Monômioé uma expressão que é o produto de dois ou mais fatores, cada um dos quais é um número expresso por uma letra, dígitos ou potência (com um expoente inteiro não negativo):

2uma, uma 3 x, 4abc, -7x

Como o produto de fatores idênticos pode ser escrito como um grau, então um único grau (com um expoente inteiro não negativo) também é um monômio:

(-4) 3 , x 5 ,

Como um número (inteiro ou fracionário), expresso por uma letra ou números, pode ser escrito como o produto desse número por um, qualquer número único também pode ser considerado um monômio:

x, 16, -uma,

Forma padrão de um monômio

Forma padrão de um monômio- este é um monômio, que possui apenas um fator numérico, que deve ser escrito em primeiro lugar. Todas as variáveis ​​estão em ordem alfabética e estão contidas no monômio apenas uma vez.

Números, variáveis ​​e graus de variáveis ​​também se referem a monômios da forma padrão:

7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - monômios de forma padrão.

O fator numérico de um monômio de forma padrão é chamado coeficiente de monômio. Coeficientes monomiais iguais a 1 e -1 geralmente não são escritos.

Se não houver fator numérico no monômio da forma padrão, assume-se que o coeficiente do monômio é 1:

x 3 = 1 x 3

Se não houver fator numérico no monômio da forma padrão e houver um sinal de menos na frente dele, assume-se que o coeficiente do monômio é -1:

-x 3 = -1 x 3

Redução de um monômio para a forma padrão

Para trazer o monômio para a forma padrão, você precisa:

1. Multiplique os fatores numéricos, se houver vários. Eleve um fator numérico a uma potência se ele tiver um expoente. Coloque o multiplicador de números em primeiro lugar.
2. Multiplique todas as variáveis ​​idênticas para que cada variável ocorra apenas uma vez no monômio.
3. Organize as variáveis ​​após o fator numérico em ordem alfabética.

Exemplo. Expresse o monômio na forma padrão:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 x; b) 6 bc 0,5 ab 3

Decisão:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 x= 3 (-2) x 2 xyy 5 = -6x 3 y 6
b) 6 bc 0,5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c

Grau de um monômio

Grau de um monômioé a soma dos expoentes de todas as letras nele.

Se um monômio é um número, ou seja, não contém variáveis, então seu grau é considerado igual a zero. Por exemplo:

5, -7, 21 - monômios de zero grau.

Portanto, para encontrar o grau de um monômio, você precisa determinar o expoente de cada uma das letras incluídas nele e adicionar esses expoentes. Se o expoente da letra não for especificado, ele será igual a um.

Exemplos:

Então, como estás x o expoente não é especificado, o que significa que é igual a 1. O monômio não contém outras variáveis, o que significa que seu grau é igual a 1.

O monômio contém apenas uma variável no segundo grau, o que significa que o grau desse monômio é 2.

3) ab 3 c 2 d

Indicador umaé igual a 1, o indicador b- 3, indicador c- 2, indicador d- 1. O grau deste monômio é igual à soma desses indicadores.

Grau de um monômio

Para um monômio existe o conceito de seu grau. Vamos descobrir o que é.

Definição.

Grau de um monômio forma padrão é a soma dos expoentes de todas as variáveis ​​incluídas em seu registro; se não houver variáveis ​​na entrada do monômio, e for diferente de zero, então seu grau é considerado zero; o número zero é considerado um monômio, cujo grau não é definido.

A definição do grau de um monômio nos permite dar exemplos. O grau do monômio a é igual a um, pois a é a 1 . O grau do monômio 5 é zero, pois é diferente de zero e sua notação não contém variáveis. E o produto 7·a 2 ·x·y 3 ·a 2 é um monômio do oitavo grau, pois a soma dos expoentes de todas as variáveis ​​a, xey é 2+1+3+2=8.

A propósito, o grau de um monômio não escrito na forma padrão é igual ao grau do monômio na forma padrão correspondente. Para ilustrar o que foi dito, calculamos o grau do monômio 3 x 2 y 3 x (−2) x 5 y. Este monômio na forma padrão tem a forma −6·x 8 ·y 4 , seu grau é 8+4=12 . Assim, o grau do monômio original é 12 .

Coeficiente monomial

Um monômio na forma padrão, tendo pelo menos uma variável em sua notação, é um produto com um único fator numérico - um coeficiente numérico. Esse coeficiente é chamado de coeficiente monômio. Vamos formalizar o raciocínio acima na forma de uma definição.

Definição.

Coeficiente monomialé o fator numérico do monômio escrito na forma padrão.

Agora podemos dar exemplos dos coeficientes de vários monômios. O número 5 é o coeficiente do monômio 5 a 3 por definição, da mesma forma o monômio (−2,3) x y z tem o coeficiente −2,3 .

Os coeficientes de monômios iguais a 1 e −1 merecem atenção especial. O ponto aqui é que eles geralmente não estão explicitamente presentes no registro. Acredita-se que o coeficiente dos monômios da forma padrão, que não possuem fator numérico em sua notação, seja igual a um. Por exemplo, monômios a , x z 3 , a t x , etc. têm coeficiente 1, pois a pode ser considerado como 1 a, x z 3 como 1 x z 3, etc.

Da mesma forma, o coeficiente de monômios, cujas entradas na forma padrão não possuem um fator numérico e começam com um sinal de menos, é considerado menos um. Por exemplo, os monômios −x , −x 3 y z 3, etc. tem coeficiente −1 , uma vez que −x=(−1) x , −x 3 y z 3 =(−1) x 3 y z 3 etc.

A propósito, o conceito do coeficiente de um monômio é muitas vezes referido como monômios da forma padrão, que são números sem fatores de letras. Os coeficientes de tais números-monômios são considerados esses números. Assim, por exemplo, o coeficiente do monômio 7 é considerado igual a 7.

Bibliografia.

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Nesta lição, daremos uma definição estrita de um monômio, considere vários exemplos do livro didático. Lembre-se das regras para multiplicar potências com a mesma base. Vamos dar uma definição da forma padrão de um monômio, o coeficiente de um monômio e sua parte literal. Vamos considerar duas operações típicas básicas em monômios, a saber, redução a uma forma padrão e cálculo de um valor numérico específico de um monômio para determinados valores das variáveis ​​literais incluídas nele. Vamos formular a regra para reduzir o monômio à forma padrão. Vamos aprender como resolver problemas típicos com qualquer monômio.

Sujeito:monômios. Operações aritméticas em monômios

Lição:O conceito de um monômio. Forma padrão de um monômio

Considere alguns exemplos:

3. ;

Vamos encontrar recursos comuns para as expressões fornecidas. Nos três casos, a expressão é o produto de números e variáveis ​​elevados a uma potência. Com base nisso, damos definição de monômio : um monômio é uma expressão algébrica que consiste em um produto de potências e números.

Agora damos exemplos de expressões que não são monômios:

Vamos encontrar a diferença entre essas expressões e as anteriores. Consiste no fato de que nos exemplos 4-7 existem operações de adição, subtração ou divisão, enquanto nos exemplos 1-3, que são monômios, essas operações não são.

Aqui estão mais alguns exemplos:

A expressão número 8 é um monômio, pois é o produto de uma potência e um número, enquanto o exemplo 9 não é um monômio.

Agora vamos descobrir ações sobre monômios .

1. Simplificação. Considere o exemplo nº 3 ;e exemplo #2/

No segundo exemplo, vemos apenas um coeficiente - , cada variável ocorre apenas uma vez, ou seja, a variável " uma” é representado em uma única instância, como “”, da mesma forma, as variáveis ​​“” e “” ocorrem apenas uma vez.

No exemplo nº 3, ao contrário, existem dois coeficientes diferentes - e , vemos a variável "" duas vezes - como "" e como "", da mesma forma, a variável "" ocorre duas vezes. Ou seja, esta expressão deve ser simplificada, assim, chegamos a a primeira ação realizada em monômios é trazer o monômio para a forma padrão . Para fazer isso, trazemos a expressão do Exemplo 3 para a forma padrão, depois definimos essa operação e aprendemos como trazer qualquer monômio para a forma padrão.

Então considere um exemplo:

O primeiro passo na operação de padronização é sempre multiplicar todos os fatores numéricos:

;

O resultado desta ação será chamado coeficiente de monômio .

Em seguida, você precisa multiplicar os graus. Multiplicamos os graus da variável " X”de acordo com a regra para multiplicar potências de mesma base, que afirma que quando multiplicados, os expoentes se somam:

Agora vamos multiplicar as potências no»:

;

Então aqui está uma expressão simplificada:

;

Qualquer monômio pode ser reduzido à forma padrão. Vamos formular regra de padronização :

Multiplique todos os fatores numéricos;

Coloque o coeficiente resultante em primeiro lugar;

Multiplique todos os graus, ou seja, obtenha a parte da letra;

Ou seja, qualquer monômio é caracterizado por um coeficiente e uma parte de letra. Olhando para o futuro, notamos que monômios com a mesma parte da letra são chamados de semelhantes.

Agora você precisa ganhar técnica para reduzir monômios à forma padrão . Veja exemplos do livro didático:

Tarefa: trazer o monômio para o formulário padrão, nomear o coeficiente e a parte da letra.

Para completar a tarefa, usamos a regra de trazer o monômio para a forma padrão e as propriedades dos graus.

1. ;

3. ;

Comentários sobre o primeiro exemplo: Para começar, vamos determinar se esta expressão é realmente um monômio, para isso verificamos se contém operações de multiplicação de números e potências e se contém operações de adição, subtração ou divisão. Podemos dizer que esta expressão é um monômio, desde que a condição acima seja satisfeita. Além disso, de acordo com a regra de trazer o monômio para a forma padrão, multiplicamos os fatores numéricos:

- encontramos o coeficiente do monômio dado;

; ; ; ou seja, a parte literal da expressão é recebida:;

anote a resposta: ;

Comentários sobre o segundo exemplo: Seguindo a regra, executamos:

1) multiplique os fatores numéricos:

2) multiplique as potências:

As variáveis ​​e são apresentadas em uma única cópia, ou seja, não podem ser multiplicadas por nada, são reescritas sem alterações, o grau é multiplicado:

anote a resposta:

;

Neste exemplo, o coeficiente monomial é igual a um e a parte literal é .

Comentários sobre o terceiro exemplo: um de forma semelhante aos exemplos anteriores, realizamos as seguintes ações:

1) multiplique os fatores numéricos:

;

2) multiplique as potências:

;

escreva a resposta: ;

Neste caso, o coeficiente do monômio é igual a "", e a parte literal .

Agora considere segunda operação padrão em monômios . Como um monômio é uma expressão algébrica que consiste em variáveis ​​literais que podem assumir valores numéricos específicos, temos uma expressão numérica aritmética que deve ser calculada. Ou seja, a seguinte operação em polinômios é calculando seu valor numérico específico .

Considere um exemplo. O monômio é dado:

este monômio já foi reduzido à forma padrão, seu coeficiente é igual a um, e a parte literal

Anteriormente dissemos que uma expressão algébrica nem sempre pode ser calculada, ou seja, as variáveis ​​que entram nela podem não assumir nenhum valor. No caso de um monômio, as variáveis ​​incluídas nele podem ser qualquer uma, esta é uma característica do monômio.

Assim, no exemplo dado, é necessário calcular o valor do monômio para , , , .

1. Um coeficiente positivo inteiro. Tenhamos o monômio +5a, já que o número positivo +5 é considerado o mesmo que o número aritmético 5, então

5a = a ∙ 5 = a + a + a + a + a.

Também +7xy² = xy² ∙ 7 = xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy² + xy²; +3a³ = a³ ∙ 3 = a³ + a³ + a³; +2abc = abc ∙ 2 = abc + abc e assim por diante.

Com base nesses exemplos, podemos estabelecer que um coeficiente inteiro positivo mostra quantas vezes o fator literal (ou: o produto de fatores literais) do monômio é repetido pelo termo.

Deve-se acostumar a isso a ponto de aparecer imediatamente na imaginação que, por exemplo, no polinômio

3a + 4a² + 5a³

a questão é reduzida ao fato de que primeiro a² é repetido 3 vezes como um termo, depois a³ é repetido 4 vezes como um termo, e então a é repetido 5 vezes como um termo.

Também: 2a + 3b + c = a + a + b + b + b + c
x³ + 2xy² + 3y³ = x³ + xy² + xy² + y³ + y³ + y³ etc.

2. Coeficiente fracionário positivo. Seja o monômio +a. Como o número positivo + coincide com o número aritmético, então +a = a ∙ , o que significa: você precisa pegar três quartos do número a, ou seja,

Portanto: um coeficiente fracionário positivo mostra quantas vezes e qual parte do multiplicador literal do monômio é repetida pelo termo.

Polinomial deve ser facilmente representado como:

etc.

3. Coeficiente negativo. Conhecendo a multiplicação de números relativos, podemos facilmente estabelecer que, por exemplo, (+5) ∙ (–3) = (–5) ∙ (+3) ou (–5) ∙ (–3) = (+5) ∙ (+ 3) ou em geral a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3); também a ∙ (–) = (–a) ∙ (+), etc.

Portanto, se tomarmos um monômio com um coeficiente negativo, por exemplo, –3a, então

–3a = a ∙ (–3) = (–a) ∙ (+3) = (–a) ∙ 3 = – a – a – a (–a é tomado como um termo 3 vezes).

A partir desses exemplos, vemos que o coeficiente negativo mostra quantas vezes a parte letra do monômio, ou sua fração certa, tomada com sinal de menos, é repetida pelo termo.

Monômios são um dos principais tipos de expressões estudados como parte de um curso de álgebra escolar. Neste material, vamos dizer quais são essas expressões, definir sua forma padrão e mostrar exemplos, além de tratar de conceitos relacionados, como o grau de um monômio e seu coeficiente.

O que é um monômio

Os livros didáticos costumam dar a seguinte definição desse conceito:

Definição 1

Monômeros incluem números, variáveis, bem como seus graus com um indicador natural, e diferentes tipos de produtos que os compõem.

Com base nessa definição, podemos dar exemplos de tais expressões. Assim, todos os números 2 , 8 , 3004 , 0 , - 4 , - 6 , 0 , 78 , 1 4 , - 4 3 7 se referem a monômios. Todas as variáveis, por exemplo, x , a , b , p , q , t , y , z também serão monômios por definição. Isso também inclui os poderes de variáveis ​​e números, por exemplo, 6 3 , (− 7 , 41) 7 , x 2 e 15, bem como expressões como 65 x , 9 (− 7) x y 3 6 , x x y 3 x y 2 z etc. Observe que um monômio pode incluir um número ou variável, ou vários, e eles podem ser mencionados várias vezes como parte de um polinômio.

Tais tipos de números como inteiros, racionais, naturais também pertencem aos monômios. Você também pode incluir números reais e complexos aqui. Assim, expressões como 2 + 3 i x z 4 , 2 x , 2 π x 3 também serão monômios.

Qual é a forma padrão de um monômio e como converter uma expressão para ele

Por conveniência de trabalho, todos os monômios são primeiro reduzidos a uma forma especial, chamada de padrão. Vamos ser específicos sobre o que isso significa.

Definição 2

A forma padrão do monômio eles o chamam de uma forma em que é o produto de um fator numérico e poderes naturais de diferentes variáveis. O fator numérico, também chamado de coeficiente monômio, geralmente é escrito primeiro do lado esquerdo.

Para maior clareza, selecionamos vários monômios da forma padrão: 6 (este é um monômio sem variáveis), 4 · a , − 9 · x 2 · y 3 , 2 3 5 · x 7 . Isso também inclui a expressão xy(aqui o coeficiente será igual a 1), − x 3(aqui o coeficiente é - 1).

Agora damos exemplos de monômios que precisam ser trazidos para a forma padrão: 4 a 2 a 3(aqui você precisa combinar as mesmas variáveis), 5 x (− 1) 3 e 2(aqui você precisa combinar os fatores numéricos à esquerda).

Normalmente, no caso de um monômio ter várias variáveis ​​escritas em letras, os fatores de letras são escritos em ordem alfabética. Por exemplo, a entrada preferida 6 a b 4 c z 2, Como as b 4 6 a z 2 c. No entanto, a ordem pode ser diferente se a finalidade do cálculo exigir.

Qualquer monômio pode ser reduzido à forma padrão. Para fazer isso, você precisa executar todas as transformações idênticas necessárias.

O conceito de grau de um monômio

A noção que acompanha o grau de um monômio é muito importante. Vamos escrever a definição deste conceito.

Definição 3

Grau de um monômio, escrito na forma padrão, é a soma dos expoentes de todas as variáveis ​​que estão incluídas em seu registro. Se não houver uma única variável e o próprio monômio for diferente de 0, seu grau será zero.

Vamos dar exemplos dos graus do monômio.

Exemplo 1

Assim, o monômio a tem grau 1 porque a = a 1 . Se tivermos um monômio 7 , então ele terá grau zero, pois não possui variáveis ​​e é diferente de 0 . E aqui está a entrada 7 a 2 x y 3 a 2 será um monômio de 8º grau, pois a soma dos expoentes de todos os graus das variáveis ​​incluídas nele será igual a 8: 2 + 1 + 3 + 2 = 8 .

O monômio padronizado e o polinômio original terão o mesmo grau.

Exemplo 2

Vamos mostrar como calcular o grau de um monômio 3 x 2 y 3 x (− 2) x 5 y. Na forma padrão, pode ser escrito como − 6 x 8 e 4. Calculamos o grau: 8 + 4 = 12 . Portanto, o grau do polinômio original também é igual a 12 .

O conceito de um coeficiente monomial

Se temos um monômio padronizado que inclui pelo menos uma variável, falamos dele como um produto com um fator numérico. Esse fator é chamado de coeficiente numérico ou coeficiente monômio. Vamos escrever a definição.

Definição 4

O coeficiente de um monômio é o fator numérico de um monômio reduzido à forma padrão.

Tomemos, por exemplo, os coeficientes de vários monômios.

Exemplo 3

Então, na expressão 8 a 3 o coeficiente será o número 8, e em (− 2, 3) x y z elas vão − 2 , 3 .

Atenção especial deve ser dada aos coeficientes iguais a um e menos um. Como regra, eles não são indicados explicitamente. Acredita-se que em um monômio da forma padrão, em que não há fator numérico, o coeficiente seja 1, por exemplo, nas expressões a, x z 3, a t x, pois podem ser consideradas como 1 a, x z 3 - como 1 x 3 etc.

Da mesma forma, em monômios que não possuem fator numérico e que começam com sinal de menos, podemos considerar o coeficiente - 1.

Exemplo 4

Por exemplo, as expressões − x, − x 3 y z 3 terão tal coeficiente, pois podem ser representadas como − x = (− 1) x, − x 3 y z 3 = (− 1) x 3 y z 3 etc.

Se um monômio não possui um único multiplicador literal, é possível falar sobre um coeficiente também neste caso. Os coeficientes de tais números monômios serão esses próprios números. Assim, por exemplo, o coeficiente do monômio 9 será igual a 9.

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