Extrapolação - este é um método de pesquisa científica, que se baseia na divulgação de tendências, padrões e relações passadas e presentes com o desenvolvimento futuro do objeto de previsão. Os métodos de extrapolação incluem método da média móvel, método de suavização exponencial, método dos mínimos quadrados.
Método de suavização exponencial mais eficaz no desenvolvimento de previsões de médio prazo. É aceitável quando se prevê apenas um período à frente. Suas principais vantagens são a simplicidade do procedimento de cálculo e a capacidade de levar em consideração os pesos das informações iniciais. A fórmula de trabalho do método de suavização exponencial é:
Existem dois problemas com a previsão usando este método:
- seleção do valor do parâmetro de suavização α;
- determinação do valor inicial Uo.
O valor de α depende a rapidez com que o peso da influência das observações anteriores diminui. Quanto maior α, menor a influência dos anos anteriores. Se o valor de α estiver próximo da unidade, isso leva a levar em consideração na previsão principalmente a influência apenas das últimas observações. Se o valor de α for próximo de zero, então os pesos pelos quais os níveis da série temporal são ponderados diminuem lentamente, ou seja, a previsão leva em conta todas (ou quase todas) as observações passadas.
Assim, se houver confiança de que as condições iniciais com base nas quais a previsão é desenvolvida são confiáveis, um pequeno valor do parâmetro de suavização (α→0) deve ser usado. Quando o parâmetro de suavização é pequeno, a função em estudo se comporta como uma média de um grande número de níveis passados. Se não houver confiança suficiente nas condições iniciais da previsão, então um grande valor de α deve ser usado, o que levará a levar em consideração na previsão principalmente a influência de observações recentes.
Não existe um método exato para escolher o valor ótimo do parâmetro de suavização α. Em alguns casos, o autor deste método, Professor Brown, propôs determinar o valor de α com base no comprimento do intervalo de suavização. Neste caso, α é calculado pela fórmula:
onde n é o número de observações incluídas no intervalo de suavização.
Problema de seleção de Uo (média inicial exponencialmente ponderada) é resolvida das seguintes maneiras:
- se houver dados sobre o desenvolvimento do fenômeno no passado, você poderá usar a média aritmética e igualar Uo a ela;
- se não houver tal informação, então o primeiro valor inicial da base de previsão Y1 é usado como Uo.
Você também pode usar opiniões de especialistas.
Observe que ao estudar séries temporais econômicas e prever processos econômicos, o método de suavização exponencial nem sempre “funciona”. Isso se deve ao fato de que as séries temporais econômicas são muito curtas (15-20 observações), e no caso em que as taxas de crescimento e crescimento são altas, esse método não “consegue” refletir todas as mudanças.
Um exemplo de aplicação do método de suavização exponencial para desenvolver uma previsão
Uma tarefa . Existem dados que caracterizam o nível de desemprego na região, %
- Construa uma previsão da taxa de desemprego na região para os meses de novembro, dezembro, janeiro usando os métodos: média móvel, suavização exponencial, mínimos quadrados.
- Calcule os erros nas previsões resultantes usando cada método.
- Compare os resultados obtidos, tire conclusões.
Solução de suavização exponencial
1) Determine o valor do parâmetro de suavização pela fórmula:
onde n é o número de observações incluídas no intervalo de suavização. α = 2/ (10+1) = 0,2
2) Determinamos o valor inicial Uo de duas maneiras:
Método I (média aritmética) Uo = (2,99 + 2,66 + 2,63 + 2,56 + 2,40 + 2,22 + 1,97 + 1,72 + 1,56 + 1,42)/10 = 22,13/10 = 2,21
Método II (tomamos o primeiro valor da base de previsão) Uo = 2,99
3) Calcule a média exponencialmente ponderada para cada período usando a fórmula
onde t é o período anterior ao período de previsão; t+1 – período de previsão; Ut+1 - indicador previsto; α - parâmetro de suavização; Уt é o valor real do indicador estudado para o período anterior à previsão; Ut - média exponencialmente ponderada para o período anterior ao período de previsão.
Por exemplo:
Ufeb \u003d 2,99 * 0,2 + (1-0,2) * 2,21 \u003d 2,37 (método I)
Umart \u003d 2,66 * 0,2 + (1-0,2) * 2,37 \u003d 2,43 (método I), etc.
Ufeb \u003d 2,99 * 0,2 + (1-0,2) * 2,99 \u003d 2,99 (método II)
Umart \u003d 2,66 * 0,2 + (1-0,2) * 2,99 \u003d 2,92 (método II)
Uapr \u003d 2,63 * 0,2 + (1-0,2) * 2,92 \u003d 2,86 (método II), etc.
4) Usando a mesma fórmula, calculamos o valor previsto
Novembro \u003d 1,42 * 0,2 + (1-0,2) * 2,08 \u003d 1,95 (método I)
Novembro \u003d 1,42 * 0,2 + (1-0,2) * 2,18 \u003d 2,03 (método II)
Colocamos os resultados em uma tabela.
5) Calcule o erro relativo médio usando a fórmula:
ε = 209,58/10 = 20,96% (método I)
ε = 255,63/10 = 25,56% (método II)
Em todo caso precisão da previsão é satisfatório, uma vez que o erro relativo médio cai entre 20-50%.
Tendo resolvido este problema por métodos média móvel e mínimos quadrados Vamos tirar conclusões.
Um modelo de série temporal simples e logicamente claro tem a seguinte forma:
Y t = b + e t
y, = b + rn (11,5)
onde b é uma constante, e é um erro aleatório. A constante b é relativamente estável em cada intervalo de tempo, mas também pode mudar lentamente ao longo do tempo. Uma maneira intuitiva de extrair o valor de b dos dados é usar a suavização de média móvel, na qual as últimas observações recebem mais peso que as penúltimas, as penúltimas são mais ponderadas que as penúltimas e assim por diante. A suavização exponencial simples é exatamente isso. Aqui, pesos exponencialmente decrescentes são atribuídos a observações mais antigas, enquanto, ao contrário da média móvel, todas as observações anteriores da série são levadas em consideração, e não apenas aquelas que caíram em uma determinada janela. A fórmula exata para suavização exponencial simples é:
S t = a y t + (1 - a) S t -1
Quando essa fórmula é aplicada recursivamente, cada novo valor suavizado (que também é uma previsão) é calculado como uma média ponderada da observação atual e da série suavizada. Obviamente, o resultado da suavização depende do parâmetro a . Se a for 1, então as observações anteriores são completamente ignoradas. Se a for 0, então as observações atuais são ignoradas. Valores de a entre 0 e 1 dão resultados intermediários. Estudos empíricos mostraram que uma simples suavização exponencial geralmente fornece uma previsão bastante precisa.
Na prática, geralmente é recomendado tomar menos de 0,30. No entanto, escolher um valor maior que 0,30 às vezes fornece uma previsão mais precisa. Isso significa que ainda é melhor estimar o valor ótimo de a a partir de dados reais do que usar recomendações gerais.
Na prática, o parâmetro de suavização ideal é frequentemente procurado usando um procedimento de busca de grade. O intervalo possível de valores de parâmetros é dividido por uma grade com um determinado passo. Por exemplo, considere uma grade de valores de a = 0,1 a a = 0,9 com um passo de 0,1. O valor de a é então escolhido para o qual a soma dos quadrados (ou quadrados médios) dos resíduos (valores observados menos as previsões um passo à frente) é mínima.
O Microsoft Excel fornece a função de suavização exponencial, que é comumente usada para suavizar os níveis de uma série temporal empírica com base no método de suavização exponencial simples. Para chamar esta função, selecione Tools Þ Data Analysis na barra de menu. A janela Análise de Dados será aberta na tela, na qual você deverá selecionar o valor Suavização Exponencial (Suavização Exponencial). Como resultado, a caixa de diálogo Exponential Smoothing aparecerá.
Na caixa de diálogo Exponential Smoothing, quase os mesmos parâmetros são definidos na caixa de diálogo Moving Average discutida acima.
1. Intervalo de entrada (dados de entrada) - neste campo, é inserido um intervalo de células contendo os valores do parâmetro em estudo.
2. Rótulos - esta caixa de seleção é marcada se
a primeira linha (coluna) no intervalo de entrada contém um cabeçalho. Se o cabeçalho estiver ausente, a caixa de seleção deve ser desmarcada. Nesse caso, os nomes padrão serão gerados automaticamente para os dados do intervalo de saída.
3. Fator de amortecimento - insira o valor do fator de suavização exponencial a neste campo. O valor padrão é a = 0,3.
4. Opções de saída - neste grupo, além de especificar um intervalo de células para dados de saída no campo Intervalo de saída, você também pode solicitar a plotagem automática de um gráfico, para o qual você precisa verificar a opção de saída do gráfico e calcular o padrão erros, para os quais você precisa marcar a opção Erro padrão (erros padrão).
Tarefa 2. Usando o programa Microsoft Excel, usando a função de amortecimento exponencial, com base nos dados do volume de saída da Tarefa 1, calcule os níveis de saída suavizados e os erros padrão. Em seguida, apresente os dados reais e previstos usando um gráfico. Dica: você deve obter uma tabela e um gráfico semelhantes ao feito na tarefa 1, mas com diferentes níveis de suavização e erros padrão.
Método de alinhamento analítico
onde estão os valores teóricos da série temporal calculados de acordo com a equação analítica correspondente no tempo t.
A definição dos valores teóricos (calculados) é feita com base no chamado modelo matemático adequado, que melhor reflete a principal tendência no desenvolvimento das séries temporais.
Os modelos (fórmulas) mais simples que expressam a tendência de desenvolvimento são os seguintes:
Função linear cujo gráfico é uma linha reta:
Função exponencial:
Y t = a 0 * a 1 t
Função de potência de segunda ordem, cujo gráfico é uma parábola:
Y t = a 0 + a 1 * t + a 2 * t 2
Função logarítmica:
Y t = a 0 + a 1 * ln t
Os parâmetros da função são geralmente calculados usando o método dos mínimos quadrados, no qual o ponto mínimo da soma dos desvios quadrados entre os níveis teórico e empírico é tomado como solução:
onde - níveis alinhados (calculados) e Yt - níveis reais.
Os parâmetros de equação a i que satisfazem esta condição podem ser encontrados resolvendo o sistema de equações normais. Com base na equação de tendência encontrada, os níveis alinhados são calculados.
alinhamento em linha retaé usado nos casos em que os ganhos absolutos são praticamente constantes, ou seja, quando os níveis mudam em uma progressão aritmética (ou próximo a ela).
Alinhamento por função exponencial aplica-se quando a série reflete o desenvolvimento na profissão geométrica, ou seja, os fatores de crescimento da cadeia são praticamente constantes.
Alinhamento da função de energia(parábola de segunda ordem) é usada quando a série temporal muda com taxas de crescimento da cadeia constantes.
Nivelamento por função logarítmicaé usado quando a série reflete o desenvolvimento com crescimento mais lento no final do período, ou seja, quando o aumento nos níveis finais da série temporal tende a zero.
De acordo com os parâmetros calculados, o modelo de tendência da função é sintetizado, ou seja, obtendo os valores a 0 , a 1 , a ,2 e substituindo-os na equação desejada.
A exatidão dos cálculos dos níveis analíticos pode ser verificada pela seguinte condição: a soma dos valores da série empírica deve corresponder à soma dos níveis calculados da série alinhada. Nesse caso, pode ocorrer um pequeno erro nos cálculos devido ao arredondamento dos valores calculados:
Para avaliar a precisão do modelo de tendência, o coeficiente de determinação é usado:
onde é a variância dos dados teóricos obtidos do modelo de tendência e é a variância dos dados empíricos.
O modelo de tendência é adequado ao processo em estudo e reflete a tendência do seu desenvolvimento em valores de R 2 próximos de 1.
Depois de escolher o modelo mais adequado, você pode fazer uma previsão para qualquer um dos períodos. Ao fazer previsões, eles operam não com um ponto, mas com uma estimativa intervalar, determinando os chamados intervalos de confiança da previsão. O valor do intervalo de confiança é definido em termos gerais como segue:
onde é o desvio padrão da tendência; ta- valor tabular do teste t de Student em nível de significância uma, que depende do nível de significância uma(%) e número de graus de liberdade k = n- t. O valor - é determinado pela fórmula:
onde e são os valores reais e calculados dos níveis da série dinâmica; P- número de níveis de linha; t- o número de parâmetros na equação de tendência (para a equação de linha reta t- 2, para a equação da parábola de 2ª ordem t = 3).
Após os cálculos necessários, é determinado um intervalo no qual o valor previsto será localizado com uma certa probabilidade.
Usar o Microsoft Excel para construir modelos de tendências é bastante simples. Primeiro, a série temporal empírica deve ser apresentada como um gráfico de um dos seguintes tipos: histograma, gráfico de barras, gráfico, gráfico de dispersão, gráfico de área e, em seguida, clique com o botão direito do mouse em um dos marcadores de dados do gráfico. Como resultado, a própria série temporal será destacada no gráfico e o menu de contexto será aberto na tela. Nesse menu, selecione o comando Adicionar linha de tendência. A caixa de diálogo Adicionar linha de tendência será exibida.
Na guia Tipo desta caixa de diálogo, o tipo de tendência necessário é selecionado:
1. linear (Linear);
2. logarítmico (Logarítmico);
3. polinômio, do 2º ao 6º grau inclusive (Polinomial);
4. potência (Potência);
5. exponencial (Exponencial);
6. média móvel, com indicação do período de suavização de 2 a 15 (média móvel).
Na guia Opções desta caixa de diálogo, opções de tendências adicionais são definidas.
1. Nome da linha de tendência (Nome da curva suavizada) - neste grupo, é selecionado o nome, que será exibido no gráfico para indicar a função utilizada para suavizar a série temporal. As seguintes opções são possíveis:
♦ Automático - Quando o botão de opção é definido para esta posição, o Microsoft Excel gera automaticamente o nome da função de suavização de tendência com base no tipo de tendência selecionado, como Linear (função linear).
♦ Personalizado - Quando o botão de opção está definido para esta posição, você pode inserir seu próprio nome para a função de tendência na caixa à direita, com até 256 caracteres.
2. Previsão (Forecast) - neste grupo você pode especificar quantos períodos à frente (campo Forward) você deseja projetar uma linha de tendência no futuro e quantos períodos atrás (campo Backward) você deseja projetar uma linha de tendência no passado (estes campos não estão disponíveis no modo de média móvel).
3. Definir interceptação (Interceptação da curva com o eixo Y em um ponto) - esta caixa de seleção e o campo de entrada localizado à direita permitem que você especifique diretamente o ponto no qual a linha de tendência deve cruzar o eixo Y (esses campos não são disponível para todos os modos).
4. Exibir equação no gráfico - quando esta opção estiver marcada, uma equação descrevendo a linha de tendência de suavização será exibida no gráfico.
5. Exiba o valor R-quadrado no gráfico R2)- quando esta caixa de seleção estiver marcada, o diagrama mostrará o valor do coeficiente de determinação.
As barras de erro também podem ser exibidas junto com uma linha de tendência em um gráfico de série temporal. Para inserir barras de erro, você precisa selecionar uma série de dados, clicar com o botão direito nela e selecionar o comando Format Data Series no menu de contexto pop-up. A caixa de diálogo Formatar série de dados será aberta na tela, na qual você deve ir para a guia Barras de erro Y (erros Y).
Nesta aba, usando a chave Valor do erro, você seleciona o tipo de barras e a opção de calculá-las, dependendo do tipo de erro.
1. Valor fixo - quando o interruptor é colocado nesta posição, o valor constante especificado no campo do contador à direita é considerado o valor de erro permitido;
2. Porcentagem (valor relativo) - quando a chave é colocada nesta posição, o desvio permitido é calculado para cada ponto de dados, com base no valor percentual especificado no campo do contador à direita;
3. Desvio(s) padrão - quando a chave é colocada nesta posição, o desvio padrão é calculado para cada ponto de dados, que é então multiplicado pelo número especificado no campo contador à direita (multiplicador);
4. Erro padrão - quando a chave é colocada nesta posição, assume-se o valor de erro padrão, que é constante para todos os itens de dados;
5. Personalizado (Personalizado) - quando o interruptor é definido para esta posição, uma matriz arbitrária de valores de desvio é inserida na direção positiva e / ou negativa (você pode inserir links para um intervalo de células).
As barras de erro também podem ser formatadas. Para fazer isso, selecione-os clicando com o botão direito do mouse e selecione o comando Format Error Bars no menu de contexto pop-up.
Tarefa 3. Usando o programa Microsoft Excel, com base nos dados do volume da emissão da Tarefa 1, você deve:
Apresente uma série temporal como um gráfico criado usando o Assistente de gráfico. Em seguida, adicione uma linha de tendência, escolhendo a versão mais apropriada da equação.
Apresente os resultados na forma de uma tabela "Seleção da equação de tendência":
Tabela "Seleção da equação de tendência"
Apresente a equação selecionada graficamente, plotando os dados sobre o nome da função obtida e o valor da confiabilidade de aproximação (R 2).
Tarefa 4. Responda às seguintes perguntas:
1. Ao analisar a tendência para um determinado conjunto de dados, o coeficiente de determinação para o modelo linear acabou sendo 0,95, para o modelo logarítmico - 0,8 e para o polinômio do terceiro grau - 0,9636. Qual modelo de tendência é mais adequado para o processo em estudo:
a) linear;
b) logarítmica;
c) polinômio de 3º grau.
2. De acordo com os dados apresentados na tarefa 1, preveja o volume de produção em 2003. Que tendência geral no comportamento da quantidade estudada segue dos resultados de sua previsão:
a) há um declínio na produção;
b) a produção permanece no mesmo patamar;
c) há um aumento na produção.
Neste material, foram consideradas as principais características das séries temporais, modelos de decomposição das séries temporais, bem como os principais métodos de suavização das séries - o método de média móvel, suavização exponencial e alinhamento analítico. Para solucionar esses problemas, o Microsoft Excel oferece ferramentas como Moving Average (Moving Average) e Exponential Smoothing (Exponential Smoothing), que permitem suavizar os níveis de uma série temporal empírica, bem como o comando Add Trendiine (Adicionar uma linha de tendência). ), que permite construir modelos de tendência e fazer uma previsão com base nos valores disponíveis da série temporal.
P.S. Para habilitar o Pacote de Análise de Dados, selecione o comando Ferramentas → Análise de Dados (Ferramentas → Análise de Dados).
Se a Análise de Dados estiver ausente, você deverá executar as seguintes etapas:
1. Selecione o comando Ferramentas → Suplementos (Suplementos).
2. Selecione Analysis ToolPak na lista proposta de configurações e clique em OK. Depois disso, o pacote de personalização de Análise de Dados será baixado e conectado ao Excel. O comando correspondente aparecerá no menu Ferramentas.
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Data de criação da página: 27-04-2016
As tarefas de previsão são construídas sobre a mudança em alguns dados ao longo do tempo (vendas, demanda, oferta, PIB, emissões de carbono, população ...) e projetando essas mudanças no futuro. Infelizmente, as tendências identificadas em dados históricos podem ser interrompidas por uma variedade de circunstâncias imprevistas. Portanto, os dados no futuro podem diferir significativamente do que aconteceu no passado. Esse é o problema da previsão.
No entanto, existem técnicas (chamadas de suavização exponencial) que permitem não apenas tentar prever o futuro, mas também expressar numericamente a incerteza de tudo relacionado à previsão. A expressão numérica da incerteza através da criação de intervalos de previsão é realmente inestimável, mas muitas vezes negligenciada no mundo da previsão.
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Dados iniciais
Digamos que você seja fã de O Senhor dos Anéis e esteja fabricando e vendendo espadas há três anos (Figura 1). Vamos exibir as vendas graficamente (Fig. 2). A demanda dobrou em três anos - talvez isso seja uma tendência? Voltaremos a essa ideia um pouco mais adiante. Existem vários picos e vales no gráfico, o que pode ser um sinal de sazonalidade. Em particular, os picos estão nos meses 12, 24 e 36, que são dezembros. Mas talvez seja apenas uma coincidência? Vamos descobrir.
Suavização exponencial simples
Os métodos de suavização exponencial dependem da previsão do futuro a partir de dados do passado, onde as observações mais recentes pesam mais do que as mais antigas. Tal ponderação é possível devido às constantes de suavização. O primeiro método de suavização exponencial que tentaremos é chamado de suavização exponencial simples (SES). Ele usa apenas uma constante de suavização.
A suavização exponencial simples pressupõe que sua série temporal de dados tenha dois componentes: um nível (ou média) e algum erro em torno desse valor. Não há tendência ou flutuações sazonais - há apenas um nível em torno do qual a demanda flutua, cercada por pequenos erros aqui e ali. Ao dar preferência a observações mais recentes, o TEC pode causar deslocamentos neste nível. Na linguagem das fórmulas,
Demanda no tempo t = nível + erro aleatório em torno do nível no tempo t
Então, como você encontra o valor aproximado do nível? Se aceitarmos todos os valores de tempo como tendo o mesmo valor, devemos simplesmente calcular seu valor médio. No entanto, esta é uma má ideia. Mais peso deve ser dado às observações recentes.
Vamos criar alguns níveis. Calcule a linha de base para o primeiro ano:
nível 0 = demanda média para o primeiro ano (meses 1-12)
Para a demanda de espadas, é 163. Usamos o nível 0 (163) como a previsão de demanda para o mês 1. A demanda no mês 1 é 165, que é 2 espadas acima do nível 0. Vale a pena atualizar a aproximação da linha de base. Equação de suavização exponencial simples:
nível 1 = nível 0 + alguns por cento × (demanda 1 - nível 0)
nível 2 = nível 1 + alguns por cento × (demanda 2 - nível 1)
etc. "Alguns por cento" é chamado de constante de suavização e é denotado por alfa. Pode ser qualquer número de 0 a 100% (0 a 1). Você aprenderá a escolher um valor alfa mais tarde. Em geral, o valor para diferentes pontos no tempo:
Nível do período atual = nível do período anterior +
alfa × (período atual da demanda - período anterior do nível)
A demanda futura é igual ao último nível calculado (Fig. 3). Como você não sabe o que é alfa, defina a célula C2 para 0,5 para começar. Após a construção do modelo, encontre um alfa tal que a soma dos quadrados do erro - E2 (ou desvio padrão - F2) seja mínima. Para isso, execute a opção Encontrando uma solução. Para isso, acesse o menu DADOS –> Encontrando uma solução, e colocado na janela Opções de pesquisa de soluções valores necessários (Fig. 4). Para mostrar os resultados da previsão no gráfico, primeiro selecione o intervalo A6:B41 e crie um gráfico de linhas simples. Em seguida, clique com o botão direito do mouse no diagrama, selecione a opção Selecione dados. Na janela que se abre, crie uma segunda linha e insira nela as previsões do intervalo A42:B53 (Fig. 5).
Talvez você tenha uma tendência
Para testar essa suposição, basta ajustar uma regressão linear aos dados de demanda e realizar um teste t de Student na ascensão dessa linha de tendência (como em ). Se a inclinação da linha for diferente de zero e estatisticamente significativa (no teste de Student, o valor R inferior a 0,05), os dados têm uma tendência (Fig. 6).
Usamos a função PROJ.LIN, que retorna 10 estatísticas descritivas (se você ainda não usou essa função, eu recomendo) e a função INDEX, que permite "retirar" apenas as três estatísticas necessárias, e não o conjunto inteiro. Descobriu-se que a inclinação é de 2,54 e é significativa, pois o teste de Student mostrou que 0,000000012 é significativamente menor que 0,05. Então, há uma tendência, e resta incluí-la na previsão.
Suavização de Holt exponencial com correção de tendência
É muitas vezes referido como suavização exponencial dupla porque tem dois parâmetros de suavização, alfa, em vez de um. Se a sequência de tempo tem uma tendência linear, então:
demanda no tempo t = nível + t × tendência + desvio aleatório do nível no tempo t
A suavização exponencial ajustada à tendência de Holt tem duas novas equações, uma para o nível à medida que avança no tempo e outra para a tendência. A equação de nível contém o parâmetro de suavização alfa e a equação de tendência contém gama. Veja como é a nova equação de nível:
nível 1 = nível 0 + tendência 0 + alfa × (demanda 1 - (nível 0 + tendência 0))
Observe que nível 0 + tendência 0é apenas uma previsão de uma etapa dos valores originais para o mês 1, então demanda 1 – (nível 0 + tendência 0)é um desvio de um passo. Assim, a equação de aproximação do nível básico será a seguinte:
nível do período atual = nível do período anterior + tendência do período anterior + alfa × (demanda do período atual - (nível do período anterior) + tendência do período anterior))
Equação de atualização de tendência:
período atual de tendência = período anterior de tendência + gama × alfa × (período atual de demanda – (período anterior de nível) + período anterior de tendência))
A suavização de Holt no Excel é semelhante à suavização simples (Fig. 7) e, como acima, o objetivo é encontrar dois coeficientes enquanto minimiza a soma dos erros quadrados (Fig. 8). Para obter os valores originais de nível e tendência (nas células C5 e D5 da Figura 7), crie um gráfico para os primeiros 18 meses de vendas e adicione uma linha de tendência com uma equação. Insira o valor de tendência inicial de 0,8369 e o nível inicial de 155,88 nas células C5 e D5. Os dados de previsão podem ser apresentados graficamente (Fig. 9).
Arroz. 7. Suavização de Holt exponencial com correção de tendência; Para ampliar uma imagem, clique com o botão direito sobre ela e selecione Abra a imagem em uma nova aba
Encontrando padrões nos dados
Existe uma maneira de testar a força do modelo preditivo - comparar os erros com eles mesmos, deslocados por um passo (ou vários passos). Se os desvios são aleatórios, então o modelo não pode ser melhorado. No entanto, pode haver um fator sazonal nos dados de demanda. O conceito de um erro que se correlaciona com sua própria versão em um período diferente é chamado de autocorrelação (para mais informações sobre autocorrelação, consulte ). Para calcular a autocorrelação, comece com dados de erro de previsão para cada período (transfira a coluna F na Figura 7 para a coluna B na Figura 10). Em seguida, determine o erro médio de previsão (Figura 10, célula B39; fórmula na célula: =MÉDIA(B3:B38)). Na coluna C, calcule o desvio do erro de previsão da média; fórmula na célula C3: =B3-B$39. Em seguida, desloque sequencialmente a coluna C uma coluna para a direita e uma linha para baixo. Fórmulas nas células D39: =SOMAPRODUTO($C3:$C38,D3:D38), D41: =D39/$C39, D42: =2/SQRT(36), D43: =-2/SQRT(36).
O que pode significar "movimento síncrono" com a coluna C para uma das colunas D: O. Por exemplo, se as colunas C e D são síncronas, um número negativo em uma delas deve ser negativo na outra, positivo em uma , positivo em amigo. Isso significa que a soma dos produtos das duas colunas será significativa (as diferenças se acumulam). Ou, o que é o mesmo, quanto mais próximo o valor na faixa D41:O41 de zero, menor a correlação da coluna (respectivamente de D a O) com a coluna C (Fig. 11).
Uma autocorrelação está acima do valor crítico. O erro de mudança de ano se correlaciona consigo mesmo. Isso significa um ciclo sazonal de 12 meses. E isso não é surpreendente. Se você observar o gráfico de demanda (Figura 2), verifica-se que há picos de demanda todo Natal e quedas em abril-maio. Considere uma técnica de previsão que leve em conta a sazonalidade.
Suavização exponencial multiplicativa de Holt-Winters
O método é chamado de multiplicativo (de multiplicar - multiplicar), porque usa a multiplicação para explicar a sazonalidade:
Demanda no tempo t = (nível + t × tendência) × ajuste sazonal no tempo t × quaisquer ajustes irregulares restantes que não podemos explicar
A suavização de Holt-Winters também é chamada de suavização exponencial tripla porque possui três parâmetros de suavização (fator sazonal alfa, gama e delta). Por exemplo, se houver um ciclo sazonal de 12 meses:
Previsão mensal 39 = (nível 36 + 3 × tendência 36) x sazonalidade 27
Ao analisar os dados, é necessário descobrir qual é a tendência na série de dados e qual é a sazonalidade. Para realizar cálculos usando o método Holt-Winters, você deve:
- Suavize os dados históricos usando o método de média móvel.
- Compare a versão suavizada da série temporal com a original para obter uma estimativa aproximada da sazonalidade.
- Obtenha novos dados sem componente sazonal.
- Encontre aproximações de nível e tendência com base nesses novos dados.
Comece com os dados originais (colunas A e B na Figura 12) e adicione a coluna C com valores suavizados com base na média móvel. Como a sazonalidade tem ciclos de 12 meses, faz sentido usar uma média de 12 meses. Há um pequeno problema com essa média. 12 é um número par. Se você suavizar a demanda do mês 7, deve ser considerada a demanda média dos meses 1 a 12 ou de 2 a 13? Para lidar com essa dificuldade, precisamos suavizar a demanda usando uma "média móvel 2x12". Ou seja, pegue metade das duas médias dos meses 1 a 12 e de 2 a 13. A fórmula na célula C8 é: =(MÉDIA(B3:B14)+MÉDIA(B2:B13))/2.
Os dados suavizados para os meses 1–6 e 31–36 não podem ser obtidos porque não há períodos anteriores e subsequentes suficientes. Para maior clareza, os dados originais e suavizados podem ser mostrados em um diagrama (Fig. 13).
Agora, na coluna D, divida o valor original pelo valor suavizado para obter uma estimativa do ajuste sazonal (coluna D na Figura 12). Fórmula na célula D8: =B8/C8. Observe picos de 20% acima da demanda normal nos meses 12 e 24 (dezembro), enquanto há quedas na primavera. Essa técnica de suavização forneceu duas estimativas pontuais para cada mês (24 meses no total). A coluna E é a média desses dois fatores. A fórmula na célula E1 é: =MÉDIA(D14,D26). Para maior clareza, o nível de flutuações sazonais pode ser representado graficamente (Fig. 14).
Agora você pode obter dados ajustados sazonalmente. Fórmula na célula G1: =B2/E2. Construa um gráfico com base nos dados da coluna G, complete-o com uma linha de tendência, exiba a equação de tendência no gráfico (Fig. 15) e use os coeficientes nos cálculos subsequentes.
Forme uma nova folha como mostrado na fig. 16. Substitua os valores no intervalo E5:E16 da fig. 12 áreas E2:E13. Pegue os valores de C16 e D16 da equação da linha de tendência na fig. 15. Defina os valores das constantes de suavização para iniciar em torno de 0,5. Expanda os valores na linha 17 no intervalo dos meses 1 a 36. Execute Encontrando uma solução para otimizar os coeficientes de suavização (Fig. 18). Fórmula na célula B53: =(C$52+(A53-A$52)*D$52)*E41.
Agora na previsão feita, você precisa verificar as autocorrelações (Fig. 18). Como todos os valores estão localizados entre os limites superior e inferior, você entende que o modelo fez um bom trabalho ao entender a estrutura dos valores de demanda.
Construindo um intervalo de confiança para a previsão
Então, temos uma previsão bastante funcional. Como você define limites superiores e inferiores que podem ser usados para fazer suposições realistas? A simulação de Monte Carlo, que você já conheceu (veja também ), irá ajudá-lo com isso. A questão é gerar cenários futuros de comportamento da demanda e determinar o grupo em que 95% deles se enquadram.
Remova a previsão das células B53:B64 da planilha Excel (veja a Fig. 17). Você escreverá a demanda lá com base na simulação. Este último pode ser gerado usando a função NORMINV. Para meses futuros, você só precisa fornecer a média (0), distribuição padrão (10,37 da célula $H$2) e um número aleatório entre 0 e 1. A função retornará o desvio com uma probabilidade correspondente ao sino curva. Coloque uma simulação de erro de uma etapa na célula G53: =NORMINV(RAND();0;H$2). Estender esta fórmula até G64 fornece simulações do erro de previsão para uma previsão de uma etapa de 12 meses (Figura 19). Seus valores de simulação serão diferentes daqueles mostrados na figura (por isso é uma simulação!).
Com o Forecast Error, você tem tudo o que precisa para atualizar o nível, a tendência e o fator sazonal. Portanto, selecione as células C52:F52 e estique-as até a linha 64. Como resultado, você tem um erro de previsão simulado e a própria previsão. Partindo do contrário, é possível prever os valores de demanda. Insira a fórmula na célula B53: =F53+G53 e estique-a para B64 (Fig. 20, intervalo B53:F64). Agora você pode pressionar o botão F9, sempre atualizando a previsão. Coloque os resultados de 1000 simulações nas células A71:L1070, cada vez transpondo valores do intervalo B53:B64 para o intervalo A71:L71, A72:L72, ... A1070:L1070. Se isso te incomoda, escreva o código VBA.
Agora você tem 1.000 cenários para cada mês e pode usar a função PERCENTILE para obter os limites superior e inferior no meio do intervalo de confiança de 95%. Na célula A66, a fórmula é: =PERCENTIL(A71:A1070,0,975) e na célula A67: =PERCENTIL(A71:A1070,0,025).
Como de costume, para maior clareza, os dados podem ser apresentados em forma de gráfico (Fig. 21).
Há dois pontos interessantes no gráfico:
- A margem de erro aumenta com o tempo. Faz sentido. A incerteza se acumula a cada mês.
- Da mesma forma, o erro aumenta nas peças que caem em períodos de aumento sazonal da demanda. Com sua queda subsequente, o erro diminui.
Baseado em material de um livro de John Foreman. – M.: Editora Alpina, 2016. – S. 329–381
9 5. Método de suavização exponencial. Selecionando uma constante de suavização
Ao usar o método dos mínimos quadrados para determinar a tendência preditiva (tendência), assume-se antecipadamente que todos os dados retrospectivos (observações) têm o mesmo conteúdo de informação. Obviamente, seria mais lógico levar em conta o processo de descontar as informações iniciais, ou seja, o valor desigual desses dados para desenvolver uma previsão. Isso é alcançado no método de suavização exponencial, dando às últimas observações da série temporal (ou seja, os valores imediatamente anteriores ao lead period de previsão) "pesos" mais significativos em comparação com as observações iniciais. As vantagens do método de suavização exponencial também devem incluir a simplicidade das operações computacionais e a flexibilidade de descrever várias dinâmicas do processo. O método encontrou a maior aplicação para a implementação de previsões de médio prazo.
5.1. A essência do método de suavização exponencial
A essência do método é que a série temporal é suavizada usando uma "média móvel" ponderada, na qual os pesos obedecem à lei exponencial. Em outras palavras, quanto mais distante do final da série temporal estiver o ponto para o qual a média móvel ponderada é calculada, menos "participação será necessária" no desenvolvimento da previsão.
Seja a série dinâmica original composta por níveis (componentes da série) y t , t = 1 , 2 ,...,n . Para cada m níveis sucessivos desta série
(m série dinâmica com um passo igual a um. Se m é um número ímpar, e é preferível tomar um número ímpar de níveis, pois neste caso o valor do nível calculado estará no centro do intervalo de suavização e é fácil substituir o valor real por ele, então o A seguinte fórmula pode ser escrita para determinar a média móvel: t+ ξ t+ ξ ∑ e eu ∑ e eu i= t−ξ i= t−ξ 2ξ + 1 onde y t é o valor da média móvel para o momento t (t = 1 , 2 ,...,n ), y i é o valor real do nível no momento i ; i é o número ordinal do nível no intervalo de suavização. O valor de ξ é determinado a partir da duração do intervalo de suavização. Porque o m = 2 ξ +1 para m ímpar, então ξ = m 2 − 1 . O cálculo da média móvel para um grande número de níveis pode ser simplificado definindo valores sucessivos da média móvel recursivamente: y t= y t− 1 + yt + ξ − y t − (ξ + 1 ) 2ξ + 1 Mas dado o fato de que as observações mais recentes precisam receber mais "peso", a média móvel precisa ser interpretada de maneira diferente. Está no fato de que o valor obtido pela média substitui não o termo central do intervalo de média, mas seu último termo. Assim, a última expressão pode ser reescrita como Mi = Mi + 1 y i− y i− m Aqui a média móvel, relacionada ao final do intervalo, é denotada pelo novo símbolo M i . Essencialmente, M i é igual a y t deslocado ξ passos para a direita, ou seja, Mi = y t + ξ , onde i = t + ξ . Considerando que M i − 1 é uma estimativa de y i − m , expressão (5.1) pode ser reescrito na forma y + 1 Mi - 1 , M i definido pela expressão (5.1). onde M i é a estimativa Se os cálculos (5.2) forem repetidos à medida que novas informações chegam e reescrever de uma forma diferente, obtemos uma função de observação suavizada: Q i= α y i+ (1 − α ) Q i− 1 , ou na forma equivalente Q t= α y t+ (1 − α ) Q t− 1 Os cálculos realizados pela expressão (5.3) a cada nova observação são chamados de suavização exponencial. Na última expressão, para distinguir a suavização exponencial da média móvel, a notação Q é introduzida em vez de M . O valor α, que é análogo de m 1 é chamado de constante de suavização. Os valores de α estão em intervalo [ 0 , 1 ] . Se α é representado como uma série α + α(1 − α) + α(1 − α) 2 + α(1 − α) 3 + ... + α(1 − α) n , é fácil ver que os "pesos" diminuem exponencialmente com o tempo. Por exemplo, para α = 0 , 2 temos 0,2 + 0,16 + 0,128 + 0,102 + 0,082 + … A soma da série tende à unidade e os termos da soma diminuem com o tempo. O valor de Q t na expressão (5.3) é a média exponencial de primeira ordem, ou seja, a média obtida diretamente de suavizando os dados de observação (suavização primária). Por vezes, no desenvolvimento de modelos estatísticos, é útil recorrer ao cálculo de médias exponenciais de ordens superiores, ou seja, médias obtidas por suavização exponencial repetida. A notação geral na forma recursiva da média exponencial de ordem k é Q t (k)= α Q t (k− 1 )+ (1 − α ) Q t (− k1 ). O valor de k varia dentro de 1, 2, …, p ,p+1 , onde p é a ordem do polinômio preditivo (linear, quadrático e assim por diante). Com base nesta fórmula, para a média exponencial de primeira, segunda e terceira ordens, as expressões Q t (1 )= α y t + (1 − α ) Q t (− 1 1 ); Q t (2 )= α Q t (1 )+ (1 − α ) Q t (− 2 1 ); Q t (3 )= α Q t (2 )+ (1 − α ) Q t (− 3 1 ). 5.2. Determinando os parâmetros do modelo preditivo usando o método de suavização exponencial Obviamente, para desenvolver valores preditivos baseados na série dinâmica usando o método de suavização exponencial, é necessário calcular os coeficientes da equação de tendência por meio de médias exponenciais. As estimativas dos coeficientes são determinadas pelo teorema fundamental de Brown-Meyer, que relaciona os coeficientes do polinômio preditivo às médias exponenciais das ordens correspondentes: (−
1
) aˆ p α (1 − α )∞ −α
)
j (p − 1 + j ) ! ∑ j p=0 p! (k− 1 ) !j = 0 onde aˆ p são estimativas dos coeficientes do polinômio de grau p . Os coeficientes são encontrados resolvendo o sistema (p + 1 ) de equações сp + 1 desconhecido. Então, para um modelo linear aˆ 0 = 2 Q t (1 ) − Q t (2 ) ; aˆ 1 = 1 − α α (Q t (1 )− Q t (2 )) ; para um modelo quadrático aˆ 0 = 3 (Q t (1 )− Q t (2 )) + Q t (3 ); aˆ 1 =1 − α α [ (6 −5 α ) Q t (1 ) −2 (5 −4 α ) Q t (2 ) +(4 −3 α ) Q t (3 ) ] ; aˆ 2 = (1 − α α ) 2 [ Q t (1 )− 2 Q t (2 )+ Q t (3 )] . A previsão é implementada de acordo com o polinômio selecionado, respectivamente, para o modelo linear ˆyt + τ = aˆ0 + aˆ1 τ ; para um modelo quadrático ˆyt + τ = aˆ0 + aˆ1 τ + aˆ 2 2 τ 2 , onde τ é o passo de previsão. Deve-se notar que as médias exponenciais Q t (k ) só podem ser calculadas com um parâmetro conhecido (escolhido), conhecendo as condições iniciais Q 0 (k ) . Estimativas de condições iniciais, em particular, para um modelo linear Q(1)=a 1 − α Q(2 ) = a − 2 (1 − α ) a para um modelo quadrático Q(1)=a 1 − α + (1 − α )(2 − α ) a 2(1−α) (1−α)(3−2α) Q 0(2 ) = a 0− 2α 2 Q(3)=a 3(1−α) (1 − α )(4 − 3 α ) a onde os coeficientes a 0 e a 1 são calculados pelo método dos mínimos quadrados. O valor do parâmetro de suavização α é calculado aproximadamente pela fórmula α ≈ m 2 + 1, onde m é o número de observações (valores) no intervalo de suavização. A sequência de cálculo dos valores preditivos é mostrada em Cálculo de coeficientes de uma série pelo método dos mínimos quadrados Determinação do intervalo de suavização Cálculo da constante de suavização Cálculo das condições iniciais Calculando médias exponenciais Cálculo das estimativas a 0 , a 1 , etc. Cálculo de valores de previsão de uma série Arroz. 5.1. A sequência de cálculo dos valores de previsão Como exemplo, considere o procedimento para obter o valor preditivo do uptime do produto, expresso pelo tempo entre falhas. Os dados iniciais estão resumidos na tabela. 5.1. Escolhemos um modelo de previsão linear na forma y t = a 0 + a 1 τ A solução é viável com os seguintes valores iniciais: a 0 , 0 = 64, 2; a 1 , 0 = 31,5; α = 0,305. Tabela 5.1. Dados iniciais Número de observação, t Comprimento do passo, previsão, τ MTBF, y (hora) Para esses valores, os coeficientes "suavizados" calculados para y 2 valores serão iguais = αQ(1)−Q(2)= 97, 9; [ Q (1 ) − Q (2 ) 31,
9 , 1−α sob condições iniciais 1 − α A 0 , 0 - um 1, 0 = −7
,
6
1 − α = −79
,
4
e médias exponenciais Q (1 )= α y + (1 − α ) Q (1 ) 25,
2;
Q(2) = αQ(1) + (1 −α ) Q (2 ) = −47 , 5 . O valor “suavizado” y 2 é então calculado pela fórmula Qi (1) Qi (2) a 0, eu um 1, eu ˆyt Assim (Tabela 5.2), o modelo preditivo linear tem a forma ˆy t + τ = 224,5+ 32τ . Vamos calcular os valores previstos para períodos de lead de 2 anos (τ = 1 ), 4 anos (τ = 2 ) e assim por diante, o tempo entre falhas do produto (Tabela 5.3). Tabela 5.3. Valores previstosˆy t A equação t+2 t+4 t+6 t+8 t+20 regressão (τ = 1) (τ=2) (τ = 3) (τ=5) τ =
ˆy t = 224,5+ 32τ Deve-se notar que o "peso" total dos últimos m valores da série temporal pode ser calculado pela fórmula c = 1 − (m (− 1 ) m ) . m+ 1 Assim, para as duas últimas observações da série (m = 2 ) o valor c = 1 − (2 2 − + 1 1 ) 2 = 0,667 . 5.3. Escolha das condições iniciais e determinação da constante de suavização Como segue da expressão Q t= α y t+ (1 − α ) Q t− 1 , ao realizar a suavização exponencial, é necessário conhecer o valor inicial (anterior) da função suavizada. Em alguns casos, a primeira observação pode ser tomada como valor inicial; mais frequentemente, as condições iniciais são determinadas de acordo com as expressões (5.4) e (5.5). Neste caso, os valores a 0 , 0 ,a 1 , 0 e a 2 , 0 são determinados pelo método dos mínimos quadrados. Se não confiarmos realmente no valor inicial escolhido, então, tomando um grande valor da constante de suavização α através de k observações, traremos "peso" do valor inicial até o valor (1 − α ) k<<
α
, и оно будет практически забыто. Наоборот, если мы уверены в правильности выбранного начального значения и неизменности модели в течение определенного отрезка времени в будущем,α
может быть выбрано малым (близким к 0). Assim, a escolha da constante de suavização (ou o número de observações na média móvel) envolve um trade-off. Normalmente, como mostra a prática, o valor da constante de suavização está na faixa de 0,01 a 0,3. São conhecidas várias transições que permitem encontrar uma estimativa aproximada de α . A primeira decorre da condição de que a média móvel e a média exponencial são iguais α \u003d m 2 + 1, onde m é o número de observações no intervalo de suavização. Outras abordagens estão associadas à precisão da previsão. Assim, é possível determinar α com base na relação de Meyer: α ≈ S y , onde S y é o erro padrão do modelo; S 1 é o erro quadrático médio da série original. No entanto, o uso da última razão é complicado pelo fato de ser muito difícil determinar com segurança S y e S 1 a partir da informação inicial. Muitas vezes, o parâmetro de suavização e, ao mesmo tempo, os coeficientes a 0 , 0 e a 0 , 1 são selecionados como ótimos dependendo do critério S 2 = α ∑ ∞ (1 − α ) j [ yij − ˆyij ] 2 → min j=0 resolvendo o sistema algébrico de equações, que é obtido igualando as derivadas a zero ∂S2 ∂S2 ∂S2 ∂a0, 0 ∂ a 1, 0 ∂a2, 0 Assim, para um modelo de previsão linear, o critério inicial é igual a S 2 = α ∑ ∞ (1 − α ) j [ yij − a0 , 0 − a1 , 0 τ ] 2 → min. j=0 A solução deste sistema com a ajuda de um computador não apresenta dificuldades. Para uma escolha razoável de α, você também pode usar o procedimento de suavização generalizada, que permite obter as seguintes relações entre a variância de previsão e o parâmetro de suavização para um modelo linear: S p 2 ≈[ 1 + α β ] 2 [ 1 +4 β +5 β 2 +2 α (1 +3 β ) τ +2 α 2 τ 3 ] S y 2 para um modelo quadrático S p 2≈ [ 2 α + 3 α 3+ 3 α 2τ ] S y 2, onde β =
1
−
α
;Sy– Aproximação RMS da série dinâmica inicial. O serviço permitirá suavizar a série temporal y t usando o método exponencial, ou seja, construir um modelo Brown (ver exemplo).
Instrução. Especifique a quantidade de dados (número de linhas), clique em Avançar. A solução resultante é salva em um arquivo do Word. S t = (1-α)yt + αS t-1 Algumas fontes dão uma fórmula diferente: S t = αyt + (1-α)S t-1 Onde α é o parâmetro de suavização (0 Em problemas práticos de processamento de séries temporais econômicas, é recomendado (não razoável) escolher o valor do parâmetro de suavização na faixa de 0,1 a 0,3. o comprimento da série suavizada: α = 2/ (n+1). Exemplo. Verifique a série para outliers usando o método Irwin, suavizando usando suavização exponencial (α = 0,1).
Quanto ao parâmetro inicial S 0 , então em tarefas ele é considerado igual ao valor do primeiro nível da série y 1 , ou igual à média aritmética dos primeiros membros da série. Se, ao se aproximar da extremidade direita da série temporal, os valores suavizados por este método com o parâmetro selecionado α começarem a diferir significativamente dos valores correspondentes da série original, é necessário alternar para outro parâmetro de suavização. A vantagem deste método é que nem os níveis inicial nem final da série temporal suavizada são perdidos durante a suavização.Suavização Exponencial no Excel
O MS Excel usa uma fórmula separada, mas algebricamente equivalente para calcular cada previsão. Ambos os componentes - os dados da observação anterior e a previsão anterior - de cada previsão são multiplicados por um fator que representa a contribuição desse componente para a previsão atual.
Você pode ativar a ferramenta Exponential Smoothing selecionando o comando Tools/Data Analysis após carregar o suplemento Analysis Pack ().
Como S 0 tomamos a média aritmética dos 3 primeiros valores da série.
S 0 \u003d (50 + 56 + 46) / 3 \u003d 50,67t y S t Fórmula
1
50
50.07
(1 - 0.1)*50 + 0.1*50.67
2
56
55.41
(1 - 0.1)*56 + 0.1*50.07
3
46
46.94
(1 - 0.1)*46 + 0.1*55.41
4
48
47.89
(1 - 0.1)*48 + 0.1*46.94
5
49
48.89
(1 - 0.1)*49 + 0.1*47.89
6
46
46.29
(1 - 0.1)*46 + 0.1*48.89
7
48
47.83
(1 - 0.1)*48 + 0.1*46.29
8
47
47.08
(1 - 0.1)*47 + 0.1*47.83
9
47
47.01
(1 - 0.1)*47 + 0.1*47.08
10
49
48.8
(1 - 0.1)*49 + 0.1*47.01
