Центром давления крыла называется точка пересечения равнодействующей аэродинамических сил с хордой крыла.

Положение центра давления определяется его координатой Х Д - расстоянием от передней кромки крыла, которое может быть выражено в долях хорды

Направление действия силы R определяется углом  , образуемым с направлением невозмущенного воздушного потока (Рис. 59, а). Из рисунка видно, что

где К - аэродинамическое качество профиля.

Рис. 59 Центр давления крыла и изменение его положения в зависимости от угла атаки

Положение центра давления зависит от формы профиля и угла атаки. На Рис. 59, б показано, как изменяется положение центра давления в зависимости от угла атаки для профилей самолетов Як 52 и Як-55, кривая 1 -для самолета Як-55, кривая 2-для самолета Як-52.

Из графика видно, что положение ЦД при изменении угла атаки у симметричного профиля самолета Як-55 остается неизменным и находится примерно на 1/4 расстояния от носка хорды.

Таблица 2

При изменении угла атаки изменяется распределение давления по профилю крыла, и поэтому центр давления перемещается вдоль хорды (для несимметричного профиля самолета Як-52), как показано на Рис. 60. Например, при отрицательном угле атаки самолета Як 52, примерно равном -4°, силы давления в носовой и хвостовой частях профиля направлены в противоположные стороны и равны. Этот угол атаки называется углом атаки нулевой подъемной силы.

Рис. 60 Перемещение центра давления крыла самолета Як-52 при изменении угла атаки

При несколько большем угле атаки силы давления, направленные вверх, больше силы, направленной вниз, их равнодействующая Y будет лежать за большей силой (II), т. е. центр давления окажется расположенным в хвостовой части профиля. При дальнейшем увеличении угла атаки местонахождение максимальной разности давлений передвигается все ближе к носовой кромке крыла, что, естественно, вызывает перемещение ЦД по хорде к передней кромке крыла (III, IV).

Наиболее переднее положение ЦД при критическом угле атаки  кр= 18° (V).

СИЛОВАЯ УСТАНОВКА САМОЛЕТА

НАЗНАЧЕНИЕ СИЛОВОЙ УСТАНОВКИ И ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ВОЗДУШНЫХ ВИНТАХ

Силовая установка предназначена для создания силы тяги, необходимой для преодоления лобового сопротивления и обеспечения поступательного движения самолета.

Сила тяги создается установкой, состоящей из двигателя, движителя (винта, например) и систем, обеспечивающих работу двигательной установки (топливная система, система смазки, охлаждения и т.д.).

В настоящее время в транспортной и военной авиации широкое распространение получили турбореактивные и турбовинтовые двигатели. В спортивной, сельскохозяйственной и различного назначения вспомогательной авиации пока еще применяются силовые установки с поршневыми авиационными двигателями внутреннего сгорания.

На самолетах Як-52 и Як-55 силовая установка состоит из поршневого двигателя М-14П и воздушного винта изменяемого шага В530ТА-Д35. Двигатель М-14П преобразует тепловую энергию сгорающего топлива в энергию вращения воздушного винта.

Воздушный винт - лопастный агрегат, вращаемый валом двигателя, создающий тягу в воздухе, необходимую для движения самолета.

Работа воздушного винта основана на тех же принципах, что и крыло самолета.

КЛАССИФИКАЦИЯ ВОЗДУШНЫХ ВИНТОВ

Винты классифицируются:

по числу лопастей - двух-, трех-, четырех- и многолопастные;

по материалу изготовления - деревянные, металлические;

по направлению вращения (смотреть из кабины самолета по направлению полета) - левого и правого вращения;

по расположению относительно двигателя - тянущие, толкающие;

по форме лопастей - обычные, саблевидные, лопатообразные;

по типам - фиксированные, неизменяемого и изменяемого шага.

Воздушный винт состоит из ступицы, лопастей и укрепляется на валу двигателя с помощью специальной втулки (Рис. 61).

Винт неизменяемого шага имеет лопасти, которые не могут вращаться вокруг своих осей. Лопасти со ступицей выполнены как единое целое.

Винт фиксированного шага имеет лопасти, которые устанавливаются на земле перед полетом под любым углом к плоскости вращения и фиксируются. В полете угол установки не меняется.

Винт изменяемого шага имеет лопасти, которые во время работы могут при помощи гидравлического или электрического управления или автоматически вращаться вокруг своих осей и устанавливаться под нужным углом к плоскости вращения.

Рис. 61 Воздушный двухлопастный винт неизменяемого шага

Рис. 62 Воздушный винт В530ТА Д35

По диапазону углов установки лопастей воздушные винты подразделяются:

на обычные, у которых угол установки изменяется от 13 до 50°, они устанавливаются на легкомоторных самолетах;

на флюгерные - угол установки меняется от 0 до 90°;

на тормозные или реверсные винты, имеют изменяемый угол установки от -15 до +90°, таким винтом создают отрицательную тягу и сокращают длину пробега самолета.

К воздушным винтам предъявляются следующие требования:

винт должен быть прочным и мало весить;

должен обладать весовой, геометрической и аэродинамической симметрией;

должен развивать необходимую тягу при различных эволюциях в полете;

должен работать с наибольшим коэффициентом полезного действия.

На самолетах Як-52 и Як-55 установлен обычный веслообразный деревянный двухлопастный тянущий винт левого вращения, изменяемого шага с гидравлическим управлением В530ТА-Д35 (Рис. 62).

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИНТА

Лопасти при вращении создают такие же аэродинамические силы, что и крыло. Геометрические характеристики винта влияют на его аэродинамику.

Рассмотрим геометрические характеристики винта.

Форма лопасти в плане - наиболее распространенная симметричная и саблевидная.

Рис. 63. Формы воздушного винта: а - профиль лопасти, б - формы лопастей в плане

Рис. 64 Диаметр, радиус, геометрический шаг воздушного винта

Рис. 65 Развертка винтовой линии

Сечения рабочей части лопасти имеют крыльевые профили. Профиль лопасти характеризуется хордой, относительной толщиной и относительной кривизной.

Для большей прочности применяют лопасти с переменной толщиной - постепенным утолщением к корню. Хорды сечений лежат не в одной плоскости, так как лопасть выполнена закрученной. Ребро лопасти, рассекающее воздух, называется передней кромкой, а заднее - задней кромкой. Плоскость, перпендикулярная оси вращения винта, называется плоскостью вращения винта (Рис. 63).

Диаметром винта называется диаметр окружности, описываемой концами лопастей при вращении винта. Диаметр современных винтов колеблется от 2 до 5 м. Диаметр винта В530ТА-Д35 равен 2,4 м.

Геометрический шаг винта - это расстояние, которое движущийся поступательно винт должен пройти за один свой полный оборот, если бы он двигался в воздухе как в твердой среде (Рис. 64).

Угол установки лопасти винта  - это угол наклона сечения лопасти к плоскости вращения винта (Рис. 65).

Для определения, чему равен шаг винта, представим, что винт движется в цилиндре, радиус г которого равен расстоянию от центра вращения винта до точки Б на лопасти винта. Тогда сечение винта в этой точке опишет на поверхности цилиндра винтовую линию. Развернем отрезок цилиндра, равный шагу винта Н по линии БВ. Получится прямоугольник, в котором винтовая линия превратилась в диагональ этого прямоугольника ЦБ. Эта диагональ наклонена к плоскости вращения винта БЦ под углом  . Из прямоугольного треугольника ЦВБ находим, чему равен шаг винта:

Шаг винта будет тем больше, чем больше угол установки лопасти  . Винты подразделяются на винты с постоянным шагом вдоль лопасти (все сечения имеют одинаковый шаг), переменным шагом (сечения имеют разный шаг).

Воздушный винт В530ТА-Д35 имеет переменный шаг вдоль лопасти, так как это выгодно с аэродинамической точки зрения. Все сечения лопасти винта набегают на воздушный поток под одинаковым углом атаки.

Если все сечения лопасти винта имеют разный шаг, то за общий шаг винта считается шаг сечения, находящегося на расстоянии от центра вращения, равном 0,75R, где R-радиус винта. Этот шаг называетсяноминальным, а угол установки этого сечения - номинальным углом установки .

Геометрический шаг винта отличается от поступи винта на величину скольжения винта в воздушной среде (см. Рис. 64).

Поступь воздушного винта - это действительное расстояние, на которое движущийся поступательно винт продвигается в воздухе вместе с самолетом за один свой полный оборот. Если скорость самолета выражена в км/ч, а число оборотов винта в секунду, то поступь винта Н п можно найти по формуле

Поступь винта несколько меньше геометрического шага винта. Это объясняется тем, что винт как бы проскальзывает в воздухе при вращении ввиду низкого значения плотности его относительно твердой среды.

Разность между значением геометрического шага и поступью воздушного винта называетсяскольжением винта и определяется по формуле

S = H - H n . (3.3)

Пусть имеется фигура произвольной формы площадью со в плоскости Оl , наклоненной к горизонту под углом α (рис. 3.17).

Для удобства вывода формулы для силы давления жидкости на рассматриваемую фигуру повернем плоскость стенки на 90° вокруг оси 01 и совместим ее с плоскостью чертежа. Выделим на рассматриваемой плоской фигуре на глубине h от свободной поверхности жидкости элементарную площадку dω . Тогда элементарная сила, действующая на площадку dω , будет

Рис. 3.17.

Интегрируя последнее соотношение, получаем суммарную силу давления жидкости на плоскую фигуру

Учитывая, что , получаем

Последний интеграл равен статическому моменту площадки со относительно оси Оу, т.е.

где l С – расстояние от оси Оу до центра тяжести фигуры. Тогда

Так как , то

т.е. суммарная сила давления на плоскую фигуру равна произведению площади фигуры на гидростатическое давление в ее центре тяжести.

Точка приложения суммарной силы давления (точка d , см. рис. 3.17) называется центром давления. Центр давления находится ниже центра тяжести плоской фигуры на величину е. Последовательность определения координат центра давления и величины эксцентриситета изложена в параграфе 3.13.

В частном случае вертикальной прямоугольной стенки получим (рис. 3.18)

Рис. 3.18.

В случае горизонтальной прямоугольной стенки будем иметь

Гидростатический парадокс

Формула для силы давления на горизонтальную стенку (3.31) показывает, что суммарное давление на плоскую фигуру определяется лишь глубиной погружения центра тяжести и площадью самой фигуры, но не зависит от формы того сосуда, в котором находится жидкость. Поэтому, если взять ряд сосудов, различных по форме, но имеющих одинаковую площадь дна ω г и равные уровни жидкости H , то во всех этих сосудах суммарное давление на дно будет одинаковым (рис. 3.19). Гидростатическое давление обусловлено в данном случае силой тяжести, но вес жидкости в сосудах разный.

Рис. 3.19.

Возникает вопрос: как же различный вес может создать одинаковое давление на дно? В этом кажущемся противоречии и состоит так называемый гидростатический парадокс. Раскрытие парадокса заключается в том, что сила веса жидкости действует в действительности не только на дно, но еще и на другие стенки сосуда.

В случае расширяющегося кверху сосуда очевидно, что вес жидкости больше силы, действующей на дно. Однако в данном случае часть силы веса действует на наклонные стенки. Эта часть есть вес тела давления.

В случае сужающегося к верху сосуда достаточно вспомнить, что вес тела давления G в этом случае отрицателен и действует на сосуд вверх.

Центр давления и определение его координат

Точку приложения суммарной силы давления называют центром давления. Определим координаты центра давления l d и y d (рис. 3.20). Как известно из теоретической механики, при равновесии момент равнодействующей силы F относительно некоторой оси равен сумме моментов составляющих сил dF относительно той же оси.

Рис. 3.20.

Составим уравнение моментов сил F и dF относительно оси Оу:

Силы F и dF определим по формулам

• Вводный урок бесплатно ;
• Большое число опытных преподавателей (нейтивов и русскоязычных);
• Курсы НЕ на определенный срок (месяц, полгода, год), а на конкретное количество занятий (5, 10, 20, 50);
• Более 10 000 довольных клиентов.
• Стоимость одного занятия с русскоязычным преподавателем - от 600 рублей , с носителем языка - от 1500 рублей

Центр давления силы атмосферного давления p0S будет находиться в центре тяжести площадки, поскольку атмосферное давление передаётся на все точки жидкости одинаково. Центр давления самой жидкости на площадку можно определить из теоремы о моменте равнодействующей силы. Момент равнодействующей

силы относительно оси ОХ будет равен сумме моментов составляющих сил относительно этой же оси.

Откуда где: - положение центра избыточного давления на вертикальной оси, - момент инерции площадки S относительно оси ОХ.

Центр давления (точка приложения равнодействующей силы избыточного давления) расположен всегда ниже центра тяжести площадки. В случаях, когда внешней действующей силой на свободную поверхность жидкости является сила атмосферного давления, то на стенку сосуда будут одновременно действовать две одинаковые по величине и противоположные по направлению силы обусловленные атмосферным давлением (на внутреннюю и внешнюю стороны стенки). По этой причине реальной действующей несбалансированной силой остаётся сила избыточного давления.

Предыдущие материалы:

Точка приложения суммарной силы давления называется центром давления. Определим координаты центра давления и (рис. 3.20). Как известно из теоретической механики, при равновесии момент равнодействующей F относительно некоторой оси равен сумме моментов составляющих сил dF относительно той же оси.

Составим уравнение моментов сил F и dF относительно оси 0y.

Силы F и dF определим по формулам

Cокращая выражение на g и sin a, получим

где - момент инерции площади фигуры относительно оси 0y .

Заменив по известной из теоретической механики формуле, где J c - момент инерции площади фигуры относительно оси, параллельной 0y и проходящей через центр тяжести, получим

Из этой формулы следует, что центр давления всегда расположен ниже центра тяжести фигуры на расстоянии . Это расстояние называется эксцентриситетом и обозначается буквой e .

Координата y d находится из аналогичных соображений

где - центробежный момент инерции той же площади относительно осей y и l . Если фигура симметрична относительно оси, параллельной оси 0l (рис. 3.20), то, очевидно, , где y c - координата центра тяжести фигуры.

§ 3.16. Простые гидравлические машины.
Гидравлический пресс

Гидравлический пресс применяется для получения больших усилий, которые необходимы, например, для прессования или штамповки металлических изделий.

Принципиальная схема гидравлического пресса показана на рис. 3.21. Он состоит из 2-х цилиндров - большого и малого, соединенных между собой трубкой. В малом цилиндре имеется поршень диаметром d , который приводится в действие рычагом с плечами a и b . При движении малого поршня вниз он оказывает на жидкость давление p , которое по закону Паскаля передается поршню диаметром D , находящемуся в большом цилиндре.

При движении вверх поршень большого цилиндра прессует деталь с силой F 2 Определим силу F 2 , если известна сила F 1 и размеры пресса d , D , а также плечи рычага a и b . Определим сначала силу F , действующую на малый поршень диаметром d . Рассмотрим равновесие рычага пресса. Составим уравнение моментов относительно центра вращения рычага 0

где - реакция поршня на рычаг.

где - площадь сечения малого поршня.

По закону Паскаля давление в жидкости передается по всем направлениям без изменения. Следовательно, давление жидкости под большим поршнем также будет равно p ж. Отсюда сила, действующая на большой поршень со стороны жидкости, будет

где - площадь сечения большого поршня.

Подставляя в последнюю формулу p ж и учитывая, что , получим

Для учета трения в манжетах пресса, уплотняющих зазоры, вводят коэффициент полезного действия пресса h<1. В итоге расчетная формула примет вид

Гидравлический аккумулятор

Гидравлический аккумулятор служит для накопления - аккумулирования энергии. Он применяется в тех случаях, когда необходимо произвести кратковременную большую работу, например, при открывании и закрывании ворот шлюзов, при работе гидравлического пресса, гидроподъемника и т. п.

Принципиальная схема гидравлического аккумулятора приведена на рис.3.22. Он состоит из цилиндра A , в котором помещен поршень B , соединенный с нагруженной рамой C , к которой подвешены грузы D .

При помощи насоса в цилиндр нагнетается жидкость до полного его заполнения, при этом грузы поднимаются и тем самым происходит накопление энергии. Чтобы поднять поршень на высоту H , необходимо закачать в цилиндр объем жидкости

где S - площадь сечения поршня.

Если величина грузов равна G , то давление поршня на жидкость определится отношением силы веса G на площадь сечения поршня, т.е

Выражая отсюда G , получим

Работа L , затрачиваемая на подъем груза, будет равна произведению силы G на длину пути H

Закон Архимеда

Закон Архимеда формулируется в виде следующего утверждения - на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вверх и равная весу вытесненной им жидкости. Эта сила называется поддерживающей. Она является равнодействующей сил давления, с которыми жидкость, находящаяся в покое, действует на покоящееся в нем тело.

Для доказательства закона выделим в теле элементарную вертикальную призму с основаниями d w n1 и d w n2 (рис. 3.23). Вертикальная проекция элементарной силы, действующей на верхнее основание призмы, будет

где p 1 - давление на основании призмы d w n1 ; n 1 - нормаль к поверхности d w n1 .

где d w z - площадь призмы в сечении, перпендикулярном оси z , то

Отсюда, учитывая, что по формуле гидростатического давления , получим

Аналогично вертикальная проекция элементарной силы, действующей на нижнее основание призмы, находится по формуле

Суммарная вертикальная элементарная сила, действующая на призму, будет

Интегрируя это выражение при , получим

Где - объем тела, погруженного в жидкость, где h T это высота погруженной части тела на данной вертикали.

Отсюда для выталкивающей силы F z получим формулу

Выделяя в теле элементарные горизонтальные призмы и производя аналогичные выкладки, получим , .

где G - вес жидкости, вытесненной телом. Таким образом, выталкивающая сила, действующая на тело, погруженное в жидкость, равна весу жидкости, вытесненной телом, что и требовалось доказать.

Из закона Архимеда следует, что на тело, погруженное в жидкость, в конечном счете действуют две силы (рис. 3.24).

1. Сила тяжести - вес тела .

2. Поддерживающая (выталкивающая) сила , где g 1 - удельный вес тела; g 2 - удельный вес жидкости.

При этом могут иметь место следующие основные случаи:

1. Удельный вес тела и жидкости одинаковы . В этом случае , равнодействующая , и тело будет находиться в состоянии безразличного равновесия, т.е. будучи погружено на любую глубину, оно не будет ни всплывать, ни тонуть.

2. При g 1 > g 2 , . Равнодействующая направлена вниз, и тело будет тонуть.

3. При g 1 < g 2 . Равнодействующая направлена вверх, и тело будет всплывать. Всплытие тела будет продолжаться до тех пор, пока выталкивающая сила не уменьшится настолько, что сделается равной силе веса, т.е. пока не будет . После этого тело будет плавать на поверхности.

§ 3.19. Условия плавучести и остойчивости тел,
частично погруженных в жидкость

Наличие условия необходимо для равновесия тела, погруженного в жидкость, но еще недостаточно. Для равновесия тела, кроме равенства , необходимо также, чтобы линии этих сил были направлены по одной прямой, т.е. совпадали (рис. 3.25 а).

Если тело однородно, то точки приложения указанных сил всегда совпадают и направлены по одной прямой. Если тело неоднородно, то точки приложения этих сил не совпадут и силы G и F z образуют пару сил (см. рис. 3.25 б, в). Под действием этой пары сил тело будет вращаться в жидкости до тех пор, пока точки приложения сил G и F z не окажутся на одной вертикали, т.е. момент пары сил будет равен нулю (рис.3.26).

Наибольший практический интерес представляет исследование условий равновесия тел, частично погруженных в жидкость, т.е. при плавании тел.

Способность плавающего тела, выведенного из состояния равновесия, вновь возвращаться в это состояние называется остойчивостью.

Рассмотрим условия, при которых плавающее на поверхности жидкости тело остойчиво.

На рис. 3.27 (а, б) C - центр тяжести (точка приложения равнодействующей сил веса G) ;
D - точка приложения равнодействующей выталкивающих сил F z ; M - метацентр (точка пересечения равнодействующей выталкивающих сил с осью плавания 00).

Дадим некоторые определения.

Вес жидкости, вытесненной погруженным в нее телом, называется водоизмещением.

Точка приложения равнодействующей выталкивающих сил называется центром водоизмещения (точка D ).

Расстояние MC между метацентром и центром водоизмещения называется метацентрическим радиусом.

Таким образом, плавающее тело имеет три характерные точки:

1. Центр тяжести C , не меняющий своего положения при крене.

2. Центр водоизмещения D , перемещающийся при крене тела, так как очертания объема, вытесняемого в жидкости, при этом меняются.

3. Метацентр M , также изменяющий свое положение при крене.

При плавании тела могут представиться следующие 3 основных случая в зависимости от относительного расположения центра тяжести C и метацентра M .

1. Случай остойчивого равновесия. В этом случае метацентр лежит выше центра тяжести (рис.3.27,а) и при крене пара сил G и F z стремится возвратить тело в первоначальное состояние (тело вращается против часовой стрелки).

2. Случай безразличного равновесия. В этом случае метацентр и центр тяжести совпадают и тело, выведенное из состояния равновесия, остается неподвижным.

3. Случай неостойчивого равновесия. Здесь метацентр лежит ниже центра тяжести (рис. 3.27,б) и образовавшаяся при крене пара сил вызывает вращение тела по часовой стрелке, что может привести к опрокидыванию плавающего средства.

Задача 1. Паровой прямодействующий насос подает жидкость Ж на высоту Н (рис. 3.28). Найти рабочее давление пара при следующих исходных данных: ; ; . Жидкость – вода (). Найти также силу, действующую на малый и большой поршни.

Решение. Найдем давление на малом поршне

Сила , действующая на малый поршень, будет

Эта же сила действует на большой поршень, т.е.

Задача 2. Определить силу прессования , развиваемую гидравлическим прессом, у которого диаметр большого поршня , а малого – , при следующих исходных данных (рис. 3.29):

Решение. Найдем силу , действующую на малый поршень. Для этого составим условие равновесия рычага пресса

Давление жидкости под малым поршнем будет

Давление жидкости под большим поршнем

По закону Паскаля давление в жидкости передается по всем направлениям без изменения. Отсюда или

Гидродинамика

Раздел гидравлики, в котором изучаются законы движения жидкости, называется гидродинамикой. При изучении движения жидкостей рассматриваются две основные задачи.

1. Заданы гидродинамические характеристики потока (скорость и давление); требуется определить силы, действующие на жидкость.

2. Заданы силы, действующие на жидкость; требуется определить гидродинамические характеристики потока.

Применительно к идеальной жидкости гидродинамическое давление имеет те же свойства и тот же смысл, что и гидростатическое давление. При анализе движения вязкой жидкости оказывается, что

где - действительные нормальные напряжения в рассматриваемой точке, относящиеся к трем произвольно намеченным в этой точке взаимно ортогональным площадкам. Гидродинамическим давлением в точке считают величину

При этом считается, что величина p не зависит от ориентировки взаимно ортогональных площадок.

В дальнейшем будет рассматриваться задача определения скорости и давления при известных силах, действующих на жидкость. Следует отметить, что скорость и давление для разных точек жидкости будут иметь различные величины и, кроме того, для данной точки пространства они могут изменяться во времени.

Для определения составляющих скорости по координатным осям , , и давления p в гидравлике рассматриваются следующие уравнения.

1. Уравнение несжимаемости и неразрывности движущейся жидкости (уравнение баланса расхода жидкости).

2. Дифференциальные уравнения движения (уравнения Эйлера).

3. Уравнение баланса удельной энергии потока (уравнение Бернулли).

Ниже будут приведены все эти уравнения, составляющие теоретическую базу гидродинамики, с предварительными пояснениями некоторых исходных положений из области кинематики жидкости.

§ 4.1. ОСНОВНЫЕ КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
ДВА МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

При изучении движения жидкости можно пользоваться двумя методами исследования. Первый метод, развитый Лагранжем и названный субстанциональным, заключается в том, что движение всей жидкости изучается путем исследования движения ее отдельных индивидуальных частиц.

Второй метод, развитый Эйлером и названный локальным, состоит в том, что движение всей жидкости изучается путем исследования движения в отдельных неподвижных точках, через которые протекает жидкость.

В гидродинамике применяются оба эти метода. Однако более распространен метод Эйлера, благодаря его простоте. По методу Лагранжа в начальный момент времени t 0 отмечают в жидкости определенные частицы и далее следят во времени за движением каждой отмеченной частицы и за ее кинематическими характеристиками. Положение каждой частицы жидкости в момент времени t 0 определяется тремя координатами в неподвижной системе координат, т.е. тремя уравнениями

где х , у , z - координаты частицы; t - время.

Для составления уравнений, характеризующих движение различных частиц потока, необходимо учитывать положение частиц в начальный момент времени, т.е. начальные координаты частиц.

Например, точка М (рис. 4.1) в момент времени t = 0 имеет координаты а , b , с . Соотношения (4.1) с учетом а , b , с примут вид

В соотношениях (4.2) начальные координаты а , b , с могут рассматриваться как независимые переменные (параметры). Следовательно, текущие координаты x , y , z некоторой движущейся частицы являются функциями переменных а , b , с, t , которые называются переменными Лагранжа.

При известных соотношениях (4.2) движение жидкости вполне определено. Действительно, проекции скорости на координатные оси определяются соотношениями (как первые производные от координат по времени)

Проекции ускорений находятся как вторые производные от координат (первые производные от скорости) по времени (соотношения 4.5).

Траектория любой частицы определяется непосредственно из уравнений (4.1) путем нахождения координат x , y , z выбранной частицы жидкости для ряда моментов времени.

По методу Эйлера изучение движения жидкости состоит: а) в исследовании изменений во времени векторных и скалярных величин в некоторой фиксированной точке пространства; б) в исследовании изменений этих величин при переходе от одной точки пространства к другой.

Таким образом, в методе Эйлера предметом изучения являются поля тех или иных векторных или скалярных величин. Полем какой-либо величины, как известно, называется часть пространства, в каждой точке которого имеется определенное значение этой величины.

Математически поле, например скоростное, описывается следующими уравнениями

т.е. скорость

является функцией координат и времени.

Переменные x , y , z , t называются переменными Эйлера.

Таким образом, в методе Эйлера движение жидкости характеризуется построением поля скоростей, т.е. картины движения в различных точках пространства в каждый данный момент времени. При этом скорости во всех точках определяются в виде функций (4.4).

Метод Эйлера и метод Лагранжа математически связаны между собой. Например, в методе Эйлера, частично используя метод Лагранжа, можно следить за движением частицы не в течение времени t (как это следует по Лагранжу), а в продолжение элементарного отрезка времени dt , в течение которого данная частица жидкости проходит через рассматриваемую точку пространства. При этом для определения проекций скорости на координатные оси можно будет пользоваться соотношениями (4.3).

Из (4.2) следует, что координаты x , y , z являются функциями времени. Тогда будут сложными функциями времени. По правилу дифференцирования сложных функций будем иметь

где – проекции ускорения движущейся частицы на соответствующие координатные оси.

Так как для движущейся частицы

Частные производные

называются проекциями локального (местного) ускорения.

Суммы вида

называется проекциями конвективного ускорения.

Полные производные

называются еще субстанциональными или индивидуальными производными.

Локальное ускорение определяет изменение во времени скорости в данной точке пространства. Конвективное ускорение определяет изменение скорости по координатам, т.е. при переходе из одной точки пространства в другую.

§ 4.2. Траектории частиц и линии тока

Траекторией движущейся частицы жидкости называется путь одной и той же частицы, прослеженной во времени. Изучение траекторий частиц лежит в основе метода Лагранжа. При исследовании движения жидкости по методу Эйлера общее представление о движении жидкости можно составить при помощи построения линий тока (рис. 4.2, 4.3). Линией тока называется такая линия, в каждой точке которой в данный момент времени t векторы скорости являются касательными к этой линии.

Рис.4.2.

Рис.4.3.

При установившемся движении (см. §4.3), когда уровень жидкости в емкости не изменяется (см. рис. 4.2), траектории частиц и линии тока совпадают. В случае неустановившегося движения (см. рис. 4.3) траектории частиц и линии тока не совпадают.

Следует подчеркнуть разницу между траекторией частицы и линией тока. Траектория относится лишь к одной определенной частице, изучаемой в течение определенного отрезка времени. Линия тока относится к определенной совокупности различных частиц, рассматриваемых в одно мгновение
(в данный момент времени).

УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ

Понятие установившегося движения вводится только при исследовании движения жидкости в переменных Эйлера.

Установившимся называется движение жидкости, при котором все элементы, характеризующие движение жидкости, в любой точке пространства не меняются во времени (см. рис. 4.2). Например, для составляющих скорости будем иметь

Так как величина и направление скорости движения в любой точке пространства при установившемся движении не меняются, то и линии тока не будут меняться во времени. Отсюда следует (как уже было отмечено в § 4.2), что при установившемся движении траектории частиц и линии тока совпадают.

Движение, при котором все элементы, характеризующие движение жидкости, в любой точке пространства меняются во времени, называется неустановившимся ( , рис. 4.3).

§ 4.4. СТРУЙЧАТАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ.
ТРУБКА ТОКА. РАСХОД ЖИДКОСТИ

Рассмотрим линию тока 1-2 (рис. 4.4). Проведем в точке 1 плоскость, перпендикулярную к вектору скорости u 1 . Возьмем в этой плоскости элементарный замкнутый контур l , охватывающий площадку d w. Через все точки этого контура проведем линии тока. Совокупность линий тока, проведенных через какой-либо контур в жидкости, образуют поверхность, называемую трубкой тока.

Рис. 4.4

Рис. 4.5

Совокупность линий тока, проведенных через все точки элементарной площадки d w, составляет элементарную струйку. В гидравлике применяется так называемая струйчатая модель движения жидкости. Поток жидкости рассматривается как состоящий из отдельных элементарных струек.

Рассмотрим поток жидкости, изображенный на рис.4.5. Объемным расходом жидкости через какую-либо поверхность называется объем жидкости, протекающий в единицу времени через данную поверхность.

Очевидно, элементарный расход будет

где n - направление нормали к поверхности.

Полный расход

Если провести через любую точку потока ортогональную линиям тока поверхность А, то . Поверхность, являющаяся геометрическим местом частиц жидкости, скорости которых перпендикулярны к соответствующим элементам этой поверхности, называется живым сечением потока и обозначается w.Тогда для элементарной струйки будем иметь

и для потока

Это выражение называют объемным расходом жидкости через живое сечение потока.

Примеры .

Средняя скорость в сечении потока - это такая, одинаковая для всех точек сечения скорость, при которой происходит тот же расход, какой фактически имеет место при действительных скоростях, различных для разных точек сечения. Например, в круглой трубе распределение скоростей при ламинарном течении жидкости представлено на рис. 4.9. Здесь - действительный профиль скорости при ламинарном течении.

Средняя скорость равна половине максимальной скорости (см. § 6.5)

§ 4.6. УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ В ПЕРЕМЕННЫХ ЭЙЛЕРА
В ДЕКАРТОВОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Уравнение неразрывности (сплошности) выражает закон сохранения массы и неразрывность течения. Для вывода уравнения выделим в массе жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx , dz , dz (рис. 4.10).

Пусть точка m с координатами x , y , z находится в центре этого параллелепипеда. Плотность жидкости в точке m будет .

Подсчитаем массу жидкости, втекающей в параллелепипед и вытекающей из него через противоположные грани за время dt . Масса жидкости, втекающей через левую грань за время dt в направлении оси x , равна

где r 1 и (u x) 1 - плотность и проекция скорости на ось x в точке 1.

Функция является непрерывной функцией координаты x . Разлагая эту функцию в окрестности точки m в ряд Тэйлора с точностью до бесконечно малых первого порядка, для точек 1 и 2 на гранях параллелепипеда получим следующие ее значения

т.е. средние скорости потока обратно пропорциональны площадям живых сечений потока (рис. 4.11). Объемный расход Q несжимаемой жидкости остается постоянным вдоль канала.

§ 4.7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ
(НЕВЯЗКОЙ) ЖИДКОСТИ (УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА)

Невязкой или идеальной жидкостью называется жидкость, частицы которой обладают абсолютной подвижностью. Такая жидкость неспособна сопротивляться сдвигающим усилиям и поэтому касательные напряжения в ней будут отсутствовать. Из поверхностных сил в ней будут действовать только нормальные усилия.

в движущейся жидкости называется гидродинамическим давлением. Гидродинамическое давление обладает следующими свойствами.

1. Оно действует всегда по внутренней нормали (сжимающее усилие).

2. Величина гидродинамического давления не зависит от ориентировки площадки (что доказывается аналогично второму свойству гидростатического давления).

На основании этих свойств можно считать, что . Таким образом, свойства гидродинамического давления в невязкой жидкости идентичны свойствам гидростатического давления. Однако величина гидродинамического давления определяется по уравнениям, отличным от уравнений гидростатики.

Для вывода уравнений движения жидкости выделим элементарный параллелепипед в массе жидкости с ребрами dx , dy , dz (рис. 4.12). Пусть точка m с координатами x,y,z находится в центре этого параллелепипеда. Давление в точке m будет . Компоненты массовых сил, отнесенных к единице массы, пусть будут X ,Y ,Z.

Запишем условие равновесия сил, действующих на элементарный параллелепипед, в проекции на ось x

, (4.9)

где F 1 и F 2 – силы гидростатического давления; F m – равнодействующая массовых сил тяжести; F и – равнодействующая сил инерции.

Большой практический интерес представляет местоположение точки приложения силы суммарного гидростатического давления. Эта точка называется центром давления.

В соответствии с основным уравнением гидростатики сила давления F 0 =p 0 ·ω , действующая на поверхность жидкости, равномерно распределяется по всей площадке, вследствие чего точка приложения суммарной силы поверхностного давления совпадает с центром тяжести площадки. Место приложения суммарной силы избыточного гидростатического давления, неравномерно распределяющегося по площади, не будет совпадать с центром тяжести площадки.

При р 0 =р атм положение центра давления зависит только от величины силы избыточного давления, поэтому положение (ординату) центра давления будем определять с учетом только этой силы. Для этого воспользуемся теоремой моментов: момент равнодействующей силы относительно произвольной оси равен сумме моментов составляющих ее сил относительно той же оси. За ось моментов примем линию уреза жидкости ОХ´ (рисунок 1.14).

Составим уравнение равновесия момента равнодействующей силы F и моментов составляющих сил dF , т.е. М р =М сс :

М р =F·y цд ; dM cc =dF·y . (1.45)

В формулах (1.45)

где – момент инерции площадки относительно оси Х .

Тогда момент составляющих сил

М сс =γ· sinα·I x .

Приравнивая значения моментов сил М р и М сс , получим

,

Момент инерции I x может быть определен по формуле

I x =I 0 +ω· , (1.49)

где I 0 – момент инерции смоченной фигуры, вычисленный относительно оси, проходящей через центр ее тяжести.

Подставляя значение I х в формулу (1.48) получим

. (1.50)

Следовательно, центр избыточного гидростатического давления расположен ниже центра тяжести рассматриваемой площадки на величину .

Поясним использование полученных выше зависимостей на следующем примере. Пусть на плоскую прямоугольную вертикальную стенку высотой h и шириной b действует жидкость, глубина которой перед стенкой равна h .