Образовательные цели урока:

1. совершенствовать навык умножения натуральных чисел;
2. учить использовать свойства умножения при вычислениях;
3. продолжить работу над текстовыми задачами.

Развивающие цели:

1. развивать логическое мышление;
2. активизировать мыслительную деятельность с помощью информационных технологий.

Воспитательные цели:

1. развивать память, внимание, навык самостоятельной и творческой деятельности;
2. прививать интерес к предмету, используя на уроке ИКТ.

Оборудование:

• интерактивная доска,
• компьютеры,
• презентация к уроку,
• раздаточный материал (кроссворд)
• карточки “Мир растений”,
• сигнальные карточки.

Ход урока

I. Организационный момент. Рефлексия. (Приложение 1 . Слайд 1. )

Сообщение темы и цели урока. (Слайд 2.)

Вступительное слово учителя:

“Сегодня мы будем не просто учениками 5 класса, а членами открытого акционерного общества. А кто из вас знает, что такое открытое акционерное общество?” Информация об ОАО. (Слайд 3.)

Учитель формулирует свое понимание этого термина вместе с учениками. Открытое акционерное общество (ОАО) – это организация, созданная для получения прибыли. Члены этой организации объединяют свои средства для приобретения некоторого предприятия, а взамен получают акции – ценные бумаги, которые свидетельствуют о том, что их держатели имеют право на часть имущества предприятия. Когда предприятие начинает приносить прибыль, владелец может получить часть этой прибыли (дивиденды). Каждое ОАО имеет свое название. Как будет называться акционерное общество, учащиеся узнают, выполнив следующее задание.

II. Фронтальный устный опрос с использованием интерактивной доски.

Учащиеся устно находят значения выражений и заполняют таблицу ответов. Узнают название ОАО, которое они будут создавать сегодня на уроке. (Слайд 4.)

На следующем этапе урока выясняется, кто может стать акционером. В него может вступить каждый, кто купит акцию нашего предприятия. В качестве платы берутся заполненные кроссворды. Учащимся раздаются кроссворды. (Приложение 3.)

III. Индивидуальная работа. Учащиеся разгадывают кроссворд. Взаимопроверка. (Слайд 5.)

IV. Историческая справка. Учитель делает сообщение о создании первых акционерных обществ. (Слайд 6.)

На следующем этапе урока учащиеся, чтобы открыть акционерное общество, в первую очередь должны приобрести помещение. Перед ними два дома. Один явно занят, а второй под вопросом. Необходимо рассмотреть внимательно первый дом, чтобы разрешить вопрос о приобретении второго дома.

V. Решение примеров. (Слайд 7.)

Второй дом раскрыл тайну своего вопроса, что позволяет начать свое дело в этом доме. Что нужно нам для этого сделать?

Ученики предлагают план действий:

Учащимся предлагаются задачи, с которыми все сталкиваются, кто собирается делать ремонт.

VI. Решение задач у доски . (Слайд 8–9.)

Проблема с ремонтом решена и даже с приобретением мебели. В нашем кафе будет уютно, если в нем будет звучать музыка.

VII. Музыкальная пауза. Учащиеся исполняют частушки. (Слайд 10.)

1. Хочешь здания построить иль машины создавать,
   Постарайся лучше в школе математику познать.
2. Если в школе на уроках ты потратишь время зря,
   То серьезным бизнесменом стать не сможешь никогда.
3. Чтобы стать предпринимателем знай ты обязательно
   На уроках должен быть очень ты старательным.
4. Чтобы прибыль потекла к тебе сплошным потоком
   Нужно быть внимательным в школе на уроках.
5. Мы подружки – хохотушки с вами распрощаемся.
   Приглашаем вас в кафе там и повстречаемся.

С музыкальным оформлением вопрос решен, а теперь следует подумать, что будет в меню. Кафе называется “Сладкоежка”, то в нем должны быть сладкие продукты. Их изготовление требует большой изобретательности. Учащиеся тренируют изобретательность на следующем математическом задании.

VIII. Работа с учебником. (Слайд 11.)

№ 416 (стр. 69): повторение и закрепление свойств умножения.
a ∙ b = b ∙ a
a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c

IX. Физкультминутка. (Слайд 12.)

X. Тест. Работа на компьютерах. (Слайд 13.) Учащиеся выполняют тесты на компьютерах. (Приложение 2.)

Подводятся итоги тестирования и выставляются оценки в дневники.

XI. Дополнительное задание. Найди ошибку и исправьее:

1. 76 + 24 = 90;
2. 190 – 67 = 123;
3. 2005 + 15 = 2020;
4. 1313: 13 = 11;
5. 50 · 6 ·13 = 390;
6. 72 · 11 = 792;
7. 8 · 8 · 125 = 800;
8. (200 + 67) – 100 = 167.

XII. Учащиеся из набора слов составляют рекламу для своего кафе. (Слайд14.)

XIII. Итог урока.

Как называются числа при умножении?
Какие свойства умножения применяются для удобства вычислений?

XIV. Творческое домашнее задание. (Слайд 15.)

Карточки “ Из мира растений”.

XV. Рефлексия. (Слайд 16.)

Сочетательное свойство умножения указывает нам на равенство двух произведений a·(b·c) и (a·b)·c , где a , b и c – какие угодно натуральные числа. Таким образом, результат умножения трех чисел a , b и c не зависит от способа расстановки скобок. Из-за этого в произведениях a·(b·c) и (a·b)·c скобки часто не ставят, а произведения записывают в виде a·b·c . Выражение a·b·c называют произведением трех чисел a , b и c , числа a , b и c все также называют множителями.

Аналогично, сочетательное свойство умножения позволяет утверждать, что произведения (a·b)·(c·d) , (a·(b·c))·d , ((a·b)·c)·d , a·(b·(c·d)) и a·((b·c)·d) равны. То есть, результат умножения четырех чисел тоже не зависит от распределения скобок. Произведение четырех чисел a , b , c и d записывают как a·b·c·d .

Вообще, результат умножения двух, трех, четырех и так далее чисел не зависит от способа расстановки скобок и в записи таких произведений скобки обычно опускаются.

Теперь разберемся, как вычисляется произведение нескольких чисел, в записи которого не расставлены скобки. В этом случае умножение трех и более чисел сводится к последовательной замене двух соседних множителей их произведением , пока не получим требуемый результат. Иными словами, в записи произведения мы расставляем скобки самостоятельно любым допустимым способом, после чего последовательно выполняем умножение двух чисел.

Рассмотрим пример вычисления произведения пяти натуральных чисел 2 , 1 , 3 , 1 и 8 . Запишем произведение: 2·1·3·1·8 . Покажем два способа решения (всего способов решения больше, чем два).

Первый способ. Будем последовательно заменять два множителя слева их произведением. Так как результатом умножения чисел 2 и 1 является число 2 , то 2·1·3·1·8=2·3·1·8 . Так как 2·3=6 , то 2·3·1·8=6·1·8 . Дальше, так как 6·1=6 , то 6·1·8=6·8 . Наконец, 6·8=48 . Итак, произведение пяти чисел 2 , 1 , 3 , 1 и 8 равно 48 . Это решение соответствует следующему способу расстановки скобок: (((2·1)·3)·1)·8 .

Второй способ. Расставим скобки в произведении так: ((2·1)·3)·(1·8) . Так как 2·1=2 и 1·8=8 , то ((2·1)·3)·(1·8)=(2·3)·8 . Дважды три – это шесть, тогда (2·3)·8=6·8 . Наконец, 6·8=48 . Итак, 2·1·3·1·8=48 .

Заметим, что на результат умножения трех и более чисел не влияет также порядок следования множителей. Другими словами, множители в произведении можно записывать в любом порядке, а также менять их местами. Это утверждение следует из свойств умножения натуральных чисел.

Рассмотрим пример.

Умножим четыре числа 3 , 9 , 2 и 1 . Запишем их произведение: 3·9·2·1 . Если мы заменим множители 3 и 9 их произведением или множители 9 и 2 их произведением, то на следующем этапе нам придется проводить умножение на двузначные числа 27 или 18 (чего мы пока делать не умеем). Можно обойтись без этого, поменяв местами слагаемые и определенным образом расставив скобки. Имеем, 3·9·2·1=3·2·9·1=(3·2)·(9·1)=6·9=54 .

Таким образом, меняя местами множители, мы можем вычислять произведения наиболее удобным способом.

Для полноты картины рассмотрим задачу, решение которой сводится к умножению нескольких чисел.

Пример.

В каждой коробке находится 3 предмета. В каждый ящик уложено 2 коробки. Сколько предметов содержится в 4 ящиках?

Решение.

Так как в одном ящике находятся 2 коробки, в каждой из которых 3 предмета, то в одном ящике находится 3·2=6 предметов. Тогда в четырех ящиках находится 6·4=24 предмета.

Можно рассуждать иначе. Так как в одном ящике находятся 2 коробки, тогда в четырех ящиках находятся 2·4=8 коробок. Так как в каждой коробке лежат 3 предмета, то в 8 коробках лежат 3·8=24 предмета.

Озвученные решения кратко можно записать как (3·2)·4=6·4=24 или 3·(2·4)=3·8=24 .

Таким образом, искомое количество предметов равно произведению чисел 3 , 2 и 4 , то есть, 3·2·4=24 .

Ответ:

Подытожим информацию этого пункта.

Умножение трех и более натуральных чисел представляет собой последовательное умножение двух чисел. Кроме того, в силу переместительного и сочетательного свойств умножения, множители можно менять местами и заменять любые два из умножаемых чисел их произведением.

Умножение суммы на натуральное число и натурального числа на сумму.

Сложение и умножение чисел связаны распределительным свойством умножения . Это свойство позволяет изучать сложение и умножение совместно, что открывает гораздо больше возможностей, чем раздельное изучение этих действий.

Распределительное свойство умножения относительно сложения мы сформулировали для двух слагаемых: (a+b)·c=a·c+b·c , a , b , c – произвольные натуральные числа. Отталкиваясь от этого равенства, можно доказать справедливость равенств (a+b+c)·d=a·d+b·d+c·d , (a+b+c+d)·h=a·h+b·h+c·h+d·h и т.д., a , b , c , d , h – некоторые натуральные числа.

Таким образом, произведение суммы нескольких чисел и данного числа равно сумме произведений каждого из слагаемых и данного числа . Этим правилом можно пользоваться при умножении суммы на данное число.

Для примера, умножим сумму пяти чисел 7 , 2 , 3 , 8 , 8 на число 3 . Воспользуемся полученным правилом: (7+2+3+8+8)·3=7·3+2·3+3·3+8·3+8·3 . Так как 7·3=21 , 2·3=6 , 3·3=9 , 8·3=24 , то 7·3+2·3+3·3+8·3+8·3=21+6+9+24+24 . Осталось вычислить сумму пяти чисел 21+6+9+24+24=84 .

Конечно, можно было сначала вычислить сумму пяти данных чисел, после чего провести умножение. Но в этом случае нам бы пришлось умножать двузначное число 7+2+3+8+8=28 на число 3 , чего мы делать пока не умеем (об умножении таких чисел мы поговорим позже в разделе ).

Переместительное свойство умножения позволяет нам переформулировать правило умножения суммы чисел на данное число следующим образом: произведение данного числа и суммы нескольких чисел равно сумме произведений данного числа и каждого из слагаемых . Это есть правило умножения данного числа на сумму.

Приведем пример использования правила умножения числа на сумму: 2·(6+1+3)=2·6+2·1+2·3=12+2+6=20 .

Давайте рассмотрим задачу, решение которой сводится к умножению суммы чисел на данное число.

Пример.

В каждой коробке находятся 3 красных, 7 зеленых и 2 синих предмета. Сколько всего предметов находится в четырех коробках?

Решение.

В одной коробке находятся 3+7+2 предметов. Тогда в четырех коробках находятся (3+7+2)·4 предметов. Вычислим произведение суммы на число, используя полученное правило: (3+7+2)·4=3·4+7·4+2·4=12+28+8=48 .

Ответ:

48 предметов.

Умножение натурального числа на 10 , 100 , 1 000 и так далее.

Для начала получим правило умножения произвольного натурального числа на 10 .

Натуральные числа 20 , 30 , …, 90 по своей сути соответствуют 2 десяткам, 3 десяткам, …, 9 десяткам, то есть, 20=10+10 , 30=10+10+10 , … Так как умножению двух натуральных чисел мы придали смысл суммы одинаковых слагаемых, то имеем
2·10=20 , 3·10=30 , ..., 9·10=90 .

Рассуждая аналогично, приходим к следующим равенствам:
2·100=200 , 3·100=300 , ..., 9·100=900 ;
2·1 000=2 000 , 3·1 000=3 000 , ..., 9·1 000=9 000 ;
2·10 000=20 000 , 3·10 000=30 000 , ..., 9·10 000=90 000 ; ...

Так как десяток десятков есть сотня, то 10·10=100 ;
так как десяток сотен есть тысяча, то 100·10=1 000 ;
так как десяток тысяч есть десять тысяч, то 1 000·10=10 000 .
Продолжая эти рассуждения, имеем 10 000·10=100 000 , 100 000·10=1 000 000 , …

Давайте теперь рассмотрим пример, который позволит нам сформулировать правило умножения произвольного натурального числа на десять.

Пример.

Умножим натуральное число 7 032 на 10 .

Решение.

Для этого число 7 032 представим в виде суммы разрядных слагаемых , после чего воспользуемся правилом умножения суммы на число, которое мы получили в предыдущем пункте этой статьи: 7 032·10=(7 000+30+2)·10= 7 000·10+30·10+2·10 .

Так как 7 000=7·1 000 и 30=3·10 , то полученная сумма 7 000·10+30·10+2·10 равна сумме (7·1 000)·10+(3·10)·10+2·10 , а сочетательное свойство умножения позволяет записать следующее равенство:
(7·1 000)·10+(3·10)·10+2·10= 7·(1 000·10)+3·(10·10)+2·10 .

В силу результатов, записанных перед этим примером, имеем 7·(1 000·10)+3·(10·10)+2·10= 7·10 000+3·100+2·10= 70 000+300+20 .

Полученная сумма 70 000+300+20 представляет собой разложение по разрядам числа 70 320 .

Ответ:

7 032·10=70 320 .

Выполняя аналогичные действия, мы можем умножить любое натуральное число на десять. При этом не сложно заметить, что в результате мы будем получать числа, запись которых будет отличаться от записи умножаемого числа лишь цифрой 0 , находящейся справа.

Все приведенные рассуждения позволяют нам озвучить правило умножения произвольного натурального числа на десять : если в записи данного натурального числа справа дописать цифру 0 , то полученная запись будет соответствовать числу, которое является результатом умножения данного натурального числа на 10 .

Например, 4·10=40 , 43·10=430 , 501·10=5 010 , 79 020·10=790 200 и т.п.

А теперь на основании правила умножения натурального числа на 10 , мы можем получить правила умножения произвольного натурального числа на 100 , на 1 000 и т.д.

Так как 100=10·10 , то умножение любого натурального числа на 100 сводится к умножению этого числа на 10 10 . Например,
17·100=17·10·10=170·10=1 700 ;
504·100=504·10·10=5 040·10=50 400 ;
100 497·100=100 497·10·10= 1 004 970·10=10 049 700 .

То есть, если справа в записи умножаемого числа приписать справа две цифры 0 , то получим результат умножения этого числа на 100 . Это и есть правило умножения натурального числа на 100 .

Так как 1 000=100·10 , то умножение любого натурального числа на тысячу сводится к умножению этого числа на 100 и последующему умножению полученного результата на 10 . Из этих рассуждений следует правило умножения произвольного натурального числа на 1 000 : если в записи числа справа дописать три цифры 0 , то получим результат умножения этого числа на тысячу.

Аналогично, при умножении натурального числа на 10 000 , 100 000 и так далее нужно дописать справа соответственно четыре цифры 0 , пять цифр 0 и так далее.

Например,
58·1 000=58 000 ;
6 032·1 000 000=6 032 000 000 ;
777·10 000=7 770 000 .

Умножение многозначного и однозначного натуральных чисел.

Теперь мы обладаем всеми навыками, достаточными для выполнения умножения многозначного и однозначного натуральных чисел.

Что же для этого нужно делать?

Давайте сразу разбираться на примере.

Пример.

Умножим трехзначное число 763 на однозначное число 5 , то есть, вычислим произведение 763·5 .

Решение.

Сначала нужно представить многозначное число в виде суммы разрядных слагаемых. В нашем примере 763=700+60+3 , тогда имеем 763·5=(700+60+3)·5 .

Теперь применяем : (700+60+3)·5=700·5+60·5+3·5 .

Так как 700=7·100 и 60=6·10 (об этом мы говорили в предыдущем пункте), то сумму 700·5+60·5+3·5 можно записать как (7·100)·5+(6·10)·5+3·5 .

В силу переместительного и сочетательного свойств умножения справедливо следующее равенство: (7·100)·5+(6·10)·5+3·5= (5·7)·100+(5·6)·10+3·5 .

Так как 5·7=35 , 5·6=30 и 3·5=15 , то (5·7)·100+(5·6)·10+3·5= 35·100+30·10+15 .

Осталось выполнить умножение на 100 и на 10 , после чего выполнить сложение трех слагаемых:
35·100+30·10+15= 3 500+300+15=3 815

Ответ:

Произведение 763 и 5 равно 3 815 .

Понятно, что умножение однозначного числа на многозначное число проводится подобным образом.

Для закрепления материала приведем решение еще одного примера, но в этот раз обойдемся без пояснений.

Пример.

3 и 104 558 .

Решение.

3·104 558= 3·(100 000+4 000+500+50+8)=
=3·100 000+3·4 000+ 3·500+3·50+3·8=
=3·100 000+3·(4·1 000)+ 3·(5·100)+3·(5·10)+3·8=
=3·100 000+(3·4)·1 000+ (3·5)·100+(3·5)·10+3·8=
=3·100 000+12·1 000+ 15·100+15·10+3·8=
=300 000+12 000+ 1 500+150+24=313 674

Ответ:

Результатом умножения чисел 3 и 104 558 является число 313 674 .

Умножение двух многозначных натуральных чисел.

Вот мы и подошли к кульминации – к умножению двух многозначных натуральных чисел. Первым делом нужно один из множителей разложить по разрядам (обычно раскладывается то число, запись которого состоит из большего числа знаков), после этого воспользоваться правилом умножения числа на сумму (или суммы на число). Дальнейшие вычисления не вызовут трудностей, если Вы хорошо усвоили информацию предыдущих разделов этой статьи.

Разберем все этапы умножения двух многозначных натуральных чисел на примере.

Пример.

Вычислите произведение чисел 41 и 3 806 .

Решение.

Разложение натурального числа 3 806 по разрядам имеет вид 3 000+800+6 , поэтому, 41·3 806=41·(3 000+800+6) .

Применим правило умножения числа на сумму: 41·(3 000+800+6)= 41·3 000+41·800+41·6 .

Так как 3 000=3·1 000 и 800=8·100 , то справедливо равенство 41·3 000+41·800+41·6= 41·(3·1 000)+41·(8·100)+41·6 .

§ 1 Умножение натуральных чисел

На этом уроке Вы познакомитесь с различными свойствами умножения и такими понятиями как произведение и множители.

Давайте рассмотрим такую задачу: в магазин привезли печенье в трех коробках по 15 пачек в каждой. Сколько всего пачек печенья привезли в магазин?

Решение: для нахождения общего количества пачек печенья в трех коробках надо к 15 прибавить 15 и еще раз прибавить 15, 15 + 15 + 15 = 45. Ответ: 45 пачек печенья всего привезли в магазин.

Сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, можно записать короче: вместо 15 + 15 + 15 пишут 15 умножить на 3, значит 15 * 3 = 45. Число 45 называют произведением чисел 15 и 3, а числа 15 и 3 называют множителями.

Таким образом, получаем: умножить число М на натуральное число N - это значит найти сумму N слагаемых, каждое из которых равно М.

Само выражение М умноженное на N называют произведением, и значение этого выражения также называют произведением чисел М и N.

Числа М и N называют множителями.

Произведения читают, называя каждый множитель в родительном падеже.

Например, произведение 12 и 10 равно 120, 12 - это первый множитель, 10 - это второй множитель, 120 - это произведение.

§ 2 Свойства умножения натуральных чисел

Как и в случае со сложением и вычитанием, умножение натуральных чисел также обладает некоторыми свойствами.

Первое свойство: от перестановки множителей произведение не меняется. Это свойство умножения называют переместительным, и с помощью букв его записывают так:

Например, 7 умножить на 8 будет 56, и 8 умножить на 7 тоже будет 56, значит 7х8 = 8х7.

Второе свойство - сочетательное свойство умножения. Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

С помощью букв это свойство записывают так:

Например, произведение 7 и 5 надо умножить на 2, получаем 7х5=35, далее 35 умножить на 2, будет 70.

Или можно выполнить умножение, используя сочетательное свойство, а именно, сначала перемножить 5 и 2, будет 10, затем 10 умножить на 7, получится 70.

Следующее свойство: если число умножить на 1, то оно не изменится, то есть N умноженное на один, равно N. Так как сумма N слагаемых, каждое из которых единица, равна N.

Кстати, сумма N слагаемых, каждое из которых ноль, равна нулю, поэтому верно равенство: N х 0 = 0. Т.е. еще одно свойство умножения, произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Иногда при записи того или иного произведения, знак умножения - точку принято опускать. Знак умножения обычно не пишут перед буквенными множителями и перед скобками. Например, 10 умноженное на х записывают просто 10х или 5 умноженное на сумму (у + 8), записывают так:

Таким образом, на этом уроке Вы познакомились с различными свойствами умножения,такими как переместительное и сочетательное, а также свойствами нуля и единицы.

Список использованной литературы:

1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. - М: 2013.
2. Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор - Попов М.А. - 2013 год
3. Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор - Минаева С.С. - 2014 год
4. Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 год
5. Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы - Попов М.А. - 2012 год
6. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009