Por definição, o diferencial (primeiro diferencial) de uma função é calculado pela fórmula
E se é uma variável independente.

EXEMPLO.

Vamos mostrar que a forma da primeira diferencial permanece inalterada (é invariante) mesmo no caso em que o argumento da função é em si uma função, isto é, para uma função complexa
.

Deixar
são diferenciáveis, então por definição

Além disso, conforme necessário para provar.

EXEMPLOS.

A invariância comprovada da forma do primeiro diferencial nos permite supor que
isso é a derivada é igual à razão entre a diferencial da função e o diferencial de seu argumento, independentemente de o argumento ser uma variável independente ou uma função.

Diferenciação de uma função definida parametricamente

Let If função
tem no set reverso, então
Então as igualdades
definido no set uma função definida parametricamente, – parâmetro (variável intermediária).

EXEMPLO. Plotar uma função
.

y Cerca de 1 x

A curva construída é chamada ciclóide(Fig. 25) e é a trajetória de um ponto em um círculo de raio 1 que rola sem escorregar ao longo do eixo OX.

COMENTE. Às vezes, mas nem sempre, um parâmetro pode ser eliminado das equações da curva paramétrica.

EXEMPLOS.
são as equações paramétricas do círculo, uma vez que, obviamente,

são as equações paramétricas da elipse, pois

são as equações paramétricas da parábola

Encontre a derivada de uma função dada parametricamente:

A derivada de uma função definida parametricamente também é uma função definida parametricamente: .

DEFINIÇÃO. A segunda derivada de uma função é chamada de derivada de sua primeira derivada.

derivado -th ordem é a derivada de sua derivada de ordem
.

denotar as derivadas da segunda e ª ordem assim:

Segue da definição da segunda derivada e da regra de diferenciação de uma função parametricamente dada que
Para calcular a terceira derivada, é necessário representar a segunda derivada na forma
e use a regra resultante novamente. As derivadas de ordem superior são calculadas de maneira semelhante.

EXEMPLO. Encontrar derivadas de primeira e segunda ordem de uma função

.

Teoremas básicos do cálculo diferencial

TEOREMA(Fazenda). Deixe a função
tem no ponto
extremo. Se existir
, então

PROVA. Deixar
, por exemplo, é o ponto mínimo. Por definição de um ponto mínimo, existe uma vizinhança deste ponto
, dentro do qual
, isso é
- incrementar
no ponto
. Por definição
Calcular derivadas unilaterais em um ponto
:

pela passagem para o teorema do limite na desigualdade,

Porque

, Porque
Mas por condição
existe, então a derivada da esquerda é igual à da direita, e isso só é possível se

A suposição de que
- o ponto máximo, leva ao mesmo.

O significado geométrico do teorema:

TEOREMA(Lista). Deixe a função
contínuo
, diferenciável
e
então há
de tal modo que

PROVA. Porque
contínuo
, então pelo segundo teorema de Weierstrass chega-se a
seu maior
e menos
valores nos pontos extremos ou nas extremidades do segmento.

1. Deixe
, então

2. Deixe
Porque
qualquer
, ou
atingido no ponto extremo
, mas pelo teorema de Fermat
Q.E.D.

TEOREMA(Lagrange). Deixe a função
contínuo
e diferenciável
, então existe
de tal modo que
.

O significado geométrico do teorema:

Porque
, então a secante é paralela à tangente. Assim, o teorema afirma que existe uma tangente paralela a uma secante que passa pelos pontos A e B.

PROVA. Através dos pontos A
e B
desenhe uma secante AB. Sua equação
Considere a função

- a distância entre os pontos correspondentes no gráfico e na secante AB.

1.
contínuo
como a diferença de funções contínuas.

2.
diferenciável
como a diferença de funções diferenciáveis.

3.

Significa,
satisfaz as condições do teorema de Rolle, então existe
de tal modo que

O teorema foi provado.

COMENTE. A fórmula chama-se Fórmula de Lagrange.

TEOREMA(Koshi). Deixe as funções
contínuo
, diferenciável
e
, então há um ponto
de tal modo que
.

PROVA. Vamos mostrar que
. Se
, então a função
satisfaria a condição do teorema de Rolle, então haveria um ponto
de tal modo que
é uma contradição com a condição. Significa,
, e ambas as partes da fórmula são definidas. Vamos considerar uma função auxiliar.

contínuo
, diferenciável
e
, isso é
satisfaz as condições do teorema de Rolle. Então há um ponto
, em que
, mas

Q.E.D.

A fórmula comprovada é chamada Fórmula de Cauchy.

REGRA DE L'Hopital(Teorema L'Hopital-Bernoulli). Deixe as funções
contínuo
, diferenciável
,
e
. Além disso, existe um número finito ou infinito
.

Então há

PROVA. Uma vez que de acordo com a condição
, então definimos
no ponto
, assumindo
Então
tornar-se contínuo
. Vamos mostrar que

Vamos fingir que
então há
de tal modo que
, pois a função
no
satisfaz as condições do teorema de Rolle. Mas por condição
- uma contradição. É por isso

. Funções
satisfazem as condições do teorema de Cauchy em qualquer intervalo
, que consta
. Vamos escrever a fórmula de Cauchy:

,
.

Daí temos:
, pois se
, então
.

Renomeando a variável no último limite, obtemos o necessário:

NOTA 1. A regra de L'Hopital permanece válida mesmo quando
e
. Ele permite que você revele não apenas a incerteza da forma , mas também da forma :

.

NOTA 2. Se, após a aplicação da regra de L'Hopital, a incerteza não for revelada, ela deverá ser aplicada novamente.

EXEMPLO.

COMENTE 3 . A regra de L'Hopital é uma forma universal de revelar incertezas, mas há limites que podem ser revelados aplicando-se apenas uma das técnicas particulares estudadas anteriormente.

Mas obviamente
, uma vez que o grau do numerador é igual ao grau do denominador, e o limite é igual à razão dos coeficientes em potências mais altas

A expressão para o diferencial total de uma função de várias variáveis ​​é a mesma se u e v são variáveis ​​independentes ou funções de outras variáveis ​​independentes.

A prova é baseada na fórmula diferencial total

Q.E.D.

5. Derivada total de uma funçãoé a derivada temporal da função ao longo da trajetória. Deixe que a função tenha a forma e seus argumentos dependam do tempo: . Então , onde estão os parâmetros que definem a trajetória. A derivada total da função (no ponto ) neste caso é igual à derivada parcial do tempo (no ponto correspondente) e pode ser calculada pela fórmula:

Onde - derivadas parciais. Note-se que a designação é condicional e nada tem a ver com a divisão de diferenciais. Além disso, a derivada total de uma função depende não apenas da função em si, mas também da trajetória.

Por exemplo, a derivada total de uma função:

Não há aqui, pois em si (“explicitamente”) não depende de .

Diferencial completo

Diferencial completo

funções f (x, y, z, ...) de várias variáveis ​​independentes - expressão

no caso em que difere do incremento completo

Δf = f(x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) - f(x, y, z, …)

para um valor infinitesimal em comparação com

Plano tangente à superfície

(X, Y, Z - coordenadas atuais do ponto no plano tangente; - vetor raio deste ponto; x, y, z - coordenadas do ponto tangente (respectivamente para a normal); - vetores tangentes às linhas de coordenadas, respectivamente v = const;u = const; )

1.

2.

3.

Superfície normal

3.

4.

O conceito de um diferencial. O significado geométrico do diferencial. Invariância da forma do primeiro diferencial.

Considere uma função y = f(x) diferenciável em um dado ponto x. Seu incremento Dy pode ser representado como

D y \u003d f "(x) D x + a (D x) D x,

onde o primeiro termo é linear em relação a Dx, e o segundo termo no ponto Dx = 0 é uma função infinitesimal de ordem superior a Dx. Se f "(x) No. 0, então o primeiro termo é a parte principal do incremento Dy. Essa parte principal do incremento é uma função linear do argumento Dx e é chamada de diferencial da função y \u003d f ( x). Se f "(x) \u003d 0, então a função diferencial por definição é considerada zero.

Definição 5 (diferencial). A diferencial da função y = f(x) é a parte principal do incremento Dy, linear em relação a Dx, igual ao produto da derivada e o incremento da variável independente

Observe que o diferencial de uma variável independente é igual ao incremento dessa variável dx = Dx. Portanto, a fórmula para o diferencial geralmente é escrita da seguinte forma: dy \u003d f "(x) dx. (4)

Vamos descobrir qual é o significado geométrico do diferencial. Tome um ponto arbitrário M(x, y) no gráfico da função y = f(x) (Fig. 21.). Desenhe uma tangente à curva y = f(x) no ponto M, que forma um ângulo f com a direção positiva do eixo OX, ou seja, f "(x) = tgf. Do triângulo retângulo MKN

KN \u003d MNtgf \u003d D xtg f \u003d f "(x) D x,

ou seja, dy = KN.

Assim, a diferencial de uma função é o incremento na ordenada da tangente traçada ao gráfico da função y = f(x) em um dado ponto quando x é incrementado por Dx.

Observamos as principais propriedades da diferencial, que são semelhantes às propriedades da derivada.

2. d(c u(x)) = c d u(x);

3. d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x);

4. d(u(x) v(x)) = v(x)d u(x) + u(x)d v(x);

5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).

Vamos apontar mais uma propriedade que a diferencial tem, mas a derivada não. Considere a função y = f(u), onde u = f (x), ou seja, considere a função complexa y = f(f(x)). Se cada uma das funções f e f são diferenciáveis, então a derivada da função composta, de acordo com o Teorema (3), é igual a y" = f"(u) u". Então a diferencial da função

dy \u003d f "(x) dx \u003d f "(u) u" dx \u003d f "(u) du,

uma vez que u "dx = du. Ou seja, dy = f" (u) du. (5)

A última igualdade significa que a fórmula diferencial não muda se, em vez de uma função de x, considerarmos uma função da variável u. Essa propriedade da diferencial é chamada de invariância da forma da primeira diferencial.

Comente. Observe que na fórmula (4) dx = Dx, enquanto na fórmula (5) du é apenas a parte linear do incremento da função u.

O cálculo integral é um ramo da matemática que estuda as propriedades e métodos de cálculo de integrais e suas aplicações. Eu e. está intimamente relacionado com o cálculo diferencial e junto com ele constitui uma das partes principais

Diferencial de função

A função é chamada diferenciável em um ponto, limitando para o conjunto E, se seu incremento Δ f(x 0) correspondente ao incremento do argumento x, pode ser representado como

Δ f(x 0) = UMA(x 0)(x - x 0) + ω (x - x 0), (1)

Onde ω (x - x 0) = cerca de(x - x 0) em x → x 0 .

Mostrador, chamado diferencial funções f no ponto x 0 e o valor UMA(x 0)h - valor diferencial neste ponto.

Para o valor da função diferencial f designação aceita df ou df(x 0) se você quiser saber em que ponto foi calculado. Nesse caminho,

df(x 0) = UMA(x 0)h.

Dividindo em (1) por x - x 0 e mirando x para x 0, obtemos UMA(x 0) = f"(x 0). Portanto temos

df(x 0) = f"(x 0)h. (2)

Comparando (1) e (2), vemos que o valor do diferencial df(x 0) (quando f"(x 0) ≠ 0) é a parte principal do incremento da função f no ponto x 0 , linear e homogêneo ao mesmo tempo em relação ao incremento h = x - x 0 .

Critério de diferenciabilidade de função

Para a função f era diferenciável em um determinado ponto x 0 , é necessário e suficiente que tenha uma derivada finita neste ponto.

Invariância da forma do primeiro diferencial

Se um xé uma variável independente, então dx = x - x 0 (incremento fixo). Neste caso temos

df(x 0) = f"(x 0)dx. (3)

Se um x = φ (t) é uma função diferenciável, então dx = φ" (t 0)dt. Consequentemente,