O método gaussiano tem várias desvantagens: é impossível saber se o sistema é consistente ou não até que todas as transformações necessárias no método gaussiano tenham sido realizadas; o método gaussiano não é adequado para sistemas com coeficientes de letras.

Considere outros métodos para resolver sistemas de equações lineares. Esses métodos usam o conceito de posto de uma matriz e reduzem a solução de qualquer sistema conjunto à solução de um sistema ao qual se aplica a regra de Cramer.

Exemplo 1 Encontre a solução geral do seguinte sistema de equações lineares usando o sistema fundamental de soluções do sistema homogêneo reduzido e uma solução particular do sistema não homogêneo.

1. Fazemos uma matriz UMA e a matriz aumentada do sistema (1)

2. Explore o sistema (1) para compatibilidade. Para fazer isso, encontramos os postos das matrizes UMA e https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Se for o caso, o sistema (1) incompatível. Se conseguirmos isso , então este sistema é consistente e vamos resolvê-lo. (O estudo de consistência é baseado no teorema de Kronecker-Capelli).

uma. Nós achamos rA.

Encontrar rA, consideraremos sucessivamente menores não nulos da primeira, segunda, etc. ordens da matriz UMA e os menores que os cercam.

M1=1≠0 (1 é retirado do canto superior esquerdo da matriz MAS).

Limítrofe M1 a segunda linha e a segunda coluna desta matriz. . Continuamos na fronteira M1 a segunda linha e a terceira coluna..gif" width="37" height="20 src=">. Agora delimitamos o menor diferente de zero М2′ segunda ordem.

Nós temos: (porque as duas primeiras colunas são iguais)

(porque a segunda e terceira linhas são proporcionais).

Nós vemos que rA=2, e é a base menor da matriz UMA.

b. Nós achamos .

Menor suficientemente básico М2′ matrizes UMA borda com uma coluna de membros livres e todas as linhas (temos apenas a última linha).

. Segue-se disso que М3′′ permanece a base menor da matriz https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Como М2′- base menor da matriz UMA sistemas (2) , então este sistema é equivalente ao sistema (3) , que consiste nas duas primeiras equações do sistema (2) (por М2′ está nas duas primeiras linhas da matriz A).

(3)

Como o menor básico é https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

Neste sistema, duas incógnitas livres ( x2 e x4 ). então FSR sistemas (4) consiste em duas soluções. Para encontrá-los, atribuímos incógnitas livres a (4) valores primeiro x2=1 , x4=0 , e então - x2=0 , x4=1 .

No x2=1 , x4=0 Nós temos:

.

Este sistema já possui a única coisa solução (pode ser encontrada pela regra de Cramer ou por qualquer outro método). Subtraindo a primeira equação da segunda equação, temos:

A decisão dela será x1= -1 , x3=0 . Dados os valores x2 e x4 , que demos, obtemos a primeira solução fundamental do sistema (2) : .

Agora colocamos (4) x2=0 , x4=1 . Nós temos:

.

Resolvemos este sistema usando o teorema de Cramer:

.

Obtemos a segunda solução fundamental do sistema (2) : .

Soluções β1 , β2 e fazer as pazes FSR sistemas (2) . Então sua solução geral será

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Aqui C1 , C2 são constantes arbitrárias.

4. Encontre um privado decisão sistema heterogêneo(1) . Como no parágrafo 3 , em vez do sistema (1) Considere o sistema equivalente (5) , que consiste nas duas primeiras equações do sistema (1) .

(5)

Transferimos as incógnitas livres para o lado direito x2 e x4.

(6)

Vamos dar desconhecidos gratuitos x2 e x4 valores arbitrários, por exemplo, x2=2 , x4=1 e ligá-los em (6) . Vamos pegar o sistema

Este sistema tem uma solução única (porque seu determinante М2′0). Resolvendo (usando o teorema de Cramer ou o método de Gauss), obtemos x1=3 , x3=3 . Dados os valores das incógnitas livres x2 e x4 , Nós temos solução particular de um sistema não homogêneo(1)α1=(3,2,3,1).

5. Agora resta escrever solução geral α de um sistema não homogêneo(1) : é igual à soma decisão privada este sistema e solução geral de seu sistema homogêneo reduzido (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Isso significa: (7)

6. Exame. Para verificar se você resolveu o sistema corretamente (1) , precisamos de uma solução geral (7) substituir em (1) . Se cada equação se torna uma identidade ( C1 e C2 deve ser destruído), então a solução é encontrada corretamente.

Nós vamos substituir (7) por exemplo, apenas na última equação do sistema (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Obtemos: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Onde -1=-1. Temos uma identidade. Fazemos isso com todas as outras equações do sistema (1) .

Comente. A verificação geralmente é bastante complicada. Podemos recomendar a seguinte "verificação parcial": na solução geral do sistema (1) atribuir alguns valores a constantes arbitrárias e substituir a solução particular resultante apenas nas equações descartadas (ou seja, nas equações de (1) que não estão incluídos (5) ). Se você conseguir identidades, então mais provável, solução do sistema (1) encontrado corretamente (mas tal verificação não dá uma garantia total de correção!). Por exemplo, se em (7) por C2=- 1 , C1=1, então temos: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Substituindo na última equação do sistema (1), temos: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , ou seja, –1=–1. Temos uma identidade.

Exemplo 2 Encontrar uma solução geral para um sistema de equações lineares (1) , expressando as principais incógnitas em termos de livres.

Decisão. Como em Exemplo 1, compor matrizes UMA e https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> dessas matrizes. Agora deixamos apenas as equações do sistema (1) , cujos coeficientes estão incluídos neste menor básico (ou seja, temos as duas primeiras equações) e consideramos o sistema constituído por elas, que é equivalente ao sistema (1).

Vamos transferir as incógnitas livres para o lado direito dessas equações.

sistema (9) resolvemos pelo método gaussiano, considerando as partes certas como membros livres.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Opção 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Opção 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Opção 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Opção 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" largura="195" altura="106">

Sistemas homogêneos de equações algébricas lineares

Dentro das lições Método de Gauss e Sistemas/sistemas incompatíveis com uma solução comum nós consideramos sistemas não homogêneos de equações lineares, Onde Membro grátis(que geralmente está à direita) pelo menos um das equações foi diferente de zero.
E agora, depois de um bom aquecimento com classificação da matriz, continuaremos a aperfeiçoar a técnica transformações elementares no sistema homogêneo de equações lineares.
De acordo com os primeiros parágrafos, o material pode parecer chato e comum, mas essa impressão é enganosa. Haverá muitas informações novas, além do desenvolvimento de técnicas, portanto, tente não negligenciar os exemplos deste artigo.

O que é um sistema homogêneo de equações lineares?

A resposta sugere-se. Um sistema de equações lineares é homogêneo se o termo livre todos equação do sistema é zero. Por exemplo:

É bem claro que sistema homogêneo é sempre consistente, ou seja, sempre tem uma solução. E, em primeiro lugar, os chamados trivial decisão . Trivial, para quem não entende nada do significado do adjetivo, significa bespontovoe. Não academicamente, claro, mas de forma inteligível =) ... Por que rodeios, vamos descobrir se este sistema tem outras soluções:

Exemplo 1

Decisão: para resolver um sistema homogêneo é necessário escrever matriz do sistema e com a ajuda de transformações elementares trazê-lo para uma forma escalonada. Observe que não há necessidade de anotar a barra vertical e a coluna zero de membros livres aqui - porque o que você fizer com zeros, eles permanecerão zero:

(1) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. A primeira linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -3.

(2) A segunda linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -1.

Dividir a terceira linha por 3 não faz muito sentido.

Como resultado de transformações elementares, um sistema homogêneo equivalente é obtido , e, aplicando o movimento inverso do método gaussiano, é fácil verificar que a solução é única.

Responda:

Vamos formular um critério óbvio: um sistema homogêneo de equações lineares tem única solução trivial, E se classificação da matriz do sistema(neste caso, 3) é igual ao número de variáveis ​​(neste caso, 3 unid.).

Aquecemos e sintonizamos nosso rádio em uma onda de transformações elementares:

Exemplo 2

Resolva um sistema homogêneo de equações lineares

Do artigo Como encontrar o posto de uma matriz? lembramos o método racional de reduzir incidentalmente os números da matriz. Caso contrário, você terá que cortar peixes grandes e muitas vezes mordedores. Um exemplo de uma tarefa no final da lição.

Zeros são bons e convenientes, mas na prática o caso é muito mais comum quando as linhas da matriz do sistema linearmente dependente. E então o aparecimento de uma solução geral é inevitável:

Exemplo 3

Resolva um sistema homogêneo de equações lineares

Decisão: escrevemos a matriz do sistema e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma degrau. A primeira ação visa não apenas obter um valor único, mas também reduzir os números da primeira coluna:

(1) A terceira linha foi adicionada à primeira linha, multiplicada por -1. A terceira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. No canto superior esquerdo, obtive uma unidade com um "menos", o que geralmente é muito mais conveniente para outras transformações.

(2) As duas primeiras linhas são as mesmas, uma delas foi removida. Honestamente, eu não ajustei a decisão - aconteceu. Se você realizar transformações em um modelo, então dependência linear linhas apareceriam um pouco mais tarde.

(3) À terceira linha, adicione a segunda linha, multiplicada por 3.

(4) O sinal da primeira linha foi alterado.

Como resultado de transformações elementares, um sistema equivalente é obtido:

O algoritmo funciona exatamente da mesma forma que para sistemas heterogêneos. As variáveis ​​"sentados nos degraus" são as principais, a variável que não obteve os "degraus" é gratuita.

Expressamos as variáveis ​​básicas em termos da variável livre:

Responda: decisão comum:

A solução trivial está incluída na fórmula geral e não é necessário escrevê-la separadamente.

A verificação também é realizada de acordo com o esquema usual: a solução geral resultante deve ser substituída no lado esquerdo de cada equação do sistema e um zero legítimo é obtido para todas as substituições.

Isso poderia ser encerrado silenciosamente, mas a solução de um sistema de equações homogêneo geralmente precisa ser representada em forma de vetor através da sistema de decisão fundamental. Por favor, esqueça temporariamente geometria analítica, pois agora falaremos sobre vetores no sentido algébrico geral, que abri um pouco em um artigo sobre classificação da matriz. A terminologia não é necessária para sombrear, tudo é bastante simples.

Exemplo 1 . Encontre uma solução geral e algum sistema fundamental de soluções para o sistema

Decisão encontrar com uma calculadora. O algoritmo de solução é o mesmo para sistemas de equações lineares não homogêneas.
Operando apenas com linhas, encontramos o posto da matriz, o menor básico; declaramos incógnitas dependentes e livres e encontramos a solução geral.

A primeira e a segunda linhas são proporcionais, uma delas será excluída:

.
Variáveis ​​dependentes - x 2, x 3, x 5, livre - x 1, x 4. Da primeira equação 10x 5 = 0 encontramos x 5 = 0, então
; .
A solução geral se parece com:

Encontramos o sistema fundamental de soluções, que consiste em (n-r) soluções. No nosso caso, n=5, r=3, portanto, o sistema fundamental de soluções consiste em duas soluções, e essas soluções devem ser linearmente independentes. Para que as linhas sejam linearmente independentes, é necessário e suficiente que o posto da matriz composta pelos elementos das linhas seja igual ao número de linhas, ou seja, 2. Basta dar as incógnitas livres x 1 e x 4 valores das linhas do determinante de segunda ordem, que é diferente de zero, e calcule x 2 , x 3 , x 5 . O determinante não nulo mais simples é .
Então a primeira solução é: , o segundo - .
Essas duas decisões constituem o sistema de decisão fundamental. Observe que o sistema fundamental não é único (determinantes diferentes de zero podem ser compostos quantos você quiser).

Exemplo 2 . Encontre a solução geral e o sistema fundamental de soluções do sistema
Decisão.



,
segue-se que o posto da matriz é 3 e é igual ao número de incógnitas. Isso significa que o sistema não possui incógnitas livres e, portanto, possui uma solução única - trivial.

Exercício . Explorar e resolver um sistema de equações lineares.
Exemplo 4

Exercício . Encontre soluções gerais e particulares para cada sistema.
Decisão. Escrevemos a matriz principal do sistema:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

Trazemos a matriz para uma forma triangular. Trabalharemos apenas com linhas, pois multiplicar uma linha de uma matriz por um número diferente de zero e adicioná-la a outra linha para o sistema significa multiplicar a equação pelo mesmo número e adicioná-la a outra equação, o que não altera a solução do sistema.
Multiplique a 2ª linha por (-5). Vamos adicionar a 2ª linha à 1ª:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Multiplique a 2ª linha por (6). Multiplique a 3ª linha por (-1). Vamos adicionar a 3ª linha à 2ª:
Encontre o posto da matriz.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x2	x 3	x4	x5

O menor destacado tem a ordem mais alta (dos menores possíveis) e é diferente de zero (é igual ao produto dos elementos na diagonal recíproca), portanto rang(A) = 2.
Este menor é básico. Inclui coeficientes para desconhecidos x 1, x 2, o que significa que os desconhecidos x 1, x 2 são dependentes (básicos) e x 3, x 4, x 5 são livres.
Transformamos a matriz, deixando apenas a menor básica à esquerda.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x2	x4	x 3	x5

O sistema com os coeficientes desta matriz é equivalente ao sistema original e tem a forma:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x1 + 2x2 = - 2x4 - 11x3 - 6x5
Pelo método de eliminação de incógnitas, encontramos solução não trivial:
Obtivemos relações expressando variáveis ​​dependentes x 1 ,x 2 através de x 3 ,x 4 ,x 5 livre, ou seja, encontramos decisão comum:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x 1 = - 0,55 x 4 - 1,82 x 3 - 0,64 x 5
Encontramos o sistema fundamental de soluções, que consiste em (n-r) soluções.
No nosso caso, n=5, r=2, portanto, o sistema fundamental de soluções consiste em 3 soluções, e essas soluções devem ser linearmente independentes.
Para que as linhas sejam linearmente independentes, é necessário e suficiente que o posto da matriz composta pelos elementos das linhas seja igual ao número de linhas, ou seja, 3.
Basta dar as incógnitas livres x 3 ,x 4 ,x 5 valores das linhas do determinante de 3ª ordem, diferente de zero, e calcular x 1 ,x 2 .
O determinante não nulo mais simples é a matriz identidade.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Tarefa . Encontre um conjunto fundamental de soluções para um sistema homogêneo de equações lineares.

Mesmo na escola, cada um de nós estudava equações e, com certeza, sistemas de equações. Mas muitas pessoas não sabem que existem várias maneiras de resolvê-los. Hoje vamos analisar em detalhes todos os métodos para resolver um sistema de equações algébricas lineares, que consistem em mais de duas igualdades.

História

Hoje sabe-se que a arte de resolver equações e seus sistemas teve origem na antiga Babilônia e no Egito. No entanto, as igualdades em sua forma usual apareceram após o aparecimento do sinal de igual "=", que foi introduzido em 1556 pelo matemático inglês Record. A propósito, esse sinal foi escolhido por um motivo: significa dois segmentos paralelos iguais. De fato, não há melhor exemplo de igualdade.

O fundador das modernas designações de letras de incógnitas e sinais de graus é um matemático francês, mas suas designações diferiam significativamente das atuais. Por exemplo, ele denotava o quadrado de um número desconhecido com a letra Q (lat. "quadratus"), e o cubo com a letra C (lat. "cubus"). Essas notações parecem estranhas agora, mas naquela época era a maneira mais compreensível de escrever sistemas de equações algébricas lineares.

No entanto, uma desvantagem nos métodos de solução da época era que os matemáticos consideravam apenas raízes positivas. Talvez isso se deva ao fato de que os valores negativos não tiveram uso prático. De uma forma ou de outra, foram os matemáticos italianos Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano e Rafael Bombelli os primeiros a considerar as raízes negativas no século XVI. E na visão moderna, o principal método de solução (através do discriminante) foi criado apenas no século XVII graças ao trabalho de Descartes e Newton.

Em meados do século 18, o matemático suíço Gabriel Cramer encontrou uma nova maneira de facilitar a resolução de sistemas de equações lineares. Este método foi posteriormente nomeado em sua homenagem e até hoje o usamos. Mas falaremos sobre o método de Cramer um pouco mais tarde, mas por enquanto discutiremos equações lineares e métodos para resolvê-las separadamente do sistema.

Equações lineares

As equações lineares são as igualdades mais simples com variável(eis). Eles são classificados como algébricos. escreva na forma geral da seguinte forma: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... e n * x n \u003d b. Precisaremos de sua representação nesta forma ao compilar sistemas e matrizes ainda mais.

Sistemas de equações algébricas lineares

A definição deste termo é a seguinte: é um conjunto de equações que possuem incógnitas comuns e uma solução comum. Via de regra, na escola, tudo era resolvido por sistemas com duas ou até três equações. Mas existem sistemas com quatro ou mais componentes. Vamos primeiro descobrir como escrevê-los para que seja conveniente resolvê-los mais tarde. Primeiro, os sistemas de equações algébricas lineares ficarão melhores se todas as variáveis ​​forem escritas como x com o índice apropriado: 1,2,3 e assim por diante. Em segundo lugar, todas as equações devem ser trazidas para a forma canônica: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

Depois de todas essas ações, podemos começar a falar sobre como encontrar uma solução para sistemas de equações lineares. As matrizes são muito úteis para isso.

matrizes

Uma matriz é uma tabela que consiste em linhas e colunas, e em sua interseção estão seus elementos. Estes podem ser valores específicos ou variáveis. Na maioria das vezes, para designar elementos, os subscritos são colocados abaixo deles (por exemplo, 11 ou 23). O primeiro índice significa o número da linha e o segundo o número da coluna. Em matrizes, assim como em qualquer outro elemento matemático, você pode realizar várias operações. Assim, você pode:

2) Multiplique uma matriz por algum número ou vetor.

3) Transpor: transforme as linhas da matriz em colunas e as colunas em linhas.

4) Multiplique as matrizes se o número de linhas de uma delas for igual ao número de colunas da outra.

Discutiremos todas essas técnicas com mais detalhes, pois elas serão úteis para nós no futuro. Subtrair e adicionar matrizes é muito fácil. Como tomamos matrizes do mesmo tamanho, cada elemento de uma tabela corresponde a cada elemento de outra. Assim, somamos (subtraímos) esses dois elementos (é importante que estejam nos mesmos lugares em suas matrizes). Ao multiplicar uma matriz por um número ou vetor, basta multiplicar cada elemento da matriz por esse número (ou vetor). A transposição é um processo muito interessante. Às vezes é muito interessante vê-lo na vida real, por exemplo, ao alterar a orientação de um tablet ou telefone. Os ícones na área de trabalho são uma matriz e, quando você altera a posição, ela se transpõe e fica mais larga, mas diminui em altura.

Vamos analisar um processo como Embora não seja útil para nós, ainda será útil conhecê-lo. Você pode multiplicar duas matrizes somente se o número de colunas em uma tabela for igual ao número de linhas na outra. Agora vamos pegar os elementos de uma linha de uma matriz e os elementos da coluna correspondente de outra. Nós os multiplicamos um pelo outro e depois os somamos (ou seja, por exemplo, o produto dos elementos a 11 e a 12 por b 12 e b 22 será igual a: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Assim, um elemento da tabela é obtido e é preenchido por um método semelhante.

Agora podemos começar a considerar como o sistema de equações lineares é resolvido.

Método de Gauss

Este tópico começa na escola. Conhecemos bem o conceito de "sistema de duas equações lineares" e sabemos como resolvê-los. Mas e se o número de equações for maior que dois? Isso vai nos ajudar

Obviamente, esse método é conveniente de usar se você fizer uma matriz do sistema. Mas você não pode transformá-lo e resolvê-lo em sua forma pura.

Então, como o sistema de equações gaussianas lineares é resolvido por esse método? A propósito, embora esse método tenha o nome dele, foi descoberto nos tempos antigos. Gauss propõe o seguinte: realizar operações com equações para eventualmente reduzir todo o conjunto a uma forma escalonada. Ou seja, é necessário que de cima para baixo (se colocado corretamente) da primeira equação à última, uma incógnita diminua. Em outras palavras, precisamos ter certeza de obter, digamos, três equações: na primeira - três incógnitas, na segunda - duas, na terceira - uma. Então, da última equação, encontramos a primeira incógnita, substituímos seu valor na segunda ou na primeira equação e, em seguida, encontramos as duas variáveis ​​restantes.

Método Cramer

Para dominar esse método, é vital dominar as habilidades de adição, subtração de matrizes e você também precisa encontrar determinantes. Portanto, se você fizer tudo isso mal ou não souber como fazer, terá que aprender e praticar.

Qual é a essência desse método e como fazê-lo obter um sistema de equações lineares de Cramer? Tudo é muito simples. Temos que construir uma matriz a partir de coeficientes numéricos (quase sempre) de um sistema de equações algébricas lineares. Para fazer isso, simplesmente pegamos os números na frente das incógnitas e os colocamos na tabela na ordem em que estão escritos no sistema. Se o número for precedido por um sinal "-", escrevemos um coeficiente negativo. Assim, compilamos a primeira matriz a partir dos coeficientes das incógnitas, não incluindo os números após os sinais de igual (naturalmente, a equação deve ser reduzida à forma canônica, quando apenas o número está à direita e todas as incógnitas com coeficientes à esquerda). Então você precisa criar várias outras matrizes - uma para cada variável. Para fazer isso, na primeira matriz, por sua vez, substituímos cada coluna por coeficientes por uma coluna de números após o sinal de igual. Assim, obtemos várias matrizes e depois encontramos seus determinantes.

Depois de encontrarmos os determinantes, a questão é pequena. Temos uma matriz inicial e existem várias matrizes resultantes que correspondem a diferentes variáveis. Para obter as soluções do sistema, dividimos o determinante da tabela resultante pelo determinante da tabela inicial. O número resultante é o valor de uma das variáveis. Da mesma forma, encontramos todas as incógnitas.

Outros métodos

Existem vários outros métodos para obter uma solução para sistemas de equações lineares. Por exemplo, o chamado método de Gauss-Jordan, que é usado para encontrar soluções para um sistema de equações quadráticas e também está associado ao uso de matrizes. Existe também um método de Jacobi para resolver um sistema de equações algébricas lineares. É o mais fácil de se adaptar a um computador e é usado em informática.

Casos difíceis

A complexidade geralmente surge quando o número de equações é menor que o número de variáveis. Então podemos dizer com certeza que ou o sistema é inconsistente (ou seja, não tem raízes), ou o número de suas soluções tende ao infinito. Se tivermos o segundo caso, precisamos escrever a solução geral do sistema de equações lineares. Ele conterá pelo menos uma variável.

Conclusão

Aqui chegamos ao fim. Vamos resumir: analisamos o que são um sistema e uma matriz, aprendemos a encontrar uma solução geral para um sistema de equações lineares. Além disso, outras opções foram consideradas. Descobrimos como um sistema de equações lineares é resolvido: o método de Gauss e falamos sobre casos difíceis e outras maneiras de encontrar soluções.

Na verdade, este tópico é muito mais extenso e, se você quiser entendê-lo melhor, recomendamos que você leia literatura mais especializada.

Continuaremos a aperfeiçoar a técnica transformações elementares no sistema homogêneo de equações lineares.
De acordo com os primeiros parágrafos, o material pode parecer chato e comum, mas essa impressão é enganosa. Haverá muitas informações novas, além do desenvolvimento de técnicas, portanto, tente não negligenciar os exemplos deste artigo.

O que é um sistema homogêneo de equações lineares?

A resposta sugere-se. Um sistema de equações lineares é homogêneo se o termo livre todos equação do sistema é zero. Por exemplo:

É bem claro que sistema homogêneo é sempre consistente, ou seja, sempre tem uma solução. E, em primeiro lugar, os chamados trivial decisão . Trivial, para quem não entende nada do significado do adjetivo, significa bespontovoe. Não academicamente, claro, mas de forma inteligível =) ... Por que rodeios, vamos descobrir se este sistema tem outras soluções:

Exemplo 1

Decisão: para resolver um sistema homogêneo é necessário escrever matriz do sistema e com a ajuda de transformações elementares trazê-lo para uma forma escalonada. Observe que não há necessidade de anotar a barra vertical e a coluna zero de membros livres aqui - porque o que você fizer com zeros, eles permanecerão zero:

(1) A primeira linha foi adicionada à segunda linha, multiplicada por -2. A primeira linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -3.

(2) A segunda linha foi adicionada à terceira linha, multiplicada por -1.

Dividir a terceira linha por 3 não faz muito sentido.

Como resultado de transformações elementares, um sistema homogêneo equivalente é obtido , e, aplicando o movimento inverso do método gaussiano, é fácil verificar que a solução é única.

Responda:

Vamos formular um critério óbvio: um sistema homogêneo de equações lineares tem única solução trivial, E se classificação da matriz do sistema(neste caso, 3) é igual ao número de variáveis ​​(neste caso, 3 unid.).

Aquecemos e sintonizamos nosso rádio em uma onda de transformações elementares:

Exemplo 2

Resolva um sistema homogêneo de equações lineares

Para finalmente corrigir o algoritmo, vamos analisar a tarefa final:

Exemplo 7

Resolva um sistema homogêneo, escreva a resposta na forma vetorial.

Decisão: escrevemos a matriz do sistema e, usando transformações elementares, trazemos para uma forma escalonada:

(1) O sinal da primeira linha foi alterado. Mais uma vez, chamo a atenção para a técnica repetida repetidamente, que permite simplificar significativamente a ação a seguir.

(1) A primeira linha foi adicionada às 2ª e 3ª linhas. A primeira linha multiplicada por 2 foi adicionada à 4ª linha.

(3) As últimas três linhas são proporcionais, duas delas foram removidas.

Como resultado, uma matriz de etapas padrão é obtida e a solução continua ao longo da trilha serrilhada:

– variáveis ​​básicas;
são variáveis ​​livres.

Expressamos as variáveis ​​básicas em termos de variáveis ​​livres. Da 2ª equação:

- substituir na 1ª equação:

Então a solução geral é:

Como há três variáveis ​​livres no exemplo em consideração, o sistema fundamental contém três vetores.

Vamos substituir um triplo de valores na solução geral e obter um vetor cujas coordenadas satisfazem cada equação do sistema homogêneo. E, novamente, repito que é altamente desejável verificar cada vetor recebido - não levará muito tempo, mas economizará cem por cento dos erros.

Para um triplo de valores encontre o vetor

E finalmente para o triplo obtemos o terceiro vetor:

Responda: , Onde

Aqueles que desejam evitar valores fracionários podem considerar trigêmeos e obtenha a resposta na forma equivalente:

Falando em frações. Vejamos a matriz obtida no problema e faça a pergunta - é possível simplificar a solução adicional? Afinal, aqui primeiro expressamos a variável básica em termos de frações, depois a variável básica em termos de frações e, devo dizer, esse processo não foi o mais fácil e nem o mais agradável.

A segunda solução:

A ideia é tentar escolha outras variáveis ​​básicas. Vamos olhar para a matriz e notar duas unidades na terceira coluna. Então, por que não obter zero no topo? Vamos fazer mais uma transformação elementar: