Lógica Matemática (PARTE 1)

O que é uma inferência lógica?

Sejam dadas duas afirmações:

1. As frutas podem crescer nas árvores.

2. Uma maçã é uma fruta.

Como ambas as afirmações são verdadeiras, podemos dizer que a afirmação "Maçãs podem crescer em árvores" também é verdadeira. Esta terceira afirmação não está contida de forma alguma nas duas primeiras, segue-se delas. Ou, em outras palavras, a terceira afirmação é uma conclusão lógica das duas primeiras.

Este foi um exemplo simples. Agora vamos ver um exemplo mais complicado. Vamos tentar resolver o problema do livro do professor R.M. Smallian, A Princesa ou o Tigre.

Doença. Neste problema, você precisa descobrir qual dos dois quartos é a princesa e qual é o tigre. Nas portas de cada uma das salas há placas com algumas declarações, além disso, sabe-se que a verdade está escrita em uma placa, e não na outra, mas não se sabe o que é verdadeiro e o que é falso. E também se sabe que há alguém em cada quarto.

1. Há uma princesa nesta sala e um tigre está sentado em outra sala.

2. Há uma princesa em uma dessas salas; além disso, há um tigre sentado em uma dessas salas.

Decisão. As declarações nas tabuletas não podem ser verdadeiras e falsas. Portanto, apenas duas situações são possíveis. A primeira: a primeira é verdadeira e a segunda é falsa e a segunda: a primeira é falsa e a segunda é verdadeira. Vamos considerá-los.

Situação 1. Da veracidade da primeira afirmação segue-se que a princesa está no primeiro quarto e o tigre está no segundo. Ao mesmo tempo, da falsidade da segunda afirmação, segue-se que não há quarto em que esteja a princesa e não há quarto em que se sente o tigre. Portanto, a verdade da primeira afirmação e a falsidade da segunda são impossíveis ao mesmo tempo.

Situação 2. Da verdade da segunda afirmação segue-se apenas que tanto o tigre quanto a princesa estão presentes. Da falsidade do primeiro, segue-se que a princesa está no segundo quarto e o tigre no primeiro. Analisando a segunda situação, não obtivemos uma contradição, portanto a situação 2 é a solução do problema.

A solução deste problema é um exemplo de um raciocínio mais complexo. No entanto, não é difícil ver o princípio geral. Nesse raciocínio, assim como no primeiro exemplo, há enunciados elementares da verdade, que são seguidos pela verdade ou falsidade de outros enunciados. E o propósito da inferência lógica é precisamente estabelecer a verdade ou falsidade de várias afirmações.

A inferência lógica baseia-se na afirmação aparentemente óbvia de que, dado que as afirmações originais são verdadeiras e a conclusão lógica está correta, a afirmação que resulta de tal conclusão também é verdadeira.

Resta descobrir o que é uma conclusão lógica correta. E esta é uma pergunta muito difícil. Para respondê-la, é necessária toda uma ciência chamada lógica matemática. Agora precisamos de algumas definições.

O conceito de enunciado

Todas as declarações que usamos acima como exemplos têm uma coisa em comum. Independentemente do seu significado, eles podem ser verdadeiros ou falsos. As declarações com esta propriedade são chamadas de proposições. Nem toda afirmação pode ser uma afirmação. Por exemplo, a seguinte afirmação: "Malaquita é a pedra mais bonita de todas as gemas conhecidas" não pode ser uma afirmação, porque é uma questão de gosto.

Existem afirmações verdadeiras ou falsas, que em princípio podem ser verificadas, mas apenas em princípio, mas na realidade é impossível. Por exemplo, é impossível verificar a veracidade da seguinte afirmação: "Existe atualmente uma e apenas uma árvore no planeta Terra que tem exatamente 10.000 folhas." Teoricamente, é possível verificar isso, mas apenas teoricamente, pois para tal verificação será necessário o uso de muitos inspetores, muito mais do que as pessoas vivem no planeta.

Assim, a lógica matemática estuda apenas proposições, e apenas como determinar sua verdade ou falsidade. A lógica matemática não investiga o significado das proposições, do que se segue que a formulação da proposição não desempenha nenhum papel e é suficiente introduzir uma notação simples para a proposição.

Na verdade, é isso que acontece. As declarações são simplesmente denotadas por letras: A, B, C, etc. e dizer deles apenas que são verdadeiros ou falsos.

Declarações complexas. Operações booleanas

Anteriormente, falamos apenas sobre declarações simples, declarações também podem ser complexas, consistindo em várias simples. Aqui está um exemplo:

O tomate pode ser vermelho e o tomate pode ser redondo.

Esta declaração consiste em duas simples: "Tomate pode ser vermelho", "Tomate pode ser redondo" conectado por um conectivo lógico "AND". A combinação de duas ou mais declarações simples com o conectivo lógico "E" é chamada de operação lógica da conjunção. O resultado de uma conjunção é uma afirmação complexa, cuja verdade depende da verdade das afirmações simples nela incluídas e é determinada pela seguinte regra: Uma conjunção é verdadeira se e somente se todas as afirmações nela contidas forem verdadeiras.

Na lógica matemática, existe uma notação geralmente aceita para conjunção - Ù. Se uma conjunção envolve duas declarações simples A e B, então isso é escrito como A Ù B.

A regra de verdade para uma conjunção pode ser representada como a seguinte tabela:

UMA	B	A e B

A verdade nesta tabela é escrita como um e a falsidade como zero. Se A tem o valor 0 e B tem o valor 1, então a conjunção será: 0 e 1 = 0, o que é falso.

É claro que a conjunção não é a única operação lógica que permite construir operações complexas a partir de instruções simples. Vamos definir mais alguns:

Disjunção. Uma declaração composta que é uma disjunção de duas simples é verdadeira se pelo menos uma declaração simples incluída na disjunção for verdadeira. A disjunção é indicada da seguinte forma :

A Ú B. Sua tabela verdade é:

Equivalência. Uma declaração composta construída com a ajuda de uma operação de equivalência é verdadeira se ambas as declarações nela incluídas forem simultaneamente verdadeiras ou simultaneamente falsas. O equivalente é definido da seguinte forma: A~B. A tabela verdade é mostrada abaixo.

Usando operações lógicas, você pode construir expressões lógicas de qualquer grau de complexidade, cuja verdade também pode ser determinada usando uma tabela verdade. Vamos tomar a seguinte expressão como exemplo: (A Ù B) ® (A Ú B) e construir uma tabela verdade para ela:

A tabela-verdade desta expressão mostra que ela assume um valor verdadeiro para quaisquer valores das declarações simples A e B. Tais expressões são chamadas de identicamente verdadeiras. Expressões que sempre são avaliadas como falsas são chamadas identicamente falsas.

Verificar a verdade com tabelas verdade nem sempre é fácil. As expressões lógicas podem incluir muitas operações, o número de proposições elementares denotadas por letras também pode ser grande e, com um número suficientemente grande de proposições elementares, a tabela verdade pode ser tão grande que será simplesmente impossível construí-la.

Pode-se ver nas tabelas acima que, para construí-las, é necessário enumerar todas as combinações possíveis de verdade e falsidade de proposições elementares. Para duas declarações, quatro combinações são possíveis. Para três, o número de combinações é 8. Para instruções N, o número de combinações é 2 N . Isto é, por exemplo, para N=10 2 N = 2 10 = 1024. Isso já é demais.

Em tais situações, já são necessárias técnicas especiais para determinar a verdade e a falsidade da expressão. Essas técnicas consistem em simplificar a expressão original, trazendo-a para uma forma padrão e mais simples. Uma forma mais simples é geralmente entendida como uma expressão mais curta, no entanto, pode não ser possível encurtar uma expressão lógica. No entanto, você sempre pode reduzir o número de operações lógicas e sempre pode simplificar a forma de uma expressão lógica.

Existem duas formas padrão para as quais qualquer expressão lógica pode ser convertida.

Forma normal disjuntiva. Esta é uma expressão lógica, que é uma disjunção de conjunções elementares, que incluem enunciados elementares ou suas negações.

Exemplo

(AÙBÙC)Ú(AÙùBÙùC)Ú(AÙBÙùC)

Forma normal conjuntiva. Esta é uma expressão lógica, que é uma conjunção de disjunções elementares, que incluem enunciados elementares ou suas negações.

(AÚùBÚC) Ù(AÚùBÚC)Ù (AÚBÚùC)

A veracidade de uma expressão apresentada na forma normal é muito mais fácil de verificar. Uma forma normal disjuntiva é verdadeira se pelo menos uma conjunção elementar for verdadeira. Uma forma normal conjuntiva é falsa se pelo menos uma disjunção elementar for falsa. Uma disjunção elementar é verdadeira se pelo menos uma proposição elementar incluída nela for verdadeira. Uma conjunção elementar é falsa se pelo menos uma proposição elementar incluída nela for falsa (a negação de uma proposição não é elementar).

Para trazer uma expressão lógica para uma das formas acima, são aplicadas regras de substituição que traduzem a expressão lógica em uma equivalente (ou seja, tendo exatamente a mesma tabela-verdade). Abaixo está uma lista de tais regras.

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Data de criação da página: 2016-04-11

Negação, conjunção, disjunção.

Nosso raciocínio é feito de afirmações. Por exemplo, na conclusão “Alguns pássaros voam; portanto, alguns pássaros voadores" inclui duas declarações diferentes.

Uma declaração é uma formação mais complexa do que um nome. Ao decompor as instruções em partes mais simples, sempre obtemos um ou outro nome. Digamos que a afirmação "O sol é uma estrela" inclui os nomes "Sol" e "estrela" como suas partes.

Uma afirmação é uma frase gramaticalmente correta, tomada em conjunto com o significado (conteúdo) expresso por ela, e que é verdadeiro ou falso.

O conceito de uma declaração é um dos conceitos-chave iniciais da lógica. Como tal, não permite uma definição precisa que seja igualmente aplicável em suas diversas seções. É claro que qualquer afirmação descreve uma determinada situação, afirmando ou negando algo sobre ela, e é verdadeira ou falsa.

Uma afirmação é considerada verdadeira se a descrição dada por ela corresponder à situação real, e falsa se não corresponder a ela. "Verdadeiro" e "falso" são chamados de valores de verdade da proposição.

A partir de declarações individuais de diferentes maneiras, você pode construir novas declarações. Assim, a partir das afirmações “O vento está soprando” e “Está chovendo”, podem ser formadas afirmações mais complexas “O vento está soprando e está chovendo”, “Ou o vento está soprando ou está chovendo”, “Se está está chovendo, o vento está soprando”, etc. Expressões “e”, “ou, ou”, “se, então”, etc., que servem para formar declarações complexas, são chamadas de conectivos lógicos.

Uma instrução é chamada simples se não incluir outras instruções como suas partes.

Uma declaração é complexa se for obtida com a ajuda de conectivos lógicos de outras declarações mais simples.

Essa parte da lógica, que descreve as conexões lógicas de declarações que não dependem da estrutura de declarações simples, é chamada de teoria geral da dedução.

Negação - um conectivo lógico, com a ajuda do qual uma nova declaração é obtida de uma determinada declaração, de modo que, se a declaração original for verdadeira, sua negação será falsa e vice-versa. Uma afirmação negativa consiste na afirmação original e na negação, geralmente expressa pelas palavras "não", "não é verdade isso". Uma proposição negativa é, portanto, uma proposição composta: inclui como parte uma proposição distinta dela. Por exemplo, a negação da afirmação "10 é um número par" é a afirmação "10 não é um número par" (ou: "Não é verdade que 10 é um número par").

Como resultado da conexão de duas declarações com a ajuda da palavra "e", obtemos uma declaração complexa chamada conjunção. As declarações conectadas dessa maneira são chamadas de membros de uma conjunção. Por exemplo, se as afirmações “Hoje está quente” e “Ontem estava frio” são combinadas desta forma, obtém-se a conjunção “Hoje está quente e ontem estava frio”.

Uma conjunção é verdadeira somente se ambas as afirmações nela forem verdadeiras; se pelo menos um de seus termos for falso, então toda a conjunção é falsa.

A definição de uma conjunção, bem como as definições de outros conectivos lógicos que servem para formar enunciados complexos, baseia-se nas seguintes duas suposições:

toda proposição (tanto simples quanto complexa) tem um e apenas um de dois valores de verdade: é verdadeira ou falsa;

o valor de verdade de uma declaração composta depende apenas dos valores de verdade das declarações incluídas nela e da maneira como elas estão logicamente conectadas entre si.

Essas suposições parecem simples. Tendo-os aceitado, entretanto, deve-se descartar a ideia de que, junto com afirmações verdadeiras e falsas, também pode haver afirmações que são indefinidas em termos de seu valor de verdade (como, digamos, “Em cinco anos, neste momento, choverá com trovões” etc.). Também é necessário renunciar ao fato de que o valor de verdade de um enunciado composto também depende da "conexão no significado" dos enunciados que estão sendo combinados.

Na linguagem comum, duas declarações são conectadas pela união "e" quando estão relacionadas em conteúdo ou significado. A natureza dessa conexão não é totalmente clara, mas é claro que não consideraríamos a conjunção "Ele vestiu um casaco e eu fui para a universidade" como uma expressão que faz sentido e pode ser verdadeira ou falsa. Embora as afirmações “2 é um número primo” e “Moscou é uma cidade grande” sejam verdadeiras, também não estamos inclinados a considerar a conjunção “2 é um número primo e Moscou é uma cidade grande” verdadeira, uma vez que seu constituinte declarações não estão relacionadas em significado.

Simplificando o significado da conjunção e de outros conectivos lógicos e, para isso, abandonando o obscuro conceito de "conexão de enunciados pelo sentido", a lógica torna o significado desses conectivos mais amplo e ao mesmo tempo mais claro.

Ao conectar duas declarações com a palavra "ou", obtemos uma disjunção dessas declarações. As declarações que formam uma disjunção são chamadas de membros da disjunção.

A palavra "ou" na linguagem cotidiana tem dois significados diferentes. Às vezes significa "um ou outro, ou ambos", e às vezes "um ou outro, mas não os dois juntos". A afirmação “Esta temporada quero ir à Dama de Espadas ou à Aida” permite a possibilidade de visitar a ópera duas vezes. Na declaração “Ele estuda na Universidade de Moscou ou Leningrado”, entende-se que a pessoa em questão estuda em apenas uma dessas universidades.

O primeiro significado de "ou" é chamado de não exclusivo. Tomada nesse sentido, a disjunção de duas afirmações significa apenas que pelo menos uma dessas afirmações é verdadeira, sejam ambas verdadeiras ou não. Tomada no segundo sentido exclusivo, a disjunção de duas afirmações afirma que uma delas é verdadeira e a outra é falsa.

O símbolo V denotará uma disjunção no sentido não exclusivo, para uma disjunção no sentido exclusivo será utilizado o símbolo V. Tabelas para dois tipos de disjunção mostram que uma disjunção não exclusiva é verdadeira quando pelo menos uma das afirmações nela contidas é verdadeira, e falsa somente quando ambos os seus membros são falsos; Uma disjunção exclusiva é verdadeira quando apenas um de seus termos é verdadeiro, e é falsa quando ambos os termos são verdadeiros ou ambos são falsos.

Em lógica e matemática, a palavra "ou" é sempre usada em um sentido não exclusivo.

A decomposição de alguma declaração em partes simples e indecomponíveis dá dois tipos de expressões, chamadas símbolos próprios e impróprios. A peculiaridade dos próprios símbolos é que eles têm algum conteúdo, mesmo tomados por eles mesmos. Estes incluem nomes (denotando alguns volumes), não resolvidos (referindo-se a alguma área de objetos), declarações (descrevendo algumas situações e sendo verdadeiras ou falsas). Símbolos impróprios não possuem conteúdo independente, mas em combinação com um ou mais símbolos próprios formam expressões complexas que já possuem conteúdo independente. Símbolos impróprios incluem, em particular, conectivos lógicos usados ​​para formar declarações complexas a partir de simples: "... e ...", "... ou ...", "ou ... ou ..." , “ se..., então...”, “... então e só quando...”, “nem... nem...”, “não... mas...”, “... mas não...”, “não é verdade que...”, etc. A própria palavra, digamos “ou”, não denota nenhum objeto. Mas em combinação com dois símbolos próprios, denotativos, esta palavra dá um novo símbolo denotativo: das duas declarações "Carta recebida" e "Telegrama enviado" - uma nova declaração "Carta recebida ou telegrama enviado".

A tarefa central da lógica é a separação dos esquemas de raciocínio corretos dos incorretos e a sistematização dos primeiros. A correção lógica é determinada pela forma lógica. Para revelá-lo, deve-se abstrair das partes significativas do argumento (símbolos próprios) e focar nos símbolos não próprios que representam essa forma em sua forma mais pura. Daí o interesse da lógica formal por palavras que normalmente não chamam a atenção, como “e”, “ou”, “se, então”, etc.

demonstração Uma sentença declarativa que pode ser considerada verdadeira ou falsa. Em álgebra, declarações simples são associadas a variáveis ​​lógicas (A, B, C, etc.)

variável booleanaé uma declaração simples.
As variáveis ​​booleanas são denotadas por letras latinas maiúsculas e minúsculas (a-z, A-Z) e podem assumir apenas dois valores - 1 se a afirmação for verdadeira, ou 0 se a afirmação for falsa.

Dizendo exemplo:

Função booleana- esta é uma instrução complexa, obtida como resultado da realização de operações lógicas em instruções simples.

Para a formação de declarações complexas, o método mais comumente usado operações lógicas básicas, expresso usando conectivos lógicos "e", "ou", "não".
Por exemplo,

Muitas pessoas não gostam de clima úmido..

Seja A = "Muitas pessoas gostam de clima úmido." Obtemos uma função lógica F(A) = não A.

Pacotes “NÃO”, “E”, “OU” são substituídos por operações lógicas inversão , conjunção , disjunção . Isso é operações lógicas básicas, que pode ser usado para escrever qualquer expressão lógica.

Fórmula booleana (expressão lógica) - uma fórmula contendo apenas valores lógicos e sinais de operações lógicas. O resultado da avaliação de uma fórmula lógica é VERDADEIRO (1) ou FALSO (0).

O valor de uma função lógica depende dos valores das variáveis ​​lógicas incluídas nela. Portanto, o valor de uma função lógica pode ser determinado usando uma tabela especial ( tabelas verdade), que lista todos os valores possíveis das variáveis ​​booleanas de entrada e seus valores de função correspondentes.

Operações lógicas básicas (básicas):

1. Multiplicação lógica (conjunção), de lat. konjunctio - eu conecto:
Combinando duas (ou várias) instruções em uma usando a união AND;
em linguagens de programação - E.
Notação convencional: /\ , , and, and.
Na álgebra dos conjuntos, as conjunções correspondem à operação de interseção de conjuntos.

Uma conjunção é verdadeira se e somente se todas as afirmações nela contidas forem verdadeiras.

Exemplo:
Considere a declaração composta "2 2 = 4 e 3 3 = 10". Vejamos algumas afirmações simples:

B \u003d "3 3 \u003d 10" \u003d 0 (porque esta é uma afirmação falsa)
Portanto, a função lógica F(A, B) = A /\ B = 1 /\ 0 = 0 (de acordo com a tabela verdade), ou seja, esta afirmação composta é falsa.

2. Adição lógica (disjunção), de lat. disjunctio - distingo:
Combinando duas (ou mais) instruções em uma usando a união OR;
em linguagens de programação - Ou.
Notação: \/, +, ou, ou.
Na álgebra dos conjuntos, a disjunção corresponde à operação de união dos conjuntos.

Uma disjunção é falsa se e somente se todas as afirmações nela contidas forem falsas.

Exemplo:
Considere a declaração composta "2 2 = 4 ou 2 2 = 5". Vamos destacar declarações simples:
A \u003d "2 2 \u003d 4" \u003d 1 (porque esta é uma afirmação verdadeira)
B \u003d "2 2 \u003d 5" \u003d 0 (porque esta é uma afirmação falsa)
Portanto, a função lógica F(A, B) = A \/ B = 1 \/ 0 = 1 (de acordo com a tabela verdade), ou seja, esta afirmação composta é verdadeira.

3. Negação (inversão), de lat. InVersion - eu inverto:

Corresponde à partícula NÃO, as frases são ERRADO, O QUE ou NÃO É VERDADE, O QUE;
em linguagens de programação - Não;
Designação: não A, ¬A, não
Na álgebra dos conjuntos, a negação lógica corresponde à operação de complemento a um conjunto universal.

Inversi i de uma variável booleana é verdadeiro se a própria variável for falsa e, inversamente, o inverso é falso se a variável for verdadeira.

Exemplo:

A \u003d (duas vezes dois são quatro) \u003d 1.

¬A= ( Não é verdade que duas vezes dois é igual a quatro = 0.

Considere a afirmação A: A Lua é o satélite da Terra“; então ¬A será formulado da seguinte forma: “ A lua não é um satélite da terra“.

Considere a afirmação: "Não é verdade que 4 é divisível por 3." Denote por A a afirmação simples "4 é divisível por 3". Então a forma lógica da negação desta afirmação tem a forma ¬A

Prioridade das operações lógicas:

As operações em uma expressão booleana são executadas da esquerda para a direita, incluindo parênteses dentro Next ok:
1. inversão;
2. conjunção;
3. disjunção;
Os parênteses são usados ​​para alterar a ordem especificada das operações lógicas.

Expressões lógicas compostasálgebras proposicionais são chamadas fórmulas.
O valor verdadeiro ou falso de uma fórmula pode ser determinado pelas leis da álgebra da lógica, sem se referir ao significado:
F = (0 \/ 1) /\ (¬0 \/ ¬1) = (0 \/ 1) /\ (1 \/ 0) =1 /\ 1=1 - verdadeiro
F = (¬0 /\ ¬1) \/ (¬1 \/ ¬1) = (1 /\ 0) \/ (0 \/ 0) = 0 \/ 0 = 0 - false

Uma declaração é uma formação mais complexa do que um nome. Ao decompor as instruções em partes mais simples, sempre obtemos um ou outro nome. Digamos que a afirmação "O sol é uma estrela" inclui os nomes "Sol" e "estrela" como suas partes.

demonstração- uma frase gramaticalmente correta, tomada em conjunto com o significado (conteúdo) expresso por ela, e que é verdadeiro ou falso.

O conceito de uma declaração é um dos conceitos-chave iniciais da lógica. Como tal, não permite uma definição precisa que seja igualmente aplicável em suas diversas seções.

Uma afirmação é considerada verdadeira se a descrição dada por ela corresponder à situação real, e falsa se não corresponder a ela. "Verdadeiro" e "falso" são chamados de "valores-verdade das proposições".

A partir de declarações individuais de diferentes maneiras, você pode construir novas declarações.

Por exemplo, a partir das afirmações “O vento está soprando” e “Está chovendo”, afirmações mais complexas podem ser formadas “O vento está soprando e está chovendo”, “Ou o vento está soprando ou está chovendo”, “Se está chovendo, então o vento está soprando”, etc.

A declaração é chamada simples, se não incluir outras declarações como suas partes.

A declaração é chamada eu sou complicada, se for obtido com a ajuda de conectivos lógicos de outras instruções mais simples.

Vamos considerar as formas mais importantes de construir declarações complexas.

declaração negativa consiste na afirmação original e negação, geralmente expressa pelas palavras "não", "não é verdade que". Uma proposição negativa é, portanto, uma proposição composta: inclui como parte uma proposição distinta dela. Por exemplo, a negação da afirmação "10 é um número par" é a afirmação "10 não é um número par" (ou: "Não é verdade que 10 é um número par").

Vamos denotar as afirmações pelas letras A, B, C, ... O significado completo do conceito de negação de uma afirmação é dado pela condição: se a afirmação A for verdadeira, sua negação é falsa, e se A for falsa, sua negação é verdade. Por exemplo, como a proposição "1 é um número inteiro positivo" é verdadeira, sua negação "1 não é um número inteiro positivo" é falsa, e como "1 é um número primo" é falsa, sua negação "1 não é um número primo" " é verdade.

Combinando duas declarações com a palavra "e" dá uma declaração composta chamada conjunção. As declarações conectadas dessa maneira são chamadas de "termos de conjunção".

Por exemplo, se as afirmações “Hoje está quente” e “Ontem estava frio” são combinadas desta forma, obtém-se a conjunção “Hoje está quente e ontem estava frio”.

Uma conjunção é verdadeira somente se ambas as afirmações nela forem verdadeiras; se pelo menos um de seus termos for falso, então toda a conjunção é falsa.

Na linguagem comum, duas declarações são conectadas pela união "e" quando estão relacionadas em conteúdo ou significado. A natureza dessa conexão não é totalmente clara, mas é claro que não consideraríamos a conjunção "Ele vestiu um casaco e eu fui para a universidade" como uma expressão que faz sentido e pode ser verdadeira ou falsa. Embora as afirmações “2 é um número primo” e “Moscou é uma cidade grande” sejam verdadeiras, também não estamos inclinados a considerar a conjunção “2 é um número primo e Moscou é uma cidade grande” verdadeira, pois as afirmações que o compõem não estão relacionados em significado. Simplificando o significado da conjunção e de outros conectivos lógicos e, para isso, abandonando o obscuro conceito de "conexão de enunciados pelo sentido", a lógica torna o significado desses conectivos mais amplo e ao mesmo tempo mais claro.

Conectar duas frases com a palavra "ou" dá disjunção Estas declarações. As declarações que formam uma disjunção são chamadas de "membros da disjunção" .

A palavra "ou" na linguagem cotidiana tem dois significados diferentes. Às vezes significa "um ou outro, ou ambos", e às vezes "um ou outro, mas não os dois juntos". Por exemplo, a afirmação "Esta temporada eu quero ir para a Dama de Espadas ou para Aida" permite a possibilidade de assistir à ópera duas vezes. A afirmação "Ele estuda na Universidade de Moscou ou Yaroslavl" implica que a pessoa em questão estuda em apenas uma dessas universidades.

O primeiro sentido de "ou" é chamado não exclusivo. Tomada nesse sentido, a disjunção de duas afirmações significa que pelo menos uma dessas afirmações é verdadeira, sejam ambas verdadeiras ou não. Tirada na segunda exclusivo, ou em sentido estrito, a disjunção de duas proposições afirma que uma das proposições é verdadeira e a outra é falsa.

Uma disjunção não exclusiva é verdadeira quando pelo menos uma de suas afirmações é verdadeira, e falsa somente quando ambos os termos são falsos.

Uma disjunção exclusiva é verdadeira quando apenas um de seus termos é verdadeiro, e é falsa quando ambos os termos são verdadeiros ou ambos são falsos.

Em lógica e matemática, a palavra "ou" é quase sempre usada em um sentido não exclusivo.

Afirmação condicional - uma afirmação complexa, geralmente formulada com a ajuda de um link “se..., então...” e estabelecendo que um evento, estado, etc. é, em um sentido ou outro, a base ou condição para outro.

Por exemplo: “Se há fogo, então há fumaça”, “Se um número é divisível por 9, é divisível por 3”, etc.

Uma instrução condicional é composta de duas instruções mais simples. Aquele ao qual a palavra "se" é prefixada é chamado Fundação, ou antecedente(anterior), a declaração que vem depois da palavra "that" é chamada consequência, ou consequente(subseqüente).

Ao afirmar um enunciado condicional, queremos dizer, em primeiro lugar, que não pode acontecer o que é dito em seu fundamento, mas o que é dito na consequência está ausente. Em outras palavras, não pode acontecer que o antecedente seja verdadeiro e o consequente falso.

Em termos de uma declaração condicional, os conceitos de condições suficientes e necessárias são geralmente definidos: o antecedente (base) é uma condição suficiente para o consequente (consequência), e o consequente é uma condição necessária para o antecedente. Por exemplo, a verdade da afirmação condicional "Se a escolha é racional, então a melhor alternativa disponível é escolhida" significa que a racionalidade é uma razão suficiente para escolher a melhor opção disponível, e que escolher tal opção é uma condição necessária para sua racionalidade.

Uma função típica de uma declaração condicional é fundamentar uma declaração referindo-se a outra declaração. Por exemplo, o fato de a prata ser eletricamente condutora pode ser justificado referindo-se ao fato de ser um metal: "Se a prata é um metal, é eletricamente condutora".

A ligação entre o justificador e o justificado (fundamentos e consequências) expressa pelo enunciado condicional é difícil de caracterizar em termos gerais, e só por vezes a sua natureza é relativamente clara. Essa conexão pode ser, em primeiro lugar, a conexão de consequência lógica que ocorre entre as premissas e a conclusão da conclusão correta (“Se todas as criaturas multicelulares vivas são mortais, e a água-viva é tal criatura, então ela é mortal”); em segundo lugar, pela lei da natureza (“Se o corpo for submetido ao atrito, ele começará a aquecer”); em terceiro lugar, por causalidade (“Se a Lua está no nodo de sua órbita na lua nova, ocorre um eclipse solar”); em quarto lugar, regularidade social, regra, tradição (“Se a sociedade muda, a pessoa também muda”, “Se o conselho é razoável, deve ser cumprido”), etc.

A conexão expressa pelo enunciado condicional geralmente está ligada à convicção de que a consequência necessariamente “segue” da razão e que existe alguma lei geral, tendo sido capaz de formular a qual poderíamos deduzir logicamente a consequência da razão.

Por exemplo, a afirmação condicional "Se o bismuto é um metal, é plástico" parece implicar a lei geral "Todos os metais são plásticos", o que torna o consequente dessa afirmação uma consequência lógica de seu antecedente.

Tanto na linguagem comum quanto na linguagem da ciência, uma declaração condicional, além da função de justificação, também pode desempenhar várias outras tarefas: formular uma condição que não está relacionada a nenhuma lei ou regra geral implícita (“Se quero, vou cortar meu manto”); corrigir alguma sequência (“Se o verão passado foi seco, então este ano está chuvoso”); expressar descrença de uma forma peculiar (“Se você resolver este problema, vou provar o último teorema de Fermat”); oposição (“Se o sabugueiro cresce no jardim, então um tio mora em Kiev”), etc. A multiplicidade e heterogeneidade das funções de uma declaração condicional complica significativamente sua análise.

O uso de uma declaração condicional está associado a certos fatores psicológicos. Normalmente formulamos tal afirmação apenas se não sabemos com certeza se seu antecedente e consequente são verdadeiros ou não. Caso contrário, seu uso parece antinatural ("Se o algodão é um metal, é eletricamente condutor").

A declaração condicional encontra uma aplicação muito ampla em todas as áreas do raciocínio. Na lógica, geralmente é representado por declaração implicativa, ou implicações. Ao mesmo tempo, a lógica esclarece, sistematiza e simplifica o uso de “se..., então...”, liberta-o da influência de fatores psicológicos.

A lógica é abstraída, em particular, do fato de que, dependendo do contexto, a conexão entre o fundamento e a consequência, característica de um enunciado condicional, pode ser expressa não apenas com a ajuda de “se ..., então …”, mas também com outros meios linguísticos.

Por exemplo, “Como a água é um líquido, ela transfere pressão uniformemente em todas as direções”, “Embora a plasticina não seja um metal, é plástica”, “Se uma árvore fosse um metal, seria eletricamente condutora”, etc. e afirmações semelhantes são representadas na linguagem da lógica por meio de implicação, embora o uso de “se... então...” nelas não seja inteiramente natural.

Ao afirmar a implicação, afirmamos que não pode acontecer que sua fundação ocorra e sua consequência não exista. Em outras palavras, uma implicação é falsa apenas se sua razão for verdadeira e sua consequência falsa.

Essa definição pressupõe, como as definições conectivas anteriores, que toda proposição é verdadeira ou falsa e que o valor de verdade de uma proposição composta depende apenas dos valores de verdade de suas proposições componentes e da maneira como elas estão conectadas.

Uma implicação é verdadeira quando tanto sua razão quanto sua consequência são verdadeiras ou falsas; é verdadeira se sua razão for falsa e sua consequência for verdadeira. Somente no quarto caso, quando a razão é verdadeira e a consequência falsa, a implicação é falsa.

A implicação não implica que as afirmações A e B estejam de alguma forma relacionadas em conteúdo. Se B for verdadeiro, a afirmação "se A, então B" é verdadeira, independentemente de A ser verdadeiro ou falso e se está semanticamente relacionado a B ou não.

Por exemplo, afirmações são consideradas verdadeiras: “Se há vida no Sol, então duas vezes dois é igual a quatro”, “Se o Volga é um lago, então Tóquio é uma grande vila”, etc. A afirmação condicional também é verdadeira quando A é falso e, ao mesmo tempo, não faz diferença se B é verdadeiro ou não, e se está conectado em conteúdo com A ou não. As seguintes afirmações são verdadeiras: “Se o Sol é um cubo, então a Terra é um triângulo”, “Se duas vezes dois é igual a cinco, então Tóquio é uma cidade pequena”, etc.

No raciocínio comum, é improvável que todas essas afirmações sejam consideradas significativas, e muito menos verdadeiras.

Embora a implicação seja útil para muitos propósitos, ela não se encaixa no entendimento usual de associação condicional. A implicação cobre muitas características importantes do comportamento lógico da declaração condicional, mas ao mesmo tempo não é uma descrição suficientemente adequada dela.

No último meio século, tentativas vigorosas foram feitas para reformar a teoria da implicação. Ao mesmo tempo, não se tratava de abandonar o conceito de implicação descrito, mas de introduzir, junto com ele, outro conceito que levasse em conta não apenas os valores de verdade dos enunciados, mas também sua conexão no conteúdo.

Intimamente relacionado com a implicação equivalência, às vezes chamado de "dupla implicação".

Equivalência- um enunciado complexo "A, se e somente se B", formado a partir dos enunciados A e B e decomposto em duas implicações: "se A, então B" e "se B, então A". Por exemplo: "Um triângulo é equilátero se e somente se for equiângulo." O termo "equivalência" também denota o vínculo "..., se e somente se ...", com a ajuda do qual essa declaração complexa é formada a partir de duas declarações. Em vez de “se e somente se”, para este fim, pode-se usar “se e somente se”, “se e somente se”, etc.

Se os conectivos lógicos são definidos em termos de verdadeiro e falso, uma equivalência é verdadeira se e somente se ambas as declarações constituintes tiverem o mesmo valor de verdade, isto é, quando ambas forem verdadeiras e ambas falsas. Assim, uma equivalência é falsa quando uma de suas afirmações é verdadeira e a outra é falsa.

Ao considerar as formas de formar enunciados complexos a partir de simples, a estrutura interna dos enunciados simples não foi levada em consideração. Eles foram tomados como partículas indecomponíveis com apenas uma propriedade: ser verdadeiro ou falso. Provérbios simples

não é coincidência que eles às vezes sejam chamados de atômicos: a partir deles, como de tijolos elementares, com a ajuda de conectivos lógicos “e”, “ou”, etc., várias declarações complexas (“moleculares”) são construídas.

Agora devemos nos debruçar sobre a questão da estrutura interna, ou estrutura interna, das próprias afirmações simples: de que partes específicas elas são compostas e como essas partes estão interconectadas.

Deve-se enfatizar imediatamente que declarações simples podem ser decompostas em suas partes componentes de diferentes maneiras. O resultado da decomposição depende do propósito para o qual ela é realizada, ou seja, do conceito de inferência lógica (consequência lógica) dentro do qual tais afirmações são analisadas.

O interesse especial em proposições categóricas é explicado principalmente pelo fato de que o desenvolvimento da lógica como ciência começou com o estudo de suas conexões lógicas. Além disso, afirmações desse tipo são amplamente utilizadas em nosso raciocínio. A teoria das conexões lógicas de declarações categóricas é geralmente chamada silogístico.

Por exemplo, na declaração "Todos os dinossauros estão extintos", os dinossauros são creditados com o atributo "estar extinto". Na proposição "Alguns dinossauros voaram", a capacidade de voar é atribuída a certos tipos de dinossauros. A proposição "Todos os cometas não são asteróides" nega a presença do atributo "ser um asteróide" para cada um dos cometas. A proposição "Alguns animais não são herbívoros" nega a herbivoria de alguns animais.

Se ignorarmos as características quantitativas contidas na afirmação categórica e expressas pelas palavras “todos” e “alguns”, obtemos duas versões de tais afirmações: afirmativa e negativa. Sua estrutura:

"S é P" e "S não é P"

onde a letra S representa o nome do objeto referido no enunciado, e a letra P é o nome de uma característica inerente ou não inerente a este objeto.

O nome do objeto referido na declaração categórica é chamado sujeito, e o nome de seu recurso é predicado. Sujeito e predicado são nomeados termos afirmação categórica e estão interligados por ligamentos “é” ou “não é” (“é” ou “não é”, etc.). Por exemplo, na afirmação “O sol é uma estrela”, os termos são os nomes “Sol” e “estrela” (o primeiro deles é o sujeito da afirmação, o segundo é o seu predicado), e a palavra “é ” é uma ligação.

Declarações simples como "S é (não é) P" são chamadas de atributivas: elas realizam a atribuição (atribuição) de alguma propriedade a um objeto.

Afirmações atributivas são opostas por afirmações sobre relações nas quais as relações são estabelecidas entre dois ou mais objetos: “Três são menos que cinco”, “Kyiv é maior que Odessa”, “A primavera é melhor que o outono”, “Paris fica entre Moscou e Nova York”, etc. Afirmações sobre relacionamentos desempenham um papel essencial na ciência, especialmente na matemática. Eles não são redutíveis a afirmações categóricas, uma vez que as relações entre vários objetos (como “igual”, “ama”, “mais quente”, “está entre”, etc.) não são redutíveis às propriedades de objetos individuais. Uma das deficiências essenciais da lógica tradicional era que ela considerava os julgamentos sobre relações redutíveis a julgamentos sobre propriedades.

Em um enunciado categórico, a conexão entre o objeto e o atributo não é apenas estabelecida, mas também é dada certa característica quantitativa do sujeito do enunciado. Em declarações como "Todo S é (não é) P", a palavra "todos" significa "cada um dos objetos da classe correspondente". Em declarações como "Alguns S são (não são) P", a palavra "alguns" é usada em um sentido não exclusivo e significa "alguns, mas talvez todos". Em um sentido exclusivo, a palavra "alguns" significa "apenas alguns", ou "alguns, mas não todos". A diferença entre os dois significados desta palavra pode ser ilustrada pelo exemplo da afirmação "Algumas estrelas são estrelas". Em um sentido não exclusivo, significa "Algumas, talvez todas as estrelas sejam estrelas" e é obviamente verdade. No sentido exclusivo, esta afirmação significa "Apenas algumas estrelas são estrelas" e é claramente falsa.

Nas afirmações categóricas, afirma-se ou nega-se a pertença de alguns signos aos objectos considerados e indica-se se se trata de todos estes objectos ou de alguns deles.

Assim, quatro tipos de declarações categóricas são possíveis:

Todo S é P - uma afirmação afirmativa geral,

Alguns S são P - declaração afirmativa privada,

Todo S não é P - uma afirmação negativa geral,

Alguns Ss não são Ps - uma afirmação negativa específica.

As declarações categóricas podem ser consideradas como o resultado da substituição de alguns nomes nas seguintes expressões com espaços (reticências): "Tudo ... é ...", "Algum ... é ...", "Tudo ... é não ..." e "Alguns ... não são ...". Cada uma dessas expressões é uma constante lógica (operação lógica) que permite obter uma instrução de dois nomes. Por exemplo, substituindo os nomes “voando” e “pássaros” em vez de pontos, obtemos, respectivamente, as seguintes afirmações: “Todos os que voam são pássaros”, “Alguns que voam são pássaros”,

inferência

"Tudo o que voa não são pássaros" e "Alguns que voam não são pássaros". A primeira e a terceira afirmações são falsas e a segunda e quarta afirmações são verdadeiras.

inferência

“Com uma gota de água, uma pessoa que sabe pensar logicamente pode concluir a existência do Oceano Atlântico ou das Cataratas do Niágara, mesmo que não tenha visto nenhum deles e nunca tenha ouvido falar deles... pelas mãos, pelos sapatos, pela dobra das calças nos joelhos, pelo engrossamento da pele do polegar e do indicador, pela expressão do rosto e pelos punhos da camisa - não é difícil adivinhar sua profissão por essas ninharias . E não há dúvida de que tudo isso, em conjunto, levará as conclusões corretas a um observador experiente.

Esta é uma citação de um artigo principal do detetive consultor mais famoso do mundo, Sherlock Holmes. Com base nos mínimos detalhes, ele construiu cadeias de raciocínio logicamente perfeitas e resolveu crimes intrincados, muitas vezes no conforto de seu apartamento na Baker Street. Holmes usou um método dedutivo que ele mesmo criou, que, como seu amigo Dr. Watson acreditava, coloca a detecção de crimes à beira de uma ciência exata.

É claro que Holmes exagerou um pouco a importância da dedução na ciência forense, mas seu raciocínio sobre o método dedutivo funcionou. "Dedução" de um termo especial conhecido apenas por alguns se transformou em um conceito comumente usado e até na moda. A popularização da arte do raciocínio correto e, acima de tudo, do raciocínio dedutivo, não é menos mérito de Holmes do que todos os crimes que ele descobriu. Ele conseguiu “dar à lógica o encanto de um sonho, abrindo caminho através do labirinto de cristal de deduções possíveis para uma única conclusão radiante” (V. Nabokov).

A dedução é um caso especial de inferência.

Num amplo sentido conclusão - uma operação lógica, como resultado da qual uma nova declaração é obtida de uma ou mais declarações aceitas (premissas) - uma conclusão (conclusão, consequência).

Dependendo se há uma conexão entre as premissas e a conclusão consequência lógica, existem dois tipos de inferências.

No centro raciocínio dedutivo reside uma lei lógica, em virtude da qual a conclusão segue com necessidade lógica das premissas aceitas.

Uma característica distintiva de tal inferência é que ela sempre leva de premissas verdadeiras a uma conclusão verdadeira.

NO raciocínio indutivo a conexão de premissas e conclusões não se baseia na lei da lógica, mas em alguns fundamentos factuais ou psicológicos que não têm caráter puramente formal.

Em tal conclusão, a conclusão não segue logicamente das premissas e pode conter informações que não estão presentes nelas. A veracidade das premissas não significa, portanto, a veracidade da afirmação indutivamente derivada delas. A indução dá apenas o provável, ou crível conclusões que requerem verificação adicional.

Exemplos de raciocínio dedutivo incluem:

Se chover, o chão está molhado. Está chovendo.

O chão está molhado.

Se o hélio é um metal, ele é eletricamente condutor. O hélio não é eletricamente condutor.

Hélio não é um metal.

A linha que separa as premissas da conclusão substitui, como de costume, a palavra "portanto".

O raciocínio pode servir como exemplos de indução:

A Argentina é uma república; O Brasil é uma república; A Venezuela é uma república; O Equador é uma república.

Argentina, Brasil, Venezuela, Equador são estados latino-americanos.

Todos os estados latino-americanos são repúblicas .

A Itália é uma república, Portugal é uma república, a Finlândia é uma república, a França é uma república.

Itália, Portugal, Finlândia, França - países da Europa Ocidental.

Todos os países da Europa Ocidental são repúblicas.

A indução não dá garantia total de obter uma nova verdade das já existentes. O máximo que pode ser discutido é um certo grau de probabilidade de a afirmação ser deduzida. Assim, as premissas do primeiro e do segundo raciocínio indutivo são verdadeiras, mas a conclusão do primeiro deles é verdadeira e a do segundo é falsa. De fato, todos os estados latino-americanos são repúblicas; mas entre os países da Europa Ocidental não há apenas repúblicas, mas também monarquias, como Inglaterra, Bélgica e Espanha.

inferência

Deduções especialmente características são transições lógicas do conhecimento geral para o conhecimento particular, como:

Todos os metais são plásticos. O cobre é um metal.

O cobre é plástico.

Em todos os casos em que é necessário considerar alguns fenômenos com base em uma regra geral já conhecida e tirar a conclusão necessária sobre esses fenômenos, concluímos na forma de dedução. Raciocínios que levam do conhecimento sobre uma parte dos objetos (conhecimento privado) ao conhecimento sobre todos os objetos de uma determinada classe (conhecimento geral) são induções típicas. Há sempre a possibilidade de que a generalização se revele precipitada e infundada (“Napoleão é um comandante; Suvorov é um comandante; portanto, cada pessoa é um comandante”).

Ao mesmo tempo, não se pode identificar a dedução com a passagem do geral para o particular, e a indução com a passagem do particular para o geral.

No raciocínio “Shakespeare escreveu sonetos; portanto, não é verdade que Shakespeare não escreveu sonetos” é uma dedução, mas não há transição do geral para o particular. O argumento "Se o alumínio é dúctil ou a argila é dúctil, então o alumínio é dúctil" é comumente considerado indutivo, mas não há transição do particular para o geral.

A dedução é a derivação de conclusões que são tão confiáveis ​​quanto as premissas aceitas, a indução é a derivação de conclusões prováveis ​​(plausíveis). As inferências indutivas incluem tanto as transições do particular para o geral, como também a analogia, os métodos para estabelecer relações causais, a confirmação das consequências, a justificação do alvo, etc.

O interesse especial demonstrado pelo raciocínio dedutivo é compreensível. Eles permitem obter novas verdades a partir do conhecimento existente e, além disso, com a ajuda do raciocínio puro, sem recorrer à experiência, intuição, bom senso, etc. é a probabilidade de uma conclusão verdadeira. Partindo de premissas verdadeiras e raciocinando dedutivamente, certamente obteremos conhecimento confiável em todos os casos.

Ao enfatizar a importância da dedução no processo de expansão e fundamentação do conhecimento, não se deve, no entanto, separá-la da indução e subestimar esta. Quase todas as proposições gerais, incluindo as leis científicas, são resultados da generalização indutiva. Nesse sentido, a indução é a base do nosso conhecimento. Ela não garante por si mesma sua veracidade e validade, mas gera conjecturas, as conecta com a experiência e, assim, confere a elas uma certa probabilidade, um grau mais ou menos alto de probabilidade. A experiência é a fonte e o fundamento do conhecimento humano. A indução, a partir do que é compreendido na experiência, é um meio necessário para sua generalização e sistematização.

LEIS LÓGICAS

Capítulo

O conceito de uma lei lógica

As leis lógicas formam a base do pensamento humano. Eles determinam quando outras declarações seguem logicamente de algumas declarações e representam aquela estrutura de ferro invisível sobre a qual o raciocínio consistente repousa e sem o qual se transforma em um discurso caótico e incoerente. Sem uma lei lógica, é impossível entender o que é uma consequência lógica e, portanto, o que é uma prova.

Correto, ou, como costumam dizer, pensamento lógico é pensar de acordo com as leis da lógica, de acordo com os padrões abstratos que são fixados por elas. Isso explica a importância dessas leis.

Leis lógicas homogêneas são combinadas em sistemas lógicos, que também são geralmente chamados de "lógicas". Cada um deles dá uma descrição da estrutura lógica de um certo fragmento, ou tipo, do nosso raciocínio.

Por exemplo, as leis que descrevem as conexões lógicas das proposições, que não dependem da estrutura interna destas últimas, são combinadas em um sistema chamado "lógica proposicional". As leis lógicas que determinam as conexões das proposições categóricas formam um sistema lógico chamado de "lógica das proposições categóricas", ou "silogística", etc.

As leis lógicas são objetivas e não dependem da vontade e da consciência de uma pessoa. Eles não são o resultado de um acordo entre as pessoas, alguma convenção especialmente projetada ou formada espontaneamente. Nem são filhos de algum tipo de "espírito do mundo", como Platão acreditava. O poder das leis da lógica sobre uma pessoa, sua força, que é obrigatória para o pensamento correto, deve-se ao fato de que elas representam um reflexo no pensamento humano do mundo real e a experiência secular de sua cognição e transformação por cara.

Como todas as outras leis científicas, as leis lógicas são universais e necessárias. Atuam sempre e em todos os lugares, espalhando-se igualmente para todas as pessoas e para qualquer época. Representantes

O conceito de uma lei lógica

diferentes nações e diferentes culturas, homens e mulheres, antigos egípcios e polinésios modernos, do ponto de vista da lógica de seu raciocínio, não diferem entre si.

A necessidade inerente às leis lógicas é, em certo sentido, ainda mais urgente e imutável do que a necessidade natural ou física. É impossível até mesmo imaginar que o logicamente necessário seria de outra forma. Se algo é contrário às leis da natureza e é fisicamente impossível, nenhum engenheiro, com todo o seu talento, será capaz de realizá-lo. Mas se algo contradiz as leis da lógica e é logicamente impossível, então não apenas um engenheiro - mesmo um ser onipotente, se de repente aparecesse, não poderia trazê-lo à vida.

Como mencionado anteriormente, no raciocínio correto, a conclusão segue das premissas com necessidade lógica, e o esquema geral de tal raciocínio é uma lei lógica.

O número de esquemas de raciocínio correto (leis lógicas) é infinito. Muitos desses esquemas nos são conhecidos pela prática do raciocínio. Nós as aplicamos intuitivamente, sem perceber que em cada conclusão correta que tiramos, esta ou aquela lei lógica é usada.

Antes de introduzir o conceito geral de uma lei lógica, damos vários exemplos de esquemas de raciocínio que são leis lógicas. Em vez das variáveis ​​A, B, C, ..., normalmente usadas para denotar declarações, usaremos, como se fazia na antiguidade, as palavras "primeiro" e "segundo", substituindo as variáveis.

“Se há um primeiro, então há um segundo; há o primeiro; portanto, há um segundo. Esse esquema de raciocínio nos permite passar do enunciado do enunciado condicional (“Se há um primeiro, então há um segundo”) e o enunciado de seu fundamento (“Há um primeiro”) ao enunciado da consequência (“Há um segundo”). De acordo com esse esquema, em particular, o raciocínio prossegue: “Se o gelo é aquecido, ele derrete; o gelo é aquecido; portanto, derrete."

Outro diagrama de raciocínio correto: “Ou o primeiro ou o segundo acontece; há o primeiro; então não há segundo. Por meio desse esquema, a partir de duas alternativas mutuamente exclusivas e estabelecendo qual delas ocorre, faz-se a transição para a negação da segunda alternativa. Por exemplo: “Ou Dostoiévski nasceu em Moscou ou nasceu em São Petersburgo. Dostoiévski nasceu em Moscou. Portanto, não é verdade que ele nasceu em São Petersburgo”. No faroeste americano The Good, the Bad and the Ugly, um vilão diz ao outro: “Lembre-se, o mundo é dividido em duas partes: aqueles que seguram um revólver e aqueles que cavam. Eu tenho um revólver agora, então pegue uma pá. Este raciocínio também se baseia no esquema indicado.

E um último exemplo preliminar de uma lei lógica, ou esquema geral de raciocínio correto: “Existe o primeiro ou o segundo. Mas não há primeiro. Assim acontece a segunda. Vamos substituir a expressão “É dia” em vez da expressão “primeiro”, e a afirmação “É noite” em vez do “segundo”. Do esquema abstrato tiramos o raciocínio: “Agora é o dia ou agora é a noite. Mas não é verdade que é dia.

Então é noite agora."

Estes são alguns esquemas simples de raciocínio correto, ilustrando o conceito de uma lei lógica. Centenas e centenas desses esquemas ficam em nossas cabeças, embora não percebamos. Com base neles, raciocinamos logicamente, ou corretamente.

Lei da lógica (lei lógica)- uma expressão que inclui apenas constantes e variáveis ​​lógicas em vez de partes significativas e é verdadeira em qualquer área de raciocínio.

Tome-se como exemplo de uma expressão composta apenas por variáveis ​​e constantes lógicas, a expressão: “Se A, então B; então se não A, então não B. As constantes lógicas aqui são os conectivos proposicionais "se, então" e "não". As variáveis ​​A e B representam algumas afirmações. Suponha que A seja a afirmação "Existe uma causa" e B a afirmação "Existe um efeito". Com este conteúdo específico, temos o raciocínio: “Se há uma causa, então há uma consequência; então se não há efeito, então não há causa. Suponha, ainda, que em vez de A, a afirmação "O número é divisível por seis" seja substituída, e em vez de B, a afirmação "O número é divisível por três". Com esse conteúdo específico, baseado no esquema em consideração, temos o raciocínio: “Se um número é divisível por seis, é divisível por três. Portanto, se um número não é divisível por três, não é divisível por seis." Quaisquer outras declarações que substituam as variáveis ​​A e B, se essas declarações forem verdadeiras, a conclusão tirada delas será verdadeira.

Em lógica, costuma-se fazer uma ressalva de que a área de objetos, sobre a qual se está argumentando e sobre a qual falam os enunciados substituídos na lei lógica, não pode ser vazia: deve conter pelo menos um objeto. Caso contrário, o raciocínio de acordo com o esquema, que é a lei da lógica, pode levar de premissas verdadeiras a uma conclusão falsa.

Por exemplo, das premissas verdadeiras “Todos os elefantes são animais” e “Todos os elefantes têm tromba”, de acordo com a lei da lógica, segue-se a conclusão verdadeira “Alguns animais têm tromba”. Mas se a área dos objetos em questão estiver vazia, seguir a lei da lógica não garante uma conclusão verdadeira com premissas verdadeiras. Discutiremos da mesma maneira, mas sobre as montanhas douradas. Vamos tirar uma conclusão: “Todas as montanhas douradas são montanhas; todas as montanhas douradas são douradas; portanto, algumas montanhas são douradas.” Ambas as premissas deste argumento são verdadeiras. Mas sua conclusão "Algumas montanhas são douradas" é claramente falsa: nenhuma montanha dourada existe.

O conceito de uma lei lógica

Assim, para o raciocínio baseado na lei da lógica, duas características são características:

Tal raciocínio sempre leva de premissas verdadeiras a conclusões verdadeiras;

A consequência segue das premissas com necessidade lógica.

A lei lógica também é chamada tautologia lógica.

tautologia lógica- uma expressão que permanece verdadeira, independentemente de quais objetos estão envolvidos, ou expressão "sempre verdadeira".

Por exemplo, todos os resultados de substituições na lei lógica da dupla negação "Se A, então é falso que não é A" são declarações verdadeiras: "Se a fuligem é preta, então é falso que não é preto", “Se uma pessoa treme de medo, então é falso que ela não treme de medo”, etc.

Como já mencionado, o conceito de lei lógica está diretamente relacionado ao conceito de consequência lógica: a conclusão segue logicamente das premissas aceitas, se estiver conectada a elas por uma lei lógica. Por exemplo, das premissas “Se A, então B” e “Se B, então C”, a conclusão “Se A, então C” segue logicamente, pois a expressão “Se A, então B, e se B, então C , então se A , então C" é uma lei lógica, ou seja, lei da transitividade(transitividade). Digamos, a partir das premissas "Se uma pessoa é pai, então é pai" e "Se uma pessoa é pai, então é pai ou mãe", segundo essa lei, segue o corolário: "Se um pessoa é pai, então é pai ou mãe."

seguimento lógico- a relação entre as premissas e a conclusão da inferência, cujo esquema geral é uma lei lógica.

Como a conexão da consequência lógica é baseada em uma lei lógica, ela é caracterizada por duas características:

A consequência lógica leva de premissas verdadeiras apenas a uma conclusão verdadeira;

A conclusão que se segue das premissas segue-se delas com necessidade lógica.

Nem todas as leis lógicas definem diretamente o conceito de consequência lógica. Existem leis que descrevem outras conexões lógicas: “e”, “ou”, “não é verdade que”, etc., e apenas indiretamente relacionadas à relação de consequência lógica. Tal, em particular, é a lei da contradição considerada a seguir: “Não é verdade que uma declaração tomada arbitrariamente e

Frases simples e complexas. Negação de uma declaração

A lógica matemática, cujas bases foram lançadas por G. Leibniz no século XVII, formou-se como disciplina científica apenas em meados do século XIX, graças ao trabalho dos matemáticos J. Boole e O. Morgan, que criaram a álgebra da lógica.

1. Um enunciado é qualquer sentença declarativa que se sabe ser verdadeira ou falsa. As declarações podem ser expressas usando palavras, bem como sinais matemáticos, químicos e outros. aqui estão alguns exemplos:

b) 2+6>8 (declaração falsa),

c) a soma dos números 2 e 6 é maior que o número 8 (falsa afirmação);

d) II + VI > VII (afirmação verdadeira);

e) dentro de nossa Galáxia existem civilizações extraterrestres (esta afirmação é, sem dúvida, verdadeira ou falsa, mas ainda não se sabe qual dessas possibilidades é verdadeira).

É claro que as afirmações b) ec) significam a mesma coisa, mas são expressas de forma diferente. Em geral, escreveremos afirmações como esta: a: (A lua é um satélite da Terra); b:(existe um número real x tal que 2x+5=15); c: (todos os triângulos são isósceles).

Nem toda frase é uma afirmação. Por exemplo, frases exclamativas e interrogativas não são declarações ("De que cor é esta casa?", "Beba suco de tomate!", "Pare!", etc.). Nem são declarações e definições, por exemplo, "Vamos chamar de mediana o segmento que liga o vértice do triângulo com o ponto médio do lado oposto." Aqui apenas o nome de algum objeto é definido. Assim as definições, mas podem ser verdadeiras ou falsas, apenas registram o uso aceito dos termos. As frases "Ele tem olhos cinzas" ou "x 2 - 4x + 3 \u003d 0" não são declarações - elas não indicam de que tipo de pessoa estão falando ou em que x consideram igualdade. Tais sentenças com um membro desconhecido (variável) são chamadas declarações indefinidas. Observe que a frase "Algumas pessoas têm olhos cinzentos" ou "Para todos x a igualdade x 2 - 4x + 3 = 0" já é uma afirmação (a primeira delas é verdadeira e a segunda é falsa).

2. Uma declaração que pode ser decomposta em partes será chamada de complexa, e uma declaração que não pode ser decomposta mais - simples. Por exemplo, a afirmação "Hoje às 16h eu estava na escola, e às 18h eu fui à pista de patinação" consiste em duas partes "Hoje às 16h eu estava na escola" e "Hoje às 18h eu fui ao pista de patinação ". Ou esta declaração: "a função y \u003d ax 2 + bx + c é contínua e diferenciável para todos os valores X" consiste em duas declarações simples: "A função y = ax 2 + bx + c é contínua para todos os valores de x" e "a função y = ax 2 + bx + c é diferenciável para todos os valores de x".

Assim como outros números podem ser obtidos a partir de números dados usando as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, também novas declarações são obtidas de declarações dadas usando operações que têm nomes especiais: conjunção, disjunção, implicação, equivalência, negação. Embora esses nomes pareçam incomuns, eles significam apenas a conhecida conexão de frases individuais com conectivos "e", "ou", "se ... então ...", "se e somente se ...", bem como como a adição das partículas "não" à declaração,

3. A negação de uma proposição a é tal que a é falsa se a for verdadeira e a é verdadeira se a for falsa. A designação a é lida assim: "Não a", ou "Não é verdade que a". Vamos tentar entender essa definição com exemplos. Considere as seguintes afirmações:

a: (Hoje às 12h eu estava na pista de patinação);

b: (Hoje eu estava na pista de patinação não às 12h);

c: (Eu estava na pista de patinação às 12h, hoje não);

d:(Hoje às 12h eu estava na escola);

e: (Hoje estive na pista de patinação às 15h);

f:(Hoje às 12h não estava na pista de patinação);

À primeira vista, todas as proposições b - f negam a proposição a. Mas na verdade não é. Se você ler atentamente o significado da afirmação b, notará que ambas as afirmações a e b podem se revelar falsas ao mesmo tempo - isso será assim se hoje eu não estivesse no rinque. O mesmo se aplica às afirmações a e c, a e a. E as afirmações a e e podem ser verdadeiras (se, por exemplo, eu estava patinando das 11 às 4 horas da tarde) e ao mesmo tempo falsas (se hoje eu não estava na pista ). E somente a proposição f tem a seguinte propriedade: é verdadeira se a proposição a for falsa, e falsa se a proposição a for verdadeira. Portanto, a afirmação f é a negação da afirmação a, ou seja, f = a. A tabela a seguir mostra o relacionamento entre as instruções a e ;

As letras "i" e "l" são abreviações para as palavras "true" e "false", respectivamente. Essas palavras em lógica são chamadas de valores de verdade. A tabela é chamada de tabela verdade.