Nosso conhecimento da matemática começa com a aritmética, a ciência dos números. Um dos primeiros livros didáticos de aritmética russa, escrito por L. F. Magnitsky em 1703, começava com as palavras: “A aritmética, ou o numerador, é uma arte honesta, nada invejável e convenientemente compreensível para todos, muito útil e muito elogiada, desde os mais antigos e os mais novos, que viveram em épocas diferentes dos mais belos aritméticos, inventados e expostos.” Com a aritmética entramos, como disse M.V. Lomonosov, nas “portas da aprendizagem” e iniciamos nosso longo e difícil, mas fascinante caminho de compreensão do mundo.

A palavra “aritmética” vem do grego arithmos, que significa “número”. Esta ciência estuda operações com números, diversas regras para lidar com eles e ensina como resolver problemas que se resumem a adição, subtração, multiplicação e divisão de números. A aritmética é muitas vezes imaginada como uma espécie de primeiro estágio da matemática, com base no qual se pode estudar suas seções mais complexas - álgebra, análise matemática, etc. Mesmo os números inteiros – o principal objeto da aritmética – são referidos, quando suas propriedades e padrões gerais são considerados, à aritmética superior, ou teoria dos números. Esta visão da aritmética, claro, tem fundamentos – continua a ser realmente o “alfabeto da contagem”, mas o alfabeto é “muito útil” e “fácil de entender”.

A aritmética e a geometria são companheiras de longa data do homem. Essas ciências surgiram quando surgiu a necessidade de contar objetos, medir terrenos, dividir despojos e controlar o tempo.

A aritmética originou-se nos países do Antigo Oriente: Babilônia, China, Índia, Egito. Por exemplo, o papiro Rind egípcio (em homenagem ao seu proprietário G. Rind) remonta ao século XX. AC. Entre outras informações, contém decomposições de uma fração em uma soma de frações com numerador igual a um, por exemplo:

Os tesouros do conhecimento matemático acumulados nos países do Antigo Oriente foram desenvolvidos e continuados pelos cientistas da Grécia Antiga. A história preservou muitos nomes de cientistas que lidaram com aritmética no mundo antigo - Anaxágoras e Zenão, Euclides (ver Euclides e seus Elementos), Arquimedes, Eratóstenes e Diofanto. O nome de Pitágoras (século VI aC) brilha aqui como uma estrela brilhante. Os pitagóricos (estudantes e seguidores de Pitágoras) adoravam os números, acreditando que continham toda a harmonia do mundo. Números individuais e pares de números receberam propriedades especiais. Os números 7 e 36 eram tidos em alta estima e, em seguida, foi dada atenção aos chamados números perfeitos, números amigáveis, etc.

Na Idade Média, o desenvolvimento da aritmética também esteve associado ao Oriente: à Índia, aos países do mundo árabe e à Ásia Central. Dos índios chegaram até nós os números que usamos, o zero e o sistema numérico posicional; de al-Kashi (século XV), que trabalhou no Observatório de Samarcanda de Ulugbek, - frações decimais.

Graças ao desenvolvimento do comércio e à influência da cultura oriental desde o século XIII. O interesse pela aritmética também está a aumentar na Europa. Vale lembrar o nome do cientista italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), cuja obra “O Livro do Ábaco” apresentou aos europeus as principais conquistas da matemática oriental e foi o início de muitos estudos em aritmética e álgebra.

Junto com a invenção da impressão (meados do século XV), surgiram os primeiros livros matemáticos impressos. O primeiro livro impresso sobre aritmética foi publicado na Itália em 1478. Na “Aritmética Completa” do matemático alemão M. Stiefel (início do século XVI) já existem números negativos e até a ideia de logaritmização.

Por volta do século XVI. o desenvolvimento de questões puramente aritméticas fluiu para a corrente principal da álgebra - como um marco significativo, pode-se notar o surgimento dos trabalhos do cientista francês F. Vieta, nos quais os números são indicados por letras. A partir de então, as regras aritméticas básicas são finalmente compreendidas do ponto de vista da álgebra.

O principal objeto da aritmética é o número. Números naturais, ou seja, os números 1, 2, 3, 4, ... etc., surgiram da contagem de objetos específicos. Muitos milhares de anos se passaram antes que o homem aprendesse que dois faisões, duas mãos, duas pessoas, etc. pode ser chamado pela mesma palavra “dois”. Uma tarefa importante da aritmética é aprender a superar o significado específico dos nomes dos objetos contados, desviar a atenção de sua forma, tamanho, cor, etc. Fibonacci já tem uma tarefa: “Sete velhas vão para Roma. Cada um tem 7 mulas, cada mula carrega 7 sacos, cada saco contém 7 pães, cada pão contém 7 facas, cada faca tem 7 bainhas. Quantos são?" Para resolver o problema, você terá que juntar velhinhas, mulas, bolsas e pão.

O desenvolvimento do conceito de número - o aparecimento de zero e números negativos, frações ordinárias e decimais, formas de escrever números (dígitos, notações, sistemas numéricos) - tudo isso tem uma história rica e interessante.

“A ciência dos números refere-se a duas ciências: prática e teórica. Estudos práticos de números na medida em que estamos falando de números contáveis. Esta ciência é usada em assuntos civis e de mercado. A ciência teórica dos números estuda os números no sentido absoluto, abstraídos pela mente dos corpos e de tudo o que neles pode ser contado.” al-Farabi

Na aritmética, os números são somados, subtraídos, multiplicados e divididos. A arte de realizar essas operações com rapidez e precisão em qualquer número há muito é considerada a tarefa mais importante da aritmética. Hoje em dia, na nossa cabeça ou num pedaço de papel, fazemos apenas os cálculos mais simples, confiando cada vez mais trabalhos computacionais mais complexos às microcalculadoras, que vão substituindo gradativamente dispositivos como o ábaco, a máquina de somar (ver Informática) e o slide regra. Porém, o funcionamento de todos os computadores - simples e complexos - é baseado na operação mais simples - a adição de números naturais. Acontece que os cálculos mais complexos podem ser reduzidos à adição, mas esta operação deve ser feita muitos milhões de vezes. Mas aqui estamos invadindo outra área da matemática, que tem origem na aritmética - a matemática computacional.

As operações aritméticas com números têm uma variedade de propriedades. Essas propriedades podem ser descritas em palavras, por exemplo: “A soma não muda mudando os lugares dos termos”, podem ser escritas em letras: , podem ser expressas em termos especiais.

Por exemplo, esta propriedade de adição é chamada de lei comutativa ou comutativa. Aplicamos as leis da aritmética muitas vezes por hábito, sem perceber. Muitas vezes os alunos na escola perguntam: “Por que aprender todas essas leis comutativas e combinacionais, se já está claro como somar e multiplicar números?” No século 19 a matemática deu um passo importante - passou a somar e multiplicar sistematicamente não apenas números, mas também vetores, funções, deslocamentos, tabelas de números, matrizes e muito mais, e até apenas letras, símbolos, sem realmente se importar com seu significado específico. E aqui descobriu-se que o mais importante são as leis que essas operações obedecem. O estudo de operações especificadas em objetos arbitrários (não necessariamente em números) já é domínio da álgebra, embora esta tarefa seja baseada na aritmética e em suas leis.

A aritmética contém muitas regras para resolver problemas. Em livros antigos você pode encontrar problemas sobre a “regra tripla”, sobre a “divisão proporcional”, sobre o “método das escalas”, sobre a “regra falsa”, etc. A maior parte destas regras estão agora desatualizadas, embora os problemas que foram resolvidos com a sua ajuda não possam de forma alguma ser considerados desatualizados. O famoso problema de uma piscina cheia de vários canos tem pelo menos dois mil anos e ainda não é fácil para os alunos. Mas se antes para resolver esse problema era necessário conhecer uma regra especial, hoje os alunos mais novos são ensinados a resolver esse problema inserindo a designação da letra da quantidade desejada. Assim, os problemas aritméticos levaram à necessidade de resolver equações, e este é novamente um problema de álgebra.

PITÁGORAS (c. 570-c. 500 AC) Não existem mais documentos escritos sobre Pitágoras de Samos e, a partir de evidências posteriores, é difícil reconstruir a verdadeira imagem de sua vida e realizações. Sabe-se que Pitágoras deixou sua ilha natal de Samos, no Mar Egeu, na costa da Ásia Menor, em sinal de protesto contra a tirania do governante e já na idade adulta (segundo a lenda, aos 40 anos) ele apareceu na cidade grega de Crotone, no sul da Itália. Pitágoras e seus seguidores - os pitagóricos - formaram uma aliança secreta que desempenhou um papel significativo na vida das colônias gregas na Itália. Os pitagóricos se reconheceram por um pentágono em forma de estrela - um pentagrama. Os ensinamentos de Pitágoras foram grandemente influenciados pela filosofia e religião do Oriente. Viajou muito pelos países do Oriente: esteve no Egito e na Babilônia. Lá Pitágoras também conheceu a matemática oriental. A matemática passou a fazer parte de seu ensino, e a parte mais importante. Os pitagóricos acreditavam que o segredo do mundo estava escondido em padrões numéricos. O mundo dos números viveu uma vida especial para o pitagórico; os números tinham seu próprio significado especial de vida. Os números iguais à soma dos seus divisores foram percebidos como perfeitos (6, 28, 496, 8128); Amigáveis ​​​​eram pares de números, cada um deles igual à soma dos divisores do outro (por exemplo, 220 e 284). Pitágoras foi o primeiro a dividir os números em pares e ímpares, simples e compostos, e introduziu o conceito de número figurado. Em sua escola, foram examinados detalhadamente os trigêmeos pitagóricos de números naturais, nos quais o quadrado de um era igual à soma dos quadrados dos outros dois (ver o último teorema de Fermat). Pitágoras é creditado por ter dito: “Tudo é um número”. Ele queria reduzir o mundo inteiro, e a matemática em particular, a números (e ele se referia apenas aos números naturais). Mas na própria escola de Pitágoras foi feita uma descoberta que violou esta harmonia. Está provado que não é um número racional, ou seja, não pode ser expresso em termos de números naturais. Naturalmente, a geometria de Pitágoras estava subordinada à aritmética; isto foi claramente manifestado no teorema que leva o seu nome e que mais tarde se tornou a base para o uso de métodos numéricos em geometria. (Mais tarde, Euclides trouxe novamente a geometria para o primeiro plano, subordinando a álgebra a ela.) Aparentemente, os pitagóricos conheciam os sólidos corretos: tetraedro, cubo e dodecaedro. Pitágoras é creditado pela introdução sistemática de provas na geometria, pela criação da planimetria de figuras retilíneas e pela doutrina da similaridade. O nome de Pitágoras está associado à doutrina das proporções aritméticas, geométricas e harmônicas, médias. Deve-se notar que Pitágoras considerava a Terra uma bola que girava em torno do Sol. Quando no século 16 A igreja começou a perseguir ferozmente os ensinamentos de Copérnico; esse ensino foi teimosamente chamado de pitagórico.

ARQUIMEDES (c. 287-212 AC) Sabe-se mais sobre Arquimedes, o grande matemático e mecânico, do que sobre outros cientistas antigos. Em primeiro lugar, o ano de sua morte é confiável - o ano da queda de Siracusa, quando o cientista morreu nas mãos de um soldado romano. No entanto, os antigos historiadores Políbio, Tito Lívio e Plutarco disseram pouco sobre seus méritos matemáticos; a partir deles, informações sobre as maravilhosas invenções do cientista feitas durante seu serviço ao rei Hieron II chegaram até nossos dias. Há uma história bem conhecida sobre a coroa de ouro do rei. Arquimedes verificou a pureza de sua composição usando a lei da força de empuxo que encontrou e sua exclamação “Eureka!”, ou seja, "Encontrado!". Outra lenda diz que Arquimedes construiu um sistema de blocos com a ajuda do qual um homem conseguiu lançar o enorme navio Syracosia. As palavras proferidas por Arquimedes então tornaram-se aladas: “Dê-me um ponto de apoio e eu girarei a Terra”. O gênio da engenharia de Arquimedes se manifestou com força especial durante o cerco de Siracusa, uma rica cidade comercial na ilha da Sicília. Os soldados do cônsul romano Marcelo foram detidos por muito tempo nas muralhas da cidade por máquinas inéditas: poderosas catapultas miraram blocos de pedra, máquinas de arremesso foram instaladas nas brechas, lançando saraivada de balas de canhão, guindastes costeiros viraram para fora das muralhas e jogaram blocos de pedra e chumbo em navios inimigos, ganchos pegaram navios e os jogaram de uma grande altura, sistemas de espelhos côncavos (em algumas histórias - escudos) incendiaram os navios. Em “A História de Marcelo”, Plutarco descreve o horror que reinava nas fileiras dos soldados romanos: “Assim que perceberam que uma corda ou um tronco aparecia por trás da muralha da fortaleza, fugiram, gritando que Arquimedes havia inventado uma nova máquina para sua destruição.” . A contribuição de Arquimedes para o desenvolvimento da matemática também foi enorme. A espiral de Arquimedes (ver Espirais), descrita por um ponto movendo-se em um círculo giratório, destacou-se entre as muitas curvas conhecidas por seus contemporâneos. A próxima curva definida cinematicamente - a ciclóide - apareceu apenas no século XVII. Arquimedes aprendeu a encontrar uma tangente à sua espiral (e seus antecessores conseguiram traçar tangentes apenas para seções cônicas), encontrou a área de sua volta, bem como a área de uma elipse, a superfície de um cone e uma esfera, os volumes de uma esfera e um segmento esférico. Ele ficou especialmente orgulhoso da relação que descobriu entre o volume de uma esfera e um cilindro circunscrito em torno dela, que é igual a 2:3 (ver Figuras Inscritas e Circunscritas). Arquimedes também trabalhou muito no problema da quadratura do círculo (ver Problemas famosos da antiguidade). O cientista calculou a relação entre a circunferência e o diâmetro (número) e descobriu que estava entre e. O método que ele criou para calcular a circunferência e a área de uma figura foi um passo significativo para a criação do cálculo diferencial e integral, que apareceu apenas 2.000 anos depois. Arquimedes também encontrou a soma de uma progressão geométrica infinita com denominador. Em matemática, este foi o primeiro exemplo de uma série infinita. Um papel importante no desenvolvimento da matemática foi desempenhado por seu ensaio “Psammit” - “Sobre o número de grãos de areia”, no qual ele mostra como, usando o sistema numérico existente, é possível expressar números arbitrariamente grandes. Como base para seu raciocínio, ele usa o problema de contar o número de grãos de areia no Universo visível. Assim, a opinião então existente sobre a presença de misteriosos “maiores números” foi refutada.

Entre os conceitos importantes introduzidos pela aritmética estão proporções e porcentagens. A maioria dos conceitos e métodos de aritmética baseia-se na comparação de várias relações entre números. Na história da matemática, o processo de fusão da aritmética e da geometria ocorreu ao longo de muitos séculos.

Pode-se traçar claramente a “geometriização” da aritmética: regras e padrões complexos expressos por fórmulas tornam-se mais claros se puderem ser representados geometricamente. Um papel importante na própria matemática e em suas aplicações é desempenhado pelo processo inverso - a tradução de informações visuais e geométricas para a linguagem dos números (ver Cálculos gráficos). Esta tradução é baseada na ideia do filósofo e matemático francês R. Descartes sobre a definição de pontos em um plano por coordenadas. Claro que esta ideia já tinha sido utilizada antes dele, por exemplo em assuntos marítimos, quando era necessário determinar a localização de um navio, bem como em astronomia e geodésia. Mas é de Descartes e de seus alunos que vem o uso consistente da linguagem de coordenadas em matemática. E em nossa época, ao controlar processos complexos (por exemplo, o vôo de uma espaçonave), preferem ter todas as informações na forma de números, que são processados ​​​​por um computador. Se necessário, a máquina ajuda a pessoa a traduzir as informações numéricas acumuladas para a linguagem do desenho.

Você vê que, falando em aritmética, sempre vamos além de seus limites - para a álgebra, a geometria e outros ramos da matemática.

Como podemos delinear os limites da própria aritmética?

Em que sentido esta palavra é usada?

A palavra "aritmética" pode ser entendida como:

uma disciplina acadêmica que trata principalmente de números racionais (números inteiros e frações), operações sobre eles e problemas resolvidos com a ajuda dessas operações;

parte da construção histórica da matemática, que acumulou diversas informações sobre cálculos;

“aritmética teórica” é uma parte da matemática moderna que trata da construção de vários sistemas numéricos (números naturais, inteiros, racionais, reais, complexos e suas generalizações);

“aritmética formal” é uma parte da lógica matemática (ver Lógica matemática), que trata da análise da teoria axiomática da aritmética;

“aritmética superior”, ou teoria dos números, uma parte da matemática em desenvolvimento independente.

Por um lado, esta é uma questão muito simples. Por outro lado, as crianças em idade escolar e muitos adultos confundem frequentemente aritmética e matemática e não sabem realmente qual é a diferença entre estas duas disciplinas. A matemática é o conceito mais extenso que inclui quaisquer operações com números. A aritmética é apenas um dos ramos da matemática. A aritmética inclui introdução a números, contagem simples e operações numéricas. Anteriormente, as aulas nas escolas eram chamadas de aritmética, e só com o tempo passaram a levar o nome de matemática, que flui suavemente para a álgebra. Essencialmente, a álgebra começa quando números desconhecidos aparecem nos exemplos e letras são usadas em seu lugar. Ou seja, de forma simples, operações com x E sim.

Prazo "aritmética" vem da palavra grega "aritmos", que significa "número". Nos séculos XIV-XV, este termo foi traduzido na Inglaterra de forma não totalmente correta - “a arte métrica”, que significava essencialmente “arte métrica”, adequada mais para a geometria do que para simples contagens e operações simples com números.

Uma das razões pelas quais o conceito de “aritmética” não é utilizado nas escolas é que mesmo nas aulas do ensino fundamental, além dos números, também se estudam formas geométricas e unidades de medida (centímetro, metro, etc.), e isso vale além da conta normal. No entanto, aprender aritmética mental ocorre, até certo ponto, naturalmente na vida de uma criança, no processo de conhecer o mundo ao seu redor. Prazo "aritmética mental" significa a capacidade de fazer contas mentais. Concordo, cada um de nós aprende isso em algum momento da vida, e não apenas nas aulas escolares.

Hoje existem métodos completos para desenvolver as habilidades aritméticas mentais rápidas das crianças. Por exemplo, especialmente popular é o antigo treinamento do Ábaco, que se baseia na capacidade de contar com ábacos especiais (diferentes dos ábacos comuns com dezenas). Ábaco traduzido do inglês é "ábaco", é por isso que o nome da técnica tem o mesmo som. Os japoneses chamam essa técnica de treinamento Soroban, porque... na língua deles, “ábaco” é chamado de “soroban”.

A aritmética usa quatro operações elementares – adição, subtração, multiplicação e divisão. Não importa se números inteiros são usados ​​no exemplo ou decimais e frações. Você pode apresentar os números ao seu filho desde a infância, e fazê-lo à vontade e por meio de brincadeiras. Os pais serão ajudados não apenas pela imaginação, mas também por uma variedade de materiais educativos especiais que podem ser encontrados em qualquer loja.

De acordo com os requisitos modernos para a primeira série, a criança já deve contar pelo menos até dez (e de preferência até 20), e também realizar operações básicas com números familiares - somando e subtraindo-os. Também é importante que a criança compare quais números são maiores, quais são menores e quais números são iguais. Assim, podemos dizer que é aritmética que uma criança deveria saber antes mesmo de entrar na escola.

Tais requisitos são apresentados não apenas na Rússia, mas em todo o mundo, porque O ritmo de vida acelera e o volume de conhecimento aumenta diariamente. O que era suficiente saber no currículo escolar há 20-30 anos, hoje não ocupa mais do que 50% da informação ensinada pelos professores. Seja como for, a aritmética continuará sempre a ser a base para a aprendizagem dos números e da contagem, bem como do nível inicial da matemática, sem a qual é impossível aprender tarefas e competências mais complexas.

Aritmética

Aritmética e.
1.

Ramo da matemática que estuda as propriedades mais simples dos números, formas de escrevê-los e operações com eles.

2.

Uma disciplina acadêmica que contém os fundamentos desta seção de matemática.

3. decomposição

Um livro didático que expõe o conteúdo de uma determinada disciplina acadêmica.

Dicionário Explicativo de Efremova. T. F. Efremova. 2000.

Sinônimos:

Veja o que é “Aritmética” em outros dicionários:

- (do grego arithmos number e toche art). Uma ciência que lida com números. Dicionário de palavras estrangeiras incluídas na língua russa. Chudinov A.N., 1910. ARITMÉTICA do grego. arithmos, número, e techne, arte. A ciência dos números... ... Dicionário de palavras estrangeiras da língua russa

Feminino, Grego a doutrina da contagem, a ciência da notação; a base de toda a matemática (a ciência das quantidades, do mensurável); velho contagem ou sabedoria numérica; contagem, cálculo, cálculo numérico, cálculo. Aritmética, aritmética, relacionada a ela. Aritmético... ... Dicionário Explicativo de Dahl

Negócios digitais, ciência digital, digital, contagem Dicionário de sinônimos russos. tsifir aritmético (obsoleto) Dicionário de sinônimos da língua russa. Guia prático. M.: Língua russa. Z. E. Alexandrova. 2011… Dicionário de sinônimo

- (das palavras gregas número ariJmoV e arte técnica) parte da matemática que trata do estudo das propriedades de certas quantidades específicas; num sentido mais próximo, a aritmética é a ciência dos números expressos em números e lida com operações sobre números. Posso… … Enciclopédia de Brockhaus e Efron

Enciclopédia moderna

- (do grego arithmos number) parte da matemática; estuda as propriedades mais simples dos números, principalmente naturais (inteiros positivos) e frações, e operações sobre eles. O desenvolvimento da aritmética levou à separação dela da álgebra e da teoria dos números... Grande Dicionário Enciclopédico

ARITMÉTICA, um método de cálculo que utiliza adição, subtração, multiplicação e divisão. A base axiomática formal para estas operações foi fornecida por Giuseppe Peano no final do século XIX. Com base em alguns postulados, por exemplo, de que existe apenas um... ... Dicionário enciclopédico científico e técnico

ARITMÉTICA, aritmética, muitos. não, mulher (aritmetike grega). O estudo dos números expressos por algarismos e operações sobre eles. Dicionário explicativo de Ushakov. D. N. Ushakov. 1935 1940... Dicionário Explicativo de Ushakov

ARITMÉTICA, e, feminino. 1. Um ramo da matemática que estuda as propriedades mais simples dos números expressos por dígitos e operações sobre eles. 2. transferência O mesmo que contar (em 2 dígitos) (coloquial). Verificamos as despesas e foi decepcionante. | adj. aritmética, ah, ... ... Dicionário Explicativo de Ozhegov

aritmética- - [AS Goldberg. Dicionário de energia Inglês-Russo. 2006] Tópicos de energia em geral EN aritmética ... Guia do Tradutor Técnico

Aritmética- (do grego arithmos number), parte da matemática que estuda as propriedades mais simples de números inteiros e frações e operações sobre eles. Surgiu na antiguidade a partir das necessidades práticas de contar, medir distâncias, tempo, etc. Dicionário Enciclopédico Ilustrado

Livros

• Aritmética, Kiselev Andrey Petrovich. 2017 marca o 165º aniversário do nascimento de A.P. Kiselyov. Seu primeiro livro escolar de aritmética foi publicado em 1884. Em 1938, foi aprovado como livro de aritmética para 5-6 anos...

Aritmética é o ramo da matemática cujo objeto de estudo são os números, suas propriedades e relações.

Seu nome é de origem grega: na língua da antiga Hélade a palavra “ arritmia"(também é pronunciado como" aritmos") significa " número».

Aritmética estuda as regras de cálculo e as propriedades mais simples dos números. Naquela seção chamada teoria dos números (ou aritmética superior), as propriedades dos inteiros individuais são estudadas.

Aritmética está mais intimamente relacionado à teoria dos números, álgebra e geometria, e é uma das principais ciências matemáticas, bem como a mais antiga delas.

Os principais assuntos da aritmética são operações com números, suas propriedades, bem como conjuntos numéricos. Além disso, a aritmética estuda questões como a origem e o desenvolvimento do conceito de números, técnicas de medição e contagem.

As operações numéricas objeto da aritmética são adição, subtração, divisão e multiplicação. Isso também inclui operações como extração de raízes, exponenciação e resolução de várias equações numéricas.

Além disso, historicamente desenvolveu-se que as operações aritméticas incluem, além da multiplicação, a duplicação; além da divisão, divisão com resto e por dois; verificar; calcular a soma das progressões geométricas e aritméticas. Além disso, todas as operações aritméticas têm sua própria hierarquia, na qual o nível mais alto é ocupado pela extração de raízes e exponenciação, o nível inferior pela multiplicação e divisão, e depois pela adição e subtração.

Deve-se notar que aquelas medidas e cálculos matemáticos que encontram ampla aplicação prática (por exemplo, porcentagens, proporções, etc.) pertencem à chamada aritmética inferior, e o conceito de número e sua análise lógica pertencem à aritmética teórica.

Aritmética está muito intimamente ligado à álgebra, cujo principal objeto de estudo são as diversas operações com números que não levam em conta suas propriedades e características. Ao mesmo tempo, a extração de raízes e a exponenciação são a parte técnica da álgebra.

Porque na vida cotidiana aritméticaé usado em quase todos os lugares, então absolutamente todo mundo precisa de certo conhecimento nesta ciência. Ao longo da vida, operações como contagem, cálculo de volumes, áreas, velocidades, intervalos de tempo e comprimentos devem ser realizadas com muita frequência.

Para dominar qualquer profissão, é necessário ter conhecimentos básicos de aritmética, e isso é especialmente verdadeiro para as especialidades relacionadas à economia, tecnologia e ciências naturais.

Aritmética (Grego arithmetika, de arithmys - número)

a ciência dos números, principalmente sobre números naturais (inteiros positivos) e frações (racionais), e operações sobre eles.

A posse de um conceito suficientemente desenvolvido de números naturais e a capacidade de realizar operações com números são necessárias para as atividades práticas e culturais de uma pessoa. Portanto, A. é um elemento da educação pré-escolar das crianças e uma disciplina obrigatória do currículo escolar.

Muitos conceitos matemáticos são construídos utilizando números naturais (por exemplo, o conceito básico da análise matemática é um número real). Nesse sentido, a matemática é uma das principais ciências matemáticas. Quando a ênfase é colocada na análise lógica do conceito de número (ver Número), o termo aritmética teórica é algumas vezes usado. A álgebra está intimamente relacionada com a álgebra (ver Álgebra), na qual, em particular, as operações com números são estudadas sem levar em conta suas propriedades individuais. As propriedades individuais dos inteiros constituem o assunto da teoria dos números (ver Teoria dos números).

Referência histórica. Tendo surgido na antiguidade a partir das necessidades práticas de contagem e medições simples, a aritmética desenvolveu-se em conexão com a crescente complexidade da atividade econômica e das relações sociais, dos cálculos monetários, dos problemas de medição de distâncias, do tempo, das áreas e das exigências que outras ciências impunham. isto.

O surgimento da contagem e os estágios iniciais da formação dos conceitos aritméticos são geralmente julgados por observações relativas ao processo de contagem entre os povos primitivos e, indiretamente, pelo estudo de vestígios de estágios semelhantes preservados nas línguas dos povos culturais e observados durante a aquisição desses conceitos pelas crianças. Estes dados indicam que o desenvolvimento dos elementos da atividade mental que fundamentam o processo de contagem passa por uma série de estágios intermediários. Estas incluem: a capacidade de reconhecer o mesmo objeto e distinguir objetos num conjunto de objetos a serem contados; a capacidade de estabelecer uma decomposição exaustiva desta totalidade em elementos distinguíveis entre si e ao mesmo tempo iguais na contagem (utilizando uma “unidade” de contagem nomeada); a capacidade de estabelecer uma correspondência entre os elementos de dois conjuntos, primeiro diretamente, e depois comparando-os com os elementos de uma coleção ordenada de objetos de uma vez por todas, ou seja, uma coleção de objetos localizados em uma determinada sequência. Os elementos desse conjunto ordenado padrão são palavras (numerais) utilizadas na contagem de objetos de qualquer natureza qualitativa e correspondentes à formação do conceito abstrato de número. Sob diversas condições, pode-se observar características semelhantes de surgimento e aprimoramento gradual das habilidades listadas e dos conceitos aritméticos a elas correspondentes.

A princípio, a contagem acaba sendo possível apenas para agregados de um número relativamente pequeno de objetos, além dos quais as diferenças quantitativas são vagamente percebidas e caracterizadas por palavras que são sinônimos da palavra “muitos”; neste caso, as ferramentas de contagem são entalhes na árvore (contagem “tag”), contando pedrinhas, contas de rosário, dedos, etc., bem como conjuntos contendo um número constante de elementos, por exemplo: “olhos” - como um sinônimo do numeral “dois”, mão (“metacarpo”) - como sinônimo e base real do numeral “cinco”, etc.

A contagem ordinal verbal (um, dois, três, etc.), cuja dependência direta da contagem dos dedos (pronúncia sequencial dos nomes dos dedos, partes das mãos) em alguns casos pode ser rastreada diretamente, está ainda associada à contagem de grupos contendo um certo número de objetos. Este número forma a base do sistema numérico correspondente, geralmente como resultado da contagem nos dedos das duas mãos, igual a 10. No entanto, também existem agrupamentos de 5, 20 (francês 80 “quatre-vingt” = 4 × 20 ), 40, 12 (“dúzia”), 60 e até 11 (Nova Zelândia). Na era das relações comerciais desenvolvidas, os métodos de numeração (tanto orais como escritos) mostraram naturalmente uma tendência à uniformidade entre tribos e nacionalidades que se comunicavam entre si; esta circunstância desempenhou um papel decisivo no estabelecimento e divulgação do sistema utilizado nos dias de hoje. tempo do sistema de numeração (notação (ver notação)), o princípio do significado local (bit a bit) dos números e métodos de execução de operações aritméticas. Aparentemente, razões semelhantes explicam a conhecida semelhança de nomes numéricos em diferentes línguas: por exemplo, dois - dva (sânscrito), δυο (grego), duo (latim), dois (inglês).

A fonte das primeiras informações confiáveis ​​sobre o estado do conhecimento aritmético na era das civilizações antigas são os documentos escritos do Dr. Egito (papiri matemático), escrito aproximadamente 2 mil anos aC. e. São coleções de problemas indicando suas soluções, regras de operação com inteiros e frações com tabelas auxiliares, sem quaisquer explicações teóricas. Alguns dos problemas desta coleção são resolvidos essencialmente através da criação e resolução de equações; Progressões aritméticas e geométricas também são encontradas.

Sobre o nível bastante elevado de cultura aritmética dos babilônios durante 2-3 mil anos AC. e. permitem julgar textos matemáticos cuneiformes. A numeração escrita dos babilônios em textos cuneiformes é uma combinação peculiar do sistema decimal (para números menores que 60) com o sistema sexagesimal, com unidades de dígitos 60, 60 2, etc. O indicador mais significativo de um alto nível de aritmética é o uso de frações sexagesimais com o mesmo sistema de numeração aplicado a elas, semelhante às frações decimais modernas. A técnica aritmética dos babilônios, teoricamente semelhante às técnicas convencionais do sistema decimal, foi complicada pela necessidade de recorrer a extensas tabelas de multiplicação (para números de 1 a 59). Nos materiais cuneiformes sobreviventes, que aparentemente eram auxiliares de ensino, também existem tabelas correspondentes de números recíprocos (dois e três dígitos, ou seja, com precisão de 1/60 2 e 1/60 3), que foram usadas em divisão.

Entre os gregos antigos, o lado prático da arquitetura não recebeu maior desenvolvimento; o sistema de numeração escrita que usavam com letras do alfabeto era muito menos adequado para cálculos complexos do que o sistema babilônico (é significativo, em particular, que os antigos astrônomos gregos preferissem usar o sistema sexagesimal). Por outro lado, os antigos matemáticos gregos lançaram as bases para o desenvolvimento teórico da aritmética em termos da doutrina dos números naturais, da teoria das proporções, da medição das quantidades e, de forma implícita, também da teoria dos números irracionais. Nos Elementos de Euclides (século III aC) há provas da infinidade do número de números primos, teoremas básicos sobre divisibilidade e algoritmos para encontrar a medida comum de dois segmentos e o máximo divisor comum de dois números, que mantiveram seu significado e ainda são significativos (ver. Algoritmo de Euclides), uma prova da inexistência de um número racional cujo quadrado é 2 (a irracionalidade do número √2) e uma teoria das proporções expressas em forma geométrica. Os problemas teóricos dos números considerados incluem problemas em números perfeitos (ver números perfeitos) (Euclides), em números pitagóricos (ver números pitagóricos), e também - já em época posterior - um algoritmo para isolar números primos (peneira de Eratóstenes) e resolver uma série de equações indeterminadas de 2º grau e superiores (Diofanto).

Um papel significativo na formação do conceito de série natural infinita de números foi desempenhado pelo “Psammit” de Arquimedes (século III aC), que comprova a possibilidade de nomear e denotar números arbitrariamente grandes. As obras de Arquimedes indicam uma arte bastante elevada na obtenção de valores aproximados das quantidades desejadas: extrair a raiz de números com vários dígitos, encontrar aproximações racionais para números irracionais, por exemplo

Os romanos não avançaram na tecnologia dos cálculos; no entanto, deixaram para trás um sistema de numeração que sobreviveu até hoje (algarismos romanos), que é pouco adequado para operações e agora é usado quase exclusivamente para designar números ordinais.

É difícil traçar continuidade no desenvolvimento da matemática em relação às culturas anteriores e mais antigas; no entanto, etapas extremamente importantes no desenvolvimento da África estão associadas à cultura da Índia, que influenciou tanto os países da Ásia Ocidental e da Europa, como os países do Oriente. Ásia (China, Japão). Além da aplicação da álgebra na resolução de problemas de conteúdo aritmético, a conquista mais significativa dos índios foi a introdução de um sistema numérico posicional (usando dez dígitos, incluindo zero para indicar a ausência de unidades em qualquer um dos dígitos), que tornou possível desenvolver regras relativamente simples para realizar operações aritméticas básicas.

Os cientistas do Oriente medieval não apenas preservaram a herança dos antigos matemáticos gregos nas traduções, mas também contribuíram para a divulgação e desenvolvimento das conquistas dos índios. Métodos de realização de operações aritméticas, em grande parte ainda distantes dos modernos, mas já aproveitando as vantagens do sistema numérico posicional, do século X. n. e. começou a penetrar gradualmente na Europa, principalmente na Itália e na Espanha.

O progresso relativamente lento da arquitetura na Idade Média dá lugar ao início do século XVII. melhoria rápida dos métodos de cálculo em conexão com o aumento das demandas práticas em tecnologia de computação (problemas de astronomia náutica, mecânica, cálculos comerciais cada vez mais complexos, etc.). As frações com denominador 10, que eram usadas pelos índios (na extração de raízes quadradas) e atraíram repetidamente a atenção dos cientistas europeus, foram usadas pela primeira vez de forma implícita em tabelas trigonométricas (na forma de números inteiros que expressam os comprimentos das linhas de seno, tangente, etc. com raio considerado 10 5). Pela primeira vez (1427), al-Kashi descreveu em detalhes o sistema de frações decimais e as regras para operar com elas. A notação das frações decimais, que coincide essencialmente com a moderna, encontra-se nas obras de S. Stevin em 1585 e desde então generalizou-se. A invenção dos logaritmos no início do século XVII remonta à mesma época. J. Napier om. No início do século XVIII. as técnicas de realização e registro de cálculos estão assumindo uma forma moderna.

Na Rússia até o início do século XVII. foi utilizada numeração semelhante à grega; O sistema de numeração oral foi bem desenvolvido e singular, chegando ao 50º dígito. Dos manuais de aritmética russos do início do século XVIII. De maior importância foi a Aritmética de L. F. Magnitsky, muito apreciada por M. V. Lomonosov (ver Magnitsky) (1703). Contém a seguinte definição de A.: “A aritmética, ou numerador, é uma arte honesta, nada invejável e fácil de entender para todos, muito útil e muito louvável, inventada e exposta pelos mais antigos e modernos aritméticos que viveram em diferentes vezes.” Juntamente com questões de numeração, uma apresentação de técnicas de cálculo com inteiros e frações (incluindo decimais) e problemas relacionados, este manual também contém elementos de álgebra, geometria e trigonometria, bem como uma série de informações práticas relacionadas a cálculos comerciais e problemas de navegação. A apresentação de A. assume uma forma mais ou menos moderna de L. Euler e seus alunos.

Questões teóricas de aritmética. O desenvolvimento teórico das questões relativas à doutrina dos números e à doutrina da medição das quantidades não pode ser divorciado do desenvolvimento da matemática como um todo: as suas etapas decisivas estão associadas a momentos que determinaram igualmente o desenvolvimento da álgebra, da geometria e da análise. O mais importante deve ser considerado a criação de uma doutrina geral das Quantidades, uma doutrina abstrata correspondente do número (Ver Número) (inteiro, racional e irracional) e o aparato alfabético da álgebra.

A importância fundamental da aritmética como ciência suficiente para o estudo de quantidades contínuas de vários tipos só foi percebida no final do século XVII. em conexão com a inclusão na aritmética do conceito de número irracional, definido por uma sequência de aproximações racionais. Um papel importante nisso foi desempenhado pelo aparato das frações decimais e pelo uso de logaritmos, que ampliaram o leque de operações realizadas com a precisão necessária em números reais (tanto irracionais quanto racionais).

A construção de Grassmann foi completada pelo trabalho de G. Peano, em que se destaca claramente um sistema de conceitos básicos (não definidos por outros conceitos), a saber: o conceito de número natural, o conceito de um número imediatamente após outro em uma série natural, e o conceito do membro inicial de um número natural série (que pode ser considerada como 0 ou 1). Esses conceitos estão interligados por cinco axiomas, que podem ser considerados como uma definição axiomática desses conceitos básicos.

Axiomas de Peano: 1) 1 é um número natural; 2) o próximo número natural é um número natural; 3) 1 não segue nenhum número natural; 4) se for um número natural A segue um número natural b e além do número natural Com, Que b E Com são idênticos; 5) se alguma proposição foi provada para 1 e se partir da suposição de que é verdadeira para um número natural n, segue-se que é verdade para o seguinte P número natural, então esta sentença é verdadeira para todos os números naturais. Este axioma - o axioma da indução completa - torna possível utilizar ainda mais as definições de ações de Grassmann e provar as propriedades gerais dos números naturais.

Estas construções, que fornecem uma solução para o problema de fundamentar declarações formais da aritmética, deixam de lado a questão da estrutura lógica da aritmética dos números naturais no sentido mais amplo da palavra, incluindo aquelas operações que definem as aplicações da aritmética tanto dentro da matemática em si e em aplicações práticas. A análise deste lado da questão, tendo esclarecido o conteúdo do conceito de número cardinal, mostrou ao mesmo tempo que a questão da justificação da aritmética está intimamente relacionada com problemas fundamentais mais gerais de análise metodológica das disciplinas matemáticas. Se as proposições mais simples da matemática, relativas à contagem elementar de objetos e sendo uma generalização da experiência secular da humanidade, se enquadram naturalmente no esquema lógico mais simples, então a matemática, como disciplina matemática que estuda a coleção infinita de números naturais , requer um estudo da consistência do sistema de axiomas correspondente e uma análise mais detalhada do significado resultante de suas propostas gerais.

Aceso.: Klein F., Matemática elementar de um ponto de vista superior, trad. com ele. volume 3 ed., volume 1, M.-L., 1935; Arnold I.V., Aritmética teórica, 2ª ed., M., 1939; Bellustin V.K., Como as pessoas gradualmente alcançaram a aritmética real, M., 1940; Grebencha M.K., Aritmética, 2ª ed., M., 1952; Berman GN, Número e sua ciência, 3ª ed., M., 1960; Deptyaan I. Ya., História da aritmética, 2ª ed., M., 1965; Vygodsky M. Ya., Aritmética e álgebra no Mundo Antigo, 2ª ed., M., 1967.

IV Arnold.

Grande Enciclopédia Soviética. - M.: Enciclopédia Soviética. 1969-1978 .

Sinônimos:

Veja o que é “Aritmética” em outros dicionários:

- (do grego arithmos number e toche art). Uma ciência que lida com números. Dicionário de palavras estrangeiras incluídas na língua russa. Chudinov A.N., 1910. ARITMÉTICA do grego. arithmos, número, e techne, arte. A ciência dos números... ... Dicionário de palavras estrangeiras da língua russa