E a relação dual é preservada em transformações projetivas mais gerais. A noção de paralelismo, que é preservada na geometria afim, não tem sentido na geometria projetiva. Assim, separando os grupos de simetria das geometrias, as relações entre simetrias podem ser estabelecidas no nível do grupo. Como o grupo da geometria afim é um subgrupo da geometria projetiva, qualquer noção de invariante na geometria projetiva a priori faz sentido na geometria afim, o que não é verdade na direção oposta. Se você adicionar as simetrias necessárias, obterá uma teoria mais forte, mas menos conceitos e teoremas (que serão mais profundos e gerais).

O ponto de vista de Thurston

Funções ímpares

ƒ (x) = x 3 é um exemplo de função ímpar.

Novamente deixe f(x) é uma função de uma variável real com valores reais. fé um ímpar, se no domínio da definição f

− f (x) = f (− x) , (\displaystyle -f(x)=f(-x)\,) f(x) + f(−x) = 0 . (\displaystyle f(x)+f(-x)=0\,.)

Geometricamente, o gráfico de uma função ímpar tem simetria rotacional em torno da origem, no sentido de que o gráfico da função não muda se for girado 180 graus em torno da origem.

As funções ímpares são x, x 3, pecado ( x), sinh ( x) e erf ( x).

Integrais

teoria de Galois

Dado um polinômio, é possível que algumas raízes estejam relacionadas por diferentes equações algébricas. Por exemplo, pode acontecer que para duas raízes, digamos, UMA e B, A 2 + 5 B 3 = 7 (\displaystyle A^(2)+5B^(3)=7). A ideia central da teoria de Galois é o fato de que quando as raízes são rearranjadas, elas continuam a satisfazer todas essas equações. É importante que, ao fazê-lo, nos restrinjamos a equações algébricas cujos coeficientes sejam números racionais. Assim, a teoria de Galois estuda simetrias herdadas de equações algébricas.

Automorfismos de objetos algébricos

No caso em que os eventos representam um intervalo de números reais, a simetria que leva em conta permutações de subintervalos de igual comprimento corresponde a uma distribuição uniforme contínua.

Em outros casos, como "escolher um inteiro aleatório" ou "escolher um real aleatório", não há simetria na distribuição de probabilidade, permitindo permutações de números ou intervalos de igual comprimento. Outras simetrias aceitáveis ​​não levam a uma distribuição particular, ou seja, não existe uma distribuição de probabilidade única que forneça a máxima simetria.

Existe um tipo isometria unidimensional, que pode manter a distribuição de probabilidade inalterada, é um reflexo sobre um ponto, por exemplo, zero.

Uma possível simetria para valores aleatórios com probabilidade positiva é aquela que se aplica aos logaritmos, ou seja, quando um evento e seu recíproco têm a mesma distribuição. No entanto, essa simetria não leva a uma distribuição de probabilidade definida.

Para um "ponto aleatório" em um plano ou no espaço, pode-se escolher um centro e considerar a simetria da distribuição de probabilidade em relação a um círculo ou esfera.

O conceito de movimento

Consideremos primeiro um conceito como movimento.

Definição 1

Um mapeamento plano é chamado de movimento plano se o mapeamento preserva as distâncias.

Existem vários teoremas relacionados a este conceito.

Teorema 2

O triângulo, ao se mover, passa para um triângulo igual.

Teorema 3

Qualquer figura, ao se mover, passa para uma figura igual a ela.

A simetria axial e central são exemplos de movimento. Vamos considerá-los com mais detalhes.

Simetria axial

Definição 2

Os pontos $A$ e $A_1$ são ditos simétricos em relação à reta $a$ se esta reta for perpendicular ao segmento $(AA)_1$ e passar pelo seu centro (Fig. 1).

Imagem 1.

Considere a simetria axial usando o problema como exemplo.

Exemplo 1

Construa um triângulo simétrico para o triângulo dado em relação a qualquer um de seus lados.

Decisão.

Seja-nos dado um triângulo $ABC$. Construiremos sua simetria em relação ao lado $BC$. O lado $BC$ em caso de simetria axial ficará dentro de si mesmo (segue a definição). O ponto $A$ irá para o ponto $A_1$ da seguinte forma: $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$. O triângulo $ABC$ se transformará no triângulo $A_1BC$ (Fig. 2).

Figura 2.

Definição 3

Uma figura é dita simétrica em relação à reta $a$ se cada ponto simétrico desta figura estiver contido na mesma figura (Fig. 3).

Figura 3

A Figura $3$ mostra um retângulo. Tem simetria axial em relação a cada um de seus diâmetros, bem como em relação a duas linhas retas que passam pelos centros de lados opostos do retângulo dado.

Simetria central

Definição 4

Os pontos $X$ e $X_1$ são ditos simétricos em relação ao ponto $O$ se o ponto $O$ for o centro do segmento $(XX)_1$ (Fig. 4).

Figura 4

Vamos considerar a simetria central no exemplo do problema.

Exemplo 2

Construa um triângulo simétrico para o triângulo dado em qualquer um de seus vértices.

Decisão.

Seja-nos dado um triângulo $ABC$. Construiremos sua simetria em relação ao vértice $A$. O vértice $A$ sob simetria central ficará em si mesmo (segue da definição). O ponto $B$ irá para o ponto $B_1$ da seguinte forma $(BA=AB)_1$, e o ponto $C$ irá para o ponto $C_1$ da seguinte forma: $(CA=AC)_1$. O triângulo $ABC$ entra no triângulo $(AB)_1C_1$ (Fig. 5).

Figura 5

Definição 5

Uma figura é simétrica em relação ao ponto $O$ se cada ponto simétrico desta figura estiver contido na mesma figura (Fig. 6).

Figura 6

A Figura $6$ mostra um paralelogramo. Tem simetria central em torno do ponto de intersecção de suas diagonais.

Exemplo de tarefa.

Exemplo 3

Seja-nos dado um segmento $AB$. Construa sua simetria em relação à reta $l$, que não intercepta o segmento dado, e em relação ao ponto $C$ situado na reta $l$.

Decisão.

Vamos descrever esquematicamente a condição do problema.

Figura 7

Vamos primeiro descrever a simetria axial em relação à linha reta $l$. Como a simetria axial é um movimento, então pelo Teorema $1$, o segmento $AB$ será mapeado no segmento $A"B"$ igual a ele. Para construí-la, fazemos o seguinte: pelos pontos $A\ e\B$, traçamos as retas $m\ e\ n$, perpendiculares à reta $l$. Seja $m\cap l=X,\n\cap l=Y$. Em seguida, desenhe os segmentos $A"X=AX$ e $B"Y=BY$.

Figura 8

Vamos agora representar a simetria central em relação ao ponto $C$. Como a simetria central é um movimento, então pelo Teorema $1$, o segmento $AB$ será mapeado no segmento $A""B""$ igual a ele. Para construí-lo, faremos o seguinte: traçar as linhas $AC\ e\BC$. Em seguida, desenhe os segmentos $A^("")C=AC$ e $B^("")C=BC$.

Figura 9

O conceito de matéria como a base indestrutível e incriável de tudo o que existe foi formado na antiguidade. Por outro lado, a observação de constantes mudanças na natureza levou à ideia do movimento perpétuo da matéria como sua propriedade mais importante. A ideia de "preservação" apareceu na ciência como uma conjectura puramente filosófica sobre a presença de algo estável em um mundo em constante mudança. A unidade de mudança e preservação encontra expressão no conceito de "simetria". Simetria - invariância (imutabilidade) de um objeto em relação às transformações que lhe são impostas. Transformações que dão um objeto simétrico são chamadas simétrico. O nível de simetria é determinado pelo número (espectro) de possíveis transformações simétricas. Quanto mais homogêneo, mais equilibrado o sistema, ou seja, quanto mais proporcional à sua parte, maior o número de transformações simétricas possíveis para ela, ou seja, mais simétrica ela é. Portanto, o conceito de simetria está associado ao equilíbrio e proporcionalidade das partes do sistema. A simetria dos sistemas físicos se manifesta na existência de leis de conservação. A princípio, as leis de conservação, como o princípio da relatividade, foram estabelecidas empiricamente, generalizando um grande número de fatos experimentais. Muito mais tarde veio a compreensão da profunda relação entre essas leis e as propriedades de simetria dos sistemas físicos, o que tornou possível compreender sua universalidade. Neste caso, a simetria é entendida como a invariância das leis, as quantidades nelas incluídas e as propriedades dos objetos naturais por elas descritos em relação a um certo grupo de transformações na transição de um referencial para outro. Por exemplo, na teoria da relatividade especial, para todos os referenciais inerciais que se movem em velocidades diferentes, a velocidade da luz no vácuo, a carga elétrica e as leis da natureza são invariáveis.

A presença de simetria leva ao fato de que para um dado sistema existe uma quantidade conservada. Assim, se as propriedades de simetria de um sistema são conhecidas, é possível determinar as leis de conservação para ele e vice-versa.

A conexão entre a simetria do espaço-tempo e as leis fundamentais de conservação foi estabelecida no início do século XX. E. Noether (1882-1935). Espaço e tempo são homogêneos e, portanto, simétricos em relação a deslocamentos arbitrários da origem. A isotropia do espaço o torna simétrico em relação à rotação dos eixos coordenados.

A simetria mais importante da natureza foi revelada na teoria relativista: todos os fenômenos naturais são invariantes sob deslocamentos, rotações e reflexões em um único espaço-tempo quadridimensional. Essas simetrias são inerentemente "globais", cobrindo todo o espaço-tempo. As leis de conservação devido à simetria global são as leis mais fundamentais da natureza. Esses incluem:

lei da conservação da quantidade de movimento, conectado com homogeneidade do espaço;

lei da conservação do momento angular, conectado com isotropia do espaço;

lei da conservação de energia, conectado com uniformidade de tempo.

Assim, cada transformação da simetria espaço-temporal global corresponde à lei de conservação de um determinado valor. Essas leis são cumpridas para sistemas fechados, cujos corpos interagem entre si e as influências externas são compensadas.

Na física clássica, muitas quantidades (como momento, energia e momento angular) são conservadas. Teoremas de conservação para as quantidades correspondentes também existem na mecânica quântica. A coisa mais bonita sobre a mecânica quântica é que, em certo sentido, os teoremas de conservação podem ser deduzidos de outra coisa; na mecânica clássica, no entanto, eles próprios são praticamente os pontos de partida para outras leis. (É possível, no entanto, na mecânica clássica agir da mesma maneira que na mecânica quântica, mas isso só é possível em um nível muito alto.) Na mecânica quântica, no entanto, as leis de conservação estão intimamente relacionadas ao princípio da superposição. de amplitudes e à simetria de sistemas físicos com respeito a várias mudanças. Este é o tema desta palestra. Embora apliquemos essas ideias principalmente à conservação do momento angular, é essencial aqui que todos os teoremas sobre a conservação de quaisquer quantidades estejam sempre ligados - na mecânica quântica - às simetrias do sistema.

Comecemos, portanto, estudando a questão das simetrias dos sistemas. Um exemplo muito simples é fornecido pelos íons de hidrogênio molecular (no entanto, as moléculas de amônia seriam igualmente adequadas), que têm dois estados cada. Para o íon de hidrogênio molecular, tomamos para um estado básico tal estado quando o elétron está localizado próximo ao próton nº 1, e para outro estado básico, aquele em que o elétron está localizado próximo ao próton nº 2. Esses dois estados (chamamos eles e ) mostramos novamente na Fig. 15.1, a. E assim, como os dois núcleos são exatamente iguais, há uma certa simetria nesse sistema físico. Em outras palavras, se tivéssemos que refletir o sistema em um plano colocado no meio entre dois prótons (ou seja, se tudo de um lado do plano se movesse simetricamente para o outro lado), então a figura apresentada na Fig. 15.1b. E como os prótons são idênticos, a operação de reflexão se traduz em , e em . Vamos denotar esta operação de reflexão e escrever

. (15.1)

Então o nosso é um operador, no sentido de que “faz alguma coisa” com o estado para que saia um novo estado. O interessante aqui é que, agindo em qualquer estado, cria-se algum outro estado do sistema.

FIG. 15.1. Se os estados e são refletidos no plano , eles passam para os estados e , respectivamente.

são os elementos da matriz que são obtidos se e são multiplicados à esquerda por . De acordo com a equação (15.1), eles são iguais

(15.2)

Da mesma forma, você pode obter e , e . A matriz em relação ao sistema básico é

Vemos novamente que as palavras operador e matriz na mecânica quântica são praticamente intercambiáveis. Existem, é claro, pequenas diferenças técnicas, como entre as palavras "numeral" e "número", mas não somos tão pedantes a ponto de nos incomodar com isso. Portanto, chamaremos um operador ou uma matriz, independentemente de definir uma operação ou ser realmente usado para obter uma matriz numérica.

Agora gostaríamos de chamar sua atenção para algo. Vamos supor que a física de todo o sistema do íon de hidrogênio molecular seja simétrica. Isso pode não ser - depende, por exemplo, do que está ao lado dela. Mas se o sistema é simétrico, então a seguinte ideia deve necessariamente ser verdadeira. Suponha que inicialmente, em , o sistema esteja no estado , e após um período de tempo descobrimos que o sistema está em uma posição mais complexa - em alguma combinação linear de ambos os estados básicos. Lembre-se que no cap. 6 (edição 8), costumávamos representar "evolução no tempo" multiplicando pelo operador . Isso significa que o sistema em um momento (digamos, para definição, em 15 segundos) estará em algum outro estado. Por exemplo, este estado on pode consistir no estado e no estado , e escreveríamos

Agora perguntamos: o que acontece se primeiro iniciarmos o sistema em um estado simétrico e esperarmos 15 segundos nas mesmas condições? É claro que se o mundo for simétrico (que é o que assumimos), então definitivamente obteremos um estado simétrico com (15.4):

As mesmas idéias são esquematicamente representadas na Fig. 15.2. Assim, se a física do sistema é simétrica em relação a algum plano e calculamos o comportamento de um estado ou outro, também conhecemos o comportamento do estado que resultaria após a reflexão do estado inicial no plano de simetria.

FIG. 15.2. Se em um sistema simétrico o estado puro se desenvolve no tempo como mostrado na parte (a), então o estado puro se desenvolve no tempo como mostrado na parte (b).

O mesmo pode ser dito de forma um pouco mais geral, isto é, um pouco mais abstratamente. Let - qualquer uma das muitas operações que você pode executar no sistema sem alterar a física. Por exemplo, pois podemos tomar a operação de reflexão em um plano localizado no meio entre dois átomos da molécula de hidrogênio. Ou em um sistema com dois elétrons pode-se significar a operação de troca de dois elétrons. A terceira possibilidade seria, em um sistema esfericamente simétrico, a operação de girar todo o sistema por um ângulo finito em torno de algum eixo; isso não muda a física. Claro que, em cada caso individual, designaríamos à nossa maneira. Em particular, geralmente denotaremos a operação "girar o sistema em torno do eixo por um ângulo". Por simplesmente queremos dizer um dos operadores nomeados ou qualquer outro que deixe toda a situação física inalterada. Chamaremos o operador de operador de simetria para o sistema.

Aqui estão mais alguns exemplos de operadores de simetria. Se tivermos um átomo e não houver campo magnético ou elétrico externo, depois de girar o sistema de coordenadas em torno de qualquer eixo, o sistema físico permanece o mesmo. Novamente, a molécula de amônia é simétrica em relação à reflexão em um plano paralelo àquele em que se encontram os três átomos de hidrogênio (desde que não haja campo elétrico). Se houver um campo elétrico, então o campo também teria que ser revertido durante a reflexão, e isso muda todo o problema físico. Mas enquanto não houver campo externo, a molécula é simétrica.

Agora considere o caso geral. Suponha que começamos com o estado , e depois de algum tempo ou sob a influência de outras condições físicas, ele se transformou no estado . Vamos escrever

[Veja a fórmula (15.4).] Agora imagine que estamos operando em todo o sistema. O estado será transformado no estado, que também é escrito como . E o estado se torna . E agora, se a física é relativamente simétrica (não se esqueça disso, se isso não é uma propriedade geral do sistema), então, depois de esperar o mesmo tempo nas mesmas condições, devemos obter

[Como em (45.5).] Mas pode-se escrever em vez de , e em vez de escrever , então (15.7) é reescrito na forma, vale para matrizes e .]

A propósito, como para um tempo infinitesimal temos , onde é o hamiltoniano usual [ver. CH. 6 (questão 8)], é fácil ver que quando (15.10) é satisfeito, então

Então (15.11) é uma formulação matemática das condições para a simetria da situação física em relação ao operador . Ele define a simetria.

Sistema de corrente elétrica multifásico simétrico (assimétrico) de acordo com GOST R 52002-2003

Em que eles são iguais (não iguais) em amplitude e (ou) deslocados em relação um ao outro em ângulos iguais (desiguais). Notas:

1. Em um sistema multifásico simétrico de correntes elétricas, o deslocamento das correntes elétricas entre si em fase é um ângulo igual a 2 p / m, onde m - número de fases.
2. Da mesma forma, sistemas multifásicos simétricos (assimétricos) são definidos, etc.

[da cláusula 162 GOST R 52002-2003]

Sistema de sequência negativa simétrica (correntes) de acordo com GOST R 52002-2003

A ordem é invertida para a principal. Notas:

1. Com a ordem inversa das fases, os deslocamentos de fase de cada uma das fases de um sistema multifásico simétrico de correntes elétricas em relação à fase tomada como a primeira diminuem ou aumentam na mesma quantidade igual a 2 p (1-k ) / m, onde m - número de fases; k = 1, 2, ..., m - número de fase.
2. Sistemas simétricos de sequências inversas são definidos de forma semelhante, e assim por diante.

[da cláusula 165 GOST R 52002-2003]

Sistema simétrico de sequência positiva (correntes) de acordo com GOST R 52002-2003

A ordem da qual é tomada como a principal. Notas:

1. Com a ordem de fase principal, os deslocamentos de fase de cada uma das fases de um sistema multifásico simétrico de correntes elétricas em relação à fase tomada como a primeira aumentam ou diminuem na mesma quantidade igual a 2 p (1-k) / m, onde m - número de fases; k = 1, 2, ..., m - número da fase.
2. Sistemas simétricos de sequência positiva são definidos de forma semelhante, e assim por diante.

[da cláusula 164 GOST R 52002-2003]

Componentes simétricos (sistema de fases assimétricas de correntes elétricas) de acordo com GOST R 52002-2003

Sequências simétricas de fase m nas quais este sistema assimétrico de correntes elétricas de fase m pode ser decomposto, ou seja, sequências com índices n=0, 1, ..., m-1, deslocamentos de fase em cada uma das quais em relação à primeira fase são 2 p (1-k)n/m, onde k = 1, 2, ..., m - número da fase. Notas:

1. Para as designações das fases A, B e C, os valores k=1, 2 e 3 correspondem, e os nomes das sequências como zero, direto e reverso correspondem aos valores n = 0, 1 e 2.
2. Da mesma forma, os componentes simétricos de sistemas assimétricos de fase m são determinados, etc.

[da cláusula 166 GOST R 52002-2003]