Depois de receber informações gerais sobre igualdades em matemática, passamos para tópicos mais restritos. O material deste artigo dará uma ideia das propriedades das igualdades numéricas.
O que é igualdade numérica
A primeira vez que encontramos igualdades numéricas na escola primária, quando nos familiarizamos com os números e o conceito de "o mesmo". Aqueles. as igualdades numéricas mais primitivas são: 2 = 2, 5 = 5, etc. E nesse nível de estudo, nós os chamamos simplesmente de igualdades, sem especificar "numéricos", e colocamos neles um significado quantitativo ou ordinal (que os números naturais carregam). Por exemplo, a equação 2 = 2 corresponderá a uma imagem com duas flores e duas abelhas empoleiradas em cada uma. Ou, por exemplo, duas filas, onde Vasya e Vanya estão em segundo lugar.
À medida que o conhecimento das operações aritméticas aparece, as igualdades numéricas se tornam mais complicadas: 5 + 7 \u003d 12; 6 - 1 = 5; 2 1 = 2; 21: 7 = 3, etc. Então começam a ocorrer igualdades, em cujo registro participam expressões numéricas de vários tipos. Por exemplo, (2 + 2) + 5 = 2 + (5 + 2) ; 4 (4 − (1 + 2)) + 12: 4 − 1 = 4 1 + 3 − 1, etc. Então nos familiarizamos com outros tipos de números, e as igualdades numéricas se tornam cada vez mais interessantes e diversas.
Definição 1
Igualdade numéricaé uma igualdade, ambas as partes consistem em números e/ou expressões numéricas.
Propriedades de igualdades numéricas
É difícil superestimar a importância das propriedades das igualdades numéricas na matemática: elas são a base de muitas coisas, determinam o princípio de trabalhar com igualdades numéricas, métodos de solução, regras para trabalhar com fórmulas e muito mais. a necessidade de um estudo detalhado das propriedades das igualdades numéricas.
As propriedades das igualdades numéricas são absolutamente consistentes com a forma como as ações com números são definidas, bem como com a definição de números iguais através da diferença: número umaé igual ao número b somente quando a diferença a-b existe zero. Mais adiante na descrição de cada propriedade, traçaremos essa conexão.
Propriedades básicas de igualdades numéricas
Vamos começar a estudar as propriedades das igualdades numéricas com três propriedades básicas que são inerentes a todas as igualdades. Listamos as principais propriedades das igualdades numéricas:
- propriedade de reflexividade: um = um;
- propriedade de simetria: se a = b, então b = a;
- propriedade de transitividade: se a = b e b=c, então a = c, onde a, b e c são números arbitrários.
A propriedade da reflexividade denota o fato de que um número é igual a si mesmo: por exemplo, 6 = 6, - 3 = - 3, 4 3 7 = 4 3 7, etc.
Prova 1
É fácil demonstrar a validade da igualdade a - a = 0 para qualquer número uma: diferença um - um pode ser escrito como uma soma a + (− a), e a propriedade de adição de números nos dá a oportunidade de afirmar que qualquer número uma corresponde ao único número oposto - um, e sua soma é zero.
Definição 3
De acordo com a propriedade de simetria das igualdades numéricas: se o número umaé igual ao número b,
esse número bé igual ao número uma. Por exemplo, 4 3 = 64
, então 64 = 4 3
.
Prova 2
Você pode justificar esta propriedade através da diferença de números. doença a = b corresponde à igualdade a - b = 0. Vamos provar isso b − a = 0.
Vamos escrever a diferença BA como - (a - b), contando com a regra de abertura de colchetes precedido por um sinal de menos. A nova entrada para a expressão é - 0 e o oposto de zero é zero. Por isso, b − a = 0, conseqüentemente: b = a.
Definição 4
A propriedade da transitividade das igualdades numéricas afirma que dois números são iguais entre si se forem simultaneamente iguais a um terceiro número. Por exemplo, se 81 = 9 e 9 = 3 2 , então 81 = 3 2 .
A propriedade da transitividade também corresponde à definição de números iguais pela diferença e propriedades das operações com números. Igualdades a = b e b=c correspondem às igualdades a - b = 0 e b − c = 0.
Prova 3
Vamos provar a igualdade a - c = 0, a partir do qual a igualdade dos números seguirá uma e c. Como adicionar um número a zero não altera o próprio número, então a - c escreva no formulário a + 0 − c. Em vez de zero, substituímos a soma de números opostos −b e b, então a expressão final se torna: a + (− b + b) − c. Vamos agrupar os termos: (a − b) + (b − c). As diferenças entre parênteses são iguais a zero, então a soma (a − b) + (b − c) existe zero. Isso prova que quando a - b = 0 e b − c = 0, a igualdade a - c = 0, Onde a = c.
Outras propriedades importantes das igualdades numéricas
As principais propriedades das igualdades numéricas discutidas acima são a base para várias propriedades adicionais que são bastante valiosas no contexto da prática. Vamos listá-los:
Definição 5
Adicionando (ou subtraindo) ambas as partes da igualdade numérica, o que é verdade, o mesmo número, obtemos a igualdade numérica correta. Vamos escrever literalmente: se a = b, Onde uma e b são alguns números, então a + c = b + c para qualquer c.
Prova 4
Como justificativa, escrevemos a diferença (a + c) − (b + c).
Esta expressão pode ser facilmente convertida para a forma (a − b) + (c − c).
A partir de a = b por condição segue que a - b = 0 e c − c = 0, então (a - b) + (c - c) = 0 + 0 = 0. Isso prova que (a + c) − (b + c) = 0, conseqüentemente, a + c = b + c;
Definição 6
Se ambas as partes da igualdade numérica correta forem multiplicadas por qualquer número ou divididas por um número diferente de zero, obteremos a igualdade numérica correta.
Vamos escrever literalmente: quando a = b, então ac = bc para qualquer número c. Se c ≠ 0 então e a:c = b:c.
Prova 5
A igualdade é verdadeira: a c − b c = (a − b) c = 0 c = 0, e isso implica a igualdade dos produtos um c e b c. E a divisão por um número diferente de zero c pode ser escrita como uma multiplicação pelo inverso de 1 c ;
Definição 7
No uma e b, diferentes de zero e iguais entre si, seus recíprocos também são iguais.
Vamos escrever: quando a ≠ 0 , b ≠ 0 e a = b, então 1a = 1b. A igualdade extrema não é difícil de provar: para isso, dividimos ambos os lados da igualdade a = b por um número igual ao produto a b e não igual a zero.
Também destacamos algumas propriedades que permitem a adição e multiplicação das partes correspondentes das igualdades numéricas corretas:
Definição 8
Com a adição termo a termo das igualdades numéricas corretas, a igualdade correta é obtida. Esta propriedade é escrita da seguinte forma: se a = b e c = d, então a + c = b + d para quaisquer números a, b, c e d.
Prova 6
É possível fundamentar esta propriedade útil com base nas propriedades mencionadas anteriormente. Sabemos que qualquer número pode ser adicionado a ambos os lados de uma verdadeira igualdade.
Em direção à igualdade a = b adicione o número c, e à igualdade c = d- número b, o resultado será as igualdades numéricas corretas: a + c = b + c e c + b = d + b. Escrevemos o último na forma: b + c = b + d. Das igualdades a + c = b + c e b + c = b + d de acordo com a propriedade da transitividade, a igualdade segue a + c = b + d. Que é o que precisava ser comprovado.
É necessário esclarecer que termo a termo é possível somar não apenas duas igualdades numéricas verdadeiras, mas também três ou mais;
Definição 7
Finalmente, descrevemos tal propriedade: a multiplicação termo a termo de duas igualdades numéricas corretas fornece a igualdade correta. Vamos escrever em letras: se a = b e c = d, então ac = bd.
Prova 7
A prova desta propriedade é semelhante à prova da anterior. Multiplique ambos os lados da equação por qualquer número, multiplique a = b no c, uma c = d no b, obtemos as igualdades numéricas corretas ac = bc e cb = db. Escrevemos o último como bc = bd. A propriedade da transitividade torna possível a partir da igualdade ac = bc e bc = bd derivar igualdade ac = bd que precisávamos provar.
E novamente, esclarecemos que esta propriedade é aplicável para duas, três ou mais igualdades numéricas.
Assim, pode-se escrever: se a = b, então an = bn para qualquer número uma e b, e qualquer número natural n.
Vamos terminar este artigo coletando todas as propriedades consideradas para maior clareza:
Se a = b, então b = a.
Se a = b e b = c, então a = c.
Se a = b , então a + c = b + c .
Se a = b, então a c = b c.
Se a = b e c ≠ 0, então a: c = b: c.
Se a = b , a = b , a ≠ 0 e b ≠ 0 , então 1 a = 1 b .
Se a = b e c = d, então a c = b d.
Se a = b , então a n = b n .
Se você notar um erro no texto, destaque-o e pressione Ctrl+Enter
Ter uma ideia geral de igualdade na matematica, podemos prosseguir para um estudo mais detalhado desta questão. Neste artigo, vamos, em primeiro lugar, explicar o que são igualdades numéricas, e, em segundo lugar, vamos estudar.
Navegação da página.
O que é igualdade numérica?
A familiaridade com as igualdades numéricas começa no estágio inicial de estudar matemática na escola. Isso geralmente acontece na 1ª série logo após os primeiros números de 1 a 9 se tornarem conhecidos e após a frase "o mesmo" ganhar significado. Então aparecem as primeiras igualdades numéricas, por exemplo, 1=1, 3=3, etc., que nesta fase são normalmente chamadas simplesmente de igualdades sem uma definição esclarecedora de "numérico".
Igualdades do tipo especificado neste estágio recebem um significado quantitativo ou ordinal, que está embutido em . Por exemplo, a equação numérica 3=3 correspondia à figura, que mostra dois galhos de uma árvore, cada um com 3 pássaros sentados nele. Ou quando nossos camaradas Petya e Kolya são os terceiros em duas filas.
Depois de estudar as operações aritméticas, aparecem registros mais diversos de igualdades numéricas, por exemplo, 3+1=4, 7−2=5, 3 2=6, 8:4=2, etc. Além disso, igualdades numéricas de uma forma ainda mais interessante começam a ocorrer, contendo várias partes em suas partes, por exemplo, (2+1)+3=2+(1+3) , 4 (4−(1+2))+12:4−1=4 1+3−1 e similar. Então há um conhecimento de outros tipos de números, e as igualdades numéricas se tornam cada vez mais diversas.
Então, basta enrolar, é hora de dar uma definição de igualdade numérica:
Definição.
Igualdade numéricaé uma igualdade, em ambas as partes existem números e/ou expressões numéricas.
Propriedades de igualdades numéricas
Os princípios de trabalhar com igualdades numéricas são determinados por suas propriedades. E muito está ligado às propriedades das igualdades numéricas na matemática: desde as propriedades de resolução de equações e alguns métodos para resolver sistemas de equações até as regras para trabalhar com fórmulas que conectam várias quantidades. Isso explica a necessidade de um estudo detalhado das propriedades das igualdades numéricas.
As propriedades das igualdades numéricas estão de acordo com a forma como as operações com números são definidas, e também estão de acordo com definição de números iguais pela diferença: o número a é igual ao número b se e somente se a diferença a−b for igual a zero. Abaixo, ao descrever cada propriedade, traçaremos essa conexão.
Propriedades básicas de igualdades numéricas
Uma revisão das propriedades das igualdades numéricas deve começar com três propriedades básicas que são características de todas as igualdades sem exceção. Então, propriedades básicas de igualdades numéricas Esse:
- propriedade de reflexividade: a=a ;
- propriedade de simetria: se a=b , então b=a ;
- e a propriedade de transitividade: se a=b e b=c , então a=c ,
onde a, b e c são números arbitrários.
A propriedade de reflexividade das igualdades numéricas refere-se ao fato de um número ser igual a si mesmo. Por exemplo, 5=5 , −2=−2 , etc.
É fácil mostrar que para qualquer número a a igualdade a−a=0 é verdadeira. De fato, a diferença a−a pode ser reescrita como a soma a+(−a) , e pelas propriedades da adição de números sabemos que para qualquer número a existe um único −a , e a soma dos números opostos é igual a zero .
A propriedade de simetria das igualdades numéricas afirma que se o número a é igual ao número b, então o número b é igual ao número a. Por exemplo, se 2 3 =8 (consulte ), então 8=2 3 .
Justificamos essa propriedade pela diferença de números. A condição a=b corresponde à igualdade a−b=0 . Vamos mostrar que b−a=0 . A regra de abertura de colchetes precedido por um sinal de menos nos permite reescrever a diferença b−a como −(a−b) , que por sua vez é igual a −0 , e o número oposto a zero é zero. Portanto, b−a=0 , o que implica que b=a .
A propriedade da transitividade das igualdades numéricas afirma que dois números são iguais quando ambos são iguais a um terceiro número. Por exemplo, segue das igualdades (veja ) e 4=2 2 que .
Essa propriedade também é consistente com a definição de números iguais por meio da diferença e das propriedades das operações com números. De fato, as igualdades a=b e b=c correspondem às igualdades a−b=0 e b−c=0 . Vamos mostrar que a−c=0 , de onde seguirá que os números a e c são iguais. Como adicionar zero não altera o número, a−c pode ser reescrito como a+0−c . O zero é substituído pela soma dos números opostos −b e b , enquanto a última expressão assume a forma a+(−b+b)−c . Agora podemos agrupar os termos da seguinte forma: (a−b)+(b−c) . E as diferenças entre parênteses são zeros, portanto a soma (a−b)+(b−c) é igual a zero. Isso prova que, sob a condição a−b=0 e b−c=0, a igualdade a−c=0 vale, onde a=c .
Outras propriedades importantes
Das principais propriedades das igualdades numéricas, analisadas no parágrafo anterior, seguem uma série de propriedades que possuem valor prático tangível. Vamos derrubá-los.
Vamos começar com esta propriedade: se você adicionar (ou subtrair) o mesmo número a ambas as partes de uma igualdade numérica verdadeira, obterá uma igualdade numérica verdadeira. Usando letras, pode ser escrito assim: se a=b , onde a e b são alguns números, então a+c=b+c para qualquer número c .
Para justificar, compomos a diferença (a+c)−(b+c) . Ele pode ser convertido para a forma (a−b)+(c−c) . Como a=b por convenção, então a−b=0 e c−c=0 , então (a−b)+(c−c)=0+0=0 . Isso prova que (a+c)−(b+c)=0 , portanto a+c=b+c .
Vamos além: se ambas as partes de uma igualdade numérica verdadeira são multiplicadas por qualquer número ou divididas por um número diferente de zero, obtemos a igualdade numérica correta. Ou seja, se a=b , então a c=b c para qualquer número c , e se c for um número diferente de zero, então a:c=b:c .
De fato, a·c−b·c=(a−b)·c=0·c=0 , o que implica que os produtos de a·c e b·c são iguais. E a divisão por um número diferente de zero c pode ser pensada como multiplicando por 1/c.
Da propriedade analisada das igualdades numéricas, segue-se uma consequência útil: se a e b são diferentes de zero e números iguais, então seus recíprocos também são iguais. Ou seja, se a≠0 , b≠0 e a=b , então 1/a=1/b . A última igualdade é fácil de provar: para isso, basta dividir ambas as partes da igualdade original a=b por um número diferente de zero igual ao produto a b .
E vamos nos deter em mais duas propriedades que nos permitem somar e multiplicar as partes correspondentes das igualdades numéricas corretas.
Se você adicionar as igualdades numéricas corretas termo por termo, obterá a igualdade correta. Ou seja, se a=b e c=d , então a+c=b+d para quaisquer números a , b , c e d .
Justifiquemos esta propriedade das igualdades numéricas, partindo das propriedades que já conhecemos. Sabe-se que podemos adicionar qualquer número a ambas as partes de uma verdadeira igualdade. Na igualdade a=b adicionamos o número c, e na igualdade c+d adicionamos o número b, como resultado obtemos as igualdades numéricas corretas a+c=b+c e c+b=d+b , a última das quais reescrevemos como b+c= b+d. Das igualdades a+c=b+c e b+c=b+d, pela propriedade da transitividade, segue-se a igualdade a+c=b+d, que deveria ser provada.
Observe que é possível somar termo a termo não apenas duas igualdades numéricas corretas, mas também três, e quatro, e qualquer número finito delas.
Completamos a revisão das propriedades das igualdades numéricas com a seguinte propriedade: se multiplicarmos duas igualdades numéricas corretas termo a termo, obtemos a igualdade correta. Vamos formular formalmente: se a=b e c=d , então a c=b d .
A prova desta propriedade é semelhante à prova da anterior. Podemos multiplicar ambos os lados da igualdade por qualquer número, multiplicar a=b por c e c=d por b, obtemos as igualdades numéricas corretas a c=b c e c b=d b , a última das quais reescrevemos como b c=b d . Então, pela propriedade da transitividade, as igualdades a·c=b·c e b·c=b·d implicam a igualdade requerida a·c=b·d .
Observe que a propriedade sonora é verdadeira para a multiplicação termo a termo de três ou mais igualdades numéricas corretas. Segue-se desta afirmação que se a=b , então a n =b n para quaisquer números aeb e qualquer número natural n.
No final deste artigo, escrevemos todas as propriedades analisadas de igualdades numéricas em uma tabela:
Bibliografia.
- Moro M.I.. Matemática. Proc. para 1cl. cedo escola Às 14h Parte 1. (Primeiro semestre) / M. I. Moro, S. I. Volkova, S. V. Stepanova. - 6ª ed. - M.: Iluminismo, 2006. - 112 p.: il. + App. (2 separado l. il.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Álgebra: livro didático para 7 células. Educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovsky. - 17ª edição. - M. : Educação, 2008. - 240 p. : doente. - ISBN 978-5-09-019315-3.
E agora vamos analisar essa tarefa em detalhes.
Considere a próxima célula na pirâmide.
Sabemos que 11 é a soma de 7 e outro número desconhecido. Obviamente, o segundo número é 4, então podemos preencher a célula à direita na primeira linha.
Há uma célula vazia na pirâmide. Deve conter um número, somando ao qual 7 deve resultar 12. Assim. na célula vazia à esquerda na primeira linha deve ser o número 5.
Considere as células na segunda linha. Deve haver dois números na soma dos quais deve ser igual a 24. Ao mesmo tempo, observe que, para obter os dois números desejados na segunda coluna, você precisa adicionar 3 e 5 a algum número desconhecido, que é localizado na célula do meio da primeira linha, ou seja, a diferença desses dois números deve ser igual a 2. Os números 11 e 13 são adequados para essas condições, porque 11 + 13 \u003d 24 e, por outro lado, 13 - 11 \ u003d 2. Assim, podemos preencher as células da 2ª linha.
E resta encontrar o último número na primeira linha. Este número pode ser obtido se somado a 3 e então obtemos 11. Assim. este número é 8.
