A divisão aparece. Neste artigo falaremos sobre divisão de frações ordinárias. Primeiro, daremos uma regra para dividir frações ordinárias e veremos exemplos de divisão de frações. A seguir, focaremos na divisão de uma fração ordinária por um número natural e de números por uma fração. Finalmente, vamos ver como dividir uma fração comum por um número misto.

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Dividindo uma fração comum por uma fração comum

Sabe-se que a divisão é a ação inversa da multiplicação (veja a ligação entre divisão e multiplicação). Ou seja, a divisão envolve encontrar um fator desconhecido quando o produto e outro fator são conhecidos. O mesmo significado de divisão é preservado ao dividir frações ordinárias.

Vejamos exemplos de divisão de frações ordinárias.

Observe que não devemos esquecer de reduzir frações e separar a parte inteira de uma fração imprópria.

Dividindo uma fração por um número natural

Nós daremos imediatamente regra para dividir uma fração por um número natural: para dividir a fração a/b por um número natural n, é preciso deixar o numerador igual e multiplicar o denominador por n, ou seja, .

Esta regra de divisão decorre diretamente da regra de divisão de frações ordinárias. Na verdade, representar um número natural como uma fração leva às seguintes igualdades .

Vejamos o exemplo da divisão de uma fração por um número.

Exemplo.

Divida a fração 16/45 pelo número natural 12.

Solução.

De acordo com a regra de divisão de uma fração por um número, temos . Vamos fazer a abreviatura: . Esta divisão está completa.

Responder:

.

Dividindo um número natural por uma fração

A regra para dividir frações é semelhante regra para dividir um número natural por uma fração: para dividir um número natural n por uma fração comum a/b, é necessário multiplicar o número n pelo inverso da fração a/b.

De acordo com a regra declarada, e a regra para multiplicar um número natural por uma fração ordinária permite que ele seja reescrito na forma.

Vejamos um exemplo.

Exemplo.

Divida o número natural 25 pela fração 15/28.

Solução.

Vamos passar da divisão para a multiplicação, temos . Depois de reduzir e selecionar toda a parte, obtemos.

Responder:

.

Dividindo uma fração por um número misto

Dividindo uma fração por um número misto reduz-se facilmente à divisão de frações ordinárias. Para isso, basta realizar

Uma fração é uma ou mais partes de um todo, geralmente considerada um (1). Assim como acontece com os números naturais, você pode realizar todas as operações aritméticas básicas (adição, subtração, divisão, multiplicação) com frações, para isso é necessário conhecer as características de trabalhar com frações e distinguir seus tipos. Existem vários tipos de frações: decimais e ordinárias ou simples. Cada tipo de fração tem suas especificidades, mas depois de entender bem como lidar com elas, você será capaz de resolver qualquer exemplo com frações, pois conhecerá os princípios básicos para realizar cálculos aritméticos com frações. Vejamos exemplos de como dividir uma fração por um número inteiro usando diferentes tipos de frações.

Como dividir uma fração simples por um número natural?
Frações ordinárias ou simples são frações escritas na forma de uma proporção de números em que o dividendo (numerador) é indicado na parte superior da fração e o divisor (denominador) da fração é indicado na parte inferior. Como dividir tal fração por um número inteiro? Vejamos um exemplo! Digamos que precisamos dividir 8/12 por 2.

Para fazer isso, devemos realizar uma série de ações:
Assim, se nos depararmos com a tarefa de dividir uma fração por um número inteiro, o diagrama de solução será mais ou menos assim:

De maneira semelhante, você pode dividir qualquer fração ordinária (simples) por um número inteiro.

Como dividir um número decimal por um número inteiro?
Um decimal é uma fração obtida dividindo uma unidade em dez, mil e assim por diante. As operações aritméticas com decimais são bastante simples.

Vejamos um exemplo de como dividir uma fração por um número inteiro. Digamos que precisamos dividir a fração decimal 0,925 pelo número natural 5.

Para resumir, detenhamo-nos em dois pontos principais que são importantes ao realizar a operação de divisão de frações decimais por um número inteiro:

• para dividir uma fração decimal por um número natural, utiliza-se a divisão longa;
  
• Uma vírgula é colocada no quociente quando a divisão da parte inteira do dividendo é concluída.
  

Ao aplicar essas regras simples, você sempre pode dividir facilmente qualquer fração decimal ou simples em um número inteiro.

) e denominador por denominador (obtemos o denominador do produto).

Fórmula para multiplicar frações:

Por exemplo:

Antes de começar a multiplicar numeradores e denominadores, você precisa verificar se a fração pode ser reduzida. Se você puder reduzir a fração, será mais fácil fazer cálculos adicionais.

Dividindo uma fração comum por uma fração.

Divisão de frações envolvendo números naturais.

Não é tão assustador quanto parece. Como no caso da adição, convertemos o número inteiro em uma fração com um no denominador. Por exemplo:

Multiplicação de frações mistas.

Regras para multiplicar frações (mistas):

• converter frações mistas em frações impróprias;
• multiplicar os numeradores e denominadores das frações;
• reduzir a fração;
• Se obtivermos uma fração imprópria, convertemos a fração imprópria em uma fração mista.

Observação! Para multiplicar uma fração mista por outra fração mista, primeiro você precisa convertê-las na forma de frações impróprias e depois multiplicar de acordo com a regra de multiplicação de frações ordinárias.

A segunda maneira de multiplicar uma fração por um número natural.

Pode ser mais conveniente usar o segundo método de multiplicação de uma fração comum por um número.

Observação! Para multiplicar uma fração por um número natural, você deve dividir o denominador da fração por esse número e deixar o numerador inalterado.

A partir do exemplo dado acima, fica claro que esta opção é mais conveniente de usar quando o denominador de uma fração é dividido sem resto por um número natural.

Frações de vários andares.

No ensino médio, são frequentemente encontradas frações de três andares (ou mais). Exemplo:

Para trazer essa fração à sua forma usual, use a divisão por 2 pontos:

Observação! Ao dividir frações, a ordem da divisão é muito importante. Tenha cuidado, é fácil ficar confuso aqui.

Observação, Por exemplo:

Ao dividir um por qualquer fração, o resultado será a mesma fração, só que invertida:

Dicas práticas para multiplicar e dividir frações:

1. O mais importante ao trabalhar com expressões fracionárias é a precisão e a atenção. Faça todos os cálculos com cuidado e precisão, de forma concentrada e clara. É melhor escrever algumas linhas extras em seu rascunho do que se perder em cálculos mentais.

2. Em tarefas com diferentes tipos de frações, passamos para o tipo de frações ordinárias.

3. Reduzimos todas as frações até que não seja mais possível reduzir.

4. Transformamos expressões fracionárias de vários níveis em comuns usando divisão por 2 pontos.

5. Divida mentalmente uma unidade por uma fração, simplesmente virando a fração.

Multiplicação e divisão de frações.

Atenção!
Existem adicionais
materiais na Seção Especial 555.
Para quem é muito "não muito..."
E para quem “muito…”)

Esta operação é muito melhor do que adição-subtração! Porque é mais fácil. Lembrando que para multiplicar uma fração por uma fração, você precisa multiplicar os numeradores (este será o numerador do resultado) e os denominadores (este será o denominador). Aquilo é:

Por exemplo:

Tudo é extremamente simples. E por favor, não procure um denominador comum! Não há necessidade dele aqui...

Para dividir uma fração por outra, você precisa inverter segundo(isso é importante!) fracione e multiplique-os, ou seja:

Por exemplo:

Se você encontrar multiplicação ou divisão com números inteiros e frações, tudo bem. Tal como acontece com a adição, fazemos uma fração de um número inteiro com um no denominador – e vá em frente! Por exemplo:

No ensino médio, muitas vezes você tem que lidar com frações de três andares (ou mesmo de quatro andares!). Por exemplo:

Como posso fazer essa fração parecer decente? Sim, muito simples! Use divisão de dois pontos:

Mas não se esqueça da ordem de divisão! Ao contrário da multiplicação, isto é muito importante aqui! É claro que não confundiremos 4:2 ou 2:4. Mas é fácil errar numa fração de três andares. Observe, por exemplo:

No primeiro caso (expressão à esquerda):

Na segunda (expressão à direita):

Você sente a diferença? 4 e 1/9!

O que determina a ordem da divisão? Seja com colchetes ou (como aqui) com o comprimento das linhas horizontais. Desenvolva seu olho. E se não houver colchetes ou travessões, como:

então divida e multiplique em ordem, da esquerda para a direita!

E outra técnica muito simples e importante. Em ações com graus, será muito útil para você! Vamos dividir um por qualquer fração, por exemplo, por 13/15:

O tiro virou! E isso sempre acontece. Ao dividir 1 por qualquer fração, o resultado é a mesma fração, só que de cabeça para baixo.

É isso para operações com frações. A coisa é bem simples, mas dá erros mais que suficientes. Leve em consideração os conselhos práticos e haverá menos erros (erros)!

Dicas práticas:

1. O mais importante ao trabalhar com expressões fracionárias é a precisão e a atenção! Estas não são palavras genéricas, nem votos de boa sorte! Esta é uma necessidade extrema! Faça todos os cálculos do Exame Estadual Unificado como uma tarefa completa, focada e clara. É melhor escrever duas linhas extras em seu rascunho do que errar ao fazer cálculos mentais.

2. Nos exemplos com diferentes tipos de frações, passamos para as frações ordinárias.

3. Reduzimos todas as frações até que parem.

4. Reduzimos expressões fracionárias de vários níveis a expressões comuns usando divisão por dois pontos (seguimos a ordem de divisão!).

5. Divida mentalmente uma unidade por uma fração, simplesmente virando a fração.

Aqui estão as tarefas que você definitivamente deve concluir. As respostas são dadas após todas as tarefas. Utilize os materiais sobre este tema e dicas práticas. Estime quantos exemplos você conseguiu resolver corretamente. A primeira vez! Sem calculadora! E tire as conclusões certas...

Lembre-se: a resposta correta é recebido pela segunda (especialmente pela terceira) vez não conta! Essa é a vida dura.

Então, resolver no modo de exame ! A propósito, isso já é uma preparação para o Exame Estadual Unificado. Resolvemos o exemplo, verificamos, resolvemos o próximo. Decidimos tudo - verificamos novamente do início ao fim. Se apenas Então veja as respostas.

Calcular:

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0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Agora tiramos conclusões. Se tudo deu certo, fico feliz por você! Cálculos básicos com frações não são problema seu! Você pode fazer coisas mais sérias. Se não...

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1. Para dividir a primeira fração pela segunda, é necessário multiplicar o dividendo pelo número que é o inverso do divisor.

Para frações próprias e impróprias, a regra de divisão é a seguinte:

Para dividir uma fração comum, você deve multiplicar o numerador do dividendo pelo denominador do divisor e multiplicar o denominador do dividendo pelo numerador do divisor. Tomamos o primeiro produto como numerador e o segundo como denominador.

Dividindo uma fração por uma fração.

Para dividir a 1ª fração ordinária pela segunda, que não é igual a zero, é necessário:

• multiplique o numerador da 1ª fração pelo denominador da 2ª fração e escreva o produto no numerador da fração resultante;
• multiplique o denominador da 1ª fração pelo numerador da 2ª fração e escreva o produto no denominador da fração resultante.

Em outras palavras, dividir frações leva à multiplicação.

Para dividir a 1ª fração pela segunda, é necessário multiplicar o dividendo (1ª fração) pela fração recíproca do divisor.

Dividindo uma fração por um número.

Esquematicamente, a divisão de uma fração por um número natural é assim:

Para dividir uma fração por um número natural, use o seguinte método:

Expressamos um número natural como uma fração imprópria com um numerador igual ao próprio número e um denominador igual a 1.