Este artigo trata de operações com frações. Serão formadas e justificadas regras para adição, subtração, multiplicação, divisão ou exponenciação de frações da forma A B, onde A e B podem ser números, expressões numéricas ou expressões com variáveis. Em conclusão, serão considerados exemplos de soluções com uma descrição detalhada.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Regras para realizar operações com frações numéricas de forma geral

As frações numéricas de forma geral têm um numerador e um denominador, nos quais existem números naturais ou expressões numéricas. Se considerarmos frações como 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π , 2 0 , 5 ln 3 , então fica claro que o numerador e o denominador podem ter não apenas números, mas também expressões de um plano diferente.

Definição 1

Existem regras pelas quais as ações são executadas com frações ordinárias. Também é adequado para frações de forma geral:

• Ao subtrair frações com os mesmos denominadores, apenas os numeradores são adicionados e o denominador permanece o mesmo, a saber: a d ± c d \u003d a ± c d, os valores a, c e d ≠ 0 são alguns números ou expressões numéricas.
• Ao adicionar ou subtrair frações com denominadores diferentes, é necessário reduzir a um comum e, em seguida, adicionar ou subtrair as frações resultantes com os mesmos indicadores. Literalmente, fica assim a b ± c d = a p ± c r s , onde os valores a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 são números reais, e b p = d r = S. Quando p = d e r = b, então a b ± c d = a d ± c d b d.
• Ao multiplicar frações, uma ação é realizada com numeradores, após o que com denominadores, obtemos a b c d \u003d a c b d, onde a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 atuam como números reais.
• Ao dividir uma fração por uma fração, multiplicamos o primeiro pelo segundo recíproco, ou seja, trocamos o numerador e o denominador: a b: c d \u003d a b d c.

Razão para as regras

Definição 2

Existem os seguintes pontos matemáticos nos quais você deve confiar ao calcular:

• uma barra fracionária significa um sinal de divisão;
• a divisão por um número é tratada como uma multiplicação pelo seu recíproco;
• aplicação da propriedade de ações com números reais;
• aplicação da propriedade básica de uma fração e desigualdades numéricas.

Com a ajuda deles, você pode fazer transformações do formulário:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Exemplos

No parágrafo anterior, foi dito sobre ações com frações. É depois disso que a fração precisa ser simplificada. Este tópico foi discutido em detalhes na seção sobre conversão de frações.

Primeiro, considere o exemplo de adição e subtração de frações com o mesmo denominador.

Exemplo 1

Dadas as frações 8 2 , 7 e 1 2 , 7 , então, de acordo com a regra, é necessário adicionar o numerador e reescrever o denominador.

Solução

Então obtemos uma fração da forma 8 + 1 2 , 7 . Após realizar a adição, obtemos uma fração da forma 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Então 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Responda: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Existe outra maneira de resolver. Para começar, é feita uma transição para a forma de uma fração ordinária, após a qual realizamos uma simplificação. Se parece com isso:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Exemplo 2

Vamos subtrair de 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 frações da forma 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Como denominadores iguais são dados, isso significa que estamos calculando uma fração com o mesmo denominador. Nós entendemos isso

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Existem exemplos de cálculo de frações com denominadores diferentes. Um ponto importante é a redução a um denominador comum. Sem isso, não poderemos realizar outras ações com frações.

O processo lembra remotamente a redução a um denominador comum. Ou seja, é feita uma busca pelo mínimo divisor comum no denominador, após o que os fatores ausentes são adicionados às frações.

Se as frações adicionadas não tiverem fatores comuns, seu produto pode se tornar um.

Exemplo 3

Considere o exemplo da adição de frações 2 3 5 + 1 e 1 2 .

Solução

Nesse caso, o denominador comum é o produto dos denominadores. Então temos que 2 · 3 5 + 1 . Então, ao definir fatores adicionais, temos que para a primeira fração é igual a 2, e para a segunda 3 5 + 1. Após a multiplicação, as frações são reduzidas à forma 4 2 3 5 + 1. O elenco geral 1 2 será 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Adicionamos as expressões fracionárias resultantes e obtemos que

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Responda: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Quando estamos lidando com frações de forma geral, o menor denominador comum geralmente não é o caso. Não é lucrativo tomar o produto dos numeradores como denominador. Primeiro você precisa verificar se existe um número que é menor em valor do que o seu produto.

Exemplo 4

Considere o exemplo 1 6 2 1 5 e 1 4 2 3 5 quando seu produto é igual a 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 . Então tomamos 12 · 2 3 5 como denominador comum.

Considere exemplos de multiplicações de frações de forma geral.

Exemplo 5

Para fazer isso, é necessário multiplicar 2 + 1 6 e 2 · 5 3 · 2 + 1.

Solução

Seguindo a regra, é necessário reescrever e escrever o produto dos numeradores como denominador. Obtemos que 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Quando a fração é multiplicada, podem ser feitas reduções para simplificá-la. Então 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Usando a regra de transição da divisão para a multiplicação por um recíproco, obtemos o recíproco do dado. Para fazer isso, o numerador e o denominador são invertidos. Vejamos um exemplo:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Depois disso, eles devem realizar a multiplicação e simplificar a fração resultante. Se necessário, livre-se da irracionalidade no denominador. Nós entendemos isso

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Responda: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Este parágrafo é aplicável quando um número ou expressão numérica pode ser representado como uma fração com denominador igual a 1, então a operação com tal fração é considerada um parágrafo separado. Por exemplo, a expressão 1 6 7 4 - 1 3 mostra que a raiz de 3 pode ser substituída por outra expressão 3 1. Então este registro será parecido com uma multiplicação de duas frações da forma 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 .

Executando uma ação com frações contendo variáveis

As regras discutidas no primeiro artigo são aplicáveis ​​a operações com frações contendo variáveis. Considere a regra de subtração quando os denominadores são os mesmos.

É necessário provar que A , C e D (D diferente de zero) podem ser quaisquer expressões, e a igualdade A D ± C D = A ± C D é equivalente ao seu intervalo de valores válidos.

É necessário tomar um conjunto de variáveis ​​ODZ. Então A, C, D devem tomar os valores correspondentes a 0 , c 0 e d0. Uma substituição da forma A D ± C D resulta em uma diferença da forma a 0 d 0 ± c 0 d 0 , onde, de acordo com a regra de adição, obtemos uma fórmula da forma a 0 ± c 0 d 0 . Se substituirmos a expressão A ± C D , obteremos a mesma fração da forma a 0 ± c 0 d 0 . Disso concluímos que o valor escolhido que satisfaça a ODZ, A ± C D e A D ± C D são considerados iguais.

Para qualquer valor das variáveis, essas expressões serão iguais, ou seja, são chamadas identicamente iguais. Isto significa que esta expressão é considerada uma igualdade demonstrável da forma A D ± C D = A ± C D .

Exemplos de adição e subtração de frações com variáveis

Quando há os mesmos denominadores, só é necessário somar ou subtrair os numeradores. Esta fração pode ser simplificada. Às vezes você tem que trabalhar com frações que são identicamente iguais, mas à primeira vista isso não é perceptível, pois algumas transformações devem ser realizadas. Por exemplo, x 2 3 x 1 3 + 1 e x 1 3 + 1 2 ou 1 2 sen 2 α e sen a cos a. Na maioria das vezes, é necessária uma simplificação da expressão original para ver os mesmos denominadores.

Exemplo 6

Calcular: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2), x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Solução

1. Para fazer um cálculo, você precisa subtrair frações que têm os mesmos denominadores. Então temos que x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Depois disso, você pode abrir os colchetes com a redução de termos semelhantes. Obtemos que x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Como os denominadores são os mesmos, resta apenas somar os numeradores, deixando o denominador: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   A adição foi concluída. Pode-se ver que a fração pode ser reduzida. Seu numerador pode ser dobrado usando a fórmula da soma quadrada, então obtemos (l g x + 2) 2 das fórmulas de multiplicação abreviadas. Então obtemos isso
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Dadas frações da forma x - 1 x - 1 + x x + 1 com denominadores diferentes. Após a transformação, você pode prosseguir para a adição.

Vamos considerar uma solução de duas vias.

O primeiro método é que o denominador da primeira fração é submetido a fatoração usando quadrados, e com sua subsequente redução. Obtemos uma fração da forma

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Então x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

Nesse caso, é necessário se livrar da irracionalidade no denominador.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

A segunda maneira é multiplicar o numerador e denominador da segunda fração por x - 1 . Assim, nos livramos da irracionalidade e passamos a adicionar uma fração com o mesmo denominador. Então

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Responda: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

No último exemplo, descobrimos que a redução a um denominador comum é inevitável. Para fazer isso, você precisa simplificar as frações. Para somar ou subtrair, você sempre precisa procurar um denominador comum, que se parece com o produto dos denominadores com a adição de fatores adicionais aos numeradores.

Exemplo 7

Calcule os valores das frações: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Solução

1. O denominador não requer cálculos complexos, então você precisa escolher o produto da forma 3 x 7 + 2 2, então para a primeira fração x 7 + 2 2 é escolhido como um fator adicional e 3 para o segundo. Ao multiplicar, obtemos uma fração da forma x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Pode-se observar que os denominadores são apresentados como um produto, o que significa que transformações adicionais são desnecessárias. O denominador comum será o produto da forma x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . A partir daqui x 4 é um fator adicional para a primeira fração, e ln (x + 1) ao segundo. Então subtraímos e obtemos:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sen x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sen x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sen x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sen x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. Este exemplo faz sentido ao trabalhar com denominadores de frações. É necessário aplicar as fórmulas da diferença dos quadrados e do quadrado da soma, pois elas permitirão passar a uma expressão da forma 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x ) 2 . Pode-se ver que as frações são reduzidas a um denominador comum. Obtemos que cos x - x cos x + x 2 .

Então obtemos isso

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Responda:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4), 3) 1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Exemplos de multiplicação de frações com variáveis

Ao multiplicar frações, o numerador é multiplicado pelo numerador e o denominador pelo denominador. Então você pode aplicar a propriedade de redução.

Exemplo 8

Multiplique as frações x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 e 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sen 2 x - x.

Solução

Você precisa fazer a multiplicação. Nós entendemos isso

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sen (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sen (2 x - x)

O número 3 é transferido para o primeiro lugar para a conveniência dos cálculos, e você pode reduzir a fração em x 2, então obtemos uma expressão da forma

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sen (2 x - x)

Responda: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sen (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sen (2x-x).

Divisão

A divisão de frações é semelhante à multiplicação, pois a primeira fração é multiplicada pelo segundo inverso. Se tomarmos, por exemplo, a fração x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 e dividirmos por 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x, então isso pode ser escrito como

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sen (2 x - x) , então substitua por um produto da forma x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 pecado (2 x - x)

Exponenciação

Vamos passar a considerar a ação com frações de uma forma geral com exponenciação. Se houver um grau com um expoente natural, a ação é considerada como uma multiplicação de frações idênticas. Mas é recomendável usar uma abordagem geral baseada nas propriedades dos graus. Quaisquer expressões A e C, onde C não é identicamente igual a zero, e qualquer r real na ODZ para uma expressão da forma A C r, a igualdade A C r = A r C r é verdadeira. O resultado é uma fração elevada a uma potência. Por exemplo, considere:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

A ordem das operações com frações

As ações nas frações são executadas de acordo com certas regras. Na prática, notamos que uma expressão pode conter várias frações ou expressões fracionárias. Então é necessário executar todas as ações em uma ordem estrita: aumentar a uma potência, multiplicar, dividir, depois adicionar e subtrair. Se houver colchetes, a primeira ação é executada neles.

Exemplo 9

Calcule 1 - x cos x - 1 c o s x · 1 + 1 x .

Solução

Como temos o mesmo denominador, então 1 - x cos x e 1 c o s x , mas é impossível subtrair de acordo com a regra, primeiro são realizadas as ações entre parênteses, depois a multiplicação e depois a adição. Então, calculando, obtemos que

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Ao substituir a expressão na original, obtemos que 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Ao multiplicar frações, temos: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Tendo feito todas as substituições, obtemos 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Agora você precisa trabalhar com frações que têm denominadores diferentes. Nós temos:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Responda: 1 - x cos x - 1 cos x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

Se você notar um erro no texto, destaque-o e pressione Ctrl+Enter

Fração- uma forma de representação de um número em matemática. A barra indica a operação de divisão. numerador frações é chamado de dividendo, e denominador- divisor. Por exemplo, em uma fração, o numerador é 5 e o denominador é 7.

correto Uma fração é chamada se o módulo do numerador for maior que o módulo do denominador. Se a fração estiver correta, então o módulo de seu valor é sempre menor que 1. Todas as outras frações são errado.

A fração é chamada misturado, se for escrito como um inteiro e uma fração. Este é o mesmo que a soma deste número e uma fração:

Propriedade básica de uma fração

Se o numerador e o denominador de uma fração forem multiplicados pelo mesmo número, o valor da fração não mudará, ou seja, por exemplo,

Trazendo frações para um denominador comum

Para trazer duas frações para um denominador comum, você precisa:

1. Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda
2. Multiplique o numerador da segunda fração pelo denominador da primeira
3. Substitua os denominadores de ambas as frações pelo seu produto

Ações com frações

Adição. Para somar duas frações, você precisa

1. Adicione novos numeradores de ambas as frações e deixe o denominador inalterado

Exemplo:

Subtração. Para subtrair uma fração de outra,

1. Traga frações para um denominador comum
2. Subtraia o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixe o denominador inalterado

Exemplo:

Multiplicação. Para multiplicar uma fração por outra, multiplique seus numeradores e denominadores:

Divisão. Para dividir uma fração por outra, multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda e multiplique o denominador da primeira fração pelo numerador da segunda:

Agora que aprendemos como somar e multiplicar frações individuais, podemos considerar estruturas mais complexas. Por exemplo, e se adição, subtração e multiplicação de frações ocorrerem em um problema?

Primeiro de tudo, você precisa converter todas as frações em impróprias. Em seguida, executamos sequencialmente as ações necessárias - na mesma ordem dos números comuns. Nomeadamente:

1. Primeiro, a exponenciação é realizada - livre-se de todas as expressões que contenham expoentes;
2. Então - divisão e multiplicação;
3. O último passo é adição e subtração.

Claro, se houver colchetes na expressão, a ordem das ações muda - tudo o que estiver dentro dos colchetes deve ser considerado primeiro. E lembre-se das frações impróprias: você precisa selecionar a parte inteira somente quando todas as outras ações já tiverem sido concluídas.

Vamos traduzir todas as frações da primeira expressão em impróprias e, em seguida, realizar as seguintes ações:

Agora vamos encontrar o valor da segunda expressão. Não existem frações com uma parte inteira, mas existem colchetes, então primeiro realizamos a adição e só depois a divisão. Observe que 14 = 7 2 . Então:

Finalmente, considere o terceiro exemplo. Existem colchetes e um grau aqui - é melhor contá-los separadamente. Dado que 9 = 3 3 , temos:

Preste atenção no último exemplo. Para elevar uma fração a uma potência, você deve elevar separadamente o numerador a essa potência e separadamente o denominador.

Você pode decidir de forma diferente. Se nos lembrarmos da definição do grau, o problema será reduzido à habitual multiplicação de frações:

Frações de vários andares

Até agora, consideramos apenas frações "puras", quando o numerador e o denominador são números comuns. Isso é consistente com a definição de uma fração numérica dada na primeira lição.

Mas e se um objeto mais complexo for colocado no numerador ou denominador? Por exemplo, outra fração numérica? Tais construções ocorrem com bastante frequência, especialmente ao trabalhar com expressões longas. Aqui estão alguns exemplos:

Existe apenas uma regra para trabalhar com frações de vários andares: você deve se livrar delas imediatamente. A remoção de pisos "extras" é bastante simples, se você lembrar que a barra fracionária significa a operação de divisão padrão. Portanto, qualquer fração pode ser reescrita da seguinte forma:

Usando este fato e seguindo o procedimento, podemos facilmente reduzir qualquer fração de vários andares para uma regular. Dê uma olhada nos exemplos:

Uma tarefa. Converta frações de vários andares em frações comuns:

Em cada caso, reescrevemos a fração principal, substituindo a linha divisória por um sinal de divisão. Lembre-se também de que qualquer número inteiro pode ser representado como uma fração com denominador 1. Ou seja, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Nós temos:

No último exemplo, as frações foram reduzidas antes da multiplicação final.

As especificidades do trabalho com frações de vários andares

Há uma sutileza nas frações de vários andares que deve ser sempre lembrada, caso contrário você pode obter a resposta errada, mesmo que todos os cálculos estejam corretos. Dê uma olhada:

1. No numerador há um número separado 7 e no denominador - a fração 12/5;
2. O numerador é a fração 7/12, e o denominador é o único número 5.

Então, para um disco, tivemos duas interpretações completamente diferentes. Se contar, as respostas também serão diferentes:

Para garantir que o registro seja sempre lido sem ambiguidade, use uma regra simples: a linha divisória da fração principal deve ser maior que a linha aninhada. De preferência várias vezes.

Se você seguir esta regra, as frações acima devem ser escritas da seguinte forma:

Sim, provavelmente é feio e ocupa muito espaço. Mas você vai contar corretamente. Finalmente, alguns exemplos em que frações de vários níveis realmente ocorrem:

Uma tarefa. Encontrar valores de expressão:

Então, vamos trabalhar com o primeiro exemplo. Vamos converter todas as frações em impróprias e, em seguida, realizar as operações de adição e divisão:

Vamos fazer o mesmo com o segundo exemplo. Converta todas as frações para impróprias e execute as operações necessárias. Para não aborrecer o leitor, vou omitir alguns cálculos óbvios. Nós temos:

Devido ao fato de o numerador e o denominador das frações principais conterem somas, a regra para escrever frações de vários andares é observada automaticamente. Além disso, no último exemplo, deixamos deliberadamente o número 46/1 na forma de fração para realizar a divisão.

Também noto que em ambos os exemplos, a barra fracionária substitui os colchetes: primeiro, encontramos a soma e só então - o quociente.

Alguém dirá que a transição para frações impróprias no segundo exemplo foi claramente redundante. Talvez seja assim. Mas assim nos protegemos contra erros, porque da próxima vez o exemplo pode se tornar muito mais complicado. Escolha você mesmo o que é mais importante: velocidade ou confiabilidade.

Esta seção trata das operações com frações ordinárias. Se for necessário realizar uma operação matemática com números mistos, basta converter a fração mista em extraordinária, realizar as operações necessárias e, se necessário, apresentar novamente o resultado final como número misto. Esta operação será descrita a seguir.

Redução de fração

Operação matematica. Redução de fração

Para reduzir a fração \frac(m)(n) você precisa encontrar o máximo divisor comum de seu numerador e denominador: gcd(m,n), então dividir o numerador e denominador da fração por esse número. Se gcd(m,n)=1, então a fração não pode ser reduzida. Exemplo: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Normalmente, encontrar imediatamente o máximo divisor comum é uma tarefa difícil e, na prática, a fração é reduzida em várias etapas, destacando passo a passo fatores comuns óbvios do numerador e do denominador. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Trazendo frações para um denominador comum

Operação matematica. Trazendo frações para um denominador comum

Para reduzir duas frações \frac(a)(b) e \frac(c)(d) a um denominador comum, você precisa:

• encontre o mínimo múltiplo comum dos denominadores: M=LCM(b,d);
• multiplique o numerador e o denominador da primeira fração por M / b (após o qual o denominador da fração se torna igual ao número M);
• multiplique o numerador e o denominador da segunda fração por M/d (após o qual o denominador da fração se torna igual ao número M).

Assim, convertemos as frações originais em frações com os mesmos denominadores (que serão iguais ao número M).

Por exemplo, as frações \frac(5)(6) e \frac(4)(9) têm LCM(6,9) = 18. Então: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Assim, as frações resultantes têm um denominador comum.

Na prática, encontrar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores nem sempre é uma tarefa fácil. Portanto, um número igual ao produto dos denominadores das frações originais é escolhido como denominador comum. Por exemplo, as frações \frac(5)(6) e \frac(4)(9) são reduzidas a um denominador comum N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Comparação de frações

Operação matematica. Comparação de frações

Para comparar duas frações comuns:

• comparar os numeradores das frações resultantes; uma fração com um numerador maior será maior.

Por exemplo, \frac(9)(14)

Ao comparar frações, existem vários casos especiais:

1. De duas frações com os mesmos denominadores maior é a fração cujo numerador é maior. Por exemplo \frac(3)(15)
2. De duas frações com os mesmos numeradores a maior é a fração cujo denominador é menor. Por exemplo, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. Essa fração, que ao mesmo tempo numerador maior e denominador menor, mais. Por exemplo, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Atenção! A regra 1 se aplica a quaisquer frações se seu denominador comum for um número positivo. As regras 2 e 3 se aplicam a frações positivas (que têm numerador e denominador maiores que zero).

Adição e subtração de frações

Operação matematica. Adição e subtração de frações

Para somar duas frações, você precisa:

• trazê-los para um denominador comum;
• some seus numeradores e deixe o denominador inalterado.

Exemplo: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49) )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Para subtrair outra fração de uma, você precisa:

• trazer frações para um denominador comum;
• subtraia o numerador da segunda fração do numerador da primeira fração e deixe o denominador inalterado.

Exemplo: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Se as frações originais têm inicialmente um denominador comum, então o ponto 1 (redução a um denominador comum) é ignorado.

Convertendo um número misto em uma fração imprópria e vice-versa

Operação matematica. Convertendo um número misto em uma fração imprópria e vice-versa

Para converter uma fração mista em imprópria, basta somar a parte inteira da fração mista com a parte fracionária. O resultado de tal soma será uma fração imprópria, cujo numerador é igual à soma do produto da parte inteira e o denominador da fração com o numerador da fração mista, e o denominador permanece o mesmo. Por exemplo, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Para converter uma fração imprópria em um número misto:

• dividir o numerador de uma fração pelo seu denominador;
• escreva o resto da divisão no numerador e deixe o denominador igual;
• escreva o resultado da divisão como uma parte inteira.

Por exemplo, a fração \frac(23)(4) . Ao dividir 23:4=5,75, ou seja, a parte inteira é 5, o resto da divisão é 23-5*4=3. Então o número misto será escrito: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Convertendo um Decimal em uma Fração Comum

Operação matematica. Convertendo um Decimal em uma Fração Comum

Para converter um decimal em uma fração comum:

1. tome a n-ésima potência de dez como denominador (aqui n é o número de casas decimais);
2. como numerador, pegue o número após o ponto decimal (se a parte inteira do número original não for igual a zero, pegue todos os zeros à esquerda também);
3. a parte inteira diferente de zero é escrita no numerador logo no início; a parte inteira zero é omitida.

Exemplo 1: 0,0089=\frac(89)(10000) (4 casas decimais, então o denominador 10 4 =10000, já que a parte inteira é 0, o numerador é o número após o ponto decimal sem zeros à esquerda)

Exemplo 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (no numerador escrevemos o número após o ponto decimal com todos os zeros: "0109", e então adicionamos a parte inteira do número original "31" antes dele)

Se a parte inteira de uma fração decimal for diferente de zero, ela poderá ser convertida em uma fração mista. Para fazer isso, traduzimos o número em uma fração ordinária como se a parte inteira fosse igual a zero (pontos 1 e 2), e simplesmente reescrevemos a parte inteira antes da fração - esta será a parte inteira do número misto. Exemplo:

3,014=3\frac(14)(100)

Para converter uma fração ordinária em decimal, basta simplesmente dividir o numerador pelo denominador. Às vezes você obtém um decimal infinito. Neste caso, é necessário arredondar para a casa decimal desejada. Exemplos:

\frac(401)(5)=80.2;\quad \frac(2)(3)\approx0.6667

Multiplicação e divisão de frações

Operação matematica. Multiplicação e divisão de frações

Para multiplicar duas frações comuns, você precisa multiplicar os numeradores e denominadores das frações.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Para dividir uma fração comum por outra, você precisa multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda ( recíprocaé uma fração em que o numerador e o denominador são invertidos.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Se uma das frações for um número natural, as regras de multiplicação e divisão acima permanecem em vigor. Apenas tenha em mente que um inteiro é a mesma fração, cujo denominador é igual a um. Por exemplo: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7

Ações com frações. Neste artigo, vamos analisar exemplos, tudo é detalhado com explicações. Vamos considerar frações ordinárias. No futuro, vamos analisar decimais. Recomendo assistir o todo e estudar sequencialmente.

1. Soma de frações, diferença de frações.

Regra: ao adicionar frações com denominadores iguais, o resultado é uma fração - cujo denominador permanece o mesmo e seu numerador será igual à soma dos numeradores das frações.

Regra: ao calcular a diferença de frações com os mesmos denominadores, obtemos uma fração - o denominador permanece o mesmo e o numerador da segunda é subtraído do numerador da primeira fração.

Notação formal da soma e diferença de frações com denominadores iguais:

Exemplos (1):

É claro que, quando as frações ordinárias são dadas, tudo é simples, mas se elas forem misturadas? Nada complicado...

Opção 1- você pode convertê-los em ordinários e depois calculá-los.

opção 2- você pode "trabalhar" separadamente com as partes inteiras e fracionárias.

Exemplos (2):

Ainda:

E se a diferença de duas frações mistas for dada e o numerador da primeira fração for menor que o numerador da segunda? Também pode ser feito de duas maneiras.

Exemplos (3):

* Traduzida em frações ordinárias, calculada a diferença, convertida a fração imprópria resultante em mista.

* Dividido em partes inteiras e fracionárias, obteve três, então apresentou 3 como a soma de 2 e 1, com a unidade apresentada como 11/11, então encontrou a diferença entre 11/11 e 11/7 e calculou o resultado. O significado das transformações acima é pegar (selecionar) uma unidade e apresentá-la como uma fração com o denominador que precisamos, então dessa fração já podemos subtrair outra.

Outro exemplo:

Conclusão: existe uma abordagem universal - para calcular a soma (diferença) de frações mistas com denominadores iguais, elas sempre podem ser convertidas em impróprias e, em seguida, realizar a ação necessária. Depois disso, se como resultado obtivermos uma fração imprópria, a traduzimos para uma mista.

Acima, vimos exemplos com frações que têm denominadores iguais. E se os denominadores forem diferentes? Nesse caso, as frações são reduzidas ao mesmo denominador e a ação especificada é executada. Para alterar (transformar) uma fração, a propriedade principal da fração é usada.

Considere exemplos simples:

Nestes exemplos, vemos imediatamente como uma das frações pode ser convertida para obter denominadores iguais.

Se designarmos maneiras de reduzir frações a um denominador, então este será chamado MÉTODO UM.

Ou seja, imediatamente ao “avaliar” a fração, você precisa descobrir se tal abordagem funcionará - verificamos se o denominador maior é divisível pelo menor. E se for dividido, realizamos a transformação - multiplicamos o numerador e o denominador para que os denominadores de ambas as frações se tornem iguais.

Agora veja estes exemplos:

Essa abordagem não se aplica a eles. Existem outras maneiras de reduzir frações a um denominador comum, considere-as.

Método SEGUNDO.

Multiplique o numerador e o denominador da primeira fração pelo denominador da segunda, e o numerador e o denominador da segunda fração pelo denominador da primeira:

*Na verdade, trazemos frações para a forma quando os denominadores se tornam iguais. Em seguida, usamos a regra de adicionar tímido com denominadores iguais.

Exemplo:

*Esse método pode ser chamado de universal e sempre funciona. O único aspecto negativo é que, após os cálculos, pode resultar uma fração que precisará ser reduzida ainda mais.

Considere um exemplo:

Pode-se ver que o numerador e o denominador são divisíveis por 5:

Método TERCEIRO.

Encontre o mínimo múltiplo comum (MLC) dos denominadores. Este será o denominador comum. Qual é esse número? Este é o menor número natural que é divisível por cada um dos números.

Olha, aqui estão dois números: 3 e 4, há muitos números que são divisíveis por eles - estes são 12, 24, 36, ... O menor deles é 12. Ou 6 e 15, 30, 60, 90 são divisível por eles .... Mínimo 30. Pergunta - como determinar este mínimo múltiplo comum?

Existe um algoritmo claro, mas muitas vezes isso pode ser feito imediatamente sem cálculos. Por exemplo, de acordo com os exemplos acima (3 e 4, 6 e 15), nenhum algoritmo é necessário, pegamos números grandes (4 e 15), os dobramos e vimos que eles são divisíveis pelo segundo número, mas pares de números podem ser outros, como 51 e 119.

Algoritmo. Para determinar o mínimo múltiplo comum de vários números, você deve:

- decompor cada um dos números em fatores SIMPLES

- escreva a decomposição do MAIOR deles

- multiplique pelos fatores FALTANTES de outros números

Considere exemplos:

50 e 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

na expansão de um número maior, falta um cinco

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 e 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

na expansão de um número maior, faltam dois e três

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* O mínimo múltiplo comum de dois números primos é igual ao seu produto

Pergunta! E por que é útil encontrar o mínimo múltiplo comum, porque você pode usar o segundo método e simplesmente reduzir a fração resultante? Sim, você pode, mas nem sempre é conveniente. Veja qual será o denominador para os números 48 e 72 se você simplesmente multiplicá-los 48∙72 = 3456. Concorde que é mais agradável trabalhar com números menores.

Considere exemplos:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

na expansão de um número maior, falta um triplo

=> LCM(51.119) = 3∙7∙17

E agora aplicamos o primeiro método:

* Veja a diferença nos cálculos, no primeiro caso há um mínimo deles, e no segundo você precisa trabalhar separadamente em um pedaço de papel, e até a fração que você obteve precisa ser reduzida. Encontrar o LCM simplifica consideravelmente o trabalho.

Mais exemplos:

*No segundo exemplo, já fica claro que o menor número divisível por 40 e 60 é 120.

TOTAL! ALGORITMO DE CÁLCULO GERAL!

- trazemos frações para as ordinárias, se houver uma parte inteira.

- trazemos as frações para um denominador comum (primeiro olhamos para ver se um denominador é divisível por outro, se é divisível, depois multiplicamos o numerador e o denominador dessa outra fração; se não for divisível, agimos usando o outros métodos indicados acima).

- tendo recebido frações com denominadores iguais, realizamos ações (adição, subtração).

- se necessário, reduzimos o resultado.

- se necessário, selecione a peça inteira.

2. Produto de frações.

A regra é simples. Ao multiplicar frações, seus numeradores e denominadores são multiplicados:

Exemplos: