Para entender o que é sistema de decisão fundamental você pode assistir ao tutorial em vídeo para o mesmo exemplo clicando em . Agora vamos passar para a descrição de todo o trabalho necessário. Isso ajudará você a entender a essência desse problema com mais detalhes.
Como encontrar o sistema fundamental de soluções de uma equação linear?
Tomemos, por exemplo, o seguinte sistema de equações lineares:
Vamos encontrar uma solução para este sistema linear de equações. Para começar, nós escreva a matriz de coeficientes do sistema.
Vamos transformar esta matriz em uma triangular. Reescrevemos a primeira linha sem alterações. E todos os elementos que estão abaixo de $a_(11)$ devem ser zerados. Para fazer um zero no lugar do elemento $a_(21)$, você precisa subtrair o primeiro da segunda linha e escrever a diferença na segunda linha. Para fazer um zero no lugar do elemento $a_(31)$, você precisa subtrair o primeiro da terceira linha e escrever a diferença na terceira linha. Para fazer um zero no lugar do elemento $a_(41)$, você precisa subtrair o primeiro multiplicado por 2 da quarta linha e escrever a diferença na quarta linha. Para fazer um zero no lugar do elemento $a_(31)$, subtraia o primeiro multiplicado por 2 da quinta linha e escreva a diferença na quinta linha. 
Reescrevemos a primeira e a segunda linhas sem alterações. E todos os elementos que estão abaixo de $a_(22)$ devem ser zerados. Para fazer um zero no lugar do elemento $a_(32)$, é necessário subtrair o segundo multiplicado por 2 da terceira linha e escrever a diferença na terceira linha. Para fazer um zero no lugar do elemento $a_(42)$, é necessário subtrair o segundo multiplicado por 2 da quarta linha e escrever a diferença na quarta linha. Para fazer um zero no lugar do elemento $a_(52)$, subtraia o segundo multiplicado por 3 da quinta linha e escreva a diferença na quinta linha. 
Nós vemos que as três últimas linhas são iguais, portanto, se você subtrair o terceiro do quarto e do quinto, eles se tornarão zero. 
Para esta matriz escreva um novo sistema de equações.
Vemos que temos apenas três equações linearmente independentes e cinco incógnitas, de modo que o sistema fundamental de soluções consistirá em dois vetores. Então nós mova as duas últimas incógnitas para a direita.
Agora, começamos a expressar as incógnitas que estão do lado esquerdo através das que estão do lado direito. Começamos com a última equação, primeiro expressamos $x_3$, depois substituímos o resultado obtido na segunda equação e expressamos $x_2$, e depois na primeira equação e aqui expressamos $x_1$. Assim, expressamos todas as incógnitas que estão do lado esquerdo através das incógnitas que estão do lado direito. 
Depois disso, em vez de $x_4$ e $x_5$, você pode substituir qualquer número e encontrar $x_1$, $x_2$ e $x_3$. Cada um desses cinco números serão as raízes do nosso sistema de equações original. Para encontrar os vetores que estão incluídos em FSR precisamos substituir 1 em vez de $x_4$ e substituir 0 em vez de $x_5$, encontrar $x_1$, $x_2$ e $x_3$ e vice-versa $x_4=0$ e $x_5=1$.
Continuaremos a aperfeiçoar a técnica transformações elementares no sistema homogêneo de equações lineares.
De acordo com os primeiros parágrafos, o material pode parecer chato e comum, mas essa impressão é enganosa. Além de desenvolver técnicas adicionais, haverá muitas informações novas, portanto, tente não negligenciar os exemplos deste artigo.
O que é um sistema homogêneo de equações lineares?
A resposta sugere-se. Um sistema de equações lineares é homogêneo se o termo livre todos equação do sistema é zero. Por exemplo:
É bem claro que sistema homogêneo é sempre consistente, ou seja, sempre tem uma solução. E, em primeiro lugar, os chamados trivial solução 
. Trivial, para quem não entende nada do significado do adjetivo, significa bespontovoe. Não academicamente, claro, mas de forma inteligível =) ... Por que rodeios, vamos descobrir se este sistema tem outras soluções:
Exemplo 1
Solução: para resolver um sistema homogêneo é necessário escrever matriz do sistema e com a ajuda de transformações elementares trazê-lo para uma forma escalonada. Observe que não há necessidade de anotar a barra vertical e a coluna zero de membros livres aqui - porque o que você fizer com zeros, eles permanecerão zero: 
(1) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. A primeira linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -3.
(2) A segunda linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -1.
Dividir a terceira linha por 3 não faz muito sentido.
Como resultado de transformações elementares, um sistema homogêneo equivalente é obtido 
, e, aplicando o movimento inverso do método gaussiano, é fácil verificar que a solução é única.
Responda: 
Vamos formular um critério óbvio: um sistema homogêneo de equações lineares tem única solução trivial, E se classificação da matriz do sistema(neste caso, 3) é igual ao número de variáveis (neste caso, 3 unid.).
Aquecemos e sintonizamos nosso rádio em uma onda de transformações elementares:
Exemplo 2
Resolva um sistema homogêneo de equações lineares 
Para finalmente corrigir o algoritmo, vamos analisar a tarefa final:
Exemplo 7
Resolva um sistema homogêneo, escreva a resposta na forma vetorial. 
Solução: escrevemos a matriz do sistema e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma escalonada: 
(1) O sinal da primeira linha foi alterado. Mais uma vez, chamo a atenção para a técnica repetidamente encontrada, que permite simplificar significativamente a ação a seguir.
(1) A primeira linha foi adicionada às 2ª e 3ª linhas. A primeira linha multiplicada por 2 foi adicionada à 4ª linha.
(3) As últimas três linhas são proporcionais, duas delas foram removidas.
Como resultado, uma matriz de etapas padrão é obtida e a solução continua ao longo da trilha serrilhada:
– variáveis básicas;
são variáveis livres.
Expressamos as variáveis básicas em termos de variáveis livres. Da 2ª equação:
- substituir na 1ª equação:
Então a solução geral é:
Como há três variáveis livres no exemplo em consideração, o sistema fundamental contém três vetores.
Substituir o triplo de valores 
na solução geral e obter um vetor cujas coordenadas satisfazem cada equação do sistema homogêneo. E, novamente, repito que é altamente desejável verificar cada vetor recebido - não levará muito tempo, mas economizará cem por cento dos erros.
Para um triplo de valores 
encontre o vetor
E finalmente para o triplo 
obtemos o terceiro vetor:
Responda: , Onde
Aqueles que desejam evitar valores fracionários podem considerar trigêmeos 
e obtenha a resposta na forma equivalente:
Falando em frações. Vejamos a matriz obtida no problema 
e faça a pergunta - é possível simplificar a solução adicional? Afinal, aqui primeiro expressamos a variável básica em termos de frações, depois a variável básica em termos de frações e, devo dizer, esse processo não foi o mais fácil e nem o mais agradável.
A segunda solução:
A ideia é tentar escolha outras variáveis básicas. Vamos olhar para a matriz e notar duas unidades na terceira coluna. Então, por que não obter zero no topo? Vamos fazer mais uma transformação elementar:
Um sistema homogêneo é sempre consistente e tem uma solução trivial 
. Para que uma solução não trivial exista, é necessário que o posto da matriz 
foi menor que o número de incógnitas:
.
Sistema de decisão fundamental
sistema homogêneo 
chame o sistema de soluções na forma de vetores coluna 
, que correspondem à base canônica, ou seja. base na qual constantes arbitrárias 
são alternadamente iguais a um, enquanto o resto é igual a zero.
Então a solução geral do sistema homogêneo tem a forma:
Onde 
são constantes arbitrárias. Em outras palavras, a solução geral é uma combinação linear do sistema fundamental de soluções.
Assim, as soluções básicas podem ser obtidas da solução geral se as incógnitas livres recebem alternadamente o valor da unidade, assumindo todas as outras iguais a zero.
Exemplo. Vamos encontrar uma solução para o sistema
Aceitamos , então obtemos a solução na forma:
Vamos agora construir um sistema fundamental de soluções:
.
A solução geral pode ser escrita como:
As soluções para um sistema de equações lineares homogêneas têm as seguintes propriedades:
Em outras palavras, qualquer combinação linear de soluções para um sistema homogêneo é novamente uma solução.
Solução de sistemas de equações lineares pelo método de Gauss
A resolução de sistemas de equações lineares tem sido de interesse dos matemáticos há vários séculos. Os primeiros resultados foram obtidos no século XVIII. Em 1750, G. Kramer (1704-1752) publicou seus trabalhos sobre os determinantes de matrizes quadradas e propôs um algoritmo para encontrar a matriz inversa. Em 1809, Gauss esboçou um novo método de solução conhecido como método de eliminação.
O método de Gauss, ou método de eliminação sucessiva de incógnitas, consiste no fato de que, com a ajuda de transformações elementares, o sistema de equações é reduzido a um sistema equivalente de forma escalonada (ou triangular). Esses sistemas permitem que você encontre consistentemente todas as incógnitas em uma determinada ordem.
Suponha que no sistema (1) 
(o que é sempre possível).
(1)
Multiplicando a primeira equação por sua vez pelo assim chamado números adequados
e somando o resultado da multiplicação com as equações correspondentes do sistema, obtemos um sistema equivalente em que todas as equações, exceto a primeira, não terão incógnitas X 1
(2)
Agora multiplicamos a segunda equação do sistema (2) por números apropriados, supondo que 
,
e somando aos inferiores, eliminamos a variável 
de todas as equações, começando com a terceira.
Dando continuidade a este processo, após 
passos que obtemos:
(3)
Se pelo menos um dos números 
não é igual a zero, então a igualdade correspondente é inconsistente e o sistema (1) é inconsistente. Por outro lado, para qualquer sistema de numeração conjunta 
são iguais a zero. Número 
nada mais é do que o posto da matriz do sistema (1).
A transição do sistema (1) para (3) é chamada em linha reta método gaussiano e encontrar incógnitas de (3) - para trás .
Comente : É mais conveniente realizar transformações não com as equações em si, mas com a matriz estendida do sistema (1).
Exemplo. Vamos encontrar uma solução para o sistema
.
Vamos escrever a matriz aumentada do sistema:
.
Vamos adicionar às linhas 2,3,4 a primeira, multiplicada por (-2), (-3), (-2) respectivamente:
.
Vamos trocar as linhas 2 e 3 e, em seguida, na matriz resultante, adicione a linha 2 à linha 4, multiplicada por 
:
.
Adicione à linha 4 linha 3 multiplicado por 
:
.
É óbvio que 
, portanto, o sistema é compatível. Do sistema de equações resultante
encontramos a solução por substituição reversa:
,
,
,
.
Exemplo 2 Encontre a solução do sistema:
.
É óbvio que o sistema é inconsistente, porque 
, uma 
.
Vantagens do método de Gauss :
Menos demorado que o método de Cramer.
Estabelece inequivocamente a compatibilidade do sistema e permite que você encontre uma solução.
Dá a capacidade de determinar a classificação de quaisquer matrizes.
A equação linear é chamada homogêneo se seu intercepto for zero, e não homogêneo caso contrário. Um sistema que consiste em equações homogêneas é chamado de homogêneo e tem a forma geral:
Obviamente, qualquer sistema homogêneo é consistente e tem uma solução zero (trivial). Portanto, em relação a sistemas homogêneos de equações lineares, muitas vezes é preciso procurar uma resposta para a questão da existência de soluções diferentes de zero. A resposta a esta questão pode ser formulada como o seguinte teorema.
Teorema . Um sistema homogêneo de equações lineares tem uma solução diferente de zero se e somente se seu posto for menor que o número de incógnitas .
Prova: Suponha que um sistema cujo posto é igual tenha uma solução diferente de zero. Obviamente, não excede . Caso o sistema tenha uma solução única. Como o sistema de equações lineares homogêneas sempre tem solução zero, é precisamente a solução zero que será essa única solução. Assim, soluções diferentes de zero são possíveis apenas para .
Corolário 1 : Um sistema de equações homogêneo, no qual o número de equações é menor que o número de incógnitas, sempre tem uma solução diferente de zero.
Prova: Se o sistema de equações tem , então o posto do sistema não excede o número de equações , ou seja, . Assim, a condição é satisfeita e, portanto, o sistema tem uma solução diferente de zero.
Consequência 2 : Um sistema homogêneo de equações com incógnitas tem uma solução diferente de zero se e somente se seu determinante for zero.
Prova: Suponha um sistema de equações lineares homogêneas cuja matriz com determinante tenha uma solução diferente de zero. Então, de acordo com o teorema provado, , o que significa que a matriz é degenerada, ou seja, .
Teorema de Kronecker-Capelli: O SLE é consistente se e somente se o posto da matriz do sistema for igual ao posto da matriz estendida deste sistema. Um sistema ur-th é chamado compatível se tiver pelo menos uma solução.Sistema homogêneo de equações algébricas lineares.
Um sistema de m equações lineares com n variáveis é chamado de sistema de equações lineares homogêneas se todos os termos livres são iguais a 0. Um sistema de equações lineares homogêneas é sempre compatível, porque sempre tem pelo menos uma solução zero. Um sistema de equações lineares homogêneas tem uma solução diferente de zero se e somente se o posto de sua matriz de coeficientes em variáveis for menor que o número de variáveis, ou seja, para classificação A (n. Qualquer combinação linear
soluções do sistema de linhas. homogêneo ur-ii também é uma solução para este sistema.
Um sistema de soluções linearmente independentes e1, e2,…,ek é chamado fundamental se cada solução do sistema é uma combinação linear de soluções. Teorema: se o posto r da matriz de coeficientes nas variáveis do sistema de equações lineares homogêneas é menor que o número de variáveis n, então qualquer sistema fundamental de soluções do sistema consiste em n-r soluções. Portanto, a solução geral do sistema de linhas. solteiro ur-th tem a forma: c1e1+c2e2+…+ckek, onde e1, e2,…, ek é qualquer sistema fundamental de soluções, c1, c2,…,ck são números arbitrários e k=n-r. A solução geral de um sistema de m equações lineares com n variáveis é igual à soma
a solução geral do sistema que lhe corresponde é homogênea. equações lineares e uma solução particular arbitrária deste sistema.
7. Espaços lineares. Subespaços. Base, dimensão. Casca linear. O espaço linear é chamado n-dimensional, se contém um sistema de vetores linearmente independentes, e qualquer sistema de mais vetores é linearmente dependente. O número é chamado dimensão (número de dimensões) espaço linear e é denotado por . Em outras palavras, a dimensão de um espaço é o número máximo de vetores linearmente independentes nesse espaço. Se tal número existe, então o espaço é dito de dimensão finita. Se para qualquer número natural n no espaço existe um sistema que consiste em vetores linearmente independentes, então tal espaço é chamado de dimensão infinita (escrito: ). No que se segue, salvo indicação em contrário, serão considerados os espaços de dimensão finita.
A base de um espaço linear n-dimensional é um conjunto ordenado de vetores linearmente independentes ( vetores de base).
Teorema 8.1 sobre a expansão de um vetor em função de uma base. Se é uma base de um espaço linear n-dimensional, então qualquer vetor pode ser representado como uma combinação linear de vetores de base:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
e, ainda, de forma única, ou seja. coeficientes são determinados exclusivamente. Em outras palavras, qualquer vetor espacial pode ser expandido em uma base e, além disso, de forma única.
De fato, a dimensão do espaço é . O sistema de vetores é linearmente independente (esta é a base). Depois de juntar qualquer vetor à base, obtemos um sistema linearmente dependente (já que esse sistema consiste em vetores em um espaço n-dimensional). Pela propriedade de 7 vetores linearmente dependentes e linearmente independentes, obtemos a conclusão do teorema.
Mesmo na escola, cada um de nós estudava equações e, com certeza, sistemas de equações. Mas muitas pessoas não sabem que existem várias maneiras de resolvê-los. Hoje vamos analisar em detalhes todos os métodos para resolver um sistema de equações algébricas lineares, que consistem em mais de duas igualdades.
História
Hoje sabe-se que a arte de resolver equações e seus sistemas teve origem na antiga Babilônia e no Egito. No entanto, as igualdades em sua forma usual apareceram após o surgimento do sinal de igual "=", que foi introduzido em 1556 pelo matemático inglês Record. A propósito, esse sinal foi escolhido por um motivo: significa dois segmentos paralelos iguais. De fato, não há melhor exemplo de igualdade.
O fundador das modernas designações de letras de incógnitas e sinais de graus é um matemático francês, mas suas designações diferiam significativamente das atuais. Por exemplo, ele denotava o quadrado de um número desconhecido com a letra Q (lat. "quadratus"), e o cubo com a letra C (lat. "cubus"). Essas notações parecem estranhas agora, mas naquela época era a maneira mais compreensível de escrever sistemas de equações algébricas lineares.
No entanto, uma desvantagem nos métodos de solução da época era que os matemáticos consideravam apenas raízes positivas. Talvez isso se deva ao fato de que os valores negativos não tiveram uso prático. De uma forma ou de outra, foram os matemáticos italianos Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano e Rafael Bombelli os primeiros a considerar as raízes negativas no século XVI. E na visão moderna, o principal método de solução (através do discriminante) foi criado apenas no século XVII graças ao trabalho de Descartes e Newton.
Em meados do século 18, o matemático suíço Gabriel Cramer encontrou uma nova maneira de facilitar a resolução de sistemas de equações lineares. Este método foi posteriormente nomeado em sua homenagem e até hoje o usamos. Mas falaremos sobre o método de Cramer um pouco mais tarde, mas por enquanto discutiremos equações lineares e métodos para resolvê-las separadamente do sistema.
Equações lineares
As equações lineares são as igualdades mais simples com variável(eis). Eles são classificados como algébricos. escreva na forma geral da seguinte forma: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... e n * x n \u003d b. Precisaremos de sua representação nesta forma ao compilar sistemas e matrizes ainda mais.
Sistemas de equações algébricas lineares
A definição deste termo é a seguinte: é um conjunto de equações que possuem incógnitas comuns e uma solução comum. Via de regra, na escola, tudo era resolvido por sistemas com duas ou até três equações. Mas existem sistemas com quatro ou mais componentes. Vamos primeiro descobrir como escrevê-los para que seja conveniente resolvê-los mais tarde. Primeiro, os sistemas de equações algébricas lineares ficarão melhores se todas as variáveis forem escritas como x com o índice apropriado: 1,2,3 e assim por diante. Em segundo lugar, todas as equações devem ser trazidas para a forma canônica: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.
Depois de todas essas ações, podemos começar a falar sobre como encontrar uma solução para sistemas de equações lineares. As matrizes são muito úteis para isso.
matrizes
Uma matriz é uma tabela que consiste em linhas e colunas, e em sua interseção estão seus elementos. Estes podem ser valores específicos ou variáveis. Na maioria das vezes, para designar elementos, os subscritos são colocados abaixo deles (por exemplo, 11 ou 23). O primeiro índice significa o número da linha e o segundo o número da coluna. Em matrizes, assim como em qualquer outro elemento matemático, você pode realizar várias operações. Assim, você pode:
2) Multiplique uma matriz por algum número ou vetor.
3) Transpor: transforme as linhas da matriz em colunas e as colunas em linhas.
4) Multiplique as matrizes se o número de linhas de uma delas for igual ao número de colunas da outra.
Discutiremos todas essas técnicas com mais detalhes, pois elas serão úteis para nós no futuro. Subtrair e adicionar matrizes é muito fácil. Como tomamos matrizes do mesmo tamanho, cada elemento de uma tabela corresponde a cada elemento de outra. Assim, somamos (subtraímos) esses dois elementos (é importante que estejam nos mesmos lugares em suas matrizes). Ao multiplicar uma matriz por um número ou vetor, basta multiplicar cada elemento da matriz por esse número (ou vetor). A transposição é um processo muito interessante. Às vezes é muito interessante vê-lo na vida real, por exemplo, ao alterar a orientação de um tablet ou telefone. Os ícones na área de trabalho são uma matriz e, quando você altera a posição, ela se transpõe e fica mais larga, mas diminui em altura.
Vamos analisar um processo como Embora não seja útil para nós, ainda será útil conhecê-lo. Você pode multiplicar duas matrizes somente se o número de colunas em uma tabela for igual ao número de linhas na outra. Agora vamos pegar os elementos de uma linha de uma matriz e os elementos da coluna correspondente de outra. Nós os multiplicamos um pelo outro e depois os somamos (ou seja, por exemplo, o produto dos elementos a 11 e a 12 por b 12 e b 22 será igual a: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Assim, um elemento da tabela é obtido e é preenchido por um método semelhante.
Agora podemos começar a considerar como o sistema de equações lineares é resolvido.
Método de Gauss
Este tópico começa na escola. Conhecemos bem o conceito de "sistema de duas equações lineares" e sabemos como resolvê-los. Mas e se o número de equações for maior que dois? Isso vai nos ajudar
Obviamente, esse método é conveniente de usar se você fizer uma matriz do sistema. Mas você não pode transformá-lo e resolvê-lo em sua forma pura.
Então, como o sistema de equações gaussianas lineares é resolvido por esse método? A propósito, embora esse método tenha o nome dele, foi descoberto nos tempos antigos. Gauss propõe o seguinte: realizar operações com equações para eventualmente reduzir todo o conjunto a uma forma escalonada. Ou seja, é necessário que de cima para baixo (se colocado corretamente) da primeira equação à última, uma incógnita diminua. Em outras palavras, precisamos ter certeza de obter, digamos, três equações: na primeira - três incógnitas, na segunda - duas, na terceira - uma. Então, da última equação, encontramos a primeira incógnita, substituímos seu valor na segunda ou na primeira equação e, em seguida, encontramos as duas variáveis restantes.
Método Cramer
Para dominar esse método, é vital dominar as habilidades de adição, subtração de matrizes e você também precisa encontrar determinantes. Portanto, se você fizer tudo isso mal ou não souber como fazer, terá que aprender e praticar.
Qual é a essência desse método e como fazê-lo obter um sistema de equações lineares de Cramer? Tudo é muito simples. Temos que construir uma matriz a partir de coeficientes numéricos (quase sempre) de um sistema de equações algébricas lineares. Para fazer isso, simplesmente pegamos os números na frente das incógnitas e os colocamos na tabela na ordem em que estão escritos no sistema. Se o número for precedido por um sinal "-", escrevemos um coeficiente negativo. Assim, compilamos a primeira matriz a partir dos coeficientes das incógnitas, não incluindo os números após os sinais de igual (naturalmente, a equação deve ser reduzida à forma canônica, quando apenas o número está à direita e todas as incógnitas com coeficientes à esquerda). Então você precisa criar várias outras matrizes - uma para cada variável. Para fazer isso, na primeira matriz, por sua vez, substituímos cada coluna por coeficientes por uma coluna de números após o sinal de igual. Assim, obtemos várias matrizes e depois encontramos seus determinantes.
Depois de encontrarmos os determinantes, a questão é pequena. Temos uma matriz inicial e existem várias matrizes resultantes que correspondem a diferentes variáveis. Para obter as soluções do sistema, dividimos o determinante da tabela resultante pelo determinante da tabela inicial. O número resultante é o valor de uma das variáveis. Da mesma forma, encontramos todas as incógnitas.
Outros métodos
Existem vários outros métodos para obter uma solução para sistemas de equações lineares. Por exemplo, o chamado método de Gauss-Jordan, que é usado para encontrar soluções para um sistema de equações quadráticas e também está associado ao uso de matrizes. Existe também um método de Jacobi para resolver um sistema de equações algébricas lineares. É o mais fácil de se adaptar a um computador e é usado em informática.
Casos difíceis
A complexidade geralmente surge quando o número de equações é menor que o número de variáveis. Então podemos dizer com certeza que ou o sistema é inconsistente (ou seja, não tem raízes), ou o número de suas soluções tende ao infinito. Se tivermos o segundo caso, precisamos escrever a solução geral do sistema de equações lineares. Ele conterá pelo menos uma variável.
Conclusão
Aqui chegamos ao fim. Vamos resumir: analisamos o que são um sistema e uma matriz, aprendemos a encontrar uma solução geral para um sistema de equações lineares. Além disso, outras opções foram consideradas. Descobrimos como um sistema de equações lineares é resolvido: o método de Gauss e falamos sobre casos difíceis e outras maneiras de encontrar soluções.
Na verdade, este tópico é muito mais extenso e, se você quiser entendê-lo melhor, recomendamos que você leia literatura mais especializada.
