Площадь треугольника АВС равна 12 . На прямой АС взята точка D так, что
точка C является серединой отрезка AD . Точка K – середина стороны AB ,
прямая KD пересекает сторону BC в точке L .
а) Докажите, что BL: LC = 2: 1 .
б) Найдите площадь треугольника BLK .

Для начала аккуратно сделаем чертёж, помечая по ходу дела равенство отрезков.

Теперь несложно заметить, что соединив точки В и D , мы получим треугольник АВD ,
в котором DK и ВС являются медианами по определению (помните ли Вы его?)

А медианы в точке пересечения делятся в отношении 2: 1 , считая от вершины.
Дело сделано. Напишите, умеете ли Вы это свойство доказать самостоятельно?
Найти площадь треугольника BLK можно по-разному. Пусть АЕ - третья медиана

треугольника АВD , она пройдёт через точку L пересечения первых двух.
Медиана ВС делит треугольник АВD на два равновеликих треугольника.
Поэтому площадь АВD вдвое больше площади АВС и равна 12·2 = 24 .
Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.
Отсюда легко найти площадь искомого треугольника BLK . 24:6 = 4 .
Замечу, что оба эти утверждения следует тоже уметь доказывать.
========================================
Можно сравнить площади треугольников BLK и АВС , не трогая медианы.

Треугольники эти имеют общий угол В , воспользуемся этим фактом.

Найдём теперь отношение площадей:

Таким образом, площадь BLK в три раза меньше площади АВС .

Площадь треугольника ABC равна 198. Биссектриса AL пересекает медиану BM в точке К. Найдите площадь четырёхугольника MCLK, если известно что BL:CL=7:4.

Строим эскиз:

Сразу увидеть ход решения задачи довольно сложно, но мы всегда можем поставить вопрос: а что можно найти используя данные в условии и известные нам свойства?

Можем определить площади некоторых треугольников, рассмотрим:

Так как АМ=МС, значит площади треугольников будут равны, то есть:

Рассмотрим треугольники ALB и ALC. В условии сказано, что BL:CL=7:4. Введём коэффициент пропорциональности «х» и запишем формулы их площадей:

Отношение площадей будет равно:

Так же нам известно, что S ALB +S ALC =198. Можем вычислить площади:

Обратите внимание, что нам в условии не даны никакие углы и линейные размеры (длины элементов), поэтому не стоит тратить усилия на вычисление углов и длин (сторон, медиан, биссектрис и пр). Почему?

Когда в условии даны отношения отрезков (углов) и нет ни одной конкретной величины, то скорее всего при таких данных можно построить множество вариантов фигуры. *Не для каждого ученика это возможно увидеть сразу, нужен опыт.

Поэтому в подобных случаях стремитесь использовать отношения – а именно: отношения элементов, площадей, используйте подобие треугольников если это возможно.

Здесь мы можем найти отношение сторон треугольника. Выразим площади треугольников:

Исходя из того, что АМ=МС следует, что

Теперь внимание! Мы близки к развязке. Есть ещё одно отношение из которого мы можем установить отношение площадей двух треугольников. Выразим площади треугольников.

Пусть требуется определить площадь треугольника АВС. Проведём через вершины его С и В прямые, параллельные сторонам АВ и АС.

Мы получим параллелограмм АВDС. Площадь его равна произведению основания АВ на высоту СО. Параллелограмм АВDС состоит из двух равных треугольников АВС и ВСD, следовательно, площадь треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, т. е. S \(\Delta\)ABC = 1 / 2 АВ СО.

Отсюда: площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

S \(\Delta\) = \(\frac{a h}{2}\)

Эту формулу можно представить в таком виде:

S \(\Delta\) = \(\frac{a}{2}\) h, или S \(\Delta\) = a \(\frac{h}{2}\).

Формулы для вычисления площади треугольника

1. Из геометрии известна формула Г е р о н а:

$$ S = \sqrt{р (р - а)(р - b) (р - с)},$$

(где р = (а + b + c ) / 2 -полупериметр), позволяющая вычислять площадь треугольника по его сторонам.

2 . Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними:

S = 1 / 2 bc sin A.

Доказательство. Из геометрии известно, что площадь треугольника равна половине произведения стороны треугольника на высоту, опущенную на эту сторону из противоположной вершины.

S = 1 / 2 b · h b (1)

Если угол А острый, то из треугольника АВН найдём ВН = h b = с sin A.

Если угол A тупой, то

ВН = h b = с sin (π - A)= с sin A.

Если угол A прямой, то sin A = 1 и
h b = АВ = с = с sin A.

Следовательно, во всех случаях h b = с sin A. Подставив в равенство (1), получим доказываемую формулу.

Точно так же получим формулы: S = 1 / 2 ab sin C= 1 / 2 ac sin B

3. На основании теоремы синусов:

$$ b = \frac{a sinB}{sinA}; \;\; c = \frac{a sinC}{sinA} $$

Подставив эти выражения в формулу (1), получим следующую формулу:

$$ S = \frac{a^2 sinB sinC}{2sinA} $$