Серия «Экономика и управление»

6. Кондратьев Н.Д. Большие циклы конъюнктуры и теория предвидения. - М.: Экономика, 2002. 768 с.

7. Кузык Б.Н., Кушлин В.И., Яковец Ю.В. Прогнозирование, стратегическое планирование и национальное программирование. М.: Изд-во «Экономика», 2008. 573 с.

8. Лясников Н.В., Дудин М.Н. Модернизация инновационной экономики в контексте формирования и развития венчурного рынка // Общественные науки. М.: Издательство «МИИ Наука», 2011. № 1. С. 278-285.

9. Секерин В.Д., Кузнецова О.С. Разработка стратегии управления инновационным проектом // Вестник Московской государственной академии делового администрирования. Серия: Экономика. - 2013. № 1 (20). - С. 129 - 134.

10. Яковлев В.М., Сенин А.С. Инновационному типу развития российской экономики нет альтернативы // Актуальные вопросы инновационной экономики. М.: Издательский Дом «Наука»; Институт менеджмента и маркетинга РАХН и ГС при Президенте РФ, 2012. № 1(1).

11. Baranenko S.P., Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Busygin KD. Using environmental approach to innovation-oriented development of industrial enterprises // American Journal of Applied Sciences.- 2014.- Vol. 11, No.2, - P. 189-194.

12. Dudin M.N. A systematic approach to determining the modes of interaction of large and small businesses // European Journal of Economic Studies. 2012. Vol. (2), № 2, P. 84-87.

13. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Kuznecov A.V., Fedorova I.Ju. Innovative Transformation and Transformational Potential of Socio-Economic Systems // Middle East Journal of Scientific Research, 2013. Vol. 17, № 10. P. 1434-1437.

14. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Pankov S.V., Sepiashvili E.N. Innovative foresight as the method for management of strategic sustainable development of the business structures // World Applied Sciences Journal. - 2013. - Vol. 26, № 8. - P. 1086-1089.

15. Sekerin V. D., Avramenko S. A., Veselovsky M. Ya., Aleksakhina V. G. B2G Market: The Essence and Statistical Analysis // World Applied Sciences Journal 31 (6): 1104-1108, 2014

Построение однопараметрической, стохастической модели производственного процесса

к.э.н. доц. Мордасов Ю.П.

Университет машиностроения, 8-916-853-13-32, mordasov2001@mail. ги

Аннотация. Автором разработана математическая, стохастическая модель выполнения производственного процесса, зависящая от одного параметра. Проведена апробация модели. Для этого создана имитационная модель производственного, машиностроительного процесса с учетом влияния случайных возмущений-сбоев. Сравнение результатов математического и имитационного моделирования подтверждает целесообразность применения математической модели на практике.

Ключевые слова: технологический процесс, математическая, имитационная модель, оперативное управление, апробация, случайные возмущения.

Затраты на оперативное управление можно значительно сократить, разработав методику, позволяющую найти оптимум между затратами на оперативное планирование и потерями, которые получаются в результате рассогласования плановых показателей с показателями реальных производственных процессов. Это значит, найти оптимальную длительность прохождения сигнала в цепи обратной связи. Практически это означает сокращение количества расчётов календарных графиков запуска в производство сборочных единиц и за счёт этого экономию материальных ресурсов.

Ход производственного процесса в машиностроении носит вероятностный характер. Постоянное влияние непрерывно меняющихся факторов не даёт возможности предсказать на некоторую перспективу (месяц, квартал) ход производственного процесса в пространстве и времени. В статистических моделях календарного планирования состояние детали в каждый определённый момент времени должно задаваться в виде соответствующей вероятности (распределения вероятностей) нахождения её на различных рабочих местах. Вместе с тем необходимо обеспечить детерминированность конечного результата деятельности предприятия. Это, в свою очередь, предполагает возможность при помощи детерминированных методов планировать определённые сроки нахождения деталей в производстве. Однако опыт показывает, что различные взаимосвязи и взаимопереходы реальных производственных процессов многообразны и многочисленны. При разработке детерминированных моделей это создаёт значительные трудности.

Попытка учесть все факторы, влияющие на ход производства, делает модель громоздкой, и она перестаёт выполнять функции инструмента планирования, учёта и регулирования.

Более простым методом построения математических моделей сложных реальных процессов, зависящих от большого количества различных факторов, учесть которые трудно или даже невозможно, является построение стохастических моделей. В этом случае при анализе принципов функционирования реальной системы или при наблюдении её отдельных характеристик для некоторых параметров строят функции распределения вероятностей. При наличии высокой статистической устойчивости количественных характеристик процесса и их малой дисперсии результаты, получаемые с помощью построенной модели, хорошо согласуются с показателями функционирования реальной системы.

Основными предпосылками построения статистических моделей экономических процессов являются:

Чрезмерная сложность и связанная с ней экономическая неэффективность соответствующей детермированной модели;

Большие отклонения теоретических показателей, получаемых в результате эксперимента на модели, от показателей реально функционирующих объектов.

Поэтому желательно иметь простой математический аппарат, описывающий влияние стохастических возмущений на глобальные характеристики производственного процесса (товарный выпуск продукции, объём незавершённого производства и т.д.). То есть построить математическую модель производственного процесса, зависящую от небольшого числа параметров и отражающую суммарное влияние множества факторов, имеющих различную природу, на ход производственного процесса. Главная задача, которую должен ставить перед собой исследователь при построении модели, не пассивное наблюдение за параметрами реальной системы, а построение такой модели, которая при любом отклонении под влиянием возмущений выводила бы параметры отображаемых процессов на заданный режим. То есть при действии любого случайного фактора в системе должен устанавливаться процесс, сходящий к плановому решению. В настоящее время в автоматизированных системах управления эта функция в основном возложена на человека, который составляет одно из звеньев цепи обратной связи в управлении производственными процессами.

Обратимся к анализу реального производственного процесса. Обычно длительность планового периода (периодичность выдачи планов цехам) выбирается, исходя из традиционно сложившихся календарных интервалов времени: смена, сутки, пятидневка и т.п. Руководствуются при этом в основном практическими соображениями. Минимальная длительность планового периода определяется оперативными возможностями планируемых органов. Если производственно-диспетчерский отдел предприятия справляется с выдачей скорректированных сменных заданий цехам, то расчёт производится на каждую смену (то есть ежесменно производятся затраты, связанные с расчётом и анализом плановых заданий).

Для определения числовых характеристик распределения вероятностей случайных воз-

Серия «Экономика и управление» мущений построим вероятностную модель реального технологического процесса изготовления одной сборочной единицы. Под технологическим процессом изготовления сборочной единицы здесь и в дальнейшем подразумевается последовательность операций (работ по изготовлению данных детали или узла), документально закреплённая в технологии. Каждая технологическая операция изготовления продукции в соответствии с технологическим маршрутом может быть выполнена только после предшествующей. Следовательно, технологический процесс изготовления сборочной единицы является последовательностью событий-операций. Под влиянием различных стохастических причин длительность выполнения отдельной операции может изменяться. В отдельных случаях операция может не выполниться в течение действия данного сменного задания. Очевидно, что эти события можно разложить на элементарные составляющие: выполнения и невыполнения отдельных операций, которым также можно поставить в соответствие вероятности выполнения и невыполнения.

Для конкретного технологического процесса вероятность выполнения последовательности, состоящей из К операций, можно выразить следующей формулой:

РС5 = к) = (1-рк+1)ПГ=1Р1 , (1)

где: Р1 - вероятность выполнения 1-ой операции, взятой отдельно; г - номер операции по порядку в технологическом процессе.

Этой формулой можно пользоваться для определения стохастических характеристик конкретного планового периода, когда известны номенклатура запускаемой в производство продукции и перечень работ, которые должны быть выполнены в данном плановом периоде, а также их стохастические характеристики, которые определяются опытным путём. На практике перечисленным требованиям удовлетворяют только некоторые виды массового производства, обладающие высокой статистической устойчивостью характеристик.

Вероятность выполнения одной отдельно взятой операции зависит не только от внешних факторов, но также от конкретного характера выполняемой работы и от вида сборочной единицы.

Для определения параметров приведённой формулы даже при относительно небольшом наборе сборочных единиц, при малых изменениях номенклатуры выпускаемой продукции требуется значительный объём экспериментальных данных, что вызывает существенные материальные и организационные затраты и делает данный способ определения вероятности бесперебойного изготовления продукции малоприменимым.

Подвергнем полученную модель исследованию на предмет возможности её упрощения. Исходной величиной анализа является вероятность бессбойного выполнения одной операции технологического процесса изготовления продукции. В реальных производственных условиях вероятности выполнения операций каждого вида различны. Для конкретного технологического процесса эта вероятность зависит:

От вида выполняемой операции;

От конкретной сборочной единицы;

От изготавливаемой параллельно продукции;

От внешних факторов.

Проведём анализ влияния колебаний величины вероятности выполнения одной операции на укрупнённые характеристики производственного процесса изготовления продукции (объём товарного выпуска, объём незавершённого производства и т.п.), определяемые с использованием данной модели. Целью исследования является анализ возможности замены в модели различных вероятностей выполнения одной операции средним значением.

Совместное влияние всех перечисленных факторов учитывается при вычислении средней геометрической вероятности выполнения одной операции усреднённого технологического процесса. Анализ современного производства показывает, что она колеблется незначительно: практически в пределах 0,9 - 1,0.

Наглядной иллюстрацией того, насколько низкой вероятности выполнения одной опе-

рации соответствует значение 0,9, является следующий абстрактный пример. Предположим, что нужно изготовить десять деталей. Технологические процессы изготовления каждой из них содержат по десять операций. Вероятность выполнения каждой операции равна 0,9. Найдём вероятности отставания от графика различного количества технологических процессов.

Случайное событие, заключающееся в том, что конкретный технологический процесс изготовления сборочной единицы отстанет от графика, соответствует недовыполнению в этом процессе хотя бы одной операции. Оно противоположно событию: выполнению всех операций без сбоя. Его вероятность равна 1 - 0,910 = 0,65. Поскольку отставания от графика являются независимыми событиями, для определения вероятности отставания от графика различного количества технологических процессов можно воспользоваться распределением вероятностей Бернулли. Результаты вычислений приведены в таблице 1.

Таблица 1

Расчет вероятностей отставания от графика технологических процессов

к С^о0.35к0.651О-к Сумма

Из таблицы видно, что с вероятностью 0,92 от графика отстанут пять технологических процессов, то есть половина. Математическое ожидание количества отставших от графика технологических процессов будет равняться 6,5. Это значит, что в среднем от графика будут отставать 6,5 сборочных единиц из 10. То есть в среднем будут изготавливаться без сбоев от 3 до 4 детали. Автору неизвестны примеры такого низкого уровня организации труда в реальном производстве. Рассмотренный пример наглядно показывает, что накладываемое ограничение на величину вероятности выполнения без сбоев одной операции не противоречит практике. Всем перечисленным требованиям удовлетворяют производственные процессы механосборочных цехов машиностроительного производства.

Таким образом, для определения стохастических характеристик производственных процессов предлагается построить распределение вероятностей пооперационного выполнения одного технологического процесса, которое выражает вероятность выполнения последовательности технологических операций изготовления сборочной единицы через среднюю геометрическую вероятность выполнения одной операции. Вероятность выполнения К операций в этом случае будет равна произведению вероятностей выполнения каждой операции, умноженному на вероятность невыполнения остальной части технологического процесса, которая совпадает с вероятностью невыполнения (К + Т)-ой операции. Этот факт объясняется тем, что если не выполнится какая-либо операция, то следующие за ней выполниться не могут. Последняя запись отличается от остальных, так как выражает вероятность полного прохождения без сбоев всего технологического процесса. Вероятность выполнения К первых операций технологического процесса однозначно связана с вероятностью невыполнения оставшихся операций. Таким образом, распределение вероятностей имеет следующий вид:

РЙ=0)=р°(1-р),

Р(§=1) = р1(1-р), (2)

Р(^=1) = р1(1-р),

Р(^=и-1) = рп"1(1 - р), Р(£=п) = рп,

где: ^ - случайная величина, количество выполнившихся операций;

р - средняя геометрическая вероятность выполнения одной операции, п - количество операций в технологическом процессе.

Справедливость применения полученного, однопараметрического распределения вероятностей интуитивно видна из следующих рассуждений. Предположим, что мы вычислили среднее геометрическое значение вероятности выполнения одной 1 операции по выборке, состоящей из п элементов, где п достаточно велико.

р = УЩТ7Р7= тл|п]т=1р!), (3)

где: Iу - количество операций, имеющих одинаковую вероятность выполнения; ] - индекс группы операций, имеющих одинаковую вероятность выполнения; т - количество групп, состоящих из операций, имеющих одинаковую вероятность выполнения;

^ = - - относительная частота появления операций с вероятностью выполнения р^.

По закону больших чисел, при неограниченном количестве операций относительная частота появления в последовательности операций с определёнными стохастическими характеристиками стремится по вероятности к вероятности этого события. Откуда следует, что

для двух достаточно больших выборок = , значит:

где: т1, т2 - количество групп в первой и второй выборках, соответственно;

1*, I2 - количество элементов в группе первой и второй выборок, соответственно.

Отсюда видно, что если параметр рассчитан для большого количества испытаний, то он будет близок к параметру Р, рассчитанному по данной достаточно большой выборке.

Следует обратить внимание на различную близость к истинному значению вероятностей выполнения различного количества операций технологического процесса. Во всех элементах распределения, кроме последнего, присутствует множитель (I - Р). Поскольку величина параметра Р находится в промежутке 0,9 - 1,0, множитель (I - Р) колеблется в пределах 0 - 0,1. Этот множитель соответствует множителю (I - р;) в исходной модели. Опыт показывает, что это соответствие для конкретной вероятности может вызвать ошибку до 300%. Однако на практике обычно интересуются не вероятностями выполнения какого-либо количества операций, а вероятностью полного выполнения без сбоев технологического процесса. Эта вероятность не содержит множитель (I - Р), и, следовательно, её отклонение от действительного значения невелико (практически не более 3%). Для экономических задач это довольно высокая точность.

Построенное таким образом распределение вероятностей случайной величины является стохастической динамической моделью процесса изготовления сборочной единицы. Время участвует в ней неявно, как длительность одной операции. Модель позволяет определить вероятность того, что через некоторый промежуток времени (соответствующее количество операций) производственный процесс изготовления сборочной единицы не прервётся. Для механосборочных цехов машиностроительного производства среднее количество операций одного технологического процесса достаточно велико (15 - 80). Если рассматривать это число как базовое и считать, что в среднем при изготовлении одной сборочной единицы используется небольшой набор укрупнённых типов работ (токарные, слесарные, фрезерные и т.п.),

то полученное распределение можно с успехом применять для оценки влияния стохастических возмущений на ход производственного процесса.

Автором проводился имитационный эксперимент, построенный по этому принципу. Для генерации последовательности псевдослучайных величин, равномерно распределённых на отрезке 0,9 - 1,0, применялся датчик псевдослучайных чисел, описанный в работе . Программное обеспечение эксперимента написано на алгоритмическом языке КОБОЛ.

В эксперименте формируются произведения сгенерированных случайных величин, имитирующие реальные вероятности полного выполнения конкретного технологического процесса. Они сравниваются с вероятностью выполнения технологического процесса, полученной при использовании среднего геометрического значения, которое вычислялось для некоторой последовательности случайных чисел того же распределения. Среднее геометрическое значение возводится в степень, равную количеству множителей в произведении. Между двумя этими результатами вычисляется относительная разность в процентах. Эксперимент повторяется для различного количества множителей в произведениях и количества чисел, для которых вычисляется среднее геометрическое значение. Фрагмент результатов эксперимента приведен в таблице 2.

Таблица 2

Результаты имитационного эксперимента:

п - степень среднего геометрического значения; к - степень произведения

п к Произведение Отклонение к Произведение Отклонение к Произведение Отклонение

10 1 0,9680 0% 7 0,7200 3% 13 0,6277 -7%

10 19 0,4620 -1% 25 0,3577 -1% 31 0,2453 2%

10 37 0,2004 6% 43 0,1333 4% 49 0,0888 6%

10 55 0,0598 8% 61 0,0475 5% 67 0,0376 2%

10 73 0,0277 1% 79 0,0196 9% 85 0,0143 2%

10 91 0,0094 9% 97 0,0058 0%

13 7 0,7200 8% 13 0,6277 0% 19 0,4620 0%

13 25 0,3577 5% 31 0,2453 6% 37 0,2004 4%

13 43 0,1333 3% 49 0,0888 8% 55 0,0598 8%

13 61 0,0475 2% 67 0,0376 8% 73 0,0277 2%

13 79 0,0196 1% 85 0,0143 5% 91 0,0094 5%

16 1 0,9680 0% 7 0,7200 9%

16 13 0,6277 2% 19 0,4620 3% 25 0,3577 0%

16 31 0,2453 2% 37 0,2004 2% 43 0,1333 5%

16 49 0,0888 4% 55 0,0598 0% 61 0,0475 7%

16 67 0,0376 5% 73 0,0277 5% 79 0,0196 2%

16 85 0,0143 4% 91 0,0094 0% 97 0,0058 4%

19 4 0,8157 4% 10 0,6591 1% 16 0,5795 -9%

19 22 0,4373 -5% 28 0,2814 5% 34 0,2256 3%

19 40 0,1591 6% 46 0,1118 1% 52 0,0757 3%

19 58 0,0529 4% 64 0,0418 3% 70 0,0330 2%

19 76 0,0241 6% 82 0,0160 1% 88 0,0117 8%

19 94 0,0075 7% 100 0,0048 3%

22 10 0,6591 4% 16 0,5795 -4% 22 0,4373 0%

22 28 0,2814 5% 34 0,2256 5% 40 0,1591 1%

22 46 0,1118 1% 52 0,0757 0% 58 0,0529 8%

22 64 0,0418 1% 70 0,0330 3% 76 0,0241 5%

22 82 0,0160 4% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

22 100 0,0048 1%

25 4 0,8157 3% 10 0,6591 0%

25 16 0,5795 0% 72 0,4373 -7% 28 0,2814 2%

25 34 0,2256 9% 40 0,1591 1% 46 0,1118 4%

25 52 0,0757 5% 58 0,0529 4% 64 0,0418 2%

25 70 0,0330 0% 76 0,0241 2% 82 0,0160 4%

28 4 0,8157 2% 10 0,6591 -2% 16 0,5795 -5%

28 22 0,4373 -3% 28 0,2814 2% 34 0,2256 -1%

28 40 0,1591 6% 46 0,1118 6% 52 0,0757 1%

28 58 0,0529 4% 64 0,041 8 9% 70 0,0330 5%

28 70 0,0241 2% 82 0,0160 3% 88 0,0117 1%

28 94 0,0075 100 0,0048 5%

31 10 0,6591 -3% 16 0,5795 -5% 22 0,4373 -4%

31 28 0,2814 0% 34 0,2256 -3% 40 0,1591 4%

31 46 0,1118 3% 52 0,0757 7% 58 0,0529 9%

31 64 0,0418 4% 70 0,0330 0% 76 0,0241 6%

31 82 0,0160 6% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

При постановке данного имитационного эксперимента преследовалась цель исследовать возможность получения при помощи распределения вероятностей (2) одну из укрупнённых статистических характеристик производственного процесса - вероятность выполнения без сбоев одного технологического процесса изготовления сборочной единицы, состоящего из К операций. Для конкретного технологического процесса эта вероятность равна произведению вероятностей выполнения всех его операций. Как показывает имитационный эксперимент, её относительные отклонения от вероятности, полученной с использованием разработанной вероятностной модели, не превышают 9%.

Поскольку в имитационном эксперименте использовано более неудобное, чем реальное, распределение вероятностей, то практические расхождения будут ещё меньше. Отклонения наблюдаются как в сторону уменьшения, так и в сторону превышения значения, полученного исходя из усредненных характеристик. Этот факт наводит на мысль, что если рассматривать отклонение вероятности бессбойного выполнения не отдельного технологического процесса, а нескольких, то оно будет значительно меньше. Очевидно, что оно будет тем меньше, чем больше технологических процессов будут рассматриваться. Таким образом, имитационный эксперимент показывает хорошее согласование вероятности выполнения без сбоев технологического процесса изготовления продукции с вероятностью, получаемой при использовании однопараметрической математической модели.

Кроме того, имитационные эксперименты проводились:

Для исследования статистической сходимости оценки параметра распределения вероятностей;

Для исследования статистической устойчивости математического ожидания числа выполнившихся без сбоев операций;

Для анализа методик определения длительности минимального планового периода и оценки рассогласования плановых и реальных показателей производственного процесса, при несовпадении во времени планового и производственного периодов.

Эксперименты показали хорошее соответствие теоретических данных, получаемых на основе применения методик, и эмпирических данных, получаемых с помощью имитации на

Серия «Экономика и управление»

ЭВМ реальных производственных процессов.

На основе применения построенной математической модели автором разработаны три конкретных методики повышения эффективности оперативного управления. Для их апробации проводились отдельные имитационные эксперименты.

1. Методика определения рационального объёма производственного задания на плановый период.

2. Методика определения наиболее эффективной длительности оперативного планового периода.

3. Оценка рассогласования при несовпадении во времени планового и производственного периодов.

Литература

1. Мордасов Ю.П. Определение длительности минимального оперативного планового периода в условиях действия случайных возмущений / Экономико-математическое и имитационное моделирование с применением ЭВМ. - М: МИУ им. С. Орджоникидзе, 1984.

2. Нейлор Т. Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем. -М: Мир, 1975.

Переход от концентрации к диверсификации - эффективный путь развития экономики малого и среднего бизнеса

проф. Козленко Н. Н. Университет машиностроения

Аннотация. В данной статье рассмотрена проблема выбора наиболее эффективного развития российских предприятий малого и среднего бизнеса с помощью перехода от стратегии концентрации к стратегии диверсификации. Рассмотрены вопросы целесообразности диверсификации, ее преимущества, критерии выбора пути диверсификации, приведена классификация стратегий диверсификации.

Ключевые слова: предприятия малого и среднего бизнеса; диверсификация; стратегическое соответствие; конкурентные преимущества.

Активное изменение параметров макросреды (изменение конъюнктуры рынка, появление новых конкурентов в смежных отраслях, рост уровня конкуренции вообще) зачастую приводит к невыполнению намеченных стратегических планов предприятий малого и среднего бизнеса, потерям финансово-экономической устойчивости предприятий из-за значительного разрыва между объективными условиями деятельности малых предприятий и уровнем технологии управления ими.

Основными условиями экономической стабильности и возможности сохранения конкурентных преимуществ является способность системы управления своевременно реагировать и изменять внутренние производственные процессы (менять ассортимент с учетом диверсификации, перестраивать производственно-технологические процессы, менять структуру организации, использовать инновационные инструменты маркетинга и менеджмента).

Исследование практики российских предприятий малого и среднего бизнеса производственного типа и сервисного обслуживания позволило выявить следующие особенности и базовые причинно-следственные связи, касающиеся современной тенденции перехода малых предприятий от концентрации к диверсификации.

Большинство компаний малого и среднего бизнеса начинают свою деятельность с небольших предприятий с одним видом бизнеса, обслуживающих местные или региональные рынки. В начале своей деятельности номенклатура продукции такой компании весьма ограничена, капитальная база ее слаба, а конкурентные позиции уязвимы. Обычно в стратегии таких компаний главное внимание уделяется росту объема продаж и доле рынка, а также

Как следует из названия, данный вид моделей ориентирован на описание систем, которые проявляют статистически закономерное случайное поведение, а время в них можно рассматривать как дискретную величину. Сущность дискретизации времени такая же, как и в дискретно-детерминированных моделях. Модели систем такого рода могут быть построены на основе двух схем формализованного описания. Во-первых, это конечно-разностные уравнения, среди переменных которых используют функции, задающие случайные процессы. Во-вторых, в них применяют вероятностные автоматы .

Пример построения дискретно-стохастической системы. Пусть имеется некоторая производственная система, структура которой изображена на рис. 3.8. В рамках этой системы перемещается однородный материальный поток, проходящий стадии складирования и производства.

Пусть, например, поток сырья состоит из металлических болванок, которые складируются на входном складе. Затем эти болванки поступают на производство, где из них производят какое-то изделие. Готовые изделия складируются на выходном складе, откуда их забирают для дальнейших действий с ними (передают на следующие фазы производства или на реализацию). В общем случае такая производственная система преобразует материальные потоки сырья, материалов и полуфабрикатов в поток готовой продукции.

Пусть шаг изменения времени в данной производственной системе будет равен единице (Д?= 1). За единицу мы примем смену работы этой системы. Будем считать, что процесс изготовления изделия длится один временной шаг.

Рис. 3.8, Схема производственной системы

Управление производственным процессом осуществляется специальным регулирующим органом, которому задан план выпуска изделий в виде директивной интенсивности выпуска продукции (количество изделий, которое необходимо изготовить за единицу времени, в данном случае за смену). Обозначим эту интенсивность d t . Фактически это скорость выпуска продукции. Пусть d t =а+ bt, т. е. является линейной функцией. Это означает, что с каждой последующей сменой план увеличивается на величину bt.

Поскольку мы имеем дело с однородным материальным потоком, то считаем, что в среднем объем сырья, приходящего в систему в единицу времени, объем производства в единицу времени, объем готовой продукции, уходящей в единицу времени из системы, должны быть равны d t .

Входной и выходной потоки для регулирующего органа неуправляемы, их интенсивность (или скорость - число болванок либо изделий в единицу времени, соответственно приходящих в систему и уходящих из нее) должны быть равны d t . Однако в процессе транспортировки болванки могут быть утеряны, или часть из них будет некачественной, или по каким-то причинам их поступит больше, чем нужно, и т.п. Поэтому будем считать, что входной поток обладает интенсивностью:

х t вх =d t + ξ t вх,

где ξ 1 вх - равномерно распределенная случайная величина от -15 до +15.

Примерно те же самые процессы могут происходить с выходным потоком. Поэтому выходной поток обладает следующей интенсивностью:

х t в ы х =d t + ξ t вых,

где ξ t вых - нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 15.

Будем считать, что и в процессе производства имеются случайности, связанные с неявкой рабочих на работу, поломкой станков и т.п. Описывает эти случайности нормально распределенная случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 15. Обозначим ее ξ t/ Процесс производства длится единицу времени, за которую с входного склада изымается x t сырья, затем это сырье обрабатывается и передается на выходной склад за ту же единицу времени. Регулирующий орган получает информацию о работе системы тремя возможными способами (они отмечены цифрами 1, 2, 3 на рис. 3.8). Мы считаем, что эти способы получения информации по каким-либо причинам являются в системе взаимоисключающими.

Способ 1. Регулирующий орган получает только информацию о состоянии входного склада (например, об изменении запасов на складе либо об отклонении объема запасов от их нормативного уровня) и по ней судит о скорости протекания производственного процесса (о скорости изымания сырья со склада):

1) (u t вх - u t-1 вх )- изменение объема запасов на складе (u t вх - объем сырья на входном складе в момент времени t);

2) (ù- u t вх) - отклонение объема сырья на входном складе от нормы запасов.

Способ 2. Регулирующий орган получает информацию непосредственно с производства (x t - фактическая интенсивность производства) и сравнивает ее с директивной интенсивностью (d t -x t).

Способ 3. Регулирующий орган получает информацию, как и при способе 1, но с выходного склада в виде (u t вых - u t-1 вых )- или (ù -u t вых). Он также судит о производственном процессе на основания косвенных данных - росте или уменьшении запасов готовой продукции.

Чтобы поддержать заданную интенсивность выпуска продукции d t , регулирующий орган принимает решения y t , (либо (y t - y t - 1)), нацеленные на изменение фактической интенсивности выпуска x t . В качестве решения регулирующий орган сообщает производству значения интенсивности, с которой надо работать, т. е. x t = y t . Второй вариант управляющего решения - (y t -y t-1), т.е. регулирующий орган сообщает производству, на сколько нужно увеличить или уменьшить интенсивность производства (х t -х t-1 ).

В зависимости от способа получения информации и вида переменной, описывающей управляющее воздействие, на принятие решений могут влиять следующие величины.

1. База решения (величина, которой должна быть равна фактическая интенсивность производства, если бы не было отклонений):

директивная интенсивность выпуска в момент t(d t);

темп изменения директивной интенсивности выпуска в момент t(d t -d t-1).

2. Величина отклонения:

отклонение фактического выпуска от директивного (d t -x t);

отклонение фактического объема выпуска от планового объема

Σ d τ - Σ х τ

изменение уровня запасов на входном ((u t вх - u t-1 вх) или выходном

(u t вых - u t-1 вых) складах;

отклонение уровня запасов на входном (ù- u t вх) или выходном (ù -u t вых) складах от нормативного уровня.

В общем случае управленческое решение, принимаемое регулирующим органом, состоит из следующих составляющих:

Примеры решений:

y t = d t +y(d t-1 -x t-1);

y t = d t -y(ù -u t вых)

Принимая различные по форме решения, регулирующий орган стремится достичь главную цель - приблизить фактическую интенсивность выпуска к директивной. Однако он не всегда может непосредственно ориентироваться в своих решениях на степень достижения этой цели (d t - x t). Конечные результаты могут выражаться в достижении локальных целей - стабилизации уровня запасов на входном или выходном складе (и t вх(вых) - и t -1 вх(вых)) либо в приближении уровня запасов на складе к нормативному (и - и вх (вых)). В зависимости от достигаемой цели в управляющем решении определяется вид знака (+ или -) перед долей рассогласования, используемой для регулирования.

Пусть в нашем случае регулирующий орган получает информацию о состоянии входного склада (изменение уровня запасов). Известно, что в любой системе управления имеют место запаздывания по выработке и реализации решения. В данном примере информация о состоянии входного склада поступает в орган регулирования с запаздыванием на один временной шаг. Такое запаздывание называется запаздыванием по выработке решения и означает, что к моменту получения информации в регулирующем органе реальное состояние уровня запасов на входном складе будет уже другим. После того как регулирующий орган принял решение у t также потребуется время (в нашем примере это будет единица времени) для доведения решения до исполнителя. Значит, фактическая интенсивность производства равна не y t , а тому решению, которое управляющий орган принял единицу времени назад. Это - запаздывание по реализации решения.

Для описания нашей производственной системы имеем следующие уравнения:

x t BX = d t + ξ t вх

x t вых = d t + ξ t вых;

y t = d t + y(u -u t-2 вх)

x t = y t-1 + ξ t

u t вх - u t-1 вх = x t вх - x t

Данная система уравнений позволяет построить модель производственной системы, в которой входными переменными будут d t , ξ t вх, ξ t вых, ξ t ,а

выходной - x t . Это так, поскольку внешний наблюдатель рассматривает наше производство как систему, получающую сырье с интенсивностью d t и производящую продукцию с интенсивностью x t , подвергаясь случайностям ξ t вх, ξ t вых, ξ t . Осуществив все подстановки в полученной системе уравнений, приходим к одному уравнению динамики, характеризующему поведение x t в зависимости от d t , ξ t вх, ξ t вых, ξ t .

Рассмотренная выше модель не содержала ограничений на объемы складов и мощности производства. Если принять, что емкость входного склада равна V вх, емкость выходного склада - V BX , a мощность производства - М, то новая система уравнений для такой нелинейной производственной системы будет следующей:

x t BX =min((d t + ξ t вх),(V вх - u t вх)) - нельзя на входной склад положить больше, чем позволит место;

x вых =min((d t + ξ t вых),(V вых -u t вых)) - нельзя взять с выходного склада больше изделий, чем там имеется;

y t =d t + y(u t вх -u t-1 вх)

x t BX = min((u t вх, (y t-1 + ξ t вх), М, (V вых - u t вых)) - нельзя произвести больше изделий, чем приказано, ограничивающими факторами являются число имеющихся заготовок и наличие свободного места на выходном складе;

u t вх -u t-1 вх = x t BX - x t

Построение стохастической модели включает разработку, оценку качества и исследование поведения системы с помощью уравнений, описывающих изучаемый процесс.

Для этого путем проведения специального эксперимента с реальной системой добывается исходная информация. При этом используются методы планирования эксперимента, обработки результатов, а также критерии оценки полученных моделей, базирующиеся на таких разделах математической статистики как дисперсионный, корреляционный, регрессионный анализ и др.

В основе методов построения статистической модели, описывающей технологический процесс (рис.6.1) лежит концепция «черного ящика». Для него возможны многократные измерения входных факторов: x 1 ,x 2 ,…,x k и выходных параметров: y 1 ,y 2 ,…,y p , по результатам которых устанавливают зависимости:

При статистическом моделировании вслед за постановкой задачи (1) производится отсеивание наименее важных факторов из большого числа входных переменных, влияющих на ход процесса (2). Выбранные для дальнейшего исследования входные переменные составляют список факторов x 1 ,x 2 ,…,x k в (6.1), управляя которыми можно регулировать выходные параметры y n . Количество выходных параметров модели также следует по возможности уменьшить, чтобы сократить затраты на эксперименты и обработку данных.

При разработке статистической модели обычно ее структура (3) задается произвольно, в виде удобных для использования функций, аппроксимирующих опытные данные, а затем уточняется на основе оценки адекватности модели.

Наиболее часто используется полиномиальная форма модели. Так, для квадратичной функции:

(6.2)

где b 0 , b i , b ij , b ii – коэффициенты регрессии.

Обычно сначала ограничиваются наиболее простой линейной моделью, для которой в (6.2) b ii =0, b ij =0 . В случае ее неадекватности усложняют модель введением членов, учитывающих взаимодействие факторов x i ,x j и (или) квадратичных членов .

С целью максимального извлечения информации из проводимых экспериментов и уменьшения их числа проводится планирование экспериментов (4) т.е. выбор количества и условий проведения опытов необходимых и достаточных для решения с заданной точностью поставленной задачи.

Для построения статистических моделей применяют два вида экспериментов: пассивный и активный. Пассивный эксперимент проводится в форме длительного наблюдения за ходом неуправляемого процесса, что позволяет собрать обширный ряд данных для статистического анализа. В активном эксперименте имеется возможность регулирования условий проведения опытов. При его проведении наиболее эффективно одновременное варьирование величины всех факторов по определенному плану, что позволяет выявить взаимодействие факторов и сократить число опытов.

На основе результатов проведенных экспериментов (5) вычисляют коэффициенты регрессии (6.2) и оценивают их статистическую значимость, чем завершается построение модели (6). Мерой адекватности модели (7) является дисперсия, т.е. среднеквадратичное отклонение вычисляемых значений от экспериментальных. Полученная дисперсия сопоставляется с допустимой при достигнутой точности экспериментов.

480 руб. | 150 грн. | 7,5 долл. ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут , круглосуточно, без выходных и праздников

Демидова Анастасия Вячеславовна. Метод построения стохастических моделей одношаговых процессов: диссертация... кандидата физико-математических наук: 05.13.18 / Демидова Анастасия Вячеславовна;[Место защиты: Российский университет дружбы народов].- Москва, 2014.- 126 с.

Введение

Глава 1. Обзор работ по теме диссертации 14

1.1. Обзор моделей популяционной динамики 14

1.2. Стохастические популяционные модели 23

1.3. Стохастические дифференциальные уравнения 26

1.4. Сведения по стохастическому исчислению 32

Глава 2. Метод моделирования одношаговых процессов 39

2.1. Одношаговые процессы. Уравнение Колмогорова-Чепмена. Основное кинетическое уравнение 39

2.2. Метод моделирования многомерных одношаговых процессов. 47

2.3. Численное моделирование 56

Глава 3. Применение метода моделирования одношаговых процессов 60

3.1. Стохастические модели популяционной динамики 60

3.2. Стохастические модели популяционных систем с различными меж- и внутривидовыми взаимодействиями 75

3.3. Стохастическая модель распространения сетевых червей. 92

3.4. Стохастические модели пиринговых протоколов 97

Заключение 113

Литература 116

Стохастические дифференциальные уравнения

Одной из задач диссертации является задача записи стохастического дифференциального уравнения для системы так, чтобы стохастический член был связан со структурой изучаемой системы. Одно из возможных решений этой задачи - это получение стохастической и детерминистической частей из одного и тоже уравнения. Для этих целей удобно использовать основное кинетическое уравнение, которое может быть аппроксимировано уравнением Фоккера-Планка, для которого,в свою очередь, можно записать эквивалентное ему стохастическое дифференциальное уравнение в форме уравнения Ланжевена.

Раздел 1.4. содержит основные сведения, необходимые для обозначения связи между стохастическим дифференциальным уравнением и уравнением Фоккера-Планка, а также основные понятия стохастического исчисления.

Во второй главе приводятся основные сведения из теории случайных процессов и на основе этой теории формулируется метод моделирования одношаговых процессов.

В разделе 2.1 приведены основные сведения из теории случайных одношаговых процессов.

Под одношаговыми процессами понимаются марковские процессы с непрерывным временем, принимающие значения в области целых чисел, матрица перехода которых допускает только переходы между соседними участками.

Рассматривается многомерный одношаговый процесс Х() = (i(),2(), ...,n()) = { j(), = 1, } , (0.1) изменяющийся по на отрезке , т.е. Є , где - длина временного интервала, на котором задан процесс Х(). Множество G = {х, = 1, Є NQ х NQ1 - это множество дискретных значений, которые может принимать случайный процесс.

Для данного одношагового процесса вводятся вероятности переходов в единицу времени s+ и s из состояния Xj в состояние Xj__i и Xj_i соответственно. При этом считается, что вероятность перехода из состояния х на два или белее шагов за единицу времени очень мала. Поэтому можно говорить, что вектор Xj состояния системы изменяются шагами длины Г{ и тогда вместо переходов из х в Xj+i и Xj_i можно рассматривать переходы из X в X + Гі и X - Гі соответственно.

При моделировании систем, в которых временная эволюция происходит в результате взаимодействия элементов системы удобно описывать с помощью основного кинетического уравнения, (другое название управляющее уравнение , а в англоязычной литературе носит название Master equation ).

Далее встает вопрос, как получить описание исследуемой системы, описываемой одношаговыми процессами, с помощью стохастического дифференциального уравнения в форме уравнения Ланжевена из основного кинетиче 11 ского уравнения. Формально к стохастическим уравнениям следует отнести лишь уравнения, содержащие стохастические функции. Таким образом, этому определению удовлетворяют лишь уравнения Ланжевена. Однако они связаны непосредственно с другими уравнениями, а именно с уравнением Фоккера-Планка и основным кинетическим уравнением. Поэтому представляется логичным рассматривать все эти уравнения в совокупности. Поэтому для решения этой задачи предлагается аппроксимировать основное кинетическое уравнение уравнением Фоккера-Планка, для которого можно записать эквивалентное ему стохастическое дифференциальное уравнение в форме уравнения Ланжевена.

В разделе 2.2 формулируется метод описания и стохастического моделирования систем, описываемых многомерными одношаговыми процессами.

Кроме того, показано, что коэффициенты для уравнения Фоккера-Планка можно получить сразу после записи для изучаемой системы схемы взаимодействия, вектора изменения состояния r и выражений для вероятностей перехода s+ и s-, т.е. при практическом применении данного метода нет необходимости записывать основное кинетическое уравнение.

В разделе 2.3. рассмотрен метод Рунге-Кутта для численного решения стохастических дифференциальных уравнений, который используется в третьей главе для иллюстрации полученных результатов.

В третьей главе представлена иллюстрация применения, описанного во второй главе метода построения стохастических моделей, на примере систем описывающих динамику роста взаимодействующих популяций, таких как «хищник-жертва», симбиоз, конкуренция и их модификации. Целью является записать их в виде стохастических дифференциальных уравнений и исследовать влияние введения стохастики на поведение системы.

В разделе 3.1. проиллюстрировано применение описанного во второй главе метода на примере модели «хищник-жертва». Системы с взаимодействием двух видов популяций типа «хищник-жертва» широко исследованы, что позволяет сравнить полученные результаты с уже хорошо известными.

Анализ полученных уравнений показал, что для исследования детерминистического поведения системы, можно использовать вектор сносов A полученного стохастического дифференциального уравнения, т.е. разработанный метод можно использовать для анализа как стохастического, так и детерминистического поведения. Кроме того сделан вывод, что стохастические модели дают более реалистичное описание поведения системы. В частности, для системы «хищник-жертва» в детерминистическом случае, решения уравнений имеют периодический вид и фазовый объем сохраняется, в то время как, введение стохаcтики в модель, дает монотонное возрастание фазового объема, что говорит о неизбежной гибели одной либо обеих популяций. В целях визуализации полученных результатов было проведено численное моделирование.

В разделе 3.2. разработанный метод применяется для получения и анализа различных стохастических моделей популяционной динамики, таких как модель «хищник–жертва» с учётом межвидовой конкуренции среди жертв, симбиоз, конкуренция и модель взаимодействия трех популяций.

Сведения по стохастическому исчислению

Развитие теории случайных процессов привело к переходу в исследования природных явлений от детерминистических представлений и моделей популяционной динамики к вероятностным и как следствие, появление большого числа работ посвященных стохастическому моделированию в математической биологии, химии, экономике и д.р.

При рассмотрении детерминистических популяционных моделей остаются не охваченными такие важные моменты, как случайные влияния различных факторов на эволюцию системы. Описывая популяционную динамику следует учитывать случайный характер размножения и выживания особей, а также случайные колебания, которые происходят в среде со временем и приводят к случайным флуктуациям параметров системы. Поэтому во всякую модель динамики популяций следует вводить вероятностные механизмы, отражающие эти моменты.

Стохастическое моделирование позволяет более полно описать изменения популяционных характеристик с учетом как всех детерминистских факторов, так и случайных эффектов, которые могут существенно изменить выводы из детерминистских моделей. С другой стороны с их помощью можно выявить качественно новые стороны поведения популяции.

Стохастические модели изменения состояний популяции можно описывать с помощью случайных процессов. При некоторых допущениях можно считать, что поведение популяции при условии ее настоящего состояния не зависит от того, каким образом это состояние было достигнуто (т.е. при фиксированном настоящем будущее не зависит от прошлого). Т.о. для моделирования процессов популяционной динамики удобно использовать марковские процессы рождения-гибели и соответствующие управляющие уравнения, которые подробно описаны во второй части работы.

Н. Н. Калинкин в своих работах для иллюстрации процессов происходящих в системах с взаимодействующими элементами использует схемы взаимодействия и на базе этих схем строит модели этих систем используя аппарат ветвящихся марковских процессов. Применение такого подхода иллюстрируется на примере моделирования процессов в химических, популяционных, телекоммуникационных и др. системах.

В работе рассматриваются вероятностные популяционные модели, для построения которых используется аппарат процессов рождения-гибели, а получившиеся системы дифференциально-разностных уравнений представляют собой динамические уравнения для случайных процессов. Также в работе рассмотрены методы нахождения решений данных уравнений.

Можно найти много статей посвященных построению стохастических моделей учитывающих различные факторы влияющие на динамику изменения численности популяций. Так,например, в статьях построена и проанализирована модель динамики численности биологического сообщества, в котором особи потребляют пищевые ресурсы, содержащие вредные вещества. А в модели эволюции популяции в статье учитывается фактор расселения представителей популяций в ареалах их обитания. Модель представляет собой систему самосогласованных уравнений Власова.

Стоит отметить работы , которые посвящены теории флуктуа-ций и применению стохастических методов в естественных науках, таких как физика, химия, биология и др. В частности, математическая модель изменения численности популяций, взаимодействующих по типу «хищник-жертва» строиться на базе многомерных марковских процессов рождения-гибели.

Можно рассматривать модель «хищник–жертва» как реализацию процессов рождения–гибели. В такой трактовке возможно их применение для моде 26 лей во многих областях науки. В 70-е годы М. Дои предложена методика изучения таких моделей на основе операторов рождения–уничтожения (по аналогии со вторичным квантованием). Здесь можно отметить работы . Кроме того сейчас этот метод активно развивается в группе М. М. Гнатича .

Еще один подход к моделированию и изучению моделей популяцион-ной динамики связан с теорией оптимального управления. Здесь можно отметить работы .

Можно отметить, что большинство работ посвященных построению стохастических моделей популяционных процессов использует аппарат случайных процессов для получение дифференциально-разностных уравнений и последующей численной реализации. Кроме того широко применяется стохастические дифференциальные уравнения в форме Ланжевена, в которых стохастический член добавляется из общих соображений о поведении системы и призван описать случайные воздействия окружающей среды . Дальнейшим исследованием модели является их качественный анализ или нахождение решений с помощью численных методов.

Стохастические дифференциальные уравнения Определение 1. Стохастическое дифференциальное уравнение - это дифференциальное уравнение, в котором один член или более представляют собой стохастический процесс. Наиболее используемый и хорошо известный пример стохастического дифференциального уравнения (СДУ) - это уравнение с членом, который описывает белый шум и его можно рассматривать как винеровский процесс Wt, t 0.

Стохастические дифференциальные уравнения являются важным и широко используемым математическим аппаратом при изучении и моделировании динамических систем, которые подвержены различным случайным возмущениям.

Началом стохастического моделирования природных явлений принято считать описание явления броуновского движения, которое открыто Р. Броуном в 1827 году, когда он проводил исследования движения пыльцы растений в жидкости. Первое строгое объяснение этого явления независимо друг от друга дали А. Эйнштейн и М. Смолуховский. Стоит отметить сборник статей в котором собраны работы А. Эйнштейна и М. Смолухов-ского по броуновскому движению. Эти исследования внесли значительный вклад в развитие теории броуновского движения и ее экспериментальную проверку. А. Эйнштейном была создана молекулярно-кинетическая теория для количественного описания броуновского движения. Полученные формулы были подтверждены опытами Ж. Перрена в 1908-1909 гг.

Метод моделирования многомерных одношаговых процессов.

Для описания эволюции систем с взаимодействующими элементами существует два подхода - это построение детерминистической или стохастической моделей. В отличии от детерминистических, стохастические модели позволяют учесть вероятностный характер процессов происходящих в изучаемых системах, а также воздействия внешней среды, которые вызывают случайные флуктуации параметров модели.

Предметом изучения являются системы, процессы происходящие в которых могут быть описаны с помощью одношаговых процессов и таких, в которых переход их одного состояния в другое связан с взаимодействием элементов системы. Примером могут служить модели описывающие динамику роста взаимодействующих популяций, такие как «хищник-жертва», симбиоз, конкуренция и их модификации. Целью является записать для таких систем СДУ и исследовать влияние введения стохастической части на поведение решения уравнения, описывающего детерминистическое поведение.

Химическая кинетика

Системы уравнений, возникающие при описании систем с взаимодействующими элементами, во многом близки системам дифференциальных уравнений, описывающих кинетику химических реакций. Так, например, система Лотки-Вольтерра была первоначально выведена Лоткой как систе 48 ма, описывающая некоторую гипотетическую химическую реакцию, и лишь позже Вольтерра вывел ее как систему, описывающую модель «хищник-жертва».

Химическая кинетика описывает химические реакции с помощью, так называемых стехиометрических уравнений - уравнений отражающих количественные соотношения реагентов и продуктов химической реакции и имеющих следующий общий вид : где натуральные числа ті и Щ называются стехиометрическими коэффициентами. Это символическая запись химической реакции, в которой ті молекул реагента Xi, ni2 молекул реагента Хч, ..., тр молекул реагента Хр, вступив в реакцию образуют щ молекул вещества Уї, щ молекул вещества І2, ..., nq молекул вещества Yq соответственно.

В химической кинетике полагается, что химическая реакция может происходить только при непосредственном взаимодействии реагентов, а скорость химической реакции определяется как число частиц образовавшихся в единицу времени в еденице объема.

Основным постулатом химической кинетики является закон действующих масс, который говорит о том, что скорость химической реакции прямо пропорциональна произведению концентраций реагирующих веществ в степенях их стехиометрических коэффициентов. Поэтому, если обозначить через ХІ и у І концентрации соответствующих веществ, то имеем уравнение для скорости изменения концентрации какого-либо вещества во времени в результате химической реакции :

Далее предлагается использовать основные идеи химической кинетики для описания систем, эволюция во времени которых происходит в результате взаимодействия друг с другом элементов данной системы, внеся следующие основные изменения: 1. рассматриваются не скорости реакций, а вероятности переходов; 2. предлагается, что вероятность перехода из одного состояния в другое, являющегося следствием взаимодействия, пропорциональна числу возможных взаимодействий данного типа; 3. для описания системы в данном методе используется основное кинетическое уравнение; 4. детерминистические уравнения заменяются стохастическими. Подобный подход к описанию таких систем можно найти в работах . Для описания процессов происходящих в моделируемой системе предполагается использовать, как уже отмечалось выше, марковские одношаговые процессы.

Рассмотрим систему состоящую из типов различных элементов, которые могут взаимодействовать между собой различными способами. Обозначим через элемент -того типа, где = 1, а через - количество элементов -того типа.

Пусть (), .

Сделаем предположение, что файл состоит из одной части. Таким образом за один шаг взаимодействия нового узла, желающего скачать файл, и узла, раздающего файл, новый узел скачивает весь файл и становится раздающим узлом.

Пусть - это обозначение нового узла, - это раздающий узел, а - коэффициент взаимодействия. Новые узлы могут приходить в систему с интенсивностью, а раздающие узлы уходить из нее с интенсивностью. Тогда схема взаимодействия и вектор г будет иметь вид:

Стохастическое дифференциальное уравнение в форме Ланжевена мож 100 но получить воспользовавшись соответствующей формулой (1.15). Т.к. вектор сносов A полностью описывает детермистическое поведеие системы можно получить систему обыкновеных дифференциальных уравнений, описывающих динамику численности новых клиентов и сидов:

Таким образом, в зависимости от выбора параметров особая точка может иметь разный характер. Так при /ЗА 4/І2 особая точка является устойчивым фокусом, а при обратном соотношении - устойчивый узел. В обоих случаях особая точка является устойчивой, так как выбора значений коэффициентов, изменения переменных системы может происходить по одной из двух траекторий. Если особая точка является фокусом, то в системе происходят затухающие колебания численностей новых и раздающих узлов (см. рис. 3.12). А в узловом случае приближение численностей к стационарным значениям происходит в бесколебательном режиме (см. рис. 3.13). Фазовые портреты системы для каждого из двух случаев изображены, соответственно, на графиках(3.14) и (3.15).