\(\DeclareMathOperator{\tg}{tg}\)\(\DeclareMathOperator{\ctg}{ctg}\)\(\DeclareMathOperator{\arctg}{arctg}\)\(\DeclareMathOperator{\arcctg}{arcctg}\)

Содержание

Элементы содержания

Производная, касательная, первообразная, графики функций и производных.

Производная Пусть функция \(f(x)\) определена в некоторой окрестности точки \(x_0\).

Производной функции \(f\) в точке \(x_0\) называется предел

\(f"(x_0)=\lim_{x\rightarrow x_0}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0},\)

если этот предел существует.

Производная функции в точке характеризует скорость изменения этой функции в данной точке.

Таблица производных

Функция	Производная
\(const\)	\(0\)
\(x\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^{n-1}\)
\(\dfrac{1}{x}\)	\(-\dfrac{1}{x^2}\)
\(\sqrt{x}\)	\(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln{a}\)
\(\ln{x}\)	\(\dfrac{1}{x}\)
\(\log_a{x}\)	\(\dfrac{1}{x\ln{a}}\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tg x\)	\(\dfrac{1}{\cos^2 x}\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac{1}{\sin^2x}\)

Правила дифференцирования \(f\) и \(g\) - функции, зависящие от переменной \(x\); \(c\) - число.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac{f}{g}\right)"=\dfrac{f"g-g"f}{g^2}\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - производная сложной функции

Геометрический смысл производной Уравнение прямой - не параллельной оси \(Oy\) можно записать в виде \(y=kx+b\). Коэффициент \(k\) в этом уравнении называют угловым коэффициентом прямой . Он равен тангенсу угла наклона этой прямой.

Угол наклона прямой - угол между положительным направлением оси \(Ox\) и данной прямой, отсчитываемый в направлении положительных углов (то есть, в направлении наименьшего поворота от оси \(Ox\) к оси \(Oy\)).

Производная функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в данной точке: \(f"(x_0)=\tg\alpha.\)

Если \(f"(x_0)=0\), то касательная к графику функции \(f(x)\) в точке \(x_0\) параллельна оси \(Ox\).

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции \(f(x)\) в точке \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Монотонность функции Если производная функции положительна во всех точках промежутка, то функция возрастает на этом промежутке.

Если производная функции отрицательна во всех точках промежутка, то функция убывает на этом промежутке.

Точки минимума, максимума и перегиба положительного на отрицательное в этой точке, то \(x_0\) - точка максимума функции \(f\).

Если функция \(f\) непрерывна в точке \(x_0\), а значение производной этой функции \(f"\) меняется с отрицательного на положительное в этой точке, то \(x_0\) - точка минимума функции \(f\).

Точки, в которых производная \(f"\) равна нулю или не существует называются критическими точками функции \(f\).

Внутренние точки области определения функции \(f(x)\), в которых \(f"(x)=0\) могут быть точками минимума, максимума или перегиба.

Физический смысл производной Если материальная точка движется прямолинейно и её координата изменяется в зависимости от времени по закону \(x=x(t)\), то скорость этой точки равна производной координаты по времени:

Ускорение материальной точки в равно производной скорости этой точки по времени:

\(a(t)=v"(t).\)

Файл к занятию 29.

Производная. Применение производной. Первообразная.

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 равен производной функции в точке х 0. .

Т.е. производная функции в точке х 0 равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке (х 0 ; f(x 0)).

Задание 1. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x x 0 .

Ответ: 0,25

Задание 2. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 . Ответ: 0,6

Задание 3. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 . Ответ: -0,25

Задание 4. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 . Ответ: -0,2.

Механический смысл производной .

v ( t 0 ) = x’ ( t 0 )

скорость – это производная координаты по времени. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени :

a = v’ ( t ).

Задание 5 . Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=12 t 2 +4 t+27, где x - расстояние от точки отсчёта в метрах, t - время в секундах, измеренное с момента начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=2 с. Ответ: 52

Задание 6 . Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t )= 16   t 3 + t 2 − 8   t + 180 , где x - расстояние от точки отсчёта в метрах, t - время в секундах, измеренное с момента начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 42 м/с? Ответ: 1

Достаточный признак возрастания (убывания) функции

1. Если f `(x )в каждой точке интервала (, то функция возрастает на (.

2. Если f `(x )в каждой точке интервала (, то функция убывает на (.

Необходимое условие экстремума

Если точка х 0 является точкой экстремума функции и в этой точке существует производная, то f `( x 0 )=0

Достаточное условие экстремума

Если f `( x 0 x 0 значение производной меняет знак с «+» на « - », то x 0 является точкой максимума функции.

Если f `( x 0 ) = 0 и при переходе через точку x 0 значение производной меняет знак с « - » на «+», то x 0 является точкой минимума функции.

Задание 7. На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик про­из­вод­ной функ­ции f(x) , опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−7; 10). Най­ди­те ко­ли­че­ство точек ми­ни­му­ма функ­ции f(x) на от­рез­ке [−3; 8].

Ре­ше­ние. Точки ми­ни­му­ма со­от­вет­ству­ют точ­кам смены знака про­из­вод­ной с ми­ну­са на плюс. На от­рез­ке [−3; 8] функ­ция имеет одну точку ми­ни­му­ма x = 4. Значит, такая точка 1. Ответ: 1.

Задание 8 . На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x) и отмечены семь точек на оси абсцисс: x​1, x​2, x​3, x​4, x​5, x​6, x​7. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна? Ответ: 3

Задание 9 . На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (− 11 ; − 1). Найдите точку из отрезка [− 7 ; − 2], в которой производная функции f(x) равна 0. Ответ: -4

Задание 10 . На рисунке изображён график функции y=f′(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (2 ; 13). Найдите точку максимума функции f(x). Ответ: 9

Задание 11 . На рисунке изображён график y=f′(x) производной функции f(x), определённой на интервале (− 3; 8). В какой точке отрезка [− 2; 3] функция f(x) принимает наименьшее значение? Ответ: -2

Задание 12. На рисунке изображён график y=f "(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (− 2 ; 11). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. Ответ: 3

Задание 13. На рисунке изображён график y=f "(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (− 4 ; 6). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=3x или совпадает с ней. Ответ: 5

Задание 14 . На рисунке изображён график y=f "(x) - производной функции f(x), определённой на интервале (− 4 ; 13). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y=f(x) параллельна прямой y=− 2x−10 или совпадает с ней. Ответ: 5

Задание 15. Прямая y =5x -8 является касательной к графику функции 4x 2 -15x +c . Найдите c . O твет: 17.

Первообразная

Первообразной функцией F(x) для функции f(x) называется функция, производная которой равна исходной функции. F " ( x )= f ( x ).

Задание 16. На рисунке изображён график y=F (x ) одной из первообразных некоторой функции f (x ), определённой на интервале (1;13). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f (x )=0 на отрезке . Ответ: 4

За­да­ние 17. На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x), определённой на интервале (− 7; 8). Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения f(x)=0 на отрезке . Ответ:1

Задание 18 . На рисунке изображён график y=F(x) одной из первообразных некоторой функции f(x) и отмечены восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек функция f(x) отрицательна? Ответ: 3

Задание 19. На рисунке изображён график некоторой функции y=f(x). Функция F(x)=12x 3 −3x 2 +152x−92 - одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры. Ответ: 592

Алгоритм нахождения точек экстремума

Найти область определения функции.

Найти производную функции f "( x )

Найти точки, в которых f "( x ) = 0.

Отметить на числовой прямой область определения функции и все нули производной.

Определить знак производной для каждого промежутка. (Для этого подставляем "удобное" значение x из этого промежутка в f "( x )).

Определить по знакам производной участки возрастания и убывания функции и сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума и его характере ( max или min ) в каждой из этих точек.

Задание 20. Найдите точку максимума функции y=(2x−1)cosx−2sinx+5, принадлежащую промежутку (0 ; π/2). Ответ: 0,5

Задание 21. Найдите точку максимума функции y =. Ответ: 6

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значение функции на отрезке

Задание 22. Найдите наименьшее значение функции y =x −6x +1 на отрезке . Ответ: -31

Задание 23. Найдите наименьшее значение функции y=8cosx+30x/π+19 на отрезке [− 2π/3; 0]. Ответ: -5

Дополнительно. 1. Найдите точку максимума функции y=(x−11) 2 ​ ⋅e x − 7 .

2. Найдите наибольшее значение функции y=х 5 -5х 3 -20х на отрезке [− 9 ; 1]. Ответ:48

Прямая y=3x+2 является касательной к графику функции y=-12x^2+bx-10. Найдите b , учитывая, что абсцисса точки касания меньше нуля.

Показать решение

Решение

Пусть x_0 — абсцисса точки на графике функции y=-12x^2+bx-10, через которую проходит касательная к этому графику.

Значение производной в точке x_0 равно угловому коэффициенту касательной, то есть y"(x_0)=-24x_0+b=3. С другой стороны, точка касания принадлежит одновременно и графику функции и касательной, то есть -12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. Получаем систему уравнений \begin{cases} -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end{cases}

Решая эту систему, получим x_0^2=1, значит либо x_0=-1, либо x_0=1. Согласно условию абсцисса точки касания меньше нуля, поэтому x_0=-1, тогда b=3+24x_0=-21.

Ответ

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) (являющийся ломаной линией, составленной из трёх прямолинейных отрезков). Пользуясь рисунком, вычислите F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Показать решение

Решение

По формуле Ньютона-Лейбница разность F(9)-F(5), где F(x) — одна из первообразных функции f(x), равна площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми y=0, x=9 и x=5. По графику определяем, что указанная криволинейная трапеция является трапецией с основаниями, равными 4 и 3 и высотой 3 .

Её площадь равна \frac{4+3}{2}\cdot 3=10,5.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-4; 10). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Показать решение

Решение

Как известно, функция f(x) убывает на тех промежутках, в каждой точке которых производная f"(x) меньше нуля. Учитывая, что надо находить длину наибольшего из них естественно по рисунку выделяются три таких промежутка: (-4; -2); (0; 3); (5; 9).

Длина наибольшего из них — (5; 9) равна 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график y=f"(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (-8; 7). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих промежутку [-6; -2].

Показать решение

Решение

Из графика видно, что производная f"(x) функции f(x) меняет знак с плюса на минус (именно в таких точках будет максимум) ровно в одной точке (между -5 и -4 ) из промежутка [-6; -2]. Поэтому на промежутке [-6; -2] ровно одна точка максимума.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале (-2; 8). Определите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0 .

Показать решение

Решение

Равенство нулю производной в точке означает, что касательная к графику функции, проведённая в этой точке, параллельна оси Ox. Поэтому находим такие точки, в которых касательная к графику функции параллельна оси Ox. На данном графике такими точками являются точки экстремума (точки максимума или минимума). Как видим, точек экстремума 5 .

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

Прямая y=-3x+4 параллельна касательной к графику функции y=-x^2+5x-7. Найдите абсциссу точки касания.

Показать решение

Решение

Угловой коэффициент прямой к графику функции y=-x^2+5x-7 в произвольной точке x_0 равен y"(x_0). Но y"=-2x+5, значит, y"(x_0)=-2x_0+5. Угловой коэффициент прямой y=-3x+4, указанной в условии, равен -3. Параллельные прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты. Поэтому находим такое значение x_0, что =-2x_0 +5=-3.

Получаем: x_0 = 4.

Ответ

Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.

Условие

На рисунке изображён график функции y=f(x) и отмечены точки -6, -1, 1, 4 на оси абсцисс. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.