Рассмотрим теперь квадратное уравнение

где - неизвестная величина, - параметры (коэффициенты) уравнения.

К критическим значениям параметра следует отнести, прежде всего, значение При указанном значении параметра уравнение (1) принимает вид

следовательно, порядок уравнения понижается на единицу. Уравнение (2) является линейным уравнением и метод его решения рассматривался ранее.

При другие критические значения параметров определяются дискриминантом уравнения. Известно, что при уравнение (1) корней не имеет; при оно имеет единственный корень при уравнение (1) имеет два различных корня и

1). Найти все значения параметра для которых квадратное уравнение

а) имеет два различных корня;

б) не имеет корней;

в) имеет два равных корня.

Решение. Данное уравнение по условию является квадратным, а поэтому Рассмотрим дискриминант данного уравнения

При уравнение имеет два различных корня, т.к.

При уравнение корней не имеет, т.к. Данное квадратное уравнение не может иметь двух равных корней, т.к. при а это противоречит условию задачи.

Ответ: При уравнение имеет два различных корня.

При уравнение корней не имеет.

2).Решить уравнение. Для каждого допустимого значения параметра решить уравнение

Решение. Рассмотрим сначала случай, когда

(в этом случае исходное уравнение становится линейным уравнением). Таким образом, значение параметра и являются его критическими значениями. Ясно, что при корнем данного уравнения является а при его корнем является

Если т.е. и то данное уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант:

При всех значениях дискриминант принимает неотрицательные значения, причем он обращается в нуль при (эти значения параметра тоже являются его критическими значениями).

Поэтому, если то данное уравнение имеет единственный корень

При этом значению параметра соответствует корень

а значению соответствует корень

Если же то уравнение имеет два различных корня. Найдем эти корни.

Ответ. Если то если то если то

если то , .

3).Решить уравнение. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Решение. Данное уравнение равносильно системе

Наличие квадратного уравнения и условие единственности решения, естественно, приведут к поиску корней дискриминанта. Вместе с тем условие х ≠ -3 должно привлечь внимание. И «тонкий момент» заключается в том, что квадратное уравнение системы может иметь два корня! Но обязательно только один из них должен равняться -3. Имеем

D = а 2 - 4 , отсюда D =0, если а = ±2; х = -3 - корень уравнения х 2 – а х +1 = 0 при

а = -10/3, причем при таком значении а второй корень квадратного уравнения отличен

Ответ. а = ±2 или а = -10/3.

4).Решить уравнение. При каких значениях параметра а уравнение

(а - 2)x 2 + (4 - 2а ) х +3 = 0 имеет единственное решение?

Решение. Понятно, что надо начинать со случая а = 2. Но при а = 2 исходное уравнение вообще не имеет решений. Если а ≠ 2 , то данное уравнение - квадратное, и, казалось бы, искомые значения параметра - это корни дискриминанта. Однако дискриминант обращается в нуль при а = 2 или а = 5 . Поскольку мы установили, что а= 2 не подходит, то

Ответ , а = 5.

9).Решить уравнение. При каких значениях параметра а уравнение ах 2 - 4х + а + 3 = 0 имеет более одного корня?

Решение . При а = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При а ≠ 0 исходное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если его дискриминант 16 – 4а 2 – 12а положительный. Отсюда получаем -4 <а <1.

Однако в полученный промежуток (-4; 1) входит число 0.Ответ. -4<а <0 или 0<а <1.

10). При каких значениях параметра а уравнение а (а +3)х 2 + (2а +6)х – 3а – 9 = 0 имеет более одного корня?

Решение . Стандартный шаг - начать со случаев а = 0 и а = -3. При а = 0 уравнение имеет единственное решение. Любопытно, что при а = -3 решением уравнения служит любое действительное число. При а ≠ -3 и а ≠ 0, разделив обе части данного уравнения на а + 3, получим квадратное уравнение ах 2 + 2х - 3 = 0, дискриминант которого 4 (1 + За ) положителен при а > ⅓. Опыт предыдущих примеров подсказывает, что из промежутка

(-⅓ ;∞) надо исключить точку а = 0, а в ответ не забыть включить а = -3.

Ответ. а = -3, или - ⅓ < а < 0, или а > 0.

11).Решить уравнение :

Решение. Сначала заметим, что при данное уравнение равносильно уравнению которое не имеет решений. Если же

1. Задача.
При каких значениях параметра a уравнение (a - 1)x 2 + 2x + a - 1 = 0 имеет ровно один корень?

1. Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a № 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a 4a 2 - 8a = 0, откуда a = 0 или a = 2.

1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О {0; 1; 2}.

2. Задача.
Найти все значения параметра a , при которых имеет два различных корня уравнение x 2 +4ax +8a +3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x 2 +4ax +8a +3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16a 2 -4(8a +3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4a 2 -8a -3 > 0, откуда

2. Ответ:

a О (-Ґ ; 1 –

Ц 7 2

) И (1 +

Ц 7 2

; Ґ ).

3. Задача.
Известно, что
f 2 (x ) = 6x -x 2 -6.
а) Постройте график функции f 1 (x ) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f 1 (x ) и f 2 (x ) имеют единственную общую точку?

3. Решение.
3.а. Преобразуем f 1 (x ) следующим образом
График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx +b и y = ax 2 +bx +c (a № 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx +b = ax 2 +bx +c имеет единственный корень. Используя представление f 1 из 3.а , приравняем дискриминант уравнения a = 6x -x 2 -6 к нулю. Из уравнения 36-24-4a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2x -a = 6x -x 2 -6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3.

4. Задача.
Найти все значения a , при которых множество решений неравенства x 2 -2ax -3a і 0 содержит отрезок .

4. Решение.
Первая координата вершины параболы f (x ) = x 2 -2ax -3a равна x 0 = a . Из свойств квадратичной функции условие f (x ) і 0 на отрезке равносильно совокупности трех систем
имеет ровно два решения?

5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде x 2 + (2a -2)x - 3a +7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a 2 +a -6 > 0. Решая неравенство, находим a < -3 или a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.

5. Ответ: 3.

6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a , при которых график функции или, после очевидных преобразований, a -2 = | 2-a | . Последнее уравнение равносильно неравенству a і 2.

6. Ответ: a О }