Ao resolver o problema C2 usando o método das coordenadas, muitos alunos enfrentam o mesmo problema. Eles não podem calcular coordenadas do ponto incluído na fórmula do produto escalar. As maiores dificuldades são pirâmides. E se os pontos base são considerados mais ou menos normais, então os topos são um verdadeiro inferno.

Hoje vamos lidar com uma pirâmide quadrangular regular. Há também uma pirâmide triangular (aka - tetraedro). Este é um design mais complexo, portanto, uma lição separada será dedicada a ele.

Vamos começar com a definição:

Uma pirâmide regular é aquela em que:

1. A base é um polígono regular: triângulo, quadrado, etc.;
2. A altura desenhada para a base passa pelo seu centro.

Em particular, a base de uma pirâmide quadrangular é quadrado. Assim como Quéops, apenas um pouco menor.

Abaixo estão os cálculos para uma pirâmide com todas as arestas iguais a 1. Se este não for o caso do seu problema, os cálculos não mudam - apenas os números serão diferentes.

Vértices de uma pirâmide quadrangular

Então, seja dada uma pirâmide quadrangular regular SABCD, onde S é o topo, a base de ABCD é um quadrado. Todas as arestas são iguais a 1. É necessário inserir um sistema de coordenadas e encontrar as coordenadas de todos os pontos. Nós temos:

Introduzimos um sistema de coordenadas com origem no ponto A:

1. O eixo OX é direcionado paralelamente à aresta AB;
2. Eixo OY-paralelo ao AD. Como ABCD é um quadrado, AB ⊥ AD ;
3. Finalmente, o eixo OZ é direcionado para cima, perpendicular ao plano ABCD.

Agora vamos considerar as coordenadas. Construção adicional: SH - altura puxada para a base. Por conveniência, retiraremos a base da pirâmide em uma figura separada. Como os pontos A , B , C e D estão no plano OXY, sua coordenada é z = 0. Temos:

1. A = (0; 0; 0) - coincide com a origem;
2. B = (1; 0; 0) - passo a 1 ao longo do eixo OX a partir da origem;
3. C = (1; 1; 0) - passo de 1 ao longo do eixo OX e de 1 ao longo do eixo OY;
4. D = (0; 1; 0) - passo apenas ao longo do eixo OY.
5. H \u003d (0,5; 0,5; 0) - o centro do quadrado, o meio do segmento AC.

Resta encontrar as coordenadas do ponto S. Observe que as coordenadas xey dos pontos S e H são as mesmas porque estão em uma linha reta paralela ao eixo OZ. Resta encontrar a coordenada z para o ponto S .

Considere os triângulos ASH e ABH:

1. AS = AB = 1 por condição;
2. Ângulo AHS = AHB = 90° pois SH é a altura e AH ⊥ HB as diagonais de um quadrado;
3. Lado AH - comum.

Portanto, os triângulos retângulos ASH e ABH igual uma perna e uma hipotenusa. Então SH = BH = 0,5 BD. Mas BD é a diagonal de um quadrado de lado 1. Portanto, temos:

Coordenadas totais do ponto S:

Em conclusão, anotamos as coordenadas de todos os vértices de uma pirâmide retangular regular:

O que fazer quando as costelas são diferentes

Mas e se as arestas laterais da pirâmide não forem iguais às arestas da base? Neste caso, considere o triângulo AHS:

Triângulo AHS- retangular, e a hipotenusa AS também é uma aresta lateral da pirâmide original SABCD . A perna AH é facilmente considerada: AH = 0,5 AC. Encontre a perna restante SH de acordo com o teorema de Pitágoras. Esta será a coordenada z para o ponto S.

Uma tarefa. Dada uma pirâmide quadrangular regular SABCD , na base da qual se encontra um quadrado de lado 1. Aresta lateral BS = 3. Encontre as coordenadas do ponto S .

Já conhecemos as coordenadas xey deste ponto: x = y = 0,5. Isso decorre de dois fatos:

1. A projeção do ponto S no plano OXY é o ponto H;
2. Ao mesmo tempo, o ponto H é o centro do quadrado ABCD, cujos lados são iguais a 1.

Resta encontrar a coordenada do ponto S. Considere o triângulo AHS. É retangular, com a hipotenusa AS = BS = 3, a perna AH é metade da diagonal. Para cálculos adicionais, precisamos de seu comprimento:

Teorema de Pitágoras para o triângulo AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Nós temos:

Assim, as coordenadas do ponto S:

Definição. Face lateral- este é um triângulo em que um ângulo está no topo da pirâmide e o lado oposto coincide com o lado da base (polígono).

Definição. Costelas laterais são os lados comuns das faces laterais. Uma pirâmide tem tantas arestas quantos cantos em um polígono.

Definição. altura da pirâmideé uma perpendicular baixada do topo até a base da pirâmide.

Definição. Apótema- esta é a perpendicular da face lateral da pirâmide, baixada do topo da pirâmide até a lateral da base.

Definição. Seção diagonal- esta é uma seção da pirâmide por um plano que passa pelo topo da pirâmide e pela diagonal da base.

Definição. Pirâmide correta- Esta é uma pirâmide em que a base é um polígono regular e a altura desce até o centro da base.

Volume e área de superfície da pirâmide

Fórmula. volume da pirâmide através da área da base e da altura:

propriedades da pirâmide

Se todas as arestas laterais são iguais, então um círculo pode ser circunscrito ao redor da base da pirâmide, e o centro da base coincide com o centro do círculo. Além disso, a perpendicular baixada do topo passa pelo centro da base (círculo).

Se todas as nervuras laterais forem iguais, elas serão inclinadas em relação ao plano de base nos mesmos ângulos.

As nervuras laterais são iguais quando formam ângulos iguais com o plano da base, ou se um círculo pode ser descrito ao redor da base da pirâmide.

Se as faces laterais estão inclinadas em relação ao plano da base em um ângulo, então um círculo pode ser inscrito na base da pirâmide e o topo da pirâmide é projetado em seu centro.

Se as faces laterais estão inclinadas em relação ao plano base em um ângulo, então os apótemas das faces laterais são iguais.

Propriedades de uma pirâmide regular

1. O topo da pirâmide é equidistante de todos os cantos da base.

2. Todas as arestas laterais são iguais.

3. Todas as nervuras laterais são inclinadas nos mesmos ângulos em relação à base.

4. Apótemas de todas as faces laterais são iguais.

5. As áreas de todas as faces laterais são iguais.

6. Todas as faces têm os mesmos ângulos diedros (planos).

7. Uma esfera pode ser descrita ao redor da pirâmide. O centro da esfera descrita será o ponto de intersecção das perpendiculares que passam pelo meio das arestas.

8. Uma esfera pode ser inscrita em uma pirâmide. O centro da esfera inscrita será o ponto de intersecção das bissetrizes que emanam do ângulo entre a aresta e a base.

9. Se o centro da esfera inscrita coincide com o centro da esfera circunscrita, então a soma dos ângulos planos no vértice é igual a π ou vice-versa, um ângulo é igual a π / n, onde n é o número dos ângulos da base da pirâmide.

A conexão da pirâmide com a esfera

Uma esfera pode ser descrita ao redor da pirâmide quando na base da pirâmide está um poliedro ao redor do qual um círculo pode ser descrito (uma condição necessária e suficiente). O centro da esfera será o ponto de intersecção dos planos que passam perpendicularmente pelos pontos médios das arestas laterais da pirâmide.

Uma esfera sempre pode ser descrita em torno de qualquer pirâmide triangular ou regular.

Uma esfera pode ser inscrita em uma pirâmide se os planos bissetrizes dos ângulos diedros internos da pirâmide se cruzam em um ponto (uma condição necessária e suficiente). Este ponto será o centro da esfera.

A conexão da pirâmide com o cone

Um cone é dito inscrito em uma pirâmide se seus vértices coincidem e a base do cone está inscrita na base da pirâmide.

Um cone pode ser inscrito em uma pirâmide se os apótemas da pirâmide forem iguais.

Um cone é chamado de circunscrito ao redor de uma pirâmide se seus vértices coincidem e a base do cone está circunscrita ao redor da base da pirâmide.

Um cone pode ser descrito em torno de uma pirâmide se todas as arestas laterais da pirâmide forem iguais entre si.

Conexão de uma pirâmide com um cilindro

Diz-se que uma pirâmide está inscrita em um cilindro se o topo da pirâmide estiver em uma base do cilindro e a base da pirâmide estiver inscrita em outra base do cilindro.

Um cilindro pode ser circunscrito em torno de uma pirâmide se um círculo pode ser circunscrito em torno da base da pirâmide.

Definição. Pirâmide truncada (prisma piramidal)- Este é um poliedro que está localizado entre a base da pirâmide e um plano de corte paralelo à base. Assim, a pirâmide tem uma base grande e uma base menor que é semelhante à maior. As faces laterais são trapezoidais.

Definição. Pirâmide triangular (tetraedro)- esta é uma pirâmide em que três faces e a base são triângulos arbitrários.

Um tetraedro tem quatro faces e quatro vértices e seis arestas, onde quaisquer duas arestas não têm vértices comuns, mas não se tocam.

Cada vértice consiste em três faces e arestas que formam ângulo triédrico.

O segmento que liga o vértice do tetraedro com o centro da face oposta é chamado mediana do tetraedro(GM).

Bimedianoé chamado de segmento conectando os pontos médios de arestas opostas que não se tocam (KL).

Todas as bimedianas e medianas de um tetraedro se cruzam em um ponto (S). Neste caso, as bimedianas são divididas ao meio, e as medianas na proporção de 3:1 a partir do topo.

Definição. pirâmide inclinadaé uma pirâmide em que uma das arestas forma um ângulo obtuso (β) com a base.

Definição. Pirâmide retangularé uma pirâmide em que uma das faces laterais é perpendicular à base.

Definição. Pirâmide Angular Agudaé uma pirâmide em que o apótema tem mais da metade do comprimento do lado da base.

Definição. pirâmide obtusaé uma pirâmide em que o apótema é menor que a metade do comprimento do lado da base.

Definição. tetraedro regular Um tetraedro cujas quatro faces são triângulos equiláteros. É um dos cinco polígonos regulares. Em um tetraedro regular, todos os ângulos diedros (entre faces) e ângulos triédricos (em um vértice) são iguais.

Definição. Tetraedro retangular Um tetraedro é chamado com um ângulo reto entre três arestas no vértice (as arestas são perpendiculares). Forma de três faces ângulo triédrico retangular e as faces são triângulos retângulos, e a base é um triângulo arbitrário. O apótema de qualquer rosto é igual à metade do lado da base sobre o qual o apótema cai.

Definição. Tetraedro isoédrico Um tetraedro é chamado em que as faces laterais são iguais entre si, e a base é um triângulo regular. As faces de tal tetraedro são triângulos isósceles.

Definição. Tetraedro ortocêntrico um tetraedro é chamado em que todas as alturas (perpendiculares) que são abaixadas do topo para a face oposta se cruzam em um ponto.

Definição. pirâmide estelar Chama-se poliedro cuja base é uma estrela.

Definição. Bipirâmide- um poliedro composto por duas pirâmides diferentes (as pirâmides também podem ser cortadas), tendo uma base comum, e os vértices estão em lados opostos do plano de base.

Pirâmide. Pirâmide truncada

Pirâmideé chamado de poliedro, uma de cujas faces é um polígono ( base ), e todas as outras faces são triângulos com um vértice comum ( faces laterais ) (Fig. 15). A pirâmide é chamada correto , se sua base for um polígono regular e o topo da pirâmide for projetado no centro da base (Fig. 16). Uma pirâmide triangular em que todas as arestas são iguais é chamada de tetraedro .

Costela lateral pirâmide é chamado o lado da face lateral que não pertence à base Altura pirâmide é a distância do seu topo ao plano da base. Todas as arestas laterais de uma pirâmide regular são iguais entre si, todas as faces laterais são triângulos isósceles iguais. A altura da face lateral de uma pirâmide regular desenhada a partir do vértice é chamada apotema . seção diagonal Uma seção de uma pirâmide é chamada de plano que passa por duas arestas laterais que não pertencem à mesma face.

Superfície lateral pirâmide é chamada de soma das áreas de todas as faces laterais. Superfície total é a soma das áreas de todas as faces laterais e da base.

Teoremas

1. Se em uma pirâmide todas as arestas laterais são igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o topo da pirâmide é projetado no centro do círculo circunscrito próximo à base.

2. Se em uma pirâmide todas as arestas laterais têm comprimentos iguais, então o topo da pirâmide é projetado no centro do círculo circunscrito próximo à base.

3. Se na pirâmide todas as faces estão igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o topo da pirâmide é projetado no centro do círculo inscrito na base.

Para calcular o volume de uma pirâmide arbitrária, a fórmula está correta:

Onde V- volume;

S principal- área de base;

Hé a altura da pirâmide.

Para uma pirâmide regular, as seguintes fórmulas são verdadeiras:

Onde p- o perímetro da base;

h a- apótema;

H- altura;

S cheio

lado S

S principal- área de base;

Vé o volume de uma pirâmide regular.

pirâmide truncada chamada de parte da pirâmide delimitada entre a base e o plano de corte paralelo à base da pirâmide (Fig. 17). Pirâmide truncada correta chamada de parte de uma pirâmide regular, encerrada entre a base e um plano de corte paralelo à base da pirâmide.

Fundações pirâmide truncada - polígonos semelhantes. Faces laterais - trapézio. Altura pirâmide truncada é chamada de distância entre suas bases. Diagonal Uma pirâmide truncada é um segmento conectando seus vértices que não estão na mesma face. seção diagonal Uma seção de uma pirâmide truncada é chamada de plano que passa por duas arestas laterais que não pertencem à mesma face.

Para uma pirâmide truncada, as fórmulas são válidas:

(4)

Onde S 1 , S 2 - áreas das bases superior e inferior;

S cheioé a área total da superfície;

lado Sé a área de superfície lateral;

H- altura;

Vé o volume da pirâmide truncada.

Para uma pirâmide truncada regular, a seguinte fórmula é verdadeira:

Onde p 1 , p 2 - perímetros de base;

h a- o apótema de uma pirâmide truncada regular.

Exemplo 1 Em uma pirâmide triangular regular, o ângulo diedro na base é de 60º. Encontre a tangente do ângulo de inclinação da aresta lateral ao plano da base.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 18).

A pirâmide é regular, o que significa que a base é um triângulo equilátero e todas as faces laterais são triângulos isósceles iguais. O ângulo diedro na base é o ângulo de inclinação da face lateral da pirâmide para o plano da base. O ângulo linear será o ângulo uma entre duas perpendiculares: i.e. O topo da pirâmide é projetado no centro do triângulo (o centro do círculo circunscrito e o círculo inscrito no triângulo abc). O ângulo de inclinação da nervura lateral (por exemplo SB) é o ângulo entre a própria aresta e sua projeção no plano base. Para costela SB este ângulo será o ângulo SBD. Para encontrar a tangente você precisa conhecer as pernas ASSIM e OB. Deixe o comprimento do segmento BDé 3 uma. ponto O segmento de linha BDé dividido em partes: e De encontramos ASSIM: De encontramos:

Responda:

Exemplo 2 Encontre o volume de uma pirâmide quadrangular truncada regular se as diagonais de suas bases são cm e cm e a altura é 4 cm.

Solução. Para encontrar o volume de uma pirâmide truncada, usamos a fórmula (4). Para encontrar as áreas das bases, você precisa encontrar os lados dos quadrados da base, conhecendo suas diagonais. Os lados das bases são 2 cm e 8 cm, respectivamente. Isso significa as áreas das bases e Substituindo todos os dados na fórmula, calculamos o volume da pirâmide truncada:

Responda: 112 cm3.

Exemplo 3 Encontre a área da face lateral de uma pirâmide truncada triangular regular cujos lados das bases são 10 cm e 4 cm, e a altura da pirâmide é 2 cm.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 19).

A face lateral desta pirâmide é um trapézio isósceles. Para calcular a área de um trapézio, você precisa conhecer as bases e a altura. As bases são dadas por condição, apenas a altura permanece desconhecida. Encontre-o de onde MAS 1 E perpendicular de um ponto MAS 1 no plano da base inferior, UMA 1 D- perpendicular de MAS 1 em CA. MAS 1 E\u003d 2 cm, pois esta é a altura da pirâmide. Para encontrar DE faremos um desenho adicional, no qual representaremos uma vista superior (Fig. 20). Ponto O- projeção dos centros das bases superior e inferior. uma vez que (ver Fig. 20) e Por outro lado OKé o raio do círculo inscrito e OMé o raio do círculo inscrito:

MK=DE.

De acordo com o teorema de Pitágoras de

Área da face lateral:

Responda:

Exemplo 4 Na base da pirâmide encontra-se um trapézio isósceles, cujas bases uma e b (uma> b). Cada face lateral forma um ângulo igual ao plano da base da pirâmide j. Encontre a área total da superfície da pirâmide.

Solução. Vamos fazer um desenho (Fig. 21). Área total da superfície da pirâmide SABCé igual a soma das áreas e a área do trapézio ABCD.

Vamos usar a afirmação de que se todas as faces da pirâmide estão igualmente inclinadas em relação ao plano da base, então o vértice é projetado no centro do círculo inscrito na base. Ponto O- projeção de vértices S na base da pirâmide. Triângulo SODé a projeção ortogonal do triângulo refrigerante ao plano base. De acordo com o teorema sobre a área da projeção ortogonal de uma figura plana, obtemos:

Da mesma forma, significa Assim, o problema foi reduzido a encontrar a área do trapézio ABCD. Desenhe um trapézio ABCD separadamente (Fig. 22). Ponto Oé o centro de um círculo inscrito em um trapézio.

Como um círculo pode ser inscrito em um trapézio, então ou Pelo teorema de Pitágoras temos

Definição

Pirâmideé um poliedro composto por um polígono \(A_1A_2...A_n\) e triângulos \(n\) com um vértice comum \(P\) (não situado no plano do polígono) e lados opostos coincidentes com os lados de o polígono.
Designação: \(PA_1A_2...A_n\) .
Exemplo: pirâmide pentagonal \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Triângulos \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) etc. chamado faces laterais pirâmides, segmentos \(PA_1, PA_2\), etc. - costelas laterais, polígono \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – base, ponto \(P\) – cume.

Altura Pirâmides são uma queda perpendicular do topo da pirâmide ao plano da base.

Uma pirâmide com um triângulo na base é chamada de tetraedro.

A pirâmide é chamada correto, se sua base for um polígono regular e uma das seguintes condições for atendida:

\((a)\) arestas laterais da pirâmide são iguais;

\((b)\) a altura da pirâmide passa pelo centro do círculo circunscrito próximo à base;

\((c)\) as nervuras laterais são inclinadas em relação ao plano de base no mesmo ângulo.

\((d)\) as faces laterais são inclinadas em relação ao plano base no mesmo ângulo.

tetraedro regularé uma pirâmide triangular, cujas faces são triângulos equiláteros iguais.

Teorema

As condições \((a), (b), (c), (d)\) são equivalentes.

Prova

Desenhe a altura da pirâmide \(PH\) . Seja \(\alpha\) o plano da base da pirâmide.

1) Provemos que \((a)\) implica \((b)\) . Seja \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Porque \(PH\perp \alpha\) , então \(PH\) é perpendicular a qualquer linha situada neste plano, então os triângulos são retângulos. Portanto, esses triângulos são iguais em cateto comum \(PH\) e hipotenusa \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Então \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Isso significa que os pontos \(A_1, A_2, ..., A_n\) estão à mesma distância do ponto \(H\) , portanto, eles estão no mesmo círculo com raio \(A_1H\) . Este círculo, por definição, está circunscrito ao polígono \(A_1A_2...A_n\) .

2) Provemos que \((b)\) implica \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) retangular e igual em duas pernas. Portanto, seus ângulos também são iguais, portanto, \(\ângulo PA_1H=\ângulo PA_2H=...=\ângulo PA_nH\).

3) Provemos que \((c)\) implica \((a)\) .

Semelhante ao primeiro ponto, os triângulos \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) retangular e ao longo da perna e ângulo agudo. Isso significa que suas hipotenusas também são iguais, ou seja, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Provemos que \((b)\) implica \((d)\) .

Porque em um polígono regular, os centros dos círculos circunscritos e inscritos coincidem (em geral, esse ponto é chamado de centro de um polígono regular), então \(H\) é o centro do círculo inscrito. Vamos traçar perpendiculares do ponto \(H\) aos lados da base: \(HK_1, HK_2\), etc. Estes são os raios do círculo inscrito (por definição). Então, de acordo com o TTP, (\(PH\) é uma perpendicular ao plano, \(HK_1, HK_2\), etc. são projeções perpendiculares aos lados) oblíquas \(PK_1, PK_2\), etc. perpendicular aos lados \(A_1A_2, A_2A_3\), etc. respectivamente. Então, por definição \(\ângulo PK_1H, \ângulo PK_2H\) igual aos ângulos entre as faces laterais e a base. Porque triângulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) são iguais (como ângulo reto em duas pernas), então os ângulos \(\ângulo PK_1H, \ângulo PK_2H, ...\) são iguais.

5) Provemos que \((d)\) implica \((b)\) .

Da mesma forma que o quarto ponto, os triângulos \(PK_1H, PK_2H, ...\) são iguais (como retangulares ao longo da perna e ângulo agudo), o que significa que os segmentos \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) são iguais. Assim, por definição, \(H\) é o centro de um círculo inscrito na base. Mas desde para polígonos regulares, os centros dos círculos inscritos e circunscritos coincidem, então \(H\) é o centro do círculo circunscrito. Chtd.

Consequência

As faces laterais de uma pirâmide regular são triângulos isósceles iguais.

Definição

A altura da face lateral de uma pirâmide regular, desenhada a partir de seu topo, é chamada de apotema.
Os apótemas de todas as faces laterais de uma pirâmide regular são iguais entre si e também são medianas e bissetrizes.

Anotações importantes

1. A altura de uma pirâmide triangular regular cai no ponto de interseção das alturas (ou bissetrizes, ou medianas) da base (a base é um triângulo regular).

2. A altura de uma pirâmide quadrangular regular cai no ponto de intersecção das diagonais da base (a base é um quadrado).

3. A altura de uma pirâmide hexagonal regular cai no ponto de intersecção das diagonais da base (a base é um hexágono regular).

4. A altura da pirâmide é perpendicular a qualquer linha reta situada na base.

Definição

A pirâmide é chamada retangular se uma de suas arestas laterais for perpendicular ao plano da base.

Anotações importantes

1. Para uma pirâmide retangular, a aresta perpendicular à base é a altura da pirâmide. Ou seja, \(SR\) é a altura.

2. Porque \(SR\) perpendicular a qualquer linha da base, então \(\triângulo SRM, \triângulo SRP\) são triângulos retângulos.

3. Triângulos \(\triângulo SRN, \triângulo SRK\) também são retangulares.
Ou seja, qualquer triângulo formado por essa aresta e a diagonal que sai do vértice dessa aresta, que fica na base, será retângulo.

\[(\Large(\text(Volume e área de superfície da pirâmide)))\]

Teorema

O volume de uma pirâmide é igual a um terço do produto da área da base e a altura da pirâmide: \

Consequências

Seja \(a\) o lado da base, \(h\) a altura da pirâmide.

1. O volume de uma pirâmide triangular regular é \(V_(\text(triângulo retângulo pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. O volume de uma pirâmide quadrangular regular é \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. O volume de uma pirâmide hexagonal regular é \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. O volume de um tetraedro regular é \(V_(\text(tetra direito))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorema

A área da superfície lateral de uma pirâmide regular é igual à metade do produto do perímetro da base e do apótema.

\[(\Large(\text(pirâmide truncada)))\]

Definição

Considere uma pirâmide arbitrária \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Tracemos um plano paralelo à base da pirâmide passando por um certo ponto situado na borda lateral da pirâmide. Este plano dividirá a pirâmide em dois poliedros, um dos quais é uma pirâmide (\(PB_1B_2...B_n\) ), e o outro é chamado pirâmide truncada(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

A pirâmide truncada tem duas bases - polígonos \(A_1A_2...A_n\) e \(B_1B_2...B_n\) , que são semelhantes entre si.

A altura de uma pirâmide truncada é uma perpendicular traçada de algum ponto da base superior ao plano da base inferior.

Anotações importantes

1. Todas as faces laterais de uma pirâmide truncada são trapézios.

2. O segmento que liga os centros das bases de uma pirâmide truncada regular (ou seja, uma pirâmide obtida por uma seção de uma pirâmide regular) é uma altura.

Introdução

Quando começamos a estudar figuras estereométricas, tocamos no tópico "Pirâmide". Gostamos deste tema porque a pirâmide é muito usada na arquitetura. E desde a nossa futura profissão de arquiteta, inspirada por esta figura, pensamos que ela poderá nos impulsionar a grandes projetos.

A força das estruturas arquitetônicas, sua qualidade mais importante. Associando a resistência, em primeiro lugar, aos materiais a partir dos quais são criadas e, em segundo lugar, às características das soluções de projeto, verifica-se que a resistência de uma estrutura está diretamente relacionada à forma geométrica que lhe é básica.

Em outras palavras, estamos falando da figura geométrica que pode ser considerada como modelo da forma arquitetônica correspondente. Acontece que a forma geométrica também determina a força da estrutura arquitetônica.

As pirâmides egípcias há muito são consideradas a estrutura arquitetônica mais durável. Como você sabe, eles têm a forma de pirâmides quadrangulares regulares.

É esta forma geométrica que proporciona a maior estabilidade devido à grande área de base. Por outro lado, a forma da pirâmide garante que a massa diminua à medida que a altura acima do solo aumenta. São essas duas propriedades que tornam a pirâmide estável e, portanto, forte nas condições da gravidade.

Objetivo do projeto: aprenda algo novo sobre as pirâmides, aprofunde o conhecimento e encontre aplicações práticas.

Para atingir este objetivo, foi necessário resolver as seguintes tarefas:

Aprenda informações históricas sobre a pirâmide

Considere a pirâmide como uma figura geométrica

Encontre aplicação na vida e na arquitetura

Encontre semelhanças e diferenças entre pirâmides localizadas em diferentes partes do mundo

Parte teórica

Informação histórica

O início da geometria da pirâmide foi estabelecido no antigo Egito e na Babilônia, mas foi desenvolvido ativamente na Grécia antiga. O primeiro a estabelecer a que o volume da pirâmide é igual foi Demócrito, e Eudoxo de Cnido provou isso. O antigo matemático grego Euclides sistematizou o conhecimento sobre a pirâmide no volume XII de seus "Inícios", e também trouxe a primeira definição da pirâmide: uma figura corporal delimitada por planos que convergem de um plano em um ponto.

Os túmulos dos faraós egípcios. O maior deles - as pirâmides de Quéops, Khafre e Mikerin em El Gizé nos tempos antigos foram considerados uma das Sete Maravilhas do Mundo. A ereção da pirâmide, na qual os gregos e romanos já viam um monumento ao orgulho sem precedentes dos reis e à crueldade, que condenou todo o povo do Egito a uma construção sem sentido, foi o ato de culto mais importante e deveria expressar, aparentemente, a identidade mística do país e seu governante. A população do país trabalhou na construção do túmulo na parte do ano livre de trabalhos agrícolas. Vários textos testemunham a atenção e o cuidado que os próprios reis (ainda que mais tarde) deram à construção de seu túmulo e de seus construtores. Também se sabe sobre as honras especiais do culto que acabaram sendo a própria pirâmide.

Conceitos Básicos

Pirâmide Um poliedro é chamado, cuja base é um polígono, e as faces restantes são triângulos com um vértice comum.

Apótema- a altura da face lateral de uma pirâmide regular, desenhada de seu topo;

Faces laterais- triângulos convergentes no topo;

Costelas laterais- lados comuns das faces laterais;

topo da pirâmide- um ponto que liga as bordas laterais e não se encontra no plano da base;

Altura- um segmento de uma perpendicular traçada pelo topo da pirâmide até o plano de sua base (as extremidades desse segmento são o topo da pirâmide e a base da perpendicular);

Seção diagonal de uma pirâmide- seção da pirâmide passando pelo topo e pela diagonal da base;

Base- um polígono que não pertence ao topo da pirâmide.

As principais propriedades da pirâmide correta

As arestas laterais, faces laterais e apótemas são iguais, respectivamente.

Os ângulos diedros na base são iguais.

Os ângulos diedros nas arestas laterais são iguais.

Cada ponto de altura é equidistante de todos os vértices da base.

Cada ponto de altura é equidistante de todas as faces laterais.

Fórmulas básicas da pirâmide

A área da superfície lateral e completa da pirâmide.

A área da superfície lateral da pirâmide (cheia e truncada) é a soma das áreas de todas as suas faces laterais, a área total da superfície é a soma das áreas de todas as suas faces.

Teorema: A área da superfície lateral de uma pirâmide regular é igual à metade do produto do perímetro da base e do apótema da pirâmide.

p- perímetro da base;

h- apótema.

A área das superfícies laterais e completas de uma pirâmide truncada.

p1, p 2 - perímetros de base;

h- apótema.

R- área de superfície total de uma pirâmide truncada regular;

lado S- área da superfície lateral de uma pirâmide truncada regular;

S1 + S2- área básica

Volume da Pirâmide

Forma A escala de volume é usada para pirâmides de qualquer tipo.

Hé a altura da pirâmide.

Ângulos da pirâmide

Os ângulos que são formados pela face lateral e pela base da pirâmide são chamados de ângulos diedros na base da pirâmide.

Um ângulo diedro é formado por duas perpendiculares.

Para determinar esse ângulo, muitas vezes você precisa usar o teorema das três perpendiculares.

Os ângulos formados por uma aresta lateral e sua projeção no plano da base são chamados ângulos entre a aresta lateral e o plano da base.

O ângulo formado por duas faces laterais é chamado ângulo diedro na borda lateral da pirâmide.

O ângulo, que é formado por duas arestas laterais de uma face da pirâmide, é chamado de canto no topo da pirâmide.

Seções da pirâmide

A superfície de uma pirâmide é a superfície de um poliedro. Cada uma de suas faces é um plano, então a seção da pirâmide dada pelo plano secante é uma linha quebrada que consiste em linhas retas separadas.

Seção diagonal

A seção de uma pirâmide por um plano que passa por duas arestas laterais que não estão na mesma face é chamada seção diagonal pirâmides.

Seções paralelas

Teorema:

Se a pirâmide é atravessada por um plano paralelo à base, as bordas laterais e as alturas da pirâmide são divididas por esse plano em partes proporcionais;

A seção deste plano é um polígono semelhante à base;

As áreas da seção e da base estão relacionadas entre si como os quadrados de suas distâncias do topo.

Tipos de pirâmide

Pirâmide correta- uma pirâmide, cuja base é um polígono regular, e o topo da pirâmide é projetado no centro da base.

Na pirâmide correta:

1. costelas laterais são iguais

2. faces laterais são iguais

3. apótemas são iguais

4. ângulos diedros na base são iguais

5. ângulos diedros nas bordas laterais são iguais

6. cada ponto de altura é equidistante de todos os vértices da base

7. cada ponto de altura é equidistante de todas as faces laterais

Pirâmide truncada- a parte da pirâmide encerrada entre a sua base e um plano de corte paralelo à base.

A base e a seção correspondente de uma pirâmide truncada são chamadas de bases de uma pirâmide truncada.

A perpendicular traçada de qualquer ponto de uma base ao plano de outra é chamada de a altura da pirâmide truncada.

Tarefas

Nº 1. Em uma pirâmide quadrangular regular, o ponto O é o centro da base, SO=8 cm, BD=30 cm Encontre a aresta lateral SA.

Solução de problemas

Nº 1. Em uma pirâmide regular, todas as faces e arestas são iguais.

Vamos considerar OSB: retângulo retangular OSB, porque.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Pirâmide na arquitetura

Pirâmide - uma estrutura monumental na forma de uma pirâmide geométrica regular comum, na qual os lados convergem em um ponto. De acordo com o propósito funcional, as pirâmides nos tempos antigos eram um local de sepultamento ou culto. A base de uma pirâmide pode ser triangular, quadrangular ou poligonal com um número arbitrário de vértices, mas a versão mais comum é a base quadrangular.

Conhece-se um número considerável de pirâmides, construídas por diferentes culturas do Mundo Antigo, principalmente como templos ou monumentos. As maiores pirâmides são as pirâmides egípcias.

Por toda a Terra você pode ver estruturas arquitetônicas em forma de pirâmides. Os edifícios em pirâmide são uma reminiscência dos tempos antigos e parecem muito bonitos.

As pirâmides egípcias são os maiores monumentos arquitetônicos do Egito Antigo, entre os quais uma das "Sete Maravilhas do Mundo" é a pirâmide de Quéops. Do pé ao topo, atinge 137,3 m, e antes de perder o topo, sua altura era de 146,7 m.

O edifício da estação de rádio na capital da Eslováquia, semelhante a uma pirâmide invertida, foi construído em 1983. Além de escritórios e instalações de serviços, há uma sala de concertos bastante espaçosa dentro do volume, que possui um dos maiores órgãos da Eslováquia .

O Louvre, que "é tão silencioso e majestoso quanto uma pirâmide" sofreu muitas mudanças ao longo dos séculos antes de se tornar o maior museu do mundo. Nasceu como fortaleza, erguida por Filipe Augusto em 1190, que logo se transformou em residência real. Em 1793 o palácio tornou-se um museu. As coleções são enriquecidas por meio de legados ou compras.