Entre as raízes e os coeficientes da equação quadrática, além das fórmulas das raízes, existem outras relações úteis que são dadas por Teorema de Vieta. Neste artigo, daremos uma formulação e prova do teorema de Vieta para uma equação quadrática. Em seguida, consideramos um teorema inverso ao teorema de Vieta. Depois disso, analisaremos as soluções dos exemplos mais característicos. Finalmente, escrevemos as fórmulas Vieta que definem a conexão entre as raízes reais equação algébrica grau n e seus coeficientes.

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Teorema de Vieta, formulação, prova

Das fórmulas das raízes da equação quadrática a x 2 +b x+c=0 da forma , onde D=b 2 −4 a c , as relações x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a. Esses resultados são confirmados Teorema de Vieta:

Teorema.

Se um x 1 e x 2 são as raízes da equação quadrática a x 2 +b x+c=0, então a soma das raízes é igual à razão dos coeficientes b e a, tomados com o sinal oposto, e o produto de as raízes é igual à razão dos coeficientes c e a, ou seja, .

Prova.

Vamos provar o teorema de Vieta de acordo com o seguinte esquema: vamos compor a soma e o produto das raízes da equação quadrática usando as fórmulas das raízes conhecidas, então vamos transformar as expressões resultantes e garantir que elas sejam iguais a −b /a e c/a, respectivamente.

Vamos começar com a soma das raízes, compor. Agora trazemos as frações para um denominador comum, temos. No numerador da fração resultante , após o que : . Finalmente, após 2 , obtemos . Isso prova a primeira relação do teorema de Vieta para a soma das raízes de uma equação quadrática. Vamos para o segundo.

Compomos o produto das raízes da equação quadrática:. De acordo com a regra da multiplicação de frações, o último produto pode ser escrito como. Agora multiplicamos o colchete pelo colchete no numerador, mas é mais rápido recolher esse produto por fórmula da diferença de quadrados, Então . Então, lembrando, realizamos a próxima transição. E como a fórmula D=b 2 −4 a·c corresponde ao discriminante da equação quadrática, então b 2 −4·a·c pode ser substituído na última fração em vez de D, obtemos . Depois de abrir os parênteses e reduzir os termos semelhantes, chegamos à fração , e sua redução por 4·a dá . Isso prova a segunda relação do teorema de Vieta para o produto de raízes.

Se omitirmos as explicações, a prova do teorema de Vieta terá uma forma concisa:
,
.

Resta apenas notar que quando o discriminante é igual a zero, a equação quadrática tem uma raiz. No entanto, se assumirmos que a equação neste caso tem duas raízes idênticas, então as igualdades do teorema de Vieta também valem. De fato, para D=0 a raiz da equação quadrática é , então e , e como D=0 , ou seja, b 2 −4·a·c=0 , de onde b 2 =4·a·c , então .

Na prática, o teorema de Vieta é mais frequentemente usado em relação à equação quadrática reduzida (com o maior coeficiente a igual a 1 ) da forma x 2 +p·x+q=0 . Às vezes, é formulado para equações quadráticas exatamente desse tipo, o que não limita a generalidade, pois qualquer equação quadrática pode ser substituída por uma equação equivalente dividindo ambas as suas partes por um número diferente de zero a. Aqui está a formulação correspondente do teorema de Vieta:

Teorema.

A soma das raízes da equação quadrática reduzida x 2 + p x + q \u003d 0 é igual ao coeficiente em x, tomado com o sinal oposto, e o produto das raízes é o termo livre, ou seja, x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Teorema inverso ao teorema de Vieta

A segunda formulação do teorema de Vieta, dada no parágrafo anterior, indica que se x 1 e x 2 são as raízes da equação quadrática reduzida x 2 +p x+q=0, então as relações x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2=q. Por outro lado, das relações escritas x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, segue que x 1 e x 2 são as raízes da equação quadrática x 2 +p x+q=0. Em outras palavras, a afirmação inversa ao teorema de Vieta é verdadeira. Nós o formulamos na forma de um teorema e o provamos.

Teorema.

Se os números x 1 e x 2 são tais que x 1 +x 2 =−p e x 1 x 2 =q, então x 1 e x 2 são as raízes da equação quadrática reduzida x 2 +p x+q=0 .

Prova.

Depois de substituir os coeficientes peq na equação x 2 +p x+q=0 de sua expressão por x 1 e x 2, ela é convertida em uma equação equivalente.

Substituímos o número x 1 em vez de x na equação resultante, temos a igualdade x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, que para qualquer x 1 e x 2 é a igualdade numérica correta 0 = 0, pois x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Portanto, x 1 é a raiz da equação x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, o que significa que x 1 é a raiz da equação equivalente x 2 +p x+q=0 .

Se na equação x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 substitua o número x 2 em vez de x, então obtemos a igualdade x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Esta é a equação correta porque x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Portanto, x 2 também é a raiz da equação x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, e daí as equações x 2 +p x+q=0 .

Isso completa a prova do teorema inverso ao teorema de Vieta.

Exemplos de uso do teorema de Vieta

É hora de falar sobre a aplicação prática do teorema de Vieta e seu teorema inverso. Nesta subseção, analisaremos as soluções de vários dos exemplos mais típicos.

Começamos aplicando um teorema inverso ao teorema de Vieta. É conveniente usá-lo para verificar se os dois números dados são as raízes de uma dada equação quadrática. Nesse caso, sua soma e diferença são calculadas, após o que a validade das relações é verificada. Se ambas as relações forem satisfeitas, então, em virtude do teorema reverso do teorema de Vieta, conclui-se que esses números são as raízes da equação. Se pelo menos uma das relações não for satisfeita, então esses números não são as raízes da equação quadrática. Essa abordagem pode ser usada ao resolver equações quadráticas para verificar as raízes encontradas.

Exemplo.

Qual dos pares de números 1) x 1 =−5, x 2 =3, ou 2), ou 3) é um par de raízes da equação quadrática 4 x 2 −16 x+9=0?

Solução.

Os coeficientes da equação quadrática dada 4 x 2 −16 x+9=0 são a=4 , b=−16 , c=9 . De acordo com o teorema de Vieta, a soma das raízes da equação quadrática deve ser igual a −b/a, ou seja, 16/4=4, e o produto das raízes deve ser igual a c/a, ou seja, 9 /4.

Agora vamos calcular a soma e o produto dos números em cada um dos três pares dados e compará-los com os valores obtidos.

No primeiro caso, temos x 1 +x 2 =−5+3=−2 . O valor resultante é diferente de 4, portanto, verificações adicionais não podem ser realizadas, mas pelo teorema, o inverso do teorema de Vieta, podemos concluir imediatamente que o primeiro par de números não é um par de raízes de uma dada equação quadrática .

Passemos ao segundo caso. Aqui, isto é, a primeira condição é satisfeita. Verificamos a segunda condição: , o valor resultante é diferente de 9/4 . Portanto, o segundo par de números não é um par de raízes de uma equação quadrática.

O último caso permanece. Aqui e . Ambas as condições são atendidas, então esses números x 1 e x 2 são as raízes da equação quadrática dada.

Responda:

O teorema, o inverso do teorema de Vieta, pode ser usado na prática para selecionar as raízes de uma equação quadrática. Normalmente, as raízes inteiras das equações quadráticas dadas com coeficientes inteiros são selecionadas, pois em outros casos isso é bastante difícil de fazer. Ao mesmo tempo, eles usam o fato de que, se a soma de dois números for igual ao segundo coeficiente da equação quadrática, tomada com um sinal de menos, e o produto desses números for igual ao termo livre, esses números serão as raízes desta equação quadrática. Vamos lidar com isso com um exemplo.

Vamos pegar a equação quadrática x 2 −5 x+6=0 . Para que os números x 1 e x 2 sejam as raízes desta equação, duas igualdades x 1 +x 2 \u003d 5 e x 1 x 2 \u003d 6 devem ser satisfeitas. Resta escolher esses números. Nesse caso, isso é bem simples de fazer: esses números são 2 e 3, pois 2+3=5 e 2 3=6 . Assim, 2 e 3 são as raízes desta equação quadrática.

O teorema, o inverso do teorema de Vieta, é especialmente conveniente de aplicar para encontrar a segunda raiz da equação quadrática reduzida, quando uma das raízes já é conhecida ou óbvia. Nesse caso, a segunda raiz é encontrada em qualquer uma das relações.

Por exemplo, vamos pegar a equação quadrática 512 x 2 −509 x−3=0 . Aqui é fácil ver que a unidade é a raiz da equação, pois a soma dos coeficientes dessa equação quadrática é zero. Então x 1 = 1 . A segunda raiz x 2 pode ser encontrada, por exemplo, da relação x 1 x 2 =c/a. Temos 1 x 2 =−3/512 , de onde x 2 =−3/512 . Assim, definimos ambas as raízes da equação quadrática: 1 e −3/512.

É claro que a seleção de raízes é conveniente apenas nos casos mais simples. Em outros casos, para encontrar as raízes, você pode aplicar as fórmulas das raízes da equação quadrática através do discriminante.

Outra aplicação prática do teorema, o inverso do teorema de Vieta, é a compilação de equações quadráticas para determinadas raízes x 1 e x 2. Para fazer isso, basta calcular a soma das raízes, que dá o coeficiente de x com o sinal oposto da equação quadrática dada, e o produto das raízes, que dá o termo livre.

Exemplo.

Escreva uma equação quadrática cujas raízes sejam os números -11 e 23.

Solução.

Denote x 1 =−11 ex 2 =23 . Calculamos a soma e o produto desses números: x 1 + x 2 \u003d 12 e x 1 x 2 \u003d −253. Portanto, esses números são as raízes da equação quadrática dada com o segundo coeficiente -12 e o termo livre -253. Ou seja, x 2 −12·x−253=0 é a equação desejada.

Responda:

x 2 −12 x−253=0 .

O teorema de Vieta é muito usado na resolução de tarefas relacionadas aos sinais das raízes de equações quadráticas. Como o teorema de Vieta se relaciona com os sinais das raízes da equação quadrática reduzida x 2 +p x+q=0 ? Aqui estão duas declarações relevantes:

• Se o termo livre q é um número positivo e se a equação quadrática tem raízes reais, então ambos são positivos ou ambos são negativos.
• Se o termo livre q é um número negativo e se a equação quadrática tem raízes reais, então seus sinais são diferentes, ou seja, uma raiz é positiva e a outra é negativa.

Essas declarações seguem da fórmula x 1 x 2 =q, bem como as regras para multiplicar números positivos, negativos e números com sinais diferentes. Considere exemplos de sua aplicação.

Exemplo.

R é positivo. De acordo com a fórmula discriminante, encontramos D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , o valor da expressão r 2 +8 é positivo para qualquer r real, portanto D>0 para qualquer r real. Portanto, a equação quadrática original tem duas raízes para quaisquer valores reais do parâmetro r.

Agora vamos descobrir quando as raízes têm sinais diferentes. Se os sinais das raízes são diferentes, seu produto é negativo e, pelo teorema de Vieta, o produto das raízes da equação quadrática dada é igual ao termo livre. Portanto, estamos interessados ​​naqueles valores de r para os quais o termo livre r−1 é negativo. Assim, para encontrarmos os valores de r que nos interessam, precisamos resolver uma inequação linear r−1<0 , откуда находим r<1 .

Responda:

em r<1 .

Fórmulas Vieta

Acima, falamos sobre o teorema de Vieta para uma equação quadrática e analisamos as relações que ele afirma. Mas existem fórmulas que conectam as raízes reais e os coeficientes não apenas de equações quadráticas, mas também de equações cúbicas, equações quádruplas e, em geral, equações algébricas grau n. Eles são chamados Fórmulas Vieta.

Escrevemos as fórmulas Vieta para uma equação algébrica de grau n da forma, enquanto assumimos que ela tem n raízes reais x 1, x 2, ..., x n (entre elas pode haver a mesma):

Obter fórmulas Vieta permite teorema de fatoração polinomial, bem como a definição de polinômios iguais através da igualdade de todos os seus coeficientes correspondentes. Assim, o polinômio e sua expansão em fatores lineares da forma são iguais. Abrindo os colchetes no último produto e equacionando os coeficientes correspondentes, obtemos as fórmulas de Vieta.

Em particular, para n=2 já conhecemos fórmulas Vieta para a equação quadrática .

Para uma equação cúbica, as fórmulas de Vieta têm a forma

Resta notar que no lado esquerdo das fórmulas Vieta estão as chamadas fórmulas elementares polinômios simétricos.

Bibliografia.

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A essência desta técnica é encontrar as raízes sem a ajuda do discriminante. Para uma equação da forma x2 + bx + c = 0, onde existem duas raízes reais diferentes, duas afirmações são verdadeiras.

A primeira afirmação diz que a soma das raízes desta equação é igual ao valor do coeficiente da variável x (neste caso é b), mas com o sinal oposto. Visualmente, fica assim: x1 + x2 = −b.

A segunda afirmação não está mais ligada à soma, mas ao produto das mesmas duas raízes. Este produto é equiparado a um coeficiente livre, ou seja, c. Ou, x1 * x2 = c. Ambos os exemplos são resolvidos no sistema.

O teorema de Vieta simplifica muito a solução, mas tem uma limitação. Uma equação quadrática cujas raízes podem ser encontradas usando esta técnica deve ser reduzida. Na equação acima para o coeficiente a, aquele antes de x2 é igual a um. Qualquer equação pode ser reduzida a uma forma semelhante dividindo a expressão pelo primeiro coeficiente, mas essa operação nem sempre é racional.

Prova do teorema

Para começar, devemos lembrar como, segundo a tradição, é costume procurar as raízes de uma equação quadrática. A primeira e segunda raízes são encontradas, a saber: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Geralmente divisível por 2a, mas, como já mencionado, o teorema só pode ser aplicado quando a=1.

Sabe-se do teorema de Vieta que a soma das raízes é igual ao segundo coeficiente com um sinal de menos. Isso significa que x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

O mesmo vale para o produto de raízes desconhecidas: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Por sua vez, D = b2-4c (novamente, com a=1). Acontece que o resultado é: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Da simples demonstração acima, apenas uma conclusão pode ser tirada: o teorema de Vieta está completamente confirmado.

Segunda formulação e prova

O teorema de Vieta tem outra interpretação. Para ser mais preciso, não é uma interpretação, mas uma redação. O fato é que se as mesmas condições forem satisfeitas como no primeiro caso: existem duas raízes reais diferentes, então o teorema pode ser escrito em uma fórmula diferente.

Essa igualdade fica assim: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Se a função P(x) intercepta em dois pontos x1 e x2, então ela pode ser escrita como P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x). No caso em que P tem o segundo grau, e é exatamente assim que a expressão original se parece, então R é um número primo, ou seja, 1. Essa afirmação é verdadeira porque, caso contrário, a igualdade não será válida. O coeficiente x2 ao abrir colchetes não deve ser maior que um, e a expressão deve permanecer quadrada.

O teorema de Vieta é frequentemente usado para testar raízes já encontradas. Se você encontrou as raízes, pode usar as fórmulas \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) para calcular os valores \(p\ ) e \(q\ ). E se forem as mesmas da equação original, as raízes serão encontradas corretamente.

Por exemplo, vamos usar , resolver a equação \(x^2+x-56=0\) e obter as raízes: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Vamos verificar se cometemos um erro no processo de resolução. No nosso caso, \(p=1\) e \(q=-56\). Pelo teorema de Vieta temos:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Ambas as declarações convergiram, o que significa que resolvemos a equação corretamente.

Este teste pode ser feito oralmente. Levará 5 segundos e o salvará de erros estúpidos.

Teorema de Vieta inverso

Se \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), então \(x_1\) e \(x_2\) são as raízes da equação quadrática \ (x^ 2+px+q=0\).

Ou de uma maneira simples: se você tiver uma equação da forma \(x^2+px+q=0\), então resolvendo o sistema \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) você encontrará suas raízes.

Graças a este teorema, você pode encontrar rapidamente as raízes de uma equação quadrática, especialmente se essas raízes forem. Essa habilidade é importante, pois economiza muito tempo.

Exemplo . Resolva a equação \(x^2-5x+6=0\).

Solução : Usando o teorema de Vieta inverso, obtemos que as raízes satisfazem as condições: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Veja a segunda equação do sistema \(x_1 \cdot x_2=6\). Em quais dois o número \(6\) pode ser decomposto? Em \(2\) e \(3\), \(6\) e \(1\) ou \(-2\) e \(-3\), e \(-6\) e \(- 1\). E qual par escolher, a primeira equação do sistema dirá: \(x_1+x_2=5\). \(2\) e \(3\) são semelhantes, porque \(2+3=5\).
Responda : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Exemplos . Usando o inverso do teorema de Vieta, encontre as raízes da equação quadrática:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Solução :
a) \(x^2-15x+14=0\) - em quais fatores \(14\) se decompõe? \(2\) e \(7\), \(-2\) e \(-7\), \(-1\) e \(-14\), \(1\) e \(14\ ). Que pares de números somam \(15\)? Resposta: \(1\) e \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) - em quais fatores \(-4\) se decompõe? \(-2\) e \(2\), \(4\) e \(-1\), \(1\) e \(-4\). Que pares de números somam \(-3\)? Resposta: \(1\) e \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – em quais fatores \(20\) se decompõe? \(4\) e \(5\), \(-4\) e \(-5\), \(2\) e \(10\), \(-2\) e \(-10\ ), \(-20\) e \(-1\), \(20\) e \(1\). Que pares de números somam \(-9\)? Resposta: \(-4\) e \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - em quais fatores \(780\) se decompõe? \(390\) e \(2\). Eles somam \(88\)? Não. Que outros multiplicadores \(780\) tem? \(78\) e \(10\). Eles somam \(88\)? Sim. Resposta: \(78\) e \(10\).

Não é necessário decompor o último termo em todos os fatores possíveis (como no último exemplo). Você pode verificar imediatamente se sua soma dá \(-p\).

Importante! O teorema de Vieta e o teorema inverso só funcionam com , ou seja, aquele cujo coeficiente na frente de \(x^2\) é igual a um. Se inicialmente tivermos uma equação não reduzida, podemos reduzi-la simplesmente dividindo pelo coeficiente na frente de \ (x ^ 2 \).

Por exemplo, seja dada a equação \(2x^2-4x-6=0\) e queremos usar um dos teoremas de Vieta. Mas não podemos, porque o coeficiente antes de \(x^2\) é igual a \(2\). Vamos nos livrar disso dividindo toda a equação por \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Preparar. Agora podemos usar os dois teoremas.

Respostas para perguntas frequentes

Pergunta: Pelo teorema de Vieta, você pode resolver qualquer ?
Responda: Infelizmente não. Se não houver inteiros na equação ou a equação não tiver raízes, o teorema de Vieta não ajudará. Neste caso, você precisa usar discriminante . Felizmente, 80% das equações no curso de matemática escolar têm soluções inteiras.

Função quadrática.

A função dada pela fórmula y = ax2 + bx + c , onde xey são variáveis ​​e a, b, c são números dados, com a diferente de 0 .
chamado função quadrática

Seleção de um quadrado completo.

Derivação da fórmula para as raízes de uma equação quadrática, as condições para a sua existência e os números.

é o discriminante da equação quadrática.

Teoremas direto e inverso de Vieta.

Decomposição de um trinômio quadrado em fatores lineares.

Teorema. Deixar

x 1 e x 2 - raízes de um trinômio quadradox 2 + px + q. Então este trinômio é decomposto em fatores lineares da seguinte forma:x 2 + px + q = (x - x 1) (x - x 2).

Prova. Substituir em vez de

p e qsuas expressões atravésx 1 e x 2 e use o método de agrupamento:

x 2 + px + q = x 2 - (x 1 + x 2 ) x + x 1 x 2 = x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = x (x - x 1 ) - x 2 (x - x 1 ) = = (x - x 1 ) (x - x 2 ). O teorema foi provado.

Equação quadrática. Gráfico Trinomial Quadrado

Tipo de equação

é chamada de equação quadrática. O número D = b 2 - 4ac é o discriminante desta equação.
Se um

então os números

são as raízes (ou soluções) da equação quadrática. Se D = 0, então as raízes coincidem:

Se D< 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
Fórmulas válidas:

- Fórmulas Vieta; uma
ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2) -
fórmula de fatoração.
O gráfico de uma função quadrática (trinômio quadrado) y \u003d ax 2 + bx + c é uma parábola. A localização da parábola dependendo dos sinais do coeficiente a e do discriminante D é mostrada na fig.


Os números x 1 e x 2 no eixo x são as raízes da equação quadrática ax 2 + bx + + c \u003d 0; coordenadas do vértice da parábola (ponto A) em todos os casos

o ponto de intersecção da parábola com o eixo y tem coordenadas (0; c).
Como uma linha reta e um círculo, uma parábola divide um plano em duas partes. Em uma dessas partes, as coordenadas de todos os pontos satisfazem a desigualdade y > ax 2 + bx + c, e na outra parte, o contrário. O sinal de desigualdade na parte selecionada do plano é determinado encontrando-o em algum ponto dessa parte do plano.
Considere o conceito de uma tangente a uma parábola (ou um círculo). Uma linha y - kx + 1 será chamada de tangente a uma parábola (ou círculo) se tiver um ponto comum com essa curva.


No ponto de contato M(x; y), para a parábola, a igualdade kx + 1 = ax 2 + bx + c é cumprida (para o círculo, a igualdade (x - x 0) 2 + (kx + 1 - y 0) 2 - R 2). Igualando o discriminante da equação quadrática resultante a zero (já que a equação deve ter uma solução única), chegamos às condições para calcular os coeficientes da tangente.

Teorema de Vieta

Seja e denote as raízes da equação quadrática reduzida
(1) .
Então a soma das raízes é igual ao coeficiente em tomado com o sinal oposto. O produto das raízes é igual ao termo livre:
;
.

Uma nota sobre raízes múltiplas

Se o discriminante da equação (1) for zero, então esta equação tem uma raiz. Mas, para evitar formulações complicadas, é geralmente aceito que, neste caso, a equação (1) tem duas raízes múltiplas ou iguais:
.

Prova um

Vamos encontrar as raízes da equação (1). Para fazer isso, aplique a fórmula para as raízes da equação quadrática:
;
;
.

Encontrando a soma das raízes:
.

Para encontrar o produto, aplicamos a fórmula:
.
Então

.

O teorema foi provado.

Prova dois

Se os números e são as raízes da equação quadrática (1), então
.
Abrimos os colchetes.

.
Assim, a equação (1) terá a forma:
.
Comparando com (1) encontramos:
;
.

O teorema foi provado.

Teorema de Vieta inverso

Sejam números arbitrários. Então e são as raízes da equação quadrática
,
Onde
(2) ;
(3) .

Prova do teorema inverso de Vieta

Considere a equação quadrática
(1) .
Precisamos provar que se e , então e são as raízes da equação (1).

Substitua (2) e (3) em (1):
.
Agrupamos os termos do lado esquerdo da equação:
;
;
(4) .

Substitua em (4):
;
.

Substitua em (4):
;
.
A equação está cumprida. Ou seja, o número é a raiz da equação (1).

O teorema foi provado.

Teorema de Vieta para a equação quadrática completa

Agora considere a equação quadrática completa
(5) ,
onde , e são alguns números. E .

Dividimos a equação (5) por:
.
Ou seja, obtivemos a equação acima
,
Onde ; .

Então o teorema de Vieta para a equação quadrática completa tem a seguinte forma.

Seja e denote as raízes da equação quadrática completa
.
Então a soma e o produto das raízes são determinados pelas fórmulas:
;
.

Teorema de Vieta para uma equação cúbica

Da mesma forma, podemos estabelecer conexões entre as raízes de uma equação cúbica. Considere a equação cúbica
(6) ,
onde , , , são alguns números. E .
Vamos dividir essa equação por:
(7) ,
Onde , , .
Sejam , , as raízes da equação (7) (e da equação (6)). Então

.

Comparando com a equação (7), encontramos:
;
;
.

Teorema de Vieta para uma equação de grau n

Da mesma forma, você pode encontrar conexões entre as raízes , , ... , , para a equação do enésimo grau
.

O teorema de Vieta para uma equação de grau n tem a seguinte forma:
;
;
;

.

Para obter essas fórmulas, escrevemos a equação na seguinte forma:
.
Em seguida, igualamos os coeficientes em , , , ... e comparamos o termo livre.

Referências:
DENTRO. Bronstein, K. A. Semendyaev, Manual de Matemática para Engenheiros e Estudantes de Instituições de Ensino Superior, Lan, 2009.
CM. Nikolsky, M. K. Potapov et al., Álgebra: um livro didático para a 8ª série de instituições educacionais, Moscou, Educação, 2006.