Имея общее представление об умножении натуральных чисел и их свойств, легче понять принцип выполнений действий над ними. Мы разберем правила, по которым производится умножение натуральных чисел. Весь материал имеет конкретные примеры и подробные объяснения. Совершим проверки результатов для того, чтобы сверить полученные на выходе числа.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Умножая два натуральных числа, получаем результат, который производится при умножении однозначных натуральных чисел. Произведение чисел 6 и 3 приравнивается к сумме, состоящей из трех слагаемых, равных числу 6 . Иначе это запишем: 6 · 3 = 6 + 6 + 6 = 18 . Таким же образом получены все результаты умноженных однозначных натуральных чисел. Все занесены в таблицу, приведенную ниже.
Это и есть таблица умножения. Все результаты сгруппированы для удобного дальнейшего применения. Таблица сложения натуральных чисел выглядит подобным образом. Она предоставлена ниже.
Чтобы выяснить, как пользоваться таблицей, приведем пример. Если необходимо найти произведение 6 и 8 , необходимо отметить столбец верхней ячейки, где имеем 6 (8) , и строку левой ячейки, где число 8 (6) . Чтобы найти результат, следует найти их общую ячейку, то есть пересечение столбца и строки. На рисунке ниже изображен пример нахождения искомого умножения 6 и 8 .
Умножение трех и более количества чисел
Мы дали определение понятию умножения двух чисел. Теперь поговорим об умножении трех и более имеющихся чисел. Таким образом, в такой ситуации применимо сочетательное свойство умножения натуральных чисел.
Сочетательное свойство умножения показывает равнозначность двух произведений a · (b · c) и (a · b) · c , где a , b и c могут быть любыми числами. Результат умножения данных чисел не будет зависеть от местоположения скобок. Поэтому чаще всего при произведении скобки отсутствуют, а запись имеет вид a · b · c . Данное выражение называют произведением трех чисел, причем все входящие в него числа – множители.
Сочетательное свойство умножения необходимо для того, чтобы легче было выявлять равные произведения. Это значит, что из приведенных (a · b) · (c · d) , (a · (b · c)) · d , ((a · b) · c) · d , a · (b · (c · d)) и a · ((b · c) · d) можно сделать вывод, что они все равные. Положение скобок при умножении не играет роли. Это произведение может быть записано в виде a · b · c · d .
Обычно скобки опускаются при умножении. Произведение нескольких трех и более чисел без скобок приводит к последовательной замене двух соседних множителей до получения необходимого результата. Скобки могут быть расставлены произвольно, так как итог произведения не изменится.
Если взять пять натуральных чисел и записать их в виде произведения, то получим 2 · 1 · 3 · 1 · 8 . Имеется два основных способы решения.
Первый способ заключается в том, что два множителя слева будут последовательно заменяться произведением. Тогда получим, что 2 · 1 · 3 · 1 · 8 = 2 · 3 · 1 · 8 . Так как 2 · 3 = 6 , то 2 · 3 · 1 · 8 = 6 · 1 · 8 . Далее имеем, что 6 · 1 = 6 , тогда в итоге получим результат 6 · 8 = 48 . Умножение пяти заданных чисел будет равняться 48 . Этот способ записывается, как (((2 · 1) · 3) · 1) · 8 .
Второй способ заключается в том, что скобки располагаются таким образом ((2 · 1) · 3) · (1 · 8) . Имеем, что 2 · 1 = 2 и 1 · 8 = 8 , то ((2 · 1) · 3) · (1 · 8) = (2 · 3) · 8 . При 2 · 3 равном 6 получим, что (2 · 3) · 8 = 6 · 8 . В итоге получим, что 6 · 8 = 48 . Отсюда следует, что 2 · 1 · 3 · 1 · 8 = 48 .
Порядок следования множителей не влияет на результат. Множители могут быть записаны в любом порядке. Это следует из свойств умножения натуральных чисел.
Пример 1
Даны четыре числа для умножения: 3 , 9 , 2 , 1 . Их произведение записывается в виде 3 · 9 · 2 · 1 .
При замене произведения множителей 3 и 9 или 9 и 2 получим, что следующий этап необходимо будет произвести умножение двузначных чисел 27 и 18 .
Чтобы избежать это, необходимо поменять слагаемые местами, иначе расставить скобки.
Тогда получим: 3 · 9 · 2 · 1 = 3 · 2 · 9 · 1 = (3 · 2) · (9 · 1) = 6 · 9 = 54 .
При перемене мест множителей можно производить наиболее удобные комбинирования для вычисления. Рассмотрим задание, где решение приводит к умножению нескольких чисел.
Пример 2
Каждая коробка имеет по 3 предмета. В ящики положили 2 коробки. Какое количество предметов будет в 4 ящиках?
Решение
Нам дано, что в одном ящике 2 коробки, а в них соответственно по 3 предмета.
Тогда в одном ящике 3 · 2 = 6 предметов. Отсюда получим, что в 4 ящиках 6 · 4 = 24 предмета. Можно рассуждать иным образом. Один ящик вмещает в себя 2 коробки, отсюда в 4 ящиках 2 · 4 = 8 коробок. Каждая из коробок имеет 3 предмета, тогда имеем, что 8 коробок содержат 3 · 8 = 24 предмета.
Эти решения можно записать таким образом (3 · 2) · 4 = 6 · 4 = 24 или 3 · (2 · 4) = 3 · 8 = 24 .
Делаем вывод, что искомое количество предметов – это произведение 3 , 2 , 4 , а значит, что 3 · 2 · 4 = 24 .
Ответ: 24 .
Подведем итоги.
При умножении трех и более чисел действия производятся последовательно. Используя переместительное и сочетательное свойства умножения, разрешается менять местами множителями и заменять их двумя другими умножаемыми числами.
Умножение суммы на натуральное число и наоборот
Благодаря распределительному свойству умножения сложение и умножение связаны. Это помогает в изучении сложения и умножения. Свойство способствует углубиться в изучение всех действий.
Если рассматривать распределительное свойство умножения относительно сложения, то получим такой вид записи с двумя слагаемыми: (a + b) · c = a · c + b · c , где a , b , c являются произвольными натуральными числами. Исходя из данного равенства при помощи метода математической индукции докажем справедливость предложенного (a + b + c) · d = a · d + b · d + c · d , (a + b + c + d) · h = a · h + b · h + c · h + d · h и т.д., где a , b , c , d , h являются натуральными числами.
Отсюда следует, что произведение суммы нескольких чисел и данного числа равна сумме произведений каждого из слагаемых с данным числом. Это правило применимо при умножении на заданное число.
Если взять сумму из пяти чисел 7 , 2 , 3 , 8 , 8 на 3 , получим, что (7 + 2 + 3 + 8 + 8) · 3 = 7 · 3 + 2 · 3 + 3 · 3 + 8 · 3 + 8 · 3 . Отсюда имеем, что 7 · 3 = 21 , 2 · 3 = 6 , 3 · 3 = 9 , 8 · 3 = 24 , то 7 · 3 + 2 · 3 + 3 · 3 + 8 · 3 + 8 · 3 = 21 + 6 + 9 + 24 + 24 , после чего находим сумму чисел 21 + 6 + 9 + 24 + 24 = 84 .
Можно было сделать вычисления иначе, тогда следовало посчитать сумму, после чего умножение. Этот случай менее удобен, так как умножение двухзначного числа 7 + 2 + 3 + 8 + 8 = 28 на 3 мы пока не выполняли. Умножение двухзначных чисел – это тема, показанная в разделе умножения многозначного и однозначного натуральных чисел.
Используя переместительное свойство, мы можем переформулировать правило умножения суммы чисел на заданное число таким образом: произведение данного числа и суммы нескольких чисел равняется сумме произведений данного числа и каждого из слагаемых. Это правило умножения данного числа на заданную сумму.
Например, 2 · (6 + 1 + 3) = 2 · 6 + 2 · 1 + 2 · 3 = 12 + 2 + 6 = 20 . Здесь применяем правила умножения числа на сумму.
Рассмотрим конкретный пример, где умножение решение сводится к умножению суммы чисел на данное число.
Пример 3
В коробке находятся по 3 красных, 7 зеленых и 2 синих предмета. Какой количество предметов имеется во всех четырех коробках?
Решение
Для определения количества предметов в одной коробке, вычислим 3 + 7 + 2 . Отсюда следует, что четыре коробки содержат в 4 раза больше, значит, (3 + 7 + 2) · 4 предметов.
Находим произведение суммы на число, применив полученное правило, тогда (3 + 7 + 2) · 4 = 3 · 4 + 7 · 4 + 2 · 4 = 12 + 28 + 8 = 48 .
Ответ: 48 предметов.
Умножение натурального числа на 10, 100, 1000 и так далее
Чтобы получить правило произвольного умножения натурального числа на 10 , рассмотрим подробно.
Натуральные числа вида 20 , 30 , 40 , … , 90 соответствуют 2 , 3 , 4 , … , 9 десяткам. Это значит, что 20 = 10 + 10 , 30 = 10 + 10 + 10 , … отсюда следует, что умножением двух натуральных чисел их смысл суммы должен быть идентичным, тогда получим 2 · 10 = 20 , 3 · 10 = 30 , . . . , 9 · 10 = 90 .
Таким же образом можно прийти к следующим неравенствам:
2 · 100 = 200 , 3 · 100 = 300 , . . . , 9 · 100 = 900 ; 2 · 1 000 = 2 000 , 3 · 1 000 = 3 000 , . . . , 9 · 1 000 = 9 000 ; 2 · 10 000 = 20 000 , 3 · 10 000 = 30 000 , . . . , 9 · 10 000 = 90 000 ; . . .
Выходит, что десяток десятков – это сотня, то 10 · 10 = 100 ;
что десяток сотен – это тысяча, тогда 100 · 10 = 1 000 ;
что десяток тысяч – это десять тысяч, то 1 000 · 10 = 10 000 .
Исходя из рассуждений, получим 10 000 · 10 = 100 000 , 100 000 · 10 = 1 000 000 , …
рассмотрим пример для формулировки правила умножения произвольного натурального числа на 10.
Пример 4
Необходимо произвести умножение натурального числа 7032 на 10 .
Решение
Применим правило умножения суммы на число из предыдущего пункта, тогда получим 7 032 · 10 = (7 000 + 30 + 2) · 10 = 7 000 · 10 + 30 · 10 + 2 · 10 . Число 7000 можно представить в виде произведения 7 · 1 000 , число 30 произведением 3 · 10 .
Отсюда получим, что сумма 7 000 · 10 + 30 · 10 + 2 · 10 будет равна сумме (7 · 1 000) · 10 + (3 · 10) · 10 + 2 · 10 . Тогда сочетательное свойство умножения можно зафиксировать, как (7 · 1 000) · 10 + (3 · 10) · 10 + 2 · 10 = 7 · (1 000 · 10) + 3 · (10 · 10) + 2 · 10 .
Отсюда получим, что 7 · (1 000 · 10) + 3 · (10 · 10) + 2 · 10 = 7 · 10 000 + 3 · 100 + 2 · 10 = 70 000 + 300 + 20 . Сумма, полученная в результате, представляет собой разложение по рядам числа 70320: 70 000 + 300 + 20 .
Ответ: 7 032 · 10 = 70 320 .
Аналогичным способом мы можем умножить любое натуральное число на 10 . В таких случаях запись всегда будет оканчиваться на 0 .
Приведенные примеры и рассуждения дают возможность перейти к правилу умножения произвольного натурального число на 10 . Если в конце записи дописать цифру 0 , тогда заданное число будет служить результатом умножения на 10 . Когда в записи натурального числа дописывают 0 , то полученное число применяется как результат умножения на 10 .
Приведем примеры: 4 · 10 = 40 , 43 · 10 = 430 , 501 · 10 = 5 010 , 79 020 · 10 = 790 200 и так далее.
Основываясь на правиле умножения натурального числа на 10 , можно получить умножение произвольного числа на 100 , 1000 и выше.
Если 100 = 10 · 10 ,тогда умножение натурального числа на 100 приводит к умножению числа на 10 и еще одному умножению на 10 .
Тогда получим:
17 · 100 = 17 · 10 · 10 = 170 · 10 = 1 700 ; 504 · 100 = 504 · 10 · 10 = 5 040 · 10 = 50 400 ; 100 497 · 100 = 100 497 · 10 · 10 = 1 004 970 · 10 = 10 049 700 .
Если полученная запись имеет на 2 цифры 0 больше, тогда считается, что это результат умножения всего числа на 100 . Это и называется правилом умножения числа на 100 .
Произведение 1 000 = 100 · 10 , тогда умножение любого натурального числа на 1000 приводит к умножению заданного числа на 100 и еще одному умножению на 10 . Отсюда следует, что это правило умножения произвольного натурального числа на 1000 . Когда в записи имеется 3 цифры 0 , тогда считают, что это результат умножения числа на 1000 .
Таким же образом производится умножение на 10000 , 100000 и так далее. Идет дописывание нулей в конце числа.
В качестве примера запишем:
58 · 1 000 = 58 000 ; 6 032 · 1 000 000 = 6 032 000 000 ; 777 · 10 000 = 7 770 000 .
Умножение многозначного и однозначного натуральных чисел
Имея навыки для выполнения умножения, разберем все правила на примере.
Пример 5
Найти произведение трехзначного числа 763 на 5 .
Решение
Для начала представляем число в виде суммы разрядных слагаемых. Здесь получим, что 763 = 700 + 60 + 3 . Отсюда получим, что 763 · 5 = (700 + 60 + 3) · 5 .
Используя правило умножения суммы на число, получим, что:
(700 + 60 + 3) · 5 = 700 · 5 + 60 · 5 + 3 · 5 .
Произведения 700 = 7 · 100 и 60 = 6 · 10 и сумма 700 · 5 + 60 · 5 + 3 · 5 записывается, как (7 · 100) · 5 + (6 · 10) · 5 + 3 · 5 .
Применив переместительное и сочетательное свойство, получим (7 · 100) · 5 + (6 · 10) · 5 + 3 · 5 = (5 · 7) · 100 + (5 · 6) · 10 + 3 · 5 .
Так как 5 · 7 = 35 , 5 · 6 = 30 и 3 · 5 = 15 , то (5 · 7) · 100 + (5 · 6) · 10 + 3 · 5 = 35 · 100 + 30 · 10 + 15 .
Выполняем умножение на 100 , на 10 . После этого выполняем сложение 35 · 100 + 30 · 10 + 15 = 3 500 + 300 + 15 = 3 815
Ответ:произведение 763 и 5 = 3815 .
Чтобы закрепить материал, необходимо рассмотреть пример умножения.
Пример 6
Найти произведение 3 и 104558 .
Решение
3 · 104 558 = 3 · (100 000 + 4 000 + 500 + 50 + 8) = = 3 · 100 000 + 3 · 4 000 + 3 · 500 + 3 · 50 + 3 · 8 = = 3 · 100 000 + 3 · (4 · 1 000) + 3 · (5 · 100) + 3 · (5 · 10) + 3 · 8 = = 3 · 100 000 + (3 · 4) · 1 000 + (3 · 5) · 100 + (3 · 5) · 10 + 3 · 8 = = 3 · 100 000 + 12 · 1 000 + 15 · 100 + 15 · 10 + 3 · 8 = = 300 000 + 12 000 + 1 500 + 150 + 24 = 313 674 .
Ответ: результат умножения 3 и 104558 = 313674 .
Умножение двух многозначных натуральных чисел
Умножение двух многозначных натуральных чисел производится таким образом, что один из множителей раскладывается по разрядам, после этого применяют правило умножения на сумму. Изучение предыдущих статей позволит быстрее разобраться с имеющимся разделом.
Пример 7
Вычислить произведение 41 и 3806 .
Решение
Необходимо произвести разложение числа 3806 по разрядам 3000 + 800 + 6 , тогда 41 · 3 806 = 41 · (3 000 + 800 + 6) .
Правило умножения применимо для 41 · (3 000 + 800 + 6) = 41 · 3 000 + 41 · 800 + 41 · 6 .
Так как 3 000 = 3 · 1 000 и 800 = 8 · 100 , тогда справедливо равенство 41 · 3 000 + 41 · 800 + 41 · 6 = 41 · (3 · 1 000) + 41 · (8 · 100) + 41 · 6 .
Сочетательное свойство способствует записи последней суммы (41 · 3) · 1 000 + (41 · 8) · 100 + 41 · 6 .
Вычисляя произведения 41 · 3 , 41 · 8 и 41 · 6 , представляем его в виде суммы
41 · 3 = (40 + 1) · 3 = 40 · 3 + 1 · 3 = (4 · 10) · 3 + 1 · 3 = (3 · 4) · 10 + 1 · 3 = 12 · 10 + 3 = 120 + 3 = 123 ; 41 · 8 = (40 + 1) · 8 = 40 · 8 + 1 · 8 = (4 · 10) · 8 + 1 · 8 = (8 · 4) · 10 + 1 · 8 = 32 · 10 + 8 = 320 + 8 = 328 ; 41 · 6 = (40 + 1) · 6 = 40 · 6 + 1 · 6 = (4 · 10) · 6 + 1 · 6 = (6 · 4) · 10 + 1 · 6 = 24 · 10 + 6 = 240 + 6 = 246
Получим, что
(41 · 3) · 1 000 + (41 · 8) · 100 + 41 · 6 = 123 · 1 000 + 328 · 100 + 246 = 123 000 + 32 800 + 246
Вычислим сумму натуральных чисел:
123 000 + 32 800 + 246 = 156 046
Ответ: Произведение 41 и 3806 = 156046 .
Теперь умеем умножать два любых натуральных числа.
Умножение всегда требует проверки. Она производится при помощи деления по правилу: полученное произведение делят на один из множителей. Если полученное число равно одному из множителей, тогда вычисление произведено правильно. Если нет, то допущена ошибка.
Пример 8
Произвести умножение 11 на 13 , равное 143 . Необходимо выполнить проверку.
Решение
Проверка производится посредством деления 143 на 11 . Тогда получим, что 143: 11 = (110 + 33) : 11 = 110: 11 + 33: 11 = 10 + 3 = 13 .
Если получим число, равное одному из множителей, тогда задание решено верно.
Пример 9
Произведено умножение 37 на 14 . Результат равен 528 . Выполнить проверку.
Решение
Для выполнения проверки необходимо разделить 528 на 37 . Должны получить число 14 . Производится делением столбиком:
При делении мы выявили, что 528 делится на 37 , но с остатком. Отсюда следует, что умножение 37 на 14 было выполнено неверно.
Ответ: проверка показала, что умножение было выполнено неверно.
Пример 10
Вычислить произведение чисел 53 и 7 , после чего выполнить проверку.
Решение
Представляем число в виде суммы 50 + 3 . Применим свойство умножения суммы двух чисел на натуральное число. Получим, что 53 · 7 = (50 + 3) · 7 = 50 · 7 + 3 · 7 = 350 + 21 = 371 .
Для выполнения проверки, разделим 371 на 7: 371: 7 = (350 + 21) : 7 = 350: 7 + 21: 7 = 50 + 3 = 53 . Значит, умножение произведено верно.
Ответ: 53 · 7 = 371 .
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Если концертный зал освещается 3 люстрами по 25 лампочек в каждой, то всего лампочек в этих люстрах будет 25 + 25 + 25, то есть 75.
Сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, записывают короче: вместо 25 + 25 + 25 пишут 25 3. Значит, 25 3 = 75 (рис. 43). Число 75 называют произведением чисел 25 и 3, а числа 25 и 3 называют множителями .
Рис. 43. Произведение чисел 25 и 3
Умножить число m на натуральное число n – значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.
Выражение m n и значение этого выражения называют произведением чисел m и n . Числа, которые перемножают называют множителями . Т.е. m и n – множители.
Произведения 7 4 и 4 7 равны одному и тому же числу 28 (рис. 44).
Рис. 44. Произведение 7 4 = 4 7
1. Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей .
переместительным
a × b = b × a .
Произведения (5 3) 2 = 15 2 и 5 (3 2) = 5 6 имеют одно и то же значение 30. Значит, 5 (3 2) = (5 3) 2 (рис. 45).
Рис. 45. Произведение (5 3) 2 = 5 (3 2)
2. Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первым множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.
Это свойство умножения называют сочетательным . С помощью букв его записывают так:
а (b с) = (а b с).
Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n. Поэтому верно равенство 1 n = n.
Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю. Поэтому верно равенство 0 n = 0.
Чтобы переместительное свойство умножения было верно при n = 1 и n = 0, условились, что m 1 = m и m 0 = 0.
Перед буквенными множителями обычно не пишут знак умножения: вместо 8 х пишут 8х , вместо а b пишут а b .
Опускают знак умножения и перед скобками. Например, вместо 2 (а + b ) пишут 2(а+ b ) , а вместо (х + 2) (у + 3) пишут (х + 2) (у + 3).
Вместо (ab ) с пишут abc .
Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо.
Произведения читают, называя каждый множитель в родительном падеже. Например:
1) 175 60 – произведение ста семидесяти пяти и шестидесяти;
2) 80 (х + 1 7) – произведение р.п. р.п.
восьмидесяти и суммы икс и семнадцати
Решим задачу.
Сколько трехзначных чисел (рис. 46) можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, если цифры в записи числа не повторяются?
Решение.
Первой цифрой числа может быть любая из четырех данных цифр, второй – любая из трех других, а третьей – любая из двух оставшихся. Получается:
Рис. 46. К задаче о составлении трехзначных чисел
Всего из данных цифр можно составить 4 3 2 = 24 трехзначных числа.
Решим задачу.
В правление фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами это можно сделать?
Решение.
Президентом фирмы можно избрать одного из 5 человек:
Президент:
После того как президент избран, вице-президентом можно выбрать любого из четырех оставшихся членов правления (рис. 47):
|
Рис. 47. К задаче о выборах
Значит, выбрать президента можно пятью способами, и для каждого выбранного президента четырьмя способами можно выбрать вице-президента. Следовательно, общее число способов выбрать президента и вице-президента фирмы равно: 5 4 = 20 (см. рис. 47).
Решим еще задачу.
Из села Аникеево в село Большово ведут четыре дороги, а из села Большово в село Виноградове – три дороги (рис. 48). Сколькими способами можно добраться из Аникеева в Виноградове через село Большово?
Рис. 48. К задаче о дорогах
Решение.
Если из А в Б добираться по 1-й дороге, то продолжить путь есть три способа (рис. 49).
Рис. 49. Варианты пути
Точно так же рассуждая, получаем по три способа продолжить путь, начав добираться и по 2-й, и по 3-й, и по 4-й дороге. Значит, всего получается 4 3 = 12 способов добраться из Аникеева в Виноградове.
Решим еще одну задачу.
Семье, состоящей из бабушки, папы, мамы, дочери и сына, подарили 5 разных чашек. Сколькими способами можно разделить чашки между членами семьи?
Решение . У первого члена семьи (например, бабушки) есть 5 вариантов выбора, у следующего (пусть это будет папа) остается 4 варианта выбора. Следующий (например, мама) будет выбирать уже из 3 чашек, следующий – из двух, последний же получает одну оставшуюся чашку. Покажем эти способы на схеме (рис. 50).
Рис. 50. Схема к решению задачи
Получили, что каждому выбору чашки бабушкой соответствует четыре возможных выбора папы, т.е. всего 5 4 способов. После того как папа выбрал чашку, у мамы есть три варианта выбора, у дочери – два, у сына – один, т.е. всего 3 2 1 способов. Окончательно получаем, что для решения задачи надо найти произведение 5 4 3 2 1.
Заметим, что получили произведение всех натуральных чисел от 1 до 5. Такие произведения записывают короче:
5 4 3 2 1 = 5! (читают: «пять факториал»).
Факториал числа – произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа.
Итак, ответ задачи: 5! = 120, т.е. чашки между членами семьи можно распределить ста двадцатью способами.
Рассмотрим пример, подтверждающий справедливость переместительного свойства умножения двух натуральных чисел. Отталкиваясь от смысла умножения двух натуральных чисел , вычислим произведение чисел 2 и 6 , а также произведение чисел 6 и 2 , и проверим равенство результатов умножения. Произведение чисел 6 и 2 равно сумме 6+6 , из таблицы сложения находим 6+6=12 . А произведение чисел 2 и 6 равно сумме 2+2+2+2+2+2 , которая равна 12 (при необходимости смотрите материал статьи сложение трех и большего количества чисел). Следовательно, 6·2=2·6 .
Приведем рисунок, иллюстрирующий переместительное свойство умножения двух натуральных чисел.
Сочетательное свойство умножения натуральных чисел.
Озвучим сочетательное свойство умножения натуральных чисел: умножить данное число на данное произведение двух чисел – это то же самое, что умножить данное число на первый множитель, и полученный результат умножить на второй множитель . То есть, a·(b·c)=(a·b)·c , где a , b и c могут быть любыми натуральными числами (в круглые скобки заключены выражения, значения которых вычисляются в первую очередь).
Приведем пример для подтверждения сочетательного свойства умножения натуральных чисел. Вычислим произведение 4·(3·2) . По смыслу умножения имеем 3·2=3+3=6 , тогда 4·(3·2)=4·6=4+4+4+4+4+4=24 . А теперь выполним умножение (4·3)·2 . Так как 4·3=4+4+4=12 , то (4·3)·2=12·2=12+12=24 . Таким образом, справедливо равенство 4·(3·2)=(4·3)·2 , подтверждающее справедливость рассматриваемого свойства.
Покажем рисунок, иллюстрирующий сочетательное свойство умножения натуральных чисел.
В заключении этого пункта отметим, что сочетательное свойство умножения позволяет однозначно определить умножение трех и большего количества натуральных чисел .
Распределительное свойство умножения относительно сложения.
Следующее свойство связывает сложение и умножение. Оно формулируется так: умножить данную сумму двух чисел на данное число – это то же самое, что сложить произведение первого слагаемого и данного числа с произведением второго слагаемого и данного числа . Это так называемое распределительное свойство умножения относительно сложения.
С помощью букв распределительное свойство умножения относительно сложения записывается как (a+b)·c=a·c+b·c (в выражении a·c+b·c сначала выполняется умножение, после чего – сложение, подробнее об этом написано в статье ), где a , b и c – произвольные натуральные числа. Отметим, что силу переместительного свойства умножения, распределительное свойство умножения можно записать в следующем виде: a·(b+c)=a·b+a·c .
Приведем пример, подтверждающий распределительное свойство умножения натуральных чисел. Проверим справедливость равенства (3+4)·2=3·2+4·2 . Имеем (3+4)·2=7·2=7+7=14 , а 3·2+4·2=(3+3)+(4+4)=6+8=14 , следовательно, равенство (3+4)·2=3·2+4·2 верно.
Покажем рисунок, соответствующий распределительному свойству умножения относительно сложения.
Распределительное свойство умножения относительно вычитания.
Если придерживаться смысла умножения, то произведение 0·n
, где n
– произвольное натуральное число, большее единицы, представляет собой сумму n
слагаемых, каждое из которых равно нулю. Таким образом, 
. Свойства сложения позволяют нам утверждать, что последняя сумма равна нулю.
Таким образом, для любого натурального числа n выполняется равенство 0·n=0 .
Чтобы оставалось справедливым переместительное свойство умножения примем также справедливость равенства n·0=0 для любого натурального числа n .
Итак, произведение нуля и натурального числа равно нулю , то есть 0·n=0 и n·0=0 , где n – произвольное натуральное число. Последнее утверждение представляет собой формулировку свойства умножения натурального числа и нуля.
В заключении приведем пару примеров, связанных с разобранным в этом пункте свойством умножения. Произведение чисел 45 и 0 равно нулю. Если умножить 0 на 45 970 , то тоже получим нуль.
Теперь можно смело начинать изучение правил, по которым проводится умножение натуральных чисел .
Список литературы.
- Математика. Любые учебники для 1, 2, 3, 4 классов общеобразовательных учреждений.
- Математика. Любые учебники для 5 классов общеобразовательных учреждений.
Видеоурок «Умножение натуральных чисел и его свойства» представляет учебный материал для проведения урока математики в 5 классе. В ходе демонстрации видеоурока ученики осваивают тему умножения натуральных чисел, рассматривают и запоминают свойства умножения. После рассмотрения наглядного материала, объясняющего особенности операции и ее свойств, с целью усвоения материала рассматриваются примеры, ученики отвечают на вопросы, с помощью которых учитель может выявить недостаточное понимание темы учениками.
Видеоурок составляется с помощью инструментов, которые делают его эффективным методом обучения. В демонстрацию включаются иллюстрации, используются анимационные эффекты. Текст окрашивается различными цветами, поэтому понятия легко запоминаются. Так как видео озвучено, есть возможность вставить важные комментарии, комплексно охватить внимание ученика и удерживать его на обучении.
Урок начинается с представления темы урока. Смысл операции умножения раскрывается на примере. На экране демонстрируются три люстры, каждая из которых содержит 25 лампочек. Отмечается, что учитывая данные, можно сделать вывод, что для освещения концертного зала необходимо зажечь 25+25+25=75 лампочек. Затем демонстрируется короткая запись выражения, в котором складываются одинаковые слагаемые 25·3=75 и отмечается, что такое выражение дает произведение 75. С помощью указателя отмечается, как математически правильно называются члены произведения - множитель, еще множитель, произведение.
Затем суть операции умножения записывается в общем виде. На экране описывается, что умножить одно число m на другое nозначает найти сумму числа nслагаемых, при этом каждое равно m. При этом m· n -произведение, участвующие в нем члены - множители.
Еще один иллюстрированный пример показывает, что произведение двух чисел в любом порядке дает одно и то же число. Например, 4·7=7·4=28. На иллюстрации демонстрируются четыре ряда красных кружков. Их общее количество можно подсчитать, представляя 4 ряда по 7 элементов или 7 столбцов по 4 элементов. Независимо от этого получим 28. Так ученики подводятся к понятию переместительного свойства умножения. Ниже приводится его формулировка о том, что при перестановке множителей, их произведение неизменно. Демонстрируется также буквенное обозначение переместительного свойства для некоторых a и b, то есть a·b=b·a.
Аналогично вводится понятие сочетательного свойства умножения. На иллюстрации демонстрируются кружки двух цветов в одинаковом количестве. Каждый цвет представлен пятью рядами и тремя столбиками. Ниже демонстрируется подсчет их количества (5·3)·2=5·(3·2)=30. Предлагается рассмотреть, как формируются данные произведения - в первом случае подсчет ведется каждого цвета, а затем произведение умножается на 2, а во втором случае сначала просчитывается число кружков в трех столбцах и двух рядах, а затем умножается на количество таких групп. Ниже представляется название свойства и его формулировка. В тексте указано, чтобы умножить некоторое число на произведение других двух чисел, то его нужно умножить на І множитель, а затем это произведение умножить на ІІ множитель. Ниже представляется буквенное описание сочетательного свойства a·(b·c)=(a·b)·c.
Далее представляются свойства умножения при умножении числа на 1 и при умножении на нуль. Сначала рассматривается сумма единиц в количестве nштук. Отмечается, что иначе можно записать 1· n. Это выражение в результате вычисления дает n. Аналогично рассматривается умножение числа на нуль. Представлена сумма n нулей. Коротко она записывается 0· n. В сумме нули дают нуль, поэтому 0· n=0. Также описаны частные случаи, если n=1, n=0. Отмечается, что в этом случае условились считать m·1= m, m·0=0.
Описываются случаи, когда в математической записи допускается не записывать знак умножения. На экране представлены примеры таких записей - произведение числа и буквенной переменной, двух буквенных переменных, числа перед скобками с суммой буквенных переменных, двух смешанных выражений в скобках, а также произведение трех чисел. В последнем случае описана также возможность опустить скобки. Отмечается, что при перемножении трех чисел без скобок операция умножения выполняется по порядку слева направо.
В конце урока ученикам для усвоения материала предлагается ответить на 9 вопросов, которые охватывают все основные положения изученного во время просмотра материала. Среди них вопросы о смысле операции умножения, названии членов произведения двух чисел, результате умножения 0· n и 1· n, переместительном, сочетательном свойствах умножения, возможности опустить знак умножения и результате произведений m·1, m·0.
Видеоурок «Умножение натуральных чисел и его свойства» предназначен для обеспечения наглядности обучения математике, повышения эффективности урока традиционной формы обучения. Также данный материал может помочь сформировать нужные знания и умения у ученика при дистанционном обучении. Если есть потребность в самостоятельном обучении на дому, в видео развернуто и понятно объясняется тема, что позволит ученику также освоить ее самостоятельно.
Разберем понятие умножение на примере:
Туристы находились в пути три дня. Каждый день они проходили одинаковый путь по 4200 м. Какое расстояние они прошли за три дня? Решите задачу двумя способами.
Решение:
Рассмотрим задачу подробно.
В первый день туристы прошли 4200м. Во-второй день тот же самый путь прошли туристы 4200м и в третий день – 4200м. Запишем математическим языком:
4200+4200+4200=12600м.
Мы видим закономерность число 4200 повторяется три раза, следовательно, можно сумму заменить умножением:
4200⋅3=12600м.
Ответ: туристы за три дня прошли 12600 метров.
Рассмотрим пример:
Чтобы нам не писать длинную запись можно записать ее в виде умножения. Число 2 повторяется 11 раз поэтому пример с умножением будет выглядеть так:
2⋅11=22
Подведем итог. Что такое умножение?
Умножение – это действие заменяющее повторение n раз слагаемого m.
Запись m⋅n и результат этого выражения называют произведением чисел , а числа m и n называют множителями .
Рассмотрим сказанное на примере:
7⋅12=84
Выражение 7⋅12 и результат 84 называются произведением чисел
.
Числа 7 и 12 называются множителями
.
В математике есть несколько законов умножения. Рассмотрим их:
Переместительный закон умножения.
Рассмотрим задачу:
Мы отдали по два яблока 5 своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 2⋅5.
Или мы отдали по 5 яблок двум своим друзьям. Математически запись будет выглядеть так: 5⋅2.
В первом и втором случаем мы раздадим одинаковое количество яблок равное 10 штукам.
Если мы умножим 2⋅5=10 и 5⋅2=10, то результат не поменяется.
Свойство переместительного закона умножения:
От перемены мест множителей произведение не меняется.
m
⋅
n
=n⋅
m
Сочетательный закон умножения.
Рассмотрим на примере:
(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 или 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 получим,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a
⋅
b
) ⋅
c
=
a
⋅(b
⋅
c
)
Свойство сочетательного закона умножения:
Чтобы число умножить на произведение двух чисел, можно его сначала умножить на первый множитель, а затем полученное произведение умножить на второй.
Меняя несколько множителей местами и заключая их в скобки, результат или произведение не изменится.
Эти законы верны для любых натуральных чисел.
Умножение любого натурального числа на единицу.
Рассмотрим пример:
7⋅1=7 или 1⋅7=7
a
⋅1=a или 1⋅
a
=
a
При умножении любого натурального числа на единицу произведением будет всегда тоже число.
Умножение любого натурального числа на нуль.
6⋅0=0 или 0⋅6=0
a
⋅0=0 или 0⋅
a
=0
При умножении любого натурального числа на нуль произведение будет равно нулю.
Вопросы к теме “Умножение”:
Что такое произведение чисел?
Ответ: произведением чисел или умножение чисел называется выражение m⋅n, где m – слагаемое, а n – число повторений этого слагаемого.
Для чего нужно умножение?
Ответ: чтобы не писать длинное сложение чисел, а писать сокращенно. Например, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18
Что является результатом умножения?
Ответ: значение произведения.
Что означает запись умножения 3⋅5?
Ответ: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15
Если умножить миллион на нуль, чему будет равно произведение?
Ответ: 0
Пример №1:
Замените сумму произведением: а) 12+12+12+12+12 б)3+3+3+3+3+3+3+3+3
Ответ: а)12⋅5=60 б) 3⋅9=27
Пример №2:
Запишите в виде произведения: а) а+а+а+а б) с+с+с+с+с+с+с
Решение:
а)а+а+а+а=4⋅а
б) с+с+с+с+с+с+с=7⋅с
Задача №1:
Мама купила 3 коробки конфет. В каждой коробке по 8 конфет. Сколько конфет купила мама?
Решение:
В одной коробке 8 конфет, а у нас таких коробок 3 штуки.
8+8+8=8⋅3=24 конфеты
Ответ: 24 конфеты.
Задача №2:
Учительница рисования сказала приготовить своим восемью ученикам по семь карандашей на урок. Сколько всего карандашей вместе было у детей?
Решение:
Можно посчитать суммой задачу. У первого ученика было 7 карандашей, у второго ученика было 7 карандашей и т.д.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Запись получилась неудобная и длинная, заменим сумму на произведение.
7⋅8=56
Ответ 56 карандашей.
