Considere o avião p e a linha que o cruza . Deixar MAS é um ponto arbitrário no espaço. Desenhe uma linha através deste ponto , paralela à linha . Deixar . Ponto é chamado de projeção pontual MAS para o avião p em projeto paralelo ao longo de uma determinada linha . Avião p , no qual os pontos do espaço são projetados é chamado de plano de projeção.

p - plano de projeção;

- projeto direto; ;

; ; ;

Projeto Ortogonalé um caso especial de projeto paralelo. A projeção ortogonal é uma projeção paralela na qual a linha de projeção é perpendicular ao plano de projeção. A projeção ortogonal é muito utilizada no desenho técnico, onde uma figura é projetada em três planos - horizontal e dois verticais.

Definição: Projeção ortográfica de um ponto M para o avião p chamado de base M 1 perpendicular MM 1, baixado do ponto M para o avião p.

Designação: , , .

Definição: Projeção ortográfica da figura F para o avião pé o conjunto de todos os pontos do plano que são projeções ortogonais do conjunto de pontos da figura F para o avião p.

O projeto ortogonal, como um caso especial de projeto paralelo, tem as mesmas propriedades:

p - plano de projeção;

- projeto direto; ;

1) ;

2) , .

1. As projeções de linhas paralelas são paralelas.

ÁREA DE PROJEÇÃO DE UMA FIGURA PLANA

Teorema: A área da projeção de um polígono plano em um determinado plano é igual à área do polígono projetado multiplicado pelo cosseno do ângulo entre o plano do polígono e o plano de projeção.

Etapa 1: A figura projetada é um triângulo ABC, cujo lado AC está no plano de projeção a (paralelo ao plano de projeção a).

Dado:

Provar:

Prova:

1. ; ;

2. ; ; ; ;

3. ; ;

4. De acordo com o teorema das três perpendiculares;

ВD - altura; Em 1 D - altura;

5. - ângulo linear do ângulo diedro;

6. ; ; ; ;

Etapa 2: A figura projetada é um triângulo ABC, nenhum dos lados está no plano de projeção a e não é paralelo a ele.

Dado:

Provar:

Prova:

1. ; ;

2. ; ;

4. ; ; ;

(Estágio 1);

5. ; ; ;

(Estágio 1);

Palco: A figura projetada é um polígono arbitrário.

Prova:

O polígono é dividido por diagonais desenhadas de um vértice em um número finito de triângulos, para cada um dos quais o teorema é verdadeiro. Portanto, o teorema também será verdadeiro para a soma das áreas de todos os triângulos cujos planos formam o mesmo ângulo com o plano de projeção.

Comente: O teorema provado é válido para qualquer figura plana limitada por uma curva fechada.

Exercícios:

1. Encontre a área de um triângulo cujo plano é inclinado em relação ao plano de projeção em um ângulo se sua projeção for um triângulo regular de lado a.

2. Encontre a área de um triângulo cujo plano é inclinado em relação ao plano de projeção em um ângulo se sua projeção for um triângulo isósceles com um lado de 10 cm e uma base de 12 cm.

3. Encontre a área de um triângulo cujo plano é inclinado em relação ao plano de projeção em um ângulo se sua projeção for um triângulo com lados 9, 10 e 17 cm.

4. Calcule a área do trapézio, cujo plano é inclinado em relação ao plano de projeção em um ângulo se sua projeção for um trapézio isósceles, cuja base maior é de 44 cm, o lado é de 17 cm e a diagonal é 39cm.

5. Calcule a área de projeção de um hexágono regular com um lado de 8 cm, cujo plano é inclinado em relação ao plano de projeção em um ângulo.

6. Um losango de lado 12 cm e ângulo agudo forma um ângulo com um determinado plano. Calcule a área da projeção do losango neste plano.

7. Um losango de lado 20 cm e diagonal de 32 cm forma um ângulo com um determinado plano. Calcule a área da projeção do losango neste plano.

8. A projeção do dossel em um plano horizontal é um retângulo com lados e . Encontre a área do dossel se as faces laterais forem retângulos iguais inclinados ao plano horizontal em um ângulo , e a parte do meio do dossel for um quadrado paralelo ao plano de projeção.

11. Exercícios sobre o tema "Linhas e planos no espaço":

Os lados do triângulo são 20 cm, 65 cm, 75 cm. Uma perpendicular igual a 60 cm é traçada do vértice do ângulo maior do triângulo ao seu plano. Encontre a distância das extremidades da perpendicular ao lado maior do triângulo.

2. De um ponto separado do plano a uma distância de cm, traçam-se dois inclinados, formando ângulos com o plano igual a , e entre si - um ângulo reto. Encontre a distância entre os pontos de interseção do plano inclinado.

3. O lado de um triângulo regular mede 12 cm O ponto M é escolhido de modo que os segmentos que ligam o ponto M com todos os vértices do triângulo formem ângulos com o seu plano. Encontre a distância do ponto M aos vértices e lados do triângulo.

4. Um plano é desenhado através do lado do quadrado formando um ângulo com a diagonal do quadrado. Encontre os ângulos nos quais dois lados do quadrado estão inclinados em relação ao plano.

5. O cateto de um triângulo retângulo isósceles está inclinado em relação ao plano a que passa pela hipotenusa em um ângulo. Prove que o ângulo entre o plano a e o plano do triângulo é .

6. O ângulo diedro entre os planos dos triângulos ABC e DBC é . Encontre AD se AB = AC = 5 cm, BC = 6 cm, BD = DC = cm.

Questões de controle sobre o tema "Linhas e planos no espaço"

1. Liste os conceitos básicos de estereometria. Formule os axiomas da estereometria.

2. Prove as consequências dos axiomas.

3. Qual é a posição relativa de duas linhas no espaço? Defina linhas que se cruzam, paralelas e que se cruzam.

4. Prove o critério de interseção de linhas.

5. Qual é a posição relativa da linha e do plano? Dê definições de interseção, linhas paralelas e planos.

6. Prove o sinal de paralelismo de uma reta e um plano.

7. Qual é a posição relativa dos dois planos?

8. Defina planos paralelos. Prove um critério para o paralelismo de dois planos. Formule teoremas sobre planos paralelos.

9. Defina o ângulo entre as linhas.

10. Prove o sinal de perpendicularidade de uma reta e um plano.

11. Dê definições da base da perpendicular, da base da oblíqua, da projeção da oblíqua em um plano. Formule as propriedades da perpendicular e da oblíqua, abaixadas ao plano a partir de um ponto.

12. Defina o ângulo entre uma linha reta e um plano.

13. Prove o teorema sobre três perpendiculares.

14. Dê definições de um ângulo diedro, um ângulo linear de um ângulo diedro.

15. Prove o sinal de perpendicularidade de dois planos.

16. Defina a distância entre dois pontos diferentes.

17. Defina a distância de um ponto a uma linha.

18. Defina a distância de um ponto a um plano.

19. Defina a distância entre uma linha reta e um plano paralelo a ela.

20. Defina a distância entre planos paralelos.

21. Defina a distância entre as linhas inclinadas.

22. Defina a projeção ortogonal de um ponto em um plano.

23. Defina a projeção ortogonal de uma figura em um plano.

24. Formule propriedades de projeções em um plano.

25. Formule e prove um teorema sobre a área de projeção de um polígono plano.

O ângulo entre o AB inclinado e o plano DAC é 30* - este é o ângulo BAC O ângulo DAB é 45 (o triângulo DAB é um triângulo retângulo isósceles), então DA=BDBA=DA*root(2) AC=AB* cos (BAC)=AB*cos 30 \u003d DA * raiz (2) * raiz (3) / 2 \u003d\u003d DA * raiz (6) / 2 pelo teorema de três perpendiculares DC é perpendicular a AD cos(CAD)= cos (AD, AC)=AD/AC=AD/(DA*root(6)/2)=2/root(6)= raiz(2/3)ângulo CAB=arcos (2/3)

Tarefas relacionadas:

O lado AB do losango ABCD é a, um dos ângulos é de 60 graus. Um plano alfa é desenhado pelo lado AB a uma distância a/2 do ponto D.
a) encontre a distância do ponto C ao plano alfa.
b) mostre na figura o ângulo linear do ângulo diedro DABM. M pertence ao alfa.
c) Encontre o seno do ângulo entre o plano losango e o plano alfa.

O lado AB do losango ABCD é a, um dos ângulos é de 60 graus. Um plano alfa é desenhado pelo lado AB a uma distância a/2 do ponto D. a) encontre a distância do ponto C ao plano alfa. b) mostre na figura o ângulo linear do ângulo diedro DABM. M pertence ao alfa. c) Encontre o seno do ângulo entre o plano losango e o plano alfa.

O lado AB do losango ABCD é igual a a, e um de seus ângulos é igual a 60°. Um plano alfa é desenhado pelo lado AB a uma distância a2 do ponto D.

a) Encontre a distância do ponto C ao plano alfa.

b) Mostre na figura o ângulo linear do ângulo diedro DABM, M pertence ao quadrado. alfa.

c) Encontre o seno do ângulo entre o plano losango e o plano alfa.

Como mencionado acima, a projeção ortogonal é um caso especial de projeção paralela. Na projeção ortogonal, os feixes de projeção são perpendiculares ao plano de projeção.

O aparato de tal projeção consiste em um plano de projeção.

Para obter uma projeção ortogonal do ponto A, uma viga projetada deve ser traçada através dele perpendicular a P1. O ponto A1 é chamado de projeção ortogonal ou retangular do ponto A.

Para obter uma projeção ortogonal A 1 B 1 segmento AB, no avião P 1, é necessário através dos pontos MAS e NO desenhar linhas salientes perpendiculares a P 1. Na intersecção de linhas de projeção com um plano P 1 obter projeções ortogonais A 1 e EM 1 pontos MAS e NO. Conectando projeções ortogonais A 1 e EM 1 obter uma projeção ortogonal A 1 B 1 segmento AB.

Todas as propriedades da projeção paralela também são viáveis ​​para a projeção ortogonal. No entanto, as projeções ortogonais têm mais algumas propriedades.

Propriedades de projeção ortográfica:
1. O comprimento de um segmento é igual ao comprimento de sua projeção dividido pelo cosseno do ângulo de inclinação do segmento ao plano de projeção.

Vamos pegar uma linha reta AB e construir sua projeção ortogonal A 1 B 1 para o avião P 1. Se você desenhar uma linha reta AS || A 1 B 1, então do triângulo abc segue que |AC| : |AB| = co ou |AB| = |A 1 B 1 | : porque um, Porque |A 1 B 1 | = |AC|.

2. Além disso, para projeção ortogonal, teorema da projeção do ângulo reto:

Teorema: Se pelo menos um lado de um ângulo reto for paralelo ao plano de projeções e o segundo não for perpendicular a ele, o ângulo será projetado nesse plano em tamanho real.

Prova:

Dado um ângulo reto abc, que, por condição, tem uma linha reta Sol AB e Sol || planos de projeção P 1. Por construção, em linha reta Sol para o feixe de projeção BB 1. Portanto, uma linha reta Sol para o avião b (ABxBB1), uma vez que é para duas linhas retas que se cruzam neste plano. De acordo com a linha reta B 1 C 1 || Sol, assim também para o avião b, ou seja, e direto A 1 B 1 esse avião. Portanto, o ângulo entre as linhas A 1 B 1 e B 1 de 1é igual a 90°, o que deveria ser provado.

A projeção ortogonal proporciona a simplicidade das construções geométricas ao determinar projeções ortogonais de pontos, bem como a capacidade de salvar a forma e o tamanho da figura projetada nas projeções. Essas vantagens proporcionaram a projeção ortogonal com ampla aplicação no desenho técnico.

Os métodos de projeção considerados permitem resolver o problema direto da geometria descritiva, ou seja, construir um desenho plano a partir do original. As projeções em um plano assim obtidas dão uma ideia incompleta do objeto, sua forma e posição no espaço, ou seja, tal desenho não possui a propriedade de reversibilidade.

Para obter um desenho reversível, ou seja, um desenho que dá uma imagem completa da forma, tamanho e posição do original no espaço, um desenho de imagem única é complementado. Dependendo do complemento, existem diferentes tipos de desenhos.

1. Trama de Monge ou projeções ortogonais. A essência do método de projeções ortogonais (retangulares) é que o original é projetado ortogonalmente em 2 ou 3 planos de projeção mutuamente ortogonais, e então eles são combinados com o plano de desenho.
2. Desenho axonométrico. A essência do desenho axonométrico é que a princípio o original está rigidamente associado ao sistema de coordenadas cartesianas OXYZ, projete-o ortogonalmente em um dos planos de projeção OXY, ou OXZ. Então, por projeção paralela, uma projeção paralela da estrutura resultante é encontrada: eixos coordenados OX, OY, OZ, projeção secundária e original.
3. Desenho em perspectiva. Ao construir um desenho em perspectiva, uma projeção ortogonal é construída primeiro e, em seguida, a projeção central da projeção ortogonal construída anteriormente e o próprio original são encontrados no plano da imagem.
4. Projeções com marcas numéricas, etc. Para obter projeções com marcas numéricas, o original é projetado ortogonalmente no plano de nível zero e a distância dos pontos do original a este plano é indicada.

Detenhamo-nos com mais detalhes no estudo de projeções retangulares e de um desenho axonométrico.

Aula de geometria no 10º ano

Nesta lição, você continuará seu estudo de linhas e planos; Aprenda a encontrar o ângulo entre uma linha e um plano. Você se familiarizará com o conceito de projeção ortogonal em um plano e considerará suas propriedades. A lição dará definições da distância de um ponto a um plano e de um ponto a uma linha, o ângulo entre uma linha e um plano. O famoso teorema dos três será provado. perpendiculares.

A projeção ortogonal de um ponto A em um determinado plano é a projeção de um ponto nesse plano paralelo a uma reta perpendicular a esse plano. A projeção ortogonal de uma figura sobre um determinado plano p consiste em projeções ortogonais sobre o plano p de todos os pontos dessa figura.

A projeção ortogonal é frequentemente usada para representar corpos espaciais em um plano, especialmente em desenhos técnicos. Dá uma imagem mais realista do que uma projeção paralela arbitrária, especialmente de corpos redondos.

Trace uma linha reta passando por um ponto A que não pertence ao plano p, perpendicular a este plano e que o intercepta no ponto B. Então o segmento AB é chamado de perpendicular baixado do ponto A a este plano, e o ponto O próprio B é chamado de base dessa perpendicular. Qualquer segmento AC, onde C é um ponto arbitrário do plano p, diferente de B, é chamado de inclinado a este plano.

Observe que o ponto B nesta definição é a projeção ortogonal do ponto A, e o segmento AC é a projeção ortogonal da oblíqua AB. As projeções ortográficas têm todas as propriedades das projeções paralelas comuns, mas também têm várias propriedades novas.

Desenhe uma perpendicular e várias linhas inclinadas de um ponto ao plano. Então as seguintes afirmações são verdadeiras.

1. Qualquer oblíquo é mais longo que a projeção perpendicular e ortogonal do oblíquo neste plano.

2. Oblíquos iguais têm projeções ortogonais iguais e vice-versa, oblíquos com projeções iguais também são iguais.

3. Um oblíquo é mais longo que o outro se e somente se a projeção ortogonal do primeiro oblíquo for maior que a projeção ortogonal do segundo oblíquo.