TÓPICO DA MATÉRIA ELETIVA

CONVERSÃO DE EXPRESSÕES NUMÉRICAS E DE LETRAS

Quantidade 34 horas

professor de matemática superior

MOU "Escola Secundária No. 51"

Saratov, 2008

PROGRAMA DE MATÉRIAS ELETIVAS

"CONVERSÃO DE EXPRESSÕES NUMÉRICAS E LETRAS"

Nota explicativa

Nos últimos anos, os exames finais nas escolas, bem como os exames de admissão nas universidades, são realizados com a ajuda de testes. Essa forma de teste é diferente do exame clássico e requer preparação específica. Uma característica do teste no formulário desenvolvido até o momento é a necessidade de responder a um grande número de perguntas em um período de tempo limitado, ou seja, é necessário não apenas responder às perguntas feitas, mas também fazê-lo rapidamente. Portanto, é importante dominar várias técnicas, métodos que permitem alcançar o resultado desejado.

Ao resolver quase qualquer problema escolar, você precisa fazer algumas transformações. Muitas vezes, sua complexidade é completamente determinada pelo grau de complexidade e pela quantidade de transformações que precisam ser realizadas. Não é incomum que um aluno não consiga resolver um problema, não porque não saiba como é resolvido, mas porque não consegue fazer todas as transformações e cálculos necessários em um tempo razoável sem erros.

A disciplina eletiva "Transformação de Expressões Numéricas e Letras" expande e aprofunda o programa básico em matemática no ensino médio e é projetada para estudo no 11º ano. O curso proposto visa desenvolver habilidades computacionais e agudeza de pensamento. O curso destina-se a estudantes com um nível de formação matemática alto ou médio e destina-se a ajudá-los a preparar-se para a admissão nas universidades, a contribuir para a continuação de uma educação matemática séria.

Metas e objetivos:

Sistematização, generalização e ampliação do conhecimento dos alunos sobre números e ações com eles;

Desenvolvimento da independência, pensamento criativo e interesse cognitivo dos alunos;

Formação de interesse no processo de computação;

Adaptação dos alunos às novas regras de ingresso nas universidades.

Resultados esperados:

Conhecimento de classificação de números;

Melhorar as competências e habilidades de contagem rápida;

Capacidade de usar aparatos matemáticos na resolução de vários problemas;

Plano educativo e temático

O plano é de 34 horas. É compilado tendo em conta o tema do diploma, pelo que são consideradas duas partes distintas: expressões numéricas e alfabéticas. A critério do professor, as expressões alfabéticas podem ser consideradas juntamente com as numéricas nos tópicos relevantes.

		Número de horas
	Expressões numéricas Números inteiros Método de indução matemática Números racionais Frações periódicas decimais Números irracionais Raízes e graus Logaritmos Funções trigonométricas Funções trigonométricas inversas Números complexos Teste no tópico "Expressões numéricas" Comparando expressões numéricas Expressões literais Convertendo expressões com radicais Transformação de expressão de poder Convertendo Expressões Logarítmicas Convertendo expressões trigonométricas Teste final

Números inteiros (4h)

Linha numérica. Teorema fundamental da aritmética. NOD e NOC. sinais de divisibilidade. Método de indução matemática.

Números racionais (2h)

Definição de um número racional. Propriedade básica de uma fração. Fórmulas de multiplicação abreviadas. Definição de uma fração periódica. A regra para converter de uma fração periódica decimal para uma ordinária.

Números irracionais. Radicais. Graus. Logaritmos (6h)

Definição de um número irracional. Prova da irracionalidade de um número. Livrar-se da irracionalidade no denominador. Numeros reais. Propriedades de grau. Propriedades da raiz aritmética do grau n. Definição de um logaritmo. Propriedades dos logaritmos.

Funções trigonométricas (4h)

Círculo numérico. Valores numéricos de funções trigonométricas de ângulos básicos. Converter um ângulo de graus para radianos e vice-versa. Fórmulas trigonométricas básicas. Fórmulas de fundição. Funções trigonométricas inversas. Operações trigonométricas em funções de arco. Relações básicas entre funções de arco.

Números complexos (2h)

O conceito de um número complexo. Operações com números complexos. Formas trigonométricas e exponenciais de um número complexo.

Teste intermediário (2h)

Comparação de expressões numéricas (4 horas)

Desigualdades numéricas no conjunto dos números reais. Propriedades das desigualdades numéricas. Apoiar as desigualdades. Métodos para provar desigualdades numéricas.

Expressões de letras (8h)

Regras para transformar expressões com variáveis: polinômios; frações algébricas; expressões irracionais; trigonométricas e outras expressões. Provas de identidades e desigualdades. Simplificando expressões.

1 parte da disciplina eletiva: "Expressões numéricas"

ATIVIDADE 1(2 horas)

Tópico da lição: Números inteiros

Lições objetivas: Generalizar e sistematizar o conhecimento dos alunos sobre os números; relembrar os conceitos de GCD e NOC; ampliar o conhecimento sobre os signos de divisibilidade; Considere problemas resolvidos em números inteiros.

Durante as aulas

EU. Palestra introdutória.

Classificação numérica:

inteiros;

Números inteiros;

Números racionais;

Numeros reais;

Números complexos.

O conhecimento da série numérica na escola começa com o conceito de um número natural. Os números usados ​​na contagem de objetos são chamados natural. O conjunto dos números naturais é denotado por N. Os números naturais são divididos em primos e compostos. Os números primos têm apenas dois divisores um e o próprio número, enquanto os números compostos têm mais de dois divisores. Teorema fundamental da aritmética afirma: "Qualquer número natural maior que 1 pode ser representado como um produto de números primos (não necessariamente diferentes) e, além disso, de forma única (até a ordem dos fatores)".

Dois conceitos aritméticos mais importantes estão associados aos números naturais: o máximo divisor comum (GCD) e o mínimo múltiplo comum (MCM). Cada um desses conceitos realmente se define. A solução de muitos problemas é facilitada pelos sinais de divisibilidade, que devem ser lembrados.

Sinal de divisibilidade por 2 . Um número é divisível por 2 se seu último algarismo for par ou o.

Divisibilidade por 4 signos . Um número é divisível por 4 se os dois últimos algarismos forem zeros ou formarem um número divisível por 4.

Sinal de divisibilidade por 8. Um número é divisível por 8 se seus três últimos algarismos forem zeros ou formarem um número divisível por 8.

Critérios de divisibilidade para 3 e 9. Apenas os números são divisíveis por 3 para os quais a soma dos algarismos é divisível por 3; por 9 - apenas aqueles em que a soma dos dígitos é divisível por 9.

Sinal de divisibilidade por 6. Um número é divisível por 6 se for divisível tanto por 2 quanto por 3.

Sinal de divisibilidade por 5 . Divisíveis por 5 são os números cujo último dígito é 0 ou 5.

Sinal de divisibilidade por 25. Divisíveis por 25 são números cujos dois últimos dígitos são zeros ou formam um número que é divisível por 25.

Sinais de divisibilidade por 10.100.1000. Apenas os números cujo último dígito é 0 são divisíveis por 10, apenas os números cujos dois últimos dígitos são 0 são divisíveis por 100, apenas os números cujos últimos três dígitos são 0 são divisíveis por 1000.

Sinal de divisibilidade por 11 . Apenas os números são divisíveis por 11 para os quais a soma dos dígitos que ocupam posições ímpares é igual à soma dos dígitos que ocupam posições pares ou difere dela por um número divisível por 11.

Na primeira lição, veremos os números naturais e inteiros. todo números são números naturais, seus números opostos e zero. O conjunto dos inteiros é denotado por Z.

II. Solução de problemas.

EXEMPLO 1. Fatorar: a) 899; b) 1000027.

Solução: a);

b) EXEMPLO 2. Encontre o MDC dos números 2585 e 7975.

Solução: Vamos usar o algoritmo de Euclides:

Se https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_155.gif" width="167" height="29 src=">;

https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_127.gif" width="88" height="29 src=">.gif" width="16" height="29">

220 |165 -

165|55 -

Resposta: mdc(2585,7975) = 55.

EXEMPLO 3 Calcular:

Solução: = 1987100011989. O segundo produto é igual ao mesmo valor. Portanto, a diferença é 0.

EXEMPLO 4. Encontre os números GCD e LCM a) 5544 e 1404; b) 198, 504 e 780.

Respostas: a) 36; 49896; b) 6; 360360.

EXEMPLO 5. Encontre o quociente e o resto ao dividir

a) 5 a 7; https://pandia.ru/text/78/342/images/image013_75.gif" width="109" height="20 src=">;

c) -529 a (-23); https://pandia.ru/text/78/342/images/image015_72.gif" width="157" height="28 src=">;

e) 256 a (-15); https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_68.gif" largura="101" altura="23">

Solução: https://pandia.ru/text/78/342/images/image020_64.gif" width="123 height=28" height="28">.

b)

Solução: https://pandia.ru/text/78/342/images/image024_52.gif" width="95" height="23">.

EXEMPLO 7..gif" largura="67" altura="27 src="> por 17.

Solução: Vamos inserir um registro , o que significa que quando dividido por m, os números a, b, c, ... d dão o mesmo resto.

Portanto, para qualquer k natural, haverá

Mas 1989=16124+5. Significa,

Resposta: O resto é 12.

EXEMPLO 8. Encontre o menor número natural maior que 10, que, quando dividido por 24, 45 e 56, daria resto 1.

Resposta: LCM(24;45;56)+1=2521.

EXEMPLO 9. Encontre o menor número natural que é divisível por 7, e quando dividido por 3, 4 e 5 dá um resto de 1.

Resposta: 301. Instrução. Entre os números da forma 60k + 1, você precisa encontrar o menor divisível por 7; k = 5.

EXEMPLO 10. Atribua a 23 um dígito à direita e à esquerda para que o número de quatro dígitos resultante seja divisível por 9 e 11.

Resposta: 6237.

EXEMPLO 11. Atribua três dígitos ao verso do número para que o número resultante seja divisível por 7, 8 e 9.

Resposta: 304 ou 808. Indicação. O número quando dividido por = 789) dá um resto de 200. Portanto, se você adicionar 304 ou 808 a ele, ele será dividido por 504.

EXEMPLO 12. É possível reorganizar os dígitos em um número de três dígitos divisível por 37 de modo que o número resultante também seja divisível por 37?

Resposta: Você pode. Note..gif" width="61" height="24"> também é divisível por 37. Temos A = 100a + 10b + c = 37k, de onde c = 37k -100a - 10b. Então B = 100b + 10c + a = 100b + k - 100a - 10b) + a \u003d 370k - 999a, ou seja, B é divisível por 37.

EXEMPLO 13. Encontre o número, quando dividido pelo qual os números 1108, 1453, 1844 e 2281 dão o mesmo resto.

Resposta: 23. Indicação. A diferença de quaisquer dois números dados é divisível pelo necessário. Isso significa que qualquer divisor comum de todas as diferenças de dados possíveis, exceto 1, é adequado para nós

EXEMPLO 14. Represente 19 como a diferença de cubos de números naturais.

EXEMPLO 15. O quadrado de um número natural é igual ao produto de quatro números ímpares consecutivos. Encontre este número.

Responda: .

EXEMPLO 16..gif" width="115" height="27"> não é divisível por 10.

Resposta: a) Direção. Tendo agrupado o primeiro e o último termos, o segundo e o penúltimo, etc., use a fórmula para a soma dos cubos.

b) Indicação..gif" largura="120" altura="20">.

4) Encontre todos os pares de números naturais cujo MDC é 5 e LCM é 105.

Resposta: 5, 105 ou 15, 35.

ATIVIDADE 2(2 horas)

Tópico da lição: Método de indução matemática.

O objetivo da lição: Considere declarações matemáticas que exigem provas; apresentar aos alunos o método de indução matemática; desenvolver o raciocínio lógico.

Durante as aulas

EU. Verificando a lição de casa.

II. Explicação do novo material.

No curso de matemática escolar, juntamente com as tarefas “Encontre o valor da expressão”, existem tarefas do formulário: “Prove a igualdade”. Um dos métodos mais universais para provar afirmações matemáticas nas quais as palavras “para um n natural arbitrário” aparecem é o método de indução matemática completa.

Uma prova usando esse método sempre consiste em três etapas:

1) Base de indução. A validade da afirmação para n = 1 é verificada.

Em alguns casos, para iniciar a indução, é necessário verificar vários

valores iniciais.

2) Suposição de indução. A afirmação é considerada verdadeira para qualquer

3) Passo indutivo. Provamos a validade da afirmação para

Assim, partindo de n = 1, com base no passo indutivo comprovado, obtemos a validade da asserção que está sendo provada para

n = 2, 3,…t. e. para qualquer n.

Vejamos alguns exemplos.

EXEMPLO 1: Prove que para qualquer n natural o número é divisível por 7.

Prova: Denote .

Etapa 1..gif" width="143" height="37 src="> é divisível por 7.

Etapa 3.gif" largura="600" altura="88">

O último número é divisível por 7 porque é a diferença entre dois números inteiros divisíveis por 7.

EXEMPLO 2: Prove a igualdade https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_31.gif" width="240" height="36 src=">

https://pandia.ru/text/78/342/images/image049_34.gif" width="157" height="47"> é obtido em substituindo n por k = 1.

III. Solução de problemas

Na primeira aula, dentre as tarefas abaixo (nº 1 a 3), várias são selecionadas para solução a critério do professor para análise no quadro. A segunda lição trata do № 4.5; o trabalho independente do nº 1-3 é realizado; O nº 6 é oferecido como um adicional, com decisão obrigatória no conselho.

1) Prove que a) é divisível por 83;

b) é divisível por 13;

c) é divisível por 20801.

2) Prove que para qualquer n natural:

a) é divisível por 120;

b) é divisível por 27;

dentro) divisível por 84;

G) é divisível por 169;

e) é divisível por 8;

f) é divisível por 8;

g) é divisível por 16;

h) divisível por 49;

e) é divisível por 41;

para) é divisível por 23;

eu) é divisível por 13;

m) dividido por .

3) Prove que:

G) ;

4) Emita a fórmula de soma https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_23.gif" width="187" height="20">.

6) Prove que a soma dos membros de cada linha da tabela

…………….

é igual ao quadrado de um número ímpar cujo número em uma linha é igual ao número da linha do início da tabela.

Respostas e instruções.

1) Vamos usar a entrada introduzida no exemplo 4 da lição anterior.

uma) . Portanto, divisível por 83 .

b) Porque , então ;

. Consequentemente, .

c) Como , é necessário provar que o número dado é divisível por 11, 31 e 61..gif" largura="120" altura="32 src=">. A divisibilidade por 11 e 31 é provada de forma semelhante.

2) a) Provemos que esta expressão é divisível por 3, 8, 5. A divisibilidade por 3 decorre do fato de que , e de três números naturais consecutivos, um é divisível por 3..gif" width="72" height="20 src=">.gif" width="75" height="20 src=">. Para verificar a divisibilidade por 5, basta considerar os valores n=0,1,2,3,4.

Escrever as condições dos problemas usando a notação aceita na matemática leva ao aparecimento das chamadas expressões matemáticas, que são simplesmente chamadas de expressões. Neste artigo, falaremos em detalhes sobre expressões numéricas, literais e variáveis: daremos definições e exemplos de expressões de cada tipo.

Navegação da página.

Expressões numéricas - o que é isso?

O conhecimento das expressões numéricas começa quase desde as primeiras aulas de matemática. Mas seu nome - expressões numéricas - eles adquirem oficialmente um pouco mais tarde. Por exemplo, se você segue o curso de M. I. Moro, isso acontece nas páginas de um livro de matemática para a 2ª série. Lá, a representação das expressões numéricas é dada da seguinte forma: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6) , 1+1+1+1+1, etc. - é tudo expressões numéricas, e se executarmos as ações indicadas na expressão, encontraremos valor da expressão.

Pode-se concluir que nesta etapa do estudo da matemática, as expressões numéricas são chamadas de registros que possuem significado matemático, compostas por números, colchetes e sinais de adição e subtração.

Um pouco mais tarde, depois de se familiarizar com a multiplicação e a divisão, as entradas das expressões numéricas começam a conter os sinais "·" e ":". Aqui estão alguns exemplos: 6 4 , (2+5) 2 , 6:2 , (9 3):3 etc.

E no ensino médio, a variedade de entradas para expressões numéricas cresce como uma bola de neve rolando montanha abaixo. Frações comuns e decimais, números mistos e números negativos, potências, raízes, logaritmos, senos, cossenos e assim por diante aparecem neles.

Vamos resumir todas as informações na definição de uma expressão numérica:

Definição.

Expressão numéricaé uma combinação de números, sinais de operações aritméticas, traços fracionários, sinais de raiz (radicais), logaritmos, notação de funções trigonométricas, trigonométricas inversas e outras, bem como colchetes e outros símbolos matemáticos especiais, compilados de acordo com as regras aceitas em matemática.

Vamos explicar todas as partes constituintes da definição sonora.

Absolutamente qualquer número pode participar de expressões numéricas: do natural ao real e até complexo. Ou seja, em expressões numéricas pode-se encontrar

Com os sinais das operações aritméticas, tudo fica claro - são os sinais de adição, subtração, multiplicação e divisão, respectivamente, tendo a forma "+", "−", "·" e ":". Em expressões numéricas, um desses caracteres, alguns deles, ou todos de uma vez, e mais de uma vez, podem estar presentes. Aqui estão exemplos de expressões numéricas com eles: 3+6 , 2.2+3.3+4.4+5.5 , 41−2 4:2−5+12 3 2:2:3:12−1/12.

Quanto aos colchetes, existem expressões numéricas em que há colchetes e expressões sem eles. Se houver colchetes em uma expressão numérica, eles são basicamente

E às vezes os colchetes em expressões numéricas têm algum propósito especial específico, indicado separadamente. Por exemplo, você pode encontrar colchetes denotando a parte inteira do número, então a expressão numérica +2 significa que o número 2 é adicionado à parte inteira do número 1,75.

A partir da definição de uma expressão numérica, também fica claro que a expressão pode conter , , log , ln , lg , designações ou etc. Aqui estão exemplos de expressões numéricas com eles: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 e .

A divisão em expressões numéricas pode ser denotada com . Neste caso, existem expressões numéricas com frações. Aqui estão exemplos de tais expressões: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 e .

Como símbolos matemáticos especiais e notações que podem ser encontradas em expressões numéricas, damos. Por exemplo, vamos mostrar uma expressão numérica com um módulo .

O que são expressões literais?

O conceito de expressões literais é dado quase imediatamente após se familiarizar com expressões numéricas. É inserido assim. Em uma certa expressão numérica, um dos números não é escrito, mas um círculo (ou um quadrado, ou algo semelhante) é colocado em seu lugar, e diz-se que um certo número pode substituir o círculo. Vamos pegar a entrada como exemplo. Se você colocar, por exemplo, o número 2 em vez de um quadrado, obterá uma expressão numérica 3 + 2. Então, em vez de círculos, quadrados, etc. concordaram em escrever cartas, e tais expressões com letras foram chamadas expressões literais. Voltemos ao nosso exemplo, se nesta entrada em vez de um quadrado colocarmos a letra a, obtemos uma expressão literal da forma 3+a.

Assim, se permitirmos a presença de letras em uma expressão numérica, que denotam alguns números, obtemos a chamada expressão literal. Vamos dar uma definição apropriada.

Definição.

Uma expressão contendo letras que denotam alguns números é chamada expressão literal.

A partir dessa definição, fica claro que uma expressão literal difere fundamentalmente de uma expressão numérica, pois pode conter letras. Normalmente, em expressões literais, são usadas letras minúsculas do alfabeto latino (a, b, c, ...), e ao denotar ângulos, letras minúsculas do alfabeto grego (α, β, γ, ...).

Assim, as expressões literais podem ser compostas por números, letras e conter todos os símbolos matemáticos que podem ser encontrados em expressões numéricas, como colchetes, sinais de raiz, logaritmos, funções trigonométricas e outras, etc. Separadamente, enfatizamos que uma expressão literal contém pelo menos uma letra. Mas também pode conter várias letras idênticas ou diferentes.

Agora damos alguns exemplos de expressões literais. Por exemplo, a+b é uma expressão literal com as letras a e b . Aqui está outro exemplo da expressão literal 5 x 3 −3 x 2 +x−2.5. E damos um exemplo de uma expressão literal de uma forma complexa: .

Expressões com variáveis

Se em uma expressão literal uma letra denota um valor que não assume nenhum valor específico, mas pode assumir valores diferentes, então essa letra é chamada variável e a expressão é chamada expressão variável.

Definição.

Expressão com variáveisé uma expressão literal na qual as letras (todas ou algumas) denotam quantidades que assumem valores diferentes.

Por exemplo, deixe na expressão x 2 −1 a letra x pode tomar qualquer valor natural do intervalo de 0 a 10, então x é uma variável, e a expressão x 2 −1 é uma expressão com a variável x .

Vale a pena notar que pode haver várias variáveis ​​em uma expressão. Por exemplo, se considerarmos x e y como variáveis, então a expressão é uma expressão com duas variáveis ​​x e y .

Em geral, a transição do conceito de expressão literal para uma expressão com variáveis ​​ocorre no 7º ano, quando começam a estudar álgebra. Até este ponto, as expressões literais modelaram algumas tarefas específicas. Em álgebra, eles começam a olhar para a expressão de forma mais geral, sem se prender a uma tarefa específica, com o entendimento de que essa expressão se encaixa em um grande número de tarefas.

Para concluir este parágrafo, prestemos atenção a mais um ponto: pela aparência de uma expressão literal, é impossível saber se as letras nela incluídas são variáveis ​​ou não. Portanto, nada nos impede de considerar essas letras como variáveis. Nesse caso, a diferença entre os termos "expressão literal" e "expressão com variáveis" desaparece.

Bibliografia.

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• Matemáticas: estudos. para 5 células. Educação geral instituições / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21ª ed., apagada. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: il. ISBN 5-346-00699-0.
• Álgebra: livro didático para 7 células. Educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 17ª edição. - M. : Educação, 2008. - 240 p. : doente. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Álgebra: livro didático para 8 células. Educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M. : Educação, 2008. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-019243-9.

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Uma expressão literal (ou expressão com variáveis) é uma expressão matemática que consiste em números, letras e sinais de operações matemáticas. Por exemplo, a seguinte expressão é literal:

a+b+4

Usando expressões literais, você pode escrever leis, fórmulas, equações e funções. A capacidade de manipular expressões literais é a chave para um bom conhecimento de álgebra e matemática superior.

Qualquer problema sério em matemática se resume a resolver equações. E para poder resolver equações, você precisa ser capaz de trabalhar com expressões literais.

Para trabalhar com expressões literais, você precisa estudar bem aritmética básica: adição, subtração, multiplicação, divisão, leis básicas da matemática, frações, ações com frações, proporções. E não apenas para estudar, mas para entender completamente.

Conteúdo da lição

Variáveis

As letras contidas em expressões literais são chamadas variáveis. Por exemplo, na expressão a+b+ 4 variáveis ​​são letras uma e b. Se em vez dessas variáveis ​​substituirmos qualquer número, então a expressão literal a+b+ 4 se transformará em uma expressão numérica, cujo valor pode ser encontrado.

Os números que são substituídos por variáveis ​​são chamados valores variáveis. Por exemplo, vamos alterar os valores das variáveis uma e b. Use o sinal de igual para alterar os valores

a = 2, b = 3

Alteramos os valores das variáveis uma e b. variável uma atribuído um valor 2 , variável b atribuído um valor 3 . Assim, a expressão literal a+b+4 converte para uma expressão numérica normal 2+3+4 cujo valor pode ser encontrado:

Quando as variáveis ​​são multiplicadas, elas são escritas juntas. Por exemplo, a entrada ab significa o mesmo que a entrada a x b. Se substituirmos em vez de variáveis uma e b números 2 e 3 , então temos 6

Juntos, você também pode escrever a multiplicação de um número por uma expressão entre colchetes. Por exemplo, em vez de a×(b + c) pode ser escrito a(b + c). Aplicando a lei distributiva da multiplicação, obtemos a(b + c)=ab+ac.

Chances

Em expressões literais, muitas vezes você pode encontrar uma notação na qual um número e uma variável são escritos juntos, por exemplo 3a. Na verdade, esta é uma abreviação para multiplicar o número 3 por uma variável. uma e esta entrada parece 3×a .

Em outras palavras, a expressão 3aé o produto do número 3 pela variável uma. Número 3 neste trabalho é chamado coeficiente. Este coeficiente mostra quantas vezes a variável será aumentada uma. Esta expressão pode ser lida como " uma três vezes ou três vezes uma", ou "incrementar o valor da variável uma três vezes", mas na maioria das vezes lido como "três uma«

Por exemplo, se a variável umaé igual a 5 , então o valor da expressão 3a será igual a 15.

3 x 5 = 15

Em termos simples, o coeficiente é o número que vem antes da letra (antes da variável).

Pode haver várias letras, por exemplo 5abc. Aqui o coeficiente é o número 5 . Este coeficiente mostra que o produto das variáveis abc aumenta cinco vezes. Esta expressão pode ser lida como " abc cinco vezes" ou "aumentar o valor da expressão abc cinco vezes" ou "cinco abc «.

Se em vez de variáveis abc substitua os números 2, 3 e 4, então o valor da expressão 5abc será igual a 120

5 x 2 x 3 x 4 = 120

Você pode imaginar mentalmente como os números 2, 3 e 4 foram multiplicados pela primeira vez e o valor resultante aumentou cinco vezes:

O sinal do coeficiente refere-se apenas ao coeficiente e não se aplica a variáveis.

Considere a expressão −6b. Menos na frente do coeficiente 6 , aplica-se apenas ao coeficiente 6 , e não se aplica à variável b. Entender esse fato permitirá que você não cometa erros no futuro com os sinais.

Encontre o valor da expressão −6b no b = 3.

−6b −6×b. Para maior clareza, escrevemos a expressão −6b na forma expandida e substitua o valor da variável b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Exemplo 2 Encontrar o valor de uma expressão −6b no b = -5

Vamos escrever a expressão −6b na forma expandida

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Exemplo 3 Encontrar o valor de uma expressão −5a+b no a = 3 e b = 2

−5a+bé a forma abreviada de −5 × a + b, portanto, para maior clareza, escrevemos a expressão −5×a+b na forma expandida e substitua os valores das variáveis uma e b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Às vezes, as letras são escritas sem coeficiente, por exemplo uma ou ab. Neste caso, o coeficiente é um:

mas a unidade tradicionalmente não é escrita, então eles apenas escrevem uma ou ab

Se houver um menos antes da letra, então o coeficiente é um número −1 . Por exemplo, a expressão -uma na verdade parece −1a. Este é o produto de menos um e a variável uma. Saiu assim:

−1 × a = −1a

Aqui reside um pequeno truque. Na expressão -uma menos antes da variável uma na verdade se refere à "unidade invisível" e não à variável uma. Portanto, ao resolver problemas, você deve ter cuidado.

Por exemplo, dada a expressão -uma e somos solicitados a encontrar seu valor em a = 2, então na escola substituímos um deuce em vez de uma variável uma e obter uma resposta −2 , não focando realmente em como ficou. Na verdade, houve uma multiplicação de menos um por um número positivo 2

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Se for dada uma expressão -uma e é necessário encontrar seu valor em a = -2, então substituímos −2 em vez de uma variável uma

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Para evitar erros, inicialmente unidades invisíveis podem ser escritas explicitamente.

Exemplo 4 Encontrar o valor de uma expressão abc no a=2 , b=3 e c=4

Expressão abc 1×a×b×c. Para maior clareza, escrevemos a expressão abc a, b e c

1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Exemplo 5 Encontrar o valor de uma expressão abc no a=−2 , b=−3 e c=−4

Vamos escrever a expressão abc na forma expandida e substitua os valores das variáveis a, b e c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Exemplo 6 Encontrar o valor de uma expressão − abc no a=3, b=5 ec=7

Expressão − abcé a forma abreviada de −1×a×b×c. Para maior clareza, escrevemos a expressão − abc na forma expandida e substitua os valores das variáveis a, b e c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Exemplo 7 Encontrar o valor de uma expressão − abc no a=−2 , b=−4 ec=−3

Vamos escrever a expressão − abc expandido:

−abc = −1 × a × b × c

Substitua o valor das variáveis uma , b e c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Como determinar o coeficiente

Às vezes, é necessário resolver um problema no qual é necessário determinar o coeficiente de uma expressão. Em princípio, esta tarefa é muito simples. É o suficiente para poder multiplicar números corretamente.

Para determinar o coeficiente em uma expressão, você precisa multiplicar separadamente os números incluídos nessa expressão e multiplicar separadamente as letras. O fator numérico resultante será o coeficiente.

Exemplo 1 7m×5a×(−3)×n

A expressão consiste em vários fatores. Isso pode ser visto claramente se a expressão for escrita na forma expandida. Ou seja, funciona 7m e 5a escreva no formulário 7×m e 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Aplicamos a lei associativa da multiplicação, que nos permite multiplicar fatores em qualquer ordem. Ou seja, multiplique separadamente os números e multiplique separadamente as letras (variáveis):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

O coeficiente é −105 . Após a conclusão, a parte da letra é preferencialmente organizada em ordem alfabética:

-105 am

Exemplo 2 Determine o coeficiente na expressão: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

O coeficiente é 6.

Exemplo 3 Determine o coeficiente na expressão:

Vamos multiplicar números e letras separadamente:

O coeficiente é -1. Observe que a unidade não é registrada, pois o coeficiente 1 geralmente não é registrado.

Essas tarefas aparentemente simples podem fazer uma piada muito cruel conosco. Muitas vezes acontece que o sinal do coeficiente é definido incorretamente: um menos é omitido ou, pelo contrário, é definido em vão. Para evitar esses erros irritantes, deve ser estudado em um bom nível.

Termos em expressões literais

Quando você soma vários números, obtém a soma desses números. Os números que se somam são chamados de termos. Pode haver vários termos, por exemplo:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Quando uma expressão consiste em termos, é muito mais fácil calculá-la, pois é mais fácil somar do que subtrair. Mas a expressão pode conter não apenas adição, mas também subtração, por exemplo:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Nesta expressão, os números 3 e 5 são subtraídos, não adicionados. Mas nada nos impede de substituir a subtração pela adição. Então, novamente, obtemos uma expressão que consiste em termos:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Não importa que os números -3 e -5 estejam agora com um sinal de menos. O principal é que todos os números nesta expressão estão conectados pelo sinal de adição, ou seja, a expressão é uma soma.

Ambas as expressões 1 + 2 − 3 + 4 − 5 e 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) são iguais ao mesmo valor - menos um

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Assim, o valor da expressão não sofrerá com o fato de substituirmos a subtração pela adição em algum lugar.

Você também pode substituir a subtração pela adição em expressões literais. Por exemplo, considere a seguinte expressão:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Para quaisquer valores de variáveis a, b, c, d e s expressões 7a + 6b - 3c + 2d - 4s e 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) será igual ao mesmo valor.

Você deve estar preparado para o fato de que um professor na escola ou um professor em um instituto pode chamar termos até mesmo aqueles números (ou variáveis) que não são eles.

Por exemplo, se a diferença estiver escrita no quadro a-b, então o professor não vai dizer isso umaé o minuendo, e b- dedutível. Ele chamará ambas as variáveis ​​de uma palavra comum - termos. E tudo porque a expressão da forma a-b matemático vê como a soma a + (−b). Nesse caso, a expressão se torna uma soma e as variáveis uma e (−b) tornam-se componentes.

Termos semelhantes

Termos semelhantes são termos que têm a mesma parte da letra. Por exemplo, considere a expressão 7a + 6b + 2a. Termos 7a e 2a tem a mesma parte da letra - variável uma. Então os termos 7a e 2a são similares.

Normalmente, termos semelhantes são adicionados para simplificar uma expressão ou resolver uma equação. Essa operação é chamada redução de termos semelhantes.

Para trazer termos semelhantes, você precisa adicionar os coeficientes desses termos e multiplicar o resultado pela parte da letra comum.

Por exemplo, damos termos semelhantes na expressão 3a + 4a + 5a. Neste caso, todos os termos são semelhantes. Adicionamos seus coeficientes e multiplicamos o resultado pela parte da letra comum - pela variável uma

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Tais termos geralmente são dados na mente e o resultado é registrado imediatamente:

3a + 4a + 5a = 12a

Além disso, você pode argumentar assim:

Foram adicionadas 3 variáveis ​​a , mais 4 variáveis ​​a e mais 5 variáveis ​​a foram adicionadas a elas. Como resultado, obtivemos 12 variáveis ​​a

Vamos considerar vários exemplos de redução de termos semelhantes. Considerando que este tópico é muito importante, a princípio vamos anotar cada detalhe detalhadamente. Apesar do fato de que tudo é muito simples aqui, a maioria das pessoas comete muitos erros. Principalmente por falta de atenção, não por ignorância.

Exemplo 1 3um + 2um + 6um + 8uma

Adicionamos os coeficientes nesta expressão e multiplicamos o resultado pela parte da letra comum:

3um + 2um + 6um + 8a=(3 + 2 + 6 + 8)× a = 19uma

Construção (3 + 2 + 6 + 8) × um você não pode escrever, então escreveremos imediatamente a resposta

3 um + 2 um + 6 um + 8 a = 19 uma

Exemplo 2 Traga termos semelhantes na expressão 2a+a

Segundo termo uma escrito sem um coeficiente, mas na verdade é precedido por um coeficiente 1 , que não vemos devido ao fato de não estar registrado. Então a expressão fica assim:

2a + 1a

Agora apresentamos termos semelhantes. Ou seja, somamos os coeficientes e multiplicamos o resultado pela parte da letra comum:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Vamos escrever a solução resumidamente:

2a + a = 3a

2a+a, você pode argumentar de outra maneira:

Exemplo 3 Traga termos semelhantes na expressão 2a - um

Vamos substituir a subtração pela adição:

2a + (−a)

Segundo termo (−a) escrito sem um coeficiente, mas na verdade parece (-1a). Coeficiente −1 novamente invisível devido ao fato de que não é gravado. Então a expressão fica assim:

2a + (−1a)

Agora apresentamos termos semelhantes. Somamos os coeficientes e multiplicamos o resultado pela parte da letra comum:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Geralmente escrito mais curto:

2a − a = a

Trazendo termos semelhantes na expressão 2a−a Você também pode argumentar de outra maneira:

Havia 2 variáveis ​​a , subtraída uma variável a , como resultado havia apenas uma variável a

Exemplo 4 Traga termos semelhantes na expressão 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Agora apresentamos termos semelhantes. Some os coeficientes e multiplique o resultado pela parte da letra comum

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Vamos escrever a solução resumidamente:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

Existem expressões que contêm vários grupos diferentes de termos semelhantes. Por exemplo, 3a + 3b + 7a + 2b. Para tais expressões, aplicam-se as mesmas regras que para o resto, ou seja, somar os coeficientes e multiplicar o resultado pela parte da letra comum. Mas para evitar erros, é conveniente sublinhar diferentes grupos de termos com linhas diferentes.

Por exemplo, na expressão 3a + 3b + 7a + 2b aqueles termos que contêm uma variável uma, pode ser sublinhado com uma linha, e os termos que contêm uma variável b, pode ser sublinhado com duas linhas:

Agora podemos trazer termos semelhantes. Ou seja, some os coeficientes e multiplique o resultado pela parte da letra comum. Isso deve ser feito para ambos os grupos de termos: para termos contendo uma variável uma e para termos contendo a variável b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Novamente, repetimos, a expressão é simples e termos semelhantes podem ser dados na mente:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Exemplo 5 Traga termos semelhantes na expressão 5a - 6a - 7b + b

Substituímos a subtração pela adição sempre que possível:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Sublinhe termos semelhantes com linhas diferentes. Termos contendo variáveis uma sublinhado com uma linha, e os termos que contêm as variáveis b, sublinhado com duas linhas:

Agora podemos trazer termos semelhantes. Ou seja, some os coeficientes e multiplique o resultado pela parte da letra comum:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Se a expressão contiver números comuns sem fatores alfabéticos, eles serão adicionados separadamente.

Exemplo 6 Traga termos semelhantes na expressão 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Vamos substituir a subtração pela adição sempre que possível:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Vamos apresentar termos semelhantes. Números −5 e 7 não têm fatores literais, mas são termos semelhantes - você só precisa somá-los. E o termo 2b permanecerá inalterado, pois é o único nesta expressão que possui um fator de letra b, e não há nada para adicioná-lo com:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Vamos escrever a solução resumidamente:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Os termos podem ser ordenados de forma que os termos que possuem a mesma parte da letra estejam localizados na mesma parte da expressão.

Exemplo 7 Traga termos semelhantes na expressão 5t+2x+3x+5t+x

Como a expressão é a soma de vários termos, isso nos permite avaliá-la em qualquer ordem. Portanto, os termos que contêm a variável t, pode ser escrito no início da expressão, e os termos que contêm a variável x no final da expressão:

5t+5t+2x+3x+x

Agora podemos adicionar termos semelhantes:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Vamos escrever a solução resumidamente:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

A soma dos números opostos é zero. Essa regra também funciona para expressões literais. Se a expressão contiver termos idênticos, mas com sinais opostos, você poderá se livrar deles no estágio de redução de termos semelhantes. Em outras palavras, basta excluí-los da expressão porque sua soma é zero.

Exemplo 8 Traga termos semelhantes na expressão 3t − 4t − 3t + 2t

Vamos substituir a subtração pela adição sempre que possível:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Termos 3t e (−3t) são opostos. A soma dos termos opostos é igual a zero. Se removermos esse zero da expressão, o valor da expressão não será alterado, portanto, o removeremos. E vamos removê-lo pela exclusão usual dos termos 3t e (−3t)

Como resultado, teremos a expressão (−4t) + 2t. Nesta expressão, você pode adicionar termos semelhantes e obter a resposta final:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Vamos escrever a solução resumidamente:

Simplificação de expressão

"simplifique a expressão" e a seguir está a expressão a ser simplificada. Simplifique a expressão significa torná-lo mais simples e mais curto.

De fato, já tratamos da simplificação de expressões ao reduzir frações. Após a redução, a fração tornou-se mais curta e mais fácil de ler.

Considere o exemplo a seguir. Simplifique a expressão.

Essa tarefa pode ser entendida literalmente da seguinte forma: "Faça o que puder com essa expressão, mas simplifique" .

Nesse caso, você pode reduzir a fração, ou seja, dividir o numerador e o denominador da fração por 2:

O que mais pode ser feito? Você pode calcular a fração resultante. Então obtemos o decimal 0,5

Como resultado, a fração foi simplificada para 0,5.

A primeira pergunta a se fazer ao resolver esses problemas deve ser "o que pode ser feito?" . Porque há coisas que você pode fazer e há coisas que você não pode fazer.

Outro ponto importante a ter em mente é que o valor de uma expressão não deve mudar após a simplificação da expressão. Voltemos à expressão. Esta expressão é uma divisão que pode ser realizada. Realizada essa divisão, obtemos o valor dessa expressão, que é igual a 0,5

Mas simplificamos a expressão e obtivemos uma nova expressão simplificada. O valor da nova expressão simplificada ainda é 0,5

Mas também tentamos simplificar a expressão calculando-a. Como resultado, a resposta final foi 0,5.

Assim, não importa como simplificamos a expressão, o valor das expressões resultantes ainda é 0,5. Isso significa que a simplificação foi realizada corretamente em cada etapa. É isso que precisamos buscar ao simplificar expressões - o significado da expressão não deve sofrer com nossas ações.

Muitas vezes é necessário simplificar expressões literais. Para eles, as mesmas regras de simplificação se aplicam às expressões numéricas. Você pode executar qualquer ação válida, desde que o valor da expressão não seja alterado.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 1 Simplifique a expressão 5,21s × t × 2,5

Para simplificar essa expressão, você pode multiplicar os números separadamente e multiplicar as letras separadamente. Esta tarefa é muito semelhante à que consideramos quando aprendemos a determinar o coeficiente:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Então a expressão 5,21s × t × 2,5 simplificado para 13.025º.

Exemplo 2 Simplifique a expressão −0,4×(−6,3b)×2

Segundo trabalho (−6.3b) pode ser traduzida em uma forma compreensível para nós, a saber, escrita na forma ( −6.3)×b , então multiplique separadamente os números e multiplique separadamente as letras:

− 0,4 × (−6.3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Então a expressão −0,4×(−6,3b)×2 simplificado para 5.04b

Exemplo 3 Simplifique a expressão

Vamos escrever essa expressão com mais detalhes para ver claramente onde estão os números e onde estão as letras:

Agora multiplicamos os números separadamente e multiplicamos as letras separadamente:

Então a expressão simplificado para −abc. Esta solução pode ser escrita mais curta:

Ao simplificar expressões, as frações podem ser reduzidas no processo de resolução, e não no final, como fizemos com as frações comuns. Por exemplo, se no decorrer da resolução encontrarmos uma expressão da forma , não será necessário calcular o numerador e o denominador e fazer algo assim:

Uma fração pode ser reduzida escolhendo o fator no numerador e o denominador e reduzindo esses fatores pelo seu máximo divisor comum. Em outras palavras, use , em que não descrevemos em detalhes em que o numerador e o denominador foram divididos.

Por exemplo, no numerador, o fator 12 e no denominador, o fator 4 pode ser reduzido por 4. Mantemos o quatro em nossas mentes, e dividindo 12 e 4 por este quatro, escrevemos as respostas ao lado desses números, tendo-os previamente riscado

Agora você pode multiplicar os pequenos fatores resultantes. Nesse caso, não são muitos e você pode multiplicá-los em sua mente:

Com o tempo, você pode descobrir que ao resolver um determinado problema, as expressões começam a “engordar”, por isso é aconselhável se acostumar com cálculos rápidos. O que pode ser calculado na mente deve ser calculado na mente. O que pode ser cortado rapidamente deve ser cortado rapidamente.

Exemplo 4 Simplifique a expressão

Então a expressão simplificado para

Exemplo 5 Simplifique a expressão

Multiplicamos os números separadamente e as letras separadamente:

Então a expressão simplificado para mn.

Exemplo 6 Simplifique a expressão

Vamos escrever essa expressão com mais detalhes para ver claramente onde estão os números e onde estão as letras:

Agora multiplicamos os números separadamente e as letras separadamente. Para conveniência dos cálculos, a fração decimal −6,4 e o número misto podem ser convertidos em frações ordinárias:

Então a expressão simplificado para

A solução para este exemplo pode ser escrita muito mais curta. Isso parecerá assim:

Exemplo 7 Simplifique a expressão

Multiplicamos os números separadamente e as letras separadamente. Por conveniência de cálculo, o número misto e as frações decimais 0,1 e 0,6 podem ser convertidos em frações ordinárias:

Então a expressão simplificado para abcd. Se você pular os detalhes, esta solução pode ser escrita muito mais curta:

Observe como a fração foi reduzida. Novos multiplicadores, que são obtidos pela redução dos multiplicadores anteriores, também podem ser reduzidos.

Agora vamos falar sobre o que não fazer. Ao simplificar expressões, é estritamente proibido multiplicar números e letras se a expressão for uma soma e não um produto.

Por exemplo, se você quiser simplificar a expressão 5a + 4b, então não pode ser escrito da seguinte forma:

Isso equivale ao fato de que, se nos pedissem para somar dois números, os multiplicaríamos em vez de somá-los.

Ao substituir quaisquer valores de variáveis uma e b expressão 5a+4b se transforma em uma simples expressão numérica. Vamos supor as variáveis uma e b têm os seguintes significados:

a = 2, b = 3

Então o valor da expressão será 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Primeiro, a multiplicação é realizada e, em seguida, os resultados são adicionados. E se tentássemos simplificar essa expressão multiplicando números e letras, obteríamos o seguinte:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 x 2 x 3 = 120

Acontece um significado completamente diferente da expressão. No primeiro caso resultou 22 , no segundo caso 120 . Isso significa que a simplificação da expressão 5a + 4b foi realizado incorretamente.

Após simplificar a expressão, seu valor não deve mudar com os mesmos valores das variáveis. Se, ao substituir qualquer valor de variável na expressão original, for obtido um valor, depois de simplificar a expressão, deverá ser obtido o mesmo valor de antes da simplificação.

Com expressão 5a + 4b na verdade nada pode ser feito. Não fica mais fácil.

Se a expressão contiver termos semelhantes, eles poderão ser adicionados se nosso objetivo for simplificar a expressão.

Exemplo 8 Simplifique a expressão 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

ou mais curto: 0,3a - 0,4a + a = 0,9a

Então a expressão 0,3a−0,4a+a simplificado para 0,9a

Exemplo 9 Simplifique a expressão −7,5a − 2,5b + 4a

Para simplificar essa expressão, você pode adicionar termos semelhantes:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

ou mais curto −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

prazo (−2.5b) permaneceu inalterado, já que não havia nada para dobrá-lo.

Exemplo 10 Simplifique a expressão

Para simplificar essa expressão, você pode adicionar termos semelhantes:

O coeficiente foi por conveniência de cálculo.

Então a expressão simplificado para

Exemplo 11. Simplifique a expressão

Para simplificar essa expressão, você pode adicionar termos semelhantes:

Então a expressão simplificado para .

Neste exemplo, faria mais sentido adicionar o primeiro e o último coeficiente primeiro. Neste caso, obteríamos uma solução curta. Ficaria assim:

Exemplo 12. Simplifique a expressão

Para simplificar essa expressão, você pode adicionar termos semelhantes:

Então a expressão simplificado para .

O prazo permaneceu inalterado, pois não havia nada a acrescentar.

Esta solução pode ser escrita muito mais curta. Isso parecerá assim:

A solução curta omite as etapas de substituição da subtração pela adição e um registro detalhado de como as frações foram reduzidas a um denominador comum.

Outra diferença é que na solução detalhada, a resposta parece , mas resumindo como . Na verdade, é a mesma expressão. A diferença é que, no primeiro caso, a subtração é substituída pela adição, pois no início, quando anotamos a solução detalhadamente, substituímos a subtração pela adição sempre que possível, e essa substituição foi preservada para a resposta.

Identidades. Expressões iguais idênticas

Depois de simplificarmos qualquer expressão, ela se torna mais simples e mais curta. Para verificar se a expressão está simplificada corretamente, basta substituir quaisquer valores das variáveis ​​primeiro na expressão anterior, que deveria ser simplificada, e depois na nova, que foi simplificada. Se o valor em ambas as expressões for o mesmo, a expressão será simplificada corretamente.

Vamos considerar o exemplo mais simples. Seja necessário simplificar a expressão 2a × 7b. Para simplificar esta expressão, você pode multiplicar separadamente os números e letras:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Vamos verificar se simplificamos a expressão corretamente. Para fazer isso, substitua quaisquer valores das variáveis uma e b primeiro para a primeira expressão, que precisava ser simplificada, e depois para a segunda, que foi simplificada.

Deixe os valores das variáveis uma , b será o seguinte:

a = 4, b = 5

Substitua-os na primeira expressão 2a × 7b

Agora vamos substituir os mesmos valores das variáveis ​​na expressão que resultou da simplificação 2a×7b, ou seja, na expressão 14ab

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Vemos isso em a=4 e b=5 o valor da primeira expressão 2a×7b e o valor da segunda expressão 14ab igual

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

O mesmo acontecerá para quaisquer outros valores. Por exemplo, deixe a=1 e b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 x 1 x 2 = 28

Assim, para quaisquer valores das variáveis, as expressões 2a×7b e 14ab são iguais ao mesmo valor. Tais expressões são chamadas identicamente igual.

Concluímos que entre as expressões 2a×7b e 14ab você pode colocar um sinal de igual, pois eles são iguais ao mesmo valor.

2a × 7b = 14ab

Uma igualdade é qualquer expressão que é unida por um sinal de igual (=).

E a igualdade da forma 2a×7b = 14ab chamado identidade.

Uma identidade é uma igualdade que é verdadeira para quaisquer valores das variáveis.

Outros exemplos de identidades:

a + b = b + a

a(b+c) = ab+ac

a(bc) = (ab)c

Sim, as leis da matemática que estudamos são identidades.

As verdadeiras igualdades numéricas também são identidades. Por exemplo:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Ao resolver um problema complexo, para facilitar o cálculo, uma expressão complexa é substituída por uma expressão mais simples que é identicamente igual à anterior. Essa substituição é chamada transformação idêntica da expressão ou simplesmente conversão de expressão.

Por exemplo, simplificamos a expressão 2a × 7b, e obter uma expressão mais simples 14ab. Essa simplificação pode ser chamada de transformação de identidade.

Muitas vezes você pode encontrar uma tarefa que diz "provar que igualdade é identidade" e então a igualdade a ser provada é dada. Normalmente esta igualdade consiste em duas partes: as partes esquerda e direita da igualdade. Nossa tarefa é realizar transformações idênticas com uma das partes da igualdade e obter a outra parte. Ou execute transformações idênticas com ambas as partes da igualdade e certifique-se de que ambas as partes da igualdade contenham as mesmas expressões.

Por exemplo, vamos provar que a igualdade 0,5a × 5b = 2,5abé uma identidade.

Simplifique o lado esquerdo desta igualdade. Para fazer isso, multiplique os números e as letras separadamente:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Como resultado de uma pequena transformação de identidade, o lado esquerdo da igualdade tornou-se igual ao lado direito da igualdade. Então provamos que a igualdade 0,5a × 5b = 2,5abé uma identidade.

A partir de transformações idênticas, aprendemos a somar, subtrair, multiplicar e dividir números, reduzir frações, trazer termos semelhantes e também simplificar algumas expressões.

Mas estas estão longe de ser todas as transformações idênticas que existem na matemática. Existem muitas outras transformações idênticas. Veremos isso de novo e de novo no futuro.

Tarefas para solução independente:

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Expressões, conversão de expressão

Expressões de poder (expressões com poderes) e sua transformação

Neste artigo, falaremos sobre transformar expressões com potências. Primeiro, vamos nos concentrar nas transformações que são realizadas com expressões de qualquer tipo, incluindo expressões de potência, como abrir colchetes, reduzir termos semelhantes. E então analisaremos as transformações inerentes às expressões com potências: trabalhando com a base e o expoente, usando as propriedades das potências, etc.

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O que são expressões de poder?

O termo "expressões de poder" praticamente não é encontrado nos livros didáticos de matemática, mas aparece frequentemente em coletâneas de tarefas, especialmente elaboradas para preparar o Exame Estadual Unificado e o OGE, por exemplo. Após analisar as tarefas em que é necessário realizar alguma ação com expressões de poder, fica claro que as expressões de poder são entendidas como expressões contendo graus em suas entradas. Portanto, para si mesmo, você pode tomar a seguinte definição:

Definição.

Expressões de poder são expressões contendo potências.

Vamos trazer exemplos de expressões de poder. Além disso, vamos apresentá-los de acordo com a forma como as visões se desenvolvem de um grau com um indicador natural para um grau com um indicador real.

Como você sabe, primeiro há um conhecimento do grau de um número com um expoente natural, neste estágio as primeiras expressões de potência mais simples do tipo 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 etc.

Um pouco mais tarde, estuda-se a potência de um número com um expoente inteiro, o que leva ao aparecimento de expressões de potência com potências inteiras negativas, como as seguintes: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

Nas classes seniores, eles retornam aos graus novamente. Lá, é introduzido um grau com um expoente racional, o que leva ao aparecimento das expressões de potência correspondentes: , , etc. Finalmente, são considerados graus com expoentes irracionais e expressões que os contêm: , .

A questão não se limita às expressões de potência listadas: além disso, a variável penetra no expoente e existem, por exemplo, expressões 2 x 2 +1 ou . E depois de se familiarizar, expressões com potências e logaritmos começam a ocorrer, por exemplo, x 2 lgx −5 x lgx.

Então, descobrimos a questão do que são expressões de poder. A seguir, aprenderemos como transformá-los.

Os principais tipos de transformações de expressões de poder

Com expressões de poder, você pode realizar qualquer uma das transformações básicas de identidade de expressões. Por exemplo, você pode expandir colchetes, substituir expressões numéricas por seus valores, adicionar termos semelhantes e assim por diante. Naturalmente, neste caso, é necessário seguir o procedimento aceito para realizar ações. Vamos dar exemplos.

Exemplo.

Calcule o valor da expressão de potência 2 3 ·(4 2 −12) .

Solução.

De acordo com a ordem das ações, primeiro executamos as ações entre parênteses. Lá, em primeiro lugar, substituímos a potência de 4 2 por seu valor 16 (veja se necessário) e, em segundo lugar, calculamos a diferença 16−12=4 . Nós temos 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Na expressão resultante, substituímos a potência de 2 3 por seu valor 8 , após o qual calculamos o produto 8·4=32 . Este é o valor desejado.

Então, 2 3 (4 2 −12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Responda:

2 3 (4 2 −12)=32 .

Exemplo.

Simplifique as expressões de poder 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Solução.

Obviamente, esta expressão contém termos semelhantes 3 · a 4 · b − 7 e 2 · a 4 · b − 7 , e podemos reduzi-los: .

Responda:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Exemplo.

Expresse uma expressão com potências como um produto.

Solução.

Para lidar com a tarefa permite a representação do número 9 como uma potência de 3 2 e o uso subsequente da fórmula de multiplicação abreviada, a diferença de quadrados:

Responda:

Há também uma série de transformações idênticas inerentes às expressões de poder. A seguir, vamos analisá-los.

Trabalhando com base e expoente

Existem graus, na base e/ou indicador dos quais não são apenas números ou variáveis, mas algumas expressões. Como exemplo, vamos escrever (2+0,3 7) 5−3,7 e (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Ao trabalhar com tais expressões, é possível substituir tanto a expressão na base do grau quanto a expressão no indicador por uma expressão identicamente igual no DPV de suas variáveis. Em outras palavras, de acordo com as regras conhecidas por nós, podemos converter separadamente a base do grau e separadamente - o indicador. É claro que, como resultado dessa transformação, obtém-se uma expressão identicamente igual à original.

Tais transformações nos permitem simplificar expressões com potências ou atingir outros objetivos que precisamos. Por exemplo, na expressão de potência (2+0,3 7) 5−3,7 mencionada acima, você pode realizar operações com números na base e no expoente, o que permitirá que você vá para a potência de 4,1 1,3. E depois de abrir os colchetes e trazer termos semelhantes na base do grau (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) obtemos uma expressão de potência de uma forma mais simples a 2·(x+1 ).

Usando Propriedades de Energia

Uma das principais ferramentas para transformar expressões com poderes são as igualdades que refletem. Recordemos os principais. Para quaisquer números positivos a e b e números reais arbitrários r e s, as seguintes propriedades de potência são válidas:

• a r a s = a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s = a r s .

Observe que para expoentes naturais, inteiros e positivos, as restrições sobre os números a e b podem não ser tão rígidas. Por exemplo, para os números naturais m e n, a igualdade a m ·a n =a m+n é verdadeira não apenas para a positivo, mas também para os negativos e para a=0.

Na escola, a atenção principal na transformação das expressões de poder está voltada justamente para a capacidade de escolher a propriedade adequada e aplicá-la corretamente. Nesse caso, as bases dos graus geralmente são positivas, o que permite usar as propriedades dos graus sem restrições. O mesmo se aplica à transformação de expressões contendo variáveis ​​nas bases de graus - o intervalo de valores aceitáveis​​de variáveis ​​geralmente é tal que as bases assumem apenas valores positivos, o que permite usar livremente as propriedades de graus. Em geral, você precisa se perguntar constantemente se é possível aplicar qualquer propriedade de graus neste caso, porque o uso impreciso de propriedades pode levar a um estreitamento da ODZ e outros problemas. Esses pontos são discutidos em detalhes e com exemplos no artigo transformação de expressões usando as propriedades dos graus. Aqui nos limitamos a alguns exemplos simples.

Exemplo.

Expresse a expressão a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 como uma potência de base a .

Solução.

Primeiro, transformamos o segundo fator (a 2) −3 pela propriedade de elevar uma potência a uma potência: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Neste caso, a expressão de potência inicial terá a forma a 2,5 ·a −6:a −5,5 . Obviamente, resta usar as propriedades de multiplicação e divisão de potências com a mesma base, temos
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Responda:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

As propriedades de potência são usadas ao transformar expressões de potência da esquerda para a direita e da direita para a esquerda.

Exemplo.

Encontre o valor da expressão de potência.

Solução.

A igualdade (a·b) r =ar ·b r , aplicada da direita para a esquerda, permite ir da expressão original ao produto da forma e mais além. E ao multiplicar potências com a mesma base, os indicadores somam: .

Foi possível realizar a transformação da expressão original de outra forma:

Responda:

.

Exemplo.

Dada uma expressão de potência a 1,5 −a 0,5 −6 , insira uma nova variável t=a 0,5 .

Solução.

O grau a 1,5 pode ser representado como um 0,5 3 e ainda com base na propriedade do grau no grau (a r) s =ar s aplicado da direita para a esquerda, converta-o para a forma (a 0,5) 3 . Nesse caminho, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Agora é fácil introduzir uma nova variável t=a 0.5 , obtemos t 3 −t−6 .

Responda:

t 3 −t−6 .

Convertendo frações contendo potências

As expressões de potência podem conter frações com potências ou representar tais frações. Qualquer uma das transformações de frações básicas que são inerentes a frações de qualquer tipo são totalmente aplicáveis ​​a tais frações. Ou seja, frações que contêm graus podem ser reduzidas, reduzidas a um novo denominador, trabalhar separadamente com seu numerador e separadamente com o denominador, etc. Para ilustrar as palavras acima, considere as soluções de vários exemplos.

Exemplo.

Simplifique a expressão de poder .

Solução.

Esta expressão de poder é uma fração. Vamos trabalhar com seu numerador e denominador. No numerador, abrimos os colchetes e simplificamos a expressão obtida em seguida usando as propriedades das potências, e no denominador apresentamos termos semelhantes:

E também mudamos o sinal do denominador colocando um menos na frente da fração: .

Responda:

.

A redução de frações contendo potências a um novo denominador é realizada de maneira semelhante à redução de frações racionais a um novo denominador. Ao mesmo tempo, um fator adicional também é encontrado e o numerador e o denominador da fração são multiplicados por ele. Ao realizar essa ação, vale lembrar que a redução para um novo denominador pode levar a um estreitamento do DPV. Para evitar que isso aconteça, é necessário que o fator adicional não desapareça para nenhum valor das variáveis ​​das variáveis ​​ODZ para a expressão original.

Exemplo.

Traga as frações para um novo denominador: a) para o denominador a, b) ao denominador.

Solução.

a) Nesse caso, é bastante fácil descobrir qual fator adicional ajuda a alcançar o resultado desejado. Este é um fator a 0,3, pois a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Observe que na faixa de valores aceitáveis ​​da variável a (este é o conjunto de todos os números reais positivos), o grau a 0,3 não desaparece, portanto, temos o direito de multiplicar o numerador e o denominador da fração dada por este fator adicional:

b) Olhando mais de perto o denominador, descobrimos que

e multiplicando esta expressão por dará a soma dos cubos e , ou seja, . E este é o novo denominador para o qual precisamos trazer a fração original.

Então encontramos um fator adicional. A expressão não desaparece no intervalo de valores aceitáveis ​​das variáveis ​​x e y, portanto, podemos multiplicar o numerador e o denominador da fração por ela:

Responda:

a) , b) .

Também não há nada de novo na redução de frações contendo graus: o numerador e o denominador são representados como um certo número de fatores, e os mesmos fatores do numerador e denominador são reduzidos.

Exemplo.

Reduza a fração: a) , b).

Solução.

a) Primeiro, o numerador e o denominador podem ser reduzidos pelos números 30 e 45, que é igual a 15. Além disso, obviamente, você pode reduzir em x 0,5 +1 e por . Aqui está o que temos:

b) Neste caso, os mesmos fatores no numerador e denominador não são imediatamente visíveis. Para obtê-los, você deve realizar transformações preliminares. Neste caso, consistem em decompor o denominador em fatores de acordo com a fórmula da diferença de quadrados:

Responda:

a)

b) .

Reduzir frações a um novo denominador e reduzir frações é usado principalmente para realizar operações em frações. As ações são executadas de acordo com regras conhecidas. Ao adicionar (subtrair) frações, elas são reduzidas a um denominador comum, após o qual os numeradores são adicionados (subtraídos) e o denominador permanece o mesmo. O resultado é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e o denominador é o produto dos denominadores. A divisão por uma fração é a multiplicação pelo seu inverso.

Exemplo.

Siga os passos .

Solução.

Primeiro, subtraímos as frações entre parênteses. Para fazer isso, nós os trazemos para um denominador comum, que é , então subtraia os numeradores:

Agora multiplicamos frações:

Obviamente, uma redução pela potência x 1/2 é possível, após o que temos .

Você também pode simplificar a expressão de potência no denominador usando a fórmula da diferença de quadrados: .

Responda:

Exemplo.

Simplifique a expressão de poder .

Solução.

Obviamente, esta fração pode ser reduzida por (x 2,7 +1) 2, isso dá a fração . É claro que algo mais precisa ser feito com as potências de x. Para fazer isso, convertemos a fração resultante em um produto. Isso nos dá a oportunidade de usar a propriedade de dividir poderes com as mesmas bases: . E no final do processo, passamos do último produto para a fração.

Responda:

.

E acrescentamos que é possível e em muitos casos desejável transferir fatores com expoentes negativos do numerador para o denominador ou do denominador para o numerador mudando o sinal do expoente. Essas transformações geralmente simplificam outras ações. Por exemplo, uma expressão de poder pode ser substituída por .

Convertendo expressões com raízes e potências

Muitas vezes, em expressões em que algumas transformações são necessárias, juntamente com graus com expoentes fracionários, também existem raízes. Para converter tal expressão para a forma desejada, na maioria dos casos, basta ir apenas às raízes ou apenas às potências. Mas como é mais conveniente trabalhar com graus, eles geralmente se movem das raízes para os graus. No entanto, é aconselhável realizar tal transição quando a ODZ das variáveis ​​para a expressão original permite substituir as raízes por graus sem a necessidade de acessar o módulo ou dividir a ODZ em vários intervalos (discutimos isso em detalhes no artigo, a transição de raízes para potências e vice-versa Depois de conhecer o grau com um expoente racional é introduzido um grau com um indicador irracional, o que permite falar de um grau com um indicador real arbitrário. escola começa a estudar função exponencial, que é analiticamente dado pelo grau, na base do qual existe um número e no indicador - uma variável. Assim, nos deparamos com expressões exponenciais contendo números na base do grau, e no expoente - expressões com variáveis, e naturalmente surge a necessidade de realizar transformações de tais expressões.

Deve-se dizer que a transformação de expressões do tipo indicado geralmente deve ser realizada ao resolver equações exponenciais e desigualdades exponenciais, e essas transformações são bastante simples. Na grande maioria dos casos, baseiam-se nas propriedades do grau e visam principalmente a introdução de uma nova variável no futuro. A equação nos permitirá demonstrá-los 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Primeiro, os expoentes, em cujos expoentes se encontra a soma de alguma variável (ou expressão com variáveis) e um número, são substituídos por produtos. Isso se aplica ao primeiro e ao último termos da expressão do lado esquerdo:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Em seguida, ambas as partes da igualdade são divididas pela expressão 7 2 x , que assume apenas valores positivos na ODZ da variável x para a equação original (esta é uma técnica padrão para resolver equações desse tipo, não estamos falando sobre isso agora, então concentre-se nas transformações subsequentes de expressões com poderes):

Agora frações com potências são canceladas, o que dá .

Finalmente, a razão de potências com os mesmos expoentes é substituída por potências de razões, o que leva à equação , o que equivale a . As transformações feitas permitem-nos introduzir uma nova variável, que reduz a solução da equação exponencial original à solução da equação quadrática

I. V. Boikov, L. D. Romanova Coleção de tarefas para se preparar para o exame. Parte 1. Penza 2003.