Equações fracionárias racionais são exemplos sem soluções. Proteção de informações pessoais

Simplificando, estas são equações em que há pelo menos uma com uma variável no denominador.

Por exemplo:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Exemplo não equações racionais fracionárias:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Como as equações racionais fracionárias são resolvidas?

A principal coisa a lembrar sobre equações racionais fracionárias é que você precisa escrever nelas. E depois de encontrar as raízes, certifique-se de verificá-las quanto à admissibilidade. Caso contrário, raízes estranhas podem aparecer e toda a solução será considerada incorreta.

Algoritmo para resolver uma equação racional fracionária:

Escreva e "resolva" o ODZ.

Multiplique cada termo da equação por um denominador comum e reduza as frações resultantes. Os denominadores desaparecerão.

Escreva a equação sem abrir colchetes.

Resolva a equação resultante.

Verifique as raízes encontradas com ODZ.

Anote em resposta as raízes que passaram no teste na etapa 7.

Não memorize o algoritmo, 3-5 equações resolvidas - e ele será lembrado por si só.

Exemplo . Resolver equação racional fracionária \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Decisão:

Responda: \(3\).

Exemplo . Encontre as raízes da equação racional fracionária \(=0\)

Decisão:

\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)(x^2+7x+10)\)\(=0\) ODZ: \(x+2≠0⇔x≠-2\) \(x+5≠0 ⇔x≠-5\) \(x^2+7x+10≠0\) \(D=49-4 \cdot 10=9\) \(x_1≠\frac(-7+3)(2)=-2\) \(x_2≠\frac(-7-3)(2)=-5\)		Anotamos e "resolvemos" ODZ. Expanda \(x^2+7x+10\) na fórmula: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\). Felizmente \(x_1\) e \(x_2\) já encontramos.
\(\frac(x)(x+2) + \frac(x+1)(x+5)-\frac(7-x)((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Obviamente, o denominador comum das frações: \((x+2)(x+5)\). Multiplicamos a equação inteira por ela.
\(\frac(x(x+2)(x+5))(x+2) + \frac((x+1)(x+2)(x+5))(x+5)-\) \(-\frac((7-x)(x+2)(x+5))((x+2)(x+5))\)\(=0\)		Reduzimos frações
\(x(x+5)+(x+1)(x+2)-7+x=0\)		Abrindo os colchetes
\(x^2+5x+x^2+3x+2-7+x=0\)		Damos termos semelhantes
\(2x^2+9x-5=0\)		Encontrando as raízes da equação
\(x_1=-5;\) \(x_2=\frac(1)(2).\)		Uma das raízes não se encaixa na ODZ, então, em resposta, escrevemos apenas a segunda raiz.

Responda: \(\frac(1)(2)\).

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Lições objetivas:

Tutorial:

formação do conceito de equações racionais fracionárias;
considerar várias maneiras de resolver equações racionais fracionárias;
considere um algoritmo para resolver equações racionais fracionárias, incluindo a condição de que a fração seja igual a zero;
ensinar a solução de equações racionais fracionárias de acordo com o algoritmo;
verificar o nível de assimilação do tópico através da realização de trabalhos de teste.

Em desenvolvimento:

desenvolvimento da capacidade de operar corretamente com o conhecimento adquirido, de pensar logicamente;
desenvolvimento de habilidades intelectuais e operações mentais - análise, síntese, comparação e generalização;
desenvolvimento de iniciativa, capacidade de tomar decisões, não parando por aí;
desenvolvimento do pensamento crítico;
desenvolvimento de habilidades de pesquisa.

Nutrir:

educação de interesse cognitivo no assunto;
educação para a independência na resolução de problemas educacionais;
educação da vontade e perseverança para alcançar os resultados finais.

Tipo de lição: lição - explicação do novo material.

Durante as aulas

1. Momento organizacional.

Olá, pessoal! As equações são escritas no quadro-negro, observe-as cuidadosamente. Você consegue resolver todas essas equações? Quais não são e por quê?

Equações em que os lados esquerdo e direito são expressões racionais fracionárias são chamadas de equações racionais fracionárias. O que você acha que vamos estudar hoje na lição? Formule o tema da lição. Então, abrimos os cadernos e anotamos o tópico da lição “Solução de equações racionais fracionárias”.

2. Atualização do conhecimento. Levantamento frontal, trabalho oral com a turma.

E agora vamos repetir o principal material teórico que precisamos para estudar um novo tópico. Por favor responda as seguintes questões:

O que é uma equação? ( Igualdade com uma variável ou variáveis.)
Como é chamada a equação nº 1? ( Linear.) Método de resolução de equações lineares. ( Mova tudo com a incógnita para o lado esquerdo da equação, todos os números para a direita. Traga termos semelhantes. Encontre o multiplicador desconhecido).
Como é chamada a Equação 3? ( Quadrado.) Métodos de resolução de equações quadráticas. ( Seleção do quadrado completo, por fórmulas, usando o teorema de Vieta e suas consequências.)
O que é uma proporção? ( Igualdade de duas relações.) A principal propriedade da proporção. ( Se a proporção for verdadeira, então o produto de seus termos extremos é igual ao produto dos termos médios.)
Quais propriedades são usadas para resolver equações? ( 1. Se na equação transferimos o termo de uma parte para outra, mudando seu sinal, obtemos uma equação equivalente à dada. 2. Se ambas as partes da equação forem multiplicadas ou divididas pelo mesmo número diferente de zero, será obtida uma equação equivalente ao dado.)
Quando uma fração é igual a zero? ( Uma fração é zero quando o numerador é zero e o denominador é diferente de zero.)

3. Explicação do novo material.

Resolva a equação nº 2 em cadernos e no quadro.

Responda: 10.

Que equação racional fracionária você pode tentar resolver usando a propriedade básica da proporção? (Número 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Resolva a equação nº 4 em cadernos e no quadro.

Responda: 1,5.

Que equação racional fracionária você pode tentar resolver multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador? (Número 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Responda: 3;4.

Agora tente resolver a equação #7 de uma das maneiras.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Responda: 0;5;-2.			Responda: 5;-2.

Explique por que isso aconteceu? Por que há três raízes em um caso e duas no outro? Que números são as raízes desta equação racional fracionária?

Até agora, os alunos não conheceram o conceito de raiz estranha, é realmente muito difícil para eles entenderem por que isso aconteceu. Se ninguém na classe puder dar uma explicação clara desta situação, então o professor faz perguntas orientadoras.

Como as equações nº 2 e 4 diferem das equações nº 5,6,7? ( Nas equações nº 2 e 4 no denominador do número, nº 5-7 - expressões com uma variável.)
Qual é a raiz da equação? ( O valor da variável em que a equação se torna uma verdadeira igualdade.)
Como descobrir se um número é a raiz de uma equação? ( Faça uma verificação.)

Ao fazer uma prova, alguns alunos percebem que precisam dividir por zero. Eles concluem que os números 0 e 5 não são as raízes desta equação. Surge a pergunta: existe uma maneira de resolver equações racionais fracionárias que elimine esse erro? Sim, este método é baseado na condição de que a fração seja igual a zero.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Se x=5, então x(x-5)=0, então 5 é uma raiz estranha.

Se x=-2, então x(x-5)≠0.

Responda: -2.

Vamos tentar formular um algoritmo para resolver equações racionais fracionárias dessa maneira. As próprias crianças formulam o algoritmo.

Algoritmo para resolver equações racionais fracionárias:

Mova tudo para a esquerda.
Traga frações para um denominador comum.
Faça um sistema: uma fração é zero quando o numerador é zero e o denominador não é zero.
Resolva a equação.
Verifique a desigualdade para excluir raízes estranhas.
Escreva a resposta.

Discussão: como formalizar a solução se for utilizada a propriedade básica da proporção e a multiplicação de ambos os lados da equação por um denominador comum. (Suplemente a solução: exclua de suas raízes aquelas que transformam o denominador comum em zero).

4. Compreensão primária de material novo.

Trabalho em dupla. Os alunos escolhem como resolver a equação por conta própria, dependendo do tipo de equação. Tarefas do livro "Álgebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: Nº 600 (b, c, i); Nº 601(a, e, g). O professor controla o desempenho da tarefa, responde às perguntas que surgem e presta assistência aos alunos com desempenho insatisfatório. Autoteste: As respostas são escritas no quadro.

b) 2 é uma raiz estranha. Resposta:3.

c) 2 é uma raiz estranha. Resposta: 1,5.

a) Resposta: -12,5.

g) Resposta: 1; 1.5.

5. Declaração de dever de casa.

Leia o item 25 do livro, analise os exemplos 1-3.
Aprenda o algoritmo para resolver equações racionais fracionárias.
Resolva nos cadernos nº 600 (a, d, e); Nº 601 (g, h).
Tente resolver #696(a) (opcional).

6. Cumprimento da tarefa de controle sobre o tema estudado.

O trabalho é feito em folhas.

Exemplo de trabalho:

A) Quais das equações são racionais fracionárias?

B) Uma fração é zero quando o numerador é ______________________ e o denominador é _______________________.

P) O número -3 é a raiz da Equação #6?

D) Resolva a equação nº 7.

Critérios de avaliação da tarefa:

"5" é dado se o aluno completou mais de 90% da tarefa corretamente.
"4" - 75% -89%
"3" - 50% -74%
"2" é dado a um aluno que completou menos de 50% da tarefa.
O grau 2 não é colocado no diário, o 3 é opcional.

7. Reflexão.

Nos folhetos com trabalhos independentes, coloque:

1 - se a aula foi interessante e compreensível para você;
2 - interessante, mas não claro;
3 - não é interessante, mas compreensível;
4 - não é interessante, não é claro.

8. Resumindo a lição.

Então, hoje na lição, nos familiarizamos com equações racionais fracionárias, aprendemos a resolver essas equações de várias maneiras, testamos nosso conhecimento com a ajuda de trabalho educacional independente. Você aprenderá os resultados do trabalho independente na próxima lição, em casa você terá a oportunidade de consolidar o conhecimento adquirido.

Qual método de resolução de equações racionais fracionárias, na sua opinião, é mais fácil, mais acessível, mais racional? Independentemente do método de resolução de equações racionais fracionárias, o que não deve ser esquecido? Qual é a "astúcia" das equações racionais fracionárias?

Obrigado a todos, a aula acabou.

"Solução de equações racionais fracionárias"

Lições objetivas:

Tutorial:

formação do conceito de equações racionais fracionárias; considerar várias maneiras de resolver equações racionais fracionárias; considere um algoritmo para resolver equações racionais fracionárias, incluindo a condição de que a fração seja igual a zero; ensinar a solução de equações racionais fracionárias de acordo com o algoritmo; verificar o nível de assimilação do tópico através da realização de trabalhos de teste.

Em desenvolvimento:

desenvolvimento da capacidade de operar corretamente com o conhecimento adquirido, de pensar logicamente; desenvolvimento de habilidades intelectuais e operações mentais - análise, síntese, comparação e generalização; desenvolvimento de iniciativa, capacidade de tomar decisões, não parando por aí; desenvolvimento do pensamento crítico; desenvolvimento de habilidades de pesquisa.

Nutrir:

educação de interesse cognitivo no assunto; educação para a independência na resolução de problemas educacionais; educação da vontade e perseverança para alcançar os resultados finais.

Tipo de lição: lição - explicação do novo material.

Durante as aulas

1. Momento organizacional.

Olá, pessoal! As equações são escritas no quadro-negro, observe-as cuidadosamente. Você consegue resolver todas essas equações? Quais não são e por quê?

2. Atualização do conhecimento. Levantamento frontal, trabalho oral com a turma.

E agora vamos repetir o principal material teórico que precisamos para estudar um novo tópico. Por favor responda as seguintes questões:

1. O que é uma equação? ( Igualdade com uma variável ou variáveis.)

2. Como é chamada a Equação #1? ( Linear.) Método de resolução de equações lineares. ( Mova tudo com a incógnita para o lado esquerdo da equação, todos os números para a direita. Traga termos semelhantes. Encontre o multiplicador desconhecido).

3. Como é chamada a Equação #3? ( Quadrado.) Métodos de resolução de equações quadráticas. ( Seleção do quadrado completo, por fórmulas, usando o teorema de Vieta e suas consequências.)

4. O que é uma proporção? ( Igualdade de duas relações.) A principal propriedade da proporção. ( Se a proporção for verdadeira, então o produto de seus termos extremos é igual ao produto dos termos médios.)

5. Quais propriedades são usadas na resolução de equações? ( 1. Se na equação transferimos o termo de uma parte para outra, mudando seu sinal, obtemos uma equação equivalente à dada. 2. Se ambas as partes da equação forem multiplicadas ou divididas pelo mesmo número diferente de zero, será obtida uma equação equivalente ao dado.)

6. Quando uma fração é igual a zero? ( Uma fração é zero quando o numerador é zero e o denominador é diferente de zero.)

3. Explicação do novo material.

Resolva a equação nº 2 em cadernos e no quadro.

Responda: 10.

Que equação racional fracionária você pode tentar resolver usando a propriedade básica da proporção? (Número 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Resolva a equação nº 4 em cadernos e no quadro.

Responda: 1,5.

Que equação racional fracionária você pode tentar resolver multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador? (Número 6).

D=1>0, x1=3, x2=4.

Responda: 3;4.

Agora tente resolver a equação #7 de uma das maneiras.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Responda: 0;5;-2.			Responda: 5;-2.

Explique por que isso aconteceu? Por que há três raízes em um caso e duas no outro? Que números são as raízes desta equação racional fracionária?

Nas equações nº 2 e 4 no denominador do número, nº 5-7 - expressões com uma variável

O valor da variável em que a equação se torna uma verdadeira igualdade

Faça uma verificação

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Se x=5, então x(x-5)=0, então 5 é uma raiz estranha.

Se x=-2, então x(x-5)≠0.

Responda: -2.

Vamos tentar formular um algoritmo para resolver equações racionais fracionárias dessa maneira. As próprias crianças formulam o algoritmo.

Algoritmo para resolver equações racionais fracionárias:

1. Mova tudo para o lado esquerdo.

2. Traga frações para um denominador comum.

3. Faça um sistema: a fração é igual a zero quando o numerador é igual a zero e o denominador não é igual a zero.

4. Resolva a equação.

5. Verifique a desigualdade para excluir raízes estranhas.

6. Anote a resposta.

4. Compreensão primária de material novo.

Trabalho em dupla. Os alunos escolhem como resolver a equação por conta própria, dependendo do tipo de equação. Tarefas do livro didático "Álgebra 8", 2007: Nº 000 (b, c, i); Nº 000(a, e, g). O professor controla o desempenho da tarefa, responde às perguntas que surgem e presta assistência aos alunos com desempenho insatisfatório. Autoteste: As respostas são escritas no quadro.

b) 2 é uma raiz estranha. Resposta:3.

c) 2 é uma raiz estranha. Resposta: 1,5.

a) Resposta: -12,5.

g) Resposta: 1; 1.5.

5. Declaração de dever de casa.

2. Aprenda o algoritmo para resolver equações racionais fracionárias.

3. Resolva nos cadernos nº 000 (a, d, e); Nº 000(g, h).

4. Tente resolver o nº 000(a) (opcional).

6. Cumprimento da tarefa de controle sobre o tema estudado.

O trabalho é feito em folhas.

Exemplo de trabalho:

A) Quais das equações são racionais fracionárias?

B) Uma fração é zero quando o numerador é ______________________ e o denominador é _______________________.

P) O número -3 é a raiz da Equação #6?

D) Resolva a equação nº 7.

Critérios de avaliação da tarefa:

"5" é dado se o aluno completou mais de 90% da tarefa corretamente. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" é dado ao aluno que completou menos de 50% da tarefa. O grau 2 não é colocado no diário, o 3 é opcional.

7. Reflexão.

Nos folhetos com trabalhos independentes, coloque:

1 - se a aula foi interessante e compreensível para você; 2 - interessante, mas não claro; 3 - não é interessante, mas compreensível; 4 - não é interessante, não é claro.

8. Resumindo a lição.

Obrigado a todos, a aula acabou.

Continuamos falando sobre solução de equações. Neste artigo, vamos nos concentrar em equações racionais e princípios para resolver equações racionais com uma variável. Primeiro, vamos descobrir que tipo de equações são chamadas de racionais, dar uma definição de equações racionais inteiras e racionais fracionárias e dar exemplos. Em seguida, obteremos algoritmos para resolver equações racionais e, claro, consideraremos as soluções de exemplos típicos com todas as explicações necessárias.

Navegação da página.

Com base nas definições soadas, damos vários exemplos de equações racionais. Por exemplo, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , são todas equações racionais.

A partir dos exemplos mostrados, pode-se ver que equações racionais, assim como equações de outros tipos, podem ser com uma variável, ou com duas, três, etc. variáveis. Nos parágrafos seguintes, falaremos sobre como resolver equações racionais em uma variável. Resolvendo equações com duas variáveis e seu grande número merecem atenção especial.

Além de dividir as equações racionais pelo número de variáveis desconhecidas, elas também são divididas em inteiras e fracionárias. Vamos dar as definições correspondentes.

Definição.

A equação racional é chamada inteira, se ambas as partes esquerda e direita são expressões racionais inteiras.

Definição.

Se pelo menos uma das partes de uma equação racional é uma expressão fracionária, então tal equação é chamada fracionalmente racional(ou racional fracionário).

É claro que equações inteiras não contêm divisão por uma variável; pelo contrário, equações racionais fracionárias necessariamente contêm divisão por uma variável (ou uma variável no denominador). Então 3 x + 2 = 0 e (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0,5 são equações racionais inteiras, ambas as suas partes são expressões inteiras. A e x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 são exemplos de equações racionais fracionárias.

Concluindo este parágrafo, prestemos atenção ao fato de que equações lineares e equações quadráticas conhecidas até este momento são equações racionais inteiras.

Resolvendo equações inteiras

Uma das principais abordagens para resolver equações inteiras é sua redução para equivalentes equações algébricas. Isso sempre pode ser feito executando as seguintes transformações equivalentes da equação:

primeiro, a expressão do lado direito da equação inteira original é transferida para o lado esquerdo com o sinal oposto para obter zero no lado direito;
depois disso, no lado esquerdo da equação, a forma padrão resultante.

O resultado é uma equação algébrica que é equivalente à equação inteira original. Assim, nos casos mais simples, a solução de equações inteiras é reduzida à solução de equações lineares ou quadráticas e, no caso geral, à solução de uma equação algébrica de grau n. Para maior clareza, vamos analisar a solução do exemplo.

Exemplo.

Encontre as raízes de toda a equação 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Decisão.

Vamos reduzir a solução de toda esta equação à solução de uma equação algébrica equivalente. Para fazer isso, primeiro transferimos a expressão do lado direito para o esquerdo, como resultado chegamos à equação 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. E, em segundo lugar, transformamos a expressão formada do lado esquerdo em um polinômio da forma padrão fazendo o necessário: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Assim, a solução da equação inteira original é reduzida à solução da equação quadrática x 2 −5·x−6=0 .

Calcule seu discriminante D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, é positivo, o que significa que a equação tem duas raízes reais, que encontramos pela fórmula das raízes da equação quadrática:

Para ter certeza, vamos fazer verificando as raízes encontradas da equação. Primeiro, verificamos a raiz de 6, substituindo-a em vez da variável x na equação inteira original: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, que é o mesmo, 63=63 . Esta é uma equação numérica válida, então x=6 é de fato a raiz da equação. Agora verificamos a raiz −1 , temos 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, onde 0 = 0 . Para x=−1, a equação original também se transformou em uma verdadeira igualdade numérica, portanto, x=−1 também é a raiz da equação.

Responda:

6 , −1 .

Aqui também deve-se notar que o termo “potência de uma equação inteira” está associado à representação de uma equação inteira na forma de uma equação algébrica. Damos a definição correspondente:

Definição.

O grau de toda a equação chame o grau de uma equação algébrica equivalente a ele.

De acordo com esta definição, toda a equação do exemplo anterior tem o segundo grau.

Nisto se poderia terminar com a solução de equações racionais inteiras, se não para uma, mas .... Como se sabe, a solução de equações algébricas de grau superior ao segundo está associada a dificuldades significativas e, para equações de grau superior ao quarto, não existem fórmulas gerais para raízes. Portanto, para resolver equações inteiras do terceiro, quarto e graus superiores, muitas vezes é necessário recorrer a outros métodos de solução.

Nesses casos, às vezes a abordagem para resolver equações racionais inteiras com base em método de fatoração. Ao mesmo tempo, o seguinte algoritmo é seguido:

primeiro procuram ter zero no lado direito da equação, para isso transferem a expressão do lado direito de toda a equação para o esquerdo;
então, a expressão resultante do lado esquerdo é apresentada como um produto de vários fatores, o que permite ir para um conjunto de várias equações mais simples.

O algoritmo acima para resolver toda a equação por meio de fatoração requer uma explicação detalhada usando um exemplo.

Exemplo.

Resolva a equação inteira (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Decisão.

Primeiro, como de costume, transferimos a expressão do lado direito para o lado esquerdo da equação, não esquecendo de mudar o sinal, obtemos (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Aqui é bastante óbvio que não é aconselhável transformar o lado esquerdo da equação resultante em um polinômio da forma padrão, pois isso dará uma equação algébrica do quarto grau da forma x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, cuja solução é difícil.

Por outro lado, é óbvio que x 2 −10·x+13 pode ser encontrado no lado esquerdo da equação resultante, representando-a como um produto. Nós temos (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. A equação resultante é equivalente à equação inteira original e, por sua vez, pode ser substituída por um conjunto de duas equações quadráticas x 2 −10·x+13=0 e x 2 −2·x−1=0 . Encontrar suas raízes usando as fórmulas de raízes conhecidas através do discriminante não é difícil, as raízes são iguais. Elas são as raízes desejadas da equação original.

Responda:

Também é útil para resolver equações racionais inteiras. método para introduzir uma nova variável. Em alguns casos, permite passar para equações cujo grau é menor que o grau da equação inteira original.

Exemplo.

Encontrar as raízes reais de uma equação racional (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Decisão.

Reduzir essa equação racional inteira a uma equação algébrica não é, para dizer o mínimo, uma boa ideia, pois nesse caso chegaremos à necessidade de resolver uma equação de quarto grau que não tenha raízes racionais. Portanto, você terá que procurar outra solução.

É fácil ver aqui que você pode introduzir uma nova variável y e substituir a expressão x 2 +3 x por ela. Tal substituição nos leva a toda a equação (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , que, após transferir a expressão −2 (y−4) para o lado esquerdo e posterior transformação da expressão formada lá, reduz a equação y 2 +4 y+3=0 . As raízes desta equação y=−1 ey=−3 são fáceis de encontrar, por exemplo, elas podem ser encontradas com base no teorema inverso do teorema de Vieta.

Agora vamos para a segunda parte do método de introdução de uma nova variável, ou seja, para fazer uma substituição inversa. Após realizar a substituição reversa, obtemos duas equações x 2 +3 x=−1 e x 2 +3 x=−3 , que podem ser reescritas como x 2 +3 x+1=0 e x 2 +3 x+3 =0. De acordo com a fórmula das raízes da equação quadrática, encontramos as raízes da primeira equação. E a segunda equação quadrática não tem raízes reais, pois seu discriminante é negativo (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Responda:

Em geral, quando estamos lidando com equações inteiras de alto grau, devemos estar sempre prontos para procurar um método não padronizado ou uma técnica artificial para resolvê-las.

Solução de equações fracionárias racionais

Primeiro, será útil entender como resolver equações fracionárias racionais da forma , onde p(x) e q(x) são expressões inteiras racionais. E então mostraremos como reduzir a solução das equações fracionárias racionais restantes para a solução de equações da forma indicada.

Uma das abordagens para resolver a equação é baseada na seguinte afirmação: a fração numérica u / v, onde v é um número diferente de zero (caso contrário, encontraremos , que não está definido), é zero se e somente se seu numerador é zero, então é, se e somente se u=0 . Em virtude desta afirmação, a solução da equação é reduzida ao cumprimento de duas condições p(x)=0 e q(x)≠0 .

Esta conclusão é consistente com o seguinte algoritmo para resolver uma equação fracionalmente racional. Para resolver uma equação racional fracionária da forma

resolver toda a equação racional p(x)=0 ;
e verifique se a condição q(x)≠0 é satisfeita para cada raiz encontrada, enquanto

se verdadeiro, então esta raiz é a raiz da equação original;
se não, então essa raiz é estranha, ou seja, não é a raiz da equação original.

Vamos analisar um exemplo de uso do algoritmo sonoro ao resolver uma equação racional fracionária.

Exemplo.

Encontre as raízes da equação.

Decisão.

Esta é uma equação fracionalmente racional da forma , onde p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

De acordo com o algoritmo para resolver equações fracionárias racionais desse tipo, primeiro precisamos resolver a equação 3·x−2=0 . Esta é uma equação linear cuja raiz é x=2/3.

Resta verificar essa raiz, ou seja, verificar se ela satisfaz a condição 5·x 2 −2≠0 . Substituímos o número 2/3 em vez de x na expressão 5 x 2 −2, obtemos . A condição é satisfeita, então x=2/3 é a raiz da equação original.

Responda:

2/3 .

A solução de uma equação racional fracionária pode ser abordada de uma posição ligeiramente diferente. Esta equação é equivalente a toda a equação p(x)=0 na variável x da equação original. Ou seja, você pode seguir este algoritmo para resolver uma equação fracionalmente racional :

resolva a equação p(x)=0 ;
encontre a variável ODZ x ;
pegue as raízes pertencentes à região de valores admissíveis - elas são as raízes desejadas da equação racional fracionária original.

Por exemplo, vamos resolver uma equação racional fracionária usando este algoritmo.

Exemplo.

Resolva a equação.

Decisão.

Primeiro, resolvemos a equação quadrática x 2 −2·x−11=0 . Suas raízes podem ser calculadas usando a fórmula da raiz para um segundo coeficiente par, temos D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, e .

Em segundo lugar, encontramos a ODZ da variável x para a equação original. Consiste em todos os números para os quais x 2 +3 x≠0 , que é o mesmo x (x+3)≠0 , de onde x≠0 , x≠−3 .

Resta verificar se as raízes encontradas na primeira etapa estão incluídas na ODZ. Obviamente sim. Portanto, a equação fracionalmente racional original tem duas raízes.

Responda:

Observe que essa abordagem é mais lucrativa do que a primeira se a ODZ for facilmente encontrada, e é especialmente benéfica se as raízes da equação p(x)=0 forem irracionais, por exemplo, ou racionais, mas com um valor bastante grande numerador e/ou denominador, por exemplo, 127/1101 e -31/59 . Isso se deve ao fato de que, nesses casos, a verificação da condição q(x)≠0 exigirá esforços computacionais significativos, sendo mais fácil excluir raízes estranhas da ODZ.

Em outros casos, ao resolver a equação, principalmente quando as raízes da equação p(x)=0 são números inteiros, é mais vantajoso usar o primeiro dos algoritmos acima. Ou seja, é aconselhável encontrar imediatamente as raízes de toda a equação p(x)=0 , e então verificar se a condição q(x)≠0 é satisfeita para elas, e não encontrar a ODZ, e então resolver a equação p(x)=0 nesta ODZ . Isso se deve ao fato de que, nesses casos, geralmente é mais fácil fazer uma verificação do que encontrar a ODZ.

Considere a solução de dois exemplos para ilustrar as nuances estipuladas.

Exemplo.

Encontre as raízes da equação.

Decisão.

Primeiro encontramos as raízes de toda a equação (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, compilado usando o numerador da fração. O lado esquerdo desta equação é um produto e o lado direito é zero, portanto, de acordo com o método de resolução de equações por fatoração, esta equação é equivalente ao conjunto de quatro equações 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Três dessas equações são lineares e uma é quadrática, podemos resolvê-las. Da primeira equação encontramos x=1/2, da segunda - x=6, da terceira - x=7, x=−2, da quarta - x=−1.

Com as raízes encontradas, é bastante fácil verificá-las para ver se o denominador da fração do lado esquerdo da equação original não se anula, e não é tão fácil determinar a ODZ, pois isso terá que resolver um equação algébrica do quinto grau. Portanto, nos recusaremos a encontrar a ODZ em favor da verificação das raízes. Para fazer isso, nós os substituímos em vez da variável x na expressão x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, obtido após a substituição, e compare-os com zero: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Assim, 1/2, 6 e −2 são as raízes desejadas da equação fracionalmente racional original, e 7 e −1 são raízes estranhas.

Responda:

1/2 , 6 , −2 .

Exemplo.

Encontre as raízes de uma equação racional fracionária.

Decisão.

Primeiro encontramos as raízes da equação (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Esta equação é equivalente a um conjunto de duas equações: o quadrado 5·x 2 −7·x−1=0 e o linear x−2=0 . De acordo com a fórmula das raízes da equação quadrática, encontramos duas raízes, e da segunda equação temos x=2.

Verificar se o denominador não desaparece nos valores encontrados de x é bastante desagradável. E determinar o intervalo de valores aceitáveis da variável x na equação original é bastante simples. Portanto, atuaremos por meio da ODZ.

No nosso caso, a ODZ da variável x da equação racional fracionária original é composta por todos os números, exceto aqueles para os quais a condição x 2 +5·x−14=0 é satisfeita. As raízes desta equação quadrática são x=−7 e x=2, das quais concluímos sobre a ODZ: ela é composta de todos os x tais que .

Resta verificar se as raízes encontradas e x=2 pertencem à região de valores admissíveis. As raízes - pertencem, portanto, são as raízes da equação original, e x=2 não pertence, portanto, é uma raiz estranha.

Responda:

Também será útil se deter separadamente nos casos em que um número está no numerador em uma equação racional fracionária da forma, ou seja, quando p (x) é representado por algum número. Em que

se este número for diferente de zero, então a equação não tem raízes, pois a fração é zero se e somente se seu numerador for zero;
se este número for zero, então a raiz da equação é qualquer número da ODZ.

Exemplo.

Decisão.

Como há um número diferente de zero no numerador da fração do lado esquerdo da equação, para nenhum x o valor dessa fração pode ser igual a zero. Portanto, esta equação não tem raízes.

Responda:

sem raízes.

Exemplo.

Resolva a equação.

Decisão.

O numerador da fração no lado esquerdo desta equação racional fracionária é zero, então o valor dessa fração é zero para qualquer x para o qual ela faz sentido. Em outras palavras, a solução para essa equação é qualquer valor de x do DPV dessa variável.

Resta determinar essa faixa de valores aceitáveis. Inclui todos esses valores x para os quais x 4 +5 x 3 ≠0. As soluções da equação x 4 +5 x 3 \u003d 0 são 0 e −5, uma vez que esta equação é equivalente à equação x 3 (x + 5) \u003d 0 e, por sua vez, é equivalente à combinação de duas equações x 3 \u003d 0 e x +5=0 , de onde essas raízes são visíveis. Portanto, a faixa desejada de valores aceitáveis é qualquer x , exceto x=0 e x=−5 .

Assim, uma equação fracionalmente racional tem infinitas soluções, que são quaisquer números, exceto zero e menos cinco.

Responda:

Finalmente, é hora de falar sobre a resolução de equações racionais fracionárias arbitrárias. Elas podem ser escritas como r(x)=s(x) , onde r(x) e s(x) são expressões racionais, e pelo menos uma delas é fracionária. Olhando para o futuro, dizemos que sua solução é reduzida a resolver equações da forma já familiar para nós.

Sabe-se que a transferência de um termo de uma parte da equação para outra de sinal oposto leva a uma equação equivalente, então a equação r(x)=s(x) é equivalente à equação r(x)−s (x)=0.

Sabemos também que qualquer pode ser identicamente igual a esta expressão. Assim, podemos sempre transformar a expressão racional no lado esquerdo da equação r(x)−s(x)=0 em uma fração racional identicamente igual da forma .

Então vamos da equação racional fracionária original r(x)=s(x) para a equação , e sua solução, como descobrimos acima, se reduz a resolver a equação p(x)=0 .

Mas aqui é necessário levar em conta o fato de que ao substituir r(x)−s(x)=0 por , e depois por p(x)=0 , o intervalo de valores permitidos da variável x pode se expandir .

Portanto, a equação original r(x)=s(x) e a equação p(x)=0, à qual chegamos, podem não ser equivalentes, e resolvendo a equação p(x)=0, podemos obter raízes que serão raízes estranhas da equação original r(x)=s(x) . É possível identificar e não incluir raízes estranhas na resposta, seja verificando, seja verificando sua pertença à ODZ da equação original.

Resumimos essas informações em algoritmo para resolver uma equação racional fracionária r(x)=s(x). Para resolver a equação racional fracionária r(x)=s(x) , deve-se

Obtenha zero à direita movendo a expressão do lado direito com o sinal oposto.
Execute ações com frações e polinômios no lado esquerdo da equação, convertendo-a assim em uma fração racional da forma.
Resolva a equação p(x)=0 .
Identifique e exclua raízes estranhas, o que é feito substituindo-as na equação original ou verificando sua pertença à ODZ da equação original.

Para maior clareza, mostraremos toda a cadeia de resolução de equações racionais fracionárias:
.

Vamos passar pelas soluções de vários exemplos com uma explicação detalhada da solução para esclarecer o bloco de informações fornecido.

Exemplo.

Resolva uma equação racional fracionária.

Decisão.

Agiremos de acordo com o algoritmo de solução obtido. E primeiro transferimos os termos do lado direito da equação para o lado esquerdo, como resultado passamos para a equação .

Na segunda etapa, precisamos converter a expressão racional fracionária no lado esquerdo da equação resultante para a forma de uma fração. Para isso, realizamos a redução de frações racionais a um denominador comum e simplificamos a expressão resultante: . Então chegamos à equação.

Na próxima etapa, precisamos resolver a equação −2·x−1=0 . Encontre x=−1/2 .

Resta verificar se o número encontrado -1/2 é uma raiz estranha da equação original. Para fazer isso, você pode verificar ou encontrar a variável ODZ x da equação original. Vamos demonstrar ambas as abordagens.

Vamos começar com um cheque. Substituímos o número −1/2 em vez da variável x na equação original, obtemos , que é o mesmo, −1=−1. A substituição fornece a igualdade numérica correta, portanto, x=−1/2 é a raiz da equação original.

Agora vamos mostrar como é realizado o último passo do algoritmo através da ODZ. A faixa de valores admissíveis da equação original é o conjunto de todos os números, exceto −1 e 0 (para x=−1 e x=0, os denominadores das frações desaparecem). A raiz x=−1/2 encontrada no passo anterior pertence à ODZ, portanto, x=−1/2 é a raiz da equação original.

Responda:

−1/2 .

Vamos considerar outro exemplo.

Exemplo.

Encontre as raízes da equação.

Decisão.

Precisamos resolver uma equação fracionalmente racional, vamos passar por todas as etapas do algoritmo.

Primeiro, transferimos o termo do lado direito para o esquerdo, obtemos .

Em segundo lugar, transformamos a expressão formada do lado esquerdo: . Como resultado, chegamos à equação x = 0 .

Sua raiz é óbvia - é zero.

Na quarta etapa, resta descobrir se a raiz encontrada não é externa para a equação fracionalmente racional original. Quando é substituído na equação original, a expressão é obtida. Obviamente, não faz sentido, pois contém divisão por zero. Daí concluímos que 0 é uma raiz estranha. Portanto, a equação original não tem raízes.

7 , o que leva à equação . Disso podemos concluir que a expressão no denominador do lado esquerdo deve ser igual a do lado direito, ou seja, . Agora subtraímos de ambas as partes do triplo: . Por analogia, de onde e mais adiante.

A verificação mostra que ambas as raízes encontradas são as raízes da equação racional fracionária original.

Responda:

Bibliografia.

Álgebra: livro didático para 8 células. Educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M. : Educação, 2008. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovitch A. G.Álgebra. 8 ª série. Às 14h Parte 1. Um livro didático para estudantes de instituições educacionais / A. G. Mordkovich. - 11ª ed., apagada. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.
Álgebra: 9º ano: livro didático. para educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M. : Educação, 2009. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-021134-5.

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