 6, 10, 14}, это будут упорядоченные пары (2, 6), (6, 10), (10, 14), а для отношения «делится» - (6, 2), (10, 2), (14, 2).

Можно заметить, что множество пар, которые определяют отношения «больше на 4», «делится», являются подмножествами декартова произведения

Х ´ Х ={(2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 14), (6, 2), (6, 6), (6, 10), (6, 14), (10, 2), (10, 6), (10, 10), (10, 14), (14, 2), (14, 6), (14, 10), (14, 24)}.

Определение 1. Бинарным отношением между элементами множества Х или отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения Х ´ Х.

Бинарные отношения обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита: P, T, S, R, Q и т. д. Итак, если Р–отношение на множестве Х, то Р Ì Х ´ Х. Часто для записи отношений используются разные специальные символы, например, =, >, ~, ½½, ^ и т. д. Множество всех первых элементов пар из Р называется областью определения отношения Р. Множеством значений отношения Р называется множество всех вторых элементов пар из Р.

Для наглядности бинарные отношения изображают графически с помощью специального рисунка графа. Элементы множества Х изображают точками. Если имеет место (х, у) Î Р(хРу), то из точки х проводят стрелку в точку у. Такой чертеж называют графом отношения Р, а точки, изображающие элементы множества Х, вершинами графа. стрелки рёбрами графа.

Пример. Пусть отношение Р: «число х - делитель числа у», заданного на множестве

Х = {5, 10, 20, 30, 40}, изображен на рисунке 25.

Стрелки графа, у которых началом и концом является одна и та же точка, называются петлями. Если на графе отношения Р изменить направления всех стрелок на противоположные, то получится новое отношение, которое называют обратным для Р. Его обозначают Р–1. Отметим, что хРу Û уР–1х.

Способы задания бинарных отношений.

Поскольку отношение R между элементами множества Х - это множество, элементами которого являются упорядоченные пары, то его можно задать теми же способами, что и любое множество.

1. Чаще всего отношение R на множестве Х задают при помощи характеристического свойства пар элементов, находящихся в отношении R. Это свойство формулируют в виде предложения с двумя переменными.

Например, среди отношений на множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, можно рассматривать следующие: «число х меньше числа у в 2 раза», «число х - делитель числа у», «число х больше, чем число у» и другие.

2. Отношение R на множестве Х можно задать и путем перечисления всех пар элементов множества Х, связанных отношением R.

Например, если записать множество пар (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), то на множестве Х = {1, 2, 3, 4} мы зададим некоторое отношение R. Это же отношение R можно задать и

3. при помощи графа (рис. 26).

Свойства бинарных отношений.

Определение 2. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если каждый элемент из множества Х сам с собой находится в этом отношении.

Короче: R рефлексивно на Х Û хRx для любого x Î X.

или, что тоже: в каждой вершине графа отношения есть петля. Верно и обратное: если ни каждая вершина графа отношения имеет петлю, то это рефлексивное отношение.

Пример. Рефлексивные отношения: «быть равными на множестве всех треугольников плоскости», «? и £ на множестве всех действительных чисел».

Отметим, что существуют отношения, которые не обладают свойством рефлексивности.(привести пример «х больше у»)

Определение 3. Бинарное отношение R на множестве Х называется антирефлексивным на Х, если для каждого х из Х (х, х) Ï R, т.е. для каждого х из Х не выполняется условие хRх.

Если отношение R антирефлексивно, то ни одна вершина его графа не имеет петли. Обратно: если ни одна вершина графа не имеет петли, то граф представляет антирефлексивное отношение.

Примеры антирефлексивных отношений: «быть старше», «быть меньше», «быть дочерью» и др.

Определение 4. Отношение R на множестве Х называется симметричным, если для любых элементов х, Î X выполняется условие: если х и у находятся в отношении R, то у и х тоже находятся в этом отношении.

Короче: R симметрично на Х Û хRу Û уRх.

Граф симметричного отношения обладает свойством: если есть стрелка, соединяющая пару элементов, то обязательно есть вторая, которая соединяет эти же элементы, но идет в противоположно направлении. Верно и обратное утверждение.

Примерами симметричных отношений являются отношения: «быть взаимно перпендикулярными на множестве всех прямых плоскости», «быть подобными на множестве всех прямоугольников плоскости».

Определение 5. Если ни для каких элементов х и у из множества Х не может случиться, что одновременно и хRу, и уRх, то отношение R на множестве Х называется асимметричным.

Пример асимметричного отношения: «быть отцом» (если х –– отец у, то у не может быть отцом х).

Определение 6. Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если для разных элементов х, у Î Х из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у не находится в отношении R с элементом х.

Короче: R антисимметрично на Х Û хRу и х? у? .

Например, отношение «меньше» на множестве целых чисел, является антисимметричным.

Граф антисимметричного отношения обладает особенностью: если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна. Справедливым является и обратное утверждение.

Заметим, что существуют отношения, которые не обладают ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.

Определение7. Отношение R на множестве Х называется транзитивным, если для любых элементов х, у, z Î Х выполняется условие: если х находится в отношении R с у и у находится в отношении R с z, то элемент х находится в отношении R с элементом z.

Короче: R транзитивно на Х Û хRу и уRz ? хRz.

Например, отношение «прямая х параллельна прямой у», заданное на множестве прямых плоскости, является транзитивным.

Граф транзитивного отношения обладает особенностью: с каждой парой стрелок, идущих от х к у и от у к z, он содержит и стрелку, идущую от х к z. Верно и обратное утверждение.

Заметим, что существуют отношения, которые не обладают свойством транзитивности. Например, отношение «стоять рядом на полке» не транзитивно.

Все общие свойства отношений можно разбить на три группы:

рефлексивности (каждое отношение рефлексивно или антирефлексивно),

симметричности (отношение всегда или симметрично или асимметрично, или антисимметрично),

транзитивности (каждое отношение транзитивно или не транзитивно). Отношениям, обладающим определенным набором свойств, присвоены специальные названия.