Nesta lição, veremos os recursos funções inversas e repita funções trigonométricas inversas. Separadamente, serão consideradas as propriedades de todas as principais funções trigonométricas inversas: arco-seno, arco-cosseno, arco-tangente e arco-tangente.
Esta lição irá ajudá-lo a se preparar para um dos tipos de tarefas. ÀS 7 e C1.
Preparação para o exame de matemática
Experimentar
Lição 9
Teoria
Resumo da lição
Lembre-se de quando nos deparamos com um conceito como uma função inversa. Por exemplo, considere a função quadrática. Suponha que temos uma sala quadrada com lados de 2 metros e queremos calcular sua área. Para fazer isso, de acordo com a fórmula de economia de quadrados, elevamos ao quadrado um deuce e, como resultado, obtemos 4 m 2. Agora imagine o problema inverso: sabemos a área de uma sala quadrada e queremos encontrar os comprimentos de seus lados. Se soubermos que a área ainda é a mesma de 4 m 2, realizaremos a ação inversa ao quadrado - extraindo a raiz quadrada aritmética, que nos dará um valor de 2 m.
Assim, para a função de elevar ao quadrado um número, a função inversa é extrair a raiz quadrada aritmética.
Especificamente, neste exemplo, não tivemos problemas em calcular o lado da sala, porque entendemos que este é um número positivo. No entanto, se nos afastarmos desse caso e considerarmos o problema de maneira mais geral: “Calcular um número cujo quadrado é quatro”, encontraremos um problema - existem dois desses números. Estes são 2 e -2, porque também é igual a quatro. Acontece que o problema inverso no caso geral é resolvido de forma ambígua, e a ação de determinar o número, que ao quadrado deu o número conhecido por nós? tem dois resultados. É conveniente mostrar isso em um gráfico:
 |
E isso significa que não podemos chamar tal lei de correspondência de números de função, pois para uma função um valor do argumento corresponde a estritamente um valor da função.
Para introduzir exatamente a função inversa ao quadrado, foi proposto o conceito de raiz quadrada aritmética, que dá apenas valores não negativos. Aqueles. para uma função, a função inversa é considerada .
Da mesma forma, existem funções inversas a trigonométricas, elas são chamadas funções trigonométricas inversas. Cada uma das funções que consideramos tem sua própria inversa, elas são chamadas: arco-seno, arco-cosseno, arco-tangente e arco-tangente.
Essas funções resolvem o problema de calcular ângulos a partir de um valor conhecido de uma função trigonométrica. Por exemplo, usando a tabela de valores das principais funções trigonométricas, você pode calcular o seno de qual ângulo é igual. Encontramos esse valor na linha dos senos e determinamos a qual ângulo ele corresponde. A primeira coisa que você quer responder é que este é um ângulo ou, mas se você tiver uma tabela de valores, notará imediatamente outro candidato à resposta - este é um ângulo ou. E se nos lembrarmos do período do seno, entenderemos que há um número infinito de ângulos nos quais o seno é igual. E tal conjunto de valores de ângulos correspondentes a um determinado valor da função trigonométrica também será observado para cossenos, tangentes e cotangentes, porque todos eles têm periodicidade.
Aqueles. nos deparamos com o mesmo problema que tivemos de calcular o valor do argumento do valor da função para a ação ao quadrado. E neste caso, para funções trigonométricas inversas, foi introduzida uma limitação no intervalo de valores que eles fornecem ao calcular. Esta propriedade de tais funções inversas é chamada estreitamento de alcance, e é necessário para que possam ser chamadas de funções.
Para cada uma das funções trigonométricas inversas, o intervalo de ângulos que ela retorna tem seus próprios, e vamos considerá-los separadamente. Por exemplo, o arco seno retorna valores de ângulo no intervalo de a .
A capacidade de trabalhar com funções trigonométricas inversas será útil para resolvermos equações trigonométricas.
Agora vamos indicar as principais propriedades de cada uma das funções trigonométricas inversas. Quem quiser conhecê-los com mais detalhes, consulte o capítulo "Solução de equações trigonométricas" no programa da 10ª série.
Considere as propriedades da função arco-seno e trace seu gráfico.
Definição.O arco-seno de um númerox
As principais propriedades do arco-seno:
1) 
no ,
2) 
no .
As principais propriedades da função arco-seno:
1) Domínio de definição 
;
2) Faixa de valores 
;
3) A função é ímpar. É desejável lembrar esta fórmula separadamente, pois é útil para transformações. Observe também que a estranheza implica a simetria do gráfico da função em relação à origem;
Vamos construir um gráfico da função:
Observe que nenhuma das seções do gráfico da função se repete, o que significa que o arco-seno não é uma função periódica, ao contrário do seno. O mesmo se aplica a todas as outras funções de arco.
Considere as propriedades da função arcoseno e construa seu gráfico.
Definição.Arco cosseno de um númerox chame o valor do ângulo y para o qual . Além disso, como restrições aos valores do seno, mas como uma faixa selecionada de ângulos.
As principais propriedades do arco cosseno:
1) 
no ,
2) 
no .
As principais propriedades da função arccosine:
1) Domínio de definição ;
2) Faixa de valores;
3) A função não é nem par nem ímpar, ou seja. visão geral 
. Também é desejável lembrar esta fórmula, será útil para nós mais tarde;
4) A função é monotonicamente decrescente.
Vamos construir um gráfico da função:
Considere as propriedades da função arco-tangente e trace seu gráfico.
Definição.Arco tangente de um númerox chame o valor do ângulo y para o qual . Além disso, desde não há restrições nos valores da tangente, mas como uma faixa selecionada de ângulos.
As principais propriedades da tangente do arco:
1) 
no ,
2) 
no .
As principais propriedades da função arco-tangente:
1) Domínio de definição;
2) Faixa de valores 
;
3) A função é ímpar 
. Esta fórmula também é útil, como outras semelhantes. Como no caso do arco-seno, a estranheza implica a simetria do gráfico da função em relação à origem;
4) A função é monotonicamente crescente.
Vamos construir um gráfico da função:
Funções trigonométricas inversas(funções circulares, funções de arco) - funções matemáticas que são inversas às funções trigonométricas.
Estes geralmente incluem 6 funções:
- arco-seno(símbolo: arco seno x; arco seno xé o ângulo pecado que é igual a x),
- arcosine(símbolo: arcos x; arcos xé o ângulo cujo cosseno é igual a x e assim por diante),
- arco tangente(símbolo: arco x ou arctan x),
- arco tangente(símbolo: arco x ou arcot x ou arcotan x),
- secante(símbolo: arcsec x),
- arco-secante(símbolo: arcosec x ou arcsc x).
Arcsine (y = arco seno x) é a função inversa de pecado (x = senoidal 
. Em outras palavras, retorna o ângulo pelo seu valor pecado.
Arco cosseno (y = arcos x) é a função inversa de porque (x = cosy porque.
Arctangente (y = arctan x) é a função inversa de tg (x = tg), que tem um domínio de definição e um conjunto de valores 
. Em outras palavras, retorna o ângulo pelo seu valor tg.
Arco tangente (y = arcctg x) é a função inversa de ctg (x = ctg y), que possui um domínio de definição e um conjunto de valores. Em outras palavras, retorna o ângulo pelo seu valor ctg.
segundo de arco- arcsecant, retorna o ângulo pelo valor de sua secante.
arcosec- arcossecante, retorna o ângulo pelo valor de sua cossecante.
Quando a função trigonométrica inversa não estiver definida no ponto especificado, seu valor não aparecerá na tabela resultante. Funções segundo de arco e arcosec não são definidos no segmento (-1,1), mas arco pecado e arcos são definidos apenas no intervalo [-1,1].
O nome da função trigonométrica inversa é formado a partir do nome da função trigonométrica correspondente, adicionando o prefixo "ark-" (de lat. arco nós- arco). Isso se deve ao fato de que geometricamente o valor da função trigonométrica inversa está associado ao comprimento do arco de um círculo unitário (ou ao ângulo que subtende esse arco), que corresponde a um ou outro segmento.
Às vezes na literatura estrangeira, bem como em calculadoras científicas / de engenharia, eles usam notações como pecado -1, cos-1 para o arco-seno, arco-seno e similares - isso é considerado não completamente preciso, porque provável confusão com elevar uma função a uma potência −1 (« −1 » (menos a primeira potência) define a função x=f-1(y), o inverso da função y=f(x)).
Relações básicas de funções trigonométricas inversas.
Aqui é importante prestar atenção aos intervalos para os quais as fórmulas são válidas.
Fórmulas que relacionam funções trigonométricas inversas.
Denote qualquer um dos valores de funções trigonométricas inversas através Arcsin x, Arcos x, Arctan x, Arccot x e mantenha a notação: arco seno x, arcos x, arctan x, arcot x para seus valores principais, então a relação entre eles é expressa por tais relações.
Como as funções trigonométricas são periódicas, as funções inversas a elas não são de valor único. Então, a equação y = pecado x, para dado , tem infinitas raízes. De fato, devido à periodicidade do seno, se x é uma tal raiz, então x + 2n(onde n é um inteiro) também será a raiz da equação. Nesse caminho, funções trigonométricas inversas são multivaloradas. Para facilitar o trabalho com eles, é introduzido o conceito de seus principais valores. Considere, por exemplo, o seno: y = pecado x. Se limitarmos o argumento x ao intervalo , então nele a função y = pecado x aumenta monotonicamente. Portanto, tem uma função inversa de valor único, que é chamada de arco-seno: x = arco seno y.
Salvo indicação em contrário, as funções trigonométricas inversas significam seus valores principais, que são definidos pelas seguintes definições.
Arcsine ( y= arco seno x) é a função inversa do seno ( x= sinuoso
Arco cosseno ( y= arcos x) é a função inversa do cosseno ( x= aconchegante) que possui um domínio de definição e um conjunto de valores.
Arctangente ( y= arco x) é a função inversa da tangente ( x= tg y) que possui um domínio de definição e um conjunto de valores.
Arco tangente ( y= arco x) é a função inversa da cotangente ( x= ctg y) que possui um domínio de definição e um conjunto de valores.
Gráficos de funções trigonométricas inversas
Gráficos de funções trigonométricas inversas são obtidos a partir de gráficos de funções trigonométricas por reflexão no espelho em relação à reta y = x. Consulte as seções Seno, cosseno, Tangente, cotangente.
y= arco seno x
y= arcos x
y= arco x
y= arco x
Fórmulas básicas
Aqui devemos prestar atenção especial aos intervalos para os quais as fórmulas são válidas.
arcsin(sen x) = x no
sin(arcsin x) = x
arcos(cos x) = x no
cos(arcos x) = x
arctg(tg x) = x no
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x no
ctg(arctg x) = x
Fórmulas que relacionam funções trigonométricas inversas
Veja também: Derivação de fórmulas para funções trigonométricas inversasFórmulas de soma e diferença
em ou
em e
em e
em ou
em e
em e
no
no
no
no
no
no
no
no
no
no
Referências:
DENTRO. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes de Instituições de Ensino Superior, Lan, 2009.
Funções trigonométricas inversas são arco-seno, arco-cosseno, arco-tangente e arco-tangente.
Vamos dar definições primeiro.
arco-seno Ou, podemos dizer que este é um tal ângulo pertencente ao segmento cujo seno é igual ao número a.
Arco cosseno o número a é chamado de número tal que
Arctangente o número a é chamado de número tal que
Arco tangente o número a é chamado de número tal que
Vamos falar em detalhes sobre essas quatro novas funções para nós - trigonométricas inversas.
Lembre-se, já nos encontramos com .
Por exemplo, a raiz quadrada aritmética de a é um número não negativo cujo quadrado é a.
O logaritmo do número b na base a é um número c tal que
Em que
Entendemos por que os matemáticos tiveram que “inventar” novas funções. Por exemplo, as soluções para uma equação são e Não poderíamos escrevê-las sem o símbolo especial da raiz quadrada aritmética.
O conceito de logaritmo acabou sendo necessário para escrever soluções, por exemplo, para tal equação: A solução para esta equação é um número irracional. Este é o expoente ao qual 2 deve ser elevado para obter 7.
É o mesmo com as equações trigonométricas. Por exemplo, queremos resolver a equação
É claro que suas soluções correspondem a pontos no círculo trigonométrico, cuja ordenada é igual a E é claro que este não é um valor tabular do seno. Como anotar soluções?
Aqui não podemos prescindir de uma nova função denotando o ângulo cujo seno é igual a um dado número a. Sim, todo mundo já adivinhou. Este é o arco-seno.
O ângulo pertencente ao segmento cujo seno é igual é o arco seno de um quarto. E assim, a série de soluções para nossa equação, correspondente ao ponto certo no círculo trigonométrico, é
E a segunda série de soluções para nossa equação é
Mais sobre como resolver equações trigonométricas -.
Resta esclarecer - por que é indicado na definição do arco-seno que este é um ângulo pertencente ao segmento?
O fato é que existem infinitos ângulos cujo seno é, por exemplo, . Precisamos escolher um deles. Escolhemos aquele que está no segmento.
Dê uma olhada no círculo trigonométrico. Você verá que no segmento, cada canto corresponde a um determinado valor do seno, e apenas um. E vice-versa, qualquer valor do seno do segmento corresponde a um único valor do ângulo do segmento. Isso significa que no segmento você pode definir uma função que leva valores de a
Vamos repetir a definição novamente:
O arco-seno de a é o número , de tal modo que
Designação: A área de definição do arco-seno é um segmento. O intervalo de valores é um segmento.
Você pode se lembrar da frase "arxins vivem à direita". Só não esquecemos que não apenas à direita, mas também no segmento .
Estamos prontos para representar graficamente a função
Como de costume, marcamos os valores x no eixo horizontal e os valores y no eixo vertical.
Como , portanto, x está entre -1 e 1.
Portanto, o domínio da função y = arcsin x é o segmento
Dissemos que y pertence ao segmento . Isso significa que o alcance da função y = arcsin x é o segmento .
Observe que o gráfico da função y=arcsinx é todo colocado na área delimitada por linhas e
Como sempre ao plotar uma função desconhecida, vamos começar com uma tabela.
Por definição, o arco seno de zero é um número do segmento cujo seno é zero. Qual é esse número? - É claro que isso é zero.
Da mesma forma, o arco-seno de um é o número do segmento cujo seno é igual a um. Obviamente isso
Continuamos: - este é um número do segmento, cujo seno é igual a. Sim isso
| 0 | |||||
| 0 |
Construímos um gráfico de função
Propriedades da função
1. Domínio de definição
2. Faixa de valores
3. , ou seja, esta função é ímpar. Seu gráfico é simétrico em relação à origem.
4. A função é monotonicamente crescente. Seu menor valor, igual a - , é alcançado em , e seu maior valor, igual a , em
5. O que os gráficos de funções e têm em comum? Você não acha que eles são "feitos de acordo com o mesmo padrão" - exatamente como o ramo direito da função e o gráfico da função, ou como os gráficos das funções exponencial e logarítmica?
Imagine que recortamos um pequeno fragmento de para de uma onda senoidal comum e, em seguida, o giramos verticalmente - e obtemos o gráfico arcsine.
O fato de que para a função neste intervalo são os valores do argumento, então para o arcsine haverá os valores da função. É assim que deve ser! Afinal, seno e arco seno são funções mutuamente inversas. Outros exemplos de pares de funções mutuamente inversas são para e , e as funções exponencial e logarítmica.
Lembre-se de que os gráficos de funções mutuamente inversas são simétricos em relação à linha reta
Da mesma forma, definimos a função.Somente o segmento que precisamos é aquele em que cada valor do ângulo corresponde ao seu próprio valor de cosseno, e conhecendo o cosseno, podemos encontrar o ângulo de forma única. Precisamos de um corte
O arco cosseno de a é o número , de tal modo que
É fácil lembrar: “arco cossenos vivem de cima”, e não apenas de cima, mas de um segmento
Designação: Área de definição do arco cosseno - segmento Faixa de valores - segmento
Obviamente, o segmento é escolhido porque nele cada valor de cosseno é tomado apenas uma vez. Em outras palavras, cada valor de cosseno, de -1 a 1, corresponde a um único valor de ângulo do intervalo
O arcoseno não é uma função par nem ímpar. Em vez disso, podemos usar a seguinte relação óbvia:
Vamos plotar a função
Precisamos de uma seção da função onde ela seja monotônica, ou seja, cada um de seus valores receba exatamente uma vez.
Vamos escolher um segmento. Nesse segmento, a função diminui monotonicamente, ou seja, a correspondência entre os conjuntos é injetora. Cada valor x tem seu próprio valor y. Nesse segmento, existe uma função inversa ao cosseno, ou seja, a função y \u003d arccosx.
Preencha a tabela usando a definição do arco cosseno.
O arco-seno do número x pertencente ao intervalo será um número y pertencente ao intervalo que
Então porque ;
Porque ;
Porque ,
Porque ,
| 0 | |||||
| 0 |
Aqui está o enredo do arcoseno:
Propriedades da função
1. Domínio de definição
2. Faixa de valores
Esta é uma função genérica - não é nem par nem ímpar.
4. A função é estritamente decrescente. A função y \u003d arccosx leva o maior valor, igual a , em , e o menor valor, igual a zero, leva em
5. As funções e são mutuamente inversas.
Os próximos são arco tangente e arco tangente.
O arco tangente de a é o número , de tal modo que
Designação: . A área de definição do arco tangente é o intervalo. O intervalo de valores é o intervalo.
Por que as extremidades do intervalo - pontos são excluídos na definição do arco tangente? Claro, porque a tangente nesses pontos não está definida. Não há número a igual à tangente de qualquer um desses ângulos.
Vamos traçar o arco tangente. De acordo com a definição, o arco tangente de um número x é um número y pertencente ao intervalo , tal que
Como construir um gráfico já está claro. Como o arco tangente é a função inversa da tangente, procedemos da seguinte forma:
Escolhemos tal seção do gráfico da função, onde a correspondência entre x e y é injetora. Este é o intervalo C. Nesta seção, a função recebe valores de a
Então a função inversa, ou seja, a função, o domínio de definição será a reta numérica inteira, de até e o domínio dos valores é o intervalo
Significa,
Significa,
Significa,
Mas o que acontece se x for infinitamente grande? Em outras palavras, como essa função se comporta quando x tende a mais infinito?
Podemos nos perguntar: para qual número no intervalo o valor da tangente tende ao infinito? - Obviamente, isso
Então, para valores infinitamente grandes de x, o gráfico da tangente do arco se aproxima da assíntota horizontal
Da mesma forma, como x tende a menos infinito, o gráfico da tangente do arco se aproxima da assíntota horizontal
Na figura - um gráfico da função
Propriedades da função
1. Domínio de definição
2. Faixa de valores
3. A função é ímpar.
4. A função é estritamente crescente.
6. As funções e são mutuamente inversas - claro, quando a função é considerada no intervalo
Da mesma forma, definimos a função do arco cotangente e traçamos seu gráfico.
O arco tangente de a é o número , de tal modo que
Gráfico de funções:
Propriedades da função
1. Domínio de definição
2. Faixa de valores
3. A função é de forma geral, ou seja, nem par nem ímpar.
4. A função é estritamente decrescente.
5. Assíntotas diretas e horizontais da função dada.
6. Funções e são mutuamente inversas se consideradas no intervalo
Tarefas relacionadas a funções trigonométricas inversas são frequentemente oferecidas em exames finais de escolas e em exames de admissão em algumas universidades. Um estudo detalhado deste tema só pode ser alcançado em aulas extracurriculares ou em disciplinas eletivas. O curso proposto é projetado para desenvolver as habilidades de cada aluno da forma mais completa possível, para melhorar sua formação matemática.
O curso é projetado para 10 horas:
1. Funções de arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 horas).
2. Operações em funções trigonométricas inversas (4 horas).
3. Operações trigonométricas inversas em funções trigonométricas (2 horas).
Lição 1 (2 horas) Tópico: Funções y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x.
Objetivo: cobertura completa desta edição.
1. Função y \u003d arco em x.
a) Para a função y \u003d sin x no segmento, existe uma função inversa (de valor único), que concordamos em chamar de arcsine e denotar da seguinte forma: y \u003d arcsin x. O gráfico da função inversa é simétrico com o gráfico da função principal em relação à bissetriz dos ângulos coordenados I - III.
Propriedades da função y = arcsin x .
1) Escopo de definição: segmento [-1; 1];
2) Área de alteração: corte;
3) Função y = arco seno x ímpar: arco seno (-x) = - arco seno x;
4) A função y = arcsin x é monotonicamente crescente;
5) O gráfico cruza os eixos Ox, Oy na origem.
Exemplo 1. Encontre a = arcsin . Este exemplo pode ser formulado em detalhes da seguinte forma: encontre tal argumento a , situado no intervalo de a , cujo seno é igual a .
Solução. Existem inúmeros argumentos cujo seno é , por exemplo: 
etc. Mas estamos interessados apenas no argumento que está no intervalo. Este argumento será . Então, .
Exemplo 2. Encontre 
.Solução. Argumentando da mesma forma que no Exemplo 1, obtemos 
.
b) exercícios orais. Encontre: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin , arcsin(), arcsin , arcsin(), arcsin , arcsin(), arcsin 0 Exemplo de resposta: 
, Porque 
. As expressões fazem sentido: ; arcosina 1,5; 
?
c) Organize em ordem crescente: arcsin, arcsin (-0.3), arcsin 0.9.
II. Funções y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (da mesma forma).
Lição 2 (2 horas) Tópico: Funções trigonométricas inversas, seus gráficos.
Objetivo: nesta lição, é necessário desenvolver habilidades na determinação dos valores das funções trigonométricas, na plotagem de funções trigonométricas inversas usando D (y), E (y) e as transformações necessárias.
Nesta lição, realize exercícios que incluem encontrar o domínio de definição, o escopo de funções do tipo: y = arcsin , y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos .
É necessário construir gráficos de funções: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcos em 2x; c) y \u003d arcsin;
d) y \u003d arcsin; e) y = arcsina; f) y = arcsina; g) y = | arcsin | .
Exemplo. Vamos traçar y = arcos
Você pode incluir os seguintes exercícios em sua lição de casa: construir gráficos de funções: y = arccos , y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .
Gráficos de funções inversas
Lição nº 3 (2 horas) Tópico:
Operações em funções trigonométricas inversas.Objetivo: ampliar o conhecimento matemático (importante para candidatos a especialidades com maiores exigências de preparação matemática) introduzindo as relações básicas para funções trigonométricas inversas.
Matéria de aula.
Algumas operações trigonométricas simples em funções trigonométricas inversas: sin (arcsin x) \u003d x, i xi? 1; cos (arcos x) = x, i xi? 1; tg(arctgx)= x, xI R; ctg (arcctg x) = x , x I R.
Exercícios.
a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = 
.
ctg(arctgx) = ; tg (arctg x) = .
b) cos (+ arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Seja arcsin 0,6 \u003d a, sin a \u003d 0,6;
cos(arcsin x) = ; sin (arcos x) = .
Nota: tomamos o sinal “+” na frente da raiz porque a = arcsin x satisfaz .
c) sen (1,5 + arcsin) Resposta:;
d) ctg ( + arctg 3) Resposta: ;
e) tg (- arcctg 4) Resposta: .
f) cos (0,5 + arcos) . Responda: .
Calcular:
a) pecado (2 arctan 5).
Seja arctg 5 = a, então sen 2 a = 
ou sin(2 arctan 5) = 
;
b) cos (+ 2 arcos em 0,8) Resposta: 0,28.
c) arctg + arctg.
Seja a = arctg , b = arctg ,
então tan(a + b) = 
.
d) sen (arcsin + arcsin).
e) Prove que para todo x I [-1; 1] arcos verdadeiros x + arcos x = .
Prova:
arcos x = - arcos x
sin (arcsin x) = sin (-arccos x)
x = cos (arcos x)
Para uma solução autônoma: sin (arccos ), cos (arcsin ) , cos (arcsin ()), sin (arctg (-3)), tg (arccos ) , ctg (arccos ).
Para uma solução caseira: 1) sin (arcsin 0.6 + arctg 0); 2) arcsina + arcsina; 3) ctg (-arcos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5); 5) sin (1,5 - arcsin 0,8); 6) arco 0,5 - arco 3.
Lição nº 4 (2 horas) Tópico: Operações em funções trigonométricas inversas.
Objetivo: nesta lição mostrar o uso de razões na transformação de expressões mais complexas.
Matéria de aula.
ORALMENTE:
a) sin (arcos 0,6), cos (arcos 0,8);
b) tg (arctg 5), ctg (arctg 5);
c) sin (arctg -3), cos (arctg());
d) tg (arccos), ctg (arccos()).
ESCRITO:
1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).
2) cos (arctg 5 - arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arctg 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =
3) tg (- arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) = 
4) 
O trabalho independente ajudará a determinar o nível de assimilação do material
| 1) tg (arctg 2 - arctg) 2) cos(-arctg2) 3) arco seno + arcos |
1) cos (arcsin + arcsin) 2) pecado (1,5 - arctg 3) 3) arcctg3 - arcctg 2 |
Para lição de casa, você pode oferecer:
1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 - arcctg()); 3) sin (2 arctg + tg (arcsin)); 4) pecado (2 arctan); 5) tg ( (arcsina ))
Lição nº 5 (2h) Tópico: Operações trigonométricas inversas em funções trigonométricas.
Objetivo: formar a compreensão dos alunos sobre operações trigonométricas inversas em funções trigonométricas, com foco em aumentar o significado da teoria que está sendo estudada.
Ao estudar este tópico, assume-se que a quantidade de material teórico a ser memorizado é limitada.
Material para a aula:
Você pode começar a aprender novo material examinando a função y = arcsin (sen x) e plotando-a.
3. Cada x I R está associado a y I , i.e.<= y <= такое, что sin y = sin x.
4. A função é ímpar: sin (-x) \u003d - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).
6. Gráfico y = arcsin (sen x) em:
a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .
b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо
sin y \u003d sin ( - x) \u003d sinx, 0<= - x <= .
Então, 
Tendo construído y = arcsin (sen x) em , continuamos simetricamente sobre a origem em [- ; 0], levando em consideração a estranheza desta função. Usando a periodicidade, continuamos para todo o eixo numérico.
Em seguida, anote algumas proporções: arcsin (sen a) = a se<= a <= ; arccos (cos uma ) = a se 0<= a <= ; arctg(tg a) = a se< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .
E faça os seguintes exercícios: a) arccos (sin 2) Resposta: 2 - ; b) arco seno (cos 0,6) Resposta: - 0,1; c) arctg (tg 2) Resposta: 2 -;
d) arcctg (tg 0,6) Resposta: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)) Resposta: 2 -; f) arcsin (sin (- 0,6)). Resposta: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Resposta: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Resposta: - 0,6; - arctanx; e) arcos + arcos
