Os conceitos de fractal e geometria fractal, surgidos no final dos anos 70, tornaram-se firmemente estabelecidos na vida cotidiana de matemáticos e programadores desde meados dos anos 80. A palavra fractal é derivada do latim fractus e na tradução significa que consiste em fragmentos. Foi proposto por Benoit Mandelbrot em 1975 para se referir às estruturas irregulares, mas auto-semelhantes que ele estudou. O nascimento da geometria fractal é geralmente associado à publicação do livro de Mandelbrot 'The Fractal Geometry of Nature' em 1977. Seus trabalhos usaram os resultados científicos de outros cientistas que trabalharam no período 1875-1925 no mesmo campo (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Mas somente em nosso tempo foi possível combinar suas obras em um único sistema.
O papel dos fractais na computação gráfica hoje é bastante grande. Eles vêm em socorro, por exemplo, quando é necessário, com a ajuda de vários coeficientes, definir linhas e superfícies de forma muito complexa. Do ponto de vista da computação gráfica, a geometria fractal é indispensável para a geração de nuvens artificiais, montanhas e a superfície do mar. De fato, descobriu-se uma maneira de representar facilmente objetos complexos não euclidianos, cujas imagens são muito semelhantes às naturais.
Uma das principais propriedades dos fractais é a auto-semelhança. No caso mais simples, uma pequena parte do fractal contém informações sobre todo o fractal. A definição de fractal dada por Mandelbrot é a seguinte: "Um fractal é uma estrutura que consiste em partes que são, em certo sentido, semelhantes ao todo."

Há um grande número de objetos matemáticos chamados fractais (triângulo de Sierpinski, floco de neve de Koch, curva de Peano, conjunto de Mandelbrot e atratores de Lorentz). Os fractais descrevem com grande precisão muitos fenômenos físicos e formações do mundo real: montanhas, nuvens, correntes turbulentas (vórtices), raízes, galhos e folhas de árvores, vasos sanguíneos, o que está longe de corresponder a formas geométricas simples. Pela primeira vez, Benoit Mandelbrot falou sobre a natureza fractal do nosso mundo em seu trabalho seminal "A Geometria Fractal da Natureza".
O termo fractal foi introduzido por Benoit Mandelbrot em 1977 em sua obra fundamental "Fractais, Forma, Caos e Dimensão". De acordo com Mandelbrot, a palavra fractal vem das palavras latinas fractus - fracionário e frangere - quebrar, o que reflete a essência do fractal como um conjunto irregular "quebrado".

Classificação dos fractais.

Para representar toda a variedade de fractais, é conveniente recorrer à sua classificação geralmente aceita. Existem três classes de fractais.

1. Fractals geométricos.

Os fractais desta classe são os mais óbvios. No caso bidimensional, eles são obtidos usando uma polilinha (ou superfície no caso tridimensional) chamada de gerador. Em uma etapa do algoritmo, cada um dos segmentos que compõem a linha quebrada é substituído por um gerador de linha quebrada na escala apropriada. Como resultado da repetição infinita deste procedimento, obtém-se um fractal geométrico.

Considere, por exemplo, um desses objetos fractais - a curva triádica de Koch.

Construção da curva triádica de Koch.

Pegue um segmento de linha reta de comprimento 1. Vamos chamá-lo semente. Vamos dividir a semente em três partes iguais de comprimento 1/3, descartar a parte do meio e substituí-la por uma linha quebrada de dois elos de comprimento 1/3.

Obtemos uma linha quebrada, composta por 4 links com um comprimento total de 4/3, - o chamado primeira geração.

Para passar para a próxima geração da curva de Koch, é necessário descartar e substituir a parte do meio de cada link. Assim, a duração da segunda geração será 16/9, a terceira - 64/27. se você continuar esse processo até o infinito, o resultado será uma curva de Koch triádica.

Vamos agora considerar a curva triádica sagrada de Koch e descobrir por que os fractais foram chamados de "monstros".

Primeiro, essa curva não tem comprimento - como vimos, com o número de gerações, seu comprimento tende ao infinito.

Em segundo lugar, é impossível construir uma tangente a essa curva - cada um de seus pontos é um ponto de inflexão no qual a derivada não existe - essa curva não é suave.

Comprimento e suavidade são as propriedades fundamentais das curvas, que são estudadas tanto pela geometria euclidiana quanto pela geometria de Lobachevsky e Riemann. Os métodos tradicionais de análise geométrica acabaram sendo inaplicáveis ​​à curva triádica de Koch, então a curva de Koch acabou sendo um monstro - um "monstro" entre os habitantes suaves das geometrias tradicionais.

Construção do "dragão" Harter-Hateway.

Para obter outro objeto fractal, você precisa alterar as regras de construção. Seja o elemento gerador dois segmentos iguais conectados em ângulos retos. Na geração zero, substituímos o segmento unitário por este elemento gerador para que o ângulo fique para cima. Podemos dizer que, com essa substituição, ocorre um deslocamento no meio do link. Ao construir as próximas gerações, segue-se a regra: o primeiro elo da esquerda é substituído por um elemento gerador de modo que o meio do elo seja deslocado para a esquerda da direção do movimento e, ao substituir os próximos elos, o as direções de deslocamento dos pontos médios dos segmentos devem se alternar. A figura mostra as primeiras gerações e a 11ª geração da curva construída de acordo com o princípio descrito acima. A curva com n tendendo ao infinito é chamada de dragão Harter-Hateway.
Em computação gráfica, o uso de fractais geométricos é necessário na obtenção de imagens de árvores e arbustos. Os fractais geométricos bidimensionais são usados ​​para criar texturas tridimensionais (padrões na superfície de um objeto).

2. Fractals algébricos

Este é o maior grupo de fractais. Eles são obtidos usando processos não lineares em espaços n-dimensionais. Os processos bidimensionais são os mais estudados. Interpretando um processo iterativo não linear como um sistema dinâmico discreto, pode-se usar a terminologia da teoria desses sistemas: retrato de fase, processo de estado estacionário, atrator, etc.
Sabe-se que sistemas dinâmicos não lineares possuem vários estados estáveis. O estado em que o sistema dinâmico se encontra após um certo número de iterações depende de seu estado inicial. Portanto, cada estado estável (ou, como se costuma dizer, um atrator) possui uma certa área de estados iniciais, a partir da qual o sistema necessariamente cairá nos estados finais considerados. Assim, o espaço de fase do sistema é dividido em áreas de atração de atratores. Se o espaço de fase é bidimensional, então, colorindo as regiões de atração com cores diferentes, pode-se obter um retrato de fase colorido desse sistema (processo iterativo). Ao alterar o algoritmo de seleção de cores, você pode obter padrões fractais complexos com padrões multicoloridos sofisticados. Uma surpresa para os matemáticos foi a capacidade de gerar estruturas não triviais muito complexas usando algoritmos primitivos.

O conjunto de Mandelbrot.

Como exemplo, considere o conjunto de Mandelbrot. O algoritmo para sua construção é bastante simples e é baseado em uma expressão iterativa simples: Z = Z[i] * Z[i] + C, Onde Zi e C são variáveis ​​complexas. As iterações são executadas para cada ponto inicial de uma região retangular ou quadrada - um subconjunto do plano complexo. O processo iterativo continua até que Z[i] não ultrapassará o círculo de raio 2, cujo centro está no ponto (0,0), (isto significa que o atrator do sistema dinâmico está no infinito), ou após um número suficientemente grande de iterações (por exemplo , 200-500) Z[i] converge para algum ponto da circunferência. Dependendo do número de iterações durante as quais Z[i] permaneceu dentro do círculo, você pode definir a cor do ponto C(E se Z[i] permanece dentro do círculo por um número suficientemente grande de iterações, o processo iterativo para e esse ponto raster é pintado de preto).

3. Fractals estocásticos

Outra classe bem conhecida de fractais são os fractais estocásticos, que são obtidos se algum de seus parâmetros for alterado aleatoriamente em um processo iterativo. Isso resulta em objetos muito semelhantes aos naturais - árvores assimétricas, litorais recortados, etc. Os fractais estocásticos bidimensionais são usados ​​na modelagem do terreno e da superfície do mar.
Existem outras classificações de fractais, por exemplo, a divisão de fractais em determinísticos (algébricos e geométricos) e não determinísticos (estocásticos).

Sobre o uso de fractais

Em primeiro lugar, os fractais são uma área de arte matemática incrível, quando com a ajuda das fórmulas e algoritmos mais simples, são obtidas imagens de extraordinária beleza e complexidade! Nos contornos das imagens construídas, muitas vezes se adivinham folhas, árvores e flores.

Uma das aplicações mais poderosas dos fractais está na computação gráfica. Em primeiro lugar, trata-se de uma compressão fractal de imagens e, em segundo lugar, a construção de paisagens, árvores, plantas e a geração de texturas fractais. A física e a mecânica modernas estão apenas começando a estudar o comportamento dos objetos fractais. E, claro, os fractais são aplicados diretamente na própria matemática.
As vantagens dos algoritmos de compressão de imagem fractal são um tamanho muito pequeno do arquivo compactado e um curto tempo de recuperação da imagem. As imagens embaladas fractalmente podem ser dimensionadas sem a aparência de pixelização. Mas o processo de compactação leva muito tempo e às vezes dura horas. O algoritmo de empacotamento fractal com perdas permite definir o nível de compactação, semelhante ao formato jpeg. O algoritmo é baseado na busca de grandes pedaços da imagem semelhantes a alguns pequenos pedaços. E apenas qual parte é semelhante à que é gravada no arquivo de saída. Ao comprimir, geralmente é usada uma grade quadrada (peças são quadrados), o que leva a uma ligeira angularidade ao restaurar a imagem; uma grade hexagonal está livre de tal desvantagem.
A Iterated desenvolveu um novo formato de imagem, "Sting", que combina compressão sem perdas fractal e "onda" (como jpeg). O novo formato permite criar imagens com possibilidade de dimensionamento subsequente de alta qualidade, e o volume de arquivos gráficos é de 15 a 20% do volume de imagens não compactadas.
A tendência dos fractais de se parecerem com montanhas, flores e árvores é explorada por alguns editores gráficos, por exemplo, nuvens fractais do estúdio 3D MAX, montanhas fractais no World Builder. Árvores fractais, montanhas e paisagens inteiras são dadas por fórmulas simples, são fáceis de programar e não se desfazem em triângulos e cubos separados quando abordados.
Você não pode ignorar o uso de fractais na própria matemática. Na teoria dos conjuntos, o conjunto de Cantor prova a existência de conjuntos perfeitos em nenhum lugar densos; na teoria da medida, a função auto-afinada "escada de Cantor" é um bom exemplo de uma função de distribuição de medida singular.
Na mecânica e na física, os fractais são usados ​​devido à sua propriedade única de repetir os contornos de muitos objetos naturais. Os fractais permitem aproximar árvores, superfícies de montanhas e fissuras com maior precisão do que aproximações com segmentos de linha ou polígonos (com a mesma quantidade de dados armazenados). Modelos fractais, como objetos naturais, possuem "rugosidade", e essa propriedade é preservada em um aumento arbitrariamente grande no modelo. A presença de uma medida uniforme nos fractais torna possível aplicar a integração, teoria do potencial, para usá-los ao invés de objetos padrão nas equações já estudadas.
Com a abordagem fractal, o caos deixa de ser desordem azul e adquire uma estrutura fina. A ciência fractal ainda é muito jovem e tem um grande futuro pela frente. A beleza dos fractais está longe de se esgotar e ainda nos dará muitas obras-primas - aquelas que encantam os olhos e aquelas que trazem verdadeiro prazer à mente.

Sobre a construção de fractais

Método de aproximações sucessivas

Olhando para esta imagem, não é difícil entender como um fractal auto-semelhante (neste caso, a pirâmide de Sierpinski) pode ser construído. Precisamos pegar uma pirâmide comum (tetraedro) e cortar seu meio (octaedro), resultando em quatro pequenas pirâmides. Com cada um deles realizamos a mesma operação, e assim por diante. Esta é uma explicação um tanto ingênua, mas ilustrativa.

Vamos considerar a essência do método mais estritamente. Seja algum sistema IFS, ou seja, sistema de mapeamento de contração S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (por exemplo, para nossa pirâmide, os mapeamentos se parecem com S i (x)=1/2*x+o i , onde o i são os vértices do tetraedro, i=1,..,4). Então escolhemos algum conjunto compacto A 1 em R n (no nosso caso escolhemos um tetraedro). E determinamos por indução a sequência de conjuntos A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Sabe-se que os conjuntos A k com k crescente aproximam-se do atrator requerido do sistema S.

Observe que cada uma dessas iterações é um atrator sistema recorrente de funções iteradas(termo em inglês DigraphIFS, RIFS e também IFS dirigido por gráfico) e, portanto, são fáceis de construir com nosso programa.

Construção por pontos ou método probabilístico

Este é o método mais fácil de implementar em um computador. Para simplificar, considere o caso de um conjunto auto-afino plano. Então vamos

) é algum sistema de contrações afins. Mapeamentos S

representável como: S

Matriz fixa de tamanho 2x2 e o

Coluna de vetor bidimensional.

• Vamos tomar um ponto fixo do primeiro mapeamento S 1 como ponto de partida:
  x:=o1;
  Aqui usamos o fato de que todos os pontos de contração fixos S 1 ,..,S m pertencem ao fractal. Um ponto arbitrário pode ser escolhido como ponto de partida e a sequência de pontos gerada por ele se reduzirá a um fractal, mas alguns pontos extras aparecerão na tela.
• Observe o ponto atual x=(x 1 ,x 2) na tela:
  putpixel(x1,x2,15);
• Escolhemos aleatoriamente um número j de 1 a m e recalculamos as coordenadas do ponto x:
  j:=Aleatória(m)+1;
  x:=Sj(x);
• Vamos para o passo 2 ou, se tivermos feito um número suficientemente grande de iterações, paramos.

Observação. Se os coeficientes de compressão dos mapeamentos S i forem diferentes, então o fractal será preenchido com pontos de forma desigual. Se os mapeamentos S i forem semelhantes, isso pode ser evitado complicando um pouco o algoritmo. Para isso, na 3ª etapa do algoritmo, deve-se escolher o número j de 1 a m com as probabilidades p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , onde r i denota os coeficientes de contração dos mapeamentos S i , e o número s (chamado de dimensão de similaridade) é encontrado a partir da equação r 1 s +...+r m s =1. A solução desta equação pode ser encontrada, por exemplo, pelo método de Newton.

Sobre fractais e seus algoritmos

Fractal vem do adjetivo latino "fractus", e na tradução significa consistir em fragmentos, e o verbo latino correspondente "frangere" significa quebrar, ou seja, criar fragmentos irregulares. Os conceitos de fractal e geometria fractal, surgidos no final dos anos 70, tornaram-se firmemente estabelecidos na vida cotidiana de matemáticos e programadores desde meados dos anos 80. O termo foi proposto por Benoit Mandelbrot em 1975 para se referir às estruturas irregulares, mas auto-semelhantes, que ele estudou. O nascimento da geometria fractal é geralmente associado à publicação em 1977 do livro de Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" - "The Fractal Geometry of Nature". Seus trabalhos utilizaram os resultados científicos de outros cientistas que trabalharam no período 1875-1925 no mesmo campo (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Ajustes

Deixe-me fazer alguns ajustes nos algoritmos propostos no livro de H.-O. Paytgen e P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993, puramente para erradicar erros de digitação e facilitar a compreensão dos processos, pois depois de estudá-los, muita coisa permaneceu um mistério para mim. Infelizmente, esses algoritmos "compreensíveis" e "simples" levam um estilo de vida agitado.

A construção de fractais é baseada em uma certa função não linear de um processo complexo com feedback z \u003d z 2 + c, pois z e c são números complexos, então z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, é necessário para decompô-lo em x e y para ir mais real para o plano do homem comum:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

O plano que consiste em todos os pares (x, y) pode ser considerado como com valores fixos p e q, bem como para os dinâmicos. No primeiro caso, ordenando por todos os pontos (x, y) do plano de acordo com a lei e colorindo-os dependendo do número de repetições da função necessárias para sair do processo iterativo ou não colorir (preto) quando o máximo permitido de repetições é aumentada, obtemos o mapeamento do conjunto de Julia. Se, pelo contrário, determinarmos o par inicial de valores (x, y) e traçarmos seu destino colorístico com valores que mudam dinamicamente dos parâmetros p e q, obtemos imagens chamadas de conjuntos de Mandelbrot.

Sobre a questão dos algoritmos de coloração fractal.

Normalmente o corpo do conjunto é representado como um campo preto, embora seja óbvio que a cor preta possa ser substituída por qualquer outra, mas esse também é um resultado desinteressante. Obter uma imagem de um conjunto pintada em todas as cores é uma tarefa que não pode ser resolvida com operações cíclicas, pois o número de iterações que formam o corpo do conjunto é igual ao máximo possível e sempre o mesmo. É possível colorir o conjunto em cores diferentes usando o resultado da verificação da condição de saída do loop (z_magnitude) como o número da cor, ou similar a ele, mas com outras operações matemáticas.

Aplicação do "microscópio fractal"

para demonstrar fenômenos de fronteira.

Os atratores são os centros que lideram a luta pelo domínio no plano. Entre os atratores há uma borda representando um padrão de turbilhão. Ao aumentar a escala de consideração dentro dos limites do conjunto, pode-se obter padrões não triviais que refletem o estado de caos determinístico - um fenômeno comum no mundo natural.

Os objetos estudados pelos geógrafos formam um sistema com limites muito complexamente organizados, em relação ao qual sua implementação se torna uma tarefa prática difícil. Os complexos naturais possuem núcleos de tipicidade atuando como atratores que perdem seu poder de influência sobre o território à medida que se afasta.

Usando um microscópio fractal para os conjuntos de Mandelbrot e Julia, pode-se formar uma ideia de processos e fenômenos de fronteira que são igualmente complexos independentemente da escala de consideração e assim preparar a percepção de um especialista para um encontro com uma dinâmica e aparentemente caótica no espaço e tempo objeto natural, para entender a natureza da geometria fractal. Cores multicoloridas e música fractal definitivamente deixarão uma marca profunda nas mentes dos alunos.

Milhares de publicações e enormes recursos da Internet são dedicados aos fractais, no entanto, para muitos especialistas distantes da ciência da computação, esse termo parece completamente novo. Os fractais, como objetos de interesse de especialistas em diversas áreas do conhecimento, devem receber seu devido lugar no curso da ciência da computação.

Exemplos

GRADE SIERPINSKI

Este é um dos fractais que Mandelbrot experimentou ao desenvolver os conceitos de dimensões e iterações fractais. Triângulos formados pela união dos pontos médios do triângulo maior são cortados do triângulo principal para formar um triângulo, com mais furos. Nesse caso, o iniciador é um triângulo grande e o gabarito é uma operação para cortar triângulos semelhantes ao maior. Você também pode obter uma versão 3D de um triângulo usando um tetraedro comum e cortando tetraedros menores. A dimensão de tal fractal é ln3/ln2 = 1,584962501. Obter tapete Sierpinski, pegue um quadrado, divida-o em nove quadrados e recorte o do meio. Faremos o mesmo com o resto, quadrados menores. Ao final, forma-se uma grade fractal plana, que não possui área, mas com conexões infinitas. Em sua forma espacial, a esponja de Sierpinski se transforma em um sistema de formas passantes, em que cada elemento passante é constantemente substituído por seu próprio tipo. Esta estrutura é muito semelhante a uma seção de tecido ósseo. Algum dia, essas estruturas repetidas se tornarão um elemento das estruturas de construção. Suas estáticas e dinâmicas, acredita Mandelbrot, merecem um estudo minucioso.

CURVA DE KOCH

A curva de Koch é um dos fractais determinísticos mais típicos. Foi inventado no século XIX por um matemático alemão chamado Helge von Koch, que, enquanto estudava o trabalho de Georg Kontor e Karl Weierstraße, encontrou descrições de algumas curvas estranhas com comportamento incomum. Iniciador - linha direta. O gerador é um triângulo equilátero, cujos lados são iguais a um terço do comprimento do segmento maior. Esses triângulos são adicionados ao meio de cada segmento repetidamente. Em sua pesquisa, Mandelbrot experimentou muito com curvas de Koch e obteve figuras como Ilhas de Koch, Cruzes de Koch, Flocos de Neve de Koch e até representações tridimensionais da curva de Koch usando um tetraedro e adicionando tetraedros menores a cada uma de suas faces. A curva de Koch tem dimensão ln4/ln3 = 1,261859507.

Fractal Mandelbrot

Este NÃO é o conjunto de Mandelbrot que você vê com bastante frequência. O conjunto de Mandelbrot é baseado em equações não lineares e é um fractal complexo. Esta também é uma variante da curva de Koch, apesar de este objeto não se parecer com ela. O iniciador e o gerador também são diferentes daqueles usados ​​para criar fractais baseados no princípio da curva de Koch, mas a ideia continua a mesma. Em vez de anexar triângulos equiláteros a um segmento de curva, os quadrados são anexados a um quadrado. Devido ao fato de que este fractal ocupa exatamente metade do espaço alocado em cada iteração, ele tem uma dimensão fractal simples de 3/2 = 1,5.

PENTÁGONO DE DARER

Um fractal parece um monte de pentágonos espremidos juntos. Na verdade, ele é formado usando um pentágono como iniciador e triângulos isósceles, a razão do lado maior para o menor em que é exatamente igual à chamada proporção áurea (1,618033989 ou 1/(2cos72)) como gerador . Esses triângulos são cortados do meio de cada pentágono, resultando em uma forma que se parece com 5 pequenos pentágonos colados a um grande. Uma variante deste fractal pode ser obtida usando um hexágono como iniciador. Este fractal é chamado de Estrela de David e é bastante semelhante à versão hexagonal do Floco de Neve de Koch. A dimensão fractal do pentágono Darer é ln6/ln(1+g), onde g é a razão entre o comprimento do lado maior do triângulo e o comprimento do lado menor. Neste caso, g é a Proporção Áurea, então a dimensão fractal é aproximadamente 1,86171596. A dimensão fractal da Estrela de David é ln6/ln3 ou 1,630929754.

Fractals complexos

De fato, se você ampliar uma pequena área de qualquer fractal complexo e depois fizer o mesmo em uma pequena área dessa área, as duas ampliações serão significativamente diferentes uma da outra. As duas imagens serão muito semelhantes em detalhes, mas não serão completamente idênticas.

Fig 1. Aproximação do conjunto de Mandelbrot

Compare, por exemplo, as fotos do conjunto Mandelbrot mostradas aqui, uma das quais foi obtida aumentando alguma área da outra. Como você pode ver, eles não são absolutamente idênticos, embora em ambos vejamos um círculo preto, do qual tentáculos flamejantes vão em direções diferentes. Esses elementos se repetem indefinidamente no conjunto de Mandelbrot em proporção decrescente.

Os fractais determinísticos são lineares, enquanto os fractais complexos não são. Sendo não lineares, esses fractais são gerados pelo que Mandelbrot chamou de equações algébricas não lineares. Um bom exemplo é o processo Zn+1=ZnІ + C, que é a equação usada para construir os conjuntos Mandelbrot e Julia do segundo grau. Resolver essas equações matemáticas envolve números complexos e imaginários. Quando a equação é interpretada graficamente no plano complexo, o resultado é uma figura estranha em que linhas retas se transformam em curvas, efeitos de auto-similaridade aparecem em vários níveis de escala, embora não sem deformações. Ao mesmo tempo, todo o quadro como um todo é imprevisível e muito caótico.

Como você pode ver olhando as fotos, fractais complexos são realmente muito complexos e impossíveis de criar sem a ajuda de um computador. Para obter resultados coloridos, este computador deve ter um coprocessador matemático poderoso e um monitor de alta resolução. Ao contrário dos fractais determinísticos, os fractais complexos não são calculados em 5-10 iterações. Quase todos os pontos na tela do computador são como um fractal separado. Durante o processamento matemático, cada ponto é tratado como um padrão separado. Cada ponto corresponde a um determinado valor. A equação é construída para cada ponto e é executada, por exemplo, 1000 iterações. Para obter uma imagem relativamente não distorcida em um intervalo de tempo aceitável para computadores domésticos, é possível realizar 250 iterações para um ponto.

A maioria dos fractais que vemos hoje são lindamente coloridas. Talvez as imagens fractais tenham ganhado um valor estético tão grande precisamente por causa de seus esquemas de cores. Depois que a equação é calculada, o computador analisa os resultados. Se os resultados permanecerem estáveis ​​ou flutuarem em torno de um determinado valor, o ponto geralmente ficará preto. Se o valor em um passo ou outro tende ao infinito, o ponto é pintado em uma cor diferente, talvez azul ou vermelho. Durante este processo, o computador atribui cores a todas as velocidades de movimento.

Normalmente, os pontos de movimento rápido são pintados de vermelho, enquanto os mais lentos são amarelos e assim por diante. Os pontos escuros são provavelmente os mais estáveis.

Os fractais complexos diferem dos fractais determinísticos porque são infinitamente complexos, mas podem ser gerados por uma fórmula muito simples. Os fractais determinísticos não precisam de fórmulas ou equações. Basta pegar um papel de desenho e você pode construir uma peneira Sierpinski até 3 ou 4 iterações sem nenhuma dificuldade. Tente fazer isso com muita Julia! É mais fácil ir medir a extensão do litoral da Inglaterra!

CONJUNTO DE MANDERBROT

Fig 2. Conjunto de Mandelbrot

Os conjuntos de Mandelbrot e Julia são provavelmente os dois mais comuns entre os fractais complexos. Eles podem ser encontrados em muitas revistas científicas, capas de livros, cartões postais e protetores de tela de computador. O conjunto de Mandelbrot, que foi construído por Benoit Mandelbrot, é provavelmente a primeira associação que as pessoas têm quando ouvem a palavra fractal. Este fractal, semelhante a um cartão com uma árvore brilhante e áreas circulares anexadas a ele, é gerado pela fórmula simples Zn+1=Zna+C, onde Z e C são números complexos e a é um número positivo.

O conjunto de Mandelbrot mais comumente visto é o conjunto de Mandelbrot de 2º grau, ou seja, a = 2. O fato de que o conjunto de Mandelbrot não é apenas Zn+1=ZnІ+C, mas um fractal cujo expoente na fórmula pode ser qualquer número positivo enganou muitas pessoas. Nesta página você vê um exemplo do conjunto de Mandelbrot para vários valores do expoente a.
Figura 3. Aparência de bolhas em a=3,5

O processo Z=Z*tg(Z+C) também é popular. Graças à inclusão da função tangente, obtém-se o conjunto de Mandelbrot, circundado por uma área semelhante a uma maçã. Ao usar a função cosseno, são obtidos efeitos de bolhas de ar. Em suma, há um número infinito de maneiras de ajustar o conjunto de Mandelbrot para produzir várias fotos bonitas.

JULIA MÚLTIPLA

Surpreendentemente, os conjuntos de Julia são formados pela mesma fórmula do conjunto de Mandelbrot. O conjunto Julia foi inventado pelo matemático francês Gaston Julia, que deu o nome ao conjunto. A primeira pergunta que surge após uma familiarização visual com os conjuntos de Mandelbrot e Julia é "se ambos os fractais são gerados pela mesma fórmula, por que são tão diferentes?" Primeiro veja as fotos do set de Julia. Curiosamente, existem diferentes tipos de conjuntos de Julia. Ao desenhar um fractal usando diferentes pontos de partida (para iniciar o processo de iteração), diferentes imagens são geradas. Isso se aplica apenas ao conjunto de Julia.

Fig 4. Conjunto de Julia

Embora não possa ser visto na imagem, um fractal de Mandelbrot é na verdade um monte de fractais de Julia conectados entre si. Cada ponto (ou coordenada) do conjunto de Mandelbrot corresponde a um fractal de Julia. Os conjuntos de Julia podem ser gerados usando esses pontos como valores iniciais na equação Z=ZI+C. Mas isso não significa que, se você selecionar um ponto no fractal de Mandelbrot e aumentá-lo, poderá obter um fractal de Julia. Esses dois pontos são idênticos, mas apenas em um sentido matemático. Se pegarmos este ponto e calcularmos de acordo com esta fórmula, podemos obter o fractal de Julia correspondente a um certo ponto do fractal de Mandelbrot.

fractal

Fractal (lat. fractura- esmagado, quebrado, quebrado) - uma figura geométrica que tem a propriedade de auto-semelhança, ou seja, composta de várias partes, cada uma das quais é semelhante à figura inteira como um todo. Em matemática, os fractais são entendidos como conjuntos de pontos no espaço euclidiano que têm uma dimensão métrica fracionária (no sentido de Minkowski ou Hausdorff), ou uma dimensão métrica diferente da topológica. Fractasm é uma ciência exata independente de estudar e compilar fractais.

Em outras palavras, os fractais são objetos geométricos com uma dimensão fracionária. Por exemplo, a dimensão de uma linha é 1, uma área é 2 e um volume é 3. Para um fractal, o valor da dimensão pode estar entre 1 e 2 ou entre 2 e 3. Por exemplo, a dimensão fractal de um amassado bola de papel é aproximadamente 2,5. Em matemática, existe uma fórmula complexa especial para calcular a dimensão dos fractais. As ramificações dos tubos traqueais, as folhas das árvores, as veias do braço, o rio são fractais. Em termos simples, um fractal é uma figura geométrica, uma certa parte da qual é repetida várias vezes, mudando de tamanho - este é o princípio da auto-semelhança. Os fractais são semelhantes a si mesmos, são semelhantes a si mesmos em todos os níveis (ou seja, em qualquer escala). Existem muitos tipos diferentes de fractais. Em princípio, pode-se argumentar que tudo o que existe no mundo real é um fractal, seja uma nuvem ou uma molécula de oxigênio.

A palavra "caos" sugere algo imprevisível, mas, na verdade, o caos é bastante ordenado e obedece a certas leis. O propósito de estudar caos e fractais é prever padrões que, à primeira vista, podem parecer imprevisíveis e completamente caóticos.

O pioneiro nesse campo do conhecimento foi o matemático franco-americano, professor Benoit B. Mandelbrot. Em meados da década de 1960, ele desenvolveu a geometria fractal, cujo objetivo era analisar formas quebradas, enrugadas e difusas. O conjunto de Mandelbrot (mostrado na figura) é a primeira associação que uma pessoa tem quando ouve a palavra "fractal". A propósito, Mandelbrot determinou que a dimensão fractal do litoral da Inglaterra é de 1,25.

Os fractais estão sendo cada vez mais usados ​​na ciência. Eles descrevem o mundo real ainda melhor do que a física ou matemática tradicional. O movimento browniano é, por exemplo, o movimento aleatório e caótico de partículas de poeira suspensas na água. Este tipo de movimento é talvez o aspecto mais prático da geometria fractal. O movimento browniano aleatório tem uma resposta de frequência que pode ser usada para prever fenômenos envolvendo grandes quantidades de dados e estatísticas. Por exemplo, Mandelbrot previu mudanças no preço da lã usando o movimento browniano.

A palavra "fractal" pode ser usada não apenas como um termo matemático. Um fractal na imprensa e na literatura de ciência popular pode ser chamado de figuras que possuem qualquer uma das seguintes propriedades:

Tem uma estrutura não trivial em todas as escalas. Esta é a diferença das figuras regulares (como um círculo, uma elipse, o gráfico de uma função suave): se considerarmos um pequeno fragmento de uma figura regular em uma escala muito grande, parecerá um fragmento de uma linha reta . Para um fractal, o zoom não leva a uma simplificação da estrutura, em todas as escalas veremos uma imagem igualmente complexa.

É auto-semelhante ou aproximadamente auto-semelhante.

Tem uma dimensão métrica fracionária ou uma dimensão métrica superior à topológica.

O uso mais útil de fractais na computação é a compressão de dados fractais. Ao mesmo tempo, as imagens são comprimidas muito melhor do que pelos métodos convencionais - até 600:1. Outra vantagem da compressão fractal é que quando você aumenta o zoom, não há efeito de pixelização que piora drasticamente a imagem. Além disso, uma imagem comprimida fractal após a ampliação muitas vezes parece ainda melhor do que antes. Os cientistas da computação também sabem que fractais de infinita complexidade e beleza podem ser gerados com fórmulas simples. A indústria cinematográfica faz uso extensivo da tecnologia de gráficos fractais para criar elementos de paisagem realistas (nuvens, rochas e sombras).

O estudo da turbulência em escoamentos adapta-se muito bem aos fractais. Isso permite uma melhor compreensão da dinâmica de fluxos complexos. As chamas também podem ser modeladas usando fractais. Materiais porosos são bem representados na forma fractal devido ao fato de possuírem uma geometria muito complexa. Para transmitir dados à distância, são utilizadas antenas em forma de fractal, o que reduz muito seu tamanho e peso. Os fractais são usados ​​para descrever a curvatura das superfícies. Uma superfície irregular é caracterizada por uma combinação de dois fractais diferentes.

Muitos objetos na natureza têm propriedades fractais, como costas, nuvens, copas de árvores, flocos de neve, o sistema circulatório e o sistema alveolar de humanos ou animais.

Os fractais, especialmente no avião, são populares por sua combinação de beleza e facilidade de construção com um computador.

Os primeiros exemplos de conjuntos auto-similares com propriedades incomuns surgiram no século XIX (por exemplo, a função de Bolzano, a função de Weierstrass, o conjunto de Cantor). O termo "fractal" foi introduzido por Benoit Mandelbrot em 1975 e ganhou grande popularidade com o lançamento de seu livro "A Geometria Fractal da Natureza" em 1977.

A figura à esquerda mostra um fractal do Pentágono Darer como um exemplo simples, que se parece com um monte de pentágonos espremidos. De fato, é formado usando um pentágono como iniciador e triângulos isósceles, cuja razão do maior lado para o menor é exatamente igual à chamada proporção áurea (1,618033989 ou 1/(2cos72°)) como o gerador. Esses triângulos são cortados do meio de cada pentágono, resultando em uma forma que se parece com 5 pequenos pentágonos colados a um grande.

A teoria do caos diz que sistemas não lineares complexos são hereditariamente imprevisíveis, mas ao mesmo tempo afirma que a maneira de expressar tais sistemas imprevisíveis acaba sendo verdadeira não em igualdades exatas, mas em representações do comportamento do sistema - em gráficos de atratores estranhos que parecem fractais. Assim, a teoria do caos, considerada por muitos como imprevisibilidade, acaba sendo a ciência da previsibilidade mesmo nos sistemas mais instáveis. A doutrina dos sistemas dinâmicos mostra que equações simples podem gerar tal comportamento caótico em que o sistema nunca retorna a um estado estável e nenhuma regularidade aparece ao mesmo tempo. Freqüentemente, tais sistemas se comportam normalmente até certo valor de um parâmetro-chave, então experimentam uma transição na qual há duas possibilidades de desenvolvimento posterior, depois quatro e, finalmente, um conjunto caótico de possibilidades.

Esquemas de processos que ocorrem em objetos técnicos têm uma estrutura fractal claramente definida. A estrutura do sistema técnico mínimo (TS) implica o fluxo dentro do ST de dois tipos de processos - os principais e os de suporte, e essa divisão é condicional e relativa. Qualquer processo pode ser o principal em relação aos de suporte, e qualquer um dos processos de suporte pode ser considerado o principal em relação aos “seus” processos de suporte. Os círculos no diagrama indicam os efeitos físicos que garantem o fluxo desses processos, para os quais não é necessário criar especialmente TS “próprios”. Esses processos são o resultado da interação entre substâncias, campos, substâncias e campos. Para ser preciso, o efeito físico é um veículo, cujo princípio não podemos influenciar, e não queremos ou não temos oportunidade de interferir em sua estrutura.

O fluxo do processo principal mostrado no diagrama é assegurado pela existência de três processos de suporte que são os principais para os TS que os geram. Por uma questão de justiça, notamos que, mesmo para o funcionamento de um TS mínimo, três processos claramente não são suficientes, ou seja, o esquema é muito, muito exagerado.

Nem tudo é tão simples como mostrado no diagrama. Um processo útil (necessário para uma pessoa) não pode ser executado com 100% de eficiência. A energia dissipada é gasta na criação de processos prejudiciais - aquecimento, vibração, etc. Como resultado, paralelamente ao processo benéfico, surgem os prejudiciais. Nem sempre é possível substituir um processo “ruim” por um “bom”, então novos processos precisam ser organizados para compensar as consequências prejudiciais ao sistema. Um exemplo típico é a necessidade de combater o atrito, que obriga a organizar esquemas de lubrificação engenhosos, usar materiais antifricção caros ou gastar tempo lubrificando componentes e peças ou substituindo-os periodicamente.

Em conexão com a existência da influência inevitável de um ambiente mutável, um processo útil pode precisar ser controlado. O gerenciamento pode ser realizado tanto com a ajuda de dispositivos automáticos quanto diretamente por uma pessoa. O diagrama de processo é na verdade um conjunto de comandos especiais, ou seja, algoritmo. A essência (descrição) de cada comando é uma combinação de um único processo útil, acompanhando processos prejudiciais e um conjunto de processos de controle necessários. Em tal algoritmo, o conjunto de processos de suporte é uma sub-rotina comum - e aqui também encontramos um fractal. O método de R. Koller, criado há um quarto de século, permite criar sistemas com um conjunto bastante limitado de apenas 12 pares de funções (processos).

Conjuntos auto-similares com propriedades incomuns em matemática

A partir do final do século XIX, surgiram na matemática exemplos de objetos auto-similares com propriedades patológicas do ponto de vista da análise clássica. Estes incluem o seguinte:

o conjunto de Cantor é um conjunto perfeito incontável e denso em nenhum lugar. Ao modificar o procedimento, pode-se também obter um conjunto denso de comprimento positivo em nenhum lugar.

o triângulo Sierpinski (“toalha de mesa”) e o tapete Sierpinski são análogos do Cantor colocado no avião.

a esponja de Menger - um análogo do Cantor ambientado no espaço tridimensional;

exemplos de Weierstrass e van der Waerden de uma função contínua não diferenciável em nenhum lugar.

Curva de Koch - uma curva contínua sem auto-interseção de comprimento infinito que não possui tangente em nenhum ponto;

a curva de Peano é uma curva contínua que passa por todos os pontos de um quadrado.

a trajetória de uma partícula browniana também não é diferenciável em nenhum lugar com probabilidade 1. Sua dimensão Hausdorff é de dois

Procedimento recursivo para obtenção de curvas fractais

Construção da curva de Koch

Existe um procedimento recursivo simples para obter curvas fractais em um plano. Definimos uma linha quebrada arbitrária com um número finito de links, chamado gerador. Em seguida, substituímos cada segmento por um gerador (mais precisamente, uma linha quebrada semelhante a um gerador). Na linha quebrada resultante, novamente substituímos cada segmento por um gerador. Continuando ao infinito, no limite obtemos uma curva fractal. A figura à direita mostra as quatro primeiras etapas deste procedimento para a curva de Koch.

Exemplos de tais curvas são:

curva do dragão,

Curva de Koch (floco de neve de Koch),

Curva de Levy,

curva de minkowski,

Curva de Hilbert,

Dragão quebrado (curva) (Fractal Harter-Hateway),

Curva de Peão.

Usando um procedimento semelhante, uma árvore pitagórica é obtida.

Fractais como mapeamentos de pontos fixos de contração

A propriedade de auto-semelhança pode ser matematicamente rigorosamente expressa como segue. Let Ser mapas de contração do plano. Considere o seguinte mapeamento no conjunto de todos os subconjuntos compactos (fechados e limitados) do plano:

Pode-se mostrar que o mapeamento é um mapeamento de contração no conjunto de conjuntos compactos com a métrica de Hausdorff. Portanto, pelo teorema de Banach, esse mapeamento tem um único ponto fixo. Este ponto fixo será o nosso fractal.

O procedimento recursivo para obtenção de curvas fractais descrito acima é um caso especial desta construção. Nele, todos os mapeamentos são mapeamentos de similaridade, e é o número de links geradores.

Para o triângulo de Sierpinski e o mapeamento , , , são homotetas com centros nos vértices de um triângulo regular e coeficiente 1/2. É fácil ver que o triângulo de Sierpinski se transforma em si mesmo sob o mapeamento.

No caso em que os mapeamentos são transformações de similaridade com coeficientes , a dimensão do fractal (sob algumas condições técnicas adicionais) pode ser calculada como solução da equação . Então, para o triângulo de Sierpinski temos .

De acordo com o mesmo teorema de Banach, partindo de qualquer conjunto compacto e aplicando a ele iterações do mapeamento , obtemos uma sequência de conjuntos compactos convergindo (no sentido da métrica de Hausdorff) para nosso fractal.

Fractais em dinâmica complexa

conjunto de Julia

Outro conjunto de Julia

Os fractais surgem naturalmente no estudo de sistemas dinâmicos não lineares. O caso mais estudado é quando o sistema dinâmico é definido por iterações de um polinômio ou uma função holomórfica de uma variável complexa no plano. Os primeiros estudos nesta área datam do início do século XX e estão associados aos nomes de Fatou e Julia.

Deixar F(z) - polinômio, z 0 é um número complexo. Considere a seguinte sequência: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Estamos interessados ​​no comportamento desta sequência, pois tendemos a n ao infinito. Esta sequência pode:

lutar pelo infinito

lutar pelo derradeiro

exibem comportamento cíclico no limite, por exemplo: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

comportar-se caoticamente, ou seja, não demonstrar nenhum dos três tipos de comportamento mencionados.

Conjuntos de valores z 0 , para a qual a sequência exibe um tipo específico de comportamento, bem como conjuntos de pontos de bifurcação entre diferentes tipos, muitas vezes possuem propriedades fractais.

Assim, o conjunto de Julia é o conjunto de pontos de bifurcação para o polinômio F(z)=z 2 +c(ou outra função similar), ou seja, esses valores z 0 , para o qual o comportamento da sequência ( z n) pode mudar drasticamente com pequenas alterações arbitrariamente z 0 .

Outra opção para obter conjuntos fractais é introduzir um parâmetro no polinômio F(z) e considerando o conjunto desses valores de parâmetros para os quais a sequência ( z n) demonstra um certo comportamento para um z 0. Assim, o conjunto de Mandelbrot é o conjunto de todos para os quais ( z n) por F(z)=z 2 +c e z 0 não vai para o infinito.

Outro exemplo bem conhecido desse tipo são as piscinas de Newton.

É popular criar belas imagens gráficas baseadas em dinâmicas complexas colorindo pontos planos dependendo do comportamento dos sistemas dinâmicos correspondentes. Por exemplo, para complementar o conjunto Mandelbrot, você pode colorir os pontos dependendo da velocidade do esforço ( z n) ao infinito (definido, digamos, como o menor número n, onde | z n| excede um grande valor fixo UMA.

Biomorfos são fractais construídos com base em dinâmicas complexas e semelhantes a organismos vivos.

Fractals estocásticos

Fractal aleatório baseado no conjunto de Julia

Objetos naturais geralmente têm uma forma fractal. Para sua modelagem, fractais estocásticos (aleatórios) podem ser usados. Exemplos de fractais estocásticos:

trajetória do movimento browniano no plano e no espaço;

limite da trajetória do movimento browniano no plano. Em 2001, Lawler, Schramm e Werner provaram a conjectura de Mandelbrot de que sua dimensão é 4/3.

As evoluções de Schramm-Löwner são curvas fractais conformemente invariantes que surgem em modelos bidimensionais críticos da mecânica estatística, por exemplo, no modelo de Ising e percolação.

vários tipos de fractais aleatórios, ou seja, fractais obtidos usando um procedimento recursivo, no qual um parâmetro aleatório é introduzido em cada etapa. O plasma é um exemplo do uso de tal fractal em computação gráfica.

Na natureza

Vista frontal da traqueia e brônquios

árvore brônquica

rede de vasos sanguíneos

Inscrição

Ciências Naturais

Na física, os fractais surgem naturalmente na modelagem de processos não lineares, como fluxo de fluido turbulento, processos complexos de difusão-adsorção, chamas, nuvens, etc. Os fractais são usados ​​na modelagem de materiais porosos, por exemplo, em petroquímica. Em biologia, eles são usados ​​para modelar populações e descrever sistemas de órgãos internos (sistema de vasos sanguíneos).

Engenharia de rádio

antenas fractais

O uso da geometria fractal no projeto de dispositivos de antena foi aplicado pela primeira vez pelo engenheiro americano Nathan Cohen, que então morava no centro de Boston, onde era proibido instalar antenas externas em edifícios. Nathan cortou uma figura na forma de uma curva Koch de papel alumínio e colou-a em uma folha de papel, em seguida, prendeu-a ao receptor. Cohen fundou sua própria empresa e lançou sua produção em série.

Informática

Compressão de imagem

Artigo principal: Algoritmo de Compressão Fractal

árvore fractal

Existem algoritmos de compressão de imagem usando fractais. Eles são baseados na ideia de que ao invés da imagem em si, você pode armazenar um mapa de contração para o qual esta imagem (ou alguma próxima a ela) seja um ponto fixo. Uma das variantes deste algoritmo foi usada [ fonte não especificada 895 dias] pela Microsoft ao publicar sua enciclopédia, mas esses algoritmos não foram amplamente utilizados.

Gráficos de computador

Outra árvore fractal

Os fractais são amplamente utilizados em computação gráfica para construir imagens de objetos naturais, como árvores, arbustos, paisagens montanhosas, superfícies do mar e assim por diante. Existem muitos programas usados ​​para gerar imagens fractais, veja Fractal Generator (programa).

redes descentralizadas

O sistema de atribuição de endereços IP da Netsukuku usa o princípio da compressão de informações fractais para armazenar de forma compacta as informações sobre os nós da rede. Cada nó da rede Netsukuku armazena apenas 4 KB de informações sobre o status dos nós vizinhos, enquanto qualquer novo nó se conecta à rede geral sem a necessidade de regulação central da distribuição de endereços IP, o que, por exemplo, é típico para o Internet. Assim, o princípio da compressão da informação fractal garante uma operação completamente descentralizada e, portanto, a mais estável de toda a rede.

As propriedades fractais não são um capricho e nem fruto da fantasia ociosa dos matemáticos. Ao estudá-los, aprendemos a distinguir e prever características importantes dos objetos e fenômenos ao nosso redor, que antes, se não completamente ignorados, eram estimados apenas aproximadamente, qualitativamente, a olho nu. Por exemplo, comparando as dimensões fractais de sinais complexos, encefalogramas ou sopros cardíacos, os médicos podem diagnosticar algumas doenças graves em um estágio inicial, quando o paciente ainda pode ser ajudado. Além disso, o analista, comparando o comportamento anterior dos preços, no início da formação do modelo, pode prever seu desenvolvimento posterior, evitando assim erros grosseiros na previsão.

Irregularidade dos fractais

A primeira propriedade dos fractais é a sua irregularidade. Se um fractal é descrito por uma função, então a propriedade de irregularidade em termos matemáticos significará que tal função não é diferenciável, ou seja, não é suave em nenhum ponto. Na verdade, isso tem a relação mais direta com o mercado. As flutuações de preços às vezes são tão voláteis e mutáveis ​​que confundem muitos traders. Nossa tarefa é resolver todo esse caos e colocá-lo em ordem.

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Auto-similaridade de fractais

A segunda propriedade diz que um fractal é um objeto que tem a propriedade de auto-semelhança. Este é um modelo recursivo, cada parte do qual repete em seu desenvolvimento o desenvolvimento de todo o modelo como um todo e é reproduzido em várias escalas sem alterações visíveis. No entanto, ainda ocorrem mudanças, o que pode afetar muito nossa percepção do objeto.

Auto-semelhança significa que o objeto não possui uma escala característica: se tivesse essa escala, você distinguiria imediatamente a cópia ampliada do fragmento da imagem original. Objetos auto-semelhantes têm um número infinito de escalas para todos os gostos. A essência da auto-semelhança pode ser explicada pelo seguinte exemplo. Imagine que você tem uma imagem de uma linha geométrica “real”, “comprimento sem largura”, como Euclides definiu a linha, e você está brincando com um amigo, tentando adivinhar se ele está lhe mostrando a imagem original (original) ou uma imagem de qualquer fragmento de uma linha reta. Não importa o quanto você tente, você nunca será capaz de distinguir o original da cópia ampliada do fragmento, a linha reta é disposta da mesma maneira em todas as suas partes, é semelhante a si mesma, mas essa propriedade notável dela é um pouco escondido pela estrutura descomplicada da própria linha reta, sua “retidão” (Fig. 7).

Se você também não conseguir distinguir um instantâneo de algum objeto de um instantâneo adequadamente ampliado de qualquer um de seus fragmentos, então você tem um objeto auto-semelhante. Todos os fractais que têm pelo menos alguma simetria são auto-similares. E isso significa que alguns fragmentos de sua estrutura são estritamente repetidos em certos intervalos espaciais. Obviamente, esses objetos podem ser de qualquer natureza, e sua aparência e forma permanecem inalteradas, independentemente da escala. Um exemplo de um fractal auto-semelhante:

Em finanças, esse conceito não é uma abstração infundada, mas uma reafirmação teórica de um ditado prático do mercado – ou seja, que os movimentos de uma ação ou moeda são superficialmente semelhantes, independentemente do prazo e do preço. O observador não pode dizer pela aparência do gráfico se os dados são para mudanças semanais, diárias ou horárias.

É claro que nem todos os fractais têm uma estrutura tão regular e infinitamente repetida como aquelas maravilhosas exposições do futuro museu de arte fractal, que nasceram da imaginação de matemáticos e artistas. Muitos fractais encontrados na natureza (superfícies de falhas de rochas e metais, nuvens, cotações de moedas, fluxos turbulentos, espuma, géis, contornos de partículas de fuligem, etc.) carecem de semelhança geométrica, mas reproduzem obstinadamente as propriedades estatísticas do todo em cada fragmento. Fractais com uma forma não linear de desenvolvimento foram nomeados por Mandelbrot como multifractais. Um multifractal é um objeto quase fractal com uma dimensão fractal variável. Naturalmente, objetos e processos reais são muito melhor descritos por multifractais.

Essa auto-semelhança estatística, ou auto-semelhança em média, distingue fractais de uma variedade de objetos naturais.

Considere um exemplo de autossimilaridade no mercado de câmbio:

Nestas figuras, vemos que são semelhantes, embora tenham uma escala de tempo diferente, na Fig. e a escala de 15 minutos, na Fig. b tabela de preços semanal. Como você pode ver, essas citações não têm a capacidade de se repetir perfeitamente, no entanto, podemos considerá-las semelhantes.

Mesmo os fractais mais simples - fractais geometricamente auto-similares - têm propriedades incomuns. Por exemplo, o floco de neve de von Koch tem um perímetro de comprimento infinito, embora limite uma área finita (Fig. 9). Além disso, é tão espinhoso que é impossível desenhar uma tangente a ele em qualquer ponto do contorno (um matemático diria que um floco de neve de von Koch não é diferenciável em nenhum lugar, ou seja, não é liso em nenhum ponto).

Mandelbrot descobriu que os resultados da medição fracionária permanecem constantes para vários graus de aprimoramento da irregularidade do objeto. Em outras palavras, há regularidade (correção, ordem) para qualquer irregularidade. Quando tratamos algo como aleatório, indica que não entendemos a natureza dessa aleatoriedade. Em termos de mercado, isso significa que a formação das mesmas formações típicas deve ocorrer em prazos diferentes. Um gráfico de um minuto descreverá uma formação fractal da mesma forma que um gráfico mensal. Essa "auto-semelhança" encontrada nos gráficos dos mercados de commodities e financeiros mostra todos os sinais de que as ações do mercado estão mais próximas do paradigma comportamental da "natureza" do que do comportamento da análise fundamentalista econômica.

Nestas figuras, você pode encontrar a confirmação do acima. À esquerda está um gráfico com uma escala de minutos, à direita está um semanal. Os pares de moedas USD/Yen (Fig. 9 (a)) e Euro/Dólar (Fig. 9 (b)) são mostrados aqui com diferentes escalas de preços. Embora o par de moedas JPY/USD tenha uma volatilidade diferente em relação ao EUR/USD, podemos observar a mesma estrutura de movimento de preços.

dimensão fractal

A terceira propriedade dos fractais é que os objetos fractais têm uma dimensão diferente da euclidiana (em outras palavras, uma dimensão topológica). A dimensão fractal é uma medida da complexidade da curva. Ao analisar a alternância de seções com diferentes dimensões fractais e como o sistema é afetado por fatores externos e internos, pode-se aprender a prever o comportamento do sistema. E o mais importante, para diagnosticar e prever condições instáveis.

No arsenal da matemática moderna, Mandelbrot encontrou uma medida quantitativa conveniente da imperfeição dos objetos - a sinuosidade do contorno, o enrugamento da superfície, a fratura e a porosidade do volume. Foi proposto por dois matemáticos - Felix Hausdorff (1868-1942) e Abram Samoylovich Besikovich (1891-1970). Agora, merecidamente, ostenta os nomes gloriosos de seus criadores (dimensão Hausdorff-Besikovich) - dimensão Hausdorff-Besikovich. O que é dimensão e por que precisamos dela em relação à análise dos mercados financeiros? Antes disso, conhecíamos apenas um tipo de dimensão - topológica (Fig. 11). A própria palavra dimensão indica quantas dimensões um objeto tem. Para um segmento, uma linha reta, é igual a 1, ou seja, temos apenas uma dimensão, ou seja, o comprimento de um segmento ou de uma linha reta. Para um plano, a dimensão será 2, pois temos uma dimensão bidimensional, comprimento e largura. Para objetos espaciais ou sólidos, a dimensão é 3: comprimento, largura e altura.

Tomemos o exemplo dos jogos de computador. Se o jogo é feito em gráficos 3D, então é espacial e volumoso, se em gráficos 2D, os gráficos são exibidos em um plano (Fig. 10).

O mais incomum (seria mais correto dizer - incomum) na dimensão de Hausdorff-Besikovich era que ela poderia levar não apenas números inteiros, como dimensão topológica, mas também valores fracionários. Igual a um para uma linha reta (infinita, semi-infinita ou para um segmento finito), a dimensão Hausdorff-Besicovitch aumenta à medida que a tortuosidade aumenta, enquanto a dimensão topológica ignora obstinadamente todas as mudanças que ocorrem com a linha.

A dimensão caracteriza a complicação de um conjunto (por exemplo, uma linha reta). Se for uma curva com uma dimensão topológica igual a 1 (uma linha reta), então a curva pode ser complicada por um número infinito de curvas e ramificações a tal ponto que sua dimensão fractal se aproxima de dois, ou seja, preencherá quase todo o plano (Fig. 12)

Ao aumentar seu valor, a dimensão Hausdorff-Besikovich não a altera abruptamente, como faria a dimensão topológica "em seu lugar", a transição de 1 imediatamente para 2. A dimensão Hausdorff-Besikovich - e isso à primeira vista pode parecer incomum e surpreendente, assume valores fracionários: igual a um para uma linha reta, torna-se 1,15 para uma linha ligeiramente sinuosa, 1,2 para uma linha mais sinuosa, 1,5 para uma linha muito sinuosa e assim por diante.

Foi para enfatizar a capacidade da dimensão Hausdorff-Besikovich de assumir valores fracionários, não inteiros, que Mandelbrot surgiu com seu próprio neologismo, chamando-o de dimensão fractal. Assim, uma dimensão fractal (não apenas Hausdorff-Besikovich, mas qualquer outra) é uma dimensão que pode assumir não necessariamente valores inteiros, mas também fracionários.

Para fractais geométricos lineares, a dimensão caracteriza sua auto-semelhança. Considere a Fig. 17(A), a linha consiste em N=4 segmentos, cada um com um comprimento de r = 1/3. Como resultado, obtemos a proporção:

D = logN/log(1/r)

A situação é bem diferente quando falamos de multifractais (não lineares). Aqui a dimensão perde seu significado como definição da semelhança de um objeto e é definida por meio de várias generalizações, muito menos naturais do que a dimensão única de objetos auto-similares.

No mercado de câmbio, a dimensão pode caracterizar a volatilidade das cotações de preços. Cada par de moedas tem seu próprio comportamento em termos de preços. Para o par Libra/Dólar (Fig. 13(a)) é mais calmo do que para o Euro/Dólar (Fig. 13(b)). O mais interessante é que essas moedas se movem na mesma estrutura para os níveis de preços, porém, possuem dimensões diferentes, o que pode afetar a negociação intradiária e mudanças em modelos que iludem o olhar inexperiente.

Na fig. A Figura 14 mostra a dimensão em relação ao modelo matemático, para que você possa penetrar mais profundamente no significado deste termo. Observe que todas as três figuras mostram o mesmo ciclo. Na fig. e a dimensão é 1,2, na Fig. b, a dimensão é 1,5, e na Fig. em 1.9. Pode-se ver que com o aumento da dimensão, a percepção do objeto se torna mais complicada, a amplitude das oscilações aumenta.

Nos mercados financeiros, a dimensão se reflete não apenas como volatilidade de preços, mas também como detalhe de ciclos (ondas). Graças a ele, poderemos distinguir se uma onda pertence a uma determinada escala de tempo. Na fig. 15 mostra o par Euro/Dólar em uma escala diária de preços. Preste atenção, você pode ver claramente o ciclo formado e o início de um novo ciclo maior. Mudando para a escala horária e ampliando um dos ciclos, podemos ver ciclos menores, e parte de um grande localizado em D1 (Fig. 16). Detalhamento de loop, ou seja, sua dimensão nos permite determinar a partir das condições iniciais como a situação pode se desenvolver no futuro. Podemos dizer que: a dimensão fractal reflete a propriedade de invariância de escala do conjunto em consideração.

O conceito de invariância foi introduzido por Mandelbrot a partir da palavra "selante" - escalável, ou seja, quando um objeto tem a propriedade de invariância, ele tem diferentes escalas de exibição.

Na fig. 16 círculo A destaca um mini-ciclo (onda detalhada), círculo B - uma onda de um ciclo maior. É justamente pela dimensão que nem sempre podemos determinar TODOS os ciclos na mesma escala de preços.

Falaremos sobre os problemas de determinar e desenvolver propriedades de ciclos não periódicos na seção “Ciclos no mercado de câmbio”, agora o principal para nós foi entender como e onde a dimensão se manifesta nos mercados financeiros.

Assim, podemos dizer que fractais como modelos são usados ​​quando o objeto real não pode ser representado na forma de modelos clássicos. E isso significa que estamos lidando com relações não lineares e a natureza não determinística (aleatória) dos dados. A não linearidade no sentido ideológico significa a multivariação de caminhos de desenvolvimento, a disponibilidade de uma escolha de caminhos alternativos e um certo ritmo de evolução, bem como a irreversibilidade dos processos evolutivos. Não linearidade no sentido matemático significa um certo tipo de equações matemáticas (equações diferenciais não lineares) contendo as quantidades desejadas em potências maiores que um ou coeficientes que dependem das propriedades do meio. Um exemplo simples de um sistema dinâmico não linear:

Johnny cresce 2 polegadas por ano. Este sistema explica como a altura de Johnny muda ao longo do tempo. Seja x(n) a altura de Johnny este ano. Deixe seu crescimento no próximo ano ser escrito como x (n + 1). Então podemos escrever o sistema dinâmico na forma de uma equação:

x(n+1) = x(n) + 2.

Ver? Não é matemática simples? Se inserirmos a altura de Johnny x(n) = 38 polegadas hoje, então no lado direito da equação obteremos a altura de Johnny no próximo ano, x(n+1) = 40 polegadas:

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Mover-se da direita para a esquerda em uma equação é chamado de iteração (repetição). Podemos repetir a equação novamente inserindo a nova altura de Johnny de 40 polegadas no lado correto da equação (ou seja, x(n) = 40) e obtemos x(n+1) = 42. Se iterarmos (repetir) a equação 3 vezes, obtemos a altura de Johnny em 3 anos, ou seja, 44 polegadas, começando com uma altura de 38 polegadas.

Este é um sistema dinâmico determinístico. Se quisermos torná-lo não determinístico (estocástico), poderíamos fazer um modelo como este: Johnny cresce 2 polegadas por ano, mais ou menos, e escrever a equação como:

x(n+1) = x(n) + 2 + e

onde e é um pequeno erro (pequeno em relação a 2), representa alguma distribuição de probabilidade.

Vamos voltar à equação determinística original. A equação original, x(n+1) = x(n) + 2, é linear. Linear significa que você está adicionando variáveis ​​ou constantes, ou multiplicando variáveis ​​por constantes. Por exemplo, a equação

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

é linear. Mas se você multiplicar as variáveis, ou elevá-las a uma potência maior que um, a equação (sistema) se tornará não linear. Por exemplo, a equação

x(n+1) = x(n) 2

é não linear porque x(n) é quadrado. A equação

é não linear porque duas variáveis, xey, são multiplicadas.

Quando aplicamos modelos clássicos (por exemplo, tendência, regressão, etc.), dizemos que o futuro de um objeto é determinado de forma única, ou seja, depende inteiramente das condições iniciais e é passível de uma previsão clara. Você pode executar independentemente um desses modelos no Excel. Um exemplo de modelo clássico pode ser representado como uma tendência constantemente decrescente ou crescente. E podemos prever seu comportamento, conhecendo o passado do objeto (os dados iniciais para modelagem). E os fractais são usados ​​no caso em que o objeto possui várias opções de desenvolvimento e o estado do sistema é determinado pela posição em que está localizado atualmente. Ou seja, estamos tentando simular um desenvolvimento caótico. Este sistema é o mercado de câmbio interbancário.

Consideremos agora como se pode obter de uma linha reta o que chamamos de fractal, com suas propriedades inerentes.

Na fig. 17(A) mostra a curva de Koch. Pegue um segmento de linha, seu comprimento = 1, ou seja ainda uma dimensão topológica. Agora vamos dividi-lo em três partes (cada 1/3 do comprimento) e remover o terço do meio. Mas vamos substituir o terço médio por dois segmentos (cada 1/3 do comprimento), que podem ser representados como dois lados de um triângulo equilátero. Este é o estágio dois (b) do projeto representado na fig. 17(A). Neste ponto temos 4 partes menores, cada uma com 1/3 do comprimento, então o comprimento total é 4(1/3) = 4/3. Em seguida, repetimos esse processo para cada um dos 4 lóbulos menores da linha. Este é o estágio três (c). Isso nos dará 16 segmentos de linha ainda menores, cada um com 1/9 do comprimento. Portanto, todo o comprimento agora é 16/9 ou (4/3) 2 . Como resultado, obtivemos uma dimensão fracionária. Mas não apenas isso distingue a estrutura resultante de uma linha reta. Tornou-se auto-similar e é impossível traçar uma tangente em qualquer um de seus pontos (Fig. 17 (B)).

Contente

O que uma árvore, uma praia, uma nuvem ou vasos sanguíneos em nossa mão têm em comum? À primeira vista, pode parecer que todos esses objetos não têm nada em comum. No entanto, na verdade, há uma propriedade da estrutura que é inerente a todos os objetos listados: eles são auto-similares. Do galho, assim como do tronco de uma árvore, deles partem processos menores - ainda menores, etc., ou seja, um galho é semelhante a toda a árvore. O sistema circulatório é organizado de maneira semelhante: as arteríolas partem das artérias e delas - os menores capilares através dos quais o oxigênio entra em órgãos e tecidos. Vejamos imagens de satélite da costa marítima: veremos baías e penínsulas; vamos dar uma olhada, mas do ponto de vista de um pássaro: veremos baías e cabos; agora imagine que estamos de pé na praia e olhando para os nossos pés: sempre haverá pedrinhas que se projetam mais para dentro da água do que o resto. Ou seja, o litoral permanece semelhante a si mesmo quando ampliado. O matemático americano Benoit Mandelbrot (embora criado na França) chamou essa propriedade dos objetos de fractalidade, e esses próprios objetos - fractais (do latim fractus - quebrados).

Este conceito não tem uma definição estrita. Portanto, a palavra "fractal" não é um termo matemático. Normalmente, um fractal é uma figura geométrica que satisfaz uma ou mais das seguintes propriedades: Possui uma estrutura complexa em qualquer ampliação (ao contrário, por exemplo, de uma linha reta, qualquer parte da qual é a figura geométrica mais simples - um segmento). É (aproximadamente) auto-semelhante. Tem uma dimensão Hausdorff fracionária (fractal), que é maior que a topológica. Pode ser construído com procedimentos recursivos.

Geometria e Álgebra

O estudo de fractais na virada dos séculos 19 e 20 era mais episódico do que sistemático, porque os matemáticos anteriores estudavam principalmente objetos “bons” que podiam ser estudados usando métodos e teorias gerais. Em 1872, o matemático alemão Karl Weierstrass constrói um exemplo de uma função contínua que não é diferenciável em nenhum lugar. No entanto, sua construção era inteiramente abstrata e de difícil compreensão. Portanto, em 1904, o sueco Helge von Koch apresentou uma curva contínua que não tem tangente em nenhum lugar, e é bastante simples desenhá-la. Descobriu-se que tem as propriedades de um fractal. Uma variação dessa curva é chamada de floco de neve de Koch.

As ideias de autossimilaridade de figuras foram retomadas pelo francês Paul Pierre Levy, futuro mentor de Benoit Mandelbrot. Em 1938, foi publicado seu artigo “Plane and Spatial Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole”, no qual outro fractal é descrito - a curva C de Lévy. Todos esses fractais listados acima podem ser atribuídos condicionalmente a uma classe de fractais construtivos (geométricos).

Outra classe são os fractais dinâmicos (algébricos), que incluem o conjunto de Mandelbrot. As primeiras pesquisas nesse sentido começaram no início do século XX e estão associadas aos nomes dos matemáticos franceses Gaston Julia e Pierre Fatou. Em 1918, quase duzentas páginas das memórias de Julia, dedicadas a iterações de funções racionais complexas, foram publicadas, nas quais os conjuntos de Julia são descritos - toda uma família de fractais intimamente relacionados ao conjunto de Mandelbrot. Esta obra foi premiada pela Academia Francesa, mas não continha uma única ilustração, de modo que era impossível apreciar a beleza dos objetos descobertos. Apesar do fato de que este trabalho tornou Julia famosa entre os matemáticos da época, foi rapidamente esquecido. Mais uma vez, a atenção voltou-se apenas meio século depois com o advento dos computadores: foram eles que tornaram visível a riqueza e a beleza do mundo dos fractais.

Dimensões fractais

Como você sabe, a dimensão (número de medidas) de uma figura geométrica é o número de coordenadas necessárias para determinar a posição de um ponto situado nessa figura.
Por exemplo, a posição de um ponto em uma curva é determinada por uma coordenada, em uma superfície (não necessariamente um plano) por duas coordenadas, no espaço tridimensional por três coordenadas.
De um ponto de vista matemático mais geral, a dimensão pode ser definida da seguinte forma: um aumento nas dimensões lineares, digamos, duas vezes, para objetos unidimensionais (do ponto de vista topológico) (segmento) leva a um aumento no tamanho (comprimento ) por um fator de dois, para bidimensional (quadrado) o mesmo aumento nas dimensões lineares leva a um aumento no tamanho (área) em 4 vezes, para tridimensional (cubo) - em 8 vezes. Ou seja, a dimensão “real” (chamada de Hausdorff) pode ser calculada como a razão do logaritmo do aumento do “tamanho” de um objeto para o logaritmo do aumento do seu tamanho linear. Ou seja, para um segmento D=log (2)/log (2)=1, para um plano D=log (4)/log (2)=2, para um volume D=log (8)/log (2 )=3.
Vamos agora calcular a dimensão da curva de Koch, para a construção da qual o segmento unitário é dividido em três partes iguais e o intervalo médio é substituído por um triângulo equilátero sem esse segmento. Com um aumento nas dimensões lineares do segmento mínimo três vezes, o comprimento da curva de Koch aumenta em log (4) / log (3) ~ 1,26. Ou seja, a dimensão da curva de Koch é fracionária!

Ciência e arte

Em 1982, foi publicado o livro de Mandelbrot "A Geometria Fractal da Natureza", no qual o autor coletou e sistematizou quase todas as informações sobre fractais disponíveis na época e as apresentou de forma fácil e acessível. Mandelbrot fez a ênfase principal em sua apresentação não em fórmulas pesadas e construções matemáticas, mas na intuição geométrica dos leitores. Graças a ilustrações geradas por computador e histórias históricas, com as quais o autor habilmente diluiu o componente científico da monografia, o livro tornou-se um best-seller e os fractais tornaram-se conhecidos do grande público. Seu sucesso entre os não matemáticos se deve em grande parte ao fato de que, com a ajuda de construções e fórmulas muito simples, que até um estudante do ensino médio pode entender, são obtidas imagens de incrível complexidade e beleza. Quando os computadores pessoais se tornaram poderosos o suficiente, até mesmo toda uma tendência na arte apareceu - a pintura fractal, e quase qualquer dono de computador poderia fazê-lo. Agora, na Internet, você pode encontrar facilmente muitos sites dedicados a esse tópico.

Esquema para obter a curva de Koch

Guerra e Paz

Como observado acima, um dos objetos naturais que possuem propriedades fractais é o litoral. Uma história interessante está ligada a ele, ou melhor, a uma tentativa de medir seu comprimento, que serviu de base para o artigo científico de Mandelbrot, e também é descrito em seu livro "The Fractal Geometry of Nature". Estamos falando de um experimento montado por Lewis Richardson, um matemático, físico e meteorologista muito talentoso e excêntrico. Uma das direções de sua pesquisa foi a tentativa de encontrar uma descrição matemática das causas e probabilidade de um conflito armado entre dois países. Entre os parâmetros que ele levou em consideração estava a extensão da fronteira comum entre os dois países em guerra. Quando coletou dados para experimentos numéricos, descobriu que em diferentes fontes os dados na fronteira comum da Espanha e Portugal diferem muito. Isso o levou à seguinte descoberta: o comprimento das fronteiras do país depende da régua com que as medimos. Quanto menor a escala, mais longa será a borda. Isso se deve ao fato de que em maiores aumentos é possível levar em conta cada vez mais curvas da costa, que antes eram ignoradas devido à rugosidade das medições. E se, a cada zoom, curvas de linhas anteriormente não contabilizadas forem abertas, verifica-se que o comprimento das bordas é infinito! É verdade que isso não acontece - a precisão de nossas medições tem um limite finito. Esse paradoxo é chamado de efeito Richardson.

Fractals construtivos (geométricos)

O algoritmo para construir um fractal construtivo no caso geral é o seguinte. Em primeiro lugar, precisamos de duas formas geométricas adequadas, vamos chamá-las de base e fragmento. No primeiro estágio, a base do futuro fractal é representada. Em seguida, algumas de suas partes são substituídas por um fragmento em escala adequada - esta é a primeira iteração da construção. Então, na figura resultante, algumas partes mudam novamente para figuras semelhantes a um fragmento e assim por diante. Se você continuar esse processo indefinidamente, então no limite você obtém um fractal.

Considere este processo usando o exemplo da curva de Koch (veja a barra lateral na página anterior). Qualquer curva pode ser tomada como base da curva de Koch (para o floco de neve de Koch, este é um triângulo). Mas nos limitamos ao caso mais simples - um segmento. O fragmento é uma linha tracejada mostrada na parte superior da figura. Após a primeira iteração do algoritmo, neste caso, o segmento original coincidirá com o fragmento, então cada um de seus segmentos constituintes será substituído por uma linha quebrada semelhante ao fragmento, e assim por diante. A figura mostra os quatro primeiros etapas deste processo.

A linguagem da matemática: fractais dinâmicos (algébricos)

Fractais desse tipo surgem no estudo de sistemas dinâmicos não lineares (daí o nome). O comportamento de tal sistema pode ser descrito por uma função não linear complexa (polinômio) f (z). Tomemos algum ponto inicial z0 no plano complexo (veja a barra lateral). Agora considere uma sequência tão infinita de números no plano complexo, cada um dos quais é obtido do anterior: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Dependendo do ponto inicial z0, tal sequência pode se comportar de forma diferente: tende ao infinito como n -> ∞; convergem para algum ponto final; tomar ciclicamente um número de valores fixos; opções mais complexas são possíveis.

Números complexos

Um número complexo é um número que consiste em duas partes - real e imaginária, ou seja, a soma formal x + iy (x e y aqui são números reais). i é o chamado. unidade imaginária, isto é, um número que satisfaz a equação eu^ 2 = -1. Sobre números complexos, as operações matemáticas básicas são definidas - adição, multiplicação, divisão, subtração (apenas a operação de comparação não é definida). Para exibir números complexos, uma representação geométrica é frequentemente usada - no plano (chamado complexo), a parte real é plotada ao longo do eixo das abcissas e a parte imaginária ao longo do eixo das ordenadas, enquanto o número complexo corresponderá a um ponto com coordenadas cartesianas x e y.

Assim, qualquer ponto z do plano complexo tem seu próprio caráter de comportamento durante as iterações da função f(z), e todo o plano é dividido em partes. Além disso, os pontos situados nos limites dessas partes têm a seguinte propriedade: para um deslocamento arbitrariamente pequeno, a natureza de seu comportamento muda drasticamente (tais pontos são chamados de pontos de bifurcação). Assim, verifica-se que conjuntos de pontos que têm um tipo específico de comportamento, bem como conjuntos de pontos de bifurcação, geralmente têm propriedades fractais. Estes são os conjuntos de Julia para a função f(z).

família dragão

Variando a base e o fragmento, você pode obter uma variedade impressionante de fractais construtivos.
Além disso, operações semelhantes podem ser realizadas no espaço tridimensional. Exemplos de fractais volumétricos são "esponja de Menger", "pirâmide de Sierpinski" e outros.
A família dos dragões também é referida aos fractais construtivos. Eles às vezes são referidos pelo nome dos descobridores como os "dragões de Heiwei-Harter" (eles se assemelham a dragões chineses em sua forma). Existem várias maneiras de construir essa curva. O mais simples e óbvio deles é o seguinte: você precisa pegar uma tira de papel suficientemente longa (quanto mais fino o papel, melhor) e dobrá-lo ao meio. Em seguida, dobre-o novamente ao meio na mesma direção da primeira vez. Após várias repetições (geralmente depois de cinco ou seis dobras, a tira fica muito grossa para ser dobrada com cuidado), você precisa endireitar a tira para trás e tentar formar ângulos de 90° nas dobras. Então a curva do dragão ficará de perfil. Claro, isso será apenas uma aproximação, como todas as nossas tentativas de representar objetos fractais. O computador permite que você descreva muitas outras etapas desse processo, e o resultado é uma figura muito bonita.

O conjunto de Mandelbrot é construído de maneira um pouco diferente. Considere a função fc (z) = z 2 +c, onde c é um número complexo. Vamos construir uma sequência desta função com z0=0, dependendo do parâmetro c, ela pode divergir ao infinito ou permanecer limitada. Além disso, todos os valores de c para os quais essa sequência é limitada formam o conjunto de Mandelbrot. Foi estudado em detalhes pelo próprio Mandelbrot e outros matemáticos, que descobriram muitas propriedades interessantes desse conjunto.

Pode-se ver que as definições dos conjuntos de Julia e Mandelbrot são semelhantes entre si. Na verdade, esses dois conjuntos estão intimamente relacionados. Ou seja, o conjunto de Mandelbrot são todos os valores do parâmetro complexo c para o qual o conjunto de Julia fc (z) está conectado (um conjunto é chamado de conectado se não puder ser dividido em duas partes que não se intersectam, com algumas condições adicionais).

fractais e vida

Atualmente, a teoria dos fractais é amplamente utilizada em diversos campos da atividade humana. Além de um objeto de pesquisa puramente científico e da já mencionada pintura fractal, os fractais são usados ​​na teoria da informação para comprimir dados gráficos (aqui, a propriedade de auto-semelhança dos fractais é usada principalmente - afinal, para lembrar um pequeno fragmento de um desenho e transformações com as quais você pode obter o resto das peças, é preciso muito menos memória do que armazenar o arquivo inteiro). Ao adicionar perturbações aleatórias às fórmulas que definem o fractal, pode-se obter fractais estocásticos que muito plausivelmente transmitem alguns objetos reais - elementos de relevo, a superfície de corpos d'água, algumas plantas, que é usado com sucesso em física, geografia e computação gráfica para alcançar maior semelhança dos objetos simulados com os reais. Em eletrônica de rádio, na última década, começaram a produzir antenas em formato fractal. Ocupando pouco espaço, eles fornecem uma recepção de sinal de alta qualidade. Os economistas usam fractais para descrever as curvas de flutuação da moeda (esta propriedade foi descoberta por Mandelbrot há mais de 30 anos). Isso conclui esta pequena excursão ao mundo dos fractais, surpreendente em sua beleza e diversidade.

Os fractais são conhecidos há quase um século, são bem estudados e têm inúmeras aplicações na vida. Este fenômeno é baseado em uma ideia muito simples: um número infinito de figuras em beleza e variedade pode ser obtido a partir de estruturas relativamente simples usando apenas duas operações - cópia e escala.

Este conceito não tem uma definição estrita. Portanto, a palavra "fractal" não é um termo matemático. Este é geralmente o nome de uma figura geométrica que satisfaz uma ou mais das seguintes propriedades:

• tem uma estrutura complexa em qualquer ampliação;
• é (aproximadamente) auto-similar;
• tem uma dimensão Hausdorff fracionária (fractal), que é maior que a topológica;
• pode ser construído por procedimentos recursivos.

Na virada dos séculos 19 e 20, o estudo dos fractais era mais episódico do que sistemático, porque os matemáticos anteriores estudavam principalmente objetos “bons” que podiam ser estudados usando métodos e teorias gerais. Em 1872, o matemático alemão Karl Weierstrass construiu um exemplo de uma função contínua que não é diferenciável em nenhum lugar. No entanto, sua construção era inteiramente abstrata e de difícil compreensão. Portanto, em 1904, o sueco Helge von Koch apresentou uma curva contínua que não tem tangente em nenhum lugar, e é bastante simples desenhá-la. Descobriu-se que tem as propriedades de um fractal. Uma variação dessa curva é chamada de floco de neve de Koch.

As ideias de autossimilaridade de figuras foram retomadas pelo francês Paul Pierre Levy, futuro mentor de Benoit Mandelbrot. Em 1938, foi publicado seu artigo "Plane and space curves and surface consistindo de partes semelhantes ao todo", no qual outro fractal é descrito - a curva C de Lévy. Todos esses fractais listados acima podem ser atribuídos condicionalmente a uma classe de fractais construtivos (geométricos).

Outra classe são os fractais dinâmicos (algébricos), que incluem o conjunto de Mandelbrot. Os primeiros estudos nesse sentido datam do início do século XX e estão associados aos nomes dos matemáticos franceses Gaston Julia e Pierre Fatou. Em 1918, quase duzentas páginas do trabalho de Julia foram publicadas, dedicadas a iterações de funções racionais complexas, nas quais os conjuntos de Julia são descritos - toda uma família de fractais intimamente relacionados ao conjunto de Mandelbrot. Esta obra foi premiada pela Academia Francesa, mas não continha uma única ilustração, de modo que era impossível apreciar a beleza dos objetos descobertos. Apesar do fato de que este trabalho tornou Julia famosa entre os matemáticos da época, foi rapidamente esquecido.

Apenas meio século depois, com o advento dos computadores, a atenção voltou-se para o trabalho de Julia e Fatou: foram eles que tornaram visível a riqueza e a beleza do mundo dos fractais. Afinal, Fatou nunca poderia olhar para as imagens que hoje conhecemos como imagens do conjunto de Mandelbrot, porque o número necessário de cálculos não pode ser feito manualmente. A primeira pessoa a usar um computador para isso foi Benoit Mandelbrot.

Em 1982, foi publicado o livro de Mandelbrot "A Geometria Fractal da Natureza", no qual o autor coletou e sistematizou quase todas as informações sobre fractais disponíveis na época e as apresentou de forma fácil e acessível. Mandelbrot fez a ênfase principal em sua apresentação não em fórmulas pesadas e construções matemáticas, mas na intuição geométrica dos leitores. Graças a ilustrações geradas por computador e histórias históricas, com as quais o autor habilmente diluiu o componente científico da monografia, o livro tornou-se um best-seller e os fractais tornaram-se conhecidos do grande público. Seu sucesso entre os não matemáticos se deve em grande parte ao fato de que, com a ajuda de construções e fórmulas muito simples, que até um estudante do ensino médio pode entender, são obtidas imagens de incrível complexidade e beleza. Quando os computadores pessoais se tornaram poderosos o suficiente, até mesmo toda uma tendência na arte apareceu - a pintura fractal, e quase qualquer dono de computador poderia fazê-lo. Agora, na Internet, você pode encontrar facilmente muitos sites dedicados a esse tópico.