Рассмотренный выше пример позволяет сделать вывод, что значения, используемые для анализа зависят от случайных причин, поэтому такие переменные величины называются случайными . В большинстве случаев они появляются в результате наблюдений или экспериментов, которые сводятся в таблицы, в первой строке которой записываются различные наблюдаемые значения случайной величины Х, а во второй – соответствующие частоты. Поэтому такая таблица называется эмпирическим распределением случайной величины Х или вариационным рядом . Для вариационного ряда мы находили среднее значение , дисперсию и среднее квадратическое отклонение .
непрерывной , если ее значения целиком заполняют некоторый числовой промежуток.
Случайная величина называется дискретной , если все ее значения можно занумеровать (в частности, если оно принимает конечное число значений).
Следует отметить два характерных свойства таблицы распределения дискретной случайной величины:
Все числа второй строки таблицы положительны;
Их сумма равна единице.
В соответствие с проведенными исследованиями можно предположить, что при увеличении числа наблюдений эмпирическое распределение приближается к теоретическому, заданному в табличной форме.
Важной характеристикой дискретной случайное величины является ее математическое ожидание.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины Х, принимающей значения , , …, .с вероятностями , , …, называется число:
Математическое ожидание также называют средним значением.
К другим важным характеристикам случайной величины относятся дисперсия (8) и среднее квадратическое отклонение (9).
где: математическое ожидание величины X.
.
(9)
Графическое представление информации значительно нагляднее, чем табличное, поэтому возможность электронных таблиц MS Excel представлять размещенные в них данные в виде различных диаграмм, графиков и гистограмм используется очень часто. Так, помимо таблицы, распределение случайной величины изображают также с помощью многоугольника распределения . Для этого на координатной плоскости строят точки с координатами , , … и соединяют их прямыми отрезками.
Для получения прямоугольника распределения посредством MS Excel необходимо:
1. Выбрать на панели инструментов закладу «Вставка» ® «Диаграмма с областями».
2. Активизировать появившуюся на листе MS Excel область для диаграммы правой кнопкой мыши и в контекстном меню воспользоваться командой «Выбрать данные».
Рис. 6. Выбор источника данных
Сначала определим диапазон данных для диаграммы. Для этого в соответствующую область диалогового окна «Выбор источника данных» введем диапазон C6:I6 (в нем представлены значения частот под названием Ряд1, рис. 7).
Рис. 7. Добавление ряда 1
Для изменения названия ряда необходимо выбрать кнопку изменить область «Элементы легенды (ряды)» (см. рис. 7) и назвать его .
Для того, чтобы добавить подпись оси X необходимо воспользоваться кнопкой «Изменить» области «Подписи горизонтальной оси (категории)»
(рис. 8) и указать значения ряда (диапазон $C$6:$I$6).
Рис. 8. Окончательный вид окна диалога «Выбор источника данных»
Выбор кнопки в окне диалога «Выбор источника данных»
(рис. 8) позволит получить требуемый многоугольник распределения случайной величины (рис. 9).
Рис. 9. Многоугольник распределения случайной величины
Внесем некоторые изменения в дизайн полученной графической информации:
Добавим подпись оси Х;
Отредактируем подпись оси Y;
- 
добавим заголовок для диаграммы «Многоугольник распределения».
Для этого выберем в области панели инструментов закладку «Работа с диаграммами» закладку «Макет» и в появившейся панели инструментов соответствующие кнопки: «Название диаграммы», «Названия осей» (рис. 10).
Рис. 10. Итоговый вид многоугольника распределения случайной величины
Случайная величина – это величина, которая в результате опыта принимает заранее неизвестное значение.
Количество студентов, присутствующих на лекции.
Количество домов, сданных в эксплуатацию в текущем месяце.
Температура окружающей среды.
Вес осколка разорвавшегося снаряда.
Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.
Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения с определенными вероятностями.
Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или счетным.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.
Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
В приведенных примерах: 1 и 2 – дискретные случайные величины, 3 и 4 – непрерывные случайные величины.
В дальнейшем, вместо слов «случайная величина» часто будем пользоваться сокращением с. в.
Как правило, случайные величины будем обозначать большими буквами, а их возможные значения – маленькими.
В теоретико-множественной трактовке основных понятий теории вероятностей случайная величина Х есть функция элементарного события: Х =φ(ω), где ω – элементарное событие принадлежащее пространству Ω (ω Ω). При этом множество Ξ возможных значений с. в. Х состоит из всех значений, которые принимает функция φ(ω).
Законом распределения случайной величины называется любое правило (таблица, функция), позволяющее находить вероятности всевозможных событий, связанных со случайной величиной (например, вероятность того, что она примет какое-то значение или попадет на какой-то интервал).
Формы задания законов распределения случайных величин. Ряд распределения.
Это таблица в верхней строке которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины Х: х 1 , х 2 , ..., х n , а в нижней – вероятности этих значений: p 1 , p 2 , ..., p n , где p i = Р{Х = x i }.
Так как события {Х = x 1 }, {Х = x 2 }, ... несовместны и образуют полную группу, то сумма всех вероятностей, стоящих в нижней строке ряда распределения, равна единице
Ряд распеделения используется для задания закона распределения только дискретных случайных величин.
Многоугольник распределения
Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Строится он так: для каждого возможного значения с. в. восстанавливается перпендикуляр к оси абсцисс, на котором откладывается вероятность данного значения с. в. Полученные точки для наглядности (и только для наглядности!) соединяются отрезками прямых.
Интегральная функция распределения (или просто функция распределения).
Это функция, которая при каждом значении аргумента х численно равна вероятности того, что случайная величина окажется меньше, чем значение аргумента х.
Функция распределения обозначается F(x): F(x) = P {X x}.
Теперь можно дать более точное определение непрерывной случайной величины: случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.
Функция распределения – это наиболее универсальная форма задания с. в., которая может использоваться для задания законов распределения как дискретных, так и непрерывных с. в.
5.2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения
На первый взгляд может показаться, что для задания дискретной случайной величины достаточно перечислить все ее возможные значения. В действительности это не так: случайные величины могут иметь одинаковые перечни возможных значений, а вероятности их – различные. Поэтому для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать их вероятности.
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.
Определение. Любое правило (таблица, функция, график), позволяюшее находить вероятности произвольных событий A S (S – -алгебра событий пространства ), в частности, указывающее вероятности отдельных значений случайной величины или множества этих значений, называется законом распределения случайной величины (или просто: распределением ). Про с.в. говорят, что «она подчиняется данному закону распределения».
Пусть Х – д.с.в., которая принимает значения х 1 , х 2 , …, x n ,… (множество этих значений конечно или счетно) с некоторой вероятностью p i , где i = 1,2,…, n ,… Закон распределения д.с.в. удобно задавать с помощью формулы p i = P {X = x i }где i = 1,2,…, n ,…, определяющей вероятность того, что в результате опыта с.в. Х примет значение x i . Для д.с.в. Х закон распределения может быть задан в виде таблицы распределения :
|
x n | |||||
|
р n |
При табличном задании закона распределения дискретной случайной величины первая строка таблицы содержит возможные значения, а вторая – их вероятности. такую таблицу называют рядом распределения .
Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает- одно и только одно возможное значение, заключаем, что события X = x 1 , X = x 2 , ..., X = x n образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, т.е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице, то есть .
Если множество возможных значений X бесконечно (счетно), то ряд р 1 + р 2 + ... сходится и его сумма равна единице.
Пример. В денежной лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывается один выигрыш в 50 руб. и десять выигрышей по 1 руб. Найти закон распределения случайной величины X – стоимости возможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
Решение. Напишем возможные значения X : х 1 = 50, х 2 = 1, х 3 = 0. Вероятности этих возможных значений таковы: р 1 = 0,01, р 2 = 0,01, р 3 = 1 – (р 1 + р 2)=0,89.
Напишем искомый закон распределения:
Контроль: 0,01 + 0,1 + 0,89 =1.
Пример. В урне 8 шаров, из которых 5 белых, остальные – черные. Из нее вынимают наудачу 3 шара. Найти закон распределения числа белых шаров в выборке.
Решение. Возможные значения с.в. Х – числа белых шаров в выборке есть х 1 = 0, х 2 = 1, х 3 = 2, х 4 = 3. Вероятности их соответственно будут
;
;
.
Закон распределения запишем в виде таблицы.
|
|
|
|
|
Контроль:
.
Закон распределения д.с.в. можно задать графически, если на оси абсцисс отложить возможные значения с.в., а на оси ординат – вероятности этих значений. ломаную, соединяющую последовательно точки (х 1 , р 1), (х 2 , р 2),… называют многоугольником (или полигоном ) распределения (см. рис. 5.1).
Рис. 5.1. Полигон распределения
Теперь можно дать более точное определение д.с.в.
Определение. Случайная величина Х дискретна , если существует конечное или счетное множество чисел х 1 , х 2 , … таких, что P {X = x i } = p i > 0 (i = 1,2,…) и p 1 + p 2 + р 3 +… = 1.
Определим математические операции над дискретными с.в.
Определение. Суммой (разностью , произведением ) д.с.в. Х , принимающей значения x i с вероятностями p i = P {X = x i }, i = 1, 2, …, n , и д.с.в. Y , принимающей значения y j с вероятностями p j = P {Y = y j }, j = 1, 2, …, m , называется д.с.в. Z = X + Y (Z = X – Y , Z = X Y ), принимающая значения z ij = x i + y j (z ij = x i – y j , z ij = x i y j ) с вероятностями p ij = P {X = x i , Y = y j } для всех указанных значений i и j . В случае совпадения некоторых сумм x i + y j (разностей x i – y j , произведений x i y j )соответствующие вероятности складываются.
Определение. Произведение д.с.в. на число с называется д.с.в. сХ , принимающая значения с x i с вероятностями p i = P {X = x i }.
Определение. Две д.с.в. Х и Y называются независимыми , если события {X = x i } = A i и {Y = y j } = B j независимы для любых i = 1, 2, …, n , j = 1, 2, …, m , то есть
В противном случае с.в. называют зависимыми . Несколько с.в. называют взаимно независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.
Рассмотрим несколько наиболее часто употребляемых законов распределения.
Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, не известное заранее. Случайные величины бывают прерывного (дискретного) и непрерывного типа. Возможные значения прерывных величин заранее могут быть перечислены. Возможные значения непрерывных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток.
Пример дискретных случайных величин:
1) Число появления герба при трех бросаниях монеты. (возможны значения 0;1;2;3)
2) Частота появления герба в том же опыте. (возможные значения )
3) Число отказавших элементов в приборе, состоящем из пяти элементов. (Возможные значения величин 0;1;2;3;4;5)
Примеры непрерывных случайных величин:
1) Абсцисса (ордината) точки попадания при выстреле.
2) Расстояние от точки попадания до центра мишени.
3) Время безотказной работы прибора (радиолампы).
Случайны величины обозначаются большими буквами, а их возможные значения – соответствующими малыми буквами. Например, X – число попаданий при трех выстрелах; возможные значения: X 1 =0,Х 2 =1, Х 3 =2, Х 4 =3.
Рассмотрим прерывную случайную величину Х с возможными значениями Х 1 , Х 2 , … , Х n . Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина Х может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина Х примет одно из этих значений, то есть произойдет одно из полной группы несовместных событий.
Обозначим вероятности этих событий буквами p с соответствующими индексами:
Так как несовместные события образуют полную группу, то
то есть сумма вероятности всех возможных значений случайной величины равна 1. Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, то есть в точности укажем какой вероятностью обладает каждое из событий. (Этим мы установим так называемый закон распределения случайных величин.)
Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующей им вероятности. (Про случайную величину мы будем говорить, что она подчинена данному закону распределения)
Простейшей формой задания закона распределения случайной величины является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.
Таблица 1.
| X i | X 1 | X 2 | … | X n |
| P i | P 1 | P 2 | … | P n |
Такую таблицу называют рядом распределения случайных величин.
Чтобы придать ряду распределения более наглядный вид прибегают к его графическому изображению: по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. (Для наглядности полученные точки соединяют отрезками прямых.)
Рисунок 1 – многоугольник распределения
Такая фигура называется многоугольником распределения . Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину; он является одной из форм закона распределения.
Пример:
производится один опыт, в котором может появиться или не появиться событие А. Вероятность события А=0,3. Рассматривается случайная величина Х – число появлений события А в данном опыте. Необходимо построить ряд и многоугольник распределения величины Х.
Таблица 2.
| X i | ||
| P i | 0,7 | 0,3 |
Рисунок 2 - Функция распределения
Функция распределения является универсальной характеристикой случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и не прерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, то есть является одной из форм закона распределения.
Для количественной характеристики этого распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события X=x, а вероятностью события X Функцию распределения F(x) иногда также называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Свойства функции распределения случайной величины 1. Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, то есть при ; 2. На минус бесконечности : 3. На плюс бесконечности : Рисунок 3 – график функции распределения График функции распределения
в общем случае представляет собой график неубывающей функции, значения которой начинаются от 0 и доходят до 1. Зная ряд распределения случайной величины, можно построить функцию распределения случайной величины. Пример:
для условий предыдущего примера построить функцию распределения случайной величины. Построим функцию распределения X: Рисунок 4 – функция распределения Х Функция распределения
любой прерывной дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции распределения равна 1
. По мере увеличения числа возможных значений случайной величины и уменьшения интервалов между ними, число скачков становится больше, а сами скачки – меньше: Рисунок 5 Ступенчатая кривая становится более плавной: Рисунок 6 Случайная величина постепенно приближается к непрерывной величине, а ее функция распределения к непрерывной функции. Также существуют случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, но для которых функция распределения не везде является непрерывной. И в отдельных точках терпит разрыв. Такие случайные величины называются смешенными. Рисунок 7
