Дисперсия. Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия - это средняя арифметическая квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней. В зависимости от исходных данных дисперсия может быть невзвешенной (простой) или взвешенной.
Дисперсия рассчитывается по следующим формулам:
· для несгруппированных данных
· для сгруппированных данных
Порядок расчета дисперсии взвешенную:
1. определяют среднюю арифметическую взвешенную
2. определяются отклонения вариант от средней
3. возводят в квадрат отклонение каждой варианты от средней
4. умножают квадраты отклонений на веса (частоты)
5. суммируют полученные произведения
6. полученную сумму делят на сумму весов
Формула для определения дисперсии может быть преобразована в следующую формулу:
- простая
Порядок расчета дисперсии простой:
1. определяют среднюю арифметическую
2. возводят в квадрат среднюю арифметическую
3. возводят в квадрат каждую варианту ряда
4. находим сумму квадратов вариант
5. делят сумму квадратов вариант на их число, т.е. определяют средний квадрат
6. определяют разность между средним квадратом признака и квадратом средней
Также формула для определения дисперсии взвешенной может быть преобразована в следующую формулу:
т.е. дисперсия равна разности средней из квадратов значений признака и квадрата средней арифметической. При пользовании преобразованной формулой исключается дополнительная процедура по расчету отклонений индивидуальных значений признака от х и исключается ошибка в расчете, связанная с округлением отклонений
Дисперсия обладает рядом свойств, некоторые из них позволяют упростить ее вычисления:
1) дисперсия постоянной величины равна нулю;
2) если все варианты значений признака уменьшить на одно и то же число, то дисперсия не уменьшится;
3) если все варианты значений признака уменьшить в одно и то же число раз ( раз), то дисперсия уменьшится в раз
Среднее квадратичное отклонение S - представляет собой корень квадратный из дисперсии:
· для несгруппированных данных:
;
· для вариационного ряда:
Размах вариации, среднее линейное и среднее квадратичное отклонение являются величинами именованными. Они имеют те же единицы измерения, что и индивидуальные значения признака.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение наиболее широко применяемые показатели вариации. Объясняется это тем, что они входят в большинство теорем теории вероятности, служащей фундаментом математической статистики. Кроме того, дисперсия может быть разложена на составные элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов, обусловливающих вариацию признака.
Расчет показателей вариации для банков, сгруппированных по размеру прибыли, показан в таблице.
| Размер прибыли, млн. руб. | Число банков | расчетные показатели | ||||
| 3,7 - 4,6 (-) | 4,15 | 8,30 | -1,935 | 3,870 | 7,489 | |
| 4,6 - 5,5 | 5,05 | 20,20 | - 1,035 | 4,140 | 4,285 | |
| 5,5 - 6,4 | 5,95 | 35,70 | - 0,135 | 0,810 | 0,109 | |
| 6,4 - 7,3 | 6,85 | 34,25 | +0,765 | 3,825 | 2,926 | |
| 7,3 - 8,2 | 7,75 | 23,25 | +1,665 | 4,995 | 8,317 | |
| Итого: | 121,70 | 17,640 | 23,126 |
Среднее линейное и среднее квадратичное отклонение показывают на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц и исследуемой совокупности. Так, в данном случае средняя величина колеблености размера прибыли составляет: по среднему линейному отклонению 0,882 млн. руб.; по среднему квадратическому отклонению - 1,075 млн. руб. Среднее квадратическое отклонение всегда больше среднего линейного отклонения. Если распределение признака, близко к нормальному, то между S и d существует взаимосвязь: S=1,25d, или d=0,8S. Среднее квадратическое отклонение показывает как расположена основная масса единиц совокупности относительно средней арифметической. Независимо от формы распределения 75 значений признака попадают в интервал х 2S, а по крайне мере 89 всех значений попадают интервал х 3S (теорема П.Л.Чебышева).
Для расчетов средней геометрической простой используется формула:
Геометрическая взвешенная
Для определения средней геометрической взвешенной применяется формула:
редние диаметры колес, труб, средние стороны квадратов определяются при помощи средней квадратической.
Среднеквадратические величины используются для расчета некоторых показателей, например коэффициент вариации, характеризующего ритмичность выпуска продукции. Здесь определяют среднеквадратическое отклонение от планового выпуска продукции за определенный период по следующей формуле:
Эти величины точно характеризуют изменение экономических показателей по сравнению с их базисной величиной, взятое в его усредненной величине.
Квадратическая простая
Средняя квадратическая простая вычисляется по формуле:
Квадратическая взвешенная
Средняя квадратическая взвешенная равна:
22. Абсолютные показатели вариации включают:
размах вариации
среднее линейное отклонение
дисперсию
среднее квадратическое отклонение
Размах вариации (r)
Размах вариации - это разность между максимальным и минимальным значениями признака
Он показывает пределы, в которых изменяется величина признака в изучаемой совокупности.
Опыт работы у пяти претендентов на предшествующей работе составляет: 2,3,4,7 и 9 лет. Решение: размах вариации = 9 - 2 = 7 лет.
Для обобщенной характеристики различий в значениях признака вычисляют средние показатели вариации, основанные на учете отклонений от средней арифметической. За отклонение от средней принимается разность .
При этом во избежании превращения в нуль суммы отклонений вариантов признака от средней (нулевое свойство средней) приходится либо не учитывать знаки отклонения, то есть брать эту сумму по модулю , либо возводить значения отклонений в квадрат
Среднее линейное и квадратическое отклонение
Среднее линейное отклонение - этосредняя арифметическая из абсолютных отклонений отдельных значений признака от средней.
Среднее линейное отклонение простое:
Опыт работы у пяти претендентов на предшествующей работе составляет: 2,3,4,7 и 9 лет.
В нашем примере: лет;
Ответ: 2,4 года.
Среднее линейное отклонение взвешенное применяется для сгруппированных данных:
Среднее линейное отклонение в силу его условности применяется на практике сравнительно редко (в частности, для характеристики выполнения договорных обязательств по равномерности поставки; в анализе качества продукции с учетом технологических особенностей производства).
Среднее квадратическое отклонение
Наиболее совершенной характеристикой вариации является среднее квадратическое откложение, которое называют стандартом (или стандартным отклонение). Среднее квадратическое отклонение () равно квадратному корню из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака отсредней арифметической:
Среднее квадратическое отклонение простое:
Среднее квадратическое отклонение взвешенное применяется для сгруппированных данных:
Между средним квадратическим и средним линейным отклонениями в условиях нормального распределения имеет место следующее соотношение: ~ 1,25.
Среднее квадратическое отклонение, являясь основной абсолютной мерой вариации, используется при определении значений ординат кривой нормального распределения, в расчетах, связанных с организацией выборочного наблюдения и установлением точности выборочных характеристик, а также при оценке границ вариации признака в однородной совокупности.
Стандартное отклонение является одним из тех статистических терминов в корпоративном мире, которое позволяет поднять авторитет людей, сумевших удачно ввернуть его в ходе беседы или презентации, и оставляет смутное недопонимание тех, кто не знает, что это такое, но стесняется спросить. На самом деле большинство менеджеров не понимают концепцию стандартного отклонения и, если вы один из них, вам пора перестать жить во лжи. В сегодняшней статье я расскажу вам, как эта недооцененная статистическая мера позволит лучше понять данные, с которыми вы работаете.
Что измеряет стандартное отклонение?
Представьте, что вы владелец двух магазинов. И чтобы избежать потерь, важно, чтобы был четкий контроль остатков на складе. В попытке выяснить, кто из менеджеров лучше управляет запасами, вы решили проанализировать стоки последних шести недель. Средняя недельная стоимость стока обоих магазинов примерно одинакова и составляет около 32 условных единиц. На первый взгляд среднее значение стока показывает, что оба менеджера работают одинаково.
Но если внимательнее изучить деятельность второго магазина, можно убедится, что хотя среднее значение корректно, вариабельность стока очень высокая (от 10 до 58 у.е.). Таким образом, можно сделать вывод, что среднее значение не всегда правильно оценивает данные. Вот где на выручку приходит стандартное отклонение.
Стандартное отклонение показывает, как распределены значения относительно среднего в нашей . Другими словами, можно понять на сколько велик разброс величины стока от недели к неделе.
В нашем примере, мы воспользовались функцией Excel СТАНДОТКЛОН, чтобы рассчитать показатель стандартного отклонения вместе со средним.
В случае с первым менеджером, стандартное отклонение составило 2. Это говорит нам о том, что каждое значение в выборке в среднем откланяется на 2 от среднего значения. Хорошо ли это? Давайте рассмотрим вопрос под другим углом – стандартное отклонение равное 0, говорит нам о том, что каждое значение в выборке равно его среднему значению (в нашем случае, 32,2). Так, стандартное отклонение 2 ненамного отличается от 0, и указывает на то, что большинство значений находятся рядом со средним значением. Чем ближе стандартное отклонение к 0, тем надежнее среднее. Более того, стандартное отклонение близкое к 0, говорит о маленькой вариабельности данных. То есть, величина стока со стандартным отклонением 2, указывает на невероятную последовательность первого менеджера.
В случае со вторым магазином, стандартное отклонение составило 18,9. То есть стоимость стока в среднем отклоняется на величину 18,9 от среднего значения от недели к неделе. Сумасшедший разброс! Чем дальше стандартное отклонение от 0, тем менее точно среднее значение. В нашем случае, цифра 18,9 указывает на то, что среднему значению (32,8 у.е. в неделю) просто нельзя доверять. Оно также говорит нам о том, что еженедельная величина стока обладает большой вариабельностью.
Такова концепция стандартного отклонения в двух словах. Хотя оно не дает представление о других важных статистических измерениях (Мода, Медиана…), фактически стандартное отклонение играет решающую роль в большинстве статистических расчетов. Понимание принципов стандартного отклонения прольет свет на суть многих процессов вашей деятельности.
Как рассчитать стандартное отклонение?
Итак, теперь мы знаем, о чем говорит цифра стандартного отклонения. Давайте разберемся, как она считается.
Рассмотрим набор данных от 10 до 70 с шагом 10. Как видите, я уже рассчитал для них значение стандартного отклонения с помощью функции СТАНДОТКЛОН в ячейке H2 (оранжевым).
Ниже описаны шаги, которые предпринимает Excel, чтобы прийти к цифре 21,6.
Обратите внимание, что все расчеты визуализированы, для лучшего понимания. На самом деле в Excel расчет происходит мгновенно, оставляя все шаги за кулисами.
Для начала Excel находит среднее значение выборки. В нашем случае, среднее получилось равным 40, которое на следующем шаге отнимают от каждого значения выборки. Каждую полученную разницу возводят в квадрат и суммируют. У нас получилась сумма равная 2800, которую необходимо разделить на количество элементов выборки минус 1. Так как у нас 7 элементов, получается необходимо 2800 разделить на 6. Из полученного результата находим квадратный корень, это цифра будет стандартным отклонением.
Для тех, кому не совсем ясен принцип расчета стандартного отклонения с помощью визуализации, привожу математическую интерпретацию нахождения данного значения.
Функции расчета стандартного отклонения в Excel
В Excel присутствует несколько разновидностей формул стандартного отклонения. Вам достаточно набрать =СТАНДОТКЛОН и вы сами в этом убедитесь.
Стоит отметить, что функции СТАНДОТКЛОН.В и СТАНДОТКЛОН.Г (первая и вторая функция в списке) дублируют функции СТАНДОТКЛОН и СТАНДОТКЛОНП (пятая и шестая функция в списке), соответственно, которые были оставлены для совместимости с более ранними версиями Excel.
Вообще разница в окончаниях.В и.Г функций указывают на принцип расчета стандартного отклонения выборки или генеральной совокупности. Разницу между двумя этими массивами я уже объяснял в предыдущей .
Особенностью функций СТАНДОТКЛОНА и СТАНДОТКЛОНПА (третья и четвертая функция в списке), является то, что при расчете стандартного отклонения массива в расчет принимаются логические и текстовые значения. Текстовые и истинные логические значения равняются 1, а ложные логические значения равняются 0. Мне трудно представить ситуацию, когда бы мне могли понадобится эти две функции, поэтому, думаю, что их можно игнорировать.
Полученные из опыта величины неизбежно содержат погрешности, обусловленные самыми разнообразными причинами. Среди них следует различать погрешности систематические и случайные. Систематические ошибки обусловливаются причинами, действующими вполне определенным образом, и могут быть всегда устранены или достаточно точно учтены. Случайные ошибки вызываются весьма большим числом отдельных причин, не поддающихся точному учету и действующих в каждом отдельном измерении различным образом. Эти ошибки невозможно совершенно исключить; учесть же их можно только в среднем, для чего необходимо знать законы, которым подчиняются случайные ошибки.
Будем обозначать измеряемую величину через А, а случайную ошибку при измерении х. Так как ошибка х может принимать любые значения, то она является непрерывной случайной величиной, которая вполне характеризуется своим законом распределения.
Наиболее простым и достаточно точно отображающим действительность (в подавляющем большинстве случаев) является так называемый нормальный закон распределения ошибок :
Этот закон распределения может быть получен из различных теоретических предпосылок, в частности, из требования, чтобы наиболее вероятным значением неизвестной величины, для которой непосредственным измерением получен ряд значений с одинаковой степенью точности, являлось среднее арифметическое этих значений. Величина 2 называется дисперсией данного нормального закона.
Среднее арифметическое
Определение дисперсии по опытным данным. Если для какой-либо величины А непосредственным измерением получено n значений a i с одинаковой степенью точности и если ошибки величины А подчинены нормальному закону распределения, то наиболее вероятным значением А будет среднее арифметическое :
a - среднее арифметическое,
a i - измеренное значение на i-м шаге.
Отклонение наблюдаемого значения (для каждого наблюдения) a i величины А от среднего арифметического : a i - a.
Для определения дисперсии нормального закона распределения ошибок в этом случае пользуются формулой:
2 - дисперсия,
a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
Среднеквадратическое отклонение
Среднеквадратическое отклонение показывает абсолютное отклонение измеренных значений от среднеарифметического . В соответствии с формулой для меры точности линейной комбинации средняя квадратическая ошибка среднего арифметического определяется по формуле:
, где
a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
a i - измеренное значение на i-м шаге.
Коэффициент вариации
Коэффициент вариации характеризует относительную меру отклонения измеренных значений от среднеарифметического :
, где
V - коэффициент вариации,
- среднеквадратическое отклонение,
a - среднее арифметическое.
Чем больше значение коэффициента вариации , тем относительно больший разброс и меньшая выравненность исследуемых значений. Если коэффициент вариации меньше 10%, то изменчивость вариационного ряда принято считать незначительной, от 10% до 20% относится к средней, больше 20% и меньше 33% к значительной и если коэффициент вариации превышает 33%, то это говорит о неоднородности информации и необходимости исключения самых больших и самых маленьких значений.
Среднее линейное отклонение
Один из показателей размаха и интенсивности вариации - среднее линейное отклонение (средний модуль отклонения) от среднего арифметического. Среднее линейное отклонение рассчитывается по формуле:
, где
_
a - среднее линейное отклонение,
a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
a i - измеренное значение на i-м шаге.
Для проверки соответствия исследуемых значений закону нормального распределения применяют отношение показателя асимметрии к его ошибке и отношение показателя эксцесса к его ошибке.
Показатель асимметрии
Показатель асимметрии (A) и его ошибка (m a) рассчитывается по следующим формулам:
, где
А - показатель асимметрии,
- среднеквадратическое отклонение,
a - среднее арифметическое,
n - число измерений параметра,
a i - измеренное значение на i-м шаге.
Показатель эксцесса
Показатель эксцесса (E) и его ошибка (m e) рассчитывается по следующим формулам:
, где
Стандартное отклонение - классический индикатор изменчивости из описательной статистики.
Стандартное отклонение , среднеквадратичное отклонение, СКО, выборочное стандартное отклонение (англ. standard deviation, STD, STDev) - очень распространенный показатель рассеяния в описательной статистике. Но, т.к. технический анализ сродни статистике, данный показатель можно (и нужно) использовать в техническом анализе для обнаружения степени рассеяния цены анализируемого инструмента во времени. Обозначается греческим символом Сигма «σ».
Спасибо Карлам Гауссу и Пирсону за то, что мы имеем возможность пользоваться стандартным отклонением.
Используя стандартное отклонение в техническом анализе , мы превращаем этот «показатель рассеяния » в «индикатор волатильности «, сохраняя смысл, но меняя термины.
Что представляет собой стандартное отклонение
Но помимо промежуточных вспомогательных вычислений, стандартное отклонение вполне приемлемо для самостоятельного вычисления и применения в техническом анализе. Как отметил активный читатель нашего журнала burdock, «до сих пор не пойму, почему СКО не входит в набор стандартных индикаторов отечественных диллинговых центров «.
Действительно, стандартное отклонение может классическим и «чистым» способом измерить изменчивость инструмента . Но к сожалению, этот индикатор не так распространен в анализе ценных бумаг .
Применение стандартного отклонения
Вручную вычислить стандартное отклонение не очень интересно , но полезно для опыта. Стандартное отклонение можно выразить формулой STD=√[(∑(x-x ) 2)/n] , что звучит как корень из суммы квадратов разниц между элементами выборки и средним, деленной на количество элементов в выборке.
Если количество элементов в выборке превышает 30, то знаменатель дроби под корнем принимает значение n-1. Иначе используется n.
Пошагово вычисление стандартного отклонения :
- вычисляем среднее арифметическое выборки данных
- отнимаем это среднее от каждого элемента выборки
- все полученные разницы возводим в квадрат
- суммируем все полученные квадраты
- делим полученную сумму на количество элементов в выборке (или на n-1, если n>30)
- вычисляем квадратный корень из полученного частного (именуемого дисперсией )
