Nos livros didáticos "antigos", também é chamada de regra da "cadeia". Então se y \u003d f (u), e u \u003d φ (x), isso é

y \u003d f (φ (x))

complexo - função composta (composição de funções) então

Onde , após o cálculo ser considerado em u = φ(x).

Observe que aqui tomamos composições "diferentes" das mesmas funções, e o resultado da diferenciação naturalmente acabou sendo dependente da ordem da "mistura".

A regra da cadeia se estende naturalmente à composição de três ou mais funções. Nesse caso, haverá três ou mais “elos” na “cadeia” que compõe a derivada, respectivamente. Aqui está uma analogia com a multiplicação: “temos” - uma tabela de derivadas; "lá" - tabuada de multiplicação; “com a gente” é uma regra da cadeia e “há” é uma regra de multiplicação com uma “coluna”. Ao calcular tais derivadas “complexas”, é claro, nenhum argumento auxiliar (u¸v, etc.) a ordem indicada.

. Aqui, são realizadas cinco operações com "x" para obter o valor de "y", ou seja, ocorre uma composição de cinco funções: "externa" (a última delas) - exponencial - e ; então na ordem inversa é uma lei de potência. (♦) 2 ; sen trigonométrico (); potência. () 3 e finalmente o logarítmico ln.(). É por isso

Os exemplos a seguir vão “matar pares de pássaros com uma cajadada só”: vamos praticar a diferenciação de funções complexas e complementar a tabela de derivadas de funções elementares. Então:

4. Para uma função de potência - y \u003d x α - reescrevendo-a usando a conhecida "identidade logarítmica básica" - b \u003d e ln b - na forma x α \u003d x α ln x, obtemos

5. Para uma função exponencial arbitrária, usando a mesma técnica, teremos

6. Para uma função logarítmica arbitrária, usando a conhecida fórmula de transição para uma nova base, obtemos sucessivamente

.

7. Para diferenciar a tangente (cotangente), usamos a regra de diferenciação do quociente:

Para obter derivadas de funções trigonométricas inversas, usamos a relação que é satisfeita pelas derivadas de duas funções mutuamente inversas, ou seja, as funções φ (x) ef (x) conectadas pelas relações:

Aqui está a proporção

É a partir desta fórmula para funções mutuamente inversas

e
,

No final, resumimos essas e algumas outras derivadas, de fácil obtenção, na tabela a seguir.

Se um g(x) e f(você) são funções diferenciáveis ​​de seus argumentos, respectivamente, nos pontos x e você= g(x), então a função complexa também é diferenciável no ponto x e é encontrado pela fórmula

Um erro típico na resolução de problemas sobre derivadas é a transferência automática das regras para diferenciar funções simples de funções complexas. Vamos aprender a evitar esse erro.

Exemplo 2 Encontre a derivada de uma função

Solução errada: calcule o logaritmo natural de cada termo entre parênteses e encontre a soma das derivadas:

A decisão certa: novamente determinamos onde está a "maçã" e onde está a "carne picada". Aqui, o logaritmo natural da expressão entre colchetes é a "maçã", ou seja, a função no argumento intermediário você, e a expressão entre parênteses é "carne picada", ou seja, um argumento intermediário você por variável independente x.

Então (usando a fórmula 14 da tabela de derivadas)

Em muitos problemas reais, a expressão com o logaritmo é um pouco mais complicada, e é por isso que há uma lição

Exemplo 3 Encontre a derivada de uma função

Solução errada:

A decisão certa. Mais uma vez, determinamos onde a "maçã" e onde a "carne picada". Aqui, o cosseno da expressão entre parênteses (fórmula 7 na tabela de derivadas) é "maçã", é cozido no modo 1, afetando apenas ele, e a expressão entre parênteses (a derivada do grau - número 3 no tabela de derivados) é "carne picada", é cozida no modo 2, afetando apenas ela. E como sempre, conectamos duas derivadas com um sinal de produto. Resultado:

A derivada de uma função logarítmica complexa é uma tarefa frequente em testes, por isso recomendamos fortemente que você visite a lição "Derivada de uma função logarítmica".

Os primeiros exemplos foram para funções complexas, nas quais o argumento intermediário sobre a variável independente era uma função simples. Mas em tarefas práticas muitas vezes é necessário encontrar a derivada de uma função complexa, onde o argumento intermediário é ele mesmo uma função complexa ou contém tal função. O que fazer nesses casos? Encontre derivadas de tais funções usando tabelas e regras de diferenciação. Quando a derivada do argumento intermediário é encontrada, ela é simplesmente substituída no lugar certo na fórmula. Abaixo estão dois exemplos de como isso é feito.

Além disso, é útil saber o seguinte. Se uma função complexa pode ser representada como uma cadeia de três funções

então sua derivada deve ser encontrada como o produto das derivadas de cada uma dessas funções:

Muitas de suas tarefas de casa podem exigir que você abra os tutoriais em novas janelas. Ações com poderes e raízes e Ações com frações .

Exemplo 4 Encontre a derivada de uma função

Aplicamos a regra de derivação de uma função complexa, não esquecendo que no produto resultante das derivadas, o argumento intermediário em relação à variável independente x não muda:

Preparamos o segundo fator do produto e aplicamos a regra para diferenciar a soma:

O segundo termo é a raiz, então

Assim, obteve-se que o argumento intermediário, que é a soma, contém uma função complexa como um dos termos: a exponenciação é uma função complexa, e o que é elevado a uma potência é um argumento intermediário por uma variável independente x.

Portanto, aplicamos novamente a regra de diferenciação de uma função complexa:

Transformamos o grau do primeiro fator em uma raiz e, diferenciando o segundo fator, não esquecemos que a derivada da constante é igual a zero:

Agora podemos encontrar a derivada do argumento intermediário necessário para calcular a derivada da função complexa exigida na condição do problema y:

Exemplo 5 Encontre a derivada de uma função

Primeiro, usamos a regra de derivar a soma:

Obtenha a soma das derivadas de duas funções complexas. Encontre o primeiro:

Aqui, elevar o seno a uma potência é uma função complexa, e o próprio seno é um argumento intermediário na variável independente x. Portanto, usamos a regra de diferenciação de uma função complexa, ao longo do caminho tirando o multiplicador dos colchetes :

Agora encontramos o segundo termo daqueles que formam a derivada da função y:

Aqui, elevar o cosseno a uma potência é uma função complexa f, e o próprio cosseno é um argumento intermediário em relação à variável independente x. Novamente, usamos a regra de diferenciação de uma função complexa:

O resultado é a derivada necessária:

Tabela de derivadas de algumas funções complexas

Para funções complexas, com base na regra de diferenciação de uma função complexa, a fórmula para a derivada de uma função simples assume uma forma diferente.

1. Derivada de uma função de potência complexa, onde você x
2. Derivada da raiz da expressão
3. Derivada da função exponencial
4. Caso especial da função exponencial
5. Derivada de uma função logarítmica com uma base positiva arbitrária uma
6. Derivada de uma função logarítmica complexa, onde vocêé uma função diferenciável do argumento x
7. Derivada de seno
8. Derivado de cosseno
9. Derivado tangente
10. Derivado de cotangente
11. Derivada do arco-seno
12. Derivada do arco cosseno
13. Derivada do arco tangente
14. Derivada da tangente inversa

É absolutamente impossível resolver problemas físicos ou exemplos em matemática sem conhecimento sobre a derivada e os métodos para calculá-la. A derivada é um dos conceitos mais importantes da análise matemática. Decidimos dedicar o artigo de hoje a este tema fundamental. O que é uma derivada, qual é o seu significado físico e geométrico, como calcular a derivada de uma função? Todas essas questões podem ser combinadas em uma: como entender a derivada?

Significado geométrico e físico da derivada

Seja uma função f(x) , dado em algum intervalo (a, b) . Os pontos x e x0 pertencem a este intervalo. Quando x muda, a própria função muda. Mudança de argumento - diferença de seus valores x-x0 . Essa diferença é escrita como delta x e é chamado de incremento de argumento. A mudança ou incremento de uma função é a diferença entre os valores da função em dois pontos. Definição derivada:

A derivada de uma função em um ponto é o limite da razão entre o incremento da função em um dado ponto e o incremento do argumento quando este tende a zero.

Caso contrário, pode ser escrito assim:

Qual é o ponto em encontrar tal limite? Mas qual deles:

a derivada de uma função em um ponto é igual à tangente do ângulo entre o eixo OX e a tangente ao gráfico da função em um determinado ponto.

O significado físico da derivada: a derivada temporal da trajetória é igual à velocidade do movimento retilíneo.

De fato, desde os tempos de escola, todos sabem que a velocidade é um caminho particular. x=f(t) e tempo t . Velocidade média durante um determinado período de tempo:

Para descobrir a velocidade do movimento de cada vez t0 você precisa calcular o limite:

Regra um: tire a constante

A constante pode ser retirada do sinal da derivada. Além disso, deve ser feito. Ao resolver exemplos em matemática, tome como regra - se você pode simplificar a expressão, certifique-se de simplificar .

Exemplo. Vamos calcular a derivada:

Regra dois: derivada da soma de funções

A derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas dessas funções. O mesmo vale para a derivada da diferença de funções.

Não daremos uma demonstração deste teorema, mas consideraremos um exemplo prático.

Encontre a derivada de uma função:

Regra três: a derivada do produto de funções

A derivada do produto de duas funções diferenciáveis ​​é calculada pela fórmula:

Exemplo: encontre a derivada de uma função:

Solução:

Aqui é importante dizer sobre o cálculo de derivadas de funções complexas. A derivada de uma função complexa é igual ao produto da derivada desta função em relação ao argumento intermediário pela derivada do argumento intermediário em relação à variável independente.

No exemplo acima, encontramos a expressão:

Nesse caso, o argumento intermediário é 8x elevado à quinta potência. Para calcular a derivada de tal expressão, primeiro consideramos a derivada da função externa em relação ao argumento intermediário e, em seguida, multiplicamos pela derivada do próprio argumento intermediário em relação à variável independente.

Regra Quatro: A derivada do quociente de duas funções

Fórmula para determinar a derivada de um quociente de duas funções:

Tentamos falar sobre derivativos para manequins do zero. Este tópico não é tão simples quanto parece, então esteja avisado: muitas vezes há armadilhas nos exemplos, então tenha cuidado ao calcular as derivadas.

Com qualquer dúvida sobre este e outros temas, você pode entrar em contato com o atendimento ao aluno. Em pouco tempo, vamos ajudá-lo a resolver o controle mais difícil e lidar com as tarefas, mesmo que você nunca tenha lidado com o cálculo de derivativos antes.

derivadas complexas. Derivada logarítmica.
Derivada da função exponencial

Continuamos a aprimorar nossa técnica de diferenciação. Nesta lição, consolidaremos o material abordado, consideraremos derivadas mais complexas e também conheceremos novos truques e truques para encontrar a derivada, em particular, a derivada logarítmica.

Aqueles leitores que têm um baixo nível de preparação devem consultar o artigo Como encontrar a derivada? Exemplos de soluções que permitirá que você aumente suas habilidades quase do zero. Em seguida, você precisa estudar cuidadosamente a página Derivada de uma função complexa, entenda e resolva tudo os exemplos que dei. Esta lição é logicamente a terceira consecutiva e, depois de dominá-la, você diferenciará com confiança funções bastante complexas. É indesejável manter a posição “Onde mais? Sim, e isso basta!”, já que todos os exemplos e soluções são retirados de testes reais e muitas vezes são encontrados na prática.

Vamos começar com a repetição. Na lição Derivada de uma função complexa consideramos vários exemplos com comentários detalhados. Ao estudar cálculo diferencial e outras seções de análise matemática, você terá que diferenciar com muita frequência, e nem sempre é conveniente (e nem sempre necessário) pintar exemplos com grande detalhe. Por isso, praticaremos na apuração oral dos derivados. Os "candidatos" mais adequados para isso são derivados das funções mais simples e complexas, por exemplo:

De acordo com a regra de diferenciação de uma função complexa :

Ao estudar outros tópicos de matan no futuro, um registro tão detalhado geralmente não é necessário, supõe-se que o aluno seja capaz de encontrar derivados semelhantes no piloto automático. Vamos imaginar que às 3 horas da manhã o telefone tocou e uma voz agradável perguntou: "Qual é a derivada da tangente de dois x?". Isso deve ser seguido por uma resposta quase instantânea e educada: .

O primeiro exemplo será imediatamente destinado a uma solução independente.

Exemplo 1

Encontre as seguintes derivadas oralmente, em uma etapa, por exemplo: . Para completar a tarefa, você só precisa usar tabela de derivadas de funções elementares(se ela ainda não se lembrou). Se você tiver alguma dificuldade, eu recomendo reler a lição Derivada de uma função complexa.

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Respostas no final da aula

Derivados complexos

Após a preparação preliminar da artilharia, os exemplos com 3-4-5 anexos de funções serão menos assustadores. Talvez os dois exemplos a seguir pareçam complicados para alguns, mas se forem compreendidos (alguém sofre), então quase tudo no cálculo diferencial parecerá brincadeira de criança.

Exemplo 2

Encontre a derivada de uma função

Como já observado, ao encontrar a derivada de uma função complexa, em primeiro lugar, é necessário certo ENTENDA OS INVESTIMENTOS. Nos casos em que há dúvidas, relembro um truque útil: tomamos o valor experimental "x", por exemplo, e tentamos (mentalmente ou em um rascunho) substituir esse valor na "expressão terrível".

1) Primeiro precisamos calcular a expressão, então a soma é o aninhamento mais profundo.

2) Então você precisa calcular o logaritmo:

4) Cubra o cosseno:

5) Na quinta etapa, a diferença:

6) E, finalmente, a função mais externa é a raiz quadrada:

Fórmula de Diferenciação de Função Complexa são aplicados na ordem inversa, da função mais externa para a mais interna. Nós decidimos:

Parece não haver erro...

(1) Tomamos a derivada da raiz quadrada.

(2) Derivamos a diferença usando a regra

(3) A derivada do triplo é igual a zero. No segundo termo, tomamos a derivada do grau (cubo).

(4) Tomamos a derivada do cosseno.

(5) Tomamos a derivada do logaritmo.

(6) Finalmente, tomamos a derivada do aninhamento mais profundo .

Pode parecer muito difícil, mas este não é o exemplo mais brutal. Tomemos, por exemplo, a coleção de Kuznetsov e você apreciará todo o charme e simplicidade da derivada analisada. Percebi que eles gostam de dar uma coisa parecida na prova para verificar se o aluno entende como encontrar a derivada de uma função complexa, ou não entende.

O exemplo a seguir é para uma solução autônoma.

Exemplo 3

Encontre a derivada de uma função

Dica: Primeiro aplicamos as regras de linearidade e a regra de diferenciação do produto

Solução completa e resposta no final da lição.

É hora de passar para algo mais compacto e mais bonito.
Não é incomum uma situação em que o produto de não duas, mas três funções é dado em um exemplo. Como encontrar a derivada do produto de três fatores?

Exemplo 4

Encontre a derivada de uma função

Primeiro, olhamos, mas é possível transformar o produto de três funções em um produto de duas funções? Por exemplo, se tivéssemos dois polinômios no produto, poderíamos abrir os colchetes. Mas neste exemplo, todas as funções são diferentes: grau, expoente e logaritmo.

Nesses casos, é necessário sucessivamente aplicar a regra de diferenciação do produto duas vezes

O truque é que para "y" denotamos o produto de duas funções: , e para "ve" - ​​o logaritmo:. Por que isso pode ser feito? É isso - isso não é produto de dois fatores e a regra não funciona?! Não há nada complicado:

Agora resta aplicar a regra uma segunda vez para colchete:

Você ainda pode perverter e tirar algo dos colchetes, mas nesse caso é melhor deixar a resposta neste formulário - será mais fácil verificar.

O exemplo acima pode ser resolvido da segunda maneira:

Ambas as soluções são absolutamente equivalentes.

Exemplo 5

Encontre a derivada de uma função

Este é um exemplo para uma solução independente, na amostra ela é resolvida da primeira maneira.

Considere exemplos semelhantes com frações.

Exemplo 6

Encontre a derivada de uma função

Aqui você pode ir de várias maneiras:

Ou assim:

Mas a solução pode ser escrita de forma mais compacta se, antes de tudo, usarmos a regra de diferenciação do quociente , tomando para o numerador inteiro:

Em princípio, o exemplo está resolvido e, se for deixado dessa forma, não será um erro. Mas se você tiver tempo, é sempre aconselhável verificar um rascunho, mas é possível simplificar a resposta? Trazemos a expressão do numerador para um denominador comum e livrar-se da fração de três andares:

A desvantagem de simplificações adicionais é que existe o risco de errar não ao encontrar uma derivada, mas ao banalizar as transformações escolares. Por outro lado, os professores muitas vezes rejeitam a tarefa e pedem para “lembrar” a derivada.

Um exemplo mais simples para uma solução faça você mesmo:

Exemplo 7

Encontre a derivada de uma função

Continuamos a dominar as técnicas para encontrar a derivada, e agora vamos considerar um caso típico em que um logaritmo “terrível” é proposto para diferenciação

Exemplo 8

Encontre a derivada de uma função

Aqui você pode percorrer um longo caminho, usando a regra de diferenciação de uma função complexa:

Mas o primeiro passo imediatamente o mergulha no desânimo - você tem que tomar uma derivada desagradável de um grau fracionário e depois também de uma fração.

É por isso antes da como derivar o logaritmo “fantasioso”, ele é previamente simplificado usando propriedades escolares bem conhecidas:

! Se você tiver um caderno de exercícios à mão, copie essas fórmulas ali mesmo. Se você não tiver um caderno, desenhe-os em um pedaço de papel, pois o restante dos exemplos da lição girará em torno dessas fórmulas.

A solução em si pode ser formulada assim:

Vamos transformar a função:

Encontramos a derivada:

A transformação preliminar da própria função simplificou bastante a solução. Assim, quando se propõe um logaritmo semelhante para a diferenciação, é sempre aconselhável “decompô-lo”.

E agora alguns exemplos simples para uma solução independente:

Exemplo 9

Encontre a derivada de uma função

Exemplo 10

Encontre a derivada de uma função

Todas as transformações e respostas no final da lição.

derivada logarítmica

Se a derivada dos logaritmos é uma música tão doce, então surge a pergunta: é possível, em alguns casos, organizar o logaritmo artificialmente? Posso! E até necessário.

Exemplo 11

Encontre a derivada de uma função

Exemplos semelhantes que consideramos recentemente. O que fazer? Pode-se aplicar sucessivamente a regra de diferenciação do quociente e depois a regra de diferenciação do produto. A desvantagem desse método é que você obtém uma enorme fração de três andares, com a qual você não quer lidar.

Mas na teoria e na prática existe uma coisa tão maravilhosa quanto a derivada logarítmica. Os logaritmos podem ser organizados artificialmente "pendurando-os" em ambos os lados:

Observação : Porque função pode ter valores negativos, então, de um modo geral, você precisa usar módulos: , que desaparecem como resultado da diferenciação. No entanto, o projeto atual também é aceitável, onde por padrão o complexo valores. Mas se com todo o rigor, então em ambos os casos é necessário fazer uma ressalva que.

Agora você precisa “decompor” o logaritmo do lado direito o máximo possível (fórmulas na frente de seus olhos?). Vou descrever este processo em grande detalhe:

Vamos começar com a diferenciação.
Concluímos ambas as partes com um traço:

A derivada do lado direito é bem simples, não vou comentar sobre ela, pois se você estiver lendo este texto, deverá conseguir manuseá-la com confiança.

E o lado esquerdo?

Do lado esquerdo temos função complexa. Prevejo a pergunta: “Por que há uma letra “y” sob o logaritmo?”.

O fato é que essa “uma letra y” - É UMA FUNÇÃO EM SI(se não estiver muito claro, consulte o artigo Derivada de uma função especificada implicitamente). Portanto, o logaritmo é uma função externa e "y" é uma função interna. E usamos a regra de diferenciação de funções compostas :

Do lado esquerdo, como por mágica, temos uma derivada. Além disso, de acordo com a regra da proporção, jogamos o “y” do denominador do lado esquerdo para o topo do lado direito:

E agora nos lembramos de que tipo de função "jogo" falamos ao diferenciar? Vejamos a condição:

Resposta final:

Exemplo 12

Encontre a derivada de uma função

Este é um exemplo de faça você mesmo. Exemplo de design de um exemplo desse tipo no final da lição.

Com a ajuda da derivada logarítmica, foi possível resolver qualquer um dos exemplos nº 4-7, outra coisa é que as funções ali são mais simples, e, talvez, o uso da derivada logarítmica não seja muito justificado.

Derivada da função exponencial

Ainda não consideramos essa função. Uma função exponencial é uma função que tem e o grau e a base dependem de "x". Um exemplo clássico que será dado a você em qualquer livro ou em qualquer palestra:

Como encontrar a derivada de uma função exponencial?

É necessário usar a técnica que acabamos de considerar - a derivada logarítmica. Penduramos logaritmos em ambos os lados:

Como regra, o grau é retirado do logaritmo no lado direito:

Como resultado, do lado direito temos um produto de duas funções, que serão diferenciadas de acordo com a fórmula padrão .

Encontramos a derivada, para isso colocamos ambas as partes sob traços:

Os próximos passos são fáceis:

Finalmente:

Se alguma transformação não estiver totalmente clara, por favor, releia as explicações do Exemplo 11 com atenção.

Em tarefas práticas, a função exponencial será sempre mais complicada do que o exemplo de aula considerado.

Exemplo 13

Encontre a derivada de uma função

Usamos a derivada logarítmica.

No lado direito temos uma constante e o produto de dois fatores - "x" e "logaritmo do logaritmo de x" (outro logaritmo está aninhado sob o logaritmo). Ao diferenciar uma constante, como lembramos, é melhor tirá-la imediatamente do sinal da derivada para que ela não atrapalhe; e, claro, aplicar a regra familiar :

Funções complexas nem sempre se encaixam na definição de uma função complexa. Se houver uma função da forma y \u003d sin x - (2 - 3) a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, ela não pode ser considerada complexa, ao contrário de y \u003d sin 2 x.

Este artigo mostrará o conceito de função complexa e sua identificação. Vamos trabalhar com fórmulas para encontrar a derivada com exemplos de soluções na conclusão. O uso da tabela de derivadas e as regras de diferenciação reduzem significativamente o tempo para encontrar a derivada.

Definições básicas

Definição 1

Uma função complexa é uma função cujo argumento também é uma função.

É denotado desta forma: f (g (x)) . Temos que a função g (x) é considerada um argumento f (g (x)) .

Definição 2

Se existe uma função f e é uma função cotangente, então g(x) = ln x é a função logarítmica natural. Obtemos que a função complexa f (g (x)) será escrita como arctg (lnx). Ou uma função f, que é uma função elevada à 4ª potência, onde g (x) \u003d x 2 + 2 x - 3 é considerada uma função racional inteira, obtemos que f (g (x)) \u003d (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Obviamente g(x) pode ser complicado. A partir do exemplo y \u003d sin 2 x + 1 x 3 - 5, pode-se ver que o valor de g tem uma raiz cúbica com uma fração. Esta expressão pode ser denotada como y = f (f 1 (f 2 (x))) . De onde temos que f é uma função seno, e f 1 é uma função localizada sob a raiz quadrada, f 2 (x) \u003d 2 x + 1 x 3 - 5 é uma função racional fracionária.

Definição 3

O grau de aninhamento é definido por qualquer número natural e é escrito como y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))))) .

Definição 4

O conceito de composição de funções refere-se ao número de funções aninhadas de acordo com o enunciado do problema. Para a solução, a fórmula para encontrar a derivada de uma função complexa da forma

(f(g(x)))"=f"(g(x)) g"(x)

Exemplos

Exemplo 1

Encontre a derivada de uma função complexa da forma y = (2 x + 1) 2 .

Solução

Por convenção, f é uma função quadrada e g(x) = 2 x + 1 é considerada uma função linear.

Aplicamos a fórmula da derivada para uma função complexa e escrevemos:

f "(g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g "(x) = (2x + 1)" = (2x)" + 1" = 2 x" + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f(g(x))) "=f" ( g(x)) g"(x) = 2 (2x + 1) 2 = 8x + 4

É necessário encontrar uma derivada com uma forma inicial simplificada da função. Nós temos:

y = (2x + 1) 2 = 4x2 + 4x + 1

Daí temos que

y"=(4x2+4x+1)"=(4x2)"+(4x)"+1"=4(x2)"+4(x)"+0==4 2 x 2 - 1 + 4 1 x 1 - 1 = 8x + 4

Os resultados combinaram.

Ao resolver problemas desse tipo, é importante entender onde a função da forma f e g (x) estará localizada.

Exemplo 2

Você deve encontrar as derivadas de funções complexas da forma y \u003d sin 2 x e y \u003d sin x 2.

Solução

A primeira entrada da função diz que f é a função quadrática e g(x) é a função seno. Então obtemos isso

y "= (sen 2 x)" = 2 sen 2 - 1 x (sen x)" = 2 sen x cos x

A segunda entrada mostra que f é uma função seno e g (x) = x 2 denota a função potência. Segue que o produto de uma função complexa pode ser escrito como

y " \u003d (sen x 2) " \u003d cos (x 2) (x 2) " \u003d cos (x 2) 2 x 2 - 1 \u003d 2 x cos (x 2)

A fórmula para a derivada y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))))) será escrita como y "= f" (f 1 (f 2 (f 3) (. . . (f n (x)))))) f 1 "(f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )))). . . f n "(x)

Exemplo 3

Encontre a derivada da função y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) .

Solução

Este exemplo mostra a complexidade de escrever e determinar a localização das funções. Então y \u003d f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) denota, onde f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) é a função seno, a função de elevar a 3 graus, uma função com logaritmo e base e, uma função do arco tangente e uma função linear.

Da fórmula para a definição de uma função complexa, temos que

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x)

Obtendo o que encontrar

1. f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) como a derivada do seno na tabela de derivadas, então f "(f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x) ))))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) como uma derivada de uma função de potência, então f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x))))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 "(f 3 (f 4 (x))) como uma derivada logarítmica, então f 2 "(f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 "(f 4 (x)) como uma derivada do arco tangente, então f 3 "(f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Ao encontrar a derivada f 4 (x) \u003d 2 x, tire 2 do sinal da derivada usando a fórmula para a derivada da função potência com um expoente que é 1, então f 4 "(x) \u003d ( 2 x)" \u003d 2 x "\u003d 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Combinamos os resultados intermediários e obtemos que

y "= f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) f 1 "(f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 "(f 3 (f) 4 (x))) f 3 "(f 4 (x)) f 4" (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

A análise de tais funções assemelha-se a bonecas aninhadas. As regras de diferenciação nem sempre podem ser aplicadas explicitamente usando uma tabela derivada. Muitas vezes você precisa aplicar a fórmula para encontrar derivadas de funções complexas.

Existem algumas diferenças entre uma visão complexa e uma função complexa. Com uma capacidade clara de distinguir isso, encontrar derivativos será especialmente fácil.

Exemplo 4

É necessário considerar em trazer tal exemplo. Se existe uma função da forma y = t g 2 x + 3 t g x + 1 , então ela pode ser considerada como uma função complexa da forma g (x) = t g x , f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Obviamente, é necessário aplicar a fórmula para a derivada complexa:

f "(g (x)) \u003d (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " \u003d (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " == 2 g 2 - 1 (x) + 3 g "(x) + 0 \u003d 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) \u003d \u003d 2 g (x) + 3 \u003d 2 t g x + 3; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Uma função da forma y = t g x 2 + 3 t g x + 1 não é considerada complexa, pois tem a soma t g x 2 , 3 t g x e ​​1 . No entanto, t g x 2 é considerada uma função complexa, então obtemos uma função de potência da forma g (x) \u003d x 2 e f, que é uma função da tangente. Para fazer isso, você precisa diferenciar pelo valor. Nós entendemos isso

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Vamos passar para encontrar a derivada de uma função complexa (t g x 2) ":

f "(g (x)) = (t g (g (x)))" = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g "(x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 \u003d 2 x ⇒ (t g x 2) " \u003d f " (g (x)) g " (x) \u003d 2 x cos 2 (x 2)

Obtemos que y "= (t g x 2 + 3 t g x + 1)" = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funções complexas podem ser incluídas em funções complexas, e as próprias funções complexas podem ser funções complexas da forma complexa.

Exemplo 5

Por exemplo, considere uma função complexa da forma y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Esta função pode ser representada como y = f (g (x)) , onde o valor de f é uma função do logaritmo de base 3, e g (x) é considerado a soma de duas funções da forma h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 ek (x) = ln 2 x (x 2 + 1) . Obviamente, y = f (h (x) + k (x)) .

Considere a função h(x) . Esta é a razão de l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 para m (x) = e x 2 + 3 3

Temos que l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) é a soma de duas funções n (x) = x 2 + 7 e p ​​( x) \u003d 3 cos 3 (2 x + 1) , onde p (x) \u003d 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) é uma função complexa com um coeficiente numérico de 3 e p 1 é uma função cubo, p 2 função cosseno, p 3 (x) = 2 x + 1 - função linear.

Descobrimos que m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) é a soma de duas funções q (x) = e x 2 e r (x) = 3 3 , onde q (x) = q 1 (q 2 (x)) é uma função complexa, q 1 é uma função com um expoente, q 2 (x) = x 2 é uma função de potência.

Isso mostra que h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Ao passar para uma expressão da forma k (x) \u003d ln 2 x (x 2 + 1) \u003d s (x) t (x), fica claro que a função é apresentada na forma de um complexo s ( x) \u003d ln 2 x \u003d s 1 ( s 2 (x)) com inteiro racional t (x) = x 2 + 1, onde s 1 é a função quadrática e s 2 (x) = ln x é logarítmica com base e.

Segue-se que a expressão terá a forma k (x) = s (x) t (x) = s 1 (s 2 (x)) t (x) .

Então obtemos isso

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

De acordo com as estruturas da função, ficou claro como e quais fórmulas devem ser aplicadas para simplificar a expressão quando ela é diferenciada. Para se familiarizar com tais problemas e entender sua solução, é necessário referir-se ao ponto de diferenciação de uma função, ou seja, encontrar sua derivada.

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