Um dos tópicos mais difíceis para os alunos é resolver equações contendo uma variável sob o sinal do módulo. Vamos ver para começar com o que está conectado? Por que, por exemplo, equações quadráticas a maioria das crianças clica como nozes, mas com um conceito tão longe do mais complexo como um módulo tem tantos problemas?

Na minha opinião, todas essas dificuldades estão associadas à falta de regras claramente formuladas para resolver equações com um módulo. Assim, ao resolver uma equação quadrática, o aluno sabe com certeza que precisa primeiro aplicar a fórmula discriminante e depois as fórmulas para as raízes da equação quadrática. Mas e se um módulo for encontrado na equação? Tentaremos descrever claramente o plano de ação necessário no caso em que a equação contém uma incógnita sob o sinal do módulo. Damos vários exemplos para cada caso.

Mas primeiro, vamos lembrar definição do módulo. Assim, o módulo do número uma o próprio número é chamado se uma não negativo e -uma se o número uma menos que zero. Você pode escrever assim:

|a| = a se a ≥ 0 e |a| = -a se a< 0

Falando sobre o significado geométrico do módulo, deve-se lembrar que cada número real corresponde a um determinado ponto no eixo numérico - é para coordenada. Assim, o módulo ou o valor absoluto de um número é a distância deste ponto até a origem do eixo numérico. A distância é sempre dada como um número positivo. Assim, o módulo de qualquer número negativo é um número positivo. By the way, mesmo nesta fase, muitos alunos começam a ficar confusos. Qualquer número pode estar no módulo, mas o resultado da aplicação do módulo é sempre um número positivo.

Agora vamos resolver as equações.

1. Considere uma equação da forma |x| = c, onde c é um número real. Esta equação pode ser resolvida usando a definição do módulo.

Dividimos todos os números reais em três grupos: aqueles que são maiores que zero, aqueles que são menores que zero, e o terceiro grupo é o número 0. Escrevemos a solução na forma de um diagrama:

(±c se c > 0

Se |x| = c, então x = (0 se c = 0

(sem raízes se com< 0

1) |x| = 5, porque 5 > 0, então x = ±5;

2) |x| = -5, porque -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, então x = 0.

2. Uma equação da forma |f(x)| = b, onde b > 0. Para resolver esta equação, é necessário livrar-se do módulo. Fazemos assim: f(x) = b ou f(x) = -b. Agora é necessário resolver separadamente cada uma das equações obtidas. Se na equação original b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, porque 4 > 0, então

x + 2 = 4 ou x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, porque 11 > 0, então

x 2 - 5 = 11 ou x 2 - 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 sem raízes

3) |x 2 – 5x| = -8 , porque -oito< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Uma equação da forma |f(x)| = g(x). De acordo com o significado do módulo, tal equação terá soluções se seu lado direito for maior ou igual a zero, ou seja, g(x) ≥ 0. Então temos:

f(x) = g(x) ou f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x - 10. Esta equação terá raízes se 5x - 10 ≥ 0. É aqui que começa a solução de tais equações.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Solução:

2x - 1 = 5x - 10 ou 2x - 1 = -(5x - 10)

3. Combine O.D.Z. e a solução, obtemos:

A raiz x \u003d 11/7 não se encaixa de acordo com O.D.Z., é menor que 2 e x \u003d 3 satisfaz essa condição.

Resposta: x = 3

2) |x – 1| \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Vamos resolver esta desigualdade usando o método intervalar:

(1 – x)(1 + x) ≥ 0

2. Solução:

x - 1 \u003d 1 - x 2 ou x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0

x = -2 ou x = 1 x = 0 ou x = 1

3. Combine a solução e O.D.Z.:

Apenas as raízes x = 1 e x = 0 são adequadas.

Resposta: x = 0, x = 1.

4. Uma equação da forma |f(x)| = |g(x)|. Tal equação é equivalente às duas equações seguintes f(x) = g(x) ou f(x) = -g(x).

1) |x 2 - 5x + 7| = |2x – 5|. Esta equação é equivalente às duas seguintes:

x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 ou x 2 - 5x +7 = -2x + 5

x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0

x = 3 ou x = 4 x = 2 ou x = 1

Resposta: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Equações resolvidas pelo método de substituição (mudança de variável). Este método de solução é mais fácil de explicar com um exemplo específico. Então, seja dada uma equação quadrática com um módulo:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Pela propriedade do módulo x 2 = |x| 2 , então a equação pode ser reescrita da seguinte forma:

|x| 2–6|x| + 5 = 0. Vamos fazer a mudança |x| = t ≥ 0, então teremos:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Resolvendo esta equação, obtemos t \u003d 1 ou t \u003d 5. Vamos retornar à substituição:

|x| = 1 ou |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Resposta: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Vejamos outro exemplo:

x 2 + |x| – 2 = 0. Pela propriedade do módulo x 2 = |x| 2, então

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Vamos fazer a mudança |x| = t ≥ 0, então:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Resolvendo esta equação, obtemos, t \u003d -2 ou t \u003d 1. Vamos retornar à substituição:

|x| = -2 ou |x| = 1

Sem raízes x = ± 1

Resposta: x = -1, x = 1.

6. Outro tipo de equações são equações com um módulo "complexo". Tais equações incluem equações que têm "módulos dentro de um módulo". Equações desse tipo podem ser resolvidas usando as propriedades do módulo.

1) |3 – |x|| = 4. Atuaremos da mesma forma que nas equações do segundo tipo. Porque 4 > 0, então obtemos duas equações:

3 – |x| = 4 ou 3 – |x| = -4.

Agora vamos expressar o módulo x em cada equação, então |x| = -1 ou |x| = 7.

Resolvemos cada uma das equações resultantes. Não há raízes na primeira equação, porque -1< 0, а во втором x = ±7.

Resposta x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Resolvemos esta equação de maneira semelhante:

3 + |x + 1| = 5 ou 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 ou x + 1 = -2. Não há raízes.

Resposta: x = -3, x = 1.

Existe também um método universal para resolver equações com um módulo. Este é o método de espaçamento. Mas vamos considerá-lo mais adiante.

site, com cópia total ou parcial do material, é necessário um link para a fonte.

Um módulo é uma daquelas coisas que todo mundo parece ter ouvido falar, mas na realidade ninguém realmente entende. Portanto, hoje haverá uma grande lição dedicada à resolução de equações com módulos.

Direi logo: a lição será simples. Em geral, os módulos são geralmente um tópico relativamente simples. “Sim, claro, é fácil! Isso faz meu cérebro explodir!" - muitos alunos dirão, mas todas essas quebras cerebrais se devem ao fato de que a maioria das pessoas não tem conhecimento em suas cabeças, mas algum tipo de porcaria. E o objetivo desta lição é transformar porcaria em conhecimento. :)

Um pouco de teoria

Então vamos. Vamos começar com o mais importante: o que é um módulo? Deixe-me lembrá-lo de que o módulo de um número é simplesmente o mesmo número, mas tomado sem o sinal de menos. Ou seja, por exemplo, $\left| -5 \direito|=5$. Ou $\esquerda| -129,5\direito|=129,5$.

É tão simples? Sim, simples. Qual é então o módulo de um número positivo? Aqui é ainda mais simples: o módulo de um número positivo é igual a este próprio número: $\left| 5\direita|=5$; $\esquerda| 129,5 \direito|=129,5$ etc.

Acontece uma coisa curiosa: números diferentes podem ter o mesmo módulo. Por exemplo: $\esquerda| -5 \direita|=\esquerda| 5\direita|=5$; $\esquerda| -129,5 \direita|=\esquerda| 129,5 \direito|=129,5$. É fácil ver que tipo de números são esses, em que os módulos são os mesmos: esses números são opostos. Assim, notamos por nós mesmos que os módulos de números opostos são iguais:

\[\esquerda| -a \direita|=\esquerda| a\direito|\]

Outro fato importante: módulo nunca é negativo. Qualquer que seja o número que tomamos - mesmo positivo, até negativo - seu módulo sempre acaba sendo positivo (ou em casos extremos, zero). É por isso que o módulo é frequentemente chamado de valor absoluto de um número.

Além disso, se combinarmos a definição do módulo para um número positivo e negativo, obteremos uma definição global do módulo para todos os números. A saber: o módulo de um número é igual a esse próprio número, se o número for positivo (ou zero), ou igual ao número oposto, se o número for negativo. Você pode escrever isso como uma fórmula:

Há também um módulo de zero, mas é sempre igual a zero. Além disso, zero é o único número que não tem um oposto.

Assim, se considerarmos a função $y=\left| x \right|$ e tente desenhar seu gráfico, você obterá um tal “daw”:

Exemplo de gráfico de módulo e solução de equação

A partir desta imagem você pode ver imediatamente que $\left| -m \direita|=\esquerda| m \right|$, e o gráfico do módulo nunca fica abaixo do eixo x. Mas isso não é tudo: a linha vermelha marca a linha reta $y=a$, que, com $a$ positivo, nos dá duas raízes ao mesmo tempo: $((x)_(1))$ e $((x) _(2)) $, mas falaremos sobre isso depois. :)

Além de uma definição puramente algébrica, há uma geométrica. Digamos que haja dois pontos na reta numérica: $((x)_(1))$ e $((x)_(2))$. Neste caso, a expressão $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ é apenas a distância entre os pontos especificados. Ou, se preferir, o comprimento do segmento conectando esses pontos:

Módulo é a distância entre os pontos na reta numérica

Segue-se também desta definição que o módulo é sempre não negativo. Mas chega de definições e teoria - vamos para as equações reais. :)

Fórmula básica

Ok, descobrimos a definição. Mas não ficou mais fácil. Como resolver equações contendo este mesmo módulo?

Calma, apenas calma. Vamos começar com as coisas mais simples. Considere algo assim:

\[\esquerda| x\direita|=3\]

Então o módulo$x$ é 3. A que $x$ pode ser igual? Bem, a julgar pela definição, $x=3$ nos servirá muito bem. Sério:

\[\esquerda| 3\direita|=3\]

Existem outros números? Cap parece sugerir que existe. Por exemplo, $x=-3$ — $\left| -3 \right|=3$, ou seja a igualdade requerida é satisfeita.

Então, talvez se pesquisarmos, pensemos, encontraremos mais números? Mas pare: não há mais números. Equação $\left| x \right|=3$ tem apenas duas raízes: $x=3$ e $x=-3$.

Agora vamos complicar um pouco a tarefa. Deixe, em vez da variável $x$, a função $f\left(x \right)$ ficar sob o sinal do módulo, e à direita, em vez do triplo, coloque um número arbitrário $a$. Obtemos a equação:

\[\esquerda| f\esquerda(x \direita) \direita|=a\]

Bem, como você decide? Deixe-me lembrá-lo: $f\left(x \right)$ é uma função arbitrária, $a$ é qualquer número. Aqueles. qualquer um! Por exemplo:

\[\esquerda| 2x+1 \direito|=5\]

\[\esquerda| 10x-5 \direito|=-65\]

Vejamos a segunda equação. Você pode dizer imediatamente sobre ele: ele não tem raízes. Por quê? Isso mesmo: porque exige que o módulo seja igual a um número negativo, o que nunca acontece, pois já sabemos que o módulo é sempre um número positivo ou, em casos extremos, zero.

Mas com a primeira equação, tudo fica mais divertido. Existem duas opções: ou há uma expressão positiva sob o sinal do módulo, e então $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, ou esta expressão ainda é negativa, neste caso $\left| 2x+1 \right|=-\left(2x+1 \right)=-2x-1$. No primeiro caso, nossa equação será reescrita como:

\[\esquerda| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

E de repente acontece que a expressão do submódulo $2x+1$ é de fato positiva - é igual ao número 5. Ou seja, podemos resolver com segurança esta equação - a raiz resultante será uma parte da resposta:

Aqueles que são especialmente incrédulos podem tentar substituir a raiz encontrada na equação original e certificar-se de que realmente haverá um número positivo sob o módulo.

Agora vamos ver o caso de uma expressão de submódulo negativo:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Seta para a direita 2x+1=-5\]

Ops! Novamente, tudo está claro: assumimos que $2x+1 \lt 0$ e, como resultado, obtivemos $2x+1=-5$ - de fato, essa expressão é menor que zero. Resolvemos a equação resultante, sabendo já com certeza que a raiz encontrada nos servirá:

No total, recebemos novamente duas respostas: $x=2$ e $x=3$. Sim, a quantidade de cálculos acabou sendo um pouco maior do que na equação muito simples $\left| x \right|=3$, mas fundamentalmente nada mudou. Então, talvez haja algum tipo de algoritmo universal?

Sim, esse algoritmo existe. E agora vamos analisá-lo.

Livrando-se do sinal do módulo

Seja dada a equação $\left| f\left(x \right) \right|=a$, e $a\ge 0$ (caso contrário, como já sabemos, não há raízes). Então você pode se livrar do sinal do módulo de acordo com a seguinte regra:

\[\esquerda| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Assim, nossa equação com o módulo se divide em duas, mas sem o módulo. Essa é toda a tecnologia! Vamos tentar resolver algumas equações. Vamos começar com isso

\[\esquerda| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Vamos considerar separadamente quando há um dez com um mais à direita e separadamente quando há um menos. Nós temos:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(alinhar)\]

Isso é tudo! Temos duas raízes: $x=1.2$ e $x=-2.8$. A solução inteira levou literalmente duas linhas.

Ok, sem dúvida, vamos ver algo um pouco mais sério:

\[\esquerda| 7-5x \direita|=13\]

Novamente, abra o módulo com mais e menos:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end(alinhar)\]

Novamente algumas linhas - e a resposta está pronta! Como eu disse, não há nada complicado em módulos. Você só precisa se lembrar de algumas regras. Portanto, vamos mais longe e prosseguimos com tarefas realmente mais difíceis.

Caixa do lado direito variável

Agora considere esta equação:

\[\esquerda| 3x-2 \direito|=2x\]

Esta equação é fundamentalmente diferente de todas as anteriores. Como? E o fato de a expressão $2x$ estar à direita do sinal de igual - e não podemos saber de antemão se é positiva ou negativa.

Como estar nesse caso? Primeiro, devemos entender de uma vez por todas que se o lado direito da equação for negativo, então a equação não terá raízes- já sabemos que o módulo não pode ser igual a um número negativo.

E em segundo lugar, se a parte direita ainda for positiva (ou igual a zero), você poderá proceder exatamente da mesma maneira que antes: basta abrir o módulo separadamente com o sinal de mais e separadamente com o sinal de menos.

Assim, formulamos uma regra para funções arbitrárias $f\left(x \right)$ e $g\left(x \right)$ :

\[\esquerda| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Com relação à nossa equação, temos:

\[\esquerda| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Bem, podemos lidar com o requisito $2x\ge 0$ de alguma forma. No final, podemos substituir estupidamente as raízes que obtemos da primeira equação e verificar se a desigualdade é válida ou não.

Então vamos resolver a equação em si:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end(alinhar)\]

Bem, qual dessas duas raízes satisfaz o requisito $2x\ge 0$? Sim ambos! Portanto, a resposta será dois números: $x=(4)/(3)\;$ e $x=0$. Essa é a solução. :)

Suspeito que um dos alunos já começou a ficar entediado? Bem, considere uma equação ainda mais complexa:

\[\esquerda| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\]

Embora pareça mal, na verdade é tudo a mesma equação da forma "módulo é igual a função":

\[\esquerda| f\esquerda(x \direita) \direita|=g\esquerda(x \direita)\]

E se resolve da mesma forma:

\[\esquerda| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \right|=x-((x)^(3))\Rightarrow \left\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \left(x-((x)^(3)) \right), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(align) \right.\]

Vamos lidar com a desigualdade mais tarde - é de alguma forma muito cruel (na verdade simples, mas não vamos resolvê-la). Por enquanto, vamos dar uma olhada nas equações resultantes. Considere o primeiro caso - é quando o módulo é expandido com um sinal de mais:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

Bem, aqui é óbvio que você precisa coletar tudo à esquerda, trazer os semelhantes e ver o que acontece. E é isso que acontece:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(alinhar)\]

Colocando o fator comum $((x)^(2))$ fora do colchete, obtemos uma equação muito simples:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(align) \right.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

Aqui usamos uma propriedade importante do produto, para o qual fatoramos o polinômio original: o produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero.

Agora, da mesma forma, vamos lidar com a segunda equação, que é obtida expandindo o módulo com um sinal de menos:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\esquerda(-3x+2 \direita)=0. \\\end(alinhar)\]

Novamente, a mesma coisa: o produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. Nós temos:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(align) \right.\]

Bem, temos três raízes: $x=0$, $x=1.5$ e $x=(2)/(3)\;$. Bem, o que vai entrar na resposta final deste conjunto? Para fazer isso, lembre-se de que temos uma restrição de desigualdade adicional:

Como ter em conta este requisito? Vamos apenas substituir as raízes encontradas e verificar se a desigualdade vale para esses $x$ ou não. Nós temos:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Rightarrow x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(alinhar)\]

Assim, a raiz $x=1.5$ não nos convém. E apenas duas raízes irão em resposta:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Como você pode ver, mesmo neste caso não houve nada difícil - equações com módulos são sempre resolvidas de acordo com o algoritmo. Você só precisa ter uma boa compreensão de polinômios e desigualdades. Portanto, passamos para tarefas mais complexas - já não haverá um, mas dois módulos.

Equações com dois módulos

Até agora, estudamos apenas as equações mais simples - havia um módulo e outra coisa. Enviamos esse “algo mais” para outra parte da desigualdade, longe do módulo, para que no final tudo ficasse reduzido a uma equação como $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ ou ainda mais simples $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Mas o jardim de infância acabou - é hora de considerar algo mais sério. Vamos começar com equações como esta:

\[\esquerda| f\esquerda(x \direita) \direita|=\esquerda| g\esquerda(x \direita) \direita|\]

Esta é uma equação da forma "o módulo é igual ao módulo". Um ponto fundamentalmente importante é a ausência de outros termos e fatores: apenas um módulo à esquerda, mais um módulo à direita - e nada mais.

Alguém poderia pensar agora que tais equações são mais difíceis de resolver do que o que estudamos até agora. Mas não: essas equações são resolvidas ainda mais facilmente. Aqui está a fórmula:

\[\esquerda| f\esquerda(x \direita) \direita|=\esquerda| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Tudo! Simplesmente igualamos as expressões do submódulo prefixando uma delas com um sinal de mais ou menos. E então resolvemos as duas equações resultantes - e as raízes estão prontas! Sem restrições adicionais, sem desigualdades, etc. Tudo é muito simples.

Vamos tentar resolver este problema:

\[\esquerda| 2x+3 \direita|=\esquerda| 2x-7 \direito|\]

Watson elementar! Abrindo os módulos:

\[\esquerda| 2x+3 \direita|=\esquerda| 2x-7 \right|\Rightarrow 2x+3=\pm \left(2x-7 \right)\]

Vamos considerar cada caso separadamente:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\left(2x-7 \right)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\end(alinhar)\]

A primeira equação não tem raízes. Porque quando $3=-7$? Para quais valores de $x$? “Que porra é $x$? Você esta drogado? Não existe $x$”, você diz. E você estará certo. Obtivemos uma igualdade que não depende da variável $x$ e, ao mesmo tempo, a própria igualdade está incorreta. É por isso que não há raízes.

Com a segunda equação, tudo fica um pouco mais interessante, mas também muito, muito simples:

Como você pode ver, tudo foi decidido literalmente em algumas linhas - não esperávamos mais nada de uma equação linear. :)

Como resultado, a resposta final é: $x=1$.

Bem, como? Difícil? Claro que não. Vamos tentar outra coisa:

\[\esquerda| x-1 \direita|=\esquerda| ((x)^(2))-3x+2 \direita|\]

Novamente temos uma equação como $\left| f\esquerda(x \direita) \direita|=\esquerda| g\esquerda(x \direita) \direita|$. Portanto, imediatamente o reescrevemos, revelando o sinal do módulo:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Talvez alguém pergunte agora: “Ei, que tipo de bobagem? Por que mais-menos está no lado direito e não no lado esquerdo? Calma, vou explicar tudo. De fato, no bom sentido, deveríamos ter reescrito nossa equação da seguinte forma:

Então você precisa abrir os colchetes, mover todos os termos em uma direção a partir do sinal de igual (já que a equação, obviamente, será quadrada em ambos os casos), e então encontrar as raízes. Mas você deve admitir: quando “mais-menos” está na frente de três termos (especialmente quando um desses termos é uma expressão quadrada), de alguma forma parece mais complicado do que a situação em que “mais-menos” está apenas na frente de dois termos.

Mas nada nos impede de reescrever a equação original da seguinte forma:

\[\esquerda| x-1 \direita|=\esquerda| ((x)^(2))-3x+2 \right|\Rightarrow \left| ((x)^(2))-3x+2 \direita|=\esquerda| x-1 \direito|\]

O que aconteceu? Sim, nada de especial: apenas troquei os lados esquerdo e direito. Uma ninharia, que no final vai simplificar um pouco as nossas vidas. :)

Em geral, resolvemos essa equação, considerando opções com mais e menos:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\left(x-1 \right)\Rightarrow ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(alinhar)\]

A primeira equação tem raízes $x=3$ e $x=1$. O segundo é geralmente um quadrado exato:

\[((x)^(2))-2x+1=((\left(x-1 \right))^(2))\]

Portanto, tem uma única raiz: $x=1$. Mas já recebemos essa raiz anteriormente. Assim, apenas dois números entrarão na resposta final:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Missão cumprida! Você pode tirá-lo da prateleira e comer uma torta. Existem 2 deles, sua média. :)

Nota importante. A presença das mesmas raízes para diferentes versões da expansão do módulo significa que os polinômios originais são decompostos em fatores, e entre esses fatores necessariamente haverá um comum. Sério:

\[\begin(alinhar)& \left| x-1 \direita|=\esquerda| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\&\esquerda| x-1 \direita|=\esquerda| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(alinhar)\]

Uma das propriedades do módulo: $\left| a\cdot b \direita|=\esquerda| a \right|\cdot \left| b \right|$ (ou seja, o módulo do produto é igual ao produto dos módulos), então a equação original pode ser reescrita como

\[\esquerda| x-1 \direita|=\esquerda| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \direito|\]

Como você pode ver, nós realmente temos um fator comum. Agora, se você coletar todos os módulos de um lado, poderá tirar esse multiplicador do suporte:

\[\begin(alinhar)& \left| x-1 \direita|=\esquerda| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \direito|; \\&\esquerda| x-1 \direita|-\esquerda| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \direito|=0; \\&\esquerda| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(alinhar)\]

Bem, agora lembramos que o produto é igual a zero quando pelo menos um dos fatores é igual a zero:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \direito|=1. \\\end(align) \right.\]

Assim, a equação original com dois módulos foi reduzida às duas equações mais simples sobre as quais falamos no início da lição. Essas equações podem ser resolvidas em apenas algumas linhas. :)

Esta observação pode parecer desnecessariamente complicada e inaplicável na prática. No entanto, na realidade, você pode encontrar tarefas muito mais complexas do que aquelas que estamos analisando hoje. Neles, os módulos podem ser combinados com polinômios, raízes aritméticas, logaritmos, etc. E em tais situações, a capacidade de diminuir o grau geral da equação colocando algo fora dos colchetes pode ser muito, muito útil. :)

Agora gostaria de analisar outra equação, que à primeira vista pode parecer maluca. Muitos alunos “grudam” nele - mesmo aqueles que acreditam ter uma boa compreensão dos módulos.

No entanto, esta equação é ainda mais fácil de resolver do que o que consideramos anteriormente. E se você entender o porquê, terá outro truque para resolver rapidamente equações com módulos.

Então a equação é:

\[\esquerda| x-((x)^(3)) \direita|+\esquerda| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\]

Não, isso não é um erro de digitação: é uma vantagem entre os módulos. E precisamos descobrir para qual $x$ a soma de dois módulos é igual a zero. :)

Qual é o problema? E o problema é que cada módulo é um número positivo, ou em casos extremos, zero. O que acontece quando você soma dois números positivos? Obviamente, novamente um número positivo:

\[\begin(alinhar)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(align)\]

A última linha pode dar uma ideia: o único caso em que a soma dos módulos é zero é se cada módulo for igual a zero:

\[\esquerda| x-((x)^(3)) \direita|+\esquerda| ((x)^(2))+x-2 \right|=0\Rightarrow \left\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left|((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(align) \right.\]

Quando o módulo é igual a zero? Apenas em um caso - quando a expressão do submódulo é igual a zero:

\[((x)^(2))+x-2=0\Rightarrow \left(x+2 \right)\left(x-1 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& x=-2 \\& x=1 \\\end(align) \right.\]

Assim, temos três pontos nos quais o primeiro módulo é zero: 0, 1 e −1; bem como dois pontos em que o segundo módulo é zerado: −2 e 1. No entanto, precisamos que ambos os módulos sejam zerados ao mesmo tempo, portanto, entre os números encontrados, precisamos escolher aqueles que estão incluídos em ambos os conjuntos. Obviamente, existe apenas um número: $x=1$ - esta será a resposta final.

método de divisão

Bem, nós já cobrimos um monte de tarefas e aprendemos muitos truques. Você acha que é isso? Mas não! Agora vamos considerar a técnica final - e ao mesmo tempo a mais importante. Vamos falar sobre a divisão de equações com um módulo. O que será discutido? Vamos voltar um pouco e considerar uma equação simples. Por exemplo, isso:

\[\esquerda| 3x-5\direita|=5-3x\]

Em princípio, já sabemos como resolver tal equação, pois é um padrão $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Mas vamos tentar olhar para esta equação de um ângulo ligeiramente diferente. Mais precisamente, considere a expressão sob o sinal do módulo. Deixe-me lembrá-lo que o módulo de qualquer número pode ser igual ao próprio número, ou pode ser oposto a este número:

\[\esquerda| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Na verdade, essa ambiguidade é todo o problema: como o número sob o módulo muda (depende da variável), não fica claro para nós se é positivo ou negativo.

Mas e se inicialmente exigirmos que esse número seja positivo? Por exemplo, vamos exigir que $3x-5 \gt 0$ - neste caso, temos a garantia de obter um número positivo sob o sinal do módulo e podemos nos livrar completamente desse módulo:

Assim, nossa equação se tornará linear, que é facilmente resolvida:

É verdade que todas essas considerações fazem sentido apenas sob a condição $3x-5 \gt 0$ - nós mesmos introduzimos esse requisito para revelar inequivocamente o módulo. Então, vamos substituir o $x=\frac(5)(3)$ encontrado nesta condição e verificar:

Acontece que para o valor especificado de $x$, nosso requisito não é atendido, porque expressão acabou sendo igual a zero, e precisamos que ela seja estritamente maior que zero. Triste. :(

Mas está tudo bem! Afinal, existe outra opção $3x-5 \lt 0$. Além disso: há também o caso $3x-5=0$ - isso também deve ser considerado, caso contrário a solução ficará incompleta. Então, considere o caso $3x-5 \lt 0$:

É óbvio que o módulo será aberto com um sinal de menos. Mas então surge uma situação estranha: a mesma expressão ficará tanto à esquerda quanto à direita na equação original:

Gostaria de saber para que tal $x$ a expressão $5-3x$ será igual à expressão $5-3x$? A partir de tais equações, até o Capitão obviamente engasgaria com saliva, mas sabemos que essa equação é uma identidade, ou seja, é verdade para qualquer valor da variável!

E isso significa que qualquer $x$ nos servirá. No entanto, temos uma limitação:

Em outras palavras, a resposta não será um único número, mas um intervalo inteiro:

Finalmente, há mais um caso a considerar: $3x-5=0$. Tudo é simples aqui: haverá zero sob o módulo e o módulo de zero também é igual a zero (isso decorre diretamente da definição):

Mas então a equação original $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ será reescrito assim:

Já obtivemos essa raiz acima quando consideramos o caso $3x-5 \gt 0$. Além disso, esta raiz é uma solução para a equação $3x-5=0$ - esta é a restrição que nós mesmos introduzimos para anular o módulo. :)

Assim, além do intervalo, também estaremos satisfeitos com o número situado no final desse intervalo:

Combinando raízes em equações com módulo

Resposta final total: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$. Não é muito comum ver essa porcaria na resposta a uma equação bastante simples (essencialmente linear) com módulo Bem, acostume-se: a complexidade do módulo está no fato de que as respostas em tais equações podem se tornar completamente imprevisíveis.

Muito mais importante é outra coisa: acabamos de desmontar um algoritmo universal para resolver uma equação com um módulo! E esse algoritmo consiste nos seguintes passos:

1. Iguale cada módulo na equação a zero. Vamos pegar algumas equações;
2. Resolva todas essas equações e marque as raízes na reta numérica. Como resultado, a linha reta será dividida em vários intervalos, em cada um dos quais todos os módulos são expandidos de forma única;
3. Resolva a equação original para cada intervalo e combine as respostas.

Isso é tudo! Resta apenas uma pergunta: o que fazer com as raízes obtidas no 1º passo? Digamos que temos duas raízes: $x=1$ e $x=5$. Eles vão quebrar a reta numérica em 3 partes:

Dividindo uma reta numérica em intervalos usando pontos

Então, quais são os intervalos? É claro que existem três deles:

1. Mais à esquerda: $x \lt 1$ - a própria unidade não está incluída no intervalo;
2. Central: $1\le x \lt 5$ - aqui um está incluído no intervalo, mas cinco não está incluído;
3. O mais à direita: $x\ge 5$ — o cinco está incluído apenas aqui!

Acho que você já entendeu o padrão. Cada intervalo inclui a extremidade esquerda e não inclui a extremidade direita.

À primeira vista, tal registro pode parecer desconfortável, ilógico e geralmente uma espécie de loucura. Mas acredite: depois de um pouco de prática, você descobrirá que essa abordagem é a mais confiável e, ao mesmo tempo, não interfere nos módulos reveladores inequívocos. É melhor usar esse esquema do que pensar sempre: dê a extremidade esquerda / direita ao intervalo atual ou “jogue” para o próximo.

Neste artigo, analisaremos detalhadamente o valor absoluto de um número. Daremos várias definições do módulo de um número, introduziremos a notação e daremos ilustrações gráficas. Neste caso, consideramos vários exemplos de encontrar o módulo de um número por definição. Depois disso, listamos e justificamos as principais propriedades do módulo. No final do artigo, falaremos sobre como o módulo de um número complexo é determinado e encontrado.

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Módulo de número - definição, notação e exemplos

Primeiro apresentamos designação do módulo. O módulo do número a será escrito como , ou seja, à esquerda e à direita do número colocaremos linhas verticais que formam o sinal do módulo. Vamos dar alguns exemplos. Por exemplo, módulo -7 pode ser escrito como ; o módulo 4.125 é escrito como , e o módulo é escrito como .

A seguinte definição do módulo refere-se a, e portanto, a, e a inteiros, e a números racionais e irracionais, como partes constituintes do conjunto de números reais. Vamos falar sobre o módulo de um número complexo em.

Definição.

Módulo de umé o próprio número a, se a for um número positivo, ou o número −a, o oposto do número a, se a for um número negativo, ou 0, se a=0 .

A definição sonora do módulo de um número é muitas vezes escrita na seguinte forma , essa notação significa que se a>0 , se a=0 e se a<0 .

O registro pode ser representado de forma mais compacta . Esta notação significa que se (a é maior ou igual a 0 ), e se a<0 .

Há também um registro . Aqui, o caso em que a=0 deve ser explicado separadamente. Neste caso, temos , mas −0=0 , pois zero é considerado um número oposto a si mesmo.

Vamos trazer exemplos de encontrar o módulo de um número com uma determinada definição. Por exemplo, vamos encontrar módulos de números 15 e . Vamos começar encontrando. Como o número 15 é positivo, seu módulo é, por definição, igual a esse próprio número, ou seja, . Qual é o módulo de um número? Como é um número negativo, então seu módulo é igual ao número oposto ao número, ou seja, o número . Nesse caminho, .

Em conclusão deste parágrafo, damos uma conclusão, que é muito conveniente para aplicar na prática ao encontrar o módulo de um número. Da definição do módulo de um número segue que o módulo de um número é igual ao número sob o sinal do módulo, independentemente do seu sinal, e dos exemplos discutidos acima, isso é muito claramente visível. A declaração sonora explica por que o módulo de um número também é chamado o valor absoluto do número. Portanto, o módulo de um número e o valor absoluto de um número são um e o mesmo.

Módulo de um número como uma distância

Geometricamente, o módulo de um número pode ser interpretado como distância. Vamos trazer determinação do módulo de um número em termos de distância.

Definição.

Módulo de umé a distância da origem na linha de coordenadas ao ponto correspondente ao número a.

Esta definição é consistente com a definição do módulo de um número dado no primeiro parágrafo. Vamos explicar este ponto. A distância da origem ao ponto correspondente a um número positivo é igual a esse número. Zero corresponde à origem, então a distância da origem ao ponto com coordenada 0 é zero (nenhum segmento único e nenhum segmento que compõe qualquer fração do segmento unitário precisa ser adiado para ir do ponto O ao ponto com coordenada 0). A distância da origem a um ponto de coordenada negativa é igual ao número oposto à coordenada do ponto dado, pois é igual à distância da origem ao ponto cuja coordenada é o número oposto.

Por exemplo, o módulo do número 9 é 9, pois a distância da origem ao ponto com coordenada 9 é nove. Vamos dar outro exemplo. O ponto com coordenada -3,25 está a uma distância de 3,25 do ponto O, então .

A definição sonora do módulo de um número é um caso especial de definição do módulo da diferença de dois números.

Definição.

Módulo de diferença de dois números a e b é igual à distância entre os pontos da linha de coordenadas com as coordenadas a e b .

Ou seja, se dados pontos na linha de coordenadas A(a) e B(b) , então a distância do ponto A ao ponto B é igual ao módulo da diferença entre os números a e b . Se tomarmos o ponto O (ponto de referência) como ponto B, obteremos a definição do módulo do número dado no início deste parágrafo.

Determinando o módulo de um número através da raiz quadrada aritmética

Às vezes encontrado determinação do módulo através da raiz quadrada aritmética.

Por exemplo, vamos calcular os módulos dos números -30 e com base nessa definição. Nós temos . Da mesma forma, calculamos o módulo de dois terços: .

A definição do módulo de um número em termos da raiz quadrada aritmética também é consistente com a definição dada no primeiro parágrafo deste artigo. Vamos mostrar. Seja a um número positivo e −a negativo. Então e , se a=0 , então .

Propriedades do módulo

O módulo tem vários resultados característicos - propriedades do módulo. Agora vamos dar o principal e mais comumente usado deles. Ao fundamentar essas propriedades, contaremos com a definição do módulo de um número em termos de distância.

Vamos começar com a propriedade de módulo mais óbvia - módulo de um número não pode ser um número negativo. Na forma literal, essa propriedade tem a forma de qualquer número a . Esta propriedade é muito fácil de justificar: o módulo de um número é a distância, e a distância não pode ser expressa como um número negativo.

Vamos para a próxima propriedade do módulo. O módulo de um número é igual a zero se e somente se esse número for zero. O módulo de zero é zero por definição. Zero corresponde à origem, nenhum outro ponto na linha de coordenadas corresponde a zero, pois cada número real está associado a um único ponto na linha de coordenadas. Pela mesma razão, qualquer número diferente de zero corresponde a um ponto diferente da origem. E a distância da origem a qualquer ponto diferente do ponto O não é igual a zero, pois a distância entre dois pontos é igual a zero se e somente se esses pontos coincidem. O raciocínio acima prova que apenas o módulo de zero é igual a zero.

Ir em frente. Números opostos têm módulos iguais, ou seja, para qualquer número a . De fato, dois pontos na linha de coordenadas, cujas coordenadas são números opostos, estão à mesma distância da origem, o que significa que os módulos de números opostos são iguais.

A próxima propriedade do módulo é: o módulo do produto de dois números é igual ao produto dos módulos desses números, isso é, . Por definição, o módulo do produto dos números a e b é a b se , ou −(a b) se . Segue-se das regras de multiplicação de números reais que o produto dos módulos dos números a e b é igual a a b , , ou −(a b) , if , o que prova a propriedade considerada.

O módulo do quociente de dividir a por b é igual ao quociente de dividir o módulo de a pelo módulo de b, isso é, . Vamos justificar esta propriedade do módulo. Como o quociente é igual ao produto, então . Pela propriedade anterior, temos . Resta apenas usar a igualdade , que é válida devido à definição do módulo do número.

A seguinte propriedade do módulo é escrita como uma desigualdade: , a , b e c são números reais arbitrários. A desigualdade escrita nada mais é do que desigualdade triangular. Para deixar isso claro, vamos tomar os pontos A(a) , B(b) , C(c) na linha de coordenadas e considerar o triângulo degenerado ABC, cujos vértices estão na mesma linha. Por definição, o módulo da diferença é igual ao comprimento do segmento AB, - ao comprimento do segmento AC, e - ao comprimento do segmento CB. Como o comprimento de qualquer lado de um triângulo não excede a soma dos comprimentos dos outros dois lados, a desigualdade , portanto, a desigualdade também vale.

A desigualdade que acabamos de provar é muito mais comum na forma . A desigualdade escrita é geralmente considerada como uma propriedade separada do módulo com a formulação: “ O módulo da soma de dois números não excede a soma dos módulos desses números". Mas a desigualdade segue diretamente da desigualdade , se colocarmos −b em vez de b nela, e tomarmos c=0 .

Módulo de número complexo

Vamos dar determinação do módulo de um número complexo. Deixe-nos ser dado número complexo, escrito na forma algébrica , onde xey são alguns números reais, representando, respectivamente, as partes real e imaginária de um dado número complexo z, e é uma unidade imaginária.

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O valor absoluto de um número umaé a distância da origem ao ponto MAS(uma).

Para entender essa definição, substituímos em vez de uma variável uma qualquer número, por exemplo 3 e tente lê-lo novamente:

O valor absoluto de um número 3 é a distância da origem ao ponto MAS(3 ).

Fica claro que o módulo nada mais é do que a distância usual. Vamos tentar ver a distância da origem ao ponto A( 3 )

A distância da origem das coordenadas ao ponto A( 3 ) é igual a 3 (três unidades ou três passos).

O módulo de um número é indicado por duas linhas verticais, por exemplo:

O módulo do número 3 é indicado da seguinte forma: |3|

O módulo do número 4 é indicado da seguinte forma: |4|

O módulo do número 5 é indicado da seguinte forma: |5|

Procuramos o módulo do número 3 e descobrimos que é igual a 3. Então escrevemos:

Lê como: "O módulo de três é três"

Agora vamos tentar encontrar o módulo do número -3. Novamente, voltamos à definição e substituímos o número -3 nela. Apenas em vez de um ponto UMA usar novo ponto B. ponto UMA já usamos no primeiro exemplo.

O módulo do número é 3 chame a distância da origem ao ponto B(—3 ).

A distância de um ponto a outro não pode ser negativa. Portanto, o módulo de qualquer número negativo, sendo uma distância, também não será negativo. O módulo do número -3 será o número 3. A distância da origem ao ponto B(-3) também é igual a três unidades:

Lê como: "O módulo de um número menos três é três"

O módulo do número 0 é 0, pois o ponto com coordenada 0 coincide com a origem, ou seja, distância da origem ao ponto O(0) igual a zero:

"O módulo de zero é zero"

Tiramos conclusões:

• O módulo de um número não pode ser negativo;
• Para um número positivo e zero, o módulo é igual ao próprio número, e para um negativo, ao número oposto;
• Números opostos têm módulos iguais.

Números opostos

Os números que diferem apenas nos sinais são chamados oposto. Por exemplo, os números -2 e 2 são opostos. Eles diferem apenas nos sinais. O número -2 tem um sinal de menos e 2 tem um sinal de mais, mas não o vemos porque mais, como dissemos anteriormente, tradicionalmente não é escrito.

Mais exemplos de números opostos:

Números opostos têm módulos iguais. Por exemplo, vamos encontrar módulos para -2 e 2

A figura mostra que a distância da origem aos pontos A(−2) e B(2) igual a dois passos.

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