В настоящей главе мы введем тригонометрические функции числового аргумента. Многие вопросы математики, механики, физики и других наук приводят к тригонометрическим функциям не только угла (дуги), но и аргументов совершенно различной природы (длина, время, температура и т. д.). До сих пор под аргументом тригонометрической функции понимался угол, измеренный в градусах или радианах. Теперь мы обобщим понятия синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса, введя их как функции числового аргумента.

Определение. Тригонометрическими функциями числового аргумента называются одноименные тригонометрические функции угла, равного радианам.

Поясним это определение на конкретных примерах.

Пример 1. Вычислим значенйе . Здесь под мы понимаем отвлеченное иррациональное число. Согласно определению . Итак, .

Пример 2. Вычислим значение . Здесь под 1,5 мы понимаем отвлеченное число. Согласно определению (см. приложение II).

Пример 3. Вычислим значение Аналогично предыдущему получаем (см. приложение II).

Итак, в дальнейшем под аргументом тригонометрических функций мы будем понимать угол (дугу) или просто число в зависимости от той задачи, которую решаем. А в ряде случаев аргументом может служить величина, имеющая и другую размерность, например время и т. д. Называя аргумент углом (дугой), мы можем подразумевать под ним число, с помощью которого он измерен в радианах.

Цели урока:

Образовательные:

• Обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы “Тригонометрические функции числового аргумента”;
• Создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений.

Развивающие:

• Способствовать формированию умения применять приёмы – сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию;
• Развитие математического кругозора, мышления, речи, внимания и памяти.

Воспитательные:

• Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, умения общаться, общей культуры.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Методы обучения: частично-поисковый, (эвристический).

Тестовая проверка уровня знаний, решение познавательных обобщающих задач, самопроверка, системные обобщения.

План урока.

1. Орг. момент – 2 мин.
2. Тест с самопроверкой – 10 мин.
3. Сообщение по теме – 3 мин.
4. Систематизация теоретического материала – 15 мин.
5. Дифференцированная самостоятельная работа с самопроверкой – 10 мин.
6. Итог самостоятельной работы – 2 мин.
7. Подведение итогов урока – 3 мин.

Ход урока

1. Организационный момент.

Задание на дом:

Параграф 1, пункт 1.4
- Зачётные работы (задания были вывешены на стенде).

Французский писатель Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело. Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”. Давайте сегодня на уроке будем следовать этому совету писателя, будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием. Ведь они пригодятся вам в дальнейшем.

Сегодня у нас заключительный урок по теме: “Тригонометрические функции числового аргумента”. Повторяем, обобщаем изученный материал, методы и приёмы решения тригонометрических выражений.

2. Тест с самопроверкой.

Работа проводится в двух вариантах. Вопросы на экране.

№	1 вариант	2 вариант
1	Дайте определение синуса и косинуса острого угла	Дайте определение тангенса и котангенса острого угла
2	Какие числовые функции называют тангенсом и котангенсом? Дайте определение.	Какие числовые функции называют синусом и косинусом? Дайте определение.
3	Точка единичной окружности имеет координаты . Найдите значения sin, cos.	Точка единичной окружности имеет координаты (- 0,8; - 0,6). Найдите значение tg , ctg .
4	Какие из основных тригонометрических функций являются нечётными? Запишите соответствующие равенства.	Какие из основных тригонометрических функций являются чётными? Запишите соответствующие равенства.
5	Как изменяются значения синуса и косинуса при изменении угла на целое число оборотов? Запишите соответствующие равенства.	Как изменяются значения тангенса и котангенса при изменении угла на целое число оборотов? В чём особенность? Запишите соответствующие равенства.
6	Найдите значения sin cos, sin(- 630°), cos (- 630°).	Найдите значения tg , ctg , tg 540°, ctg(-450°).
7	На каком рисунке изображён график функции у= sin x?	На каком рисунке изображён график функции у= tg х?
8	Запишите формулы приведения для углов ( - ), (- ).	Запишите формулы приведения для углов (+ ), (+ ).
9	Напишите формулы сложения.	Напишите основные тригонометрические тождества.
10	Напишите формулы понижения степени.	Напишите формулы двойного аргумента.

Учащиеся отмечают неправильные шаги. Количество правильных ответов заносится в листок учёта знаний.

3. Сообщение.

Сообщение об истории развития тригонометрии (выступает подготовленный ученик).

4. Систематизация теоретического материала.

Устные задания.

1) О чём речь? Что особенного?

Определите знак выражения:

а) cos (700°) tg 380°,
б) cos (- 1) sin(- 2)

2) О чём говорит этот блок формул? В чём ошибка?

3) Рассмотрим таблицу:

Тригонометрические преобразования
Отыскание значений тригонометрических выражений	Нахождение значения тригонометрической функции по известному значению данной тригонометрической функции	Упрощение тригонометричес-ких выражений	Тождества

4) Решение задач каждого вида тригонометрических преобразований.

Отыскание значений тригонометрических выражений.

Нахождение значения тригонометрической функции по известному значению данной тригонометрической функции.

Дано: sin = ; < <

Найти cos2, ctg2.

Ответ: . < < 2

Найти: cos2 , tg2

Третий уровень сложности:

Дано: sin = ; < <

Найти: sin2 ; sin (60° - ); tg (45° + )

Дополнительное задание.

Докажите тождество:

4 sin 4 - 4 sin 2 = cos 2 2 - 1

6. Итог самостоятельной работы.

Учащиеся проверяют работу и заносят результаты в листок учёта знаний.

7. Подводится итог урока.

Тригонометрические функции числового аргумента.

Тригонометрические функции числового аргумента t – это функции вида y = cos t,
y = sin t, y = tg t, y = ctg t.

С помощью этих формул через известное значение одной тригонометрической функции можно найти неизвестные значения других тригонометрических функций.

Пояснения .

1) Возьмем формулу cos 2 t + sin 2 t = 1 и выведем с ее помощью новую формулу.

Для этого разделим обе части формулы на cos 2 t (при t ≠ 0, то есть t ≠ π/2 + πk ). Итак:

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---
cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Первое слагаемое равно 1. Мы знаем, что отношение синуса к конисусу – это тангенс, значит, второе слагаемое равно tg 2 t. В результате мы получаем новую (и уже известную вам) формулу:

2) Теперь разделим cos 2 t + sin 2 t = 1 на sin 2 t (при t ≠ πk ):

cos 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---, где t ≠ πk + πk , k – целое число
sin 2 t sin 2 t sin 2 t

Отношение косинуса к синусу – это котангенс. Значит:

Зная элементарные основы математики и выучив основные формулы тригонометрии, вы легко сможете самостоятельно выводить большинство остальных тригонометрических тождеств. И это даже лучше, чем просто зазубривать их: выученное наизусть быстро забывается, а понятое запоминается надолго, если не навсегда. К примеру, необязательно зазубривать, чему равна сумма единицы и квадрата тангенса. Забыли – можно легко вспомнить, если вы знаете самую простую вещь: тангенс – это отношение синуса к косинусу. Примените вдобавок простое правило сложения дробей с разными знаменателями – и получите результат:

sin 2 t 1 sin 2 t cos 2 t + sin 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
cos 2 t 1 cos 2 t cos 2 t cos 2 t

Точно так же легко можно найти сумму единицы и квадрата котангенса, как и многие другие тождества.

Тригонометрические функции углового аргумента.

В функциях у = cos t , у = sin t , у = tg t , у = ctg t переменная t может быть не только числовым аргументом. Ее можно считать и мерой угла – то есть угловым аргументом.

С помощью числовой окружности и системы координат можно легко найти синус, косинус, тангенс, котангенс любого угла. Для этого должны быть соблюдены два важных условия:
1) вершиной угла должен быть центр окружности, который одновременно является центром оси координат;

2) одной из сторон угла должен быть положительный луч оси x .

В этом случае ордината точки, в которой пересекаются окружность и вторая сторона угла, является синусом этого угла, а абсцисса этой точки – косинусом данного угла.

Пояснение . Нарисуем угол, одна сторона которого – положительный луч оси x , а вторая сторона выходит из начала оси координат (и из центра окружности) под углом 30º (см.рисунок). Тогда точка пересечения второй стороны с окружностью соответствует π/6. Нам известны ордината и абсцисса этой точки. Они же являются косинусом и синусом нашего угла:

√3 1
--; --
2 2

А зная синус и косинус угла, вы уже легко сможете найти его тангенс и котангенс.

Таким образом, числовая окружность, расположенная в системе координат, является удобным способом найти синус, косинус, тангенс или котангенс угла.

Но есть более простой способ. Можно и не рисовать окружность и систему координат. Можно воспользоваться простыми и удобными формулами:

Пример : найти синус и косинус угла, равного 60º.

Решение :

π · 60 π √3
sin 60º = sin --- = sin -- = --
180 3 2

π 1
cos 60º = cos -- = -
3 2

Пояснение : мы выяснили, что синус и косинус угла 60º соответствуют значениям точки окружности π/3. Далее просто находим в таблице значения этой точки – и таким образом решаем наш пример. Таблица синусов и косинусов основных точек числовой окружности – в предыдущем разделе и на странице «Таблицы».

Определение1: Числовая функция, заданная формулой y=sin x называется синусом.

Данная кривая имеет название – синусоида.

Свойства функции y=sin x

2. Область значения функции: E(y)=[-1; 1]

3. Четность функции:

y=sin x – нечетная,.

4. Периодичность: sin(x+2πn)=sin x, где n – целое число.

Данная функция через определенный промежуток принимает одинаковые значения. Такое свойство функции называют периодичностью. Промежуток – периодом функции.

Для функции y=sin x период составляет 2π.

Функция y=sin x – периодическая, с периодом Т=2πn, n – целое число.

Наименьший положительный период Т=2π.

Математически это можно записать так: sin(x+2πn)=sin x, где n – целое число.

Определение2: Числовая функция, заданная формулой y=cosx называется косинусом.

Свойства функции y=cos x

1. Область определения функции: D(y)=R

2. Область значения функции: E(y)=[-1;1]

3. Четность функции:

y=cos x –четная.

4. Периодичность: cos(x+2πn)=cos x, где n – целое число.

Функция y=cos x – периодическая, с периодом Т=2π.

Определение 3: Числовая функция, заданная формулой y=tg x, называется тангенсом.

Свойства функции y=tg x

1. Область определения функции: D(y) - все действительные числа, кроме π/2+πk, k – целое число. Потому что в этих точках тангенс не определен.

3. Четность функции:

y=tg x – нечетная.

4. Периодичность: tg(x+πk)=tg x, где k – целое число.

Функция y=tg x – периодическая с периодом π.

Определение 4: Числовая функция, заданная формулой y=ctg x, называется котангенсом.

Свойства функции y=ctg x

1. Область определения функции: D(y) - все действительные числа, кроме πk, k– целое число. Потому что в этих точках котангенс не определен.

2. Область значения функции: E(y)=R.

Видеоурок «Тригонометрические функции числового аргумента» представляет наглядный материал для обеспечения наглядности при объяснении темы на уроке. В ходе демонстрации рассматривается принцип формирования значения тригонометрических функций от числа, описывается ряд примеров, обучающих вычислению значений тригонометрических функций от числа. С помощью данного пособия легче сформировать навыки в решении соответствующих задач, добиться запоминания материала. Использование пособия повышает эффективность урока, способствует быстрому достижению целей обучения.

В начале урока демонстрируется название темы. Затем ставится задача нахождения соответствующего косинуса некоторому числовому аргументу. Отмечается, что данная задача решается просто и это можно наглядно продемонстрировать. На экране изображается единичная окружность с центром в начале координат. При этом замечено, что точка пересечения окружности с положительной полуосью оси абсцисс располагается в точке А(1;0). Приводится пример точки М, которая представляет аргумент t=π/3. Данная точка отмечается на единичной окружности, и от нее опускается перпендикуляр к оси абсцисс. Найденная абсцисса точки и является косинусом cos t. В данном случае абсциссой точки будет х=1/2. Поэтому cos t=1/2.

Обобщая рассмотренные факты, отмечается, что имеет смысл говорить о функции s=cos t. Отмечается, что некоторые знания об этой функции уже имеются у учеников. Вычислены некоторые значения косинуса cos 0=1, cos π/2=0, cos π/3=1/2. Также связанными к данной функцией являются функции s=sin t, s=tg t, s=ctg t. Отмечается, что они имеют общее для всех название - тригонометрические функции.

Демонстрируются важные соотношения, которые используются в решении задач с тригонометрическими функциями: основное тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, выражение тангенса и котангенса через синус и косинус tg t=sin t/cos t, где t≠π/2+πk для kϵZ, ctg t= cos t/sin t, где t≠πk для kϵZ, а также соотношение тангенса к котангенсу tg t·ctg t=1 где t≠πk/2 для kϵZ.

Далее предлагается рассмотреть доказательство соотношения 1+ tg 2 t=1/ cos 2 t, при t≠π/2+πk для kϵZ. Чтобы доказать тождество, необходимо представить tg 2 t в виде соотношения синуса и косинуса, а после слагаемые в левой части привести к общему знаменателю 1+ tg 2 t=1+sin 2 t/cos 2 t = (sin 2 t+cos 2 t)/ cos 2 t. Используя основное тригонометрическое тождество, получаем в числителе 1, то есть конечное выражение 1/ cos 2 t. Что и требовалось доказать.

Аналогично доказывается тождество 1+ ctg 2 t=1/ sin 2 t, при t≠πk для kϵZ. Так же, как и в предыдущем доказательстве, котангенс заменяется соответствующим соотношением косинуса и синуса, и оба слагаемых в левой части приводятся к общему знаменателю 1+ ctg 2 t=1+ cos 2 t/sin 2 t= (sin 2 t+cos 2 t)/sin 2 t. После применения основного тригонометрического тождества к числителю получаем 1/ sin 2 t. Это и есть искомое выражение.

Рассматривается решение примеров, в котором применяются полученные знания. В первом задании необходимо найти значения cost, tgt, ctgt, если известен синус числа sint=4/5, а t принадлежит промежутку π/2< t<π. Для нахождения косинуса в данном примере рекомендуется использовать тождество sin 2 t+ cos 2 t=1, из которого следует cos 2 t=1-sin 2 t. Зная значение синуса, можно найти косинус cos 2 t=1-(4/5) 2 =9/25. То есть значение косинуса cost=3/5 и cost=-3/5. В условии указано, что аргумент принадлежит второй четверти координатной плоскости. В этой четверти значение косинуса отрицательное. С учетом данного ограничения находим cost=-3/5. Для нахождения тангенса числа пользуемся его определением tgt= sint/cost. Подставив известные значения синуса и косинуса, получаем tgt=4/5:(-3/5)=-4/3. Чтобы найти значение котангенса, также используется определение котангенса ctgt= cost/sint. Подставив известные значения синуса и косинуса в отношение, получаем ctgt=(-3/5):4/5=-3/4.

Далее рассматривается решение аналогичной задачи, в которой известен тангенс tgt=-8/15, а аргумент ограничен значениями 3π/2

Чтобы найти значение синуса, используем определение тангенса tgt= sint/cost. Из него находим sint= tgt·cost=(-8/15)·(15/17)=-8/17. Зная, что котангенс - функция, обратная тангенсу, находим ctgt=1/(-8/15)=-15/8.

Видеоурок «Тригонометрические функции числового аргумента» применяется для повышения эффективности урока математики в школе. В ходе дистанционного обучения данный материал может использоваться как наглядное пособие для формирования навыков решения задач, где есть тригонометрические функции от числа. Для приобретения этих навыков ученику может рекомендовано самостоятельное рассмотрение наглядного материала.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Тема урока «Тригонометрические функции числового аргумента».

Любому действительному числу t можно поставить в соответствие однозначно определенное число cos t. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

1) на координатной плоскости расположить числовую окружность так, чтобы центр окружности совпал с началом координат, а начальная точка А окружности попала в точку (1;0);

2) на окружности найти точку, которая соответствует числу t;

3) найти абсциссу этой точки. Это и есть cos t.

Поэтому речь пойдет о функции s= cos t (эс равно косинус тэ), где t - любое действительное число. Некоторое представление о этой функции мы уже получили:

• научились вычислять некоторые значения, например cos 0=1, cos = 0, cos = и т.д.(косинус нуля равен единице, косинус пи на два равен нулю, косинус пи на три равен одной второй и так далее).
• а так как значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса взаимосвязаны, то получили некоторое представление еще о трех функциях: s= sint; s= tgt; s= ctgt. (эс равно синус тэ, эс равно тангенс тэ, эс равно котангенс тэ)

Все эти функции называются тригонометрическими функциями числового аргумента t.

Из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса следуют некоторые соотношения:

1)sin 2 t + cos 2 t = 1(синус квадрат тэ плюс косинус квадрат тэ равно одному)

2)tgt = при t ≠ + πk, kϵZ(тангенс тэ равно отношению синуса тэ к косинусу тэ при тэ не равном пи на два плюс пи ка, ка принадлежит зэт)

3)ctgt = при t ≠ πk, kϵZ(котангенс тэ равно отношению косинуса тэ к синусу тэ при тэ не равном пи ка, ка принадлежит зэт).

4)tgt ∙ ctgt = 1 при t ≠ , kϵZ (произведение тангенса тэ на котангенс тэ равно одному при тэ не равном пи ка, деленное на два, ка принадлежит зэт)

Докажем еще две важные формулы:

Один плюс тангенс квадрат тэ равно отношению единицы к косинусу квадрату тэ при тэ не равном пи на два плюс пи ка.

Доказательство. Выражение единица плюс тангенс квадрат тэ, приведем к общему знаменателю косинус квадрат тэ. Получим в числителе сумму квадратов косинуса тэ и синуса тэ, что равно одному. А знаменатель остается квадрат косинуса тэ.

Сумма единицы и квадрата котангенса тэ равна отношению единицы к квадрату синуса тэ при тэ не равном пи ка.

Доказательство. Выражение единица плюс котангенс квадрат тэ, аналогично приведем к общему знаменателю и применим первое соотношение.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР1. Найти cost, tgt, ctgt , если sint = и < t < π.(если синус тэ равен четырем пятым и тэ из промежутка от пи на два до пи)

Решение. Из первого соотношения найдем косинус квадрат тэ равен единица минус синус квадрат тэ: cos 2 t = 1 - sin 2 t.

Значит, cos 2 t = 1 -() 2 = (косинус квадрат тэ равен девяти двадцать пятым), то есть cost= (косинус тэ равен трем пятым) или cost = - (косинус тэ равен минус трем пятым). По условию аргумент t принадлежит второй четверти, а в ней cos t < 0 (косинус тэ отрицательный).

Значит косину тэ равен минус трем пятым, cost = - .

Вычислим тангенс тэ:

tgt = = ׃ (-)= - ;(тангенс тэ равен отношению синуса тэ к косинусу тэ, а значит, четырех пятых к минус трем пятым и равно минус четырем третьим)

Соответственно вычисляем (котангенс числа тэ. так как котангенс тэ равен отношению косинуса тэ к синусу тэ,) ctgt = = - .

(котангенс тэ равен минус трем четвертым).

Ответ: cost = - , tgt= - ; ctgt = - . (ответ заполняем по мере решения)

ПРИМЕР 2. Известно, что tgt = - и < t < 2π(тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых и тэ принадлежит промежутку от трех пи на два до двух пи). Найти значения cost, sint, ctgt.

Решение. Воспользуемся данным соотношением, подставив значение в эту формулу получим:

1 + (-) 2 = (единица на косинус квадрат тэ равно сумме единицы и квадрата минус восьми пятнадцатых). Отсюда находим cos 2 t =

(косинус квадрат тэ равен двести двадцать пять двести восемьдесят девятых). Значит, cost = (косинус тэ равен пятнадцать семнадцатых) или

cost = . По условию аргумент t принадлежит четвертой четверти, где cost>0. Поэтому cost = .(косенус тэ равен пятнадцать семнадцатых)

Найдем значение аргумента синус тэ. Так как из соотношения (показать соотношение tgt = при t ≠ + πk, kϵZ) синус тэ равен произведению тангенса тэ на косинус тэ, то подставив значение аргумента тэ..тангенс тэ равен минус восемь пятнадцатых.. по условию, а косинус тэ равен из решенного ранее, получаем

sint = tgt ∙ cost = (-) ∙ = - , (синус тэ равен минус восемь семнадцатых)

ctgt = = - . (так как котангенс тэ, есть величина обратная тангенсу, значит, котангенс тэ равен минус пятнадцать восемнадцатых)