ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ

ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ

Величины, играющие роль обычных сил, когда при изучении равновесия или движения механич. системы её положение определяется обобщёнными координатами. Число О. с. равно числу s степеней свободы системы; при этом каждой обобщённой координате qi соответствует своя О. с. Qi. Значение О. с. Q1, соответствующей координате q1, можно найти, вычислив элем. работу dA1 всех сил на возможном перемещении системы, при к-ром изменяется только координата q1:, получая приращение dq1. Тогда dA1=Q1dq1т. е. коэффициент при dqi в выражении dA1 и будет О. с. Q1. Аналогично вычисляются Q2, Q3, . . ., Qs.

Размерность О. с. зависит от размерности обобщённой координаты. Если qi имеет длины, то Qi - размерность обычной силы; если qi - угол, то Qi имеет размерность момента силы, и т. д. При изучении движения механич. системы О. с, входят вместо обычных сил в Лагранжа уравнения механики, а при равновесии все О. с. равны нулю.

Физический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Главный редактор А. М. Прохоров . 1983 .

Смотреть что такое "ОБОБЩЁННЫЕ СИЛЫ" в других словарях:

Величины, играющие роль обычных сил, когда при изучении равновесия или движения механической системы её положение определяется обобщёнными координатами (См. Обобщённые координаты). Число О. с. равно числу s степеней свободы системы; при… …

В механике величины Qi, произведение к рых на элементарные при рашения dqi обобщённых координат qi механич. системы дают выражение элементарной работы бА где образован из ворса волокнистых материалов (хлопок, вискоза). Для наклейки О. обычно… … Большой энциклопедический политехнический словарь

- (США) (United States of America, USA). I. Общие сведения США государство в Северной Америке. Площадь 9,4 млн. км2. Население 216 млн. чел. (1976, оценка). Столица г. Вашингтон. В административном отношении территория США … Большая советская энциклопедия

- (ВВС СССР) Флаг советских Военно воздушных сил Годы существования … Википедия

- الإمارات العربية المتحدة‎ аль Имарат аль Арабия аль Муттахида … Википедия

Поле сил заданное в области Q конфигурационного пространства как градиент скалярной ф ции: где (обобщённые) координаты, U(q) потенциальная энергия. Работа П. с. по любому замкнутому контуру в Q, стягиваемому в точку, равна нулю. Признаком… … Физическая энциклопедия

- (ВВС) вид вооружённых сил государства, предназначенный для самостоятельных действий при решении оперативно стратегических задач и для совместных действий с другими видами вооружённых сил. По своим боевым возможностям современные ВВС… … Большая советская энциклопедия

Силы, мера действия силы, зависящая от численной величины и направления силы и от перемещения точки её приложения. Если сила F численно и по направлению постоянна, а перемещение M0M1 прямолинейно (рис. 1), то P. A = F․s․cosα, где s = M0M1 … Большая советская энциклопедия

Силы, мера действия силы, зависящая от численной величины и направления силы и от перемещения точки её приложения. Если сила F численно и по направлению постоянна, а перемещение М0М1 прямолинейно (рис. 1), то P. A = F s cosa, где s=M0M1, a угол… … Физическая энциклопедия

Механики. 1) Лагранжа уравнения 1 го рода дифференциальные ур ния движения механич. системы, к рые даны в проекциях на прямоугольные координатные оси и содержат т. н. множители Лагранжа. Получены Ж. Лагранжем в 1788. Для голономной системы,… … Физическая энциклопедия

Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат

П = П(q 1 , q 2 , q 3 ,…,q s ).

Замечания.

Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.

Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты. Так если размерность [q ] – метр, то размерность

[Q]= Нм/м = Ньютон, если [q ] – радиан, то [Q] = Нм; если [q ] = м 2 , то [Q]=H/м и т.п.

Пример 4. По качающемуся в вертикальной плоскости стержню скользит колечко М весом Р (рис.10). Стержень считаем невесомым. Определим обобщенные силы.

Рис.10

Решение. Система имеет две степени свободы. Назначаем две обобщенные координаты s и .

Найдем обобщенную силу, соответствующую координате s. Даем приращение этой координате, оставляя координату неизменной, и вычислив работу единственной активной силы Р , получим обобщенную силу

Затем даем приращение координате , полагая s = const. При повороте стержня на угол точка приложения силы Р , колечко М , переместится на . Обобщенная сила получится

Так как система консервативная, обобщенные силы можно найти и с помощью потенциальной энергии . Получим и . Получается гораздо проще.

Уравнения равновесия Лагранжа

По определению (7) обобщенные силы , k = 1,2,3,…,s , где s – число степеней свободы.

Если система находится в равновесии, то по принципу возможных перемещений (1) . Здесь – перемещения, допускаемые связями, возможные перемещения. Поэтому при равновесии материальной системы все ее обобщенные силы равны нулю:

Q k = 0, (k =1,2,3,…, s ). (10)

Эти уравнения, уравнения равновесия в обобщенных координатах или уравнения равновесия Лагранжа , позволяют решать задачи статики еще одним методом.

Если система консервативная, то . Значит, в положении равновесия . То есть в положении равновесия такой материальной системы ее потенциальная энергия либо максимальна, либо минимальна, т.е. функция П(q) имеет экстремум.

Это очевидно из анализа простейшего примера (рис.11). Потенциальная энергия шарика в положении М 1 имеет минимум, в положении М 2 – максимум. Можно заметить, что в положении М 1 равновесие будет устойчивым; в положении М 2 – неустойчивым.

Рис.11

Равновесие считается устойчивым, если телу в этом положении сообщить малую скорость или сместить на малое расстояние и эти отклонения в дальнейшем не увеличатся.

Можно доказать (теорема Лагранжа-Дирихле), что если в положении равновесия консервативной системы ее потенциальная энергия имеет минимум, то это положение равновесия устойчиво.

Для консервативной системы с одной степенью свободы условие минимума потенциальной энергии, а значит и устойчивости положения равновесия, определяется, второй производной, ее значением в положении равновесия,

Пример 5. Стержень ОА весом Р может вращаться в вертикальной плоскости вокруг оси О (рис.12). Найдем и исследуем устойчивость положений равновесия.

Рис.12

Решение. Стержень имеет одну степень свободы. Обобщенная координата – угол .

Относительно нижнего, нулевого, положения потенциальная энергия П=Рh или

В положении равновесия должно быть . Отсюда имеем два положения равновесия, соответствующие углам и (положения ОА 1 и ОА 2). Исследуем их устойчивость. Находим вторую производную . Конечно, при , . Положение равновесия устойчиво. При , . Второе положение равновесия – неустойчиво. Результаты очевидны.

Обобщенные силы инерции.

По той же методике (8), по которой вычислялись обобщенные силы Q k , соответствующие активным, задаваемым, силам, определяются и обобщенные силы S k , соответствующие силам инерции точек системы:

И, так как то

Немного математических преобразований.

Очевидно,

Так как а qk = qk(t), (k = 1,2,3,…, s), то

Значит, частная производная скорости по

Кроме того, в последнем члене (14) можно поменять порядок дифференцирования:

Подставляя (15) и (16) в (14), а потом (14) в (13), получим

Разделив последнюю сумму на две и, имея ввиду, что сумма производных равна производной от суммы, получим

где – кинетическая энергия системы, - обобщенная скорость.

Уравнения Лагранжа.

По определению (7) и (12) обобщенные силы

Но на основании общего уравнения динамика (3), правая часть равенства равна нулю. И так как все (k = 1,2,3,…,s ) отличны от нуля, то . Подставив значение обобщенной силы инерции (17), получим уравнение

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями движения в обобщенных координатах, уравнениями Лагранжа второго рода или просто – уравнениями Лагранжа.

Количество этих уравнений равно числу степеней свободы материальной системы.

Если система консервативная и движется под действием сил потенциального поля, когда обобщенные силы , уравнения Лагранжа можно составить по форме

где L = T – П называется функцией Лагранжа (предполагается, что потенциальная энергия П не зависит от обобщенных скоростей).

Нередко при исследовании движения материальных систем оказывается, что некоторые обобщенные координаты q j не входят явно в функцию Лагранжа (или в Т и П). Такие координаты называют циклическими . Уравнения Лагранжа, соответствующие этим координатам, получаются проще.

Первый интеграл таких уравнений находится сразу. Он называется циклическим интегралом:

Дальнейшие исследования и преобразования уравнений Лагранжа составляют предмет специального раздела теоретической механики – «Аналитическая механика».

Уравнения Лагранжа обладают целым рядом достоинств в сравнении с другими способами исследования движения систем. Основные достоинства: методика составления уравнений одинакова во всех задачах, реакции идеальных связей не учитываются при решении задач.

И еще одно – эти уравнения можно использовать для исследования не только механических, но и других физических систем (электрических, электромагнитных, оптических и др.).

Пример 6. Продолжим исследование движение колечка М на качающемся стержне (пример 4).

Обобщенные координаты назначены – и s (рис.13). Обобщенные силы определены: и .

Рис.13

Решение. Кинетическая энергия колечка Где а и .

Составляем два уравнения Лагранжа

то уравнения получаются такими:

Получили два нелинейных дифференциальных уравнения второго порядка, для решения которых нужны специальные методы.

Пример 7. Составим дифференциальное уравнение движения балочки АВ , которая перекатывается без скольжения по цилиндрической поверхности (рис.14). Длина балочки АВ = l , вес – Р .

В положении равновесия балочка располагалась горизонтально и центр тяжести С ее находился на верхней точке цилиндра. Балочка имеет одну степень свободы. Положение ее определяется обобщенной координатой – углом (рис.76).

Рис.14

Решение. Система консервативная. Поэтому уравнение Лагранжа составим с помощью потенциальной энергии П=mgh, вычисленной относительно горизонтального положения. В точке касания находится мгновенный центр скоростей и ( равно длине дуги окружности с углом ).

Поэтому (см. рис.76) и .

Кинетическая энергия (балка совершает плоскопараллельное движение)

Находим необходимые производные для уравнения и

Составляем уравнение

или, окончательно,

Вопросы для самопроверки

Что называется возможным перемещением несвободной механической системы?

Как взаимосвязаны возможные и действительные перемещения системы?

Какие связи называются: а) стационарными; б) идеальными?

Сформулируйте принцип возможных перемещений. Запишите его формульное выражение.

Возможно ли применение принципа виртуальных перемещений к системам с неидеальными связями?

Что представляют собой обобщенные координаты механической системы?

Чему равно число степеней свободы механической системы?

В каком случае декартовы координаты точек системы зависят не только от обобщенных координат, но и от времени?

Что называют возможными перемещениями механической системы?

Зависят ли возможные перемещения от действующих на систему сил?

Какие связи механической системы называют идеальными?

Почему связь, осуществленная с трением, не является идеальной связью?

Как формулируется принцип возможных перемещений?

Какие виды может иметь уравнение работ?

Почему принцип возможных перемещений упрощает вывод условий равновесия сил, приложенных к несвободным системам, состоящим из большого числа тел?

Как составляются уравнения работ для сил, действующих на механическую систему с несколькими степенями свободы?

Какова зависимость между движущей силой и силой сопротивления в простейших машинах?

Как формулируется золотое правило механики?

Каким образом определяют реакции связей с помощью принципа возможных перемещений?

Какие связи называются голономными?

Что называется числом степеней свободы механической системы?

Что называется обобщенными координатами системы?

Сколько обобщенных координат имеет несвободная механическая система?

Сколько степеней свободы имеет управляемое колесо автомобиля?

Что называется обобщенной силой?

Запишите формулу, выражающую полную элементарную работу всех приложенных к системе сил в обобщенных координатах.

Как определяется размерность обобщенной силы?

Как вычисляются обобщенные силы в консервативных системах?

Запишите одну из формул, выражающих общее уравнение динамики системы с идеальными связями. Каков физический смысл этого уравнения?

Что называется обобщенной силой активных сил, приложенных к системе?

Что такое обобщенная сила инерции?

Сформулируйте принцип Даламбера в обобщенных силах.

Какой вид имеет общее уравнение динамики?

Что называется обобщенной силой, соответствующей некоторой обобщенной координате системы, и какую она имеет размерность?

Чему равны обобщенные реакции идеальных связей?

Выведите общее уравнение динамики в обобщенных силах.

Какой вид имеют условия равновесия сил, приложенных к механической системе, полученные из общего уравнения динамики в обобщенных силах?

Какими формулами выражаются обобщенные силы через проекции сил на неподвижные оси декартовых координат?

Как определяются обобщенные силы в случае консервативных и в случае неконсервативных сил?

Какие связи называются геометрическими?

Приведите векторную запись принципа возможных перемещений.

Назовите необходимое и достаточной условие равновесия механической системы с идеальными стационарными геометрическими связями.

Каким свойством обладает силовая функция консервативной системы в состоянии равновесия?

Запишите систему дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода.

Сколько уравнений Лагранжа второго рода можно составить для несвободной механической системы?

Зависит ли число уравнений Лагранжа механической системы от количества тел, входящих в состав системы?

Что называется кинетическим потенциалом системы?

Для каких механических систем существует функция Лагранжа?

Функцией каких аргументов является вектор скорости точки, принадлежащей механической системе с s степенями свободы?

Чему равна частная производная от вектора скорости точки системы по какой-либо обобщенной скорости?

Функцией каких аргументов является кинетическая энергия системы, подчиненной голономным нестационарным связям?

Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода? Чему равно число этих уравнений для каждой механической системы?

Какой вид принимают уравнения Лагранжа второго рода в случае, когда на систему действуют одновременно консервативные и неконсервативные силы?

Что представляет собой функция Лагранжа, или кинетический потенциал?

Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы?

В зависимости от каких переменных величин должна быть выражена кинетическая энергия механической системы при составлении уравнений Лагранжа?

Как определяется потенциальная энергия механической системы, находящейся под действием сил упругости?

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Применяя принцип возможных перемещений, определить реакции связей составных конструкций. Схемы конструкций показаны на рис. 15, а необходимые для решения данные приведены в табл. 1. На рисунках все размеры указаны в метрах.

Таблица 1

Р 1, кН Р 2, кН q , кН/м M , кНм Р 1 , кН Р 2, кН q , кН/м M , кНм

Вариант 1 Вариант 2

Вариант 3 Вариант 4

Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8

Рис.16 Рис.17

Решение. Легко проверить, что в данной задаче все условия применения принципа Лагранжа выполнены (система находится в равновесии, связи являются стационарными, голономными, удерживающими и идеальными).

Освободимся от связи, соответствующей реакции X A (рис. 17). Для этого в точке A неподвижный шарнир следует заменить, например, стержневой опорой, при этом система получает одну степень свободы. Как уже отмечалось, возможное перемещение системы определяется связями, наложенными на нее, и не зависит от приложенных сил. Поэтому определение возможных перемещений является кинематической задачей. Поскольку в данном примере рама может двигаться лишь в плоскости рисунка, то и возможные ее движения являются плоскими. При плоском же движении перемещение тела можно рассматривать как поворот вокруг мгновенного центра скоростей. Если же мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности, то это соответствует случаю мгновенно поступательного движения, когда перемещения всех точек тела одинаковы.

Для нахождения мгновенного центра скоростей необходимо знать направления скоростей двух каких-либо точек тела. Поэтому определение возможных перемещений составной конструкции следует начинать с нахождения возможных перемещений того элемента, у которого такие скорости известны. В данном случае следует начать с рамы CDB , поскольку ее точка В неподвижна и, следовательно, возможным перемещением этой рамы является ее поворот на угол вокруг оси, проходящей через шарнир B. Теперь, зная возможное перемещение точки С (она одновременно принадлежит обеим рамам системы) и возможное перемещение точки А (возможным перемещением точки A является ее перемещение вдоль оси х ), находим мгновенный центр скоростей C 1 рамы АЕС . Таким образом, возможным перемещением рамы АЕС является ее поворот вокруг точки C 1 на угол . Связь между углами и определяется через перемещение точки C (см. рис. 17)

Из подобия треугольников EC 1 C и BCD имеем

В результате получим зависимости:

Согласно принципу возможных перемещений

Последовательно вычислим входящие сюда возможные работы:

Q=2q – равнодействующая распределенной нагрузки, точка приложения которой показана на рис. 79; совершаемая ею возможная работа равна.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из материальных точек, на которые действуют силы Пусть система имеет s степеней свободы и ее положение определятся обобщенными координатами (104). Сообщим системе такое независимое возможное перемещение, при котором координата получает приращение а остальные координаты не изменяются. Тогда каждый из радиусов-векторов точек системы получит элементарное приращение . Поскольку, согласно равенству (106), , а при рассматриваемом перемещении изменяется только координата (остальные сохраняют постоянные значения), то вычисляется как частный дифференциал и, следовательно,

Используя это равенство и формулу (42) из § 87, вычислим сумму элементарных работ всех действующих сил на рассматриваемом перемещении, которую обозначим Получим

Вынося общий множитель за скобки, найдем окончательно

где обозначено

По аналогии с равенством определяющим элементарную работу силы F, величину называют обобщенной силой, соответствующей координате

Сообщая системе другое независимое возможное перемещение, при котором изменяется только координата , получим для элементарной работы всех действующих сил на этом перемещении выражение

Величина представляет собой обобщенную силу, соответствующую координате , и т. д.

Очевидно, что если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором одновременно изменяются все ее обобщенные координаты, то сумма элементарных работ приложенных сил на этом перемещении определится равенством

Формула (112) дает выражение полной элементарной работы всех действующих на систему сил в обобщенных координатах. Из этого равенства видно, что обобщенные силы это величины, равные коэффициентам при приращениях обобщенных координат в выражении полной элементарной работы действующих на систему сил.

Если все наложенные на систему связи являются идеальными, то работу при возможных перемещениях совершают только активные силы и величины будут представлять собой обобщенные активные силы системы.

Размерность обобщенной силы зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты. Так как произведение а следовательно, и имеет размерность работы, то

т. е. размерность обобщенной силы равна размерности работы, деленной на размерность соответствующей обобщенной координаты. Отсюда видно, что если q - линейная величина, то Q имеет размерность обычной силы (в СИ измеряется в ньютонах), если q - угол (величина безмерная), то Q будет измеряться в и имеет размерность момента; если q - объем (например, положение поршня в цилиндре можно определять объемом запоршневого пространства), то Q будет измеряться в и имеет размерность давления, и т. д.

Как видим, по аналогии с обобщенной скоростью, понятием об обобщенной силе охватываются все величины, встречавшиеся ранее как меры механического взаимодействия материальных тел (сила, момент силы, давление).

Вычисление обобщенных сил будем производить по формулам вида (108), (110), что сводится к вычислению возможной элементарной работы (см. § 140). Сначала следует установить, каково число степеней свободы системы, выбрать обобщенные координаты и изобразить на чертеже все приложенные к системе активные силы и силы трения (если они совершают работу). Затем для определения надо сообщить системе такое возможное перемещение, при котором изменяется только координата получая положительное приращение вычислить на этом перемещении сумму элементарных работ всех действующих сил по формулам (101) и представить полученное выражение в виде (108). Тогда коэффициент при и дает искомую величину . Аналогично вычисляются

Пример 1. Подсчитаем обобщенную силу для системы, изображенной на рис. 366, где груз А весом перечещрется по гладкой наклонной плсскссти, а груз В весом - по шероховатой горизолтальной плоскости, коэффициент трения о которую равен

Грузы связаны нитью, перекинутой через блок О. Массой нити и блока пренебрегаем. Система имеет одну степень свободы положение определяется координатой (положительное направление отсчета показано стрелкой). Для определения сообщаем системе возможное перемещение при котором и вычисляем на этом перемещении элементарные работы сил остальные силы работы не совершают. Так как то

Следовательно,

Пример 2. Пренебрегая трением, найдем обобщенные силы для системы, изображенной на рис. 367. Однородный стержень А В имеет длину l и вес Р и может вращаться вокруг оси А в вертикальной плоскости. Нанизанный на него шарик М имеет вес . Длина пружины AM равна в ненапряженном состоянии а жесткость - с.

Система имеет две степени свободы (независимыми являются перемещение шарика вдоль стержня и поворот стержня вокруг оси А). В качестве обобщенных координат выберем угол и расстояние шарика от конца ненапряженной пружины положительные направления отсчета координат показаны стрелками.

Сообщаем сначала системе возможное перемещение, при котором угол получает приращение . На этом перемещении работу совершают» силы . По второй из формул (101) находим (знак минус здесь потому, что направление момента противоположно направлению )

Следовательно,

Теперь сообщаем системе возможное перемещение, при котором изменяется только координата получая приращение , а угол . На этом перемещении работу совершают сила тяжести и сила упругости, модуль которой Тогда

Рассмотрим механическую систему с идеальными связями. Пусть  активные силы системы. Дадим механической системе виртуальное перемещение и вычислим элементарную работу сил системы на этом перемещении:

.

Используя равенство (17.2) выразим вариацию
радиусавектора точкиM k через вариации
обобщенных координат:

следовательно,

. (17.6)

Поменяем в равенстве (17.6) порядок суммирования:

. (17.7)

Обозначим в выражении (17.7)

. (17.8)

.

Обобщенными силами Q j называют коэффициенты при вариациях обобщенных координат в выражении элементарной работы сил системы .

В зависимости от размерности вариаций обобщенных координат
обобщенные силыQ j могут иметь размерность силы, момента и др.

Способы вычисления обобщенных сил

Рассмотрим три способа вычисления обобщенных сил.

1. Определение обобщенных сил по основной формуле (17.8)

. (17.9)

Формула (17.9) на практике применяется редко. При решении задач чаще применяется второй способ.

2. Способ «замораживания» обобщенных координат.

Дадим механической системе такое виртуальное перемещение, при котором все вариации обобщенных координат кроме
равны нулю:

Вычислим на это перемещение работу
всех активных сил, приложенных к системе

.

По определению множитель при вариации
равен первой обобщенной силеQ 1 .

и определим вторую обобщенную силу Q 2 , вычислив виртуальную работу всех сил системы

.

Аналогично вычислим все остальные обобщенные силы системы.

3. Случай потенциального силового поля.

Предположим, известна потенциальная энергия механической системы

Тогда
и по формуле (32.8)

Принцип виртуальных перемещений статики в обобщенных координатах

Согласно принципу виртуальных перемещений статики для равновесия системы с идеальными удерживающими голономными, стационарными связями необходимо и достаточно является условие

при нулевых начальных скоростях.

Переходя к обобщенным координатам, получим

. (17.11)

Так как вариации обобщенных координат независимы, то равенство нулю выражения (17.11) возможно только в том случае, когда все коэффициенты при вариациях обобщенных координат равны нулю:

Таким образом, для того, чтобы механическая система с идеальными, голономными, стационарными и удерживающими связями находилась в равновесии необходимо и достаточно, чтобы все обобщенные силы системы равнялись нулю (при нулевых начальных скоростях системы).

Уравнения Лагранжа в обобщенных координатах (уравнения Лагранжа второго рода)

Уравнения Лагранжа выводятся из общего уравнения динамики заменой виртуальных перемещений их выражениями через вариации обобщенных координат. Они представляют собой систему дифференциальных уравнений движения механической системы в обобщенных координатах:

. (17.13)

где
 обобщенные скорости,

Т  кинетическая энергия системы, представленная как функция обобщенных координат и обобщенных скоростей

Q j  обобщенные силы.

Число уравнений системы (17.13) определяется числом степеней свободы и не зависит от количества тел входящих в систему. При идеальных связях в правые части уравнений войдут только активные силы. Если связи неидеальны, то их реакции следует отнести к активным силам.

В случае потенциальных сил, действующих на механическую систему уравнения (17.13) примут вид

.

Если ввести функцию Лагранжа L = Т  П , то учитывая, что потенциальная энергия не зависит от обобщенных скоростей, получим уравнения Лагранжа второго рода для случая потенциальных сил в следующей форме

.

При составлении уравнений Лагранжа второго рода нужно выполнить следующие действия:

Установить число степеней свободы механической системы и выбрать ее обобщенные координаты.

Составить выражение кинетической энергии системы и представить ее как функцию обобщенных координат и обобщенных скоростей.

Пользуясь изложенными выше способами найти обобщенные активные силы системы.

Выполнить все необходимые в уравнениях Лагранжа операции дифференцирования.

Пример.

где J z  момент инерции тела относительно оси вращения z ,
 угловая скорость тела.

3. Определим обобщенную силу. Дадим телу виртуальное перемещение  и вычислим виртуальную работу всех активных сил системы:

Следовательно, Q = M z  главный момент активных сил системы относительно оси вращения тела.

4. Выполним операции дифференцирования в уравнении Лагранжа

: (17.14)

. (17.15)

Подставляя равенства (17.15) в уравнение (173

14) получим дифференциальное уравнение вращательного движения тела

.

Определение обобщенных сил

Для системы с одной степенью свободы обобщенной силой, соответствующей обобщенной координате q , называют величину, определяемую формулой

где dq – малое приращение обобщенной координаты; – сумма элементарных работ сил системы на ее возможном перемещении.

Напомним, что возможное перемещение системы определяется как перемещение системы в бесконечно близкое положение, допускаемое связями в данный момент времени (подробнее см. прил. 1).

Известно, что сумма работ сил реакций идеальных связей на любом возможном перемещении системы равна нулю. Поэтому для системы с идеальными связями в выражении следует учитывать только работу активных сил системы. Если же связи не идеальны, то силы реакций их, например, силы трения, условно считаются активными силами (см. ниже указания к схеме на рис. 1.5). В включается элементарная работа активных сил и элементарная работа моментов активных пар сил. Запишем формулы для определения этих работ. Допустим, сила (F kx ,F ky ,F kz ) приложена в точке К , радиус-вектор которой есть (x k ,y k ,z k ), а возможное перемещение – (dx k , dy k , dz k ). Элементарная работа силы на возможном перемещении равна скалярному произведению , которому в аналитической форме соответствует выражение

dА( ) = F к dr к cos (), (1.3а)

а в координатной форме – выражение

dА( ) = F kx dx k + F ky dy k + F kz dz k . (1.3б)

Если пара сил с моментом М приложена к вращающемуся телу, угловая координата которого есть j, а возможное перемещение dj, то элементарная работа момента М на возможном перемещении dj определяется по формуле

dА(М) = ± M dj . (1.3в)

Здесь знак (+) соответствует случаю, когда момент М и возможное перемещение dj совпадают по направлению; знак (–), когда они противоположны по направлению.

Чтобы можно было по формуле (1.3) определить обобщенную силу, надо возможные перемещения тел и точек в выразить через малое приращение обобщенной координаты dq , используя зависимости (1)…(7) прил. 1.

Определение обобщенной силы Q , соответствующей выбранной обобщенной координате q , рекомендуется производить в следующем порядке.

· Изобразить на расчетной схеме все активные силы системы.

· Дать малое приращение обобщенной координате dq > 0; показать на расчетной схеме соответствующие возможные перемещения всех точек, в которых приложены силы, и возможные угловые перемещения всех тел, к которым приложены моменты пар сил.

· Составить выражение элементарной работы всех активных сил системы на этих перемещениях, возможные перемещения в выразить через dq .

· Определить обобщенную силу по формуле (1.3).

Пример 1.4 (см. условие к рис. 1.1).

Определим обобщенную силу, соответствующую обобщенной координате s (рис. 1.4).

На систему действуют активные силы: P – вес груза; G – вес барабана и вращающий момент M .

Шероховатая наклонная плоскость является для груза А неидеальной связью. Сила трения скольжения F тр , действующая на груз A со стороны этой связи, равна F тр = f N .

Для определения силы N нормального давления груза на плоскость при движении воспользуемся принципом Даламбера: если к каждой точке системы помимо действующих активных сил и сил реакций связей приложить условную силу инерции, то образованная совокупность сил будет уравновешенной и уравнениям динамики можно придать форму уравнений равновесия статики . Следуя известной методике применения этого принципа , изобразим все силы, действующие на груз A (рис. 1.5), – и , где – сила натяжения троса.

Рис. 1.4 Рис. 1.5

Добавим силу инерции , где – ускорение груза. Уравнение принципа Даламбера в проекции на ось y имеет вид N – P cos a = 0.

Отсюда N = P cos a. Силу трения скольжения теперь можно определить по формуле F тр = f P cos a.

Дадим обобщенной координате s малое приращение ds > 0. При этом груз (рис. 1.4) переместится вверх по наклонной плоскости на расстояние ds , а барабан повернется против часовой стрелки на угол dj.

Составим по формулам типа (1.3а) и (1.3в) выражение суммы элементарных работ момента M , сил P и F тр :

выразим в этом уравнении dj через ds : , тогда

определим обобщенную силу по формуле (1.3)

учтем записанную ранее формулу для F тр и получим окончательно

Если в этом же примере за обобщенную координату взять угол j, то обобщенная сила Q j выразится формулой

1.4.2. Определение обобщенных сил системы
с двумя степенями свободы

Если система имеет n степеней свободы, ее положение определяют n обобщенных координат. Каждой координате q i (i = 1,2,…,n ) соответствует своя обобщенная сила Q i , которая определяется по формуле

где – сумма элементарных работ активных сил на i -м возможном перемещении системы, когда dq i > 0, а остальные обобщенные координаты неизменны.

При определении надо учитывать указания к определению обобщенных сил по формуле (1.3).

Обобщенные силы системы с двумя степенями свободы рекомендуется определять в следующем порядке.

· Показать на расчетной схеме все активные силы системы.

· Определить первую обобщенную силу Q 1 . Для этого дать системе первое возможное перемещение, когда dq 1 > 0, а dq 2 = q 1 возможные перемещения всех тел и точек системы; составить – выражение элементарной работы сил системы на первом возможном перемещении; возможные перемещения в выразить через dq 1 ; найти Q 1 по формуле (1.4), принимая i = 1.

· Определить вторую обобщенную силу Q 2 . Для этого дать системе второе возможное перемещение, когда dq 2 > 0, а dq 1 = 0; показать на расчетной схеме соответствующие dq 2 возможные перемещения всех тел и точек системы; составить – выражение элементарной работы сил системы на втором возможном перемещении; возможные перемещения в выразить через dq 2 ; найти Q 2 по формуле (1.4), принимая i = 2.

Пример 1.5 (см. условие к рис. 1.2)

Определим Q 1 и Q 2 , соответствующие обобщенным координатам x D и x A (рис. 1.6,а ).

На систему действуют три активные силы: P A = 2P , P B = P D =P .

Определение Q 1 . Дадим системе первое возможное перемещение, когда dx D > 0, dx A = 0 (рис. 1.6,а ). При этом груз D x D , блок B повернется против часовой стрелки на угол dj B , ось цилиндра A останется неподвижной, цилиндр A повернется вокруг оси A на угол dj A по часовой стрелке. Составим сумму работ на указанных перемещениях:

определим

Определим Q 2 . Дадим системе второе возможное перемещение, когда dx D = 0, dx A > 0 (рис. 1.6,б ). При этом ось цилиндра A переместится по вертикали вниз на расстояние dx A , цилиндр A повернется вокруг оси A по часовой стрелке на угол dj A , блок B и груз D останутся неподвижными. Составим сумму работ на указанных перемещениях:

определим

Пример 1.6 (см. условие к рис. 1.3)

Определим Q 1 и Q 2 , соответствующие обобщенным координатам j, s (рис. 1.7,а ). На систему действуют четыре активные силы: вес стержня P , вес шарика , силы упругости пружины и .

Учтем, что . Модуль сил упругости определяется по формуле (а).

Отметим, что точка приложения силы F 2 неподвижна, поэтому работа этой силы на любом возможном перемещении системы равна нулю, в выражение обобщенных сил сила F 2 не войдет.

Определение Q 1 . Дадим системе первое возможное перемещение, когда dj > 0, ds = 0 (рис. 1.7,а ). При этом стержень AB повернется вокруг оси z против часовой стрелки на угол dj, возможные перемещения шарика D и центра E стержня направлены перпендикулярно отрезку AD , длина пружины не изменится. Составим в координатной форме [см. формулу (1.3б)]:

(Обратим внимание на то, что , поэтому работа этой силы на первом возможном перемещении равна нулю).

Выразим перемещения dx E и dx D через dj. Для этого вначале запишем

Затем в соответствии с формулой (7) прил. 1 найдем

Подставляя найденные величины в , получим

По формуле (1.4), учитывая, что , определим

Определение Q 2 . Дадим системе второе возможное перемещение, когда dj = 0, ds > 0 (рис. 1.7,б ). При этом стержень AB останется неподвижным, а шарик M сместится вдоль стержня на расстояние ds . Составим сумму работ на указанных перемещениях:

определим

подставив значение силы F 1 из формулы (а), получим

1.5. Выражение кинетической энергии системы
в обобщенных координатах

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий ее тел и точек (прил. 2). Чтобы получить для T выражение (1.2), следует скорости всех тел и точек системы выразить через обобщенные скорости, используя методы кинематики . При этом система считается находящейся в произвольном положении, все ее обобщенные скорости считаются положительными, т. е. направленными в сторону возрастания обобщенных координат.

Пример 1.7 (см. условие к рис. 1.1)

Определим кинетическую энергию системы (рис. 1.8), взяв в качестве обобщенной координаты расстояние s,

T = T A + T B .

По формулам (2) и (3) прил. 2 имеем: .

Подставляя эти данные в T и учитывая, что , получим

Пример 1.8 (см. условие к рис. 1.2)

Определим кинетическую энергию системы на рис. 1.9, взяв в качестве обобщенных координат величины x D и x A ,

T = T A + T B + T D .

По формулам (2), (3), (4) прил. 2 запишем

Выразим V A , V D , w B и w A через :

При определении w A учтено, что точка O (рис. 1.9) – мгновенный центр скоростей цилиндра A и V k = V D (см. соответствующие пояснения к примеру 2 прил. 2).

Подставляя полученные результаты в T и учитывая, что

определим

Пример 1.9 (см. условие к рис. 1.3)

Определим кинетическую энергию системы на рис. 1.10, взяв в качестве обобщенных координат j и s ,

T = T AB + T D .

По формулам (1) и (3) прил. 2 имеем

Выразим w AB и V D через и :

где – переносная скорость шарика D , ее модуль определяется формулой

Направлена перпендикулярно отрезку AD в сторону возрастания угла j; – относительная скорость шарика, ее модуль определяется по формуле , направлена в сторону возрастания координаты s . Заметим, что перпендикулярна , поэтому

Подставляя эти результаты в T и учитывая, что

1.6. Составление дифференциальных уравнений
движения механических систем

Чтобы получить искомые уравнения, нужно в уравнения Лагранжа (1.1) подставить найденное ранее выражение кинетической энергии системы в обобщенных координатах и обобщенные силы Q 1 , Q 2 , … , Q n .

При нахождении частных производных T по обобщенным координатам и по обобщенным скоростям следует учитывать, что переменные q 1 , q 2 , … , q n ; считаются независимыми между собой. Это значит, что определяя частную производную T по одной из этих переменных, все остальные переменные в выражении для Т следует рассматривать как постоянные величины.

При выполнении операции следует дифференцировать по времени все входящие в переменные величины.

Подчеркнем, что уравнения Лагранжа записываются для каждой обобщенной координаты q i (i = 1, 2,…n ) системы.