Лекции

Лекции 4-5. Плоское движение твердого тела и движение плоской фигуры в ее плоскости. Уравнения плоского движения, число степеней свободы. Разложение движения на поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг оси, проходящей через полюс. Соотношение между скоростями двух любых точек плоской фигуры. Мгновенный центр скоростей – МЦС; методы его нахождения. Определение скоростей точек с помощью МЦС. Различные способы определения угловой скорости. Соотношение между ускорениями двух любых точек плоской фигуры. Понятие о мгновенном центре ускорений. Различные способы определения углового ускорения. Пример ОЛ4-5.14.

ОЛ-1, гл. 3, §§ 3.1-3.9.

Лекции 6-7. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Число степеней свободы. Углы Эйлера. Уравнения движения. Мгновенная ось вращения. Векторы угловой скорости и углового ускорения. Скорости точек тела: векторная и скалярная формулы Эйлера. Формулы Пуассона. Ускорения точек тела. Пример Л5-19.4. Общий случай движения свободного твердого тела. Разложение движения на поступательное вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса. Уравнения движения. Скорости и ускорения точек тела.

ОЛ-1, гл. 4, гл. 5.

Лекции 8-9. Сложное движение точки, основные понятия и определения. Полная и локальная производные вектора, формула Бура. Теорема о сложении скоростей. Теорема о сложении ускорений – теорема Кориолиса. Ускорение Кориолиса, правило Жуковского. Частные случаи. Примеры: Л4-7.9, 7.18. Сложное движение твердого тела. Сложение поступательных движений, сложение вращений вокруг пересекающихся осей.

ОЛ-1, гл. 6, гл. 7, §§ 7.1, 7.2, 7.4.

Студенты самостоятельно изучают тему «Сложение вращений вокруг параллельных осей, пара вращений».

ОЛ-1, гл. 7, § 7.3.

Лекция 10. Понятие о криволинейных координатах. Определение скорости и ускорения точки при задании ее движения в цилиндрических и сферических координатах.

ОЛ-1, гл. 1, § 1.4.

Семинары

Занятие 5. Определение скоростей точек твердого тела при его плоском движении. Мгновенный центр скоростей – МЦС; методы его нахождения. Определение скоростей точек с помощью МЦС, определение угловой скорости тела.

Ауд.: ОЛ5-16.29, Л4-5.6,5.7,5.14.

Дома: ОЛ4-5.8,5.15,5.20.

Занятие 6. Определение ускорений точек плоской фигуры по соотношению между ускорениями двух любых ее точек и с помощью мгновенного центра ускорений. Различные способы определения углового ускорения.

Ауд.: ОЛ5-18.11, Л4-5.26,5.30.

Дома: ОЛ4-5.21, 5.28.

Занятие 7

Ауд.: ОЛ4-5.38, 5.37.

Дома: ОЛ4-5.39, 5.43.

Занятие 8 Определение скоростей и ускорений точек твердых тел при плоском движении в системах с одной степенью свободы.

Ауд.: ОЛ4-5.40.

Дома: ОЛ4-5.41.

Занятие 9. Решение задач типа ДЗ-2 «Кинематика плоского движения твердого тела»

Ауд.: Задачи типа ДЗ-2.

Дома: ДЗ-2, МП 5-7.

Занятие 10. Определение скоростей и ускорений точек при заданных переносном и относительном ее движениях.

Занятие 11. Определение скоростей и ускорений точек в сложном движении при известной траектории ее абсолютного движения.

Ауд.: ОЛ5-23.18,23.27,23.30, ОЛ4-7.17.

Дома: ОЛ4-7.6(7.3),7.16(7.13).

Занятие 12. Решение задач типа ДЗ-3 «Сложное движение точки»

Ауд.: ОЛ4-7.34 (7.29). Задачи типа ДЗ-3.

Дома: ДЗ №3, МП 8-10.

Модуль 3: Статика

Лекции

Лекция 11. Статика, основные понятия и определения. Аксиомы статики. Основные виды связей и их реакции: гладкая поверхность, цилиндрический шарнир, шаровой шарнир, подпятник, гибкая нить, шарнирный стержень.

ОЛ-1, гл. 8, §§ 8.1, 8.2.

Лекция 12. Система сходящихся сил, условия равновесия. Алгебраический и векторный моменты силы относительно точки. Момент силы относительно оси. Связь векторного момента силы относительно точки с моментом силы относительно оси, проходящей через эту точку. Аналитические выражения для моментов силы относительно осей координат. Пара сил. Теорема о сумме моментов сил, составляющих пару, относительно любой точки или оси. Векторный и алгебраический моменты пары.

ОЛ-1, гл. 8, §§ 8.3-8.5.

Лекция 13. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условие равновесия системы пар сил. Лемма о параллельном переносе силы. Теорема о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил – основная теорема статики.

ОЛ-1, гл. 8, § 8.6.

Лекция 14. Главный вектор и главный момент системы сил. Формулы для их вычисления. Условия равновесия произвольной системы сил. Частные случаи: система параллельных сил, плоская система сил – основная форма. Теорема Вариньона о моменте равнодействующей, распределенные силы. Примеры: Л5-4.26, Л4-2.17. Зависимость между главными моментами системы сил относительно двух центров приведения.

ОЛ-1, гл. 8, § 8.6, гл. 9, § 9.1.

Лекции 15-16. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения. Равновесие системы тел. Силы внешние и внутренние. Свойства внутренних сил. Задачи статически определенные и статически неопределенные. Равновесие тела на шероховатой поверхности. Трение скольжения. Законы Кулона. Угол и конус трения. Пример Л5-5.29. Трение качения. Коэффициент трения качения.

ОЛ-1, гл. 9, § 9.2, гл. 10.

Лекция 17. Центр системы параллельных сил. Формулы для радиус-вектора и координат центра системы параллельных сил. Центр тяжести тела: объема, площади, линии. Методы нахождения центра тяжести: метод симметрии, метод разбиения на части, метод отрицательных масс. Примеры.

ОЛ-1, гл. 11.

Семинары

Занятие 13.

Ауд.: ОЛ5-2.19,2.29,4.17,4.25.

Дома: Л4-1.3, 1.5.

Занятие 14. Определение реакций при равновесии плоской системы тел.

Ауд.: ОЛ4-1.14,1.15,1.17.

Дома: Л4-1.12, 1.16, МП 11,14.

Занятие 15. Определение реакций при равновесии произвольной пространственной системы сил.

Ауд.: ОЛ4-1.26, Л5-8.17, 8.19.

Дома: ОЛ4-1.24,1.25,1.29.

Занятие 16 Определение реакций при равновесии произвольной пространственной системы сил. Решение задач типа ДЗ-4.

Ауд.: ОЛ5-8.26, Л4-2.12,2.18,2.19.

Дома: ОЛ4-2.16, ДЗ №4, МП 12-14.

Занятие 17. Определение сил при равновесии с учетом трения.

Ауд.: ОЛ5-5.26,5.28, Л4-1.39 (1.38).

Дома: ОЛ4-1.43(1.42),1.46(1.45).

Модуль 4: Экзамен

Экзамен проводится по материалам модулей 1-4.

Самостоятельная подготовка

· Проработка курса лекций, учебников, методических пособий по темам лекций 1 – 17, семинаров 1 – 17

· Выполнение домашних заданий №№ 1–4.

· Подготовка к письменным работам №№ 1–4 и их написание.

Плоскопараллельное движение твердого тела.

1. Уравнения плоскопараллельного движения

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемешаются параллельно некоторой неподвижной плоскости П.

Рассмотрим сечение S тела какой-нибудь плоскостью O xy , параллельной плоскости П . При плоскопараллельном движении все точки тела, лежащие на прямой ММ / , перпендикулярны к сечению (S) , то есть к плоскости П движутся тождественно и в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для изучения движения всего тела достаточно изучить, как движется сечение S тела в плоскости O xy .

(4.1)

Уравнения (4.1) определяют закон происходящего движения и называются уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.

2. Разложение плоскопараллельного движения на поступательное

вместе с полюсом и вращательное вокруг полюса

Покажем, что плоское движение слагается из поступательного и вращательного. Для этого рассмотрим два последовательных положения I и II, которые занимает сечение S движущегося тела в моменты времени t 1 и t 2 = t 1 + Δt . Легко видеть, что сечение S , а с ним и все тело можно привести из положения I в положение II следующим образом: переместим сначала тело поступательно, так, чтобы полюс А , двигаясь вдоль своей траектории, пришел в положение А 2 . При этом отрезок A 1 B 1 займет положение, а затем повернем сечение вокруг полюса А 2 на угол Δφ 1 .

Следовательно, плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся так же как полюс А и из вращательного движения вокруг этого полюса.

При этом следует отметить, что вращательное движение тела происходит вокруг оси, перпендикулярной к плоскости П и проходящей через полюс А . Однако для краткости мы будем в дальнейшем называть это движение просто вращением вокруг полюса А .

Поступательная часть плоскопараллельного движения описывается, очевидно, первыми двумя из уравнений (2. 1), а вращение вокруг полюса А - третьим из уравнений (2. 1).

Основные кинематические характеристики плоского движения

В качестве полюса можно выбирать любую точку тела

Вывод : вращательная составляющая плоского движения от выбора полюса не зависит, следовательно, угловая скорость ω и угловое ускорение e являются общими для всех полюсов и называются угловой скоростью и угловым ускорением плоской фигуры

Векторы и направлены по оси, проходящей через полюс и перпендикулярной плоскости фигуры

Трехмерное изображение

3. Определение скоростей точек тела

Теорема: скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и вращательной скорости этой точки вокруг полюса.

При доказательстве будем исходить из того, что плоскопараллельное движение твердого тела слагается из поступательного движения, при котором все точки тела движутся со скоростью v А и из вращательного движения вокруг этого полюса. Чтобы разделить эти два вида движения, введем две системы отсчета: Oxy – неподвижную, и Ox 1 y 1 – движущуюся поступательно вместе с полюсом А. Относительно подвижной системы отсчета движение точки М будет «вращательным вокруг полюса А ».

Таким образом, скорость любой точки М тела геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А , принятой за полюс, и скорости точки М в ее вращательном движении вместе с телом вокруг этого полюса.

Геометрическая интерпретация теоремы

Следствие 1. Проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны друг другу.

Этот результат позволяет легко находить скорость данной точки тела, если известны направление движения этой точки и скорость какой-нибудь другой точки того же тела.

Плоским (плоскопараллельным) движением твердого тела называется такое движение тела, при котором все его точки движутся в плоскостях параллельных некоторой неподвижной плоскости.

Плоское движение твердого тела можно разложить на поступательное движение тела вместе с некоторой точкой тела (полюсом) и вращение вокруг оси, проходящей через полюс перпендикулярно плоскости движения.

Число степеней свободы при плоском движении равно трем. Выберем точку А тела – полюс. Две координаты зададут перемещение полюса, а третья – угол поворота – вращение вокруг полюса:

,
,
.

Последние выражения называются уравнениями плоского движения твердого тела.

3.2. Скорости точек тела при плоском движении.

Мгновенный центр скоростей

Рассмотрим точки А иВ твердого тела, совершающего плоское движение. Радиус вектор точкиВ
,
, так как это расстояние между двумя точками в твердом теле. Продифференцируем обе части этого равенства:
или
. Для
применим формулу производной от вектора, имеющего постоянный модуль:

– скорость точкиВ при вращении тела вокруг полюсаА . Тогда,
или
, где– вектор угловой скорости тела, он направлен по оси, проходящей через точкуА перпендикулярно к плоскости движения. Модуль– так какАВ лежит в плоскости, аперпендикулярна плоскости.

Мгновенным центром скоростей тела при плоском движении называется точка тела или подвижной плоскости, жестко связанной с телом, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Покажем, что если в данный момент времени угловая скорость тела
, то мгновенный центр скоростей существует. Рассмотрим плоскую фигуру, движущуюся в плоскости чертежа,
, скорость точкиА –. Проведем перпендикуляр вА к скоростии отложим на нем отрезок
. Покажем, чтоР – мгновенный центр скоростей, т.е.
.

Скорость точки Р
,
, т.е.
, следовательно
, а значитР – мгновенный центр скоростей.

Пусть теперь тело совершает плоское движение и известно положение мгновенного центра скоростей Р . Определим вначале скорость точкиА :,
; скорость точкиВ :
; тогда
. Следовательно скорости точек тела при плоском движении относятся как их расстояния до мгновенного центра скоростей.

Рассмотрим способы нахождения мгновенного центра скоростей.

3.3. Ускорение точек тела при плоском движении.

Мгновенный центр ускорений

Рассмотрим точки А иВ твердого тела, совершающего плоское движение. Скорость точкиВ
. Продифференцируем обе части этого равенства:
. Обозначим
,
,
– угловое ускорение,
– скорость точкиВ относительно полюсаА ,. Введем обозначения:
– касательное (вращательное) ускорение точкиВ , при вращении тела вокруг полюсаА ,– вектор углового ускорения, направленный перпендикулярно к плоскости движения;– нормальное ускорение точкиB при вращении тела вокруг полюсаА . С учетом этих обозначений выражение для ускорения записывается следующим образом:
. Таким образом, ускорение любой точки тела при плоском движении равно геометрической сумме ускорения какой-либо другой точки тела (полюса) и ускорения точки тела при его вращении вокруг полюса. Если обозначить
, то
,
,
,
.

Мгновенным центром ускорений тела при плоском движении называется точка тела или подвижной плоскости, жестко связанной с телом, ускорение которой в данный момент времени равна нулю.

Покажем, что если в данный момент времени
и
, то мгновенный центр ускорений существует. Рассмотрим плоскую фигуру, движущуюся в плоскости чертежа,
,
ускорение точкиА –
. Проведем в точкеА луч под углом
к ускорению
и отложим на нем отрезок
. Покажем, чтоQ – мгновенный центр ускорений, т.е.
.

Ускорение точки Q
,

,
,
,
, следовательно
, а значитQ – мгновенный центр ускорений. Тогда
,
,
.

Рассмотрим способы определения углового ускорения тела при плоском движении.

1. Если известен угол поворота
, то
.

2. Проецируя векторное уравнение
на ось, перпендикулярную ускорению точкиВ (при известных, направлении и величине
, направлении вектора
), получаем уравнение из которого определяем
и тогда
.

До сих пор при изучении движения точки (отдельной точки, точки тела) мы всегда предполагали, что система координат Oxyz, относительно которой рассматривается движение, является неподвижной. Теперь рассмотрим случай, когда система координат Oxyz также движется, так что движутся как точка М, так и система координат Oxyz - по отношению к другой системе координат являющейся неподвижной (рис. 111). Этот случай, когда движение точки М рассматривается одновременно в двух системах координат - подвижной и неподвижной, называется сложным движением точки.

Движение точки относительно неподвижной системы координат называется абсолютным движением. Ее скорость и ускорение по отношению к неподвижным осям называются соответственно абсолютной скоростью и абсолютным ускорением.

Движение точки относительно подвижной системы координат называется относительным движением.

Скорость и ускорение точки по отношению к подвижным осям называются относительной скоростью (обозначается ) и относительным ускорением . Индекс - от латинского слова relativus (относительный).

Движение подвижной системы координат вместе с неизменно связанными с ней геометрическими точками относительно неподвижной системы координат называется переносным движением. Переносной скоростью и переносным ускорением точки М называются скорость и ускорение относительно неподвижной системы координат точки М, неизменно связанной с подвижными осями, с которой совпадает в данный момент времени движущаяся точка М. Индекс e - от латинского enteiner (увлекать с собой).

Понятия переносной скорости и переносного ускорения являются более тонкими. Приведем следующее дополнительное пояснение. В процессе относительного движения точка М оказывается в различных местах (точках) подвижной системы координат.

Обозначим М ту точку подвижной системы координат, с которой совпадает в данный момент движущаяся точка М Точка М движется вместе с подвижной системой координат относительно неподвижной системы с некоторой скоростью и ускорением . Эти величины и служат переносной скоростью и переносным ускорением точки М:

Сделаем еще два замечания.

1. Подвижные и неподвижные координатные оси, фигурирующие в постановке задачи о сложном движении, нужны лишь для общности постановки задачи. На практике роль систем координат выполняют конкретные тела и предметы - подвижные и неподвижные.

2. Переносное движение или, что то же самое, движение подвижных осей относительно неподвижных, сводится к одному из движений твердого тела - поступательному, вращательному и т.д. Поэтому при вычислении переносной скорости и переносного ускорения следует пользоваться соответствующими правилами, установленными для различных видов движения тела.

Скорости и ускорения в сложном движении связаны строгими математическими зависимостями - теоремой сложения скоростей и теоремой сложения ускорений.

Кинематика точки, кинематика твердого тела, поступательное движение, вращательное движение, плоскопараллельное движение, теорема о проекциях скоростей, мгновенный центр скоростей, определение скорости и ускорений точек плоского тела, сложное движение точки

Содержание

Кинематика твердого тела

Чтобы однозначно определить положение твердого тела, нужно указать три координаты (x A , y A , z A ) одной из точек A тела и три угла поворота. Таким образом, положение твердого тела определяется шестью координатами. То есть твердое тело имеет шесть степеней свободы.

В общем случае, зависимость координат точек твердого тела относительно неподвижной системы координат определяется довольно громоздкими формулами. Однако скорости и ускорения точек определяются довольно просто. Для этого нужно знать зависимость координат от времени одной, произвольным образом выбранной, точки A и вектора угловой скорости . Дифференцируя по времени, находим скорость и ускорение точки A и угловое ускорение тела :
; ; .
Тогда скорость и ускорение точки тела с радиус вектором определяется по формулам:
(1) ;
(2) .
Здесь и далее, произведения векторов в квадратных скобках означают векторные произведения.

Отметим, что вектор угловой скорости одинаков для всех точек тела . Он не зависит от координат точек тела. Также вектор углового ускорения одинаков для всех точек тела .

См. вывод формул (1) и (2) на странице: Скорость и ускорение точек твердого тела > > >

Поступательное движение твердого тела

При поступательном движении, угловая скорость равна нулю. Скорости всех точек тела равны. Любая прямая, проведенная в теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Таким образом, для изучения движения твердого тела при поступательном движении, достаточно изучить движение одной любой точки этого тела. См. раздел .

Равноускоренное движение

Рассмотрим случай равноускоренного движения. Пусть проекция ускорения точки тела на ось x постоянна и равна a x . Тогда проекция скорости v x и x - координата этой точки зависят от времени t по закону:
v x = v x0 + a x t ;
,
где v x0 и x 0 - скорость и координата точки в начальный момент времени t = 0 .

Вращательное движение твердого тела

Рассмотрим тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Выберем неподвижную систему координат Oxyz с центром в точке O . Направим ось z вдоль оси вращения. Считаем, что z - координаты всех точек тела остаются постоянными. Тогда движение происходит в плоскости xy . Угловая скорость ω и угловое ускорение ε направлены вдоль оси z :
; .
Пусть φ - угол поворота тела, который зависит от времени t . Дифференцируя по времени, находим проекции угловой скорости и углового ускорения на ось z :
;
.

Рассмотрим движение точки M , которая находится на расстоянии r от оси вращения. Траекторией движения является окружность (или дуга окружности) радиуса r .
Скорость точки :
v = ω r .
Вектор скорости направлен по касательной к траектории.
Касательное ускорение :
a τ = ε r .
Касательное ускорение также направлено по касательной к траектории.
Нормальное ускорение :
.
Оно направлено к оси вращения O .
Полное ускорение :
.
Поскольку векторы и перпендикулярны друг другу, то модуль ускорения :
.

Равноускоренное движение

В случае равноускоренного движения, при котором угловое ускорение постоянно и равно ε , угловая скорость ω и угол поворота φ изменяются со временем t по закону:
ω = ω 0 + ε t ;
,
где ω 0 и φ 0 - угловая скорость и угол поворота в начальный момент времени t = 0 .

Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным или плоским называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости. Выберем прямоугольную систему координат Oxyz . Оси x и y расположим в плоскости, в которой происходит перемещение точек тела. Тогда все z - координаты точек тела остаются постоянными, z - компоненты скоростей и ускорений равны нулю. Векторы угловой скорости и углового ускорения наоборот, направлены вдоль оси z . Их x и y компоненты равны нулю.

Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.
v A cos α = v B cos β .

Мгновенный центр скоростей

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю.

Чтобы определить положение мгновенного центра скоростей P плоской фигуры, нужно знать только направления скоростей и двух его точек A и B . Для этого через точку A проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости . Через точку B проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости . Точка пересечения этих прямых есть мгновенный центр скоростей P . Угловая скорость вращения тела:
.

Если скорости двух точек параллельны друг другу, то ω = 0 . Скорости всех точек тела равны друг другу (в данный момент времени).

Если известна скорость какой либо точки A плоского тела и его угловая скорость ω , то скорость произвольной точки M определяется по формуле (1) , которую можно представить в виде суммы поступательного и вращательного движения:
,
где - скорость вращательного движения точки M относительно точки A . То есть скорость, которую имела бы точка M при вращении по окружности радиуса |AM| с угловой скоростью ω , если бы точка A была неподвижной.
Модуль относительной скорости:
v MA = ω |AM| .
Вектор направлен по касательной к окружности радиуса |AM| с центром в точке A .

Определение ускорений точек плоского тела выполняется с применением формулы (2) . Ускорение любой точки M равно векторной сумме ускорения некоторой точки A и ускорения точки M при вращении вокруг точки A , считая точку A неподвижной:
.
можно разложить на касательное и нормальное ускорения:
.
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории. Нормальное ускорение направлено из точки M к точке A . Здесь ω и ε - угловая скорость и угловое ускорение тела.

Сложное движение точки

Пусть O 1 x 1 y 1 z 1 - неподвижная прямоугольная система координат. Скорость и ускорение точки M в этой системе координат будем называть абсолютной скоростью и абсолютным ускорением .

Пусть Oxyz - подвижная прямоугольная система координат, скажем, жестко связанная с неким твердым телом, движущимся относительно системы O 1 x 1 y 1 z 1 . Скорость и ускорение точки M в системе координат Oxyz будем называть относительной скоростью и относительным ускорением . Пусть - угловая скорость вращения системы Oxyz относительно O 1 x 1 y 1 z 1 .

Рассмотрим точку, совпадающую, в данный момент времени, с точкой M и неподвижной, относительно системы Oxyz (точка, жестко связанная с твердым телом). Скорость и ускорение такой точки в системе координат O 1 x 1 y 1 z 1 будем называть переносной скоростью и переносным ускорением .

Теорема о сложении скоростей

Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
,
где
- кориолисово ускорение.

Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.