В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, \(\frac{π}{2}, \frac{π}{3}, \frac{7π}{4}, 10π, -\frac{29π}{6}\)) разбирается в .
Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют , расставленным по следующим правилам:
1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;
2) Против часовой стрелки - положительное направление; по часовой – отрицательное;
3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(t\);
4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(–t\).
Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.
Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.
Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен \(1\). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках \(1\) и \(-1\).
Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).
Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы \(l=2πR\) мы получим:
Длина числовой окружности равна \(2π\) или примерно \(6,28\).
А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» - точка, которая соответствует этому числу.
Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности - каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?
Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте \(1\) на оси \(x\) и \(0\) на окружности – это точки на разных объектах.
Какие точки соответствуют числам \(1\), \(2\) и т.д?
Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен \(1\)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.
Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.
Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу \(2\), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы \(3\) – расстояние равное трем радиусам и т.д.
При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.
2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.
К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: \(2π\). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли : \(\frac{π}{2}\),\(-\frac{π}{2}\),\(\frac{3π}{2}\), \(2π\). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с \(π\). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в
ОБЯЗАТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ
1 Проверяем
У пирамиды 28 рёбер. Сколько у неё граней и сколько вершин?
2 .
Найдите площадь треугольника с вершинами в точках (–1; 3), (–4; –1), (4; –3).
3 Проверяем .
Найдите площадь фигуры, являющейся развёрткой куба, если объём этого куба равен 8 см 3 .
4 Проверяем .
На окружности отмечено десять точек. Найдите количество всех возможных отрезков с концами в отмеченных точках.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ
5 Проверяем
Можно ли разрезать прямоугольник 7 × 4 на фигуры тетрамино: четыре фигуры «шип» и три фигуры «зигзаг»? Обоснуйте свой ответ.
6 Проверяем
Развёрткой треугольной пирамиды является шестиугольник, у которого некоторые три стороны равны по 5 см и некоторые две стороны равны по 7 см. Какую длину может иметь шестая сторона? Обоснуйте свой ответ.
| КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №9 (ЗА IV ЧЕТВЕРТЬ) | Вариант 2 |
ОБЯЗАТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ
1 Проверяем умение решать геометрические задачи.
У призмы 30 рёбер. Сколько у неё граней и сколько вершин?
2 Проверяем умение находить площадь треугольника по координатам его вершин .
Найдите площадь треугольника с вершинами в точках (1; –5), (–3; –2), (3; 3).
3 Проверяем умение решать задачи на нахождение геометрических величин .
Площадь фигуры, являющейся развёрткой куба, равна 54 см 2 . Найдите объём этого куба.
4 Проверяем умение решать задачи на перебор возможных вариантов .
На прямой отмечено восемь точек, и одна точка отмечена вне этой прямой. Найдите количество всех возможных треугольников с вершинами в девяти отмеченных точках.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ
5 Проверяем умение решать задачи на разрезание и составление фигур.
Можно ли разрезать прямоугольник 7 × 4 на фигуры тетрамино: шесть фигур «шип» и одну фигуру «угол»? Обоснуйте свой ответ.
6 Проверяем умение решать нестандартные задачи.
Развёрткой треугольной пирамиды является шестиугольник. Могут ли некоторые пять сторон этого шестиугольника быть равными по 4 см, а оставшаяся сторона – 3 см? Обоснуйте свой ответ.
| КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №9 (ЗА IV ЧЕТВЕРТЬ) | Вариант 3 |
ОБЯЗАТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ
1 Проверяем умение решать геометрические задачи.
У пирамиды 25 граней. Сколько у неё рёбер и сколько вершин?
2 Проверяем умение находить площадь треугольника по координатам его вершин .
Найдите площадь треугольника с вершинами в точках (1; 5), (4; –2), (–2; –1).
3 Проверяем умение решать задачи на нахождение геометрических величин .
Найдите площадь фигуры, являющейся развёрткой куба, если объём этого куба равен 27 см 3 .
4 Проверяем умение решать задачи на перебор возможных вариантов .
На окружности отмечено девять точек. Найдите количество всех возможных отрезков с концами в отмеченных точках.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ
5 Проверяем умение решать задачи на разрезание и составление фигур.
Можно ли разрезать прямоугольник 7 × 4 на фигуры тетрамино: шесть фигур «шип» и одну фигуру «зигзаг»? Обоснуйте свой ответ.
6 Проверяем умение решать нестандартные задачи.
Развёрткой треугольной пирамиды является шестиугольник, у которого некоторые четыре стороны равны по 8 см и одна сторона равна 9 см. Какую длину может иметь шестая сторона? Обоснуйте свой ответ.
| КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №9 (ЗА IV ЧЕТВЕРТЬ) | Вариант 4 |
ОБЯЗАТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ
1 Проверяем умение решать геометрические задачи.
У призмы 26 граней. Сколько у неё рёбер и сколько вершин?
2 Проверяем умение находить площадь треугольника по координатам его вершин .
Найдите площадь треугольника с вершинами в точках (5; 2), (–2; –1), (2; –4).
3 Проверяем умение решать задачи на нахождение геометрических величин .
Площадь фигуры, являющейся развёрткой куба, равна 24 см 2 . Найдите объём этого куба.
4 Проверяем умение решать задачи на перебор возможных вариантов .
На прямой отмечено семь точек, и одна точка отмечена вне этой прямой. Найдите количество всех возможных треугольников с вершинами в восьми отмеченных точках.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ
5 Проверяем умение решать задачи на разрезание и составление фигур.
Можно ли разрезать прямоугольник 7 × 4 на фигуры тетрамино: пять фигур «зигзаг» и две фигуры «угол»? Обоснуйте свой ответ.
6 Проверяем умение решать нестандартные задачи.
Развёрткой треугольной пирамиды является шестиугольник. Могут ли некоторые три стороны этого шестиугольника быть равными по 6 см, а оставшиеся три стороны – по 4 см? Обоснуйте свой ответ.
При изучении тригонометрии в школе каждый ученик сталкивается с весьма интересным понятием «числовая окружность». От умения школьного учителя объяснить, что это такое, и для чего она нужна, зависит, насколько хорошо ученик пойдём тригонометрию впоследствии. К сожалению, далеко не каждый учитель может доступно объяснить этот материал. В результате многие ученики путаются даже с тем, как отмечать точки на числовой окружности . Если вы дочитаете эту статью до конца, то научитесь делать это без проблем.
Итак, приступим. Нарисуем окружность, радиус которой равен 1. Самую «правую» точку этой окружности обозначим буквой O :
Поздравляю, вы только что нарисовали единичную окружность. Поскольку радиус этой окружности равен 1, то её длина равна .
Каждому действительному числу можно поставить в соответствие длину траектории вдоль числовой окружности от точки O . За положительное направление принимается направление движения против часовой стрелки. За отрицательное – по часовой стрелке:
Расположение точек на числовой окружности
Как мы уже отмечали, длина числовой окружности (единичной окружности) равна . Где тогда будет располагаться на этой окружности число ? Очевидно, от точки O против часовой стрелки нужно пройти половину длины окружности, и мы окажемся в нужной точке. Обозначим её буквой B :
Обратите внимание, что в ту же точку можно было бы попасть, пройдя полуокружность в отрицательном направлении. Тогда бы мы отложили на единичной окружности число . То есть числам и соответствует одна и та же точка.
Причём этой же точке соответствуют также числа , , , и, вообще, бесконечное множество чисел, которые можно записать в виде , где , то есть принадлежит множеству целых чисел. Всё это потому, что из точки B можно совершить «кругосветное» путешествие в любую сторону (добавить или вычесть длину окружности ) и попасть в ту же самую точку. Получаем важный вывод, который нужно понять и запомнить.
Каждому числу соответствует единственная точка на числовой окружности. Но каждой точке на числовой окружности соответствует бесконечно много чисел.
Разобьем теперь верхнюю полуокружность числовой окружности на дуги равной длины точкой C . Легко видеть, что длина дуги OC равна . Отложим теперь от точки C дугу той же длины в направлении против часовой стрелки. В результате попадём в точку B . Результат вполне ожидаемый, поскольку . Отложим эту дугу в том же направлении ещё раз, но теперь уже от точки B . В результате попадём в точку D , которая будет уже соответствовать числу :
Заметим опять, что эта точка соответствует не только числу , но и, например, числу , потому что в эту точку можно попасть, отложив от точки O четверть окружности в направлении движения часовой стрелки (в отрицательном направлении).
И, вообще, отметим снова, что этой точке соответствует бесконечно много чисел, которые можно записать в виде 
. Но их также можно записать в виде . Или, если хотите, в виде . Все эти записи абсолютно равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.
Разобьём теперь дугу на OC пополам точкой M . Сообразите теперь, чему равна длина дуги OM ? Правильно, вдвое меньше дуги OC . То есть . Каким числам соответствует точка M на числовой окружности? Уверен, что теперь вы сообразите, что эти числа можно записать в виде .
Но можно и иначе. Давайте в представленной формуле возьмём . Тогда получим, что 
. То есть эти числа можно записать в виде 
. Этот же результат можно было получить, используя числовую окружность. Как я уже говорил, оба записи равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.
Теперь вы легко можете привести пример чисел, которым соответствуют точки N , P и K на числовой окружности. Например, числам , и :
Часто именно минимальные положительные числа и берут для обозначения соответствующих точек на числовой окружности. Хотя это совсем не обязательно, и точке N , как вы уже знаете, соответствует бесконечное множество других чисел. В том числе, например, число .
Если разбить дугу OC на три равные дуги точками S и L , так что точка S будет лежать между точками O и L , то длина дуги OS будет равна , а длина дуги OL будет равна . Используя знания, которые вы получили в предыдущей части урока, вы без труда сообразите, как получились остальные точки на числовой окружности:
Числа не кратные π на числовой окружности
Зададимся теперь вопросом, где на числовой прямой отметить точку, соответствующую числу 1? Чтобы это сделать, надо от самой «правой» точки единичной окружности O отложить дугу, длина которой была бы равна 1. Указать место искомой точки мы можем лишь приблизительно. Поступим следующим образом.
