No caso geral, o procedimento para processar os resultados das medições diretas é o seguinte (supõe-se que não haja erros sistemáticos).

Caso 1 O número de medições é inferior a cinco.

1) De acordo com a fórmula (6), o resultado médio é encontrado x, definido como a média aritmética dos resultados de todas as medições, ou seja,

2) De acordo com a fórmula (12), os erros absolutos das medições individuais são calculados

.

3) De acordo com a fórmula (14), o erro absoluto médio é determinado

.

4) De acordo com a fórmula (15), o erro relativo médio do resultado da medição é calculado

.

5) Registre o resultado final no seguinte formulário:

, no
.

Caso 2. O número de medições é superior a cinco.

1) De acordo com a fórmula (6), o resultado médio é encontrado

.

2) De acordo com a fórmula (12), os erros absolutos das medições individuais são determinados

.

3) De acordo com a fórmula (7), o erro quadrático médio de uma única medição é calculado

.

4) Calcule o desvio padrão para o valor médio do valor medido pela fórmula (9).

.

5) O resultado final é registrado da seguinte forma

.

Às vezes, os erros de medição aleatórios podem ser menores do que o valor que o dispositivo de medição (instrumento) é capaz de registrar. Neste caso, para qualquer número de medições, obtém-se o mesmo resultado. Nesses casos, como o erro absoluto médio
pegue metade da divisão de escala do instrumento (ferramenta). Esse valor às vezes é chamado de erro limitante ou instrumental e denotado
(para instrumentos vernier e cronômetro
igual à precisão do instrumento).

Avaliação da confiabilidade dos resultados da medição

Em qualquer experimento, o número de medições de uma grandeza física é sempre limitado por uma razão ou outra. Vencimento com esta pode ser a tarefa de avaliar a confiabilidade do resultado. Em outras palavras, determine com que probabilidade se pode argumentar que o erro cometido neste caso não excede o valor predeterminado ε. Essa probabilidade é chamada de probabilidade de confiança. Vamos denotá-lo com uma letra.

Um problema inverso também pode ser colocado: determinar os limites do intervalo
de modo que com uma dada probabilidade pode-se argumentar que o verdadeiro valor das medidas da quantidade não irá além do intervalo de confiança especificado.

O intervalo de confiança caracteriza a precisão do resultado obtido e o intervalo de confiança caracteriza sua confiabilidade. Métodos para resolver esses dois grupos de problemas estão disponíveis e foram desenvolvidos em particular detalhe para o caso em que os erros de medição são distribuídos de acordo com a lei normal. A teoria da probabilidade também fornece métodos para determinar o número de experimentos (medidas repetidas) que fornecem uma determinada precisão e confiabilidade do resultado esperado. Neste trabalho, esses métodos não são considerados (nos limitaremos a mencioná-los), uma vez que tais tarefas geralmente não são colocadas ao realizar trabalhos de laboratório.

De particular interesse, no entanto, é o caso de avaliar a confiabilidade do resultado de medições de grandezas físicas com um número muito pequeno de medições repetidas. Por exemplo,
. Este é exatamente o caso com o qual frequentemente nos deparamos na realização de trabalhos de laboratório em física. Ao resolver este tipo de problemas, recomenda-se a utilização do método baseado na distribuição de Student (lei).

Para conveniência da aplicação prática do método em consideração, existem tabelas com as quais você pode determinar o intervalo de confiança
correspondente a um dado nível de confiança ou resolver o problema inverso.

Abaixo estão as partes das tabelas mencionadas que podem ser necessárias ao avaliar os resultados das medições em aulas de laboratório.

Seja, por exemplo, produzido medidas iguais (sob as mesmas condições) de alguma quantidade física e calculou seu valor médio . É necessário encontrar o intervalo de confiança correspondente ao nível de confiança dado . O problema geralmente é resolvido da seguinte maneira.

De acordo com a fórmula, levando em consideração (7), calcule

Então para valores dados n e encontre de acordo com a tabela (Tabela 2) o valor . O valor que você está procurando é calculado com base na fórmula

(16)

Ao resolver o problema inverso, o parâmetro é calculado primeiro usando a fórmula (16). O valor desejado da probabilidade de confiança é retirado da tabela (Tabela 3) para um determinado número e parâmetro calculado .

Mesa 2. Valor do parâmetro para um determinado número de experimentos

e nível de confiança

Tabela 3 O valor da probabilidade de confiança para um determinado número de experimentos n e parâmetro ε

Para reduzir a influência de erros aleatórios, é necessário medir esse valor várias vezes. Suponha que estamos medindo algum valor x. Como resultado das medições, obtivemos os seguintes valores:

x1, x2, x3, ... xn. (2)

Essa série de valores x é chamada de amostra. Tendo tal amostra, podemos avaliar o resultado da medição. Vamos denotar o valor que será tal estimativa. Mas como esse valor de avaliação dos resultados da medição não representará o valor real da grandeza medida, é necessário estimar seu erro. Vamos supor que podemos determinar a estimativa do erro Δx. Neste caso, podemos escrever o resultado da medição na forma

Como os valores estimados do resultado da medição e o erro Dx não são precisos, o registro (3) do resultado da medição deve ser acompanhado de uma indicação de sua confiabilidade P. Confiabilidade ou probabilidade de confiança é entendida como a probabilidade de que o verdadeiro valor da quantidade medida está contido no intervalo indicado pelo registro (3). Esse intervalo em si é chamado de intervalo de confiança.

Por exemplo, ao medir o comprimento de um determinado segmento, escrevemos o resultado final como

l = (8,34 ± 0,02) milímetros, (P = 0,95)

Isso significa que, em 100 chances - 95, o valor verdadeiro do comprimento do segmento está na faixa de 8,32 a 8,36 mm.

Assim, a tarefa é, tendo uma amostra (2), encontrar uma estimativa do resultado da medição, seu erro Dx e confiabilidade P.

Este problema pode ser resolvido com a ajuda da teoria das probabilidades e da estatística matemática.

Na maioria dos casos, os erros aleatórios seguem a lei de distribuição normal estabelecida por Gauss. A distribuição normal dos erros é expressa pela fórmula

onde Dx - desvio do valor do valor verdadeiro;

y é o verdadeiro erro quadrático médio;

2 - variância, cujo valor caracteriza a dispersão das variáveis ​​aleatórias.

Como pode ser visto em (4), a função tem um valor máximo em x = 0, além disso, é par.

A Figura 16 mostra um gráfico desta função. O significado da função (4) é que a área da figura delimitada entre a curva, o eixo Dx e duas ordenadas dos pontos Dx1 e Dx2 (área sombreada na Fig. 16) é numericamente igual à probabilidade com que qualquer amostra cai no intervalo (Dx1, Dx2).

Como a curva é distribuída simetricamente em torno do eixo y, pode-se argumentar que erros de igual magnitude, mas de sinal oposto, são igualmente prováveis. E isso torna possível tomar o valor médio de todos os elementos da amostra como uma estimativa dos resultados da medição (2)

onde - n é o número de medições.

Assim, se n medições forem feitas nas mesmas condições, então o valor mais provável da grandeza medida será seu valor médio (aritmético). O valor tende ao valor verdadeiro m do valor medido em n > ?.

O erro quadrado médio de um único resultado de medição é o valor (6)

Caracteriza o erro de cada medição individual. Quando n > ? S tende a um limite constante y

Com um aumento em y, a dispersão das leituras aumenta, ou seja, precisão da medição torna-se menor.

O erro quadrático médio da raiz da média aritmética é o valor (8)

Esta é a lei fundamental do aumento da precisão à medida que o número de medições aumenta.

O erro caracteriza a precisão com que se obtém o valor médio do valor medido. O resultado é escrito como:

Esta técnica de cálculo de erro dá bons resultados (com uma confiabilidade de 0,68) somente quando o mesmo valor é medido pelo menos 30 - 50 vezes.

Em 1908, Student mostrou que a abordagem estatística também é válida para um pequeno número de medições. Distribuição de Student para o número de medidas n > ? entra na distribuição gaussiana e, em um pequeno número, difere dela.

Para calcular o erro absoluto para um pequeno número de medições, é introduzido um coeficiente especial que depende da confiabilidade P e do número de medições n, chamado de coeficiente

Aluno T.

Omitindo as justificativas teóricas para sua introdução, notamos que

Dx = t. (dez)

onde Dx é o erro absoluto para um determinado nível de confiança;

erro quadrado médio da média aritmética.

Os coeficientes de Student são dados na tabela.

Decorre do que foi dito:

O valor do erro quadrático médio permite calcular a probabilidade de que o valor verdadeiro do valor medido caia em qualquer intervalo próximo à média aritmética.

Quando n > ? > 0, ou seja o intervalo no qual o valor verdadeiro de m é encontrado com uma dada probabilidade tende a zero com o aumento do número de medições. Parece que aumentando n, pode-se obter um resultado com qualquer grau de precisão. No entanto, a precisão aumenta significativamente apenas até que o erro aleatório se torne comparável ao sistemático. Aumentar ainda mais o número de medições é inconveniente, porque a precisão final do resultado dependerá apenas do erro sistemático. Conhecendo o valor do erro sistemático, é fácil definir o valor admissível do erro aleatório, tomando-o, por exemplo, igual a 10% do erro sistemático. Ao definir um determinado valor P para o intervalo de confiança escolhido desta forma (por exemplo, P = 0,95), é fácil encontrar o número necessário de medições, o que garante um pequeno efeito de um erro aleatório na precisão do resultado.

Para isso, é mais conveniente utilizar a tabela de coeficientes de Student, na qual os intervalos são dados em frações do valor de y, que é uma medida da acurácia desse experimento em relação aos erros aleatórios.

Ao processar os resultados de medições diretas, a seguinte ordem de operações é proposta:

Registre o resultado de cada medição em uma tabela.

Calcular a média de n medições

Encontre o erro de uma medição individual

Calcular Erros Quadrados de Medições Individuais

(Dx 1)2, (Dx 2)2, ..., (Dx n)2.

Determine o erro padrão da média aritmética

Especifique o valor de confiabilidade (geralmente tome P = 0,95).

Determine o coeficiente de Student t para uma dada confiabilidade P e o número de medições feitas n.

Encontre o intervalo de confiança (erro de medição)

Se o valor do erro do resultado da medição Δx for comparável com o valor do erro do instrumento d, então tome como limite do intervalo de confiança

Se um dos erros for menor que três ou mais vezes o outro, descarte o menor.

Escreva o resultado final como

As principais disposições dos métodos para processar os resultados de medições diretas com observações múltiplas são definidas no GOST 8.207-76.

Tome como resultado da medição média dados n observações, das quais são excluídos os erros sistemáticos. Supõe-se que os resultados das observações após a exclusão dos erros sistemáticos deles pertencem à distribuição normal. Para calcular o resultado da medição, é necessário excluir o erro sistemático de cada observação e, como resultado, obter o resultado corrigido eu-ª observação. A média aritmética desses resultados corrigidos é então calculada e tomada como resultado da medição. A média aritmética é uma estimativa consistente, imparcial e eficiente de um mensurando sob uma distribuição normal de dados observacionais.

Cabe destacar que algumas vezes na literatura, ao invés do termo resultado da observação o termo às vezes é usado resultado de medição única, dos quais os erros sistemáticos são excluídos. Ao mesmo tempo, o valor médio aritmético é entendido como o resultado da medição nesta série de várias medições. Isso não altera a essência dos procedimentos de processamento de resultados apresentados a seguir.

Ao processar estatisticamente grupos de resultados de observação, o seguinte deve ser realizado: operações :

1. Elimine o erro sistemático conhecido de cada observação e obtenha o resultado corrigido da observação individual x.

2. Calcule a média aritmética dos resultados de observação corrigidos, tomados como resultado da medição:

3. Calcule a estimativa do desvio padrão

grupos de observação:

Verificar disponibilidade erros grosseiros – existem valores que vão além de ±3 S. Com uma lei de distribuição normal com probabilidade praticamente igual a 1 (0,997), nenhum dos valores dessa diferença deve ultrapassar os limites especificados. Se forem, os valores correspondentes devem ser excluídos da consideração e os cálculos e a avaliação devem ser repetidos novamente. S.

4. Calcule a estimativa RMS do resultado da medição (média

aritmética)

5. Teste a hipótese sobre a distribuição normal dos resultados das observações.

Existem vários métodos aproximados para verificar a normalidade da distribuição dos resultados observacionais. Alguns deles são fornecidos no GOST 8.207-76. Se o número de observações for inferior a 15, de acordo com este GOST, sua pertença à distribuição normal não é verificada. Os limites de confiança do erro aleatório são determinados somente se for conhecido de antemão que os resultados das observações pertencem a essa distribuição. Aproximadamente, a natureza da distribuição pode ser julgada construindo um histograma dos resultados das observações. Métodos matemáticos para verificar a normalidade de uma distribuição são discutidos na literatura especializada.

6. Calcule os limites de confiança e do erro aleatório (componente aleatório do erro) do resultado da medição

Onde tq- Coeficiente de Student, em função do número de observações e do nível de confiança. Por exemplo, quando n= 14, P= 0,95 tq= 2,16. Os valores desse coeficiente são fornecidos no apêndice do padrão especificado.

7. Calcule os limites do erro sistemático total não excluído (TSE) do resultado da medição Q (de acordo com as fórmulas da Seção 4.6).

8. Analise a proporção de Q e :

Se , então o NSP é desprezado em comparação com erros aleatórios, e o limite de erro do resultado D = e.. Se > 8, então o erro aleatório pode ser desprezado e o limite de erro do resultado D=Θ . Se ambas as desigualdades não forem satisfeitas, então a margem de erro do resultado é encontrada construindo uma composição de distribuições de erros aleatórios e NSP de acordo com a fórmula: , onde Para– coeficiente em função da razão de erro aleatório e NSP; S e- avaliação do desvio padrão total do resultado da medição. A estimativa do desvio padrão total é calculada pela fórmula:

.

O coeficiente K é calculado pela fórmula empírica:

.

O nível de confiança para calcular e deve ser o mesmo.

O erro de aplicação da última fórmula para a composição das distribuições uniforme (para NSP) e normal (para erro aleatório) chega a 12% com nível de confiança de 0,99.

9. Registre o resultado da medição. Existem duas opções para escrever o resultado da medição, pois é necessário distinguir entre medições, quando a obtenção do valor da grandeza medida é o objetivo final, e medições, cujos resultados serão usados ​​para cálculos ou análises posteriores.

No primeiro caso, basta conhecer o erro total do resultado da medição e, com um erro de confiança simétrico, os resultados da medição são apresentados na forma: , onde

onde é o resultado da medição.

No segundo caso, as características dos componentes do erro de medição devem ser conhecidas - a estimativa do desvio padrão do resultado da medição, os limites do NSP, o número de observações feitas. Na ausência de dados sobre a forma de funções de distribuição dos componentes de erro do resultado e a necessidade de processamento adicional dos resultados ou análise de erros, os resultados da medição são apresentados na forma:

Se os limites do NSP forem calculados de acordo com a cláusula 4.6, a probabilidade de confiança P será indicada adicionalmente.

As estimativas e as derivadas de seu valor podem ser expressas tanto na forma absoluta, ou seja, em unidades da quantidade medida, quanto na relativa, ou seja, como a razão entre o valor absoluto de uma determinada quantidade e o resultado da medição. Neste caso, os cálculos de acordo com as fórmulas desta seção devem ser realizados usando quantidades expressas apenas na forma absoluta ou relativa.

Resultados de medição

Conceitos básicos, termos e definições

Medição - determinação do valor de uma grandeza física empiricamente. As medições são divididas em dois grupos: diretas e indiretas. Medição direta - encontrar o valor de uma grandeza física diretamente com a ajuda de instrumentos. Medição indireta – encontrar o valor desejado com base na relação conhecida entre esse valor e os valores encontrados no processo de medições diretas. Por exemplo, para determinar a aceleração de um movimento uniformemente acelerado de um corpo, você pode usar a fórmula , onde S - distância viajada, t- tempo de viagem. A trajetória e o tempo do movimento são encontrados diretamente no decorrer do experimento, ou seja, no processo de medidas diretas, e a aceleração pode ser calculada pela fórmula acima e, portanto, seu valor será determinado como resultado de medidas indiretas. medição.

O desvio do resultado de uma medição direta ou indireta do valor real da quantidade desejada é chamado erro de medição . Os erros das medições diretas são devidos às capacidades dos instrumentos de medição, à técnica de medição e às condições do experimento. Os erros de medições indiretas são devidos à “transferência” para o valor desejado dos erros de medições diretas daquelas grandezas com base nas quais é calculada. De acordo com o método de expressão numérica, os erros absolutos são distinguidos (Δ MAS), expresso em unidades do valor medido ( MAS), e erros relativos δ UMA=(Δ UMA/UMA) 100%, expresso em percentagem.

Existem três tipos de erros: sistemáticos, aleatórios e erros.

Debaixo erros sistemáticos compreenda aqueles cuja causa permanece constante ou muda regularmente durante todo o processo de medição. As fontes de erros sistemáticos geralmente são ajustes incorretos de instrumentos, fatores externos que mudam regularmente e uma técnica de medição incorretamente escolhida. Para identificar e eliminar erros sistemáticos, é necessário primeiro analisar as condições de medição, realizar verificações de controle dos instrumentos de medição e comparar os resultados obtidos com dados de medições mais precisas. Os erros sistemáticos não excluíveis que devem ser levados em consideração no processamento dos resultados incluem os erros dos instrumentos e ferramentas utilizados (erros instrumentais).

sala de instrumentos ness igual à metade da divisão de escala do dispositivo Δ UMA pr \u003d CD / 2 (para instrumentos como régua, paquímetro, micrômetro) ou é determinado pela classe de precisão do instrumento (para instrumentos de medição elétrica de ponteiro).

Debaixo classe de precisão do instrumento γ entenda o valor igual a:

onde ∆ UMA etc erro instrumental (o erro absoluto máximo admissível, igual para todos os pontos da escala); UMA máximo limite de medição (valor máximo das leituras do instrumento).

Para dispositivos eletrônicos, as fórmulas para cálculo do erro instrumental são fornecidas no passaporte do instrumento.

Erros aleatórios surgem como resultado da ação de vários fatores aleatórios. Este tipo de erro é detectado ao medir repetidamente a mesma quantidade sob as mesmas condições usando os mesmos instrumentos: os resultados de uma série de medições diferem um pouco uns dos outros aleatoriamente. A contribuição de erros aleatórios para o resultado da medição é levada em consideração no processo de processamento dos resultados.

Debaixo sente falta entender grandes erros que distorcem drasticamente o resultado da medição. Eles surgem como resultado de violações grosseiras do processo de medição: mau funcionamento do instrumento, erros do experimentador, picos de energia no circuito elétrico, etc. Os resultados de medição contendo erros devem ser descartados durante a análise preliminar.

Para identificar falhas e posteriormente levar em conta a contribuição de erros aleatórios e instrumentais, medições diretas do valor desejado são realizadas várias vezes nas mesmas condições, ou seja, é realizada uma série de medições diretas igualmente precisas. O objetivo do processamento subsequente dos resultados de uma série de medições igualmente precisas é:

O resultado de uma medição direta ou indireta deve ser apresentado da seguinte forma:

A=(± Δ MAS) unidades, α = …,

onde < MAS>é o valor médio do resultado da medição, Δ MASé a metade da largura do intervalo de confiança, α é a probabilidade de confiança. Neste caso, deve-se levar em conta que o valor numérico de Δ MAS deve conter no máximo dois algarismos significativos, e o valor ‹ MAS> deve terminar com um dígito do mesmo dígito que Δ MAS.

Exemplo: O resultado da medição do tempo de movimento do corpo é:

t= (18,5 ± 1,2) s; α = 0,95.

Deste registro segue-se que com uma probabilidade de 95% o valor verdadeiro do tempo de movimento está no intervalo de 17,3 s a 19,7 s.

A física é uma ciência experimental, o que significa que as leis físicas são estabelecidas e testadas acumulando e comparando dados experimentais. O objetivo do workshop físico é que os alunos experimentem os fenômenos físicos básicos, aprendam a medir corretamente os valores numéricos das grandezas físicas e compará-los com fórmulas teóricas.

Todas as medições podem ser divididas em dois tipos - Em linha reta e indireto.

No direto Nas medições, o valor da quantidade desejada é obtido diretamente das leituras do instrumento de medição. Assim, por exemplo, o comprimento é medido com uma régua, o tempo pelo relógio, etc.

Se a quantidade física desejada não pode ser medida diretamente pelo dispositivo, mas é expressa através da fórmula através das quantidades medidas, então tais medidas são chamadas indireto.

A medição de qualquer quantidade não fornece um valor absolutamente preciso dessa quantidade. Cada medição sempre contém algum erro (erro). O erro é a diferença entre o valor medido e o valor real.

Os erros são divididos em sistemático e aleatória.

Sistemáticoé chamado de erro que permanece constante ao longo de toda a série de medições. Tais erros são devidos à imperfeição do instrumento de medição (por exemplo, deslocamento zero do dispositivo) ou do método de medição e podem, em princípio, ser excluídos do resultado final introduzindo uma correção apropriada.

Erros sistemáticos também incluem o erro de instrumentos de medição. A precisão de qualquer dispositivo é limitada e é caracterizada por sua classe de precisão, que geralmente é indicada na escala de medição.

Aleatório chamado erro, que varia em diferentes experimentos e pode ser tanto positivo quanto negativo. Erros aleatórios são devidos a causas que dependem tanto do dispositivo de medição (atrito, folgas, etc.) quanto de condições externas (vibrações, flutuações de tensão na rede, etc.).

Erros aleatórios não podem ser descartados empiricamente, mas sua influência no resultado pode ser reduzida por medições repetidas.

Cálculo do erro em medições diretas, o valor médio e o erro médio absoluto.

Suponha que estamos fazendo uma série de medidas de X. Devido à presença de erros aleatórios, obtemos n Significados diferentes:

X 1, X 2, X 3 ... X n

Como resultado da medição, o valor médio é geralmente tomado

Diferença entre média e resultado eu-ª medida é chamada de erro absoluto desta medida

Como medida do erro do valor médio, pode-se tomar o valor médio do erro absoluto de uma única medida

(2)

Valor
é chamado de erro da média aritmética (ou média absoluta).

Em seguida, o resultado da medição deve ser escrito na forma

(3)

Para caracterizar a precisão das medições, é utilizado o erro relativo, que geralmente é expresso em porcentagem.

(4)