Área geométrica- uma característica numérica de uma figura geométrica mostrando o tamanho desta figura (parte da superfície delimitada por um contorno fechado desta figura). O tamanho da área é expresso pelo número de unidades quadradas contidas nela.
Fórmulas de área de triângulo
- Fórmula da área do triângulo para lado e altura
Área de um triângulo igual a metade do produto do comprimento de um lado de um triângulo pelo comprimento da altura desenhada para este lado - A fórmula para a área de um triângulo dados três lados e o raio do círculo circunscrito
- A fórmula para a área de um triângulo dados três lados e o raio de um círculo inscrito
Área de um triânguloé igual ao produto do semiperímetro do triângulo pelo raio do círculo inscrito. onde S é a área do triângulo,
- os comprimentos dos lados do triângulo,
- a altura do triângulo,
- o ângulo entre os lados e,
- raio do círculo inscrito,
R - raio do círculo circunscrito,
Fórmulas de área quadrada
- A fórmula para a área de um quadrado dado o comprimento de um lado
área quadradaé igual ao quadrado do comprimento de seu lado. - A fórmula para a área de um quadrado dado o comprimento da diagonal
área quadrada igual a metade do quadrado do comprimento de sua diagonal.S= 1 2 2 onde S é a área do quadrado,
é o comprimento do lado do quadrado,
é o comprimento da diagonal do quadrado.
Fórmula da área do retângulo
- Área retangularé igual ao produto dos comprimentos de seus dois lados adjacentes
onde S é a área do retângulo,
são os comprimentos dos lados do retângulo.
Fórmulas para a área de um paralelogramo
- Fórmula de área de paralelogramo para comprimento e altura do lado
Área de paralelogramo - A fórmula para a área de um paralelogramo dado dois lados e o ângulo entre eles
Área de paralelogramoé igual ao produto dos comprimentos de seus lados multiplicado pelo seno do ângulo entre eles.a b sinα
onde S é a área do paralelogramo,
são os comprimentos dos lados do paralelogramo,
é a altura do paralelogramo,
é o ângulo entre os lados do paralelogramo.
Fórmulas para a área de um losango
- Fórmula da área do losango dado o comprimento e a altura do lado
Área de losangoé igual ao produto do comprimento de seu lado pelo comprimento da altura abaixada para este lado. - A fórmula para a área de um losango dado o comprimento do lado e o ângulo
Área de losangoé igual ao produto do quadrado do comprimento de seu lado pelo seno do ângulo entre os lados do losango. - A fórmula para a área de um losango a partir dos comprimentos de suas diagonais
Área de losangoé igual à metade do produto dos comprimentos de suas diagonais. onde S é a área do losango,
- comprimento do lado do losango,
- o comprimento da altura do losango,
- o ângulo entre os lados do losango,
1, 2 - os comprimentos das diagonais.
Fórmulas da área do trapézio
- Fórmula de Heron para um trapézio
Onde S é a área do trapézio,
- o comprimento das bases do trapézio,
- o comprimento dos lados do trapézio,
I. Prefácio
Isso é azar: depois de ficar doente por duas semanas, você veio para a escola e descobriu que perdeu um tópico muito importante, cujas tarefas estarão nos exames da 9ª série - "Triângulos, quadrângulos e sua área". Aqui seria correr para o professor de geometria com as perguntas: "Como encontrar a área de um quadrilátero?" Mas metade dos alunos tem medo de abordar os professores para não serem considerados atrasados, e a segunda metade encontra “ajuda” dos professores, semelhante a “Olhe no livro didático, está tudo escrito lá!” ou "Você não deveria ter matado aula!" Mas no livro didático não há informações sobre as regras para encontrar a área de triângulos e quadriláteros. E as aulas foram perdidas por um bom motivo, há um atestado do médico. Mas muitos professores simplesmente desistirão desses argumentos. Claro, eles podem ser entendidos: eles não são pagos para martelar material de aula adicionalmente na cabeça de alunos que não entendem nada. Muitos alunos desistem dessa tarefa inútil e são reprovados no exame um ano depois, sem tirar dez pontos pelo problema de encontrar a área de triângulos e quadriláteros. E apenas alguns vão a bibliotecas e conhecidos com a pergunta: "Como encontrar a área de um quadrilátero?" E pessoas e livros diferentes dão respostas diferentes, e há uma grande confusão de regras. Abaixo vou citar as principais formas de encontrar as áreas de triângulos e quadriláteros.
II. Quadrângulos
Vamos começar com quadriláteros. Nas escolas e exames, apenas quadriláteros convexos são considerados, então vamos falar sobre eles. No nível médio de ensino, são estudadas as áreas de paralelogramos e trapézios. Existem vários tipos de paralelogramos: um retângulo, um quadrado, um losango e um paralelogramo arbitrário, nos quais apenas suas principais características são observadas: os lados são paralelos e iguais aos pares, a soma dos ângulos adjacentes é 180 o. Mas os métodos para encontrar as áreas de todas essas figuras são diferentes. Vamos considerar cada um separadamente.
1. Retângulo
S do retângulo é encontrado pela fórmula: S = a * b, ondeuma- lado horizontal, b- lado vertical.*
2. Área dos quadrados
S do quadrado é encontrado pela fórmula: S = a * a, ondeuma- lado de um quadrado.
3. Área de losangos
S do losango é encontrado pela fórmula: S \u003d 0,5 * (d 1 * d 2), onded1- diagonal grande,** d2- diagonal menor.
4. Área de um paralelogramo arbitrário
S de um paralelogramo arbitrário é encontrado pela fórmula: S = a * h, uma- o lado do paralelogramo, h a
De jeito nenhum?
Terminamos com os paralelogramos. "Devo apenas aprender isso?" você pergunta levemente. Eu respondo: de paralelogramos - sim, apenas isso. Mas ainda existem trapézios e triângulos. Então vamos continuar.
III. Armadilha c e eu
Área do trapézio
S de um trapézio pode ser encontrado com uma fórmula, seja ela ordinária ou isósceles: S = ((a + b): 2) * h, ondea, b- suas bases, h- sua altura. Isso é tudo para o trapézio. Agora para a pergunta: "Como encontrar a área de um quadrilátero?" - você pode não apenas responder a si mesmo, mas também esclarecer os outros. Agora vamos para os triângulos.
4. Triângulo
Em geometria, três fórmulas foram identificadas para encontrar sua área: para triângulos retangulares, equiláteros e arbitrários.
1. Área de um triângulo
S de um triângulo arbitrário é calculado pela fórmula: S \u003d 0,5a * h uma, uma- lado do triângulo h a- a altura desenhada para este lado.
2. Área de triângulos equiláteros
S de um triângulo equilátero pode ser encontrado pela fórmula: S = 0,5a * h, ondeuma- a base do triângulo hé a altura deste triângulo.
3. Área de triângulos retângulos
A área dos triângulos retângulos é encontrada pela fórmula: S = (a * b): 2, ondeuma- 1ª perna, b- 2ª perna.
Conclusão
Bem, isso é tudo, na minha opinião. Você também precisa aprender um pouco sobre triângulos, certo? Agora dê uma olhada no que escrevi aqui. "Firs-sticks, levará um mês para aprender isso!" - você provavelmente exclama. E quem disse que tudo está aprendendo rápido? Mas, por outro lado, quando você aprender tudo isso, não terá medo de perguntas sobre o tópico "Como encontrar a área de um quadrilátero" ou "Área de um triângulo arbitrário" na certificação em grau 9. Então, se você quer ir a qualquer lugar, estude, estude e seja cientista!
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Observação
* - uma e b não precisa estar nos lugares que defini. Ao resolver problemas, você pode chamar o lado vertical uma, e a horizontal b;
** - as diagonais podem ser trocadas e seus nomes podem ser alterados da mesma forma que na nota. *
Ao resolver tarefas planimétricas de um curso de geometria, muitas vezes é encontrada uma figura com 4 lados. Sim, é um quadrilátero. Um polígono arbitrário com quatro cantos é menos comum do que seus casos especiais - trapézios, deltóides, paralelogramos. O último "grupo" também inclui losangos, retângulos, quadrados.
Vamos considerar quais dados da figura você precisa saber para calcular sua área.
Como encontrar a área de um quadrilátero
Polígono arbitrário
Para encontrar sua área, você precisa das diagonais da figura, bem como do ângulo obtido como resultado de sua interseção.
- S = (d1*d2*senα)/2,
- d1, d2 - diagonais,
- α é o ângulo obtido pela sua intersecção.
Polígono em um círculo
Se o quadrilátero dado for colocado em um círculo, o comprimento dos lados da figura é conhecido, então a razão ajudará a determinar a área do polígono:
S = √(p – m)(p – k)(p – l)(p – e), p = (m + k + l + e)/2.
m, k, l, e são seus lados.
Como encontrar a área de um quadrilátero - um trapézio
Esta figura é distinguida pela presença de 2 lados paralelos. Para determinar a área de tal polígono, use os seguintes parâmetros:
- Se as magnitudes dos lados paralelos e a altura perpendicular desenhada a eles são conhecidas, a área é calculada usando a expressão S = ((a + b) * h) / 2,
a e b são bases,
h - altura perpendicular. - Com base na definição da linha média (k = (a + b)/2)), a fórmula anterior terá a seguinte forma: S = k*h,
k é a linha do meio.
As diagonais conhecidas do trapézio e a medida em grau do ângulo formado como resultado de sua interseção também ajudarão a determinar a área da figura: S = (d1*d2*sinβ)/2,
d1, d2 - diagonais,
β é o ângulo obtido pela sua intersecção. - 4 lados são dados: S \u003d ((m + l) √ k 2 - ((m - l) 2 + k 2 - d 2) 2 / (4 (m - l) 2)) / 2,
m, l - lados paralelos,
k, d - lados laterais.
Como encontrar a área de um quadrilátero - um deltóide
Um polígono deltoide é caracterizado pela presença de 2 pares de lados iguais. Calcular a área de tal quadrilátero é calculado da seguinte forma:
- Os lados da figura e o ângulo formado pelos lados de diferentes comprimentos são conhecidos:
S = m*l*senϕ,
m, l são os lados do deltoide,
ϕ é o ângulo entre eles. - Os lados da figura e os ângulos formados por lados de igual comprimento são conhecidos:
S \u003d m 2 *senα / 2 + l 2 * sinβ / 2,
m, l são os lados do deltoide,
α, β são os ângulos entre lados iguais. - A presença de diagonais conhecidas também permite determinar a área da figura:
S = d1*d2/2,
d1, d2 são as diagonais do deltoide. - Se um círculo estiver inscrito na figura, conhecer seu raio permite calcular a área do deltoide: S \u003d (m + l) * r,
m, l são os lados do deltoide,
r é o raio no caso de um círculo inscrito.
Como encontrar a área de um quadrilátero - um paralelogramo
Se um polígono convexo tem 2 pares de lados que não se cruzam, então você tem um paralelogramo à sua frente.
Expressão geral
Para determinar a área desse tipo de figura, você precisará:
- O lado do quadrilátero e a altura baixada sobre ele: S = k * h (k),
k - lado da figura,
h(k) é a altura dele. - O comprimento de dois lados que têm um vértice e a medida em grau do ângulo em um determinado vértice:
S = l*k*senϕ,
k, l são os lados do polígono,
ϕ é o ângulo entre eles. - As diagonais da figura e o ângulo obtido como resultado de sua interseção: S = d1*d2*sinβ/2,
d1, d2 - diagonais,
β - ângulo - o resultado de sua interseção.
Losango
Este quadrilátero é um caso especial de um paralelogramo com 4 lados iguais. Portanto, expressões válidas para um paralelogramo também são válidas para ele. Então
- S = k*h(k),
k é o lado da figura, h(k) é a altura dela. - S = k 2 *senϕ,
k é o lado do quadrilátero, ϕ é o ângulo entre os lados. - S = d1*d2/2
d1, d2 são as diagonais do polígono.
Retângulo
Tal polígono tem 2 pares de lados iguais e a medida em graus de seus ângulos é 90°. Para encontrar sua área, as seguintes expressões são válidas:
- S = k*l,
k, l são os lados da figura. - S = d2 *senβ/2,
d - diagonais do quadrilátero, β - ângulo - o resultado de sua interseção. - S = 2R 2 *senβ,
R é o raio no caso de um círculo circunscrito.
Quadrado
Neste caso, as razões obtidas na etapa anterior terão a seguinte forma (porque os lados desse tipo de retângulo são iguais):
- S \u003d k 2, k é o lado da figura.
- S = d 2 /2, d é a diagonal do quadrado.
- S = 2R 2 , R é o raio no caso do círculo circunscrito.
- S = 4r 4 , r é o raio no caso de um círculo inscrito.
Anotações importantes!
1. Se em vez de fórmulas você vir abracadabra, limpe seu cache. Como fazer isso no seu navegador está escrito aqui:
2. Antes de começar a ler o artigo, preste atenção ao nosso navegador para o recurso mais útil para
Definição de área
O que é uma área? Pergunta estranha, não é? Na vida comum, estamos acostumados ao fato de que quaisquer figuras planas (como a superfície de uma mesa, cadeira, o chão de nossos apartamentos etc.) hesitação, chamamos a área. E agora vamos pensar: afinal, o que é a área?
Vamos começar com o mais simples. Baseia-se no fato de que:
Em outras palavras, consideramos a área de um quadrado com um metro de lado como sendo um "metro de área".
Olhe atentamente para a imagem e certifique-se de que ela está realmente desenhada lá - “metro quadrado”! E lembre-se da notação.
E agora a pergunta complicada: o que é isso? Área de um quadrado com um lado? Mas não!
Veja: um quadrado com um lado.
E para obter metros quadrados (ou seja,), devemos desenhar, por exemplo, assim:
E como obter, digamos,? Bem, por exemplo assim:
E, em geral, se pegarmos um retângulo cujos lados são iguais a metros e metros, então neste retângulo:
Vai caber exatamente metros quadrados. Observe com atenção: temos "camadas", cada uma com exatamente metros quadrados.
Então, no total, metros quadrados cabem em um retângulo de tamanho x. Este é o número, quantos metros quadrados cabem no retângulo, e aí está quadrado.
E se a figura não for um retângulo, mas algum tipo de abracadabra?
Vou surpreendê-lo - existem tantos jargões terríveis para os quais é absolutamente impossível estabelecer quantos metros quadrados existem. Mesmo aproximadamente! Infelizmente, desenhar tais figuras é impossível.
Mas eles são! Eles se parecem, por exemplo, com um "pente" com dentes muito finos.
E assim, para figuras normais, você pode intuitivamente (ou seja, para você mesmo) considerar que a área da figura é um número, quantas unidades quadradas (metros, centímetros, etc.) "se encaixam" esta figura.Uma definição mais rigorosa, “real” de áreas, veja os seguintes níveis de teoria.
E imagine, para muitas figuras os matemáticos aprenderam a expressar áreas através de alguns elementos lineares (aqueles que podem ser medidos com uma régua) de figuras. Essas expressões são chamadas de "fórmulas de área". Existem muitas dessas fórmulas - os matemáticos tentaram por um longo tempo. Você tenta se lembrar primeiro das fórmulas mais simples e básicas e depois das mais difíceis.
Fórmulas de área
Quadrado
Retângulo
Triângulo reto
Triângulo (arbitrário)
Para um triângulo, existem várias fórmulas de área ao mesmo tempo.
Fórmula básica
Segunda fórmula básica
Terceira fórmula
Que fórmula escolher para o seu problema? As principais são as fórmulas 1 e 2. A terceira fórmula deve ser aplicada se tudo for dado a você: os três lados e o raio do círculo inscrito. Mas isso não acontece, não é? É por isso fórmula 3 que usamos mais o contrário, para encontrar o raio de um círculo inscrito. Então você precisa encontrar a área usando uma das fórmulas 1, 2 ou 4, e então o raio:.
Bem, a fórmula 4 permite que você encontre a área nos ºs lados usando aritmética longa. E não cometa erros de aritmética ao aplicar a fórmula de Heron!
Quadrilátero arbitrário
Não há mais nada para um quadrilátero arbitrário, mas para um quadrilátero "bom" existem outras fórmulas.
Paralelogramo
Fórmula básica
Segunda fórmula
Losango
As diagonais de um losango são perpendiculares, então básico torna-se para ele Fórmula:
Segunda fórmula
E a fórmula adicional se torna
Trapézio
Fórmula básica
Segunda fórmula
"Perguntas complicadas sobre a praça"
Além de problemas em que eles simplesmente pedem para você encontrar a área, também existem todos os tipos de perguntas. Bem, por exemplo:
Vamos responder a esta pergunta de duas maneiras. A primeira maneira é formal: usamos a fórmula da área quadrada. Assim, foi, assim - a área aumentou em tempos!
No caso dos quadrados, existe uma segunda forma de “sentir” e verificar diretamente este número.
Empate:
Se você não tiver um quadrado, tudo o que resta é substituir novos valores nas fórmulas - e não se surpreenda se os números de repente ficarem muito grandes.
ÁREA DE TRIÂNGULO E QUADRANGULAR. BREVEMENTE SOBRE O PRINCIPAL
Triângulo reto
Bom, o assunto acabou. Se você está lendo essas linhas, então você é muito legal.
Porque apenas 5% das pessoas são capazes de dominar algo por conta própria. E se você leu até o final, então você está nos 5%!
Agora o mais importante.
Você descobriu a teoria sobre este tópico. E, repito, é... é simplesmente super! Você já é melhor do que a grande maioria de seus pares.
O problema é que isso pode não ser suficiente...
Para que?
Para a aprovação no exame, para a admissão no instituto no orçamento e, MAIS IMPORTANTE, para a vida.
Não vou te convencer de nada, só vou dizer uma coisa...
As pessoas que receberam uma boa educação ganham muito mais do que aquelas que não a receberam. Isso é estatística.
Mas isso não é o principal.
O principal é que eles são MAIS FELIZES (existem esses estudos). Talvez porque muito mais oportunidades se abrem diante deles e a vida se torna mais brilhante? Não sei...
Mas pense por si mesmo...
O que é preciso para ter certeza de ser melhor do que os outros no exame e ser finalmente... mais feliz?
ENCHE A MÃO, RESOLVENDO PROBLEMAS NESSE ASSUNTO.
No exame, você não será perguntado teoria.
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Se você não gosta de nossas tarefas, encontre outras. Só não pare com a teoria.
“Entendido” e “eu sei resolver” são habilidades completamente diferentes. Você precisa de ambos.
Encontre problemas e resolva!
Se vários segmentos forem desenhados sequencialmente no plano, de modo que cada próximo comece no local onde o anterior terminou, será obtida uma linha quebrada. Esses segmentos são chamados de links, e os lugares onde eles se cruzam são chamados de vértices. Quando o final do último segmento cruza com o ponto inicial do primeiro, você obtém uma linha quebrada fechada dividindo o plano em duas partes. Um deles é finito e o segundo é infinito.
Uma linha simples fechada, juntamente com a parte do plano que a encerra (a que é finita) é chamada de polígono. Os segmentos são lados e os ângulos formados por eles são vértices. O número de lados de qualquer polígono é igual ao número de seus vértices. Uma figura que tem três lados é chamada de triângulo e quatro é chamada de quadrilátero. O polígono é caracterizado numericamente por um valor como a área, que mostra o tamanho da figura. Como encontrar a área de um quadrilátero? Isso é ensinado pelo ramo da matemática - geometria.
Para encontrar a área de um quadrilátero, você precisa saber a que tipo ele pertence - convexo ou não convexo? o todo fica relativamente reto (e necessariamente contém um de seus lados) de um lado. Além disso, existem tipos de quadriláteros como um paralelogramo com lados opostos iguais e paralelos aos pares (suas variedades: um retângulo com ângulos retos, um losango com lados iguais, um quadrado com todos os ângulos retos e quatro lados iguais), um trapézio com dois lados opostos paralelos e deltoide com dois pares de lados adjacentes iguais.
As áreas de qualquer polígono são encontradas aplicando o método geral, que é dividi-lo em triângulos, calcular a área de um triângulo arbitrário para cada um e adicionar os resultados. Qualquer quadrilátero convexo é dividido em dois triângulos, não convexos - em dois ou três; neste caso, pode ser adicionado a partir da soma e diferença dos resultados. A área de qualquer triângulo é calculada como metade do produto da base (a) pela altura (ħ) traçada para a base. A fórmula usada neste caso para o cálculo é escrita como: S \u003d ½. uma. ħ.
Como encontrar a área de um quadrilátero, por exemplo, um paralelogramo? Você precisa saber o comprimento da base (a), o comprimento do lado (ƀ) e encontrar o seno do ângulo α formado pela base e o lado (senα), a fórmula de cálculo ficará assim: S = a . ƀ. sinα. Como o seno do ângulo α é o produto da base do paralelogramo e sua altura (ħ = ƀ) - uma linha perpendicular à base, sua área é calculada multiplicando sua base pela altura: S = a. ħ. Esta fórmula também é adequada para calcular a área de um losango e um retângulo. Como o lado do retângulo ƀ coincide com a altura ħ, sua área é calculada pela fórmula S = a. ƀ. porque a = ƀ será igual ao quadrado de seu lado: S = a. a = a². calculado como metade da soma de seus lados multiplicada pela altura (é traçada perpendicularmente à base do trapézio): S = ½. (a + ƀ). ħ.
Como encontrar a área de um quadrilátero se os comprimentos de seus lados são desconhecidos, mas suas diagonais (e) e (f) são conhecidas, assim como o seno do ângulo α? Neste caso, a área é calculada como metade do produto de suas diagonais (as linhas que ligam os vértices do polígono) multiplicado pelo seno do ângulo α. A fórmula pode ser escrita desta forma: S = ½. (e. f). sinα. Em particular, neste caso será igual à metade do produto das diagonais (linhas que ligam os cantos opostos do losango): S = ½. (e. f).
Como encontrar a área de um quadrilátero que não é um paralelogramo ou um trapézio, geralmente é chamado de quadrilátero arbitrário. A área de tal figura é expressa em termos de seu semiperímetro (Ρ é a soma de dois lados com um vértice comum), lados a, ƀ, c, d e a soma de dois ângulos opostos (α + β): S = √[(Ρ - a) . (Ρ - ƀ) . (Ρ - c) . (Ρ - d) - a. ƀ. c. d. cos² ½ (α + β)].
Se um φ \u003d 180 °, para calcular sua área, use a fórmula de Brahmagupta (um astrônomo e matemático indiano que viveu nos séculos 6 a 7 de nossa era): S \u003d √ [(Ρ - a) . (Ρ - ƀ) . (Ρ - c) . (Ρ - d)]. Se o quadrilátero é circunscrito por um círculo, então (a + c = ƀ + d), e sua área é calculada: S = √[ a . ƀ. c. d] . sen ½ (α + β). Se um quadrilátero é circunscrito por um círculo e inscrito em outro círculo, então a seguinte fórmula é usada para calcular a área: S = √.
