Aula e apresentação sobre os tópicos: "Arxine. Arcsine table. Formula y=arcsin(x)"

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Resolvemos problemas de geometria. Tarefas interativas para construir no espaço

O que vamos estudar:
1. Qual é o arco-seno?
2. Designação do arco-seno.
3. Um pouco de história.
4. Definição.

6. Exemplos.

O que é arcseno?

Pessoal, já aprendemos a resolver equações para cosseno, agora vamos aprender a resolver equações semelhantes para seno. Considere sen(x)= √3/2. Para resolver esta equação, você precisa construir uma linha reta y= √3/2 e ver: em que pontos ela intercepta o círculo numérico. Pode-se ver que a linha intercepta o círculo em dois pontos F e G. Esses pontos serão a solução da nossa equação. Renomeie F como x1 e G como x2. Já encontramos a solução para esta equação e obtivemos: x1= π/3 + 2πk,
e x2= 2π/3 + 2πk.

Resolver essa equação é bem simples, mas como resolver, por exemplo, a equação
sen(x)=5/6. Obviamente, essa equação também terá duas raízes, mas quais valores corresponderão à solução no círculo numérico? Vamos dar uma olhada em nossa equação sen(x)=5/6.
A solução da nossa equação será dois pontos: F= x1 + 2πk e G= x2 ​​+ 2πk,
onde x1 é o comprimento do arco AF, x2 é o comprimento do arco AG.
Nota: x2= π - x1, porque AF= AC - FC, mas FC= AG, AF= AC - AG= π - x1.
Mas o que são esses pontos?

Diante de uma situação semelhante, os matemáticos criaram um novo símbolo - arcsin (x). Lê-se como um arco-seno.

Então a solução da nossa equação será escrita da seguinte forma: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

E a solução geral: x= arcsin(5/6) + 2πk e x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
O arco-seno é o ângulo (comprimento de arco AF, AG) seno, que é igual a 5/6.

Um pouco da história do arco-seno

A história da origem do nosso símbolo é exatamente a mesma da arccos. Pela primeira vez, o símbolo arcsin aparece nas obras do matemático Scherfer e do famoso cientista francês J.L. Lagrange. Um pouco antes, o conceito de arco-seno foi considerado por D. Bernuli, embora ele o tenha escrito com outros símbolos.

Esses símbolos tornaram-se geralmente aceitos apenas no final do século XVIII. O prefixo "arco" vem do latim "arcus" (arco, arco). Isso é bastante consistente com o significado do conceito: arcsin x é um ângulo (ou você pode dizer um arco), cujo seno é igual a x.

Definição de arco-seno

Se |а|≤ 1, então arcsin(a) é um número do intervalo [- π/2; π/2], cujo seno é a.

Se |a|≤ 1, então a equação sin(x)= a tem uma solução: x= arcsin(a) + 2πk e
x= π - arco seno(a) + 2πk

Vamos reescrever:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Pessoal, vejam com atenção nossas duas soluções. O que você acha: eles podem ser escritos em uma fórmula geral? Observe que se houver um sinal de mais antes do arco-seno, então π é multiplicado por um número par 2πk, e se o sinal for menos, então o multiplicador é ímpar 2k+1.
Com isso em mente, escrevemos a fórmula geral de solução para a equação sin(x)=a:

Existem três casos em que se prefere escrever soluções de forma mais simples:

sin(x)=0, então x= πk,

sin(x)=1, então x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, então x= -π/2 + 2πk.

Para qualquer -1 ≤ a ≤ 1, vale a seguinte igualdade: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Vamos escrever uma tabela de valores de cosseno ao contrário e obter uma tabela para o arcseno.

Exemplos

1. Calcule: arcsin(√3/2).
Solução: Seja arcsin(√3/2)= x, então sin(x)= √3/2. Por definição: - π/2 ≤x≤ π/2. Vejamos os valores do seno na tabela: x= π/3, pois sin(π/3)= √3/2 e –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Resposta: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Calcule: arcsin(-1/2).
Solução: Seja arcsin(-1/2)= x, então sin(x)= -1/2. Por definição: - π/2 ≤x≤ π/2. Vejamos os valores do seno na tabela: x= -π/6, pois sin(-π/6)= -1/2 e -π/2 ≤-π/6≤ π/2.
Resposta: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Calcule: arcsin(0).
Solução: Seja arcsin(0)= x, então sin(x)= 0. Por definição: - π/2 ≤x≤ π/2. Vejamos os valores do seno na tabela: significa x = 0, porque sin(0)= 0 e - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Resposta: arcsin(0)=0.

4. Resolva a equação: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk e x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Vejamos o valor na tabela: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Resposta: x= -π/4 + 2πk e x= 5π/4 + 2πk.

5. Resolva a equação: sin(x) = 0.
Solução: Vamos usar a definição, então a solução será escrita na forma:
x= arcsin(0) + 2πk e x= π - arcsin(0) + 2πk. Vejamos o valor na tabela: arcsin(0)= 0.
Resposta: x= 2πk e x= π + 2πk

6. Resolva a equação: sin(x) = 3/5.
Solução: Vamos usar a definição, então a solução será escrita na forma:
x= arcsin(3/5) + 2πk e x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Resposta: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Resolva a desigualdade sen(x) Solução: O seno é a ordenada do ponto do círculo numérico. Então: precisamos encontrar esses pontos, cuja ordenada é menor que 0,7. Vamos desenhar uma linha reta y=0,7. Ele intercepta o círculo numérico em dois pontos. Desigualdade y Então a solução da desigualdade será: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Problemas no arco seno para solução independente

1) Calcule: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0.8).
2) Resolva a equação: a) sen(x) = 1/2, b) sen(x) = 1, c) sen(x) = √3/2, d) sen(x) = 0,25,
e) sen(x) = -1,2.
3) Resolva a desigualdade: a) sen (x)> 0,6, b) sen (x) ≤ 1/2.

Um método para derivar fórmulas para funções trigonométricas inversas é apresentado. São obtidas fórmulas para argumentos negativos, expressões relacionando o arco-seno, arco-co-seno, arco-tangente e arco-tangente. Um método para derivar fórmulas para a soma de arcos-senos, arco-senos, arco-tangentes e arco-tangentes é indicado.

Fórmulas básicas

A derivação de fórmulas para funções trigonométricas inversas é simples, mas requer controle sobre os valores dos argumentos das funções diretas. Isso se deve ao fato de que as funções trigonométricas são periódicas e, portanto, suas funções inversas são multivaloradas. Salvo indicação em contrário, as funções trigonométricas inversas significam seus valores principais. Para determinar o valor principal, o domínio de definição da função trigonométrica é reduzido ao intervalo no qual ela é monotônica e contínua. A derivação de fórmulas para funções trigonométricas inversas é baseada nas fórmulas das funções trigonométricas e nas propriedades das funções inversas como tal. As propriedades das funções inversas podem ser divididas em dois grupos.

O primeiro grupo inclui fórmulas válidas em todo o domínio das funções inversas:
sin(arcsin x) = x
cos(arcos x) = x
tg(arctg x) = x (-∞ < x < +∞ )
ctg(arctg x) = x (-∞ < x < +∞ )

O segundo grupo inclui fórmulas que são válidas apenas no conjunto de valores de funções inversas.
arcsin(sen x) = x no
arcos(cos x) = x no
arctg(tg x) = x no
arcctg(ctg x) = x no

Se a variável x não se enquadrar no intervalo acima, ela deve ser reduzida a ela usando as fórmulas das funções trigonométricas (doravante n é um inteiro):
senx = sen(-x-π); senx = sen(π-x); senx = sen(x+2πn);
cos x = cos(-x); cosx = cos(2π-x); cosx = cos(x+2πn);
tgx = tg(x+πn); ctgx = ctg(x+πn)

Por exemplo, se for sabido que
arcsin(sen x) = arcsin(sin( π - x )) = π - x .

É fácil ver que para π - x está dentro do intervalo requerido. Para fazer isso, multiplique por -1: e adicione π: ou Tudo está correto.

Funções inversas do argumento negativo

Aplicando as fórmulas e propriedades das funções trigonométricas acima, obtemos fórmulas para as funções inversas de um argumento negativo.

arcosin(-x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arco seno x

Desde então, multiplicando por -1 , temos: ou
O argumento seno está dentro do intervalo permitido do intervalo arcseno. Portanto, a fórmula está correta.

Da mesma forma para outras funções.
arcos(-x) = arcos(-cos arcos x) = arcos(cos(π-arcos x)) = π - arcos x

arctan(-x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - arctg x

arcctg(-x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x

Expressão do arco-seno em função do arco-cosseno e do arco-tangente em função da arco-tangente

Expressamos o arco-seno em termos do arco-cosseno.

A fórmula é válida para Essas desigualdades são válidas porque

Para verificar isso, multiplicamos as desigualdades por -1 : e adicionamos π/2 : ou Tudo está correto.

Da mesma forma, expressamos o arco tangente através do arco tangente.

Expressão do arco-seno através do arco-tangente, do arco-cosseno através do arco-tangente e vice-versa

Procedemos de maneira semelhante.

Fórmulas de soma e diferença

De maneira semelhante, obtemos a fórmula para a soma dos arcos senos.

Vamos estabelecer os limites de aplicabilidade da fórmula. Para não lidar com expressões complicadas, introduzimos a notação: X = arco seno x, Y = arco seno y. A fórmula é aplicável quando
. Além disso, notamos que, uma vez que arcsin(- x) = - arcsin x, arcsin(- y) = - arcsin y, então, para sinais diferentes, x e y, X e Y também têm sinais diferentes e, portanto, as desigualdades são válidas. A condição de sinais diferentes para x e y pode ser escrita com uma desigualdade: . Ou seja, quando a fórmula é válida.

Considere agora o caso x > 0 e y > 0 , ou X > 0 e Y > 0 . Então a condição para a aplicabilidade da fórmula é o cumprimento da desigualdade: . Como o cosseno diminui monotonicamente para valores do argumento no intervalo de 0 , para π, então tomamos o cosseno dos lados esquerdo e direito dessa desigualdade e transformamos a expressão:
;
;
;
.
Desde e ; então os cossenos incluídos aqui não são negativos. Ambas as partes da desigualdade são positivas. Nós os elevamos ao quadrado e convertemos os cossenos pelos senos:
;
.
Substituto sen X = sen arco sen x = x:
;
;
;
.

Portanto, a fórmula resultante é válida para ou .

Agora considere o caso x > 0, y > 0 e x 2 + y 2 > 1 . Aqui o argumento seno assume os valores: . Ele precisa ser reduzido ao intervalo da área do valor do arco seno:

Então,

em i.

Substituindo x e y por -x e -y, temos

em i.
Realizamos transformações:

em i.
Ou

em i.

Assim, temos as seguintes expressões para a soma dos arcos senos:

em ou ;

Para e ;

em e.

O que é arcseno, arcoseno? O que é arco tangente, arco tangente?

Atenção!
Existem adicionais
material na Seção Especial 555.
Para aqueles que fortemente "não muito..."
E para aqueles que "muito...")

Para conceitos arco-seno, arco-cosseno, arco-tangente, arco-tangente a população estudantil é cautelosa. Ele não entende esses termos e, portanto, não confia nessa família gloriosa.) Mas em vão. Estes são conceitos muito simples. O que, aliás, facilita muito a vida de uma pessoa experiente na hora de resolver equações trigonométricas!

Confuso sobre a simplicidade? Em vão.) Aqui e agora você estará convencido disso.

Claro, para entender, seria bom saber o que são seno, cosseno, tangente e cotangente. Sim, seus valores de tabela para alguns ângulos... Pelo menos nos termos mais gerais. Então não haverá problemas aqui também.

Então, estamos surpresos, mas lembre-se: arco-seno, arco-cosseno, arco-tangente e arco-tangente são apenas alguns ângulos. Nem mais nem menos. Há um ângulo, digamos 30°. E há um ângulo arcsin0.4. Ou arctg(-1.3). Existem todos os tipos de ângulos.) Você pode simplesmente escrever ângulos de diferentes maneiras. Você pode escrever o ângulo em graus ou radianos. Ou você pode - através de seu seno, cosseno, tangente e cotangente ...

O que significa a expressão

arco seno 0,4?

Este é o ângulo cujo seno é 0,4! Sim Sim. Este é o significado do arco-seno. Repito especificamente: arcsin 0,4 é um ângulo cujo seno é 0,4.

E é isso.

Para manter esse pensamento simples na minha cabeça por muito tempo, vou até detalhar esse termo terrível - o arco-seno:

arco pecado 0,4
canto, cujo seno é igual a 0,4

Como está escrito, assim se ouve.) Quase. Console arco significa arco(palavra arco sabe?), porque os povos antigos usavam arcos em vez de cantos, mas isso não muda a essência da questão. Lembre-se desta decodificação elementar de um termo matemático! Além disso, para arco cosseno, arco tangente e arco tangente, a decodificação difere apenas no nome da função.

O que é arcos 0.8?
Este é um ângulo cujo cosseno é 0,8.

O que é arctan(-1,3) ?
Este é um ângulo cuja tangente é -1,3.

O que é arcctg 12?
Este é um ângulo cuja cotangente é 12.

Essa decodificação elementar permite, a propósito, evitar erros épicos.) Por exemplo, a expressão arccos1,8 parece bastante sólida. Vamos começar a decodificar: arccos1,8 é um ângulo cujo cosseno é igual a 1,8... Hop-hop!? 1,8!? Cosseno não pode ser maior que um!

Certo. A expressão arccos1,8 não faz sentido. E escrever tal expressão em alguma resposta divertirá muito o verificador.)

Elementar, como você pode ver.) Cada ângulo tem seu próprio seno e cosseno. E quase todo mundo tem sua própria tangente e cotangente. Portanto, conhecendo a função trigonométrica, você pode escrever o próprio ângulo. Para isso, destinam-se arcos-senos, arco-senos, arco-tangentes e arco-tangentes. Além disso, chamarei toda essa família de diminutivo - arcos. para digitar menos.)

Atenção! Elementar verbal e consciente decifrar os arcos permite que você resolva com calma e confiança uma variedade de tarefas. E em incomum tarefas que só ela salva.

É possível mudar de arcos para graus ordinários ou radianos?- Eu ouço uma pergunta cautelosa.)

Por que não!? Facilmente. Você pode ir lá e voltar. Além disso, às vezes é necessário fazê-lo. Arcos são uma coisa simples, mas sem eles é de alguma forma mais calmo, certo?)

Por exemplo: o que é arcsin 0.5?

Vejamos a descriptografia: arcsin 0,5 é o ângulo cujo seno é 0,5. Agora ligue sua cabeça (ou Google)) e lembre-se de qual ângulo tem um seno de 0,5? O seno é 0,5 y ângulo de 30 graus. Isso é tudo o que há para isso: arcsin 0,5 é um ângulo de 30°. Você pode escrever com segurança:

arco seno 0,5 = 30°

Ou, mais solidamente, em termos de radianos:

É isso, você pode esquecer o arco-seno e trabalhar com os graus ou radianos usuais.

Se você percebeu o que é arco-seno, arco-cosseno ... O que é arco-tangente, arco-tangente ... Então você pode lidar facilmente, por exemplo, com esse monstro.)

Uma pessoa ignorante recuará horrorizada, sim...) E um conhecedor lembre-se da descriptografia: o arco-seno é o ângulo cujo seno é... Bem, e assim por diante. Se uma pessoa conhecedora também conhece a tabela dos senos... A tabela dos cossenos. Uma tabela de tangentes e cotangentes, então não há problemas!

Basta considerar que:

Vou decifrar, ou seja. traduza a fórmula em palavras: ângulo cuja tangente é 1 (arctg1)é um ângulo de 45°. Ou, o que é o mesmo, Pi/4. De forma similar:

e isso é tudo... Substituímos todos os arcos por valores em radianos, tudo é reduzido, resta calcular quanto será 1 + 1. Será 2.) Qual é a resposta correta.

É assim que você pode (e deve) passar de arcos-senos, arco-senos, arco-tangentes e arco-tangentes para graus e radianos comuns. Isso simplifica muito os exemplos assustadores!

Muitas vezes, em tais exemplos, dentro dos arcos são negativo valores. Como, arctg(-1.3), ou, por exemplo, arccos(-0.8)... Isso não é um problema. Aqui estão algumas fórmulas simples para passar de negativo para positivo:

Você precisa, digamos, determinar o valor de uma expressão:

Você pode resolver isso usando um círculo trigonométrico, mas não quer desenhá-lo. Bem, tudo bem. Indo de negativo valores dentro do arco cosseno para positivo de acordo com a segunda fórmula:

Já dentro do arcosine à direita positivo significado. o que

você só precisa saber. Resta substituir os radianos em vez do arco cosseno e calcular a resposta:

Isso é tudo.

Restrições em arco-seno, arco-seno, arco-tangente, arco-tangente.

Existe algum problema com os exemplos 7 - 9? Bem, sim, há algum truque aí.)

Todos esses exemplos, do 1º ao 9º, estão cuidadosamente organizados nas prateleiras da Seção 555. O quê, como e por quê. Com todas as armadilhas e truques secretos. Além de maneiras de simplificar drasticamente a solução. A propósito, esta seção contém muitas informações úteis e dicas práticas sobre trigonometria em geral. E não apenas em trigonometria. Ajuda muito.

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Você pode praticar a resolução de exemplos e descobrir seu nível. Testes com verificação instantânea. Aprendendo - com interesse!)

você pode se familiarizar com funções e derivadas.

São dadas definições de funções trigonométricas inversas e seus gráficos. Bem como fórmulas que relacionam funções trigonométricas inversas, fórmulas para somas e diferenças.

Definição de funções trigonométricas inversas

Como as funções trigonométricas são periódicas, as funções inversas a elas não são de valor único. Então, a equação y = pecado x, para dado , tem infinitas raízes. De fato, devido à periodicidade do seno, se x é uma tal raiz, então x + 2n(onde n é um inteiro) também será a raiz da equação. Nesse caminho, funções trigonométricas inversas são multivaloradas. Para facilitar o trabalho com eles, é introduzido o conceito de seus principais valores. Considere, por exemplo, o seno: y = pecado x. Se limitarmos o argumento x ao intervalo , então nele a função y = pecado x aumenta monotonicamente. Portanto, tem uma função inversa de valor único, que é chamada de arco-seno: x = arco seno y.

Salvo indicação em contrário, as funções trigonométricas inversas significam seus valores principais, que são definidos pelas seguintes definições.

Arcsine ( y= arco seno x) é a função inversa do seno ( x= sinuoso

Arco cosseno ( y= arcos x) é a função inversa do cosseno ( x= aconchegante) que possui um domínio de definição e um conjunto de valores.

Arctangente ( y= arco x) é a função inversa da tangente ( x= tg y) que possui um domínio de definição e um conjunto de valores.

Arco tangente ( y= arco x) é a função inversa da cotangente ( x= ctg y) que possui um domínio de definição e um conjunto de valores.

Gráficos de funções trigonométricas inversas

Gráficos de funções trigonométricas inversas são obtidos a partir de gráficos de funções trigonométricas por reflexão no espelho em relação à reta y = x. Consulte as seções Seno, cosseno, Tangente, cotangente.

y= arco seno x

y= arcos x

y= arco x

y= arco x

Fórmulas básicas

Aqui devemos prestar atenção especial aos intervalos para os quais as fórmulas são válidas.

arcsin(sen x) = x no
sin(arcsin x) = x
arcos(cos x) = x no
cos(arcos x) = x

arctg(tg x) = x no
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x no
ctg(arctg x) = x

Fórmulas que relacionam funções trigonométricas inversas

Fórmulas de soma e diferença

em ou

em e

em e

em ou

em e

em e

no

no

no

no

As funções sen, cos, tg e ctg são sempre acompanhadas por um arco-seno, arco-cosseno, arco-tangente e arco-tangente. Uma é consequência da outra, e os pares de funções são igualmente importantes para trabalhar com expressões trigonométricas.

Considere o desenho de um círculo unitário, que exibe graficamente os valores das funções trigonométricas.

Se você calcular os arcos OA, arcos OC, arctg DE e arcctg MK, então todos eles serão iguais ao valor do ângulo α. As fórmulas abaixo refletem a relação entre as principais funções trigonométricas e seus arcos correspondentes.

Para entender mais sobre as propriedades do arco-seno, é necessário considerar sua função. Cronograma tem a forma de uma curva assimétrica que passa pelo centro de coordenadas.

Propriedades do arcseno:

Se compararmos gráficos pecado e arco pecado, duas funções trigonométricas podem encontrar padrões comuns.

Arco cosseno

Arcos do número a é o valor do ângulo α, cujo cosseno é igual a a.

Curva y = arcos x espelha o gráfico de arcsin x, com a única diferença de que passa pelo ponto π/2 no eixo OY.

Considere a função arccosine com mais detalhes:

1. A função é definida no segmento [-1; 1].
2. ODZ para arcos - .
3. O gráfico está inteiramente localizado nos quartos I e II, e a função em si não é nem par nem ímpar.
4. Y = 0 para x = 1.
5. A curva diminui ao longo de todo o seu comprimento. Algumas propriedades do arco cosseno são as mesmas da função cosseno.

Algumas propriedades do arco cosseno são as mesmas da função cosseno.

É possível que um estudo tão “detalhado” dos “arcos” pareça supérfluo para os alunos. No entanto, caso contrário, algumas tarefas USE típicas elementares podem levar os alunos a um beco sem saída.

Exercício 1. Especifique as funções mostradas na figura.

Responda: arroz. 1 - 4, fig. 2 - 1.

Neste exemplo, a ênfase está nas pequenas coisas. Normalmente, os alunos são muito desatentos à construção de gráficos e à aparência das funções. De fato, por que memorizar a forma da curva, se ela sempre pode ser construída a partir de pontos calculados. Não se esqueça que, em condições de teste, o tempo gasto no desenho de uma tarefa simples será necessário para resolver tarefas mais complexas.

Arctangente

Arctg o número a é tal valor do ângulo α que sua tangente é igual a a.

Se considerarmos o gráfico do arco tangente, podemos distinguir as seguintes propriedades:

1. O gráfico é infinito e definido no intervalo (- ∞; + ∞).
2. Arctangent é uma função ímpar, portanto, arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 para x = 0.
4. A curva aumenta em todo o domínio de definição.

Vamos fazer uma breve análise comparativa de tg x e ​​arctg x em forma de tabela.

Arco tangente

Arcctg do número a - toma tal valor de α do intervalo (0; π) que sua cotangente é igual a a.

Propriedades da função arco cotangente:

1. O intervalo de definição da função é infinito.
2. A faixa de valores admissíveis é o intervalo (0; π).
3. F(x) não é nem par nem ímpar.
4. Ao longo de seu comprimento, o gráfico da função diminui.

Comparar ctg x e ​​arctg x é muito simples, basta desenhar dois desenhos e descrever o comportamento das curvas.

Tarefa 2. Correlacione o gráfico e a forma da função.

Logicamente, os gráficos mostram que ambas as funções são crescentes. Portanto, ambas as figuras exibem alguma função arctg. É conhecido pelas propriedades do arco tangente que y = 0 para x = 0,

Responda: arroz. 1 - 1, fig. 2-4.

Identidades trigonométricas arcsin, arcos, arctg e arcctg

Anteriormente, já identificamos a relação entre os arcos e as principais funções da trigonometria. Essa dependência pode ser expressa por uma série de fórmulas que permitem expressar, por exemplo, o seno de um argumento por meio de seu arco-seno, arco-cosseno ou vice-versa. O conhecimento de tais identidades pode ser útil na resolução de exemplos específicos.

Existem também razões para arctg e arcctg:

Outro par de fórmulas útil define o valor para a soma dos valores de arcsin e arcos e arcctg e arcctg do mesmo ângulo.

Exemplos de resolução de problemas

As tarefas de trigonometria podem ser divididas condicionalmente em quatro grupos: calcular o valor numérico de uma determinada expressão, plotar uma determinada função, encontrar seu domínio de definição ou ODZ e realizar transformações analíticas para resolver o exemplo.

Ao resolver o primeiro tipo de tarefas, é necessário aderir ao seguinte plano de ação:

Ao trabalhar com gráficos de funções, o principal é o conhecimento de suas propriedades e a aparência da curva. Tabelas de identidades são necessárias para resolver equações trigonométricas e desigualdades. Quanto mais fórmulas o aluno lembrar, mais fácil será encontrar a resposta para a tarefa.

Suponha que no exame seja necessário encontrar a resposta para uma equação do tipo:

Se você transformar corretamente a expressão e trazê-la para a forma desejada, resolvê-la é muito simples e rápido. Primeiro, vamos mover arcsin x para o lado direito da equação.

Se nos lembrarmos da fórmula arcsin (sinα) = α, então podemos reduzir a busca por respostas para resolver um sistema de duas equações:

A restrição no modelo x surgiu, novamente das propriedades de arcsin: ODZ for x [-1; 1]. Quando a ≠ 0, parte do sistema é uma equação quadrática com raízes x1 = 1 e x2 = - 1/a. Com a = 0, x será igual a 1.