Você vai precisar

• Desenho de cone com parâmetros especificados
• governante
• Lápis
• Fórmulas matemáticas e definições
• Altura do cone
• O raio do círculo da base do cone
• Fórmula da área do triângulo

Instrução

Desenhe um cone com os parâmetros fornecidos. Rotule o centro do círculo como O e o vértice como P. Você precisa saber o raio e a altura do cone. Lembre-se das alturas do cone. É uma perpendicular, do topo do cone até sua base. O ponto de intersecção da altura do cone com a base do cone direito coincide com o centro do círculo da base. Construa uma seção axial do cone. É o diâmetro da base e dos geradores do cone, que passam pelos pontos de intersecção do diâmetro com o círculo. Rotule os pontos resultantes como A e B.

A seção axial é formada por dois triângulos retângulos situados no mesmo plano e tendo uma perna comum. Existem duas maneiras de calcular a área da seção axial. A primeira maneira é encontrar as áreas dos triângulos resultantes e somá-los. Esta é a forma mais visual, mas na verdade não é diferente do cálculo clássico de um triângulo. Então, você tem 2 triângulos retângulos, cujo cateto comum é a altura do cone h, os segundos catetos são os raios da circunferência da base R e as hipotenusas são os geradores do cone. Como todos os três lados desses triângulos são iguais entre si, os próprios triângulos também são iguais, de acordo com a terceira propriedade da igualdade dos triângulos. A área de um triângulo retângulo é igual à metade do produto de seus catetos, ou seja, S=1/2Rh. A área dos dois triângulos, respectivamente, será igual ao produto da base pela altura, S=Rh.

A seção axial é mais frequentemente considerada como, cuja altura é a altura do cone. Neste caso, este é um triângulo APV, cuja base é igual ao diâmetro da circunferência da base do cone D, e a altura é igual à altura do cone h. Sua área é calculada de acordo com a fórmula clássica para a área de um triângulo, ou seja, como resultado, obtemos a mesma fórmula S = 1/2Dh = Rh, onde S é a área do triângulo, R é o raio do círculo da base, e h é a altura do triângulo, que também é a altura do cone.

Conselho util

A área da seção axial do cone é calculada pela fórmula da área de um trapézio. Nesse caso, você precisa conhecer os raios da base, a altura e a linha média.

Origens:

• Tópico da lição “Seções de um cone

Um cone é um corpo obtido pela união de todos os raios que emanam de um ponto, que é chamado de topo do cone e passam por uma superfície plana, que é chamada de base do cone. A área de um cone é a área de sua superfície lateral e a área da base, que é um círculo.

Você vai precisar

• Conhecimentos elementares de estereometria.

Instrução

A área final de um cone é igual à soma das áreas de sua superfície e base. Ou seja, S \u003d P * R * R + P * R * l. Bem, ou após a transformação, S \u003d P * R (R + l).

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Nota

A área é um valor positivo e, se você obtiver um valor negativo, cometeu um erro em algum lugar. Verifique cuidadosamente todos os seus cálculos.

Conselho util

Conhecendo a área do cone e o raio de sua base, você pode encontrar o comprimento de sua guia e conhecer a área e o comprimento da guia - o raio de sua base.

Origens:

• como encontrar a superfície de um cone em 2019

Construir uma seção de um cone não é uma tarefa tão difícil. O principal é seguir uma sequência estrita de ações. Então esta tarefa será fácil de fazer e não exigirá muito esforço de você.

Você vai precisar

• - papel;
• - caneta;
• - círculo;
• - régua.

Instrução

Ao responder a esta pergunta, primeiro você precisa decidir para quais parâmetros a seção está definida.
Seja esta a linha de interseção do plano l com o plano e o ponto O, que é o ponto de interseção com sua seção.

A construção é ilustrada na Fig.1. O primeiro passo na construção de uma seção é através do centro da seção de seu diâmetro, estendida até l perpendicular a esta linha. Como resultado, obtém-se o ponto L. Além disso, através do ponto O, desenhe uma linha reta LW e construa dois cones direcionadores situados na seção principal O2M e O2C. Na intersecção destas guias encontra-se o ponto Q, bem como o ponto W já mostrado. Estes são os dois primeiros pontos da seção desejada.

Agora desenhe um MC perpendicular na base do cone BB1 ​​e construa os geradores da seção perpendicular O2B e O2B1. Nesta seção, desenhe uma linha reta RG passando por t.O, paralela a BB1. T.R e t.G - mais dois pontos da seção desejada. Se a seção transversal da bola fosse conhecida, ela já poderia ser construída nesta fase. No entanto, esta não é uma elipse, mas algo elíptico, tendo simetria em relação ao segmento QW. Portanto, você deve construir o maior número possível de pontos da seção para conectá-los no futuro com uma curva suave para obter o esboço mais confiável.

Construa um ponto de seção arbitrário. Para isso, desenhe um diâmetro arbitrário AN na base do cone e construa as guias correspondentes O2A e O2N. Por PO traçar uma linha reta passando por PQ e WG, até cruzar com as guias recém-construídas nos pontos P e E. Esses são mais dois pontos da seção desejada. Continuando da mesma forma e mais longe, você pode arbitrariamente pontos desejados.

É verdade que o procedimento para obtê-los pode ser ligeiramente simplificado usando simetria em relação a QW. Para isso, é possível traçar retas SS' paralelas a RG no plano da seção desejada, paralelas a RG até se cruzarem com a superfície do cone. A construção é concluída arredondando a polilinha construída a partir de cordas. Basta construir metade da seção necessária devido à já mencionada simetria em relação a QW.

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Dica 4: Como encontrar a área da seção axial de um cone truncado

Para resolver esse problema, você precisa lembrar o que é um cone truncado e quais propriedades ele possui. Certifique-se de desenhar. Isso determinará qual figura geométrica é uma seção. É bem possível que, depois disso, a solução do problema não seja mais difícil para você.

Instrução

Um cone redondo é um corpo obtido pela rotação de um triângulo em torno de uma de suas pernas. Linhas retas vindo de cima cones e cruzando sua base são chamados de geradores. Se todos os geradores são iguais, então o cone é reto. Na base da rodada cones encontra-se um círculo. A perpendicular baixada até a base a partir do topo é a altura cones. Na reta redonda cones altura coincide com o seu eixo. O eixo é uma linha reta que se conecta ao centro da base. Se o plano de corte horizontal da circular cones, então sua base superior é um círculo.

Como não está especificado na condição do problema, é o cone que é dado neste caso, podemos concluir que este é um cone reto truncado, cuja seção horizontal é paralela à base. Sua seção axial, ou seja, plano vertical, que passa pelo eixo de uma cones, é um trapézio isósceles. Todos axiais Seções redondo em linha reta cones são iguais entre si. Portanto, para encontrar quadrado axial Seções, é necessário encontrar quadrado trapézio, cujas bases são os diâmetros das bases do truncado cones, e os lados são seus geradores. Altura truncada conesé também a altura do trapézio.

A área de um trapézio é determinada pela fórmula: S = ½(a+b) h, onde S é quadrado trapézio; a - o valor da base inferior do trapézio; b - o valor de sua base superior; h - a altura do trapézio.

O raio da base do cone com o vértice é igual a 6, e o comprimento de sua geratriz é igual a 9. Pontos e são escolhidos no círculo da base do cone, dividindo o círculo em dois arcos, cujos comprimentos estão relacionados como 1:3. Encontre a área da seção do cone pelo plano.

A solução do problema

Esta lição mostra como construir corretamente uma seção de um cone por um plano e encontrar a área desta seção. O ponto principal para resolver este problema é a razão de arcos, que é dada pela condição: dado que a razão é 1:3, pode-se determinar claramente que a medida de grau de um arco será de 90 °. E isso simplifica muito a solução do problema. A fórmula para a área de um triângulo: metade do produto da base pela altura - permite determinar os segmentos cujos comprimentos precisamos encontrar. Para encontrar o comprimento da base, usamos o teorema de Pitágoras (o triângulo acaba sendo não apenas retangular, mas também isósceles - as pernas do triângulo são os raios da base do círculo). Também encontramos a altura da seção usando o teorema de Pitágoras. Já conhecemos a base (precisamos da metade dela) e o comprimento da geratriz é dado por condição. Resta encontrar o produto dos segmentos obtidos e dividi-lo em dois. Resposta recebida.

A solução deste problema é recomendada para alunos da 8ª série ao estudar o tópico "Área" ("O teorema de Pitágoras", "Área do triângulo"); para alunos do 11º ano quando estudam o tema "Corpo de revolução" ("Resolução de problemas. Cone"). Em preparação para o exame, a lição é recomendada ao repetir o tópico “Área”, “Corpo de revolução”.

Burkovskaya Nina Dmitrievna

Professor de matemática

Colégio Tecnológico Ural "Serviço".

Tema do programa: Corpos de rotação - 10 horas.

Tópico da lição: Cone circular direito, seus elementos. Seções de um cone por um plano. Desenvolvimento de cones. A área da superfície de um cone.

O objetivo da aula: Formação do conhecimento teórico sobre um cone como corpo de revolução, suas propriedades, tipos de seção por um plano e a área da superfície total. Pensamento matemático, representação espacial;

Independência da atividade educativa e cognitiva.

Tipo de aula: Aula combinada.

Métodos de gestão: Palestra-aula prática.

Equipamento da aula: Ambiente matemáticoGeoGebra.

DURANTE AS AULAS:

Momento organizacional - 1 - 2 minutos.

Cumprimentando os alunos.

Marca ausente.

II . Pesquisa de lição de casa

1. A área da superfície lateral do cilindro;

2. A área de toda a superfície do cilindro;

3. Um cilindro inscrito em um prisma;

4. Cilindro circunscrito próximo a um prisma.

III . Explicação do novo material. Sumário breve.

1. Cone - um corpo que consiste em um círculo - a base do cone, um ponto que não está no plano deste círculo - o topo do cone e todos os segmentos que ligam o topo do cone com os pontos da base.

O cone é obtido girando um triângulo retângulo ao redor da perna.

2. Agora considere como o cone é construído. Primeiro desenhe um círculo com um centroOe diretoSOperpendicular ao plano desse círculo. Conectamos cada ponto do círculo por um segmento com um pontoS. A superfície formada por esses segmentos é chamada de superfície cônica, e os próprios segmentos são chamados de geradores da superfície cônica.

3. t.S- o topo do círculo do cone (O, OA) - a base do cone

SA= SBsão geradores de cone. Segmento de linhaENTÃOé a altura do cone. Em linha retaENTÃO- eixo do cone

4. a) a seção axial do cone é um triângulo isósceles

A seção axial do cone é a seção do cone por um plano que passa pelo eixo do cone e

através de seu topo é um triângulo isósceles.

A seção do cone por um plano perpendicular ao eixo de simetria é um círculo,

AB - seção perpendicular ao eixo de simetria e paralela à base.

Expressamos a área da superfície lateral do cone em termos de sua geratriz e do raio da base.

Medida de grau de um arco

O comprimento do arco do setor é igual ao comprimento da circunferência da base do cone.

expressar através e, então

, .

Como encontrar a área total da superfície?

A área de superfície total é a soma da área de superfície lateral e a área de base.

, .

O plano tangente ao cone é o plano que passa pela geratriz do cone e perpendicular ao plano da seção axial que contém esta geratriz..

4 . Fixação de novo material:

Tarefa: O raio da base do cone é de 14 cm. Encontre a área da seção traçada perpendicularmente ao seu eixo pelo meio .

Decisão: △ MAS S O - retangular ( S O  base), ∠ S AO=30 0 , S O (está contra um ângulo de 30 0 )=, então COMO =2O S \u003d 2 * 12 \u003d 24. De acordo com o pitagórico O; S b. = Responda: S b. =.

Trabalho de casa §6.1 - 6.2, nº 8

Literatura

Zh. Kaidasov, V. Gusev, A. Kagazbaeva Geometria 10, 11 graus. Material didático sobre geometria para as séries 10, 11.

Área seccional de um cone. Outro artigo com cones é apresentado para você. No momento da redação deste artigo, o blog resolveu todos os exemplos (protótipos) de tarefas com cones que são possíveis no exame. O processo de solução é simples (1-2 ações), com certa prática são resolvidos oralmente. Você precisa conhecer o conceito de uma geratriz, informações sobre isso em. Também é necessário entender como as seções de um cone são formadas.

1. Se o plano passa pelo vértice do cone, então a seção é um triângulo.

*Se o plano passa pelo eixo do cone, então a seção é um triângulo isósceles, cuja altura é igual à altura do cone e a base na qual essa altura é abaixada é igual ao diâmetro da base do cone.

2. Se o plano passa perpendicularmente ao eixo do cone, então a seção é um círculo.

Uma característica dessas tarefas é que a fórmula da área do triângulo é aplicada. Repita as fórmulas periodicamente. Considere as tarefas:

324453. A área da base do cone é 16pi, a altura é 6. Encontre a área da seção axial do cone.

A seção axial do cone é um triângulo com uma base igual ao diâmetro da base do cone e uma altura igual à altura do cone. Vamos denotar o diâmetro como D, a altura como H, anote a fórmula para a área de um triângulo:

A altura é conhecida, calculamos o diâmetro. Usamos a fórmula para a área de um círculo:

Então o diâmetro será igual a 8. Calcule a área da seção transversal:

Resposta: 24

324454. A área da base do cone é 18. O plano paralelo ao plano da base do cone divide sua altura em segmentos de comprimento 3 e 6, contando a partir do topo. Encontre a área da seção transversal do cone por este plano.

A seção é um círculo. Você precisa encontrar a área deste círculo.

Vamos construir uma seção axial:

Considere os triângulos AKL e AOC - eles são semelhantes. Sabe-se que em figuras semelhantes as proporções dos elementos correspondentes são iguais. Vamos considerar a relação de alturas e pernas (raios):

OC é o raio da base, pode ser encontrado:

Meios

Agora podemos calcular a área da seção transversal:

*Esta é uma forma algébrica de calcular sem usar a propriedade da área de corpos semelhantes. Pode-se argumentar assim:

Dois cones (original e cortado) são semelhantes, portanto, suas bases são figuras semelhantes. Para as áreas de figuras semelhantes, há uma dependência:

O coeficiente de similaridade neste caso é igual a 1/3 (a altura do cone original é 9, corte 3), 3/9=1/3.

Assim, a área da base do cone resultante é:

Resposta: 2

323455. A altura do cone é 8 e o comprimento da geratriz é 10. Encontre a área da seção axial deste cone.

Seja a geratriz L, a altura H e o raio da base R.

Encontre o diâmetro da base e use a fórmula da área de um triângulo para calcular a área. De acordo com o teorema de Pitágoras:

Seja a geratriz L, a altura H, o raio da base R. É isso. Boa sorte para você!

Atenciosamente, Alexander Krutitskikh.

P.S: Agradeceria se você falasse sobre o site nas redes sociais.

Uma das figuras que ocorre ao resolver problemas geométricos no espaço é um cone. Ao contrário dos poliedros, pertence à classe das figuras de rotação. Consideraremos no artigo o que se entende por geometria e examinaremos as características de várias seções do cone.

Suponha que haja alguma curva no plano. Pode ser uma parábola, um círculo, uma elipse e assim por diante. Pegue um ponto que não pertença ao plano especificado e conecte todos os pontos da curva a ele. A superfície resultante é chamada de cone ou simplesmente cone.

Se a curva original for fechada, a superfície cônica pode ser preenchida com matéria. A figura assim obtida é um corpo tridimensional. Também é chamado de cone. Vários cones de papel são mostrados abaixo.

A superfície cônica é encontrada na vida comum. Por exemplo, um cone de sorvete ou um cone de trânsito listrado tem essa forma, projetada para atrair a atenção de motoristas e pedestres.

Tipos de cones

Como você pode imaginar, as figuras em consideração diferem umas das outras pelo tipo de curva em que são formadas. Por exemplo, existe um cone redondo ou elíptico. Essa curva é chamada de base da figura. No entanto, a forma da base não é a única característica que permite classificar os cones.

Sua segunda característica importante é a posição da altura em relação à base. A altura de um cone é um segmento de reta, que desce do topo da figura até o plano da base e é perpendicular a este plano. Se a altura cruza a base no centro geométrico (por exemplo, no centro do círculo), o cone será reto, se o segmento perpendicular cair em qualquer outro ponto da base ou além dele, a figura será inclinado.

Nomes geométricos de elementos de cone

Foi dito acima que o cone tem uma base. É limitado por um círculo, que é chamado de guia do cone. Os segmentos que conectam a guia a um ponto que não está no plano da base são chamados de geradores. O conjunto de todos os pontos dos geradores é chamado de superfície cônica ou lateral da figura. Para um cone redondo direito, todos os geradores têm o mesmo comprimento.

O ponto onde os geradores se cruzam é ​​chamado de vértice da figura. Ao contrário dos poliedros, um cone tem um único vértice e nenhuma face.

A linha reta que passa pelo topo da figura e pelo centro do círculo é chamada de eixo. O eixo contém a altura de um cone reto, de modo que forma um ângulo reto com o plano da base. Esta informação é importante ao calcular a área da seção axial do cone.

Cone reto redondo - figura de rotação

O cone em consideração é uma figura bastante simétrica, que pode ser obtida como resultado da rotação de um triângulo. Suponha que temos um triângulo com um ângulo reto. Para obter um cone, basta girar esse triângulo em torno de uma das pernas, como mostra a figura abaixo.

Pode-se ver que o eixo de rotação é o eixo do cone. Uma das pernas será igual à altura da figura e a segunda perna se tornará o raio da base. A hipotenusa de um triângulo como resultado da rotação descreverá uma superfície cônica. Será a geratriz do cone.

Este método de obtenção de um cone reto redondo é conveniente para estudar a relação matemática entre os parâmetros lineares da figura: a altura h, o raio da base redonda r e a guia g. A fórmula correspondente segue das propriedades de um triângulo retângulo. Ele está listado abaixo:

Como temos uma equação e três variáveis, isso significa que, para definir de forma única os parâmetros de um cone redondo, é necessário conhecer duas quantidades quaisquer.

Seções de um cone por um plano que não contém o vértice da figura

A questão de construir seções de uma figura não é trivial. O fato é que a forma da seção do cone pela superfície depende da posição relativa da figura e da secante.

Suponha que cruzamos o cone com um plano. Qual será o resultado dessa operação geométrica? As opções de formato de seção são mostradas na figura abaixo.

A seção rosa é um círculo. É formado como resultado da intersecção da figura com um plano paralelo à base do cone. São seções perpendiculares ao eixo da figura. A figura formada acima do plano de corte é um cone semelhante ao original, mas com um círculo menor na base.

A seção verde é uma elipse. É obtido se o plano de corte não for paralelo à base, mas apenas interceptar.A figura cortada acima do plano é chamada de cone inclinado elíptico.

As seções azul e laranja são parabólicas e hiperbólicas, respectivamente. Como pode ser visto na figura, eles são obtidos se o plano de corte interceptar simultaneamente a superfície lateral e a base da figura.

Para determinar as áreas das seções do cone consideradas, é necessário usar as fórmulas da figura correspondente no plano. Por exemplo, para um círculo, isso é Pi multiplicado pelo quadrado do raio, e para uma elipse, este é o produto de Pi pelo comprimento dos semieixos menor e maior:

círculo: S \u003d pi * r 2;

elipse: S = pi*a*b.

Seções contendo o topo de um cone

Agora considere as opções para seções que surgem se o plano de corte passar pela parte superior do cone. Três casos são possíveis:

1. A seção é um único ponto. Por exemplo, um plano que passa pelo vértice e paralelo à base fornece exatamente essa seção.
2. A seção é uma linha reta. Esta situação ocorre quando o plano é tangente a uma superfície cônica. A reta da seção neste caso será a geratriz do cone.
3. Corte axial. É formado quando o plano contém não apenas o topo da figura, mas também todo o seu eixo. Neste caso, o plano será perpendicular à base redonda e dividirá o cone em duas partes iguais.

É óbvio que as áreas dos dois primeiros tipos de seções são iguais a zero. Quanto à área da seção transversal do cone para o 3º tipo, essa questão é discutida com mais detalhes no próximo parágrafo.

Seção axial

Foi observado acima que a seção axial de um cone é a figura formada quando o cone é interceptado por um plano que passa pelo seu eixo. É fácil adivinhar que esta seção representará a figura mostrada na figura abaixo.

Este é um triângulo isósceles. O vértice da seção axial do cone é o vértice desse triângulo, formado pela interseção de lados idênticos. Estes últimos são iguais ao comprimento da geratriz do cone. A base de um triângulo é o diâmetro da base do cone.

O cálculo da área da seção axial do cone é reduzido para encontrar a área do triângulo resultante. Se o raio da base r e a altura h do cone são inicialmente conhecidos, então a área S da seção considerada será igual a:

Essa expressão é consequência da aplicação da fórmula padrão para a área de um triângulo (metade da altura multiplicada pela base).

Observe que, se for igual ao diâmetro de sua base redonda, a seção axial do cone é um triângulo equilátero.

Uma seção triangular é formada quando o plano de corte é perpendicular à base do cone e passa pelo seu eixo. Qualquer outro plano paralelo ao mencionado dará uma hipérbole em seção. No entanto, se o plano contém o vértice do cone e intercepta sua base não através do diâmetro, a seção resultante também será um triângulo isósceles.

A tarefa de determinar os parâmetros lineares do cone

Mostraremos como usar a fórmula escrita para a área da seção axial para resolver um problema geométrico.

Sabe-se que a área da seção axial do cone é de 100 cm 2 . O triângulo resultante é equilátero. Qual é a altura do cone e o raio de sua base?

Como o triângulo é equilátero, sua altura h está relacionada ao comprimento do lado a pela seguinte relação:

Dado que o lado do triângulo é o dobro do raio da base do cone, e substituindo esta expressão na fórmula da área da seção transversal, temos:

S = h*r = √3/2*2*r*r =>

r = √(S/√3).

Então a altura do cone é:

h = √3/2*2*r = √3*√(S/√3) = √(√3*S).

Resta substituir o valor da área pela condição do problema e obter a resposta:

r = √(100/√3) ≈ 7,60 cm;

h = √(√3*100) ≈ 13,16 cm.

Em que áreas é importante conhecer os parâmetros das seções consideradas?

O estudo de vários tipos de seções de cone não é apenas de interesse teórico, mas também tem aplicações práticas.

Em primeiro lugar, deve-se notar a área da aerodinâmica, onde com a ajuda de seções cônicas é possível criar formas lisas ideais de corpos sólidos.

Em segundo lugar, as seções cônicas são trajetórias ao longo das quais os objetos espaciais se movem em campos gravitacionais. Qual é exatamente a trajetória dos corpos cósmicos do sistema, é determinada pela razão de suas massas, velocidades absolutas e distâncias entre eles.