Neste artigo, vamos entender o que é grau de. Aqui daremos definições do grau de um número, considerando em detalhes todos os possíveis expoentes do grau, começando com um expoente natural, terminando com um irracional. No material você encontrará muitos exemplos de graus que cobrem todas as sutilezas que surgem.

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Grau com expoente natural, quadrado de um número, cubo de um número

Vamos começar com . Olhando adiante, digamos que a definição do grau de a com expoente natural n seja dada para a , que chamaremos base de grau, e n , que chamaremos de expoente. Observamos também que o grau com um indicador natural é determinado através do produto, portanto, para entender o material abaixo, você precisa ter uma ideia sobre a multiplicação de números.

Definição.

Potência do número a com expoente natural né uma expressão da forma a n , cujo valor é igual ao produto de n fatores, cada um dos quais é igual a a , ou seja, .
Em particular, o grau de um número a com expoente 1 é o próprio número a, ou seja, a 1 = a.

Imediatamente vale a pena mencionar as regras para a leitura de graus. A maneira universal de ler a entrada a n é: "a elevado a n". Em alguns casos, essas opções também são aceitáveis: "a elevado à enésima potência" e "nésima potência do número a". Por exemplo, vamos pegar a potência de 8 12, isto é "oito à potência de doze", ou "oito à décima segunda potência", ou "décima segunda potência de oito".

A segunda potência de um número, assim como a terceira potência de um número, têm seus próprios nomes. A segunda potência de um número chama-se o quadrado de um número, por exemplo, 7 2 é lido como "sete ao quadrado" ou "quadrado do número sete". A terceira potência de um número chama-se número do cubo, por exemplo, 5 3 pode ser lido como "cinco ao cubo" ou dizer "cubo do número 5".

É hora de trazer exemplos de graus com indicadores físicos. Vamos começar com a potência de 5 7 , onde 5 é a base da potência e 7 é o expoente. Vamos dar outro exemplo: 4,32 é a base, e o número natural 9 é o expoente (4,32) 9 .

Observe que no último exemplo, a base do grau 4,32 está escrita entre parênteses: para evitar discrepâncias, colocaremos entre parênteses todas as bases do grau que são diferentes dos números naturais. Como exemplo, damos os seguintes graus com indicadores naturais , suas bases não são números naturais, então eles são escritos entre parênteses. Bem, para total clareza neste ponto, mostraremos a diferença contida nos registros da forma (−2) 3 e −2 3 . A expressão (−2) 3 é a potência de −2 com expoente natural 3, e a expressão −2 3 (pode ser escrita como −(2 3) ) corresponde ao número, o valor da potência 2 3 .

Observe que há uma notação para o grau de a com um expoente n da forma a^n . Além disso, se n é um número natural multivalorado, então o expoente é tomado entre parênteses. Por exemplo, 4^9 é outra notação para a potência de 4 9 . E aqui estão mais exemplos de como escrever graus usando o símbolo “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . No que segue, usaremos principalmente a notação do grau da forma a n .

Um dos problemas, o inverso da exponenciação com um expoente natural, é o problema de encontrar a base do grau a partir de um valor conhecido do grau e de um expoente conhecido. Esta tarefa leva a .

Sabe-se que o conjunto dos números racionais é composto por números inteiros e fracionários, e cada número fracionário pode ser representado como uma fração ordinária positiva ou negativa. Definimos o grau com um expoente inteiro no parágrafo anterior, portanto, para completar a definição do grau com um expoente racional, precisamos dar o significado do grau do número a com um expoente fracionário m / n, onde m é um número inteiro e n é um número natural. Vamos fazê-lo.

Considere um grau com um expoente fracionário da forma . Para que a propriedade de grau em um grau permaneça válida, a igualdade deve valer . Se levarmos em conta a igualdade resultante e a forma como definimos , então é lógico aceitar, desde que para dados m, n e a, a expressão faça sentido.

É fácil verificar que todas as propriedades de um grau com um expoente inteiro são válidas para as (isso é feito na seção sobre as propriedades de um grau com um expoente racional).

O raciocínio acima nos permite fazer o seguinte conclusão: se para dados m, n e a a expressão fizer sentido, então a potência do número a com um expoente fracionário m / n é a raiz do enésimo grau de a elevado à potência m.

Esta afirmação nos aproxima da definição de um grau com um expoente fracionário. Resta apenas descrever para quais m, n e a a expressão faz sentido. Dependendo das restrições impostas a m , n e a, existem duas abordagens principais.

A maneira mais fácil de restringir a é assumir a≥0 para m positivo e a>0 para m negativo (porque m≤0 não tem potência de 0 m). Então obtemos a seguinte definição do grau com um expoente fracionário.

Definição.

Potência de um número positivo a com expoente fracionário m/n, onde m é um número inteiro e n é um número natural, é chamado de raiz da n-ésima parte do número a elevado à potência de m, ou seja, .

O grau fracionário de zero também é definido com a única ressalva de que o expoente deve ser positivo.

Definição.

Potência de zero com expoente positivo fracionário m/n, onde m é um número inteiro positivo e n é um número natural, é definido como .
Quando o grau não está definido, ou seja, o grau do número zero com um expoente negativo fracionário não faz sentido.

Deve-se notar que com tal definição do grau com um expoente fracionário, há uma nuance: para alguns a negativos e alguns m e n, a expressão faz sentido, e descartamos esses casos introduzindo a condição a≥0 . Por exemplo, faz sentido escrever ou , e a definição acima nos obriga a dizer que graus com um expoente fracionário da forma não têm sentido, pois a base não deve ser negativa.

Outra abordagem para determinar o grau com um expoente fracionário m / n é considerar separadamente os expoentes pares e ímpares da raiz. Esta abordagem requer uma condição adicional: o grau do número a, cujo expoente é , é considerado o grau do número a, cujo expoente é a fração irredutível correspondente (a importância desta condição será explicada abaixo). Ou seja, se m/n é uma fração irredutível, então para qualquer número natural k o grau é primeiro substituído por .

Para n par e m positivo, a expressão faz sentido para qualquer a não negativo (a raiz de um grau par de um número negativo não faz sentido), para m negativo, o número a ainda deve ser diferente de zero (caso contrário, será uma divisão por zero). E para n ímpar e m positivo, o número a pode ser qualquer coisa (a raiz de um grau ímpar é definida para qualquer número real), e para m negativo, o número a deve ser diferente de zero (para que não haja divisão por zero).

O raciocínio acima nos leva a tal definição do grau com um expoente fracionário.

Definição.

Seja m/n uma fração irredutível, m um número inteiro e n um número natural. Para qualquer fração ordinária redutível, o grau é substituído por . A potência de a com um expoente fracionário irredutível m / n é para



Vamos explicar por que um grau com um expoente fracionário redutível é primeiro substituído por um grau com um expoente irredutível. Se simplesmente definissemos o grau como , e não fizéssemos uma ressalva sobre a irredutibilidade da fração m / n , encontraríamos situações semelhantes às seguintes: desde 6/10=3/5 , então a igualdade , mas , uma .

Um número elevado a uma potência ligue para um número que é multiplicado por ele mesmo várias vezes.

Potência de um número com valor negativo (a) pode ser definido da mesma forma que o grau do mesmo número com um expoente positivo é determinado (a) . No entanto, também requer uma definição adicional. A fórmula é definida como:

a = (1 / um n)

As propriedades dos valores negativos das potências dos números são semelhantes às potências com um expoente positivo. Equação Representada uma m/a n = um m-n pode ser justo como

« Em nenhum lugar, como na matemática, a clareza e a precisão da conclusão não permitem que uma pessoa se afaste da resposta falando em torno da questão.».

A. D. Alexandrov

no n mais m , assim como m mais n . Vejamos um exemplo: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Primeiro você precisa determinar o número que funciona como uma definição do grau. b=a(-n) . Neste exemplo -n é um indicador do grau b - valor numérico desejado, uma - a base do grau como valor numérico natural. Em seguida, determine o módulo, ou seja, o valor absoluto de um número negativo, que atua como expoente. Calcule o grau do número dado em relação ao número absoluto como um indicador. O valor do grau é encontrado dividindo um pelo número resultante.

Arroz. 1

Considere a potência de um número com um expoente fracionário negativo. Imagine que o número a é qualquer número positivo, os números n e m - inteiros. Por definição uma , que é elevado à potência - é igual a um dividido pelo mesmo número com um grau positivo (Fig. 1). Quando a potência de um número é uma fração, nesses casos apenas números com expoentes positivos são usados.

Vale lembrar que zero nunca pode ser um expoente de um número (a regra da divisão por zero).

A disseminação de tal conceito como número iniciou manipulações como cálculos de medição, bem como o desenvolvimento da matemática como ciência. A introdução de valores negativos deveu-se ao desenvolvimento da álgebra, que deu soluções gerais para problemas aritméticos, independentemente de seu significado específico e dados numéricos iniciais. Na Índia, nos séculos 6 a 11, valores negativos de números eram usados ​​sistematicamente na resolução de problemas e eram interpretados da mesma maneira que hoje. Na ciência européia, os números negativos começaram a ser amplamente utilizados graças a R. Descartes, que deu uma interpretação geométrica dos números negativos como direções de segmentos. Foi Descartes quem sugeriu que o número elevado a uma potência fosse apresentado como uma fórmula de dois andares. a .

Obviamente, números com potências podem ser somados como outras quantidades , adicionando-os um a um com seus sinais.

Então, a soma de a 3 e b 2 é a 3 + b 2 .
A soma de a 3 - b n e h 5 -d 4 é a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Chances as mesmas potências das mesmas variáveis pode ser adicionado ou subtraído.

Então, a soma de 2a 2 e 3a 2 é 5a 2 .

Também é óbvio que se tomarmos dois quadrados a, ou três quadrados a, ou cinco quadrados a.

Mas graus várias variáveis e vários graus variáveis ​​idênticas, devem ser adicionados adicionando-os aos seus sinais.

Então, a soma de a 2 e a 3 é a soma de a 2 + a 3 .

É óbvio que o quadrado de a e o cubo de a não são duas vezes o quadrado de a, mas duas vezes o cubo de a.

A soma de a 3 b n e 3a 5 b 6 é a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Subtração os poderes são executados da mesma maneira que a adição, exceto que os sinais do subtraendo devem ser alterados de acordo.

Ou:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 - 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Multiplicação de poder

Números com potências podem ser multiplicados como outras quantidades escrevendo-os um após o outro, com ou sem o sinal de multiplicação entre eles.

Então, o resultado da multiplicação de a 3 por b 2 é a 3 b 2 ou aaabb.

Ou:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

O resultado no último exemplo pode ser ordenado adicionando as mesmas variáveis.
A expressão terá a forma: a 5 b 5 y 3 .

Ao comparar vários números (variáveis) com potências, podemos ver que se dois deles forem multiplicados, o resultado é um número (variável) com potência igual a soma graus de termos.

Assim, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Aqui 5 é a potência do resultado da multiplicação, igual a 2 + 3, a soma das potências dos termos.

Assim, a n .a m = a m+n .

Para a n , a é tomado como fator tantas vezes quanto a potência de n;

E a m , é tomado como fator tantas vezes quanto o grau m é igual a;

Então, potências com as mesmas bases podem ser multiplicadas pela adição dos expoentes.

Assim, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . E x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Ou:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Multiplique (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Resposta: x 4 - y 4.
Multiplique (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Esta regra também é válida para números cujos expoentes são - negativo.

1. Assim, a -2 .a -3 = a -5 . Isso pode ser escrito como (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. s-n .y-m = y-n-m .

3. a -n.am = am-n.

Se a + b for multiplicado por a - b, o resultado será a 2 - b 2: isto é

O resultado da multiplicação da soma ou diferença de dois números é igual à soma ou diferença de seus quadrados.

Se a soma e a diferença de dois números elevados a quadrado, o resultado será igual à soma ou diferença desses números em quarto grau.

Então, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8 .

Divisão de poderes

Os números de potência podem ser divididos como outros números, subtraindo do divisor ou colocando-os na forma de fração.

Então a 3 b 2 dividido por b 2 é a 3 .

Ou:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Escrever um 5 dividido por um 3 se parece com $\frac(a^5)(a^3)$. Mas isso é igual a um 2 . Em uma série de números
a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
qualquer número pode ser dividido por outro, e o expoente será igual a diferença indicadores de números divisíveis.

Ao dividir potências com a mesma base, seus expoentes são subtraídos..

Então, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Ou seja, $\frac(aaaa)(aa) = y$.

E a n+1:a = a n+1-1 = a n . Ou seja, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Ou:
a2m: aa = aa
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

A regra também é válida para números com negativo valores de grau.
O resultado da divisão de um -5 por um -3 é um -2.
Além disso, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 ou $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

É necessário dominar muito bem a multiplicação e divisão de potências, pois tais operações são muito utilizadas em álgebra.

Exemplos de resolução de exemplos com frações contendo números com potências

1. Reduza os expoentes em $\frac(5a^4)(3a^2)$ Resposta: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Reduza os expoentes em $\frac(6x^6)(3x^5)$. Resposta: $\frac(2x)(1)$ ou 2x.

3. Reduza os expoentes a 2 / a 3 e a -3 / a -4 e leve a um denominador comum.
a 2 .a -4 é um primeiro numerador -2.
a 3 .a -3 é a 0 = 1, o segundo numerador.
a 3 .a -4 é a -1 , o numerador comum.
Após simplificação: a -2 /a -1 e 1/a -1 .

4. Reduza os expoentes 2a 4 /5a 3 e 2 /a 4 e leve a um denominador comum.
Resposta: 2a 3 / 5a 7 e 5a 5 / 5a 7 ou 2a 3 / 5a 2 e 5/5a 2.

5. Multiplique (a 3 + b)/b 4 por (a - b)/3.

6. Multiplique (a 5 + 1)/x 2 por (b 2 - 1)/(x + a).

7. Multiplique b 4 /a -2 por h -3 /x e a n /y -3 .

8. Divida 4 /y 3 por 3 /y 2 . Resposta: a/s.

9. Divida (h 3 - 1)/d 4 por (d n + 1)/h.

O expoente é usado para facilitar a escrita da operação de multiplicar um número por ele mesmo. Por exemplo, em vez de escrever, você pode escrever 4 5 (\displaystyle 4^(5))(uma explicação de tal transição é dada na primeira seção deste artigo). As potências facilitam a escrita de expressões ou equações longas ou complexas; Além disso, as potências são facilmente adicionadas e subtraídas, resultando em uma simplificação de uma expressão ou equação (por exemplo, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Observação: se você precisar resolver uma equação exponencial (em tal equação, a incógnita está no expoente), leia.

Passos

Resolvendo problemas simples com poderes

Multiplique a base do expoente por ela mesma um número de vezes igual ao expoente. Se você precisar resolver um problema com expoentes manualmente, reescreva o expoente como uma operação de multiplicação, onde a base do expoente é multiplicada por si mesma. Por exemplo, dado o grau 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Neste caso, a base do grau 3 deve ser multiplicada por ela mesma 4 vezes: 3 ∗ 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Aqui estão outros exemplos:

Primeiro, multiplique os dois primeiros números. Por exemplo, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Não se preocupe - o processo de cálculo não é tão complicado quanto parece à primeira vista. Primeiro multiplique os dois primeiros quádruplos e, em seguida, substitua-os pelo resultado. Assim:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Multiplique o resultado (16 em nosso exemplo) pelo próximo número. Cada resultado subsequente aumentará proporcionalmente. Em nosso exemplo, multiplique 16 por 4. Assim:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Continue multiplicando o resultado da multiplicação dos dois primeiros números pelo próximo número até obter a resposta final. Para fazer isso, multiplique os dois primeiros números e, em seguida, multiplique o resultado pelo próximo número na sequência. Este método é válido para qualquer grau. Em nosso exemplo, você deve obter: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Resolva os seguintes problemas. Verifique sua resposta com uma calculadora.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Na calculadora, procure a tecla "exp" ou " x n (\displaystyle x^(n))", ou "^". Com esta tecla você elevará um número a uma potência. É praticamente impossível calcular manualmente o grau com um expoente grande (por exemplo, o grau 9 15 (\displaystyle 9^(15))), mas a calculadora pode facilmente lidar com essa tarefa. No Windows 7, a calculadora padrão pode ser alternada para o modo de engenharia; para fazer isso, clique em "Exibir" -\u003e "Engenharia". Para alternar para o modo normal, clique em "Visualizar" -\u003e "Normal".

   • Verifique a resposta recebida usando um mecanismo de pesquisa (Google ou Yandex). Usando a tecla "^" no teclado do computador, digite a expressão no mecanismo de busca, que exibirá instantaneamente a resposta correta (e possivelmente sugerirá expressões semelhantes para estudo).

   Adição, subtração, multiplicação de potências

   1. Você pode adicionar e subtrair potências somente se elas tiverem a mesma base. Se você precisar adicionar potências com as mesmas bases e expoentes, poderá substituir a operação de adição por uma operação de multiplicação. Por exemplo, dada a expressão 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Lembre-se que o grau 4 5 (\displaystyle 4^(5)) pode ser representado como 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); portanto, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(onde 1 +1 = 2). Ou seja, conte o número de graus semelhantes e multiplique esse grau por esse número. Em nosso exemplo, eleve 4 à quinta potência e multiplique o resultado por 2. Lembre-se de que a operação de adição pode ser substituída por uma operação de multiplicação, por exemplo, 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Aqui estão outros exemplos:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Ao multiplicar potências com a mesma base, seus expoentes são somados (a base não muda). Por exemplo, dada a expressão x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Nesse caso, você só precisa adicionar os indicadores, deixando a base inalterada. Por isso, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Aqui está uma explicação visual desta regra:

      Ao elevar uma potência a uma potência, os expoentes são multiplicados. Por exemplo, dado um diploma. Como os expoentes são multiplicados, então (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). O significado desta regra é que você multiplica o poder (x 2) (\displaystyle (x^(2))) sobre si mesmo cinco vezes. Assim:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Como a base é a mesma, os expoentes simplesmente se somam: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Um expoente com um expoente negativo deve ser convertido em uma fração (na potência inversa). Não importa se você não sabe o que é uma recíproca. Se você receber um diploma com um expoente negativo, por exemplo, 3 − 2 (\displaystyle 3^(-2)), escreva essa potência no denominador da fração (coloque 1 no numerador) e torne o expoente positivo. Em nosso exemplo: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2))))). Aqui estão outros exemplos:

      Ao dividir potências com a mesma base, seus expoentes são subtraídos (a base não muda). A operação de divisão é o oposto da operação de multiplicação. Por exemplo, dada a expressão 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Subtraia o expoente no denominador do expoente no numerador (não altere a base). Por isso, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • O grau no denominador pode ser escrito da seguinte forma: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2))))) = 4 − 2 (\displaystyle 4^(-2)). Lembre-se que uma fração é um número (potência, expressão) com um expoente negativo.

   4. Abaixo estão algumas expressões para ajudá-lo a aprender como resolver problemas de energia. As expressões acima cobrem o material apresentado nesta seção. Para ver a resposta, basta destacar o espaço vazio após o sinal de igual.

   Resolvendo problemas com expoentes fracionários

   Um grau com um expoente fracionário (por exemplo, ) é convertido em uma operação de extração de raiz. Em nosso exemplo: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x)))). Não importa qual número está no denominador do expoente fracionário. Por exemplo, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))é a raiz quarta de "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Se o expoente for uma fração imprópria, então tal expoente pode ser decomposto em duas potências para simplificar a solução do problema. Não há nada complicado nisso - apenas lembre-se da regra para multiplicar potências. Por exemplo, dado um diploma. Transforme esse expoente em uma raiz cujo expoente seja igual ao denominador do expoente fracionário e, em seguida, eleve essa raiz ao expoente igual ao numerador do expoente fracionário. Para fazer isso, lembre-se que 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3))))*5). Em nosso exemplo:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Algumas calculadoras têm um botão para calcular os expoentes (primeiro você precisa inserir a base, depois pressionar o botão e depois inserir o expoente). É denotado como ^ ou x^y.
   3. Lembre-se de que qualquer número é igual a si mesmo à primeira potência, por exemplo, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Além disso, qualquer número multiplicado ou dividido por um é igual a si mesmo, por exemplo, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) e 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. Saiba que o grau 0 0 não existe (tal grau não tem solução). Ao tentar resolver esse grau em uma calculadora ou em um computador, você receberá um erro. Mas lembre-se que qualquer número elevado a zero é igual a 1, por exemplo, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Na matemática superior, que opera com números imaginários: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), Onde i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e é uma constante aproximadamente igual a 2,7; a é uma constante arbitrária. A prova dessa igualdade pode ser encontrada em qualquer livro de matemática superior.

   Avisos

   • À medida que o expoente aumenta, seu valor aumenta muito. Portanto, se a resposta parece errada para você, na verdade pode ser verdade. Você pode verificar isso plotando qualquer função exponencial, como 2 x .

Elevar a uma potência negativa é um dos elementos básicos da matemática, que é frequentemente encontrado na resolução de problemas algébricos. Abaixo está uma instrução detalhada.

Como elevar a uma potência negativa - teoria

Quando elevamos um número à potência usual, multiplicamos seu valor várias vezes. Por exemplo, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. Com uma fração negativa, o oposto é verdadeiro. A forma geral de acordo com a fórmula será a seguinte: a -n = 1/a n . Assim, para elevar um número a uma potência negativa, você precisa dividir a unidade pelo número dado, mas já a uma potência positiva.

Como elevar a uma potência negativa - exemplos em números comuns

Com a regra acima em mente, vamos resolver alguns exemplos.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Resposta: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
A resposta é -4 -2 = 1/16.

Mas por que a resposta no primeiro e no segundo exemplos é a mesma? O fato é que quando um número negativo é elevado a uma potência par (2, 4, 6, etc.), o sinal se torna positivo. Se o grau for par, o menos será preservado:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Como elevar a uma potência negativa - números de 0 a 1

Lembre-se de que quando um número entre 0 e 1 é elevado a uma potência positiva, o valor diminui à medida que a potência aumenta. Assim, por exemplo, 0,5 2 = 0,25. 0,25

Exemplo 3: Calcular 0,5 -2
Solução: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Resposta: 0,5 -2 = 4

Análise (sequência de ações):

• Converta decimal 0,5 para fracionário 1/2. É mais fácil.
  Aumente 1/2 para uma potência negativa. 1/(2) -2 . Divida 1 por 1/(2) 2 , obtemos 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Exemplo 4: Calcular 0,5 -3
Solução: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Exemplo 5: Calcular -0,5 -3
Solução: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Resposta: -0,5 -3 = -8

Com base no 4º e 5º exemplos, vamos tirar várias conclusões:

• Para um número positivo na faixa de 0 a 1 (exemplo 4), elevado a uma potência negativa, o grau par ou ímpar não é importante, o valor da expressão será positivo. Neste caso, quanto maior o grau, maior o valor.
• Para um número negativo entre 0 e 1 (exemplo 5), elevado a uma potência negativa, o grau par ou ímpar não é importante, o valor da expressão será negativo. Neste caso, quanto maior o grau, menor o valor.

Como aumentar para uma potência negativa - a potência como um número fracionário

Expressões deste tipo têm a seguinte forma: a -m/n , onde a é um número ordinário, m é o numerador do grau, n é o denominador do grau.

Considere um exemplo:
Calcular: 8 -1/3

Solução (sequência de ações):

• Lembre-se da regra para elevar um número a uma potência negativa. Obtemos: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Observe que o denominador é 8 elevado a uma potência fracionária. A forma geral de calcular um grau fracionário é a seguinte: a m/n = n √8 m .
• Assim, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Obtemos a raiz cúbica de oito, que é 2. Com base nisso, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Resposta: 8 -1/3 = 2

Desde a escola, todos nós conhecemos a regra sobre elevar a uma potência: qualquer número com um expoente N é igual ao resultado da multiplicação desse número por ele mesmo N vezes. Em outras palavras, 7 elevado a 3 é 7 multiplicado por ele mesmo três vezes, ou seja, 343. Outra regra - elevar qualquer valor a 0 dá um, e elevar um valor negativo é o resultado da exponenciação ordinária, se é par, e o mesmo resultado com um sinal de menos se for ímpar.

As regras também dão uma resposta sobre como elevar um número a uma potência negativa. Para fazer isso, você precisa aumentar o valor necessário pelo módulo do indicador da maneira usual e depois dividir a unidade pelo resultado.

A partir dessas regras, fica claro que a implementação de tarefas reais com grandes quantidades exigirá a disponibilidade de meios técnicos. Manualmente, será possível multiplicar por si mesmo um intervalo máximo de números até vinte ou trinta, e não mais que três ou quatro vezes. Isso sem falar no fato de depois dividir também a unidade pelo resultado. Portanto, para aqueles que não possuem uma calculadora de engenharia especial em mãos, mostraremos como elevar um número a uma potência negativa no Excel.

Resolvendo problemas no Excel

Para resolver problemas com exponenciação, o Excel permite que você use uma das duas opções.

A primeira é o uso da fórmula com o símbolo de cap padrão. Insira os seguintes dados nas células da planilha:

Da mesma forma, você pode aumentar o valor desejado para qualquer potência - negativa, fracionária. Vamos fazer o seguinte e responder à questão de como elevar um número a uma potência negativa. Exemplo:

É possível corrigir diretamente na fórmula =B2^-C2.

A segunda opção é usar a função "Grau" pronta, que recebe dois argumentos obrigatórios - um número e um indicador. Para começar a usá-lo, basta colocar um sinal de igual (=) em qualquer célula livre, indicando o início da fórmula, e inserir as palavras acima. Resta selecionar duas células que participarão da operação (ou especificar números específicos manualmente) e pressionar a tecla Enter. Vejamos alguns exemplos simples.

			Fórmula	Resultado
			ENERGIA(B2;C2)
			ENERGIA(B3;C3)	0,002915

Como você pode ver, não há nada complicado sobre como elevar um número a uma potência negativa e a uma potência regular usando o Excel. Afinal, para resolver esse problema, você pode usar o símbolo familiar da “tampa” e a função interna do programa fácil de lembrar. Esta é uma vantagem definitiva!

Vamos passar para exemplos mais complexos. Vamos relembrar a regra sobre como elevar um número a uma potência negativa de um caractere fracionário e veremos que essa tarefa é resolvida de maneira muito simples no Excel.

Indicadores fracionários

Em suma, o algoritmo para calcular um número com um expoente fracionário é o seguinte.

1. Converta um expoente fracionário em uma fração própria ou imprópria.
2. Eleve nosso número ao numerador da fração convertida resultante.
3. A partir do número obtido no parágrafo anterior, calcule a raiz, com a condição de que o indicador de raiz seja o denominador da fração obtida na primeira etapa.

Concorde que mesmo operando com números pequenos e frações próprias, tais cálculos podem levar muito tempo. É bom que o processador de planilhas Excel não se importe com qual número e em que grau aumentar. Tente resolver o seguinte exemplo em uma planilha do Excel:

Usando as regras acima, você pode verificar e certificar-se de que o cálculo está correto.

No final do nosso artigo, daremos em forma de tabela com fórmulas e resultados vários exemplos de como elevar um número a uma potência negativa, bem como vários exemplos com números fracionários e potências.

Tabela de exemplo

Verifique a planilha do Excel para os exemplos a seguir. Para que tudo funcione corretamente, você precisa usar uma referência mista ao copiar a fórmula. Corrija o número da coluna que contém o número que está sendo levantado e o número da linha que contém o indicador. Sua fórmula deve ficar assim: "=$B4^C$3".

Número / Grau

Observe que os números positivos (mesmo os não inteiros) são calculados sem problemas para quaisquer expoentes. Não há problemas em elevar quaisquer números a inteiros. Mas elevar um número negativo a uma potência fracionária será um erro para você, pois é impossível seguir a regra indicada no início de nosso artigo sobre aumentar números negativos, porque a paridade é uma característica de um número exclusivamente INTEIRO.

Um número elevado a uma potência ligue para um número que é multiplicado por ele mesmo várias vezes.

Potência de um número com valor negativo (a) pode ser definido da mesma forma que o grau do mesmo número com um expoente positivo é determinado (a) . No entanto, também requer uma definição adicional. A fórmula é definida como:

a = (1 / um n)

As propriedades dos valores negativos das potências dos números são semelhantes às potências com um expoente positivo. Equação Representada uma m/a n = um m-n pode ser justo como

« Em nenhum lugar, como na matemática, a clareza e a precisão da conclusão não permitem que uma pessoa se afaste da resposta falando em torno da questão.».

A. D. Alexandrov

no n mais m , assim como m mais n . Vejamos um exemplo: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Primeiro você precisa determinar o número que funciona como uma definição do grau. b=a(-n) . Neste exemplo -n é um indicador do grau b - valor numérico desejado, uma - a base do grau como valor numérico natural. Em seguida, determine o módulo, ou seja, o valor absoluto de um número negativo, que atua como expoente. Calcule o grau do número dado em relação ao número absoluto como um indicador. O valor do grau é encontrado dividindo um pelo número resultante.

Arroz. 1

Considere a potência de um número com um expoente fracionário negativo. Imagine que o número a é qualquer número positivo, os números n e m - inteiros. Por definição uma , que é elevado à potência - é igual a um dividido pelo mesmo número com um grau positivo (Fig. 1). Quando a potência de um número é uma fração, nesses casos apenas números com expoentes positivos são usados.

Vale lembrar que zero nunca pode ser um expoente de um número (a regra da divisão por zero).

A disseminação de tal conceito como número iniciou manipulações como cálculos de medição, bem como o desenvolvimento da matemática como ciência. A introdução de valores negativos deveu-se ao desenvolvimento da álgebra, que deu soluções gerais para problemas aritméticos, independentemente de seu significado específico e dados numéricos iniciais. Na Índia, nos séculos 6 a 11, valores negativos de números eram usados ​​sistematicamente na resolução de problemas e eram interpretados da mesma maneira que hoje. Na ciência européia, os números negativos começaram a ser amplamente utilizados graças a R. Descartes, que deu uma interpretação geométrica dos números negativos como direções de segmentos. Foi Descartes quem sugeriu que o número elevado a uma potência fosse apresentado como uma fórmula de dois andares. a .