Свойство:

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

б) определение линейных операций

суммой двух неколлинеарных векторов и называется вектор, идущий из общего начала векторов по диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах

Разностью векторов и называется сумма вектора и вектора, противоположного вектору : . Соединим начала векторов и , тогда вектор направлен из конца вектора в конец вектора .

Произведением вектора на число называется вектор с модулем , причем при и при . Геометрически умножение на число означает "растяжение" вектора в раз с сохранением направления при и изменением на противоположное при .

Из приведенных выше правил сложения векторов и умножения их на число следуют очевидные утверждения:

1. (сложение коммутативно);

2. (сложение ассоциативно);

3. (существование нулевого вектора);

4. (существование противоположного вектора);

5. (сложение ассоциативно);

6. (умножение на число дистрибутивно);

7. (сложение векторов дистрибутивно);

в) скалярное произведение и его основные свойства

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если хотя бы один из двух векторов нулевой, то угол между ними не определён, а скалярное произведение считается равным нулю. Скалярное произведение векторов и обозначается

, где и - длины векторов и соответственно, а - угол между векторами и .

Скалярное произведение вектора самого на себя называется скалярным квадратам.

Свойства скалярного произведения.

Для любых векторов и справедливы следующие свойства скалярного произведения :

свойство коммутативности скалярного произведения ;

свойство дистрибутивности или ;

сочетательное свойство или , где - произвольное действительное число;

скалярный квадрат вектора всегда не отрицателен , причем тогда и только тогда, когда вектор нулевой.

Г)векторное произведение и его свойства

векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c

Формулы вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведение двух векторов a = {a x ; a y ; a z } и b = {b x ; b y ; b z } в декартовой системе координат - это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

• Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.
• Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.
• a × b = -b × a
• (k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
• (a + b) × c = a × c + b × c

Уравнение прямой на плоскости

А)уравнение прямой с угловым коэффициентом

Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой.

Угловой коэффициент прямой обычно обозначают буквой k . Тогда по определению .

Если прямая параллельна оси ординат, то угловой коэффициент не существует (в этом случае также говорят, что угловой коэффициент обращается в бесконечность).

Положительный угловой коэффициент прямой указывает на возрастание ее графика функции, отрицательный угловой коэффициент – на убывание. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид формула y=kx+b, где k - угловой коэффициент прямой, b – некоторое действительное число. Уравнением прямой с угловым коэффициентом можно задать любую прямую, не параллельную оси Oy (для прямой параллельно оси ординат угловой коэффициент не определен).

Б)виды уравнений прямой

Уравнение называется общим уравнением прямой на плоскости.

Всякое уравнение первой степени с двумя переменными x и y вида , где А , В и С – некоторые действительные числа, причем А и В одновременно не равны нулю, задает прямую линию в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости, и всякая прямая на плоскости задается уравнением вида .

Уравнение прямой вида , где a и b – некоторые действительные числа отличные от нуля, называется уравнением прямой в отрезках . Это название не случайно, так как абсолютные величины чисел а и b равны длинам отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях Ox и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат).

Уравнение прямой вида , где x и y - переменные, а k и b – некоторые действительные числа, называется уравнением прямой с угловым коэффициентом (k – угловой коэффициент)

Каноническое уравнение прямой на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат Oxy имеет вид , где и – некоторые действительные числа, причем и одновременно не равны нулю.

Очевидно, что прямая линия, определяемая каноническим уравнением прямой, проходит через точку . В свою очередь числа и , стоящие в знаменателях дробей, представляют собой координаты направляющего вектора этой прямой. Таким образом, каноническое уравнение прямой в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости соответствует прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор .

Параметрические уравнения прямой на плоскости имеют вид , где и – некоторые действительные числа, причем и одновременно не равны нулю, а - параметр, принимающий любые действительные значения.

Параметрические уравнения прямой устанавливают неявную зависимость между абсциссами и ординатами точек прямой линии с помощью параметра (отсюда и название этого вида уравнений прямой).

Пара чисел , которые вычисляются по параметрическим уравнениям прямой при некотором действительном значении параметра , представляет собой координаты некоторой точки прямой. К примеру, при имеем , то есть, точка с координатами лежит на прямой.

Следует отметить, что коэффициенты и при параметре в параметрических уравнениях прямой являются координатами направляющего вектора этой прямой

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M 1 (x 1 , y 1 , z 1) и M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х 1 ≠ х 2 и х = х 1 , если х 1 = х 2 .

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

В) вычисление угла между двумя прямыми

если заданы две прямые y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , то острый угол между этими прямыми будет определяться как

.

Две прямые параллельны, если k 1 = k 2 . Две прямые перпендикулярны, если k 1 = -1/ k 2 .

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А 1 = λА, В 1 = λВ. Если еще и С 1 = λС, то прямые совпадают. Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Г)условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k 1 = k 2 .

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

Это условие может быть записано также в виде

k 1 k 2 = -1.

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде (6), то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.

Предел функции

А) предел последовательности

Понятие предела использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся . Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.

Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности .

Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности .

Б) предел функции

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции ) в заданной точке, предельной для области определения функции, - такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Предел фу́нкции - одно из основных понятий математического анализа. Значение называется пределом (предельным значением ) функции в точке , если для любой последовательности точек , сходящейся к , но не содержащей в качестве одного из своих элементов (то есть в проколотой окрестности ), последовательность значений функции сходится к .

Значение называется пределом (предельным значением ) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

В) два замечательных предела

· Первый замечательный предел:

Следствия

·

·

·

· Второй замечательный предел:

Следствия

1.

2.

3.

4.

5. для ,

6.

Г) бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция y=f(x) называется бесконечно малой при x→a или при x →∞, если или , т.е. бесконечно малая функция – это функция, предел которой в данной точке равен нулю.

если функция y=f(x) представима при x→a в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой величины α(x): f (x)=b+ α(x) то .

Обратно, если , то f (x)=b+α(x) , где a(x) – бесконечно малая при x→a.

Следствие 1. Если и , то .

Следствие 2. Если и c= const, то .

Если функция f(x) является бесконечно большой при x→a , то функция 1/f(x) является бесконечно малой при x→a .

Если функция f(x) - бесконечно малая при x→a (или x→∞) и не обращается в нуль, то y= 1/f(x) является бесконечно большой функцией. простейшие свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций можно записать с помощью следующих условных соотношений: A ≠ 0

Д) раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

основные виды неопределенностей : ноль делить на ноль (0 на 0 ), бесконечность делить на бесконечность , ноль умножить на бесконечность , бесконечность минус бесконечность , единица в степени бесконечность , ноль в степени ноль , бесконечность в степени ноль .

Правило Лопиталя очень широко применяется для вычисления пределов , когда имеет место неопределенность вида ноль делить на ноль , бесконечность делить на бесконечность .

К этим видам неопределенностей сводятся неопределенности ноль умножить на бесконечность и бесконечность минус бесконечновть

Если , и если функции f(x) и g(x) – дифференцируемы в окрестности точки , то

В случае, когда неопределенность не исчезает после применения правила Лопиталя, то его можно применять вновь.

Вычисление производных

А)правило дифференцирования сложной функции

Пусть является сложной функцией , где функция – промежуточный аргумент. Покажем, как найти производную сложной функции, зная производную для функции (её будем обозначать через ) и производную для функции .

Теорема 1 . Если функция имеет производную в точке x , а функция имеет производную в точке (), то сложная функция в точке x имеет производную , причем = .

Иначе, производная сложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента.

Б) дифференцирование функции, заданной параметрически

Пусть функция задана в параметрической форме, то есть в виде:

где функции и определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра . Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:

Для нахождения второй производной выполним следующие преобразования:

В) понятие логарифмической производной функции

Логарифмической производной положительной функции называется производная . Так как , то по правилу дифференцирования сложной функции получим следующее соотношение для логарифмической производной:

.

С помощью логарифмической производной удобно вычислять обычную производную в тех случаях, когда логарифмирование упрощает вид функции.

Суть такого дифференцирования заключается в следующем: вначале находится логарифм заданной функции, а уже затем вычисляется от него производная. Пусть задана некоторая функция . Прологарифмируем левую и правую части данного выражения:

А тогда, выражая искомую производную , в результате имеем:

Г) производная обратной функции

Если y=f(x) и x=g(y) - пара взаимно обратных функций, и функция y=f(x) имеет производную f"(x), то производная обратной функции g"(x)=1/f"(x).

Таким образом, производные взаимно обратных функций - обратные величины. Формула для производной обратной функции:

Д) производная неявной функции

Если функция одной переменной описывается уравнением y =f (x ), где переменная y находится в левой части, а правая часть зависит только от аргумента x , то говорят, что функция задана в явном виде . Например, следующие функции заданы явно:

y =sinx ,y =x 2+2x +5,y =lncosx .

Во многих задачах, однако, функция может быть задана неявным образом , т.е. в виде уравнения

F (x ,y )=0.

для нахождения производной y ′(x ) неявно заданной функции нет необходимости преобразовывать ее в явную форму. Для этого, зная уравнение F (x ,y )=0, достаточно выполнить следующие действия:

Сначала необходимо продифференцировать обе части уравнения по переменной x , предполагая, что y − это дифференцируемая функция x и используя правило вычисления производной от сложной функции. При этом производная нуля (в правой части) также будет равна нулю.
Замечание : Если правая часть отлична от нуля, т.е. неявное уравнение имеет вид

f (x ,y )=g (x ,y ),

то дифференцируем левую и правую части уравнения.

Решить полученное уравнение относительно производной y ′(x ).

Понятие производной

А) определение производной

Производная функции дифференцированием интегрированием .

y x x

Определение производной

Рассмотрим функцию f (x x 0. Тогда функция f (x ) является дифференцируемой в точке x 0, и ее производная определяется формулой

f ′(x 0)=limΔx →0Δy Δx =limΔx →0f (x 0+Δx )−f (x 0)Δx .

Производная функции − одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место. Процесс нахождения производной называетсядифференцированием . Обратная операция − восстановление функции по известной производной − называется интегрированием .

Производная функции в некоторой точке характеризует скорость изменения функции в этой точке. Оценку скорости изменения можно получить, вычислив отношение изменения функции Δy к соответствующему изменению аргумента Δx . В определении производной такое отношение рассматривается в пределе при условии Δx →0. Перейдем к более строгой формулировке:

Определение производной

Рассмотрим функцию f (x ), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x 0. Тогда функция f (x ) является дифференцируемой в точке x 0, и ее производная определяется формулой

f ′(x 0)=limΔx →0Δy Δx =limΔx →0f (x 0+Δx )−f (x 0)Δx .

Б) геометрический смысл производной

Производная функции , вычисленная при заданном значении , равна тангенсу угла, образованного положительным направлением оси и положительным направлением касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой :

Если функция имеет конечную производную в точке то в окрестности её можно приблизить линейной функцией

Функция называется касательной к в точке Число.

Г) таблица производных простейших элементарных функций

Пусть дан вектор . Единичный вектор того же направления, что и(орт вектора) находится по формуле:

.

Пусть ось образует с осями координат углы
.Направляющими косинусами оси называются косинусы этих углов:. Если направлениезадано единичным вектором, то направляющие косинусы служат его координатами, т.е.:

.

Направляющие косинусы связаны между собой соотношением:

Если направление задано произвольным вектором, то находят орт этого вектора и, сравнивая его с выражением для единичного вектора, получают:

Скалярное произведение

Скалярными произведением
двух векторовиназывается число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:
.

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

Следовательно,
.

Геометрический смысл скалярного произведения : скалярное произведение вектора на единичный векторравно проекции векторана направление, определяемое, т.е.
.

Из определения скалярного произведения вытекает следующая таблица умножения ортов
:

.

Если векторы заданы своими координатами
и
, т.е.
,
, то, перемножая эти векторы скалярно и используя таблицу умножения ортов, получим выражение скалярного произведения
через координаты векторов:

.

Векторное произведение

Векторным произведением вектора на векторназывается вектор, длина и направление которого определяется условиями:

Векторное произведение обладает следующими свойствами:

Из первых трех свойств следует, что векторное умножение суммы векторов на сумму векторов подчиняется обычным правилам перемножения многочленов. Надо только следить за тем, чтобы порядок следования множителей не менялся.

Основные орты перемножаются следующим образом:

Если
и
, тоcучетом свойств векторного произведения векторов, можно вывести правило вычисления координат векторного произведения по координатам векторов-сомножителей:

Если принять во внимание полученные выше правила перемножения ортов, то:

Более компактную форму записи выражения для вычисления координат векторного произведения двух векторов можно построить, если ввести понятие определителя матрицы.

Рассмотрим частный случай, когда вектора ипринадлежат плоскости
, т.е. их можно представить как
и
.

Если координаты векторов записать в виде таблицы следующим образом:
, то можно сказать, что из них сформирована квадратная матрица второго порядка, т.е. размером
, состоящая из двух строк и двух столбцов. Каждой квадратной матрице ставится в соответствие число, которое вычисляется из элементов матрицы по определенным правилам и называется определителем. Определитель матрицы второго порядка равен разности произведений элементов главной диагонали и побочной диагонали:

.

В таком случае:

Абсолютная величина определителя, таким образом, равна площади параллелограмма, построенного на векторах и, как на сторонах.

Если сравнить это выражение с формулой векторного произведения (4.7), то:

Это выражение представляет собой формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка по первой строке.

Таким образом:

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется следующим образом:

и представляет собой алгебраическую сумму шести слагаемых.

Формулу для вычисления определителя матрицы третьего порядка легко запомнить, если воспользоваться правилом Саррюса , которое формулируется следующим образом:

Каждое слагаемое является произведением трех элементов, расположенных в разных столбцах и разных строках матрицы;

Знак “плюс” имеют произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной главной диагонали;

Знак “минус” имеют произведения элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники со стороной, параллельной побочной диагонали.

это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора. Если вектор имеет длину 1, то его направляющие косинусы равны его координатам. В общем случае для вектора с координатами (a ; b ; c ) направляющие косинусы равны:

где a, b, g – углы, составляемые вектором с осями x , y , z соответственно.

21)Разложение вектора по ортам. Орт координатной оси обозначается через , оси - через , оси - через (рис. 1).

Для любого вектора , который лежит в плоскости , имеет место следующее разложение:

Если вектор расположен в пространстве, то разложение по ортам координатных осей имеет вид:

22)Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

23)Угол между двумя векторами

Если угол между двумя векторами острый, то их скалярное произведение положительно; если угол между векторами тупой, то скалярное произведение этих векторов отрицательно. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны.

24)Условие параллельности и перпендикулярности двух векторов.

Условие перпендикулярности векторов
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.Даны два вектора a(xa;ya) и b(xb;yb). Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение xaxb + yayb = 0.

25)Векторные произведение двух векторов.

Векторным произведением двух неколлинеарных векторов называется такой вектор c=a×b, который удовлетворяет следующим условиям: 1) |c|=|a| |b| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) Векторы a, b, с образуют правую тройку векторов.

26) Коллинеарные и компланарные вектора..

Векторы коллинеарные, если абсцисса первого вектора относится к абсциссе второго так же, как ордината первого - к ординате второго.Даны два вектора a (xa ;ya ) и b (xb ;yb ). Эти векторы коллинеарны, если x a = x b и y a = y b , где R .

Векторы −→a ,−→b и −→c называются компланарными , если существует плоскость, которой они параллельны.

27) Смешанное произведение трех векторов. Смешанное произведение векторов - скалярное произведение вектора a на векторное произведение векторов b и c. Найти смешанное произведение векторов a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.

Решение:

1·1·1 + 1·1·2 + 1·2·3 - 1·1·3 - 1·1·2 - 1·1·2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28)Расстояние между двумя точками на плоскости. Расстояние между двумя данными точками равно корню квадратному из суммы квадратов разностей одноименных координат этих точек.

29)Деление отрезка в данном отношении. Если точка М(x; y) лежит на прямой, проходящей через две данные точки ( , ) и ( , ), и дано отношение , в котором точка М делит отрезок , то координаты точки М определяются по формулам

Если точка М является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам

30-31. Угловым коэффициентом прямой называется тангенс угла наклона этой прямой. Угловой коэффициент прямой обычно обозначают буквой k . Тогда по определению

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид , где k - угловой коэффициент прямой, b – некоторое действительное число. Уравнением прямой с угловым коэффициентом можно задать любую прямую, не параллельную оси Oy (для прямой параллельно оси ординат угловой коэффициент не определен).

33.Общее уравнение прямой на плоскости. Уравнение вида есть общее уравнение прямой Oxy . В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:

C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат

А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох

В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу

В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу

А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох

34.Уравнение прямой в отрезках на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy имеет вид , где a и b - некоторые отличные от нуля действительные числа. Это название не случайно, так как абсолютные величины чисел а и b равны длинам отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях Ox и Oy соответственно (отрезки отсчитываются от начала координат). Таким образом, уравнение прямой в отрезках позволяет легко строить эту прямую на чертеже. Для этого следует отметить в прямоугольной системе координат на плоскости точки с координатами и , и с помощью линейки соединить их прямой линией.

35.Нормальное уравнение прямой имеет вид

где – расстояние от прямой до начала координат;  – угол между нормалью к прямой и осью .

Нормальное уравнение можно получить из общего уравнения (1), умножив его на нормирующий множитель , знак  противоположен знаку , чтобы .

Косинусы углов между прямой и осями координат называют направляющими косинусами,  – угол между прямой и осью ,  – между прямой и осью :

тем самым, нормальное уравнение можно записать в виде

Расстояние от точки до прямой определяется по формуле

36.Расстояние между точкой и прямой вычисляется по следующей формуле:

где x 0 и y 0 координаты точки, а A, B и С коэффициенты из общего уравнения прямой

37. Приведение общего уравнения прямой к нормальному. Уравнение и плоскость в данном контексте не отличаются друг от друга чем-то, кроме количества слагаемых в уравнениях и размерностью пространства. Поэтому сначала скажу все про плоскость, а в конце сделаю оговорку по поводу прямой.
Пусть дано общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0.
;. получаем систему:g;Mc=cosb, MB=cosaПриведем его к нормальному виду. Для этого умножим обе части уравнения на нормирующий множитель М. Получаем: Мах+Мву+МСz+MD=0. При этом МА=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa получаем систему:

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Сложив все уравнения системы, получаем М*(А2 +В2+С2)=1 Теперь остается только выразить отсюда М, чтобы знать, на какой именно нормирующий множитель надо умножить исходное общее уравнение для приведения его к нормальному виду:
M=-+1/КОРЕНЬ КВ А2 +B2 +C2
MD должен быть всегда меньше нуля, следовательно знак числа М берется противоположный знаку числа D.
С уравнением прямой все то же самое, только из формулы для М следует просто убрать слагаемое С2.

Ax + By + Cz + D = 0,

38. Общим уравнением плоскости в пространстве называется уравнение вида

где A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .

В трехмерном пространстве в декартовой системе координат любая плоскость описывается уравнением 1–ой степени (линейным уравнением). И обратно, любое линейное уравнение определяет плоскость.

40.Уравнение плоскости в отрезках. В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве уравнение вида , где a , b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках . Абсолютные величины чисел a , b и c равны длинам отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях Ox , Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a , b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) откладываются отрезки на координатных осях

41) Нормальное уравнение плоскости.

Нормальным уравнением плоскости называется ее уравнение, написанное в виде

где , , - направляющие косинусы нормали плоскоти, э

p - расстояние от начала координат до плоскости. При вычислении направляющих косинусов нормали следует считать, что она направлена от начала координат к плоскости (если же плоскость проходит через начало координат, то выбор положительного направления нормали безразличен).

42)Расстояние от точки до плоскости. Пусть плоскость задана уравнением и дана точка . Тогда расстояние от точки до плоскости определяется по формуле

Доказательство . Расстояние от точки до плоскости -- это, по определению, длина перпендикуляра , опущенного из точки на плоскость

Угол между плоскостями

Пусть плоскости и заданы соответственно уравнениями и . Требуется найти угол между этими плоскостями.

Плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла: два тупых и два острых или четыре прямых, причем оба тупых угла равны между собой, и оба острых тоже равны между собой. Мы всегда будем искать острый угол. Для определения его величины возьмем точку на линии пересечения плоскостей и в этой точке в каждой из

плоскостей проведем перпендикуляры и к линии пересечения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Вектором называется упорядоченная пара точек и (то есть точно известно, какая из точек в этой паре первая).

Первая точка называется началом вектора , а вторая – его концом .

Расстояние между началом и концом вектора называется длиной или модулем вектора .

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается ; его длина считается равной нулю. В противном случае, если длина вектора положительна, то его называют ненулевым .

Замечание . Если длина вектора равна единице, то он называется ортом или единичным вектором и обозначается .

ПРИМЕР

Задание	Проверить, является ли вектор единичным.
Решение	Вычислим длину заданного вектора, она равна корню квадратному из суммы квадратов координат: Поскольку длина вектора равна единице, значит, вектор является ортом.
Ответ	Вектор единичный.

Ненулевой вектор также можно определить как направленный отрезок.

Замечание . Направление нулевого вектора не определено.

Направляющие косинусы вектора

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Направляющими косинусами некоторого вектора называются косинусы углов, которые вектор образует с положительными направлениями координатных осей.

Замечание . Однозначно направление вектора задают его направляющие косинусы.

Чтобы найти направляющие косинусы вектора необходимо вектор нормировать (то есть вектор поделить на его длину):

Замечание . Координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам.

ТЕОРЕМА

(Свойство направляющих косинусов). Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:

Опр. 1.5.6. Направляющими косинусами вектора а назовём косинусы тех углов , которые этот вектор образует с базисными векторами, соответственно, i , j , k .

Направляющие косинусы вектора а = (х , у , z ) находятся по формулам:

Сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:

Направляющие косинусы вектора a являются координатами его орта: .

Пусть базисные орты i , j , k отложены из общей точки О . Будем считать, что орты задают положительные направления осей Ох , Оу , Oz . Совокупность точки О (начала координат ) и ортонормированного базиса i , j , k называется декартовой прямоугольной системой координат в пространстве . Пусть А – произвольная точка пространства. Вектор а = ОА = xi + yj + zk называется радиусом-вектором точки А , координаты этого вектора (x , y , z ) называются также координатами точки А (обозначение: А (x , y , z )). Оси координат Ох , Оу , Oz называют также, соответственно, осью абсцисс , осью ординат , осью аппликат .

Если вектор задан координатами своей начальной точки В 1 (x 1 , y 1 , z 1) и конечной точки В 2 (x 2 , y 2 , z 2), то координаты вектора равны разности координат конца и начала: (так как ).

Декартовы прямоугольные системы координат на плоскости и на прямой определяются совершенно аналогично с соответствующими количественными (в соответствии с размерностью) изменениями.

Решение типовых задач.

Пример 1. Найти длину и направляющие косинусы вектора а = 6i – 2j -3k .

Решение. Длину вектора: . Направляющие косинусы: .

Пример 2. Найти координаты вектора а , образующего с координатными осями равные острые углы, если длина этого вектора равна .

Решение. Так как , то подставляя в формулу (1.6), получим . Вектор а образует с координатными осями острые углы, поэтому орт . Следовательно, находим координаты вектора .

Пример 3. Заданы три некомпланарных вектора e 1 = 2i – k , e 2 = 3i + 3j , e 3 = 2i + 3k . Разложить вектор d = i + 5j - 2k по базису e 1 , e 2 , e 3 .