Neste artigo, você aprenderá como encontrar a área de uma figura delimitada por linhas usando cálculos integrais. Pela primeira vez, encontramos a formulação de tal problema no ensino médio, quando o estudo de certas integrais acaba de ser concluído e é hora de iniciar a interpretação geométrica do conhecimento adquirido na prática.
Então, o que é necessário para resolver com sucesso o problema de encontrar a área de uma figura usando integrais:
- Capacidade de desenhar desenhos corretamente;
- Capacidade de resolver uma integral definida usando a conhecida fórmula de Newton-Leibniz;
- A capacidade de "ver" uma solução mais lucrativa - ou seja, entender como neste ou naquele caso será mais conveniente realizar a integração? Ao longo do eixo x (OX) ou eixo y (OY)?
- Bem, onde sem cálculos corretos?) Isso inclui entender como resolver esse outro tipo de integrais e cálculos numéricos corretos.
Algoritmo para resolver o problema de calcular a área de uma figura delimitada por linhas:
1. Construímos um desenho. É aconselhável fazer isso em um pedaço de papel em uma gaiola, em grande escala. Assinamos com um lápis acima de cada gráfico o nome dessa função. A assinatura dos gráficos é feita apenas para conveniência de cálculos posteriores. Tendo recebido o gráfico da figura desejada, na maioria dos casos ficará imediatamente claro quais limites de integração serão usados. Assim, resolvemos o problema graficamente. No entanto, acontece que os valores dos limites são fracionários ou irracionais. Portanto, você pode fazer cálculos adicionais, vá para a etapa dois.
2. Se os limites de integração não forem definidos explicitamente, encontraremos os pontos de interseção dos gráficos entre si e veremos se nossa solução gráfica coincide com a analítica.
3. Em seguida, você precisa analisar o desenho. Dependendo de como os gráficos das funções estão localizados, existem diferentes abordagens para encontrar a área da figura. Considere vários exemplos de encontrar a área de uma figura usando integrais.
3.1. A versão mais clássica e simples do problema é quando você precisa encontrar a área de um trapézio curvilíneo. O que é um trapézio curvilíneo? Esta é uma figura plana limitada pelo eixo x (y=0), direto x = a, x = b e qualquer curva contínua no intervalo de uma antes da b. Ao mesmo tempo, esse valor não é negativo e está localizado não abaixo do eixo x. Nesse caso, a área do trapézio curvilíneo é numericamente igual à integral definida calculada usando a fórmula de Newton-Leibniz:
Exemplo 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Que linhas definem a figura? Temos uma parábola y = x2 - 3x + 3, que está localizado acima do eixo OH, é não negativo, pois todos os pontos desta parábola são positivos. Em seguida, dadas as linhas retas x = 1 e x = 3 que correm paralelamente ao eixo UO, são as linhas delimitadoras da figura à esquerda e à direita. Nós iremos y = 0, ela é o eixo x, que limita a figura a partir de baixo. A figura resultante é sombreada, como visto na figura à esquerda. Nesse caso, você pode começar imediatamente a resolver o problema. Diante de nós está um exemplo simples de um trapézio curvilíneo, que resolvemos usando a fórmula de Newton-Leibniz.
3.2. No parágrafo 3.1 anterior, foi analisado o caso em que o trapézio curvilíneo está localizado acima do eixo x. Agora considere o caso em que as condições do problema são as mesmas, exceto que a função está sob o eixo x. Um menos é adicionado à fórmula padrão de Newton-Leibniz. Como resolver esse problema, consideraremos mais adiante.
Exemplo 2 . Calcular a área de uma figura delimitada por linhas y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
Neste exemplo, temos uma parábola y=x2+6x+2, que se origina sob o eixo OH, direto x=-4, x=-1, y=0. Aqui y = 0 limita a figura desejada de cima. Direto x = -4 e x = -1 estes são os limites dentro dos quais a integral definida será calculada. O princípio de resolver o problema de encontrar a área de uma figura coincide quase completamente com o exemplo número 1. A única diferença é que a função dada não é positiva e tudo também é contínuo no intervalo [-4; -1] . O que não significa positivo? Como pode ser visto na figura, a figura que está dentro do x dado possui coordenadas exclusivamente "negativas", que é o que precisamos ver e lembrar ao resolver o problema. Estamos procurando a área da figura usando a fórmula de Newton-Leibniz, apenas com um sinal de menos no início.
O artigo não está concluído.
Neste artigo, você aprenderá como encontrar a área de uma figura delimitada por linhas usando cálculos integrais. Pela primeira vez, encontramos a formulação de tal problema no ensino médio, quando o estudo de certas integrais acaba de ser concluído e é hora de iniciar a interpretação geométrica do conhecimento adquirido na prática.
Então, o que é necessário para resolver com sucesso o problema de encontrar a área de uma figura usando integrais:
- Capacidade de desenhar desenhos corretamente;
- Capacidade de resolver uma integral definida usando a conhecida fórmula de Newton-Leibniz;
- A capacidade de "ver" uma solução mais lucrativa - ou seja, entender como neste ou naquele caso será mais conveniente realizar a integração? Ao longo do eixo x (OX) ou eixo y (OY)?
- Bem, onde sem cálculos corretos?) Isso inclui entender como resolver esse outro tipo de integrais e cálculos numéricos corretos.
Algoritmo para resolver o problema de calcular a área de uma figura delimitada por linhas:
1. Construímos um desenho. É aconselhável fazer isso em um pedaço de papel em uma gaiola, em grande escala. Assinamos com um lápis acima de cada gráfico o nome dessa função. A assinatura dos gráficos é feita apenas para conveniência de cálculos posteriores. Tendo recebido o gráfico da figura desejada, na maioria dos casos ficará imediatamente claro quais limites de integração serão usados. Assim, resolvemos o problema graficamente. No entanto, acontece que os valores dos limites são fracionários ou irracionais. Portanto, você pode fazer cálculos adicionais, vá para a etapa dois.
2. Se os limites de integração não forem definidos explicitamente, encontraremos os pontos de interseção dos gráficos entre si e veremos se nossa solução gráfica coincide com a analítica.
3. Em seguida, você precisa analisar o desenho. Dependendo de como os gráficos das funções estão localizados, existem diferentes abordagens para encontrar a área da figura. Considere vários exemplos de encontrar a área de uma figura usando integrais.
3.1. A versão mais clássica e simples do problema é quando você precisa encontrar a área de um trapézio curvilíneo. O que é um trapézio curvilíneo? Esta é uma figura plana limitada pelo eixo x (y=0), direto x = a, x = b e qualquer curva contínua no intervalo de uma antes da b. Ao mesmo tempo, esse valor não é negativo e está localizado não abaixo do eixo x. Nesse caso, a área do trapézio curvilíneo é numericamente igual à integral definida calculada usando a fórmula de Newton-Leibniz:
Exemplo 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Que linhas definem a figura? Temos uma parábola y = x2 - 3x + 3, que está localizado acima do eixo OH, é não negativo, pois todos os pontos desta parábola são positivos. Em seguida, dadas as linhas retas x = 1 e x = 3 que correm paralelamente ao eixo UO, são as linhas delimitadoras da figura à esquerda e à direita. Nós iremos y = 0, ela é o eixo x, que limita a figura a partir de baixo. A figura resultante é sombreada, como visto na figura à esquerda. Nesse caso, você pode começar imediatamente a resolver o problema. Diante de nós está um exemplo simples de um trapézio curvilíneo, que resolvemos usando a fórmula de Newton-Leibniz.
3.2. No parágrafo 3.1 anterior, foi analisado o caso em que o trapézio curvilíneo está localizado acima do eixo x. Agora considere o caso em que as condições do problema são as mesmas, exceto que a função está sob o eixo x. Um menos é adicionado à fórmula padrão de Newton-Leibniz. Como resolver esse problema, consideraremos mais adiante.
Exemplo 2 . Calcular a área de uma figura delimitada por linhas y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
Neste exemplo, temos uma parábola y=x2+6x+2, que se origina sob o eixo OH, direto x=-4, x=-1, y=0. Aqui y = 0 limita a figura desejada de cima. Direto x = -4 e x = -1 estes são os limites dentro dos quais a integral definida será calculada. O princípio de resolver o problema de encontrar a área de uma figura coincide quase completamente com o exemplo número 1. A única diferença é que a função dada não é positiva e tudo também é contínuo no intervalo [-4; -1] . O que não significa positivo? Como pode ser visto na figura, a figura que está dentro do x dado possui coordenadas exclusivamente "negativas", que é o que precisamos ver e lembrar ao resolver o problema. Estamos procurando a área da figura usando a fórmula de Newton-Leibniz, apenas com um sinal de menos no início.
O artigo não está concluído.
Tarefa número 3. Faça um desenho e calcule a área da figura delimitada por linhas
Aplicação da integral para resolver problemas aplicados
Cálculo de área
A integral definida de uma função contínua não negativa f(x) é numericamente igual a a área de um trapézio curvilíneo limitado pela curva y \u003d f (x), o eixo O x e as linhas retas x \u003d a e x \u003d b. Assim, a fórmula da área é escrita da seguinte forma:
Considere alguns exemplos de cálculo das áreas de figuras planas.
Tarefa número 1. Calcule a área delimitada pelas linhas y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2.
Solução. Vamos construir uma figura, a área da qual teremos que calcular.
y \u003d x 2 + 1 é uma parábola cujos ramos são direcionados para cima e a parábola é deslocada para cima em uma unidade em relação ao eixo O y (Figura 1).
Figura 1. Gráfico da função y = x 2 + 1
Tarefa número 2. Calcule a área delimitada pelas linhas y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 no intervalo de 0 a 1.
 |
Solução. O gráfico desta função é a parábola do ramo, que é direcionada para cima, e a parábola é deslocada para baixo em uma unidade em relação ao eixo O y (Figura 2).
Figura 2. Gráfico da função y \u003d x 2 - 1
Tarefa número 3. Faça um desenho e calcule a área da figura delimitada por linhas
y = 8 + 2x - x 2 e y = 2x - 4.
Solução. A primeira dessas duas linhas é uma parábola com ramos apontando para baixo, pois o coeficiente em x 2 é negativo, e a segunda linha é uma linha reta que cruza os dois eixos coordenados.
Para construir uma parábola, vamos encontrar as coordenadas de seu vértice: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – abcissa do vértice; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 é sua ordenada, N(1;9) é seu vértice.
Agora encontramos os pontos de interseção da parábola e da linha resolvendo o sistema de equações:
Equacionar os lados direitos de uma equação cujos lados esquerdos são iguais.
Obtemos 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 ou x 2 - 12 \u003d 0, de onde 
.
Assim, os pontos são os pontos de intersecção da parábola e da reta (Figura 1).
Figura 3 Gráficos de funções y = 8 + 2x – x 2 e y = 2x – 4
Vamos construir uma reta y = 2x - 4. Ela passa pelos pontos (0;-4), (2; 0) nos eixos coordenados.
Para construir uma parábola, você também pode ter seus pontos de interseção com o eixo 0x, ou seja, as raízes da equação 8 + 2x - x 2 = 0 ou x 2 - 2x - 8 = 0. Pelo teorema de Vieta, é fácil encontrar suas raízes: x 1 = 2, x 2 = quatro.
A Figura 3 mostra uma figura (segmento parabólico M 1 N M 2) delimitada por essas linhas.
A segunda parte do problema é encontrar a área dessa figura. Sua área pode ser encontrada usando uma integral definida usando a fórmula 
.
Com relação a essa condição, obtemos a integral: 
2 Cálculo do volume de um corpo de revolução
O volume do corpo obtido a partir da rotação da curva y \u003d f (x) em torno do eixo O x é calculado pela fórmula:
Ao girar em torno do eixo O y, a fórmula se parece com:
Tarefa número 4. Determine o volume do corpo obtido a partir da rotação de um trapézio curvilíneo delimitado por linhas retas x \u003d 0 x \u003d 3 e uma curva y \u003d em torno do eixo O x.
Solução. Vamos construir um desenho (Figura 4).
Figura 4. Gráfico da função y =
O volume desejado é igual a 
Tarefa número 5. Calcule o volume do corpo obtido a partir da rotação de um trapézio curvilíneo limitado por uma curva y = x 2 e linhas retas y = 0 e y = 4 em torno do eixo O y .
Solução. Nós temos:
Perguntas de revisão
a)
Solução.
O primeiro e mais importante momento da decisão é a construção de um desenho.
Vamos fazer um desenho:
A equação y=0 define o eixo x;
- x=-2 e x=1 - reta, paralela ao eixo UO;
- y \u003d x 2 +2 - uma parábola cujos ramos são direcionados para cima, com um vértice no ponto (0;2).
Comente. Para construir uma parábola, basta encontrar os pontos de sua interseção com os eixos coordenados, ou seja, colocando x=0 encontre a interseção com o eixo UO e resolvendo a equação quadrática correspondente, encontre a interseção com o eixo Oh .
O vértice de uma parábola pode ser encontrado usando as fórmulas: 
Você pode desenhar linhas e ponto a ponto.
No intervalo [-2;1] o gráfico da função y = x 2 +2 localizado sobre o eixo Boi , é por isso:
Responda: S \u003d 9 unidades quadradas
Depois que a tarefa estiver concluída, é sempre útil olhar o desenho e descobrir se a resposta é real. Neste caso, “a olho” contamos o número de células no desenho - bem, cerca de 9 serão digitados, parece ser verdade. É bastante claro que se tivéssemos, digamos, a resposta: 20 unidades quadradas, então, obviamente, um erro foi cometido em algum lugar - 20 células claramente não se encaixam na figura em questão, no máximo uma dúzia. Se a resposta for negativa, a tarefa também foi resolvida incorretamente.
O que fazer se o trapézio curvilíneo estiver localizado sob o eixo Oh?
b) Calcular a área de uma figura delimitada por linhas y=-e x , x=1 e eixos coordenados.
Solução.
Vamos fazer um desenho.
Se um trapézio curvilíneo completamente sob o eixo Oh , então sua área pode ser encontrada pela fórmula:
Responda: S=(e-1) unidade quadrada" 1,72 unidade quadrada
Atenção! Não confunda os dois tipos de tarefas:
1) Se você for solicitado a resolver apenas uma integral definida sem qualquer significado geométrico, então ela pode ser negativa.
2) Se você for solicitado a encontrar a área de uma figura usando uma integral definida, então a área é sempre positiva! É por isso que o menos aparece na fórmula que acabamos de considerar.
Na prática, na maioria das vezes a figura está localizada nos semiplanos superior e inferior.
Com) Encontre a área de uma figura plana delimitada por linhas y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.
Solução.
Primeiro você precisa fazer um desenho. De um modo geral, ao construir um desenho em problemas de área, estamos mais interessados nos pontos de interseção das linhas. Encontre os pontos de interseção da parábola 
e direto 
Isso pode ser feito de duas maneiras. A primeira forma é analítica.
Resolvemos a equação:
Portanto, o limite inferior de integração a=0 , o limite superior de integração b=3 .
|
Construímos as linhas dadas: 1. Parábola - vértice no ponto (1;1); interseção do eixo Oh - pontos(0;0) e (0;2). 2. Reta - a bissetriz dos ângulos coordenados 2º e 4º. E agora Atenção! Se no intervalo [ a; b] alguma função contínua f(x) maior ou igual a alguma função contínua g(x), então a área da figura correspondente pode ser encontrada pela fórmula: E não importa onde a figura está localizada - acima do eixo ou abaixo do eixo, mas é importante qual gráfico está MAIS ALTO (em relação a outro gráfico) e qual está ABAIXO. No exemplo em consideração, é óbvio que no segmento a parábola está localizada acima da linha reta e, portanto, é necessário subtrair de |
.É possível construir linhas ponto a ponto, enquanto os limites de integração são descobertos como se fossem "por si mesmos". No entanto, o método analítico de encontrar os limites às vezes ainda precisa ser usado se, por exemplo, o gráfico for grande o suficiente ou a construção encadeada não revelar os limites de integração (eles podem ser fracionários ou irracionais).
A figura desejada é limitada por uma parábola de cima e uma linha reta de baixo.
No segmento 
, de acordo com a fórmula correspondente:
Responda: S \u003d unidades de 4,5 m²
Tarefa 1(no cálculo da área de um trapézio curvilíneo).
No sistema de coordenadas retangulares cartesianas xOy, uma figura é fornecida (veja a figura), limitada pelo eixo x, linhas retas x \u003d a, x \u003d b (um trapézio curvilíneo. É necessário calcular a área de \ u200b\u200bo trapézio curvilíneo.
Solução. A geometria nos dá receitas para calcular as áreas de polígonos e algumas partes de um círculo (setor, segmento). Usando considerações geométricas, poderemos encontrar apenas um valor aproximado da área necessária, argumentando da seguinte forma.
Vamos dividir o segmento [a; b] (base de um trapézio curvilíneo) em n partes iguais; esta partição é viável com a ajuda dos pontos x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Vamos desenhar linhas através desses pontos paralelas ao eixo y. Então o trapézio curvilíneo dado será dividido em n partes, em n colunas estreitas. A área de todo o trapézio é igual à soma das áreas das colunas.
Considere separadamente a k-ésima coluna, ou seja. trapézio curvilíneo, cuja base é um segmento. Vamos substituí-lo por um retângulo com a mesma base e altura igual a f(x k) (veja a figura). A área do retângulo é \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), onde \(\Delta x_k \) é o comprimento do segmento; é natural considerar o produto compilado como um valor aproximado da área da kth coluna. 
Se agora fizermos o mesmo com todas as outras colunas, chegaremos ao seguinte resultado: a área S de um determinado trapézio curvilíneo é aproximadamente igual à área S n de uma figura escalonada composta de n retângulos (veja a figura):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Aqui, por uma questão de uniformidade de notação, consideramos que a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - comprimento do segmento , \(\Delta x_1 \) - comprimento do segmento , etc; enquanto, como concordamos acima, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Então, \(S \approx S_n \), e essa igualdade aproximada é mais precisa, quanto maior n.
Por definição, assume-se que a área desejada do trapézio curvilíneo é igual ao limite da sequência (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Tarefa 2(sobre mover um ponto)
Um ponto material se move em linha reta. A dependência da velocidade em relação ao tempo é expressa pela fórmula v = v(t). Encontre o deslocamento de um ponto no intervalo de tempo [a; b].
Solução. Se o movimento fosse uniforme, então o problema seria resolvido de forma muito simples: s = vt, ou seja. s = v(b-a). Para o movimento irregular, deve-se usar as mesmas idéias nas quais a solução do problema anterior foi baseada.
1) Divida o intervalo de tempo [a; b] em n partes iguais.
2) Considere um intervalo de tempo e assuma que durante este intervalo de tempo a velocidade foi constante, tal como no instante t k . Assim, assumimos que v = v(t k).
3) Encontre o valor aproximado do deslocamento do ponto ao longo do intervalo de tempo, este valor aproximado será denotado por s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Encontre o valor aproximado do deslocamento s:
\(s \approx S_n \) onde
\(S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) O deslocamento necessário é igual ao limite da sequência (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Vamos resumir. As soluções de vários problemas foram reduzidas ao mesmo modelo matemático. Muitos problemas de vários campos da ciência e tecnologia levam ao mesmo modelo no processo de solução. Assim, este modelo matemático deve ser especialmente estudado.
O conceito de integral definida
Vamos dar uma descrição matemática do modelo que foi construído nos três problemas considerados para a função y = f(x), que é contínua (mas não necessariamente não negativa, como foi assumido nos problemas considerados) no segmento [ uma; b]:
1) dividir o segmento [a; b] em n partes iguais;
2) soma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calcule $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
No curso da análise matemática, provou-se que esse limite existe no caso de uma função contínua (ou contínua por partes). Ele é chamado uma integral definida da função y = f(x) sobre o segmento [a; b] e são indicados assim:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Os números aeb são chamados de limites de integração (inferior e superior, respectivamente).
Vamos voltar às tarefas discutidas acima. A definição de área dada no problema 1 pode agora ser reescrita da seguinte forma:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
aqui S é a área do trapézio curvilíneo mostrado na figura acima. Isso é o que significado geométrico da integral definida.
A definição do deslocamento s de um ponto que se move em linha reta com velocidade v = v(t) no intervalo de tempo de t = a a t = b, dado no Problema 2, pode ser reescrita da seguinte forma:
Fórmula de Newton-Leibniz
Para começar, vamos responder à pergunta: qual é a relação entre uma integral definida e uma antiderivada?
A resposta pode ser encontrada no problema 2. Por um lado, o deslocamento s de um ponto que se move ao longo de uma linha reta com velocidade v = v(t) em um intervalo de tempo de t = a a t = b e é calculado por a fórmula
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Por outro lado, a coordenada do ponto móvel é a antiderivada da velocidade - vamos denotar s(t); portanto, o deslocamento s é expresso pela fórmula s = s(b) - s(a). Como resultado, obtemos:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
onde s(t) é a primitiva para v(t).
O seguinte teorema foi provado no curso da análise matemática.
Teorema. Se a função y = f(x) é contínua no segmento [a; b], então a fórmula
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
onde F(x) é a primitiva de f(x).
Esta fórmula é geralmente chamada Fórmula de Newton-Leibniz em homenagem ao físico inglês Isaac Newton (1643-1727) e ao filósofo alemão Gottfried Leibniz (1646-1716), que o receberam independentemente um do outro e quase simultaneamente.
Na prática, em vez de escrever F(b) - F(a), eles usam a notação \(\left. F(x)\right|_a^b \) (às vezes é chamado dupla substituição) e, consequentemente, reescrever a fórmula de Newton-Leibniz desta forma:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \esquerda. F(x)\right|_a^b \)
Calculando uma integral definida, primeiro encontre a primitiva e depois faça uma dupla substituição.
Com base na fórmula de Newton-Leibniz, pode-se obter duas propriedades de uma integral definida.
Propriedade 1. A integral da soma das funções é igual à soma das integrais:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Propriedade 2. O fator constante pode ser retirado do sinal integral:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Calculando as áreas de figuras planas usando uma integral definida
Usando a integral, você pode calcular a área não apenas de trapézios curvilíneos, mas também de figuras planas de um tipo mais complexo, como a mostrada na figura. A figura P é limitada por linhas retas x = a, x = b e gráficos de funções contínuas y = f(x), y = g(x), e no segmento [a; b] vale a desigualdade \(g(x) \leq f(x) \). Para calcular a área S de tal figura, procederemos da seguinte forma:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Então, a área S da figura limitada pelas linhas retas x = a, x = b e os gráficos das funções y = f(x), y = g(x), contínua no segmento e tal que para qualquer x de o segmento [a; b] a desigualdade \(g(x) \leq f(x) \) é satisfeita, é calculada pela fórmula
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
