Е полн =Е кин + U

Е кин = mv 2 /2 + Jw 2 /2 – кинетическая энергия поступательного и вращательного движения,

U = mgh – потенциальная энергия тела массы m на высоте h над поверхностью Земли.

F тр = кN – сила трения скольжения, N – сила нормального давления, к – коэффициент трения.

В случае нецентрального удара закон сохранения импульса

Sр i = constзаписывается в проекциях на оси координат.

Закон сохранения момента импульса и закон динамики вращательного движения

SL i = const– закон сохранения момента импульса,

L ос = Jw - осевой момент импульса,

L орб = [rp ] –орбитальный момент импульса,

dL/dt=SM внеш – закон динамики вращательного движения,

М = [rF ] = rFsina – момент силы, F – сила, a - угол между радиусом – вектором и силой.

А = òМdj - работа при вращательном движении.

Раздел механика

Кинематика

Задача

Задача. Зависимость пройденного телом пути от времени даётся уравнением s = A–Bt+Ct 2 . Найти скорость и ускорение тела в момент времени t.

Пример решения

v = ds/dt = -B + 2Ct , a = dv/dt =ds 2 /dt 2 = 2C.

Варианты

1.1. Зависимость пройденного телом пути от времени дается

уравнением s = A + Bt + Ct 2 , где А = 3м, В = 2 м/с, С = 1 м/с 2 .

Найти скорость за третью секунду.

2.1. Зависимость пройденного телом пути от времени дается

уравнением s= A+Bt+Ct 2 +Dt 3 , где С = 0,14м/с 2 и D = 0,01 v/c 3 .

Через сколько времени после начала движения ускорение тела

будет равно 1 м/с 2 .

3.1.Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости

20 рад/c через N = 10 оборотов после начала движения. Найти

угловое ускорение колеса.

4.1.Колесо радиусом 0,1 м вращается так, что зависимость угла

j =А +Bt +Ct 3 , где В=2 рад/с и С = 1рад/с 3 . Для точек, лежащих

на ободе колеса, найти через 2 с после начала движения:

1) угловую скорость, 2) линейную скорость, 3) угловое

ускорение, 4) тангенциальное ускорение.

5.1.Колесо радиусом 5 см вращается так, что зависимость угла

поворота радиуса колеса от времени дается уравнением

j =А +Bt +Ct 2 +Dt 3 , где D = 1 рад/с 3 . Найти для точек, лежащих

на ободе колеса изменение тангенциального ускорения за

каждую секунду движения.

6.1.Колесо радиусом 10 см вращается так, что зависимость

линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, от

времени дается уравнением v = At +Bt 2 , где А = 3 см/с 2 и

В = 1 см/с 3 . Найти угол, составляемый вектором полного

ускорения с радиусом колеса в момент времени t = 5с после

начала движения.

7.1.Колесо вращается так, что зависимость угла поворота радиуса

колеса от времени дается уравнением j =А +Bt +Ct 2 +Dt 3 , где

В = 1 рад/с, С =1 рад/с 2 ,D = 1 рад/с 3 . Найти радиус колеса,

если известно, что к концу второй секунды движения

нормальное ускорение точек, лежащих на ободе колеса равно

а n = 346 м/с 2 .

8.1.Радиус вектор материальной точки изменяется со временем по

закону R =t 3 I + t 2 j. Определите для момента времени t = 1 с:

модуль скорости и модуль ускорения.

9.1.Радиус вектор материальной точки изменяется со временем по

закону R =4t 2 I + 3t j +2к. Запишите выражение для вектора

скорости и ускорения. Определите для момента времени t = 2 с

модуль скорости.

10.1.Точка движется в плоскости ху из положения с координатами

х 1 = у 1 = 0 со скоростью v = Ai +Bxj . Определить уравнение

траектории точки у(х) и форму траектории.

Момент инерции

расстоянии L/3 от начала стержня.

Пример решения.

M - масса стержня J = J ст + J гр

L – длина стержня J ст1 = mL 2 /12 – момент инерции стержня

2m – масса грузика относительно его центра. По теореме

Штайнера находим момент инерции

J = ? стержня относительно оси о, отстоящей от центра на расстояние а = L/2 – L/3 = L/6.

J ст = mL 2 /12 + m(L/6) 2 = mL 2 /9.

Согласно принципу суперпозиции

J = mL 2 /9 + 2m(2L/3) 2 = mL 2 .

Варианты

1.2. Определить момент инерции стержня массой 2m относительно оси, отстоящей от начала стержня на расстояние L/4. На конце стержня сосредоточенная масса m.

2.2.Определить момент инерции стержня массой m относительно

оси, отстоящей от начала стержня на расстояние L/5. На конце

стержня сосредоточенная масса 2m.

3.2. Определить момент инерции стержня массой 2m относительно оси, отстоящей от начала стержня на расстояние L/6. На конце стержня сосредоточенная масса m.

4.2. Определить момент инерции стержня массой 3m относительно оси, отстоящей от начала стержня на расстояние L/8. На конце стержня сосредоточенная масса 2m.

5.2. Определить момент инерции стержня массой 2m относительно оси, проходящей через начало стержня. К концу и середине стержня прикреплены сосредоточенные массы m.

6.2. Определить момент инерции стержня массой 2m относительно оси, проходящей через начало стержня. К концу стержня прикреплена сосредоточенная масса 2m, а к середине прикреплена сосредоточенная масса 2m.

7.2. Определить момент инерции стержня массой m относительно оси, отстоящей от начала стержня на L/4. К концу и середине стержня прикреплены сосредоточенные массы m.

8.2. Найти момент инерции тонкого однородного кольца массы m и радиусом r относительно оси, лежащей в плоскости кольца и отстоящей от его центра на r/2.

9.2. Найти момент инерции тонкого однородного диска массы m и радиусом r относительно оси, лежащей в плоскости диска и отстоящей от его центра на r/2.

10.2. Найти момент инерции однородного шара массы m и радиусом

r относительно оси, отстоящей от его центра на r/2.

Томск.: ТУСУР, 2012.- 136 с.

Данное пособие содержит 13 глав по основным разделам механики, предусмотренным базовым стандартом физического образования для студентов технических специальностей ВУЗов. На оригинальном методическом уровне в пособии изложены основы метода координат и векторного понятийного аппарата механики, основы кинематики и динамики поступательного и вращательного движения твердого тела, законы сохранения энергии и импульса механических систем; механика жидкости и упругого твердого вещества, классическая теория гравитации и движения небесных тел, основные свойства гармонических колебаний, физические основы специальной теории относительности. Данное пособие по физике изложено максимально кратким, но достаточно информативным языком. В целом, данное пособие представляется полезным не только для студентов первых курсов, но и для всех выпускников технических вузов. Новые подходы в изложении некоторых разделов найдут также преподаватели физики.

Формат: pdf

Размер: 1,7 Мб

Смотреть, скачать: yandex.disk

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 6
1 Метод координат. Векторы 9
1.1 Определения первичных физических терминов 9
1.2 Система координат 10
1.3 Скорость и ускорение 11
1.4 Изменение координаты как интеграл от скорости 12
1.5 Обобщение на случай трехмерного движения 13
1.6 Векторы 14
1.7 Векторная алгебра 16
2 Кинематика материальной точки 19
2.1 Скорость и ускорение при криволинейном движении 19
2.2 Векторное произведение 21
2.3 Кинематика вращательного движения 24
2.4 Движение тела, брошенного под углом к горизонту 26
3 Законы движения 29
3.1 Понятие силы 29
3.2 Второй закон Ньютона. Масса 30
3.3 Третий закон Ньютона 31
3.4 Инерциальные системы отсчета 33
3.5 Неинерциальные системы отсчета 34
3.6 Принцип относительности Галилея 35
3.7 Примеры различных сил 36
4 Импульс и энергия 40
4.1 Центр инерции (центр масс) протяженного тела 40
4.2 Определение положения центра масс у простых тел 42
4.3 Импульс тела 43
4.4 Механическая работа и кинетическая энергия 44
4.5 Консервативные силы 46
4.6 Потенциальная энергия. Градиент 47
4.7 Закон сохранения механической энергии 49
5 Столкновение двух частиц 51
5.1 Внутренняя энергия механической системы 51
5.2 Классификация парных столкновений 52
5.3 Абсолютно упругий центральный (лобовой) удар 53
5.4 Абсолютно неупругий удар 54
5.5 Столкновение в С-системе 55
5.6 Абсолютно упругий нецентральный удар 55
6 Механика жидкости 58
6.1 Закон Паскаля 58
6.2 Гидростатическое давление. Сила Архимеда 59
6.3 Стационарное течение идеальной жидкости 60
6.4 Примеры использования уравнения Бернулли 62
6.5 Вязкое трение 64
6.6 Течение вязкой жидкости по трубе 65
6.7 Турбулентное течение. Число Рейнольдса 66
6.8 Силы сопротивления при движении тел в вязкой жидкости 67
7 Упругие свойства твердых тел 69
7.1 Напряжение и деформация 69
7.2 Закон Гука. Модуль Юнга и отношение Пуассона 71
7.3 Энергия упругой деформации среды 72
7.4 Всестороннее сжатие 72
7.5 Деформация сжатия закрепленного стержня 73
7.6 Термическая деформация твердых тел 74
7.7 Деформация сдвига 75
8 Динамика твердого тела 78
8.1 Момент инерции твердого тела 78
8.2 Моменты инерции некоторых простых тел 79
8.3 Момент силы 81
8.4 Момент импульса 82
8.5 Динамика вращательного движения 83
8.6 Скатывание круглого тела с наклонной плоскости 84
9 Трехмерное вращение твердых тел 87
9.1 Тензор момента инерции твердого тела 87
9.2 Энергия и момент импульса несимметричного тела 89
9.3 Гироскоп 89
9.4 Центробежные силы и силы Кориолиса 91
10 Сила всемирного тяготения 94
10.1 Закон всемирного тяготения Ньютона 94
10.2 Гравитация вблизи протяженных тел 96
10.3 Приливные силы 98
10.4 Задача Кеплера 99
10.5 Параметры эллиптических орбит 101
10.6 Алгоритм расчета траектории небесного тела 103
11 Гармонические колебания 104
11.1 Малые колебания 104
11.2 Энергия колебательного движения 106
11.3 Сложение одномерных колебаний. Биения 106
11.4 Сложение взаимно перпендикулярных колебаний 107
11.5 Колебания связанных маятников 108
12 Принцип относительности 112
12.1 Скорость света и постулат Эйнштейна 112
12.2 Преобразования Лоренца 114
12.3 Следствия преобразований Лоренца 116
12.3.1 Относительность одновременности 116
12.3.2 Относительность длин отрезков 117
12.3.3 Относительность промежутков времени между событиями. . 118
12.4 Сложение скоростей 119
12.5 Аберрация света 120
13 Релятивистская динамика 122
13.1 Релятивистский импульс 122
13.2 Энергия релятивистских частиц 123
13.3 Закон сохранения полной энергии 124
13.4 Неупругое столкновение двух релятивистских частиц 126
13.5 Четырехмерное пространство-время 127
13.6 Скалярное произведение 4-векторов 129
13.7 Оптический эффект Доплера 131
Заключение 134
Литература 135

Данное пособие содержит 13 глав по основным разделам механики, предусмотренным базовым стандартом физического образования для студентов технических специальностей ВУЗов.
На оригинальном методическом уровне в пособии изложены основы метода координат и векторного понятийного аппарата механики, основы кинематики и динамики поступательного и вращательного движения твердого тела, законы сохранения энергии и импульса механических систем, механика жидкости и упругого твердого вещества, классическая теория гравитации и движения небесных тел, основные свойства гармонических колебаний, физические основы специальной теории относительности.
Содержание глав представляет собой связное и последовательное изложение материала, в котором специально выделены наиболее важные элементы: определения новых терминов, утверждения, имеющие силу теорем, факты или положения, требующие особого внимания от читателя. В конце каждой главы приведен перечень контрольных вопросов, на которые читатель должен уметь ответить в ходе коллоквиума или беседы с преподавателем.
Все векторные величины в формулах и тексте обозначены полужирным шрифтом, например вектор скорости v. Скалярное произведение векторов обозначается точкой между векторами-сомножителями - Fv, а векторное произведение крестиком- г хр. Скобки в математических формулах используются только для стандартной группировки математических операций и обозначения аргументов функций.
Данное пособие по физике изложено максимально кратким, но достаточно информативным языком. В целом, данное пособие представляется полезным не только для студентов первых курсов, но и для всех выпускников технических вузов. Новые подходы в изложении некоторых разделов найдут также преподаватели физики.

Энергия и импульс являются важнейшими понятиями физики. Оказывается, что вообще в природе законы сохранения играют важную роль. Поиск сохраняющихся величин и законов, из которых они могут быть получены, – предмет исследований во многих разделах физики. Выведем эти законы простейшим способом из второго закона Ньютона.

Закон сохранения импульса. Импульс , или количество движения p определяется как произведение массы m материальной точки на скорость V : p = m V . Второй закон Ньютона с использованием определения импульса записывается в виде

= d p = F , (1.3.1)

здесь F – равнодействующая приложенных к телу сил.

Замкнутой системой называют систему, в которой сумма внешних сил, действующих на тело равна нулю:

F = å F i = 0 . (1.3.2)

Тогда изменение импульса тела в замкнутой системе по второму закону Ньютона (1.3.1), (1.3.2) составляет

d p = 0 . (1.3.3)

В этом случае импульс системы частиц остается постоянной величиной:

p = å p i = const . (1.3.4)

Это выражение представляет собой закон сохранения импульса , который формулируется так: когда сумма внешних сил, действующих на тело или систему тел, равна нулю, импульс тела или системы тел является постоянной величиной.

Закон сохранения энергии. В обыденной жизни под понятием «работа» мы понимаем всякий полезный труд человека. В физике же изучается механическая работа , которая совершается, только когда тело перемещается под действием силы. Механическая работа ∆A определяется как скалярное произведение силы F , приложенной к телу, и перемещения тела Δr в результате действия этой силы:

AA = (F , Δr ) = F Ar cosα. (1.3.5)

В формуле (1.3.5) знак работы определяется знаком cos α.

Желая передвинуть шкаф, мы с силой на него надавливаем, но если он при этом в движение не приходит, то механической работы мы не совершаем. Можно представить себе случай, когда тело движется без участия сил (по инерции),

в этом случае механическая работа также не совершается. Если система тел может совершить работу, то она обладает энергией.

Энергия представляет собой одно из важнейших понятий не только в механике, но и в других областях физики: термодинамике и молекулярной физике, электричестве, оптике, атомной, ядерной и физике частиц.

В любой системе, принадлежащей физическому миру, энергия сохраняется при любых процессах. Меняться может лишь форма, в которую она переходит. Например, при попадании пули в кирпич часть кинетической энергии (причем, бóльшая) переходит в тепло. Причина этого – наличие силы трения между пулей и кирпичом, в котором она двигается с большим трением. При вращении ротора турбины механическая энергия превращается в электрическую энергию, а при этом в замкнутой цепи возникает ток. Энергия, выделяющаяся при сжигании химического топлива, т.е. энергия молекулярных связей, превращается в тепловую энергию. Природа химической энергии – это энергия межмолекулярных и межатомных связей, по сути, представляющая собой молекулярную или атомную энергию.

Энергия – скалярная величина, характеризующая способность тела совершить работу:

E2- E1= ∆A. (1.3.6)

При совершении механической работы энергия тела переходит из одной формы в другую. Энергия тела может быть в форме кинетической или потенциальной энергии.

Энергию механического движения

W кин = .

называют кинетической энергией поступательного движения тела. Работа и энергия в системе единиц СИ измеряется в джоулях (Дж).

Энергия может быть обусловлена не только движением тел, но и их взаимным расположением и формой. Такую энергию называют потенциальной .

Потенциальной энергией обладают друг относительно друга два груза, соединенные пружиной, или тело, находящееся на некоторой высоте над Землей. Этот последний пример относится к гравитационной потенциальной энергии, когда тело перемещается с одной высоты над Землей на другую. Она вычисляется по формуле

Механической энергии.

Зависимости импульса от скорости движения двух тел. Масса какого тела больше и во сколько раз? 1) Массы тел одинаковы 2) Масса тела 1больше в 3,5 раза 3) Масса тела 2больше в 3,5 раза 4) По графикам нельзя сравнить массы тел

Движущийся со скоростью v, налетает на покоящийся пластилиновый шарик массой 2т. После удара шарики, слипшись, движутся вместе. Какова скорость их движения? 1) v/3 2) 2v/3 3) v/2 4) Для ответа не хватает данных

Движутся по прямолинейному железнодорожному пути со скоростями, зависимость проекций которых на ось, параллельную путям, от времени показана на рисунке. Через 20 с между вагонами произошла автосцепка. С какой скоростью, и в какую сторону поедут сцепленные вагоны? 1) 1,4 м/с, в сторону начального движения 1. 2) 0,2 м/с, в сторону начального движения 1. 3) 1,4 м/с, в сторону начального движения 2. 4) 0,2 м/с, в сторону начального движения 2.

Величина, показывающая, какую работу может совершить тело Совершенная работа – равна изменению энергии тела

Соответствии с уравнением x: = 2 + 30 t - 2 t2, записанным в СИ. Масса тела 5 кг. Какова кинетическая энергия тела через 3 с после начала движения? 1) 810 Дж 2) 1440 Дж 3) 3240 Дж 4) 4410 Дж

Деформированного тела

Этом совершается работа2 Дж. Какую следует совершить работу, чтобы растянуть пружину еще на 4 см. 1) 16 Дж 2) 4 Дж 3) 8 Дж 4) 2 Дж

Определить кинетическую энергию Ек, которую имеет тело в верхней точке траектории (см.рис.)? 1) EK=mgH 2) EK=m(V0)2/2 + mgh-mgH 3) EK=mgH-mgh 4) EK=m(V0)2/2 + mgH

Одинаковой начальной скоростью. Первый раз вектор скорости мяча был направлен вертикально вниз, второй раз - вертикально вверх, третий раз - горизонтально. Сопротивлением воздуха пренебречь. Модуль скорости мяча при подлете к земле будет: 1) больше в первом случае 2) больше во втором случае 3) больше в третьем случае 4) одинаковым во всех случаях

Фотография установки по исследованию скольжения каретки массой 40 г по наклонной плоскости под углом 30º. В момент начала движения верхний датчик включает секундомер. При прохождения кареткой нижнего датчика секундомер выключается. Оцените количество теплоты, которое выделилось при скольжении каретки по наклонной плоскости между датчиками.

Опускается из точки 1в точку 3 (рис.). В какой из точек траектории его кинетическая энергия имеет наибольшее значение? 1) В точке 1. 2) В точке 2. 3) В точке 3. 4) Во всех точках значения энергии одинаковы.

Поднимаются по противоположному его склону на высоту 2 м (до точки 2 на рисунке) и останавливаются. Масса санок 5 кг. Их скорость на дне оврага была равна 10 м/с. Как изменилась полная механическая энергия санок при движении из точки 1в точку 2? 1) Не изменилась. 2) Возросла на 100 Дж. 3) Уменьшилась на 100 Дж. 4) Уменьшилась на 150 Дж. 2

Импульс тела

Импульсом тела называется величина, равная произведению массы тела на его скорость.

Следует помнить, что речь идет о теле, которое можно представить как материальную точку. Импульс тела ($р$) называют также количеством движения. Понятие количества движения было введено в физику Рене Декартом (1596—1650). Термин «импульс» появился позже (impulsus в переводе с латинского означает «толчок»). Импульс является векторной величиной (как и скорость) и выражается формулой:

$p↖{→}=mυ↖{→}$

Направление вектора импульса всегда совпадает с направлением скорости.

За единицу импульса в СИ принимают импульс тела массой $1$ кг, движущегося со скоростью $1$ м/с, следовательно, единицей импульса является $1$ кг $·$ м/с.

Если на тело (материальную точку) действует постоянная сила в течение промежутка времени $∆t$, то постоянным будет и ускорение:

$a↖{→}={{υ_2}↖{→}-{υ_1}↖{→}}/{∆t}$

где, ${υ_1}↖{→}$ и ${υ_2}↖{→}$ — начальная и конечная скорости тела. Подставив это значение в выражение второго закона Ньютона, получим:

${m({υ_2}↖{→}-{υ_1}↖{→})}/{∆t}=F↖{→}$

Раскрыв скобки и воспользовавшись выражением для импульса тела, имеем:

${p_2}↖{→}-{p_1}↖{→}=F↖{→}∆t$

Здесь ${p_2}↖{→}-{p_1}↖{→}=∆p↖{→}$ — изменение импульса за время $∆t$. Тогда предыдущее уравнение примет вид:

$∆p↖{→}=F↖{→}∆t$

Выражение $∆p↖{→}=F↖{→}∆t$ представляет собой математическую запись второго закона Ньютона.

Произведение силы на время ее действия называют импульсом силы . Поэтому изменение импульса точки равно изменению импульса силы, действующей на нее.

Выражение $∆p↖{→}=F↖{→}∆t$ называется уравнением движения тела . Следует заметить, что одно и то же действие — изменение импульса точки — может быть получено малой силой за большой промежуток времени и большой силой за малый промежуток времени.

Импульс системы тел. Закон изменения импульса

Импульсом (количеством движения) механической системы называется вектор, равный сумме импульсов всех материальных точек этой системы:

${p_{сист}}↖{→}={p_1}↖{→}+{p_2}↖{→}+...$

Законы изменения и сохранения импульса являются следствием второго и третьего законов Ньютона.

Рассмотрим систему, состоящую из двух тел. Силы ($F_{12}$ и $F_{21}$ на рисунке, с которыми тела системы взаимодействуют между собой, называются внутренними.

Пусть кроме внутренних сил на систему действуют внешние силы ${F_1}↖{→}$ и ${F_2}↖{→}$. Для каждого тела можно записать уравнение $∆p↖{→}=F↖{→}∆t$. Сложив левые и правые части этих уравнений, получим:

${∆p_1}↖{→}+{∆p_2}↖{→}=({F_{12}}↖{→}+{F_{21}}↖{→}+{F_1}↖{→}+{F_2}↖{→})∆t$

Согласно третьему закону Ньютона ${F_{12}}↖{→}=-{F_{21}}↖{→}$.

Следовательно,

${∆p_1}↖{→}+{∆p_2}↖{→}=({F_1}↖{→}+{F_2}↖{→})∆t$

В левой части стоит геометрическая сумма изменений импульсов всех тел системы, равная изменению импульса самой системы — ${∆p_{сист}}↖{→}$.С учетом этого равенство ${∆p_1}↖{→}+{∆p_2}↖{→}=({F_1}↖{→}+{F_2}↖{→})∆t$ можно записать:

${∆p_{сист}}↖{→}=F↖{→}∆t$

где $F↖{→}$ — сумма всех внешних сил, действующих на тело. Полученный результат означает, что импульс системы могут изменить только внешние силы, причем изменение импульса системы направлено так же, как суммарная внешняя сила. В этом суть закона изменения импульса механической системы.

Внутренние силы изменить суммарный импульс системы не могут. Они лишь меняют импульсы отдельных тел системы.

Закон сохранения импульса

Из уравнения ${∆p_{сист}}↖{→}=F↖{→}∆t$ вытекает закон сохранения импульса. Если на систему не действуют никакие внешние силы, то правая часть уравнения ${∆p_{сист}}↖{→}=F↖{→}∆t$ обращается в ноль, что означает неизменность суммарного импульса системы:

${∆p_{сист}}↖{→}=m_1{υ_1}↖{→}+m_2{υ_2}↖{→}=const$

Система, на которую не действуют никакие внешние силы или равнодействующая внешних сил равна нулю, называется замкнутой.

Закон сохранения импульса гласит:

Суммарный импульс замкнутой системы тел остается постоянным при любых взаимодействиях тел системы между собой.

Полученный результат справедлив для системы, содержащей произвольное число тел. Если сумма внешних сил не равна нулю, но сумма их проекций на какое-то направление равна нулю, то проекция импульса системы на это направление не меняется. Так, например, система тел на поверхности Земли не может считаться замкнутой из-за силы тяжести, действующей на все тела, однако сумма проекций импульсов на горизонтальное направление может оставаться неизменной (при отсутствии трения), т. к. в этом направлении сила тяжести не действует.

Реактивное движение

Рассмотрим примеры, подтверждающие справедливость закона сохранения импульса.

Возьмем детский резиновый шарик, надуем его и отпустим. Мы увидим, что когда воздух начнет выходить из него в одну сторону, сам шарик полетит в другую. Движение шарика является примером реактивного движения. Объясняется оно законом сохранения импульса: суммарный импульс системы «шарик плюс воздух в нем» до истечения воздуха равен нулю; он должен остаться равным нулю и во время движения; поэтому шарик движется в сторону, противоположную направлению истечения струи, и с такой скоростью, что его импульс по модулю равен импульсу воздушной струи.

Реактивным движением называют движение тела, возникающее при отделении от него с какой- либо скоростью некоторой его части. Вследствие закона сохранения импульса направление движения тела при этом противоположно направлению движения отделившейся части.

На принципе реактивного движения основаны полеты ракет. Современная космическая ракета представляет собой очень сложный летательный аппарат. Масса ракеты складывается из массы рабочего тела (т. е. раскаленных газов, образующихся в результате сгорания топлива и выбрасываемых в виде реактивной струи) и конечной, или, как говорят, «сухой» массы ракеты, остающейся после выброса из ракеты рабочего тела.

Когда реактивная газовая струя с большой скоростью выбрасывается из ракеты, сама ракета устремляется в противоположную сторону. Согласно закону сохранения импульса, импульс $m_{p}υ_p$, приобретаемый ракетой, должен быть равен импульсу $m_{газ}·υ_{газ}$ выброшенных газов:

$m_{p}υ_p=m_{газ}·υ_{газ}$

Отсюда следует, что скорость ракеты

$υ_p=({m_{газ}}/{m_p})·υ_{газ}$

Из этой формулы видно, что скорость ракеты тем больше, чем больше скорость выбрасываемых газов и отношение массы рабочего тела (т. е. массы топлива) к конечной («сухой») массе ракеты.

Формула $υ_p=({m_{газ}}/{m_p})·υ_{газ}$ является приближенной. В ней не учитывается, что по мере сгорания топлива масса летящей ракеты становится все меньше и меньше. Точная формула для скорости ракеты была получена в 1897 г. К. Э. Циолковским и носит его имя.

Работа силы

Термин «работа» был введен в физику в 1826 г. французским ученым Ж. Понселе. Если в обыденной жизни работой называют лишь труд человека, то в физике и, в частности, в механике принято считать, что работу совершает сила. Физическую величину работы обычно обозначают буквой $А$.

Работа силы — это мера действия силы, зависящая от ее модуля и направления, а также от перемещения точки приложения силы. Для постоянной силы и прямолинейного перемещения работа определяется равенством:

$A=F|∆r↖{→}|cosα$

где $F$ — сила, действующая на тело, $∆r↖{→}$ — перемещение, $α$ — угол между силой и перемещением.

Работа силы равна произведению модулей силы и перемещения и косинуса угла между ними, т. е. скалярному произведению векторов $F↖{→}$ и $∆r↖{→}$.

Работа — величина скалярная. Если $α 0$, а если $90°

При действии на тело нескольких сил полная работа (сумма работ всех сил) равна работе результирующей силы.

Единицей работы в СИ является джоуль ($1$ Дж). $1$ Дж — это работа, которую совершает сила в $1$ Н на пути в $1$ м в направлении действия этой силы. Эта единица названа в честь английского ученого Дж. Джоуля (1818-1889): $1$ Дж = $1$ Н $·$ м. Часто применяются также килоджоули и миллиджоули: $1$ кДж $= 1 000$ Дж, $1$ мДж $= 0.001$ Дж.

Работа силы тяжести

Рассмотрим тело, скользящее по наклонной плоскости с углом наклона $α$ и высотой $Н$.

Выразим $∆x$ через $H$ и $α$:

$∆x={H}/{sinα}$

Учитывая, что сила тяжести $F_т=mg$ составляет угол ($90° - α$) с направлением перемещения, используя формулу $∆x={H}/{sin}α$, получим выражение для работы силы тяжести $A_g$:

$A_g=mg·cos(90°-α)·{H}/{sinα}=mgH$

Из этой формулы видно, что работа силы тяжести зависит от высоты и не зависит от угла наклона плоскости.

Отсюда следует, что:

1. работа силы тяжести не зависит от формы траектории, по которой движется тело, а лишь от начального и конечного положения тела;
2. при перемещении тела по замкнутой траектории работа силы тяжести равна нулю, т. е. сила тяжести — консервативная сила (консервативными называются силы, обладающие таким свойством).

Работа сил реакции , равна нулю, поскольку сила реакции ($N$) направлена перпендикулярно перемещению $∆x$.

Работа силы трения

Сила трения направлена противоположно перемещению $∆x$ и составляет с ним угол $180°$, поэтому работа силы трения отрицательна:

$A_{тр}=F_{тр}∆x·cos180°=-F_{тр}·∆x$

Так как $F_{тр}=μN, N=mg·cosα, ∆x=l={H}/{sinα},$ то

$A_{тр}=μmgHctgα$

Работа силы упругости

Пусть на нерастянутую пружину длиной $l_0$ действует внешняя сила $F↖{→}$, растягивая ее на $∆l_0=x_0$. В положении $x=x_0F_{упр}=kx_0$. После прекращения действия силы $F↖{→}$ в точке $х_0$ пружина под действием силы $F_{упр}$ сжимается.

Определим работу силы упругости при изменении координаты правого конца пружины от $х_0$ до $х$. Поскольку сила упругости на этом участке изменяется линейно, в законе Гука можно использовать ее среднее значение на этом участке:

$F_{упр.ср.}={kx_0+kx}/{2}={k}/{2}(x_0+x)$

Тогда работа (с учетом того, что направления ${F_{упр.ср.}}↖{→}$ и ${∆x}↖{→}$ совпадают) равна:

$A_{упр}={k}/{2}(x_0+x)(x_0-x)={kx_0^2}/{2}-{kx^2}/{2}$

Можно показать, что вид последней формулы не зависит от угла между ${F_{упр.ср.}}↖{→}$ и ${∆x}↖{→}$. Работа сил упругости зависит лишь от деформаций пружины в начальном и конечном состояниях.

Таким образом, сила упругости, подобно силе тяжести, является консервативной силой.

Мощность силы

Мощность — физическая величина, измеряемая отношением работы к промежутку времени, в течение которого она произведена.

Другими словами, мощность показывает, какая работа совершается за единицу времени (в СИ — за $1$ с).

Мощность определяется формулой:

где $N$ — мощность, $А$ — работа, совершенная за время $∆t$.

Подставив в формулу $N={A}/{∆t}$ вместо работы $A$ ее выражение $A=F|{∆r}↖{→}|cosα$, получим:

$N={F|{∆r}↖{→}|cosα}/{∆t}=Fυcosα$

Мощность равна произведению модулей векторов силы и скорости на косинус угла между этими векторами.

Мощность в системе СИ измеряется в ваттах (Вт). Один ватт ($1$ Вт) — это такая мощность, при которой за $1$ с совершается работа $1$ Дж: $1$ Вт $= 1$ Дж/с.

Эта единица названа в часть английского изобретателя Дж. Ватта (Уатта), построившего первую паровую машину. Сам Дж. Ватт (1736-1819) пользовался другой единицей мощности — лошадиной силой (л. с.), которую он ввел для того, чтобы можно было сравнивать работоспособности паровой машины и лошади: $1$ л.с. $= 735.5$ Вт.

В технике часто применяются более крупные единицы мощности — киловатт и мегаватт: $1$ кВт $= 1000$ Вт, $1$ МВт $= 1000000$ Вт.

Кинетическая энергия. Закон изменения кинетической энергии

Если тело или несколько взаимодействующих между собой тел (система тел) могут совершать работу, то говорят, что они обладают энергией.

Слово «энергия» (от греч. energia — действие, деятельность) нередко употребляется в быту. Так, например, людей, которые могут быстро выполнять работу, называют энергичными, обладающими большой энергией.

Энергия, которой обладает тело вследствие движения, называется кинетической энергией.

Как и в случае определения энергии вообще, о кинетической энергии можно сказать, что кинетическая энергия — это способность движущегося тела совершать работу.

Найдем кинетическую энергию тела массой $m$, движущегося со скоростью $υ$. Поскольку кинетическая энергия — это энергия, обусловленная движением, нулевым состоянием для нее является то состояние, в котором тело покоится. Найдя работу, необходимую для сообщения телу данной скорости, мы найдем его кинетическую энергию.

Для этого подсчитаем работу на участке перемещения $∆r↖{→}$ при совпадении направлений векторов силы $F↖{→}$ и перемещения $∆r↖{→}$. В этом случае работа равна

где $∆x=∆r$

Для движения точки с ускорением $α=const$ выражение для перемещения имеет вид:

$∆x=υ_1t+{at^2}/{2},$

где $υ_1$ — начальная скорость.

Подставив в уравнение $A=F·∆x$ выражение для $∆x$ из $∆x=υ_1t+{at^2}/{2}$ и воспользовавшись вторым законом Ньютона $F=ma$, получим:

$A=ma(υ_1t+{at^2}/{2})={mat}/{2}(2υ_1+at)$

Выразив ускорение через начальную $υ_1$ и конечную $υ_2$ скорости $a={υ_2-υ_1}/{t}$ и подставив в $A=ma(υ_1t+{at^2}/{2})={mat}/{2}(2υ_1+at)$ имеем:

$A={m(υ_2-υ_1)}/{2}·(2υ_1+υ_2-υ_1)$

$A={mυ_2^2}/{2}-{mυ_1^2}/{2}$

Приравняв теперь начальную скорость к нулю: $υ_1=0$, получим выражение для кинетической энергии:

$E_K={mυ}/{2}={p^2}/{2m}$

Таким образом, движущееся тело обладает кинетической энергией. Эта энергия равна работе, которую необходимо совершить, чтобы увеличить скорость тела от нуля до значения $υ$.

Из $E_K={mυ}/{2}={p^2}/{2m}$ следует, что работа силы по перемещению тела из одного положения в другое равна изменению кинетической энергии:

$A=E_{K_2}-E_{K_1}=∆E_K$

Равенство $A=E_{K_2}-E_{K_1}=∆E_K$ выражает теорему об изменении кинетической энергии.

Изменение кинетической энергии тела (материальной точки) за некоторый промежуток времени равно работе, совершенной за это время силой, действующей на тело.

Потенциальная энергия

Потенциальной энергией называется энергия, определяемая взаимным расположением взаимодействующих тел или частей одного и того же тела.

Поскольку энергия определяется как способность тела совершать работу, то потенциальную энергию, естественно, определяют как работу силы, зависящую только от взаимного расположения тел. Таковой является работа силы тяжести $A=mgh_1-mgh_2=mgH$ и работа силы упругости:

$A={kx_0^2}/{2}-{kx^2}/{2}$

Потенциальной энергией тела, взаимодействующего с Землей, называют величину, равную произведению массы $m$ этого тела на ускорение свободного падения $g$ и на высоту $h$ тела над поверхностью Земли:

Потенциальной энергией упруго деформированного тела называют величину, равную половине произведения коэффициента упругости (жесткости) $k$ тела на квадрат деформации $∆l$:

$E_p={1}/{2}k∆l^2$

Работа консервативных сил (тяжести и упругости) с учетом $E_p=mgh$ и $E_p={1}/{2}k∆l^2$ выражается следующим образом:

$A=E_{p_1}-E_{p_2}=-(E_{p_2}-E_{p_1})=-∆E_p$

Эта формула позволяет дать общее определение потенциальной энергии.

Потенциальной энергией системы называется зависящая от положения тел величина, изменение которой при переходе системы из начального состояния в конечное равно работе внутренних консервативных сил системы, взятой с противоположным знаком.

Знак «минус» в правой части уравнения $A=E_{p_1}-E_{p_2}=-(E_{p_2}-E_{p_1})=-∆E_p$ означает, что при совершении работы внутренними силами (например, падение тела на землю под действием силы тяжести в системе «камень — Земля») энергия системы убывает. Работа и изменение потенциальной энергии в системе всегда имеют противоположные знаки.

Поскольку работа определяет лишь изменение потенциальной энергии, то физический смысл в механике имеет только изменение энергии. Поэтому выбор нулевого уровня энергии произволен и определяется исключительно соображениями удобства, например, простотой записи соответствующих уравнений.

Закон изменения и сохранения механической энергии

Полной механической энергией системы называется сумма ее кинетической и потенциальной энергий:

Она определяется положением тел (потенциальная энергия) и их скоростью (кинетическая энергия).

Согласно теореме о кинетической энергии,

$E_k-E_{k_1}=A_p+A_{пр},$

где $А_р$ — работа потенциальных сил, $А_{пр}$ — работа непотенциальных сил.

В свою очередь, работа потенциальных сил равна разности потенциальной энергии тела в начальном $Е_{р_1}$ и конечном $Е_р$ состояниях. Учитывая это, получим выражение для закона изменения механической энергии:

$(E_k+E_p)-(E_{k_1}+E_{p_1})=A_{пр}$

где левая часть равенства — изменение полной механической энергии, а правая — работа непотенциальных сил.

Итак, закон изменения механической энергии гласит:

Изменение механической энергии системы равно работе всех непотенциальных сил.

Механическая система, в которой действуют только потенциальные силы, называется консервативной.

В консервативной системе $А_{пр} = 0$. Отсюда следует закон сохранения механической энергии:

В замкнутой консервативной системе полная механическая энергия сохраняется (не изменяется со временем):

$E_k+E_p=E_{k_1}+E_{p_1}$

Закон сохранения механической энергии выводится из законов механики Ньютона, которые применимы для системы материальных точек (или макрочастиц).

Однако закон сохранения механической энергии справедлив и для системы микрочастиц, где сами законы Ньютона уже не действуют.

Закон сохранения механической энергии является следствием однородности времени.

Однородность времени состоит в том, что при одинаковых начальных условиях протекание физических процессов не зависит от того, в какой момент времени эти условия созданы.

Закон сохранения полной механической энергии означает, что при изменении кинетической энергии в консервативной системе должна меняться и ее потенциальная энергия, так что их сумма остается постоянной. Это означает возможность превращения одного вида энергии в другой.

В соответствии с различными формами движения материи рассматривают различные виды энергии: механическую, внутреннюю (равную сумме кинетической энергии хаотического движения молекул относительно центра масс тела и потенциальной энергии взаимодействия молекул друг с другом), электромагнитную, химическую (которая складывается из кинетической энергии движения электронов и электрической энергии их взаимодействия друг с другом и с атомными ядрами), ядерную и пр. Из сказанного видно, что деление энергии на разные виды достаточно условно.

Явления природы обычно сопровождаются превращением одного вида энергии в другой. Так, например, трение частей различных механизмов приводит к превращению механической энергии в тепло, т. е. во внутреннюю энергию. В тепловых двигателях, наоборот, происходит превращение внутренней энергии в механическую; в гальванических элементах химическая энергия превращается в электрическую и т. д.

В настоящее время понятие энергии является одним из основных понятий физики. Это понятие неразрывно связано с представлением о превращении одной формы движения в другую.

Вот как в современной физике формулируется понятие энергии:

Энергия — общая количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. Энергия не возникает из ничего и не исчезает, она может только переходить из одной формы в другую. Понятие энергии связывает воедино все явления природы.

Простые механизмы. КПД механизмов

Простыми механизмами называются приспособления, изменяющие величину или направление приложенных к телу сил.

Они применяются для перемещения или подъема больших грузов с помощью небольших усилий. К ним относятся рычаг и его разновидности — блоки (подвижный и неподвижный), ворот, наклонная плоскость и ее разновидности — клин, винт и др.

Рычаг. Правило рычага

Рычаг представляет собой твердое тело, способное вращаться вокруг неподвижной опоры.

Правило рычага гласит:

Рычаг находится в равновесии, если приложенные к нему силы обратно пропорциональны их плечам:

${F_2}/{F_1}={l_1}/{l_2}$

Из формулы ${F_2}/{F_1}={l_1}/{l_2}$, применив к ней свойство пропорции (произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов), можно получить такую формулу:

Но $F_1l_1=M_1$ — момент силы, стремящейся повернуть рычаг по часовой стрелке, а $F_2l_2=M_2$ — момент силы, стремящейся повернуть рычаг против часовой стрелки. Таким образом, $M_1=M_2$, что и требовалось доказать.

Рычаг начал применяться людьми в глубокой древности. С его помощью удавалось поднимать тяжелые каменные плиты при постройке пирамид в Древнем Египте. Без рычага это было бы невозможно. Ведь, например, для возведения пирамиды Хеопса, имеющей высоту $147$ м, было использовано более двух миллионов каменных глыб, самая меньшая из которых имела массу $2.5$ тонн!

В наше время рычаги находят широкое применение как на производстве (например, подъемные краны), так и в быту (ножницы, кусачки, весы).

Неподвижный блок

Действие неподвижного блока аналогично действию рычага с равными плечами: $l_1=l_2=r$. Приложенная сила $F_1$ равна нагрузке $F_2$, и условие равновесия имеет вид:

Неподвижный блок применяют, когда нужно изменить направление силы, не меняя ее величину.

Подвижный блок

Подвижный блок действует аналогично рычагу, плечи которого составляют: $l_2={l_1}/{2}=r$. При этом условие равновесия имеет вид:

где $F_1$ — приложенная сила, $F_2$ — нагрузка. Применение подвижного блока дает выигрыш в силе в два раза.

Полиспаст (система блоков)

Обычный полиспаст состоит из $n$ подвижных и $n$ неподвижных блоков. Его применив дает выигрыш в силе в $2n$ раз:

$F_1={F_2}/{2n}$

Степенной полиспаст состоит из п подвижных и одного неподвижного блока. Применение степенного полиспаста дает выигрыш в силе в $2^n$ раз:

$F_1={F_2}/{2^n}$

Винт

Винт представляет собой наклонную плоскость, навитую на ось.

Условие равновесия сил, действующих на винт, имеет вид:

$F_1={F_2h}/{2πr}=F_2tgα, F_1={F_2h}/{2πR}$

где $F_1$ — внешняя сила, приложенная к винту и действующая на расстоянии $R$ от его оси; $F_2$ — сила, действующая в направлении оси винта; $h$ — шаг винта; $r$ — средний радиус резьбы; $α$ — угол наклона резьбы. $R$ — длина рычага (гаечного ключа), вращающего винт с силой $F_1$.

Коэффициент полезного действия

Коэффициент полезного действия (КПД) — отношение полезной работы ко всей затраченной работе.

Коэффициент полезного действия часто выражают в процентах и обозначают греческой буквой $η$ («эта»):

$η={A_п}/{A_3}·100%$

где $А_п$ — полезная работа, $А_3$ — вся затраченная работа.

Полезная работа всегда составляет лишь часть полной работы, которую затрачивает человек, используя тот или иной механизм.

Часть совершенной работы тратится на преодоление сил трения. Поскольку $А_3 > А_п$, КПД всегда меньше $1$ (или $< 100%$).

Поскольку каждую из работ в этом равенстве можно выразить в виде произведения соответствующей силы на пройденный путь, то его можно переписать так: $F_1s_1≈F_2s_2$.

Отсюда следует, что, выигрывая с помощью механизма в силе, мы во столько же раз проигрываем в пути, и наоборот . Этот закон называют золотым правилом механики.

Золотое правило механики является приближенным законом, так как в нем не учитывается работа по преодолению трения и силы тяжести частей используемых приспособлений. Тем не менее оно бывает очень полезным при анализе работы любого простого механизма.

Так, например, благодаря этому правилу сразу можно сказать, что рабочему, изображенному на рисунке, при двукратном выигрыше в силе подъема груза на $10$ см придется опустить противоположный конец рычага на $20$ см.

Столкновение тел. Упругий и неупругий удары

Законы сохранения импульса и механической энергии применяются для решения задачи о движении тел после столкновения: по известным импульсам и энергиям до столкновения определяются значения этих величин после столкновения. Рассмотрим случаи упругого и неупругого ударов.

Абсолютно неупругим называется удар, после которого тела образуют единое тело, движущееся с определенной скоростью. Задача о скорости последнего решается с помощью закона сохранения импульса системы тел с массами $m_1$ и $m_2$ (если речь идет о двух телах) до и после удара:

$m_1{υ_1}↖{→}+m_2{υ_2}↖{→}=(m_1+m_2)υ↖{→}$

Очевидно, что кинетическая энергия тел при неупругом ударе не сохраняется (например, при ${υ_1}↖{→}=-{υ_2}↖{→}$ и $m_1=m_2$ она становится равной нулю после удара).

Абсолютно упругим называется удар, при котором сохраняется не только сумма импульсов, но и сумма кинетических энергий ударяющихся тел.

Для абсолютно упругого удара справедливы уравнения

$m_1{υ_1}↖{→}+m_2{υ_2}↖{→}=m_1{υ"_1}↖{→}+m_2{υ"_2}↖{→};$

${m_{1}υ_1^2}/{2}+{m_{2}υ_2^2}/{2}={m_1(υ"_1)^2}/{2}+{m_2(υ"_2)^2}/{2}$

где $m_1, m_2$ — массы шаров, $υ_1, υ_2$ —скорости шаров до удара, $υ"_1, υ"_2$ —скорости шаров после удара.