Primitivo. Linda palavra.) Para começar, um pouco de russo. É assim que a palavra é pronunciada, não "primordial" como pode parecer. A primitiva é o conceito básico de todo o cálculo integral. Quaisquer integrais - indefinidas, definidas (você se familiarizará com elas já neste semestre), bem como duplas, triplas, curvilíneas, de superfície (e esses são os personagens principais do segundo ano) - são construídas sobre esse conceito-chave. Faz todo o sentido dominar. Vai.)

Antes de nos familiarizarmos com o conceito de antiderivada, vamos relembrar em termos mais gerais os mais comuns derivado. Sem entrar na chata teoria dos limites, incrementos do argumento e outras coisas, podemos dizer que encontrar a derivada (ou diferenciação) é apenas uma operação matemática sobre função. E é isso. Qualquer função é tomada (por exemplo, f(x) = x2) e de acordo com certas regras se transforma em novo recurso. E este é aquele novo recurso e chamou derivado.

No nosso caso, antes da diferenciação havia uma função f(x) = x2, e após a diferenciação tornou-se já outra função f'(x) = 2x.

Derivado– porque nossa nova função f'(x) = 2x ocorrido da função f(x) = x2. Como resultado da operação de diferenciação. E, além disso, é a partir dele, e não de alguma outra função ( x 3, por exemplo).

A grosso modo, f(x) = x2- esta é a mãe, f'(x) = 2x- sua amada filha.) Isso é compreensível. Ir em frente.

Os matemáticos são pessoas inquietas. Para cada ação eles tentam encontrar uma reação. :) Há adição - também há subtração. Há multiplicação e há divisão. Elevar a uma potência é extrair uma raiz. O seno é o arco seno. Existe exatamente o mesmo diferenciação Isso significa que existe... integração.)

E agora vamos colocar um problema tão interessante. Temos, por exemplo, uma função tão simples f(x) = 1. E precisamos responder a esta pergunta:

A derivada da função WHAT nos dá a funçãof(x) = 1?

Em outras palavras, vendo a filha, usando análise de DNA, descubra quem é sua mãe. :) Então, do que original função (vamos chamá-la de F(x)) nossa derivado função f(x) = 1? Ou, na forma matemática, para que função F(x) a igualdade é satisfeita:

F'(x) = f(x) = 1?

Um exemplo elementar. Eu tentei.) Nós apenas escolhemos a função F(x) para que a igualdade funcione. :) Bem, como você pegou isso? Ah com certeza! F(x) = x. Porque:

F'(x) = x' = 1 = f(x).

Claro, encontrei a mamãe F(x) = x você tem que chamá-lo de alguma coisa, sim.) Me encontre!

Uma primitiva para uma funçãof(x) é uma funçãoF(x), cuja derivada é igual af(x), ou seja, para a qual a igualdadeF’(x) = f(x).

Isso é tudo. Chega de truques científicos. Na definição estrita, uma frase adicional é adicionada "entre x". Mas não vamos nos aprofundar nessas sutilezas por enquanto, porque nossa tarefa principal é aprender a encontrar esses mesmos primitivos.

No nosso caso, acontece que a função F(x) = xé primitivo para função f(x) = 1.

Por quê? Porque F'(x) = f(x) = 1. A derivada de x é a unidade. Sem objeções.)

O termo "primordial" de forma filistéia significa "ancestral", "pai", "ancestral". Imediatamente nos lembramos da pessoa mais querida e próxima.) E a busca pela própria antiderivada é a restauração da função original por seu derivado conhecido. Em outras palavras, essa ação inverso da diferenciação. E é isso! Este processo fascinante em si também é chamado cientificamente - integração. Mas sobre integrais- mais tarde. Paciência, amigos!

Lembrar:

A integração é uma operação matemática em uma função (assim como a diferenciação).

A integração é o inverso da diferenciação.

A primitiva é o resultado da integração.

Agora vamos complicar a tarefa. Vamos agora encontrar a primitiva para a função f(x) = x. Ou seja, vamos encontrar tal função F(x) , para seu derivado seria igual a x:

F'(x) = x

Quem é amigo de derivativos, talvez algo assim venha à mente:

(x 2)' = 2x.

Bom, respeito e respeito a quem lembra da tabela de derivativos!) Isso mesmo. Mas há um problema. Nossa função original f(x) = x, uma (x2)' = 2 x. Dois X. E após a diferenciação, devemos obter apenas x. Não está bem. Mas…

Somos um povo científico. Recebemos certificados.) E sabemos da escola que ambas as partes de qualquer igualdade podem ser multiplicadas e divididas pelo mesmo número (exceto zero, é claro)! Então arranjado. Vamos aproveitar esta oportunidade.)

Afinal, queremos que um X limpo permaneça à direita, certo? E o deuce interfere... Então pegamos a razão para a derivada (x 2) '= 2x e dividimos ambas as partes para estes dois:

Então, está esclarecendo algumas coisas. Ir em frente. Sabemos que qualquer constante pode ser tire-o do sinal da derivada. Assim:

Todas as fórmulas em matemática funcionam da esquerda para a direita e vice-versa - da direita para a esquerda. Isso significa que, com o mesmo sucesso, qualquer constante pode ser inserir sob o sinal de derivada:

No nosso caso, escondemos os dois no denominador (ou, que é o mesmo, o coeficiente 1/2) sob o sinal da derivada:

E agora com cuidado Vamos dar uma olhada no nosso registro. O que vemos? Vemos uma igualdade dizendo que a derivada de algo(isto é algo- entre parênteses) é igual a x.

A igualdade resultante significa apenas que a primitiva desejada para a função f(x) = x serve a função F(x) = x2/2 . O que está entre colchetes sob o traço. Diretamente de acordo com o significado da primitiva.) Bem, vamos verificar o resultado. Vamos encontrar a derivada:

Excelente! Tem a função original f(x) = x. Do que dançaram, ao que voltaram. Isso significa que nossa primitiva foi encontrada corretamente.)

E se f(x) = x2? Qual é a sua primitiva igual a? Sem problemas! Você e eu sabemos (novamente, pelas regras de diferenciação) que:

3x2 = (x3)'

E, isso é,

Entendi? Agora nós, imperceptivelmente para nós mesmos, aprendemos a contar as primitivas para qualquer função de potência f(x)=x n. Na mente.) Tomamos o indicador inicial n, aumentamos em um, e como compensação dividimos toda a estrutura por n+1:

A fórmula resultante, aliás, é válida não só para o indicador natural grau n, mas também para qualquer outro - negativo, fracionário. Isso torna mais fácil encontrar primitivas de simples frações e raízes.

Por exemplo:

Naturalmente, n ≠ -1 , caso contrário, o denominador da fórmula é zero e a fórmula perde seu significado.) Sobre este caso especial n=-1 um pouquinho mais tarde.)

O que é uma integral indefinida? Tabela de integrais.

Digamos qual é a derivada da função F(x) = x? Bem, um, um - ouço respostas insatisfeitas... Isso mesmo. Unidade. Mas… Para a função G(x) = x+1 derivado também será igual a um.:

Além disso, a derivada será igual a um para a função x+1234 , e para a função x-10 , e para qualquer outra função da forma x+C , Onde A PARTIR DE é qualquer constante. Pois a derivada de qualquer constante é igual a zero, e da adição/subtração de zero, ninguém é frio ou quente.)

Acontece ambiguidade. Acontece que para a função f(x) = 1 serve como protótipo não apenas uma função F(x) = x , mas também a função F 1 (x) = x+1234 e função F 2 (x) = x-10 e assim por diante!

Sim. Isso mesmo.) Para todos ( contínuo no intervalo) da função, não há apenas uma primitiva, mas infinitamente muitos - uma família inteira! Não uma mãe ou pai, mas todo um pedigree, sim.)

Mas! Todos os nossos parentes primitivos têm uma propriedade importante em comum. É por isso que eles são parentes.) A propriedade é tão importante que, no processo de análise dos métodos de integração, nos lembraremos dela mais de uma vez. E vamos lembrar por muito tempo.)

Aqui está, esta propriedade:

Quaisquer duas primitivas F 1 (x) eF 2 (x) da mesma funçãof(x) diferem por uma constante:

F 1 (x) - F 2 (x) = C.

Quem se importa com a prova - estude a literatura ou notas de aula.) Ok, que assim seja, eu vou provar. Felizmente, a prova aqui é elementar, em uma etapa. Tomamos a igualdade

F 1 (x) - F 2 (x) = C

e Vamos diferenciar as duas partes. Ou seja, nós estupidamente colocamos traços:

Isso é tudo. Como se costuma dizer, CTD. :)

O que esta propriedade diz? E que dois primitivos diferentes da mesma função f(x) não pode diferir por alguma expressão com x . Apenas estritamente em uma constante! Em outras palavras, se tivermos um gráfico de algum tipo um dos pioneiros(seja F(x)), então os gráficos todos os outros de nossas primitivas são construídas pela tradução paralela do gráfico F(x) ao longo do eixo y.

Vamos ver como fica na função de exemplo f(x) = x. Todas as suas primitivas, como já sabemos, têm a forma geral F(x) = x 2 /2+C . Na foto parece um número infinito de parábolas obtido da parábola "principal" y = x 2 /2 deslocando-se para cima ou para baixo ao longo do eixo OY dependendo do valor da constante A PARTIR DE.

Lembre-se da escola plotando uma função y=f(x)+a mudança de horário y=f(x) por unidades "a" ao longo do eixo y?) Aqui é o mesmo.)

E, preste atenção: nossas parábolas não cruze em qualquer lugar!É natural. Afinal, duas funções diferentes y 1 (x) e y 2 (x) irão inevitavelmente corresponder dois valores diferentes da constante – A partir de 1 e De 2.

Portanto, a equação y 1 (x) = y 2 (x) nunca tem soluções:

C 1 = C 2

x ∊ ∅ , Porque C 1 ≠ C2

E agora abordamos suavemente o segundo conceito fundamental do cálculo integral. Como acabamos de estabelecer, para qualquer função f(x) existe um conjunto infinito de primitivas F(x) + C que diferem entre si por uma constante. Este conjunto mais infinito também tem seu próprio nome especial.) Bem, por favor, ame e favoreça!

O que é uma integral indefinida?

O conjunto de todas as primitivas de uma função f(x) é chamado integral indefinida da funçãof(x).

Essa é toda a definição.)

"Incerto" - porque o conjunto de todas as primitivas para a mesma função infinitamente. Muitas opções.)

"Integrante" - nos familiarizaremos com uma decodificação detalhada dessa palavra brutal na próxima grande seção sobre integrais definidas. Enquanto isso, de forma grosseira, consideraremos como integral algo geral, um, todo. E a integração uma associação, generalização, neste caso, a transição do particular (derivada) para o geral (antiderivadas). Algo parecido.

A integral indefinida é denotada da seguinte forma:

Lê-se da mesma forma que está escrito: eff integral de x de x. Ou integrante a partir de ef de x de x. Bem, você entendeu.)

Agora vamos lidar com a notação.

∫ - ícone integral. O significado é o mesmo que o traço para a derivada.)

d - íconediferencial. Não temos medo! Por que é necessário lá - um pouco mais baixo.

f(x) - integrando(através de "s").

f(x)dx - integrando. Ou, grosso modo, o "recheio" da integral.

De acordo com o significado da integral indefinida,

Aqui F(x)- o mesmo antiderivada para função f(x) que nós de alguma forma se encontraram. Como exatamente eles descobriram não é o ponto. Por exemplo, estabelecemos que F(x) = x2/2 por f(x)=x.

"A PARTIR DE" - constante arbitrária. Ou, mais cientificamente, constante integral. Ou constante de integração. Tudo é um.)

Agora vamos voltar aos nossos primeiros exemplos de antiderivadas. Em termos da integral indefinida, podemos agora escrever com segurança:

O que é uma constante integral e por que ela é necessária?

A pergunta é muito interessante. E muito (MUITO!) importante. A constante integral de todo o conjunto infinito de primitivas destaca essa linha, que passa pelo ponto dado.

Qual é o ponto. Do conjunto infinito original de primitivas (ou seja, integral indefinida) é necessário selecionar a curva que passará pelo ponto dado. Com algum coordenadas específicas. Tal tarefa é sempre e em toda parte encontrada durante o conhecimento inicial das integrais. Tanto na escola quanto na universidade.

Problema típico:

Dentre o conjunto de todas as primitivas da função f=x selecione aquela que passa pelo ponto (2;2).

Começamos a pensar com nossas cabeças ... O conjunto de todos os primitivos - isso significa que primeiro você precisa integrar nossa função original. Ou seja, x(x). Fizemos isso um pouco mais alto e obtivemos a seguinte resposta:

E agora entendemos o que exatamente temos. Recebemos não apenas uma função, mas toda uma família de funções. Quais? Vida y=x2/2+C . Dependendo do valor da constante C. E agora temos que "pegar" esse valor da constante.) Bem, vamos pegar?)

Nossa vara de pescar - família de curvas (parábolas) y=x2/2+C.

Constantes - estes são peixes. Muitíssimo. Mas cada um tem seu próprio anzol e isca.)

E qual é a isca? Corretamente! Nosso ponto é (-2;2).

Então substituímos as coordenadas do nosso ponto na forma geral de antiderivadas! Nós temos:

y(2) = 2

A partir daqui é fácil encontrar C=0.

O que significa siyo? Isso significa que de todo o conjunto infinito de parábolas da formay=x2/2+Csó parábola com constante C=0 Nos serve! Nomeadamente:y=x2/2. E só ela. Somente esta parábola passará pelo ponto que precisamos (-2; 2). E emtodas as outras parábolas de nossa família passam este ponto não será mais. Através de alguns outros pontos do plano - sim, mas através do ponto (2; 2) - não mais. Entendi?

Para maior clareza, aqui estão duas imagens para você - toda a família de parábolas (ou seja, a integral indefinida) e algumas parábola de concreto correspondente a valor específico da constante e passando por ponto específico:

Veja como é importante considerar uma constante A PARTIR DE ao integrar! Portanto, não negligencie esta letra "C" e não se esqueça de atribuir à resposta final.

E agora vamos descobrir por que o símbolo aparece em todos os lugares dentro das integrais dx . Os alunos muitas vezes esquecem disso... E isso, aliás, também é um erro! E bem áspero. A questão é que a integração é o inverso da diferenciação. E o que é exatamente o resultado da diferenciação? Derivado? Verdade, mas não realmente. Diferencial!

No nosso caso, para a função f(x) diferencial de sua antiderivada F(x), vai ser:

Quem não entende essa cadeia - repita com urgência a definição e o significado do diferencial e como exatamente ele é revelado! Caso contrário, você vai desacelerar impiedosamente em integrais ....

Deixe-me lembrá-lo, da forma mais grosseira e filisteia, que a diferencial de qualquer função f(x) é simplesmente o produto f'(x)dx. E é isso! Pegue a derivada e multiplique ao diferencial do argumento(ou seja, dx). Ou seja, qualquer diferencial, de fato, se reduz ao cálculo do derivado.

Portanto, estritamente falando, a integral é "tirada" não de funções f(x), como comumente se acredita, e diferencial f(x)dx! Mas, numa versão simplificada, costuma-se dizer que "a integral é tirada da função". Ou: "Integra a função f(x)". Esse é o mesmo. E diremos o mesmo. Mas sobre o ícone dx Mas não esqueçamos! :)

E agora vou lhe dizer como não esquecê-lo durante a gravação. Imagine primeiro que você está calculando a derivada ordinária em relação à variável x. Como você costuma escrevê-lo?

Assim: f'(x), y'(x), y'x. Ou mais solidamente, pela razão de diferenciais: dy/dx. Todos esses registros nos mostram que a derivada é tomada precisamente por x. E não por "y", "te" ou alguma outra variável.)

O mesmo vale para as integrais. Gravação ∫ f(x)dx nós também Até parece mostra que a integração é feita exatamente pela variável x. Claro, tudo isso é muito simplificado e grosseiro, mas é claro, espero. E as probabilidades esquecer atribuir o onipresente dx cair bruscamente.)

Então, o que é a mesma integral indefinida - descobri. Ótimo.) Agora seria bom aprender essas integrais muito indefinidas calcular. Ou, simplesmente, "pegue". :) E aqui os alunos estão esperando por duas notícias - boas e não tão boas. Por enquanto, vamos começar com o bom.)

A notícia é boa. Para integrais, bem como para derivadas, existe uma tabela. E todas as integrais que encontraremos ao longo do caminho, mesmo as mais terríveis e extravagantes, de acordo com certas regras vamos de alguma forma reduzir a esses mesmos tabulares.)

Então aqui está ela mesa integrada!

Aqui está uma bela tabela de integrais das funções mais populares. Recomendo prestar atenção especial ao grupo de fórmulas 1-2 (constante e função de potência). Estas são as fórmulas mais comuns em integrais!

O terceiro grupo de fórmulas (trigonometria), como você pode imaginar, é obtido simplesmente invertendo as fórmulas correspondentes para as derivadas.

Por exemplo:

Com o quarto grupo de fórmulas (função exponencial) - tudo é semelhante.

E aqui estão os últimos quatro grupos de fórmulas (5-8) para nós novo. De onde elas vieram e por quais méritos essas funções exóticas entraram de repente na tabela de integrais básicas? Por que esses grupos de funções se destacam tanto do resto das funções?

Assim aconteceu historicamente no processo de desenvolvimento métodos de integração . Quando treinarmos para tirar as mais diversas integrais, você entenderá que as integrais das funções listadas na tabela são muito, muito comuns. Tantas vezes que os matemáticos as classificaram como tabulares.) Muitas outras integrais são expressas através delas, a partir de construções mais complexas.

Por uma questão de interesse, você pode pegar uma dessas fórmulas terríveis e diferenciar. :) Por exemplo, a 7ª fórmula mais brutal.

Tudo está bem. Os matemáticos não enganaram. :)

É desejável conhecer a tabela de integrais, bem como a tabela de derivadas, de cor. Em qualquer caso, os primeiros quatro grupos de fórmulas. Não é tão difícil quanto parece à primeira vista. Memorize os últimos quatro grupos (com frações e raízes) tchau não vale a pena. De qualquer forma, a princípio você ficará confuso onde escrever o logaritmo, onde está o arco tangente, onde está o arco seno, onde é 1/a, onde é 1/2a ... Só há uma saída - resolver mais exemplos. Então a mesa gradualmente será lembrada por si mesma e as dúvidas pararão de mordiscar.)

Pessoas particularmente curiosas, olhando atentamente para a mesa, podem perguntar: onde estão as integrais de outras funções "escolares" elementares - tangente, logaritmo, "arcos" na mesa? Digamos por que há uma integral do seno na tabela, mas NÃO há, digamos, uma integral da tangente tg x? Ou não há integral do logaritmo ln x? Do arco-seno arco seno x? Por que são piores? Mas está cheio de algumas funções "esquerdas" - com raízes, frações, quadrados...

Responda. Nada pior.) Apenas as integrais acima (da tangente, logaritmo, arco-seno, etc.) não são tabulares . E são encontrados na prática com muito menos frequência do que os apresentados na tabela. Então saiba de coraçâo, ao qual eles são iguais, não é de todo necessário. Apenas o suficiente para saber como eles estão calculado.)

O que, alguém ainda insuportável? Assim seja, especialmente para você!

Bem, como você vai estudar? :) Você não vai? E não.) Mas não se preocupe, nós definitivamente encontraremos todas essas integrais. nas lições relevantes. :)

Bem, agora nos voltamos para as propriedades da integral indefinida. Sim, não há nada a ser feito! Um novo conceito é introduzido e algumas de suas propriedades são imediatamente consideradas.

Propriedades da integral indefinida.

Agora a notícia não tão boa.

Ao contrário da diferenciação, regras gerais de integração padrão, feira para todas as ocasiões, não existe em matemática. E fantastico!

Por exemplo, todos vocês sabem muito bem (espero!) algum trabalhar algum duas funções f(x) g(x) é diferenciada assim:

(f(x) g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).

Algum o quociente é diferenciado assim:

E qualquer função complexa, por mais distorcida que seja, é diferenciada assim:

E não importa quais funções estejam escondidas sob as letras f e g, as regras gerais ainda funcionarão e a derivada, de uma forma ou de outra, será encontrada.

Mas com integrais, esse número não funcionará mais: para um produto, um quociente (fração), bem como uma função complexa de fórmulas gerais de integração não existe! Não existem regras padrão! Em vez disso, eles são. Eu ofendi a matemática em vão.) Mas, em primeiro lugar, há muito menos deles do que as regras gerais de diferenciação. E em segundo lugar, a maioria dos métodos de integração sobre os quais falaremos nas próximas lições são muito, muito específicos. E eles são válidos apenas para uma determinada classe de funções muito limitada. Vamos apenas dizer para funções racionais fracionárias. Ou alguns outros.

E algumas integrais, embora existam na natureza, geralmente não são expressas de forma alguma por meio de funções "escolares" elementares! Sim, sim, e existem muitas dessas integrais! :)

É por isso que a integração é uma tarefa muito mais demorada e meticulosa do que a diferenciação. Mas isso tem seu próprio sabor. Esta atividade é criativa e muito empolgante.) E, se você dominar bem a tabela de integrais e dominar pelo menos duas técnicas básicas, que discutiremos mais tarde (e), então você vai gostar muito de integração. :)

E agora vamos nos familiarizar, de fato, com as propriedades da integral indefinida. Eles não são nada. Aqui estão eles.

As duas primeiras propriedades são completamente análogas às mesmas propriedades das derivadas e são chamadas de propriedades de linearidade da integral indefinida . Tudo é simples e lógico aqui: a integral da soma/diferença é igual à soma/diferença das integrais, e o fator constante pode ser retirado do sinal integral.

Mas as três propriedades a seguir são fundamentalmente novas para nós. Vamos analisá-los com mais detalhes. Eles soam em russo da seguinte forma.

Terceira propriedade

A derivada da integral é igual ao integrando

Tudo é simples, como em um conto de fadas. Se você integrar a função, e então encontrar a derivada do resultado de volta, então... você obtém o integrando original. :) Esta propriedade sempre pode (e deve) ser usada para verificar o resultado final da integração. Calculamos a integral - diferencie a resposta! Temos o integrando - OK. Eles não receberam, o que significa que eles erraram em algum lugar. Procure o erro.)

Claro, na resposta, funções tão brutais e incômodas podem ser obtidas que reluta em diferenciá-las de volta, sim. Mas é melhor, se possível, tentar verificar a si mesmo. Pelo menos nos exemplos em que é fácil.)

A quarta propriedade

O diferencial da integral é igual ao integrando .

Não há nada de especial aqui. A essência é a mesma, apenas dx aparece no final. De acordo com a propriedade anterior e as regras para ampliação do diferencial.

Quinta propriedade

A integral da diferencial de alguma função é igual à soma desta função e uma constante arbitrária .

Também uma propriedade muito simples. Também a usaremos regularmente no processo de resolução de integrais. Especialmente - dentro e.

Aqui estão alguns recursos úteis. Não vou me aborrecer com suas provas estritas aqui. Sugiro que aqueles que desejam fazer isso eles mesmos. Diretamente de acordo com o significado da derivada e diferencial. Provarei apenas a última, quinta propriedade, porque é menos óbvia.

Então temos uma afirmação:

Retiramos o "recheio" da nossa integral e abrimos, de acordo com a definição do diferencial:

Por precaução, lembro que, de acordo com nossa notação de derivada e antiderivada, F’(x) = f(x) .

Agora inserimos nosso resultado de volta dentro da integral:

Recebido exatamente definição de integral indefinida (que a língua russa me perdoe)! :)

Isso é tudo.)

Nós iremos. Sobre isso, considero que nosso conhecimento inicial com o misterioso mundo das integrais ocorreu. Hoje proponho terminar. Já estamos armados o suficiente para fazer o reconhecimento. Se não com uma metralhadora, pelo menos com uma pistola de água com propriedades básicas e uma mesa. :) Na próxima lição, já estamos esperando os exemplos mais simples e inofensivos de integrais para a aplicação direta da tabela e das propriedades escritas.

Vê você!

Alvo:

• Formação do conceito de primitivo.
• Preparação para a percepção do integral.
• Formação de habilidades de computação.
• Educação de um senso de beleza (a capacidade de ver a beleza no incomum).

Análise matemática - um conjunto de seções de matemática dedicadas ao estudo de funções e suas generalizações por métodos de cálculo diferencial e integral.

Até agora, estudamos uma seção de análise matemática chamada cálculo diferencial, cuja essência é estudar uma função no “pequeno”.

Aqueles. estudo da função em vizinhanças suficientemente pequenas de cada ponto de definição. Uma das operações de diferenciação é encontrar a derivada (diferencial) e aplicá-la ao estudo de funções.

Igualmente importante é o problema inverso. Se o comportamento de uma função é conhecido na vizinhança de cada ponto de sua definição, então como restaurar a função como um todo, ou seja, em toda a extensão de sua definição. Este problema é objeto de estudo do chamado cálculo integral.

A integração é a ação inversa da diferenciação. Ou a restauração da função f(x) da derivada dada f`(x). A palavra latina “integro” significa restauração.

Exemplo 1.

Seja (x)`=3x 2 .
Encontre f(x).

Solução:

Com base na regra de diferenciação, é fácil adivinhar que f (x) \u003d x 3, porque (x 3)` \u003d 3x 2
No entanto, é fácil ver que f(x) é encontrado de forma ambígua.
Como f(x) podemos tomar
f (x) \u003d x 3 +1
f (x) \u003d x 3 +2
f (x) \u003d x 3 -3, etc.

Porque a derivada de cada um deles é 3x2. (A derivada da constante é 0). Todas essas funções diferem umas das outras por um termo constante. Portanto, a solução geral do problema pode ser escrita como f(x)= x 3 +C, onde C é qualquer número real constante.

Qualquer uma das funções encontradas f(x) é chamada PRIMÁRIO para a função F`(x) = 3x 2

Definição. A função F(x) é chamada de antiderivada para a função f(x) em um dado intervalo J, se para todo x desse intervalo F`(x) = f(x). Portanto, a função F (x) \u003d x 3 é antiderivada para f (x) \u003d 3x 2 em (- ∞ ; ∞).
Como, para todo x ~ R, a igualdade é verdadeira: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Como já notamos, esta função possui um conjunto infinito de primitivas (veja o exemplo nº 1).

Exemplo #2. A função F(x)=x é a primitiva para todo f(x)= 1/x no intervalo (0; +), porque para todo x desse intervalo, a igualdade é válida.
F`(x)=(x 1/2)`=1/2x -1/2=1/2x

Exemplo #3 A função F(x)=tg3x é a antiderivada para f(x)=3/cos3x no intervalo (-n/ 2; P/ 2),
Porque F`(x)=(tg3x)`= 3/cos 2 3x

Exemplo #4 A função F(x)=3sen4x+1/x-2 é antiderivada para f(x)=12cos4x-1/x 2 no intervalo (0;∞)
Porque F`(x)=(3sin4x)+1/x-2)`= 4cos4x-1/x 2

Aula 2

Assunto: Primordial. A principal propriedade da função antiderivada.

Ao estudar a antiderivada, nos basearemos na seguinte afirmação. Sinal de constância da função: Se no intervalo J a derivada Ψ(х) da função é igual a 0, então neste intervalo a função Ψ(х) é constante.

Esta afirmação pode ser demonstrada geometricamente.

Sabe-se que Ψ`(x)=tgα, γde α-ângulo de inclinação da tangente ao gráfico da função Ψ(x) no ponto com a abcissa x 0 . Se Ψ`(υ)=0 em qualquer ponto do intervalo J, então tgα=0 δ para qualquer tangente ao gráfico da função Ψ(x). Isso significa que a tangente ao gráfico da função em qualquer ponto é paralela ao eixo x. Portanto, no intervalo indicado, o gráfico da função Ψ(x) coincide com o segmento de reta y=C.

Assim, a função f(x)=c é constante no intervalo J se f`(x)=0 neste intervalo.

De fato, para x 1 e x 2 arbitrários do intervalo J, de acordo com o teorema do valor médio da função, podemos escrever:
f (x 2) - f (x 1) \u003d f` (c) (x 2 - x 1), porque f`(c)=0, então f(x 2)= f(x 1)

Teorema: (Propriedade básica de uma função antiderivada)

Se F(x) é uma das primitivas da função f(x) no intervalo J, então o conjunto de todas as primitivas desta função tem a forma: F(x)+C, onde C é qualquer número real.

Prova:

Seja F`(x) = f(x), então (F(x)+C)`= F`(x)+C`= f(x), para x − J.
Suponha que exista Φ(x) - outra antiderivada para f (x) no intervalo J, ou seja, Φ`(x) = f(x),
então (Φ(х) - F(х))` = f (х) - f (х) = 0, para x Є J.
Isso significa que Φ(x) - F(x) é constante no intervalo J.
Portanto, Φ(x) - F(x) = C.
De onde Φ(x)= F(x)+C.
Isto significa que se F(x) é a primitiva da função f(x) no intervalo J, então o conjunto de todas as primitivas desta função tem a forma: F(x)+C, onde C é qualquer número real.
Portanto, quaisquer duas primitivas de uma dada função diferem uma da outra por um termo constante.

Exemplo: Encontre o conjunto de primitivas da função f (x) = cos x. Desenhe os gráficos dos três primeiros.

Solução: Sin x - uma das primitivas para a função f (x) = cos x
F(x) = Sin x + C é o conjunto de todas as primitivas.

F 1 (x) = Sin x-1
F 2 (x) = Sin x
F 3 (x) \u003d Sin x + 1

Ilustração geométrica: O gráfico de qualquer antiderivada F(x)+C pode ser obtido a partir do gráfico da antiderivada F(x) usando a tradução paralela r(0;c).

Exemplo: Para a função f (x) \u003d 2x, encontre a primitiva, cujo gráfico passa por t.M (1; 4)

Solução: F(х)=х 2 +С é o conjunto de todas as primitivas, F(1)=4 - de acordo com a condição do problema.
Portanto, 4 \u003d 1 2 +C
C = 3
F (x) \u003d x 2 +3

Uma das operações de diferenciação é encontrar a derivada (diferencial) e aplicá-la ao estudo de funções.

Igualmente importante é o problema inverso. Se o comportamento de uma função é conhecido na vizinhança de cada ponto de sua definição, então como restaurar a função como um todo, ou seja, em toda a extensão de sua definição. Este problema é objeto de estudo do chamado cálculo integral.

A integração é a ação inversa da diferenciação. Ou a restauração da função f(x) da derivada dada f`(x). A palavra latina “integro” significa restauração.

Exemplo 1.

Seja (f(x))' = 3x 2 . Encontre f(x).

Solução:

Com base na regra de diferenciação, é fácil adivinhar que f (x) \u003d x 3, porque

(x 3) ' = 3x 2 No entanto, é fácil ver que f (x) é encontrado de forma ambígua. Como f (x) você pode pegar f (x) \u003d x 3 +1 f (x) \u003d x 3 +2 f (x) \u003d x 3 -3, etc.

Porque a derivada de cada um deles é 3x2. (A derivada da constante é 0). Todas essas funções diferem umas das outras por um termo constante. Portanto, a solução geral do problema pode ser escrita como f(x)= x 3 +C, onde C é qualquer número real constante.

Qualquer uma das funções encontradas f(x) é chamada primitivo para a função F`(x) = 3x 2

Definição.

A função F(x) é chamada de antiderivada para a função f(x) em um dado intervalo J, se para todo x desse intervalo F`(x) = f(x). Portanto, a função F (x) \u003d x 3 é antiderivada para f (x) \u003d 3x 2 em (- ∞ ; ∞). Como, para todo x ~ R, a igualdade é verdadeira: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Como já notamos, esta função possui um conjunto infinito de primitivas.

Exemplo #2.

A função é antiderivada para todos no intervalo (0; +∞), porque para todo h desse intervalo, a igualdade é válida.

A tarefa da integração é encontrar todas as suas primitivas para uma dada função. A afirmação a seguir desempenha um papel importante na solução desse problema:

Um sinal da constância de uma função. Se F "(x) \u003d 0 em algum intervalo I, a função F é uma constante nesse intervalo.

Prova.

Fixamos alguns x 0 do intervalo I. Então, para qualquer número x de tal intervalo, em virtude da fórmula de Lagrange, pode-se especificar um número c entre x e x 0 que

F (x) - F (x 0) \u003d F "(c) (x-x 0).

Por condição, F’ (c) = 0, pois c ∈1, portanto,

F(x) - F(x 0) = 0.

Então, para todo x do intervalo I

ou seja, a função F permanece constante.

Todas as funções antiderivadas f podem ser escritas usando uma fórmula, que é chamada forma geral de primitivas para a função f. O seguinte teorema é verdadeiro ( propriedade básica das primitivas):

Teorema. Qualquer primitiva para a função f no intervalo I pode ser escrita como

F(x) + C, (1) onde F(x) é uma das primitivas para a função f(x) no intervalo I, e C é uma constante arbitrária.

Vamos explicar esta afirmação, na qual duas propriedades da antiderivada são brevemente formuladas:

1. qualquer que seja o número que colocamos na expressão (1) em vez de C, obtemos a primitiva para f no intervalo I;
2. qualquer que seja a antiderivada Ф para f no intervalo I, pode-se escolher um número C tal que para todo x do intervalo I a igualdade será satisfeita

Prova.

1. Por condição, a função F é a primitiva para f no intervalo I. Portanto, F "(x) \u003d f (x) para qualquer x∈1, portanto (F (x) + C)" \u003d F "( x) + C" \u003d f(x)+0=f(x), ou seja, F(x) + C é a primitiva da função f.
2. Seja Ф (х) uma das primitivas da função f no mesmo intervalo I, ou seja, Ф "(x) = f (х) para todo x∈I.

Então (Ф (x) - F (x)) "= Ф" (x) - F '(x) = f (x) - f (x) \u003d 0.

Segue daqui. devido ao sinal da constância da função, que a diferença Ф (х) - F (х) é uma função que assume algum valor constante C no intervalo I.

Assim, para todo x do intervalo I, a igualdade Ф(х) - F(x)=С é verdadeira, o que deveria ser provado. A propriedade principal da primitiva pode receber um significado geométrico: gráficos de quaisquer duas primitivas para a função f são obtidos um do outro por translação paralela ao longo do eixo y

Perguntas para resumos

A função F(x) é uma primitiva da função f(x). Encontre F(1) se f(x)=9x2 - 6x + 1 e F(-1) = 2.

Encontrar todas as primitivas de uma função

Para a função (x) = cos2 * sin2x, encontre a antiderivada F(x) se F(0) = 0.

Para uma função, encontre a primitiva cujo gráfico passa pelo ponto

Vimos que a derivada tem inúmeras aplicações: a derivada é a velocidade do movimento (ou, mais geralmente, a velocidade de qualquer processo); a derivada é a inclinação da tangente ao gráfico da função; usando a derivada, você pode investigar a função para monotonicidade e extremos; A derivada ajuda a resolver problemas de otimização.

Mas, na vida real, também é preciso resolver problemas inversos: por exemplo, junto com o problema de encontrar a velocidade a partir de uma lei de movimento conhecida, há também o problema de restaurar a lei de movimento a partir de uma velocidade conhecida. Vamos considerar um desses problemas.

Exemplo 1 Um ponto material se move ao longo de uma linha reta, a velocidade de seu movimento no tempo t é dada pela fórmula u = tg. Encontre a lei do movimento.

Solução. Seja s = s(t) a lei de movimento desejada. Sabe-se que s"(t) = u"(t). Então, para resolver o problema, precisamos escolher função s = s(t), cuja derivada é igual a tg. É fácil adivinhar isso

Observamos imediatamente que o exemplo está resolvido corretamente, mas de forma incompleta. Obtivemos que De fato, o problema tem infinitas soluções: qualquer função da forma constante arbitrária, pode servir como uma lei do movimento, uma vez que

Para tornar a tarefa mais específica, tivemos que corrigir a situação inicial: indicar a coordenada do ponto móvel em algum momento, por exemplo, em t=0. Se, digamos, s (0) \u003d s 0, então da igualdade obtemos s (0) \u003d 0 + C, ou seja, S 0 \u003d C. Agora a lei do movimento é definida exclusivamente:
Em matemática, operações mutuamente inversas recebem nomes diferentes, notações especiais são inventadas: por exemplo, quadratura (x 2) e extração da raiz quadrada seno (sinx) e arco-seno(arco seno x), etc. O processo de encontrar a derivada em relação a uma determinada função é chamado de diferenciação, e a operação inversa, ou seja, o processo de encontrar uma função por uma dada derivada - por integração.
O próprio termo "derivado" pode ser justificado "de uma maneira mundana": a função y - f (x) "produz" uma nova função y "= f" (x) A função y \u003d f (x) age como se como um "pai", mas os matemáticos, claro, não o chamam de "pai" ou "produtor", dizem que é, em relação à função y "=f" (x), a imagem primária, ou , em suma, a primitiva.

Definição 1. A função y \u003d F (x) é chamada de antiderivada para a função y \u003d f (x) em um determinado intervalo X, se para todos os x de X a igualdade F "(x) \u003d f (x) for verdadeira .

Na prática, o intervalo X geralmente não é especificado, mas implícito (como o domínio natural da função).

aqui estão alguns exemplos:

1) A função y \u003d x 2 é uma antiderivada para a função y \u003d 2x, pois para todo x a igualdade (x 2) "\u003d 2x é verdadeira.
2) a função y - x 3 é a antiderivada da função y-3x 2, pois para todo x a igualdade (x 3)" \u003d 3x 2 é verdadeira.
3) A função y-sinx é uma antiderivada da função y=cosx, pois para todo x a igualdade (sinx) "=cosx é verdadeira.
4) A função é antiderivada para a função no intervalo, pois para todo x > 0 a igualdade é verdadeira
Em geral, conhecendo as fórmulas para encontrar derivadas, não é difícil compilar uma tabela de fórmulas para encontrar primitivas.

Esperamos que você entenda como esta tabela é compilada: a derivada da função que está escrita na segunda coluna é igual à função que está escrita na linha correspondente da primeira coluna (confira, não seja preguiçoso, é muito útil). Por exemplo, para a função y \u003d x 5, a primitiva, conforme você estabelece, é a função (veja a quarta linha da tabela).

Notas: 1. Abaixo provamos o teorema de que se y = F(x) é uma antiderivada para uma função y = f(x), então a função y = f(x) tem infinitas primitivas e todas elas têm a forma y = F (x ) + C. Portanto, seria mais correto adicionar o termo C em toda a segunda coluna da tabela, onde C é um número real arbitrário.
2. Por uma questão de brevidade, às vezes, em vez da frase "a função y = F(x) é a antiderivada da função y = f(x)", eles dizem que F(x) é a antiderivada de f(x) ".

2. Regras para encontrar primitivas

Na busca por antiderivadas, assim como na busca por derivadas, não são usadas apenas fórmulas (elas estão listadas na tabela da pág. 196), mas também algumas regras. Eles estão diretamente relacionados às regras correspondentes para o cálculo de derivativos.

Sabemos que a derivada de uma soma é igual à soma das derivadas. Essa regra gera uma regra correspondente para encontrar primitivas.

Regra 1 A primitiva de uma soma é igual à soma das primitivas.

Chamamos a atenção para alguma “leveza” desta formulação. De fato, seria necessário formular um teorema: se as funções y = f(x) e y=g(x) têm primitivas no intervalo X, respectivamente, y-F(x) e y-G(x), então a soma das funções y = f(x) + g(x) tem uma primitiva no intervalo X, e esta primitiva é a função y = F(x) + G(x). Mas geralmente, ao formular regras (e não teoremas), apenas as palavras-chave são deixadas - isso é mais conveniente para aplicar a regra na prática.

Exemplo 2 Encontre a primitiva para a função y = 2x + cos x.

Solução. A primitiva para 2x é x "; a primitiva para cosx é sin x. Portanto, a primitiva para a função y \u003d 2x + cos x será a função y \u003d x 2 + sin x (e, em geral, qualquer função do forma Y \u003d x 1 + sinx + C) .
Sabemos que o fator constante pode ser retirado do sinal da derivada. Essa regra gera uma regra correspondente para encontrar primitivas.

Regra 2 O fator constante pode ser retirado do sinal da primitiva.

Exemplo 3

Solução. a) A primitiva de sen x é -cos x; portanto, para a função y \u003d 5 sen x, a primitiva será a função y \u003d -5 cos x.

b) A primitiva de cos x é sen x; portanto, para a função antiderivada haverá uma função
c) A primitiva de x 3 é a primitiva de x é a primitiva da função y \u003d 1 é a função y \u003d x. Usando a primeira e a segunda regras para encontrar primitivas, obtemos que a primitiva para a função y \u003d 12x 3 + 8x-1 é a função
Comente. Como você sabe, a derivada de um produto não é igual ao produto das derivadas (a regra para diferenciar um produto é mais complicada) e a derivada de um quociente não é igual ao quociente das derivadas. Portanto, não há regras para encontrar a primitiva do produto ou a primitiva do quociente de duas funções. Tome cuidado!
Obtemos mais uma regra para encontrar primitivas. Sabemos que a derivada da função y \u003d f (kx + m) é calculada pela fórmula

Essa regra gera uma regra correspondente para encontrar primitivas.
Regra 3 Se y \u003d F (x) é a primitiva para a função y \u003d f (x), então a primitiva para a função y \u003d f (kx + m) é a função

De fato,

Isso significa que é uma primitiva para a função y \u003d f (kx + m).
O significado da terceira regra é o seguinte. Se você sabe que a primitiva da função y \u003d f (x) é a função y \u003d F (x), e precisa encontrar a primitiva da função y \u003d f (kx + m), então prossiga como segue: pegue a mesma função F, mas em vez do argumento x, substitua a expressão xx+m; além disso, não se esqueça de escrever o “fator de correção” antes do sinal da função
Exemplo 4 Encontre primitivas para funções dadas:

Solução, a) A primitiva de sen x é -cos x; isso significa que para a função y \u003d sin2x, a primitiva será a função
b) A primitiva de cos x é sen x; portanto, para a função antiderivada haverá uma função

c) A primitiva para x 7 é, portanto, para a função y \u003d (4-5x) 7, a primitiva será a função

3. Integral indefinido

Já observamos acima que o problema de encontrar uma primitiva para uma dada função y = f(x) tem mais de uma solução. Vamos discutir essa questão com mais detalhes.

Prova. 1. Seja y \u003d F (x) a primitiva para a função y \u003d f (x) no intervalo X. Isso significa que para todo x de X a igualdade x "(x) \u003d f (x) é true. Encontre a derivada de qualquer função da forma y \u003d F (x) + C:
(F (x) + C) \u003d F "(x) + C \u003d f (x) + 0 \u003d f (x).

Então, (F(x)+C) = f(x). Isso significa que y \u003d F (x) + C é uma antiderivada para a função y \u003d f (x).
Assim, provamos que se a função y \u003d f (x) tem uma antiderivada y \u003d F (x), então a função (f \u003d f (x) tem infinitas primitivas, por exemplo, qualquer função da forma y \u003d F (x) +C é antiderivada.
2. Vamos agora provar que todo o conjunto de primitivas é esgotado pelo tipo de funções indicado.

Sejam y=F 1 (x) ey=F(x) duas primitivas para a função Y = f(x) no intervalo X. Isso significa que para todo x do intervalo X as seguintes relações são válidas: F^( x) = f(X); F "(x) \u003d f (x).

Considere a função y \u003d F 1 (x) -.F (x) e encontre sua derivada: (F, (x) -F (x)) "\u003d F [(x) - F (x) \u003d f (x) - f(x) = 0.
Sabe-se que se a derivada de uma função em um intervalo X é identicamente igual a zero, então a função é constante no intervalo X (ver Teorema 3 no § 35). Portanto, F 1 (x) -F (x) \u003d C, ou seja Fx) \u003d F (x) + C.

O teorema foi provado.

Exemplo 5 A lei da mudança de velocidade a partir do tempo v = -5sin2t é definida. Encontre a lei do movimento s = s(t) se for conhecido que no instante t=0 a coordenada do ponto era igual ao número 1,5 (ou seja, s(t) = 1,5).

Solução. Como a velocidade é a derivada da coordenada em função do tempo, primeiro precisamos encontrar a primitiva da velocidade, ou seja, primitiva para a função v = -5sin2t. Uma dessas primitivas é a função , e o conjunto de todas as primitivas tem a forma:

Para encontrar um valor específico da constante C, usamos as condições iniciais, segundo as quais, s(0) = 1,5. Substituindo na fórmula (1) os valores t=0, S=1,5, obtemos:

Substituindo o valor encontrado C na fórmula (1), obtemos a lei do movimento de interesse para nós:

Definição 2. Se uma função y = f(x) tem uma antiderivada y = F(x) no intervalo X, então o conjunto de todas as antiderivadas, ou seja, o conjunto de funções da forma y \u003d F (x) + C, é chamado de integral indefinida da função y \u003d f (x) e denotado:

(leu-se: “a integral indefinida ef de x de x”).
Na próxima seção, descobriremos qual é o significado oculto dessa notação.
Com base na tabela de primitivas disponíveis neste parágrafo, compilaremos uma tabela de integrais indefinidas básicas:

Com base nas três regras acima para encontrar primitivas, podemos formular as regras de integração correspondentes.

Regra 1 A integral da soma das funções é igual à soma das integrais dessas funções:

Regra 2 O fator constante pode ser retirado do sinal integral:

Regra 3 Se um

Exemplo 6 Encontre integrais indefinidas:

Solução, a) Usando a primeira e a segunda regras de integração, obtemos:

Agora usamos as 3ª e 4ª fórmulas de integração:

Como resultado, obtemos:

b) Usando a terceira regra de integração e a fórmula 8, obtemos:

c) Para a determinação direta da integral dada, não temos a fórmula correspondente nem a regra correspondente. Nesses casos, às vezes ajudam as transformações idênticas preliminares da expressão contida sob o sinal de integral.

Vamos usar a fórmula trigonométrica para diminuir o grau:

Então sucessivamente encontramos:

A.G. Álgebra de Mordkovich 10º ano

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Significado de antiderivada.

Uma função antiderivada f(x) no intervalo (a; b) é uma função F(x) tal que a igualdade vale para qualquer x de um dado intervalo.

Se levarmos em conta o fato de que a derivada da constante C é igual a zero, então a igualdade . Assim, a função f(x) tem um conjunto de primitivas F(x)+C , para uma constante arbitrária C , e essas primitivas diferem umas das outras por um valor constante arbitrário.

Definição da integral indefinida.

Todo o conjunto de primitivas da função f(x) é chamado de integral indefinida desta função e é denotado .

A expressão é chamada integrando, e f(x) integrando. O integrando é o diferencial da função f(x) .

A ação de encontrar uma função desconhecida por seu diferencial dado é chamada incerto integração, porque o resultado da integração não é uma função F(x) , mas o conjunto de suas primitivas F(x)+C .

Com base nas propriedades da derivada, pode-se formular e provar Propriedades da integral indefinida(propriedades da primitiva).

Igualdades intermediárias da primeira e segunda propriedades da integral indefinida são fornecidas para esclarecimento.

Para provar a terceira e quarta propriedades, basta encontrar as derivadas dos lados direitos das igualdades:

Essas derivadas são iguais aos integrandos, que é a prova em virtude da primeira propriedade. Também é usado nas últimas transições.

Assim, o problema da integração é o problema inverso da diferenciação, e há uma conexão muito próxima entre esses problemas:

• a primeira propriedade permite verificar a integração. Para verificar a exatidão da integração realizada, basta calcular a derivada do resultado obtido. Se a função obtida como resultado da diferenciação for igual ao integrando, isso significa que a integração foi realizada corretamente;
• a segunda propriedade da integral indefinida nos permite encontrar sua antiderivada da diferencial conhecida de uma função. O cálculo direto de integrais indefinidas é baseado nesta propriedade.

Considere um exemplo.

Exemplo.

Encontre a primitiva da função cujo valor é igual a um em x = 1.

Solução.

Sabemos pelo cálculo diferencial que (basta olhar para a tabela de derivadas das funções elementares básicas). Nesse caminho, . Pela segunda propriedade . Ou seja, temos um conjunto de antiderivadas. Para x = 1 obtemos o valor . Por condição, esse valor deve ser igual a um, portanto, С = 1. A primitiva desejada terá a forma .

Exemplo.

Encontre a integral indefinida e verifique o resultado por diferenciação.

Solução.

De acordo com a fórmula do seno de um ângulo duplo da trigonometria , é por isso