A principal função dos colchetes é alterar a ordem das ações ao calcular os valores. por exemplo, na expressão numérica \(5 3+7\) a multiplicação será calculada primeiro, e depois a adição: \(5 3+7 =15+7=22\). Mas na expressão \(5·(3+7)\), a adição entre parênteses será calculada primeiro, e só depois a multiplicação: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Exemplo. Expanda o colchete: \(-(4m+3)\).
Decisão : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Exemplo. Expanda o colchete e dê termos semelhantes \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Decisão : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Exemplo. Expanda os colchetes \(5(3-x)\).
Decisão : Temos \(3\) e \(-x\) no colchete e cinco na frente do colchete. Isso significa que cada membro do colchete é multiplicado por \ (5 \) - lembro que o sinal de multiplicação entre um número e um colchete em matemática não é escrito para reduzir o tamanho dos registros.

Exemplo. Expanda os colchetes \(-2(-3x+5)\).
Decisão : Como no exemplo anterior, \(-3x\) e \(5\) entre colchetes são multiplicados por \(-2\).

Exemplo. Simplifique a expressão: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Decisão : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Resta considerar a última situação.

Ao multiplicar parênteses por parênteses, cada termo do primeiro parêntese é multiplicado por cada termo do segundo:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Exemplo. Expanda os colchetes \((2-x)(3x-1)\).
Decisão : Temos um produto de colchetes e ele pode ser aberto imediatamente usando a fórmula acima. Mas para não ficar confuso, vamos fazer tudo passo a passo.
Etapa 1. Remova o primeiro suporte - cada um de seus membros é multiplicado pelo segundo suporte:

Etapa 2. Expanda os produtos do colchete pelo fator conforme descrito acima:
- o primeiro primeiro...

Depois o segundo.

Passo 3. Agora multiplicamos e trazemos termos semelhantes:

Não é necessário pintar todas as transformações em detalhes, você pode multiplicar imediatamente. Mas se você está apenas aprendendo a abrir colchetes - escreva em detalhes, haverá menos chance de cometer um erro.

Nota para toda a seção. Na verdade, você não precisa se lembrar de todas as quatro regras, você só precisa se lembrar de uma, esta: \(c(a-b)=ca-cb\) . Por quê? Porque se substituirmos um em vez de c, obtemos a regra \((a-b)=a-b\) . E se substituirmos menos um, obtemos a regra \(-(a-b)=-a+b\) . Bem, se você substituir outro colchete em vez de c, você pode obter a última regra.

parênteses dentro de parênteses

Às vezes, na prática, há problemas com colchetes aninhados dentro de outros colchetes. Aqui está um exemplo de tal tarefa: simplificar a expressão \(7x+2(5-(3x+y))\).

Para ter sucesso nessas tarefas, você precisa:
- entenda cuidadosamente o aninhamento de colchetes - qual está em qual;
- abra os colchetes sequencialmente, começando, por exemplo, pelo mais interno.

É importante ao abrir um dos suportes não toque no resto da expressão, apenas reescrevendo-o como está.
Vamos pegar a tarefa acima como exemplo.

Exemplo. Abra os colchetes e dê termos semelhantes \(7x+2(5-(3x+y))\).
Decisão:

Exemplo. Expanda os colchetes e dê termos semelhantes \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Decisão :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Este é um aninhamento triplo de parênteses. Começamos com o mais interno (destacado em verde). Há um sinal de mais na frente do parêntese, então ele é simplesmente removido.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Agora você precisa abrir o segundo suporte, intermediário. Mas antes disso, vamos simplificar a expressão colocando termos semelhantes neste segundo colchete.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Agora abrimos o segundo colchete (destacado em azul). Há um multiplicador na frente do parêntese - então cada termo no parêntese é multiplicado por ele.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		E abra o último parêntese. Antes do colchete menos - então todos os sinais são invertidos.

A abertura de colchetes é uma habilidade básica em matemática. Sem essa habilidade, é impossível ter uma nota acima de três nas séries 8 e 9. Portanto, recomendo uma boa compreensão deste tópico.

Neste vídeo, analisaremos todo um conjunto de equações lineares que são resolvidas usando o mesmo algoritmo - por isso são chamadas de mais simples.

Para começar, vamos definir: o que é uma equação linear e qual delas deve ser chamada de mais simples?

Uma equação linear é aquela em que há apenas uma variável, e apenas no primeiro grau.

A equação mais simples significa a construção:

Todas as outras equações lineares são reduzidas às mais simples usando o algoritmo:

1. Abra colchetes, se houver;
2. Mova os termos que contêm uma variável para um lado do sinal de igual e os termos sem variável para o outro;
3. Traga termos semelhantes à esquerda e à direita do sinal de igual;
4. Divida a equação resultante pelo coeficiente da variável $x$ .

Claro, esse algoritmo nem sempre ajuda. O fato é que às vezes, depois de todas essas maquinações, o coeficiente da variável $x$ acaba sendo igual a zero. Neste caso, duas opções são possíveis:

1. A equação não tem nenhuma solução. Por exemplo, quando você obtém algo como $0\cdot x=8$, ou seja, à esquerda é zero e à direita é um número diferente de zero. No vídeo abaixo, veremos várias razões pelas quais essa situação é possível.
2. A solução são todos os números. O único caso em que isso é possível é quando a equação foi reduzida à construção $0\cdot x=0$. É bastante lógico que não importa o $x$ que substituirmos, ainda resultará “zero é igual a zero”, ou seja, igualdade numérica correta.

E agora vamos ver como tudo funciona no exemplo de problemas reais.

Exemplos de resolução de equações

Hoje lidamos com equações lineares, e apenas as mais simples. Em geral, uma equação linear significa qualquer igualdade que contém exatamente uma variável e vai apenas até o primeiro grau.

Tais construções são resolvidas aproximadamente da mesma maneira:

1. Antes de tudo, você precisa abrir os parênteses, se houver (como no nosso último exemplo);
2. Em seguida, traga semelhantes
3. Finalmente, isole a variável, ou seja, tudo o que está relacionado com a variável - os termos em que ela está contida - é transferido para um lado, e tudo o que permanece sem ela é transferido para o outro lado.

Então, como regra, você precisa trazer semelhante em cada lado da igualdade resultante e, depois disso, resta apenas dividir pelo coeficiente em "x", e obteremos a resposta final.

Em teoria, isso parece bom e simples, mas na prática, mesmo alunos experientes do ensino médio podem cometer erros ofensivos em equações lineares bastante simples. Normalmente, os erros são cometidos ao abrir parênteses ou ao contar "mais" e "menos".

Além disso, acontece que uma equação linear não tem nenhuma solução, ou então a solução é a reta numérica inteira, ou seja, qualquer número. Analisaremos essas sutilezas na lição de hoje. Mas vamos começar, como você já entendeu, com as tarefas mais simples.

Esquema para resolver equações lineares simples

Para começar, deixe-me mais uma vez escrever todo o esquema para resolver as equações lineares mais simples:

1. Expanda os parênteses, se houver.
2. Variáveis ​​isoladas, ou seja, tudo o que contém "x" é transferido para um lado e sem "x" - para o outro.
3. Apresentamos termos semelhantes.
4. Dividimos tudo pelo coeficiente em "x".

Claro, esse esquema nem sempre funciona, tem certas sutilezas e truques, e agora vamos conhecê-los.

Resolvendo exemplos reais de equações lineares simples

Tarefa nº 1

Na primeira etapa, somos obrigados a abrir os colchetes. Mas eles não estão neste exemplo, então pulamos esta etapa. Na segunda etapa, precisamos isolar as variáveis. Observação: estamos falando apenas de termos individuais. Vamos escrever:

Damos termos semelhantes à esquerda e à direita, mas isso já foi feito aqui. Portanto, passamos para o quarto passo: dividir por um fator:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Aqui temos a resposta.

Tarefa nº 2

Nesta tarefa, podemos observar os colchetes, então vamos expandi-los:

Tanto à esquerda quanto à direita, vemos aproximadamente a mesma construção, mas vamos agir de acordo com o algoritmo, ou seja. variáveis ​​de sequestro:

Aqui estão alguns como:

Em quais raízes isso funciona? Resposta: para qualquer. Portanto, podemos escrever que $x$ é qualquer número.

Tarefa nº 3

A terceira equação linear já é mais interessante:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Existem vários colchetes aqui, mas eles não são multiplicados por nada, apenas têm sinais diferentes na frente deles. Vamos decompô-los:

Realizamos o segundo passo já conhecido por nós:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Vamos calcular:

Realizamos a última etapa - dividimos tudo pelo coeficiente em "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Coisas para lembrar ao resolver equações lineares

Se ignorarmos tarefas muito simples, gostaria de dizer o seguinte:

• Como eu disse acima, nem toda equação linear tem uma solução - às vezes simplesmente não há raízes;
• Mesmo que existam raízes, o zero pode entrar entre elas - não há nada de errado com isso.

Zero é o mesmo número que o resto, você não deve de alguma forma discriminá-lo ou assumir que se você obtiver zero, então você fez algo errado.

Outra característica está relacionada à expansão dos parênteses. Atenção: quando há um “menos” na frente deles, nós o removemos, mas entre colchetes mudamos os sinais para oposto. E então podemos abri-lo de acordo com algoritmos padrão: obteremos o que vimos nos cálculos acima.

Compreender este simples fato irá ajudá-lo a evitar cometer erros estúpidos e prejudiciais no ensino médio, quando tais ações são tidas como certas.

Resolvendo equações lineares complexas

Vamos passar para equações mais complexas. Agora as construções se tornarão mais complicadas e uma função quadrática aparecerá ao realizar várias transformações. No entanto, você não deve ter medo disso, porque se, de acordo com a intenção do autor, resolvermos uma equação linear, no processo de transformação todos os monômios contendo uma função quadrática serão necessariamente reduzidos.

Exemplo 1

Obviamente, o primeiro passo é abrir os colchetes. Vamos fazer isso com muito cuidado:

Agora vamos a privacidade:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Aqui estão alguns como:

Obviamente, esta equação não tem soluções, então na resposta escrevemos o seguinte:

\[\variedade \]

ou sem raízes.

Exemplo #2

Executamos os mesmos passos. Primeiro passo:

Vamos mover tudo com uma variável para a esquerda e sem ela - para a direita:

Aqui estão alguns como:

Obviamente, esta equação linear não tem solução, então escrevemos assim:

\[\varnada\],

ou sem raízes.

Nuances da solução

Ambas as equações estão completamente resolvidas. No exemplo dessas duas expressões, mais uma vez nos certificamos de que mesmo nas equações lineares mais simples, tudo pode não ser tão simples: pode haver um, ou nenhum, ou infinitamente muitos. No nosso caso, consideramos duas equações, em ambas simplesmente não há raízes.

Mas gostaria de chamar sua atenção para outro fato: como trabalhar com colchetes e como expandi-los se houver um sinal de menos na frente deles. Considere esta expressão:

Antes de abrir, você precisa multiplicar tudo por "x". Atenção: multiplique cada termo individual. Dentro há dois termos - respectivamente, dois termos e é multiplicado.

E somente depois que essas transformações aparentemente elementares, mas muito importantes e perigosas forem concluídas, o colchete pode ser aberto do ponto de vista de que há um sinal de menos depois dele. Sim, sim: só agora, quando as transformações são feitas, lembramos que há um sinal de menos na frente dos colchetes, o que significa que tudo para baixo apenas muda de sinal. Ao mesmo tempo, os próprios colchetes desaparecem e, mais importante, o “menos” frontal também desaparece.

Fazemos o mesmo com a segunda equação:

Não é por acaso que presto atenção a esses pequenos e aparentemente insignificantes fatos. Porque resolver equações é sempre uma sequência de transformações elementares, onde a incapacidade de realizar ações simples de forma clara e competente leva ao fato de alunos do ensino médio virem até mim e aprenderem a resolver equações tão simples novamente.

Claro, chegará o dia em que você aprimorará essas habilidades para o automatismo. Você não precisa mais realizar tantas transformações a cada vez, você escreverá tudo em uma linha. Mas enquanto você está apenas aprendendo, você precisa escrever cada ação separadamente.

Resolvendo equações lineares ainda mais complexas

O que vamos resolver agora dificilmente pode ser chamado de tarefa mais simples, mas o significado permanece o mesmo.

Tarefa nº 1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Vamos multiplicar todos os elementos da primeira parte:

Vamos fazer um retiro:

Aqui estão alguns como:

Vamos fazer o último passo:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Aqui está a nossa resposta final. E, apesar do fato de que no processo de resolução tivemos coeficientes com função quadrática, no entanto, eles se aniquilaram mutuamente, o que torna a equação exatamente linear, não quadrada.

Tarefa nº 2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Vamos fazer o primeiro passo com cuidado: multiplique cada elemento do primeiro colchete por cada elemento do segundo. No total, quatro novos termos devem ser obtidos após as transformações:

E agora realize cuidadosamente a multiplicação em cada termo:

Vamos mover os termos com "x" para a esquerda e sem - para a direita:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Aqui estão termos semelhantes:

Recebemos uma resposta definitiva.

Nuances da solução

A observação mais importante sobre essas duas equações é a seguinte: assim que começamos a multiplicar colchetes em que há mais de um termo, isso é feito de acordo com a seguinte regra: pegamos o primeiro termo do primeiro e multiplicamos com cada elemento do segundo; então pegamos o segundo elemento do primeiro e multiplicamos da mesma forma com cada elemento do segundo. Como resultado, obtemos quatro termos.

Na soma algébrica

Com o último exemplo, gostaria de lembrar aos alunos o que é uma soma algébrica. Na matemática clássica, por $1-7$ queremos dizer uma construção simples: subtraímos sete de um. Em álgebra, queremos dizer com isso o seguinte: ao número "um" adicionamos outro número, a saber, "menos sete". Esta soma algébrica difere da soma aritmética usual.

Assim que ao realizar todas as transformações, cada adição e multiplicação, você começar a ver construções semelhantes às descritas acima, você simplesmente não terá problemas em álgebra ao trabalhar com polinômios e equações.

Concluindo, vejamos mais alguns exemplos que serão ainda mais complexos do que os que acabamos de ver e, para resolvê-los, teremos que expandir um pouco nosso algoritmo padrão.

Resolvendo equações com uma fração

Para resolver tais tarefas, mais um passo terá que ser adicionado ao nosso algoritmo. Mas primeiro, vou lembrar nosso algoritmo:

1. Abra os colchetes.
2. Variáveis ​​separadas.
3. Traga semelhante.
4. Divida por um fator.

Infelizmente, esse maravilhoso algoritmo, apesar de toda a sua eficiência, não é totalmente apropriado quando temos frações à nossa frente. E no que veremos a seguir, temos uma fração à esquerda e à direita em ambas as equações.

Como trabalhar neste caso? Sim, é muito simples! Para fazer isso, você precisa adicionar mais uma etapa ao algoritmo, que pode ser executada antes da primeira ação e depois dela, ou seja, para se livrar das frações. Assim, o algoritmo será o seguinte:

1. Livre-se das frações.
2. Abra os colchetes.
3. Variáveis ​​separadas.
4. Traga semelhante.
5. Divida por um fator.

O que significa "livrar-se de frações"? E por que é possível fazer isso depois e antes da primeira etapa padrão? De fato, no nosso caso, todas as frações são numéricas em termos do denominador, ou seja, em todos os lugares o denominador é apenas um número. Portanto, se multiplicarmos ambas as partes da equação por esse número, nos livraremos das frações.

Exemplo 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Vamos nos livrar das frações nesta equação:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Observe: tudo é multiplicado por “quatro” uma vez, ou seja, só porque você tem dois colchetes não significa que você tem que multiplicar cada um deles por "quatro". Vamos escrever:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Agora vamos abrir:

Realizamos a reclusão de uma variável:

Realizamos a redução de termos semelhantes:

\[-4x=-1\esquerda| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Recebemos a solução final, passamos para a segunda equação.

Exemplo #2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Aqui realizamos todas as mesmas ações:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problema resolvido.

Isso, na verdade, é tudo o que eu queria dizer hoje.

Pontos chave

As principais descobertas são as seguintes:

• Conhecer o algoritmo para resolver equações lineares.
• Capacidade de abrir colchetes.
• Não se preocupe se você tiver funções quadráticas em algum lugar, provavelmente, no processo de outras transformações, elas serão reduzidas.
• As raízes nas equações lineares, mesmo as mais simples, são de três tipos: uma única raiz, toda a reta numérica é uma raiz, não há raízes.

Espero que esta lição o ajude a dominar um tópico simples, mas muito importante para uma maior compreensão de toda a matemática. Se algo não estiver claro, acesse o site, resolva os exemplos ali apresentados. Fique atento, há muito mais coisas interessantes esperando por você!

"Parênteses de abertura" - livro de matemática 6º ano (Vilenkin)

Pequena descrição:

Nesta seção, você aprenderá como abrir parênteses em exemplos. Para que serve? Tudo pelo mesmo de antes - para tornar cada vez mais fácil para você contar, cometer menos erros e, idealmente (o sonho do seu professor de matemática), resolver tudo sem erros.
Você já sabe que os colchetes na notação matemática são colocados se dois sinais matemáticos forem seguidos, se quisermos mostrar a união dos números, seu rearranjo. Expandir colchetes significa se livrar de caracteres extras. Por exemplo: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. Você se lembra da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição? Afinal, nesse exemplo, também nos livramos dos colchetes para simplificar os cálculos. A propriedade nomeada da multiplicação também pode ser aplicada a quatro, três, cinco ou mais termos. Por exemplo: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Você já reparou que ao abrir colchetes, os números neles não mudam de sinal se o número na frente dos colchetes for positivo? Afinal, quinze é um número positivo. E se você resolver este exemplo: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( - 120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. Tínhamos um número negativo menos quinze na frente dos colchetes, quando abrimos os colchetes todos os números começaram a mudar de sinal para outro - o oposto - de mais para menos.
Com base nos exemplos acima, duas regras básicas para abertura de colchetes podem ser expressas:
1. Se você tiver um número positivo na frente dos colchetes, depois de abrir os colchetes, todos os sinais dos números nos colchetes não mudam, mas permanecem exatamente os mesmos.
2. Se você tiver um número negativo na frente dos colchetes, depois de abrir os colchetes, o sinal de menos não será mais escrito e os sinais de todos os números absolutos entre colchetes serão invertidos.
Por exemplo: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Vamos complicar um pouco nossos exemplos: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Você notou que abrindo os segundos colchetes, multiplicamos por 2, mas os sinais permaneceram os mesmos. E aqui está um exemplo: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, neste exemplo o número dois é negativo, é está antes dos colchetes ficar com sinal de menos, portanto, abrindo-os, trocamos os sinais dos números pelos opostos (nove ficou com mais, ficou com menos, oito ficou com menos, ficou com mais ).

No século V aC, o antigo filósofo grego Zenão de Elea formulou suas famosas aporias, das quais a mais famosa é a aporia "Aquiles e a tartaruga". Aqui está como soa:

Digamos que Aquiles corra dez vezes mais rápido que a tartaruga e esteja mil passos atrás dela. Durante o tempo em que Aquiles percorre essa distância, a tartaruga rasteja cem passos na mesma direção. Quando Aquiles tiver dado cem passos, a tartaruga rastejará outros dez passos, e assim por diante. O processo continuará indefinidamente, Aquiles nunca alcançará a tartaruga.

Esse raciocínio se tornou um choque lógico para todas as gerações subsequentes. Aristóteles, Diógenes, Kant, Hegel, Gilbert... Todos eles, de uma forma ou de outra, consideravam as aporias de Zenão. O choque foi tão forte que " ... as discussões continuam no momento, a comunidade científica ainda não conseguiu chegar a uma opinião comum sobre a essência dos paradoxos ... análise matemática, teoria dos conjuntos, novas abordagens físicas e filosóficas estiveram envolvidas no estudo do assunto ; nenhum deles se tornou uma solução universalmente aceita para o problema..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Todos entendem que estão sendo enganados, mas ninguém entende qual é o engano.

Do ponto de vista da matemática, Zenão em sua aporia demonstrou claramente a transição do valor para. Esta transição implica aplicar em vez de constantes. Tanto quanto eu entendo, o aparato matemático para aplicar unidades de medida variáveis ​​ainda não foi desenvolvido ou não foi aplicado à aporia de Zenão. A aplicação de nossa lógica usual nos leva a uma armadilha. Nós, pela inércia do pensamento, aplicamos unidades constantes de tempo ao recíproco. Do ponto de vista físico, parece que o tempo desacelera até parar completamente no momento em que Aquiles alcança a tartaruga. Se o tempo parar, Aquiles não pode mais ultrapassar a tartaruga.

Se virarmos a lógica a que estamos acostumados, tudo se encaixa. Aquiles corre a uma velocidade constante. Cada segmento subsequente de seu caminho é dez vezes mais curto que o anterior. Assim, o tempo gasto para superá-lo é dez vezes menor que o anterior. Se aplicarmos o conceito de "infinito" nessa situação, seria correto dizer "Aquiles ultrapassará a tartaruga infinitamente rapidamente".

Como evitar essa armadilha lógica? Permaneça em unidades de tempo constantes e não mude para valores recíprocos. Na linguagem de Zeno, fica assim:

No tempo que Aquiles leva para correr mil passos, a tartaruga rasteja cem passos na mesma direção. Durante o próximo intervalo de tempo, igual ao primeiro, Aquiles dará mais mil passos e a tartaruga rastejará cem passos. Agora Aquiles está oitocentos passos à frente da tartaruga.

Esta abordagem descreve adequadamente a realidade sem quaisquer paradoxos lógicos. Mas esta não é uma solução completa para o problema. A afirmação de Einstein sobre a intransponibilidade da velocidade da luz é muito semelhante à aporia de Zenão "Aquiles e a tartaruga". Ainda temos que estudar, repensar e resolver esse problema. E a solução deve ser buscada não em números infinitamente grandes, mas em unidades de medida.

Outra aporia interessante de Zenão fala de uma flecha voadora:

Uma flecha voadora é imóvel, pois a cada momento está em repouso, e como está em repouso a cada momento, está sempre em repouso.

Nesta aporia, o paradoxo lógico é superado de forma muito simples - basta esclarecer que a cada momento a flecha voadora está em repouso em diferentes pontos do espaço, o que, na verdade, é movimento. Há outro ponto a ser observado aqui. A partir de uma fotografia de um carro na estrada, é impossível determinar o fato de seu movimento ou a distância até ele. Para determinar o fato do movimento do carro, são necessárias duas fotografias tiradas do mesmo ponto em pontos diferentes no tempo, mas não podem ser usadas para determinar a distância. Para determinar a distância até o carro, você precisa de duas fotografias tiradas de diferentes pontos no espaço ao mesmo tempo, mas não pode determinar o fato do movimento delas (é claro, você ainda precisa de dados adicionais para cálculos, a trigonometria o ajudará) . O que quero salientar em particular é que dois pontos no tempo e dois pontos no espaço são duas coisas diferentes que não devem ser confundidas, pois oferecem diferentes oportunidades de exploração.

quarta-feira, 4 de julho de 2018

Muito bem as diferenças entre set e multiset estão descritas na Wikipedia. Nós olhamos.

Como você pode ver, "o conjunto não pode ter dois elementos idênticos", mas se houver elementos idênticos no conjunto, esse conjunto é chamado de "multiconjunto". Os seres racionais jamais compreenderão tal lógica do absurdo. Este é o nível de papagaios falantes e macacos treinados, no qual a mente está ausente da palavra "completamente". Os matemáticos agem como treinadores comuns, pregando suas ideias absurdas para nós.

Era uma vez, os engenheiros que construíram a ponte estavam em um barco debaixo da ponte durante os testes da ponte. Se a ponte desabasse, o engenheiro medíocre morria sob os escombros de sua criação. Se a ponte pudesse suportar a carga, o talentoso engenheiro construiu outras pontes.

Por mais que os matemáticos se escondam atrás da frase "cuidado comigo, estou em casa", ou melhor, "a matemática estuda conceitos abstratos", há um cordão umbilical que os conecta inextricavelmente com a realidade. Este cordão umbilical é dinheiro. Vamos aplicar a teoria dos conjuntos matemáticos aos próprios matemáticos.

Estudamos matemática muito bem e agora estamos sentados no caixa, pagando salários. Aqui um matemático vem até nós por seu dinheiro. Contamos toda a quantia para ele e colocamos em nossa mesa em pilhas diferentes, nas quais colocamos notas do mesmo valor. Em seguida, pegamos uma nota de cada pilha e damos ao matemático seu "conjunto de salários matemáticos". Explicamos a matemática que ele só receberá o restante das contas quando provar que o conjunto sem elementos idênticos não é igual ao conjunto com elementos idênticos. Isto é onde a diversão começa.

Em primeiro lugar, a lógica dos deputados funcionará: "você pode aplicar aos outros, mas não a mim!" Além disso, começarão as garantias de que existem números de notas diferentes nas notas da mesma denominação, o que significa que elas não podem ser consideradas elementos idênticos. Bem, contamos o salário em moedas - não há números nas moedas. Aqui o matemático lembrará freneticamente da física: moedas diferentes têm quantidades diferentes de sujeira, a estrutura cristalina e o arranjo dos átomos para cada moeda são únicos ...

E agora eu tenho a pergunta mais interessante: onde está o limite além do qual elementos de um multiconjunto se transformam em elementos de um conjunto e vice-versa? Tal linha não existe - tudo é decidido pelos xamãs, a ciência aqui não está nem perto.

Olhe aqui. Selecionamos estádios de futebol com a mesma área de campo. A área dos campos é a mesma, o que significa que temos um multiset. Mas se considerarmos os nomes dos mesmos estádios, conseguimos muito, porque os nomes são diferentes. Como você pode ver, o mesmo conjunto de elementos é um conjunto e um multiconjunto ao mesmo tempo. Como certo? E aqui o matemático-xamã-shuller tira um ás de trunfo da manga e começa a nos falar sobre um conjunto ou um multiconjunto. De qualquer forma, ele nos convencerá de que está certo.

Para entender como os xamãs modernos operam com a teoria dos conjuntos, atrelando-a à realidade, basta responder a uma pergunta: como os elementos de um conjunto diferem dos elementos de outro conjunto? Vou lhe mostrar, sem nenhum "concebível como um todo" ou "não concebível como um todo".

domingo, 18 de março de 2018

A soma dos dígitos de um número é uma dança de xamãs com um pandeiro, que nada tem a ver com matemática. Sim, nas aulas de matemática somos ensinados a encontrar a soma dos dígitos de um número e usá-la, mas eles são xamãs para isso, para ensinar seus descendentes suas habilidades e sabedoria, caso contrário os xamãs simplesmente morrerão.

Você precisa de provas? Abra a Wikipedia e tente encontrar a página "Soma de dígitos de um número". Ela não existe. Não existe uma fórmula em matemática pela qual você possa encontrar a soma dos dígitos de qualquer número. Afinal, os números são símbolos gráficos com os quais escrevemos números e, na linguagem da matemática, a tarefa soa assim: "Encontre a soma dos símbolos gráficos que representam qualquer número". Os matemáticos não podem resolver este problema, mas os xamãs podem fazê-lo de forma elementar.

Vamos descobrir o que e como fazemos para encontrar a soma dos dígitos de um determinado número. E assim, digamos que temos o número 12345. O que precisa ser feito para encontrar a soma dos dígitos desse número? Vamos considerar todas as etapas em ordem.

1. Anote o número em um pedaço de papel. O que nos fizemos? Convertemos o número em um símbolo gráfico numérico. Esta não é uma operação matemática.

2. Cortamos uma foto recebida em várias fotos contendo números separados. Cortar uma imagem não é uma operação matemática.

3. Converta caracteres gráficos individuais em números. Esta não é uma operação matemática.

4. Some os números resultantes. Agora isso é matemática.

A soma dos dígitos do número 12345 é 15. São os "cursos de corte e costura" dos xamãs usados ​​pelos matemáticos. Mas isso não é tudo.

Do ponto de vista da matemática, não importa em qual sistema numérico escrevemos o número. Assim, em diferentes sistemas numéricos, a soma dos dígitos do mesmo número será diferente. Em matemática, o sistema numérico é indicado como um subscrito à direita do número. Com um grande número de 12345, não quero enganar minha cabeça, considere o número 26 do artigo sobre. Vamos escrever este número em sistemas numéricos binários, octais, decimais e hexadecimais. Não consideraremos cada etapa sob um microscópio, já fizemos isso. Vejamos o resultado.

Como você pode ver, em diferentes sistemas numéricos, a soma dos dígitos do mesmo número é diferente. Este resultado não tem nada a ver com matemática. É como encontrar a área de um retângulo em metros e centímetros lhe daria resultados completamente diferentes.

Zero em todos os sistemas numéricos parece o mesmo e não tem soma de dígitos. Este é outro argumento a favor do fato de que . Uma pergunta para os matemáticos: como se denota em matemática aquilo que não é um número? O que, para os matemáticos, nada além de números existe? Para os xamãs, posso permitir isso, mas para os cientistas, não. A realidade não é apenas sobre números.

O resultado obtido deve ser considerado como prova de que os sistemas numéricos são unidades de medida dos números. Afinal, não podemos comparar números com unidades de medida diferentes. Se as mesmas ações com diferentes unidades de medida da mesma quantidade levam a resultados diferentes depois de compará-las, isso não tem nada a ver com matemática.

O que é matemática de verdade? É quando o resultado de uma ação matemática não depende do valor do número, da unidade de medida utilizada e de quem realiza essa ação.

Sinal na porta Abre a porta e diz:

Ai! Este não é o banheiro feminino?
- Jovem! Este é um laboratório para estudar a santidade indefinida das almas após a ascensão ao céu! Nimbus no topo e seta para cima. Que outro banheiro?

Feminino... Uma auréola em cima e uma seta para baixo é masculina.

Se você tem uma obra de arte de design piscando diante de seus olhos várias vezes ao dia,

Então não é de surpreender que de repente você encontre um ícone estranho em seu carro:

Pessoalmente, eu me esforço para ver menos quatro graus em uma pessoa fazendo cocô (uma foto) (composição de várias fotos: sinal de menos, número quatro, designação de graus). E eu não considero essa garota uma tola que não sabe física. Ela só tem um estereótipo de arco de percepção de imagens gráficas. E os matemáticos nos ensinam isso o tempo todo. Aqui está um exemplo.

1A não é "menos quatro graus" ou "um a". Este é "pooping man" ou o número "vinte e seis" no sistema numérico hexadecimal. As pessoas que trabalham constantemente nesse sistema numérico percebem automaticamente o número e a letra como um símbolo gráfico.

Os parênteses são usados ​​para indicar a ordem em que as ações são executadas em expressões numéricas e alfabéticas, bem como em expressões com variáveis. É conveniente passar de uma expressão com colchetes para uma expressão identicamente igual sem colchetes. Essa técnica é chamada de abertura de parênteses.

Expandir colchetes significa livrar a expressão desses colchetes.

Outro ponto merece atenção especial, que diz respeito às peculiaridades das soluções de escrita ao abrir colchetes. Podemos escrever a expressão inicial entre colchetes e o resultado obtido após a abertura dos colchetes como igualdade. Por exemplo, depois de abrir os parênteses, em vez da expressão
3−(5−7) obtemos a expressão 3−5+7. Podemos escrever ambas as expressões como a igualdade 3−(5−7)=3−5+7.

E mais um ponto importante. Em matemática, para reduzir entradas, é costume não escrever um sinal de mais se for o primeiro de uma expressão ou entre colchetes. Por exemplo, se adicionarmos dois números positivos, por exemplo, sete e três, escrevemos não +7 + 3, mas simplesmente 7 + 3, apesar de sete também ser um número positivo. Da mesma forma, se você vir, por exemplo, a expressão (5 + x) - saiba que há um mais na frente do colchete, que não está escrito, e há um mais + (+5 + x) na frente do cinco.

Regra de expansão de colchetes para adição

Ao abrir colchetes, se houver um sinal de mais antes dos colchetes, esse sinal de mais será omitido junto com os colchetes.

Exemplo. Abra os colchetes na expressão 2 + (7 + 3) Antes dos colchetes mais, os caracteres na frente dos números entre colchetes não mudam.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

A regra para expandir colchetes ao subtrair

Se houver um menos antes dos colchetes, esse menos é omitido junto com os colchetes, mas os termos que estavam nos colchetes mudam seu sinal para o oposto. A ausência de um sinal antes do primeiro termo entre parênteses implica um sinal +.

Exemplo. Abra colchetes na expressão 2 − (7 + 3)

Há um sinal de menos antes dos colchetes, então você precisa alterar os sinais antes dos números dos colchetes. Não há sinal entre parênteses antes do número 7, o que significa que o sete é positivo, considera-se que o sinal + está na frente dele.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Ao abrir os colchetes, removemos o menos do exemplo, que estava antes dos colchetes, e os próprios colchetes 2 − (+ 7 + 3), e trocamos os sinais que estavam nos colchetes pelos opostos.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Expandindo parênteses ao multiplicar

Se houver um sinal de multiplicação na frente dos colchetes, cada número dentro dos colchetes é multiplicado pelo fator na frente dos colchetes. Ao mesmo tempo, multiplicar um menos por um menos dá um mais, e multiplicar um menos por um mais, como multiplicar um mais por um menos, dá um menos.

Assim, os parênteses nos produtos são expandidos de acordo com a propriedade distributiva da multiplicação.

Exemplo. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Ao multiplicar parênteses por parênteses, cada termo do primeiro parêntese é multiplicado por cada termo do segundo parêntese.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Na verdade, não há necessidade de lembrar todas as regras, basta lembrar apenas uma, esta: c(a−b)=ca−cb. Por quê? Porque se substituirmos um em vez de c, obtemos a regra (a−b)=a−b. E se substituirmos menos um, obtemos a regra −(a−b)=−a+b. Bem, se você substituir outro colchete em vez de c, você pode obter a última regra.

Expandir parênteses ao dividir

Se houver um sinal de divisão após os colchetes, cada número dentro dos colchetes é divisível pelo divisor após os colchetes e vice-versa.

Exemplo. (9 + 6): 3=9: 3 + 6: 3

Como expandir parênteses aninhados

Se a expressão contiver colchetes aninhados, eles serão expandidos em ordem, começando com externo ou interno.

Ao mesmo tempo, ao abrir um dos colchetes, é importante não tocar nos outros colchetes, apenas reescrevê-los como estão.

Exemplo. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b