Neste artigo, consideraremos a solução de equações quadráticas incompletas.

Mas primeiro, vamos repetir quais equações são chamadas de quadráticas. Uma equação da forma ax 2 + bx + c \u003d 0, onde x é uma variável, e os coeficientes a, b e c são alguns números, e a ≠ 0, é chamado quadrado. Como podemos ver, o coeficiente em x 2 não é igual a zero e, portanto, os coeficientes em x ou o termo livre podem ser iguais a zero, neste caso obtemos uma equação quadrática incompleta.

Existem três tipos de equações quadráticas incompletas:

1) Se b \u003d 0, c ≠ 0, então ax 2 + c \u003d 0;

2) Se b ≠ 0, c \u003d 0, então ax 2 + bx \u003d 0;

3) Se b \u003d 0, c \u003d 0, então ax 2 \u003d 0.

• Vamos ver como eles resolvem equações da forma ax 2 + c = 0.

Para resolver a equação, transferimos o termo livre para o lado direito da equação, obtemos

ax 2 = ‒s. Como a ≠ 0, dividimos as duas partes da equação por a, depois x 2 \u003d -c / a.

Se ‒с/а > 0, então a equação tem duas raízes

x = ±√(–c/a) .

Se ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Vamos tentar entender com exemplos como resolver tais equações.

Exemplo 1. Resolva a equação 2x 2 - 32 = 0.

Resposta: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Exemplo 2. Resolva a equação 2 x 2 + 8 = 0.

Resposta: A equação não tem soluções.

• Vamos ver como eles resolvem equações da forma ax 2 + bx = 0.

Para resolver a equação ax 2 + bx \u003d 0, decompomos em fatores, ou seja, tiramos x dos colchetes, obtemos x (ax + b) \u003d 0. O produto é zero se pelo menos um dos fatores é zero. Então х = 0 ou ах + b = 0. Resolvendo a equação ах + b = 0, obtemos ах = – b, de onde х = – b/a. Uma equação da forma ax 2 + bx \u003d 0 sempre tem duas raízes x 1 \u003d 0 e x 2 \u003d - b / a. Veja como fica a solução de equações desse tipo no diagrama.

Vamos consolidar nosso conhecimento em um exemplo concreto.

Exemplo 3. Resolva a equação 3x 2 - 12x = 0.

x(3x - 12) = 0

x \u003d 0 ou 3x - 12 \u003d 0

Resposta: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Equações do terceiro tipo ax 2 = 0 resolvido de forma muito simples.

Se ax 2 \u003d 0, então x 2 \u003d 0. A equação tem duas raízes iguais x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Para maior clareza, considere o diagrama.

Ao resolver o Exemplo 4, garantiremos que as equações desse tipo sejam resolvidas de maneira muito simples.

Exemplo 4 Resolva a equação 7 x 2 = 0.

Resposta: x 1, 2 = 0.

Nem sempre fica imediatamente claro que tipo de equação quadrática incompleta temos que resolver. Considere o exemplo a seguir.

Exemplo 5 resolva a equação

Multiplique ambos os lados da equação por um denominador comum, ou seja, por 30

Vamos cortar

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Vamos abrir os colchetes

25x2 + 45 - 24x2 + 54 = 90.

Aqui são semelhantes

Vamos mover 99 do lado esquerdo da equação para a direita, mudando o sinal para o oposto

Resposta: sem raízes.

Analisamos como equações quadráticas incompletas são resolvidas. Espero que agora você não tenha dificuldades com essas tarefas. Tenha cuidado ao determinar o tipo de uma equação quadrática incompleta, então você terá sucesso.

Se você tiver alguma dúvida sobre este tema, inscreva-se em minhas aulas, juntos resolveremos os problemas que surgiram.

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Com este programa de matemática você pode resolver equação quadrática.

O programa não apenas dá a resposta ao problema, mas também exibe o processo de solução de duas maneiras:
- usando o discriminante
- usando o teorema de Vieta (se possível).

Além disso, a resposta é exibida exata, não aproximada.
Por exemplo, para a equação \(81x^2-16x-1=0\), a resposta é exibida desta forma:

$$ x_1 = \frac(8+\sqrt(145))(81), \quad x_2 = \frac(8-\sqrt(145))(81) $$ em vez disso: \(x_1 = 0,247; \ quad x_2 = -0,05 \)

Este programa pode ser útil para alunos do ensino médio em preparação para testes e exames, ao testar conhecimentos antes do Exame Estadual Unificado, para os pais controlarem a solução de muitos problemas de matemática e álgebra. Ou talvez seja muito caro para você contratar um tutor ou comprar novos livros didáticos? Ou você só quer fazer sua lição de matemática ou álgebra o mais rápido possível? Nesse caso, você também pode usar nossos programas com uma solução detalhada.

Desta forma, pode realizar a sua própria formação e/ou a formação dos seus irmãos ou irmãs mais novos, enquanto aumenta o nível de formação no domínio das tarefas a resolver.

Se você não estiver familiarizado com as regras para inserir um polinômio quadrado, recomendamos que você se familiarize com elas.

Regras para inserir um polinômio quadrado

Qualquer letra latina pode atuar como uma variável.
Por exemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Os números podem ser inseridos como inteiros ou frações.
Além disso, os números fracionários podem ser inseridos não apenas na forma de um decimal, mas também na forma de uma fração ordinária.

Regras para inserir frações decimais.
Em frações decimais, a parte fracionária do inteiro pode ser separada por um ponto ou uma vírgula.
Por exemplo, você pode inserir decimais como este: 2,5x - 3,5x^2

Regras para inserir frações ordinárias.
Apenas um número inteiro pode atuar como numerador, denominador e parte inteira de uma fração.

O denominador não pode ser negativo.

Ao inserir uma fração numérica, o numerador é separado do denominador por um sinal de divisão: /
A parte inteira é separada da fração por um e comercial: &
Entrada: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Resultado: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Ao inserir uma expressão você pode usar colchetes. Neste caso, ao resolver uma equação quadrática, a expressão introduzida é primeiro simplificada.
Por exemplo: 1/2(a-1)(a+1)-(5a-10&1/2)

=0

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Um pouco de teoria.

Equação quadrática e suas raízes. Equações quadráticas incompletas

Cada uma das equações
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
tem a forma
\(ax^2+bx+c=0, \)
onde x é uma variável, a, b e c são números.
Na primeira equação a = -1, b = 6 ec = 1,4, na segunda a = 8, b = -7 ec = 0, na terceira a = 1, b = 0 ec = 4/9. Tais equações são chamadas equações quadráticas.

Definição.
Equação quadrática uma equação da forma ax 2 +bx+c=0 é chamada, onde x é uma variável, a, b e c são alguns números, e \(a \neq 0 \).

Os números a, b e c são os coeficientes da equação quadrática. O número a é chamado de primeiro coeficiente, o número b é o segundo coeficiente e o número c é o intercepto.

Em cada uma das equações da forma ax 2 +bx+c=0, onde \(a \neq 0 \), a maior potência da variável x é um quadrado. Daí o nome: equação quadrática.

Observe que uma equação quadrática também é chamada de equação de segundo grau, pois seu lado esquerdo é um polinômio de segundo grau.

Uma equação quadrática na qual o coeficiente em x 2 é igual a 1 é chamada equação quadrática reduzida. Por exemplo, as equações quadráticas dadas são as equações
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Se na equação quadrática ax 2 +bx+c=0 pelo menos um dos coeficientes b ou c for igual a zero, então tal equação é chamada equação quadrática incompleta. Assim, as equações -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 são equações quadráticas incompletas. No primeiro deles b=0, no segundo c=0, no terceiro b=0 ec=0.

Equações quadráticas incompletas são de três tipos:
1) ax 2 +c=0, onde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, onde \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Considere a solução das equações de cada um desses tipos.

Para resolver uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 +c=0 para \(c \neq 0 \), seu termo livre é transferido para o lado direito e ambas as partes da equação são divididas por a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Como \(c \neq 0 \), então \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Se \(-\frac(c)(a)>0 \), então a equação tem duas raízes.

Se \(-\frac(c)(a) Para resolver uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 +bx=0 para \(b \neq 0 \) fatorize seu lado esquerdo e obtenha a equação
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin) (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)

Portanto, uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 +bx=0 para \(b \neq 0 \) sempre tem duas raízes.

Uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 \u003d 0 é equivalente à equação x 2 \u003d 0 e, portanto, tem uma única raiz 0.

A fórmula para as raízes de uma equação quadrática

Vamos agora considerar como equações quadráticas são resolvidas em que ambos os coeficientes das incógnitas e o termo livre são diferentes de zero.

Resolvemos a equação quadrática na forma geral e como resultado obtemos a fórmula das raízes. Então esta fórmula pode ser aplicada para resolver qualquer equação quadrática.

Resolva a equação quadrática ax 2 +bx+c=0

Dividindo ambas as suas partes por a, obtemos a equação quadrática reduzida equivalente
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformamos essa equação destacando o quadrado do binômio:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Seta para a direita \)

\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2 = \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 - \frac(c)(a) \Rightarrow \) \(\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2)(4a^2) - \frac( c)(a) \Rightarrow \left(x+\frac(b)(2a)\right)^2 = \frac(b^2-4ac)(4a^2) \Rightarrow \) \(x+\frac(b) )(2a) = \pm \sqrt( \frac(b^2-4ac)(4a^2) ) \Rightarrow x = -\frac(b)(2a) + \frac( \pm \sqrt(b^2) -4ac) )(2a) \Rightarrow \) \(x = \frac( -b \pm \sqrt(b^2-4ac) )(2a) \)

A expressão raiz é chamada discriminante de uma equação quadrática ax 2 +bx+c=0 (“discriminante” em latim - distintivo). É indicado pela letra D, ou seja.
\(D = b^2-4ac\)

Agora, usando a notação do discriminante, reescrevemos a fórmula para as raízes da equação quadrática:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), onde \(D= b^2-4ac \)

É óbvio que:
1) Se D>0, então a equação quadrática tem duas raízes.
2) Se D=0, então a equação quadrática tem uma raiz \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Se D Assim, dependendo do valor do discriminante, a equação quadrática pode ter duas raízes (para D > 0), uma raiz (para D = 0) ou nenhuma raiz (para D Ao resolver uma equação quadrática usando esta fórmula , é aconselhável fazer da seguinte forma:
1) calcular o discriminante e compará-lo com zero;
2) se o discriminante for positivo ou igual a zero, use a fórmula da raiz, se o discriminante for negativo, anote que não há raízes.

Teorema de Vieta

A equação quadrática dada ax 2 -7x+10=0 tem raízes 2 e 5. A soma das raízes é 7, e o produto é 10. Vemos que a soma das raízes é igual ao segundo coeficiente, tomado com o sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre. Qualquer equação quadrática reduzida que tenha raízes tem essa propriedade.

A soma das raízes da equação quadrática dada é igual ao segundo coeficiente, tomado com o sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre.

Aqueles. O teorema de Vieta afirma que as raízes x 1 e x 2 da equação quadrática reduzida x 2 +px+q=0 têm a propriedade:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)

Na sociedade moderna, a capacidade de operar com equações contendo uma variável quadrada pode ser útil em muitas áreas de atividade e é amplamente utilizada na prática em desenvolvimentos científicos e técnicos. Isso pode ser evidenciado pelo projeto de embarcações marítimas e fluviais, aeronaves e mísseis. Com a ajuda de tais cálculos, as trajetórias do movimento de vários corpos, incluindo objetos espaciais, são determinadas. Exemplos com a solução de equações quadráticas são usados ​​não apenas na previsão econômica, no projeto e construção de edifícios, mas também nas circunstâncias cotidianas mais comuns. Eles podem ser necessários em acampamentos, eventos esportivos, em lojas para fazer compras e em outras situações muito comuns.

Vamos quebrar a expressão em fatores componentes

O grau de uma equação é determinado pelo valor máximo do grau da variável que a expressão dada contém. Se for igual a 2, então essa equação é chamada de equação quadrática.

Se falamos na linguagem das fórmulas, essas expressões, não importa como pareçam, sempre podem ser trazidas à forma quando o lado esquerdo da expressão consiste em três termos. Entre eles: ax 2 (ou seja, uma variável ao quadrado com seu coeficiente), bx (uma incógnita sem um quadrado com seu coeficiente) ec (componente livre, ou seja, um número ordinário). Tudo isso do lado direito é igual a 0. No caso em que tal polinômio não tem um de seus termos constituintes, com exceção de ax 2, ele é chamado de equação quadrática incompleta. Exemplos com a solução de tais problemas, em que o valor das variáveis ​​não é difícil de encontrar, devem ser considerados em primeiro lugar.

Se a expressão parece ter dois termos no lado direito da expressão, mais precisamente ax 2 e bx, é mais fácil encontrar x colocando a variável entre colchetes. Agora nossa equação ficará assim: x(ax+b). Além disso, torna-se óbvio que x=0 ou o problema é reduzido a encontrar uma variável a partir da seguinte expressão: ax+b=0. Isso é ditado por uma das propriedades da multiplicação. A regra diz que o produto de dois fatores resulta em 0 somente se um deles for zero.

Exemplo

x=0 ou 8x - 3 = 0

Como resultado, obtemos duas raízes da equação: 0 e 0,375.

Equações desse tipo podem descrever o movimento dos corpos sob a ação da gravidade, que começam a se mover a partir de um determinado ponto, tomado como origem. Aqui a notação matemática assume a seguinte forma: y = v 0 t + gt 2 /2. Substituindo os valores necessários, igualando o lado direito a 0 e encontrando possíveis incógnitas, você pode descobrir o tempo decorrido desde o momento em que o corpo sobe até o momento em que cai, além de muitas outras grandezas. Mas falaremos sobre isso mais tarde.

Fatorando uma expressão

A regra descrita acima permite resolver esses problemas em casos mais complexos. Considere exemplos com a solução de equações quadráticas desse tipo.

X2 - 33x + 200 = 0

Este trinômio quadrado está completo. Primeiro, transformamos a expressão e a decompomos em fatores. Existem dois deles: (x-8) e (x-25) = 0. Como resultado, temos duas raízes 8 e 25.

Exemplos com a solução de equações quadráticas no 9º ano permitem que este método encontre uma variável em expressões não só de segunda, mas até de terceira e quarta ordens.

Por exemplo: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Ao fatorar o lado direito em fatores com uma variável, existem três deles, ou seja, (x + 1), (x-3) e (x + 3).

Como resultado, torna-se óbvio que esta equação tem três raízes: -3; -1; 3.

Extraindo a raiz quadrada

Outro caso de equação incompleta de segunda ordem é uma expressão escrita na linguagem das letras de tal forma que o lado direito é construído a partir dos componentes ax 2 e c. Aqui, para obter o valor da variável, o termo livre é transferido para o lado direito e, em seguida, a raiz quadrada é extraída de ambos os lados da igualdade. Deve-se notar que, neste caso, geralmente há duas raízes da equação. As únicas exceções são igualdades que não contêm o termo c, onde a variável é igual a zero, bem como variantes de expressões quando o lado direito é negativo. Neste último caso, não há soluções, pois as ações acima não podem ser executadas com raízes. Exemplos de soluções para equações quadráticas deste tipo devem ser considerados.

Nesse caso, as raízes da equação serão os números -4 e 4.

Cálculo da área do terreno

A necessidade desse tipo de cálculo surgiu na antiguidade, pois o desenvolvimento da matemática naqueles tempos distantes se deveu em grande parte à necessidade de determinar as áreas e perímetros dos terrenos com maior precisão.

Devemos também considerar exemplos com a solução de equações quadráticas compiladas com base em problemas desse tipo.

Então, digamos que há um pedaço de terra retangular, cujo comprimento é 16 metros a mais que a largura. Deverá encontrar o comprimento, a largura e o perímetro do local, caso se saiba que a sua área é de 612 m 2.

Começando a trabalhar, primeiro faremos a equação necessária. Vamos denotar a largura da seção como x, então seu comprimento será (x + 16). Segue-se do que foi escrito que a área é determinada pela expressão x (x + 16), que, de acordo com a condição do nosso problema, é 612. Isso significa que x (x + 16) \u003d 612.

A solução de equações quadráticas completas, e esta expressão é apenas isso, não pode ser feita da mesma maneira. Por quê? Embora o lado esquerdo ainda contenha dois fatores, o produto deles não é igual a 0, então outros métodos são usados ​​aqui.

Discriminante

Antes de tudo, faremos as transformações necessárias, então a aparência dessa expressão ficará assim: x 2 + 16x - 612 = 0. Isso significa que recebemos uma expressão na forma correspondente ao padrão especificado anteriormente, onde a=1, b=16, c= -612.

Este pode ser um exemplo de resolução de equações quadráticas através do discriminante. Aqui os cálculos necessários são feitos de acordo com o esquema: D = b 2 - 4ac. Esse valor auxiliar não apenas possibilita encontrar os valores desejados na equação de segunda ordem, mas também determina o número de opções possíveis. No caso D>0, são dois; para D=0 existe uma raiz. No caso D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Sobre raízes e sua fórmula

No nosso caso, o discriminante é: 256 - 4(-612) = 2704. Isso indica que nosso problema tem uma resposta. Se você sabe, para, a solução de equações quadráticas deve ser continuada usando a fórmula abaixo. Permite calcular as raízes.

Isso significa que no caso apresentado: x 1 =18, x 2 =-34. A segunda opção neste dilema não pode ser uma solução, pois o tamanho do terreno não pode ser medido em valores negativos, o que significa que x (ou seja, a largura do terreno) é de 18 m. A partir daqui calculamos o comprimento: 18+16=34, e o perímetro 2(34+18) = 104 (m 2).

Exemplos e tarefas

Continuamos o estudo das equações quadráticas. Exemplos e uma solução detalhada de vários deles serão dados abaixo.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Vamos transferir tudo para o lado esquerdo da igualdade, fazer uma transformação, ou seja, pegamos a forma da equação, que normalmente é chamada de padrão, e igualamos a zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Adicionando os semelhantes, determinamos o discriminante: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Portanto, nossa equação terá duas raízes. Nós os calculamos de acordo com a fórmula acima, o que significa que o primeiro deles será igual a 4/3 e o segundo 1.

2) Agora vamos revelar enigmas de um tipo diferente.

Vamos descobrir se existem raízes x 2 - 4x + 5 = 1 aqui? Para obter uma resposta exaustiva, trazemos o polinômio para a forma familiar correspondente e calculamos o discriminante. Neste exemplo, não é necessário resolver a equação quadrática, porque a essência do problema não está nisso. Nesse caso, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, o que significa que realmente não há raízes.

Teorema de Vieta

É conveniente resolver equações quadráticas através das fórmulas acima e do discriminante, quando a raiz quadrada é extraída do valor desta última. Mas isso nem sempre acontece. No entanto, existem muitas maneiras de obter os valores das variáveis ​​neste caso. Exemplo: resolver equações quadráticas usando o teorema de Vieta. Tem o nome de um homem que viveu na França do século XVI e teve uma carreira brilhante graças ao seu talento matemático e conexões na corte. Seu retrato pode ser visto no artigo.

O padrão que o famoso francês notou foi o seguinte. Ele provou que a soma das raízes da equação é igual a -p=b/a, e seu produto corresponde a q=c/a.

Agora vamos ver tarefas específicas.

3x2 + 21x - 54 = 0

Para simplificar, vamos transformar a expressão:

x 2 + 7x - 18 = 0

Usando o teorema de Vieta, isso nos dará o seguinte: a soma das raízes é -7 e seu produto é -18. A partir daqui, obtemos que as raízes da equação são os números -9 e 2. Tendo feito uma verificação, garantiremos que esses valores das variáveis ​​realmente se encaixem na expressão.

Gráfico e equação de uma parábola

Os conceitos de função quadrática e equações quadráticas estão intimamente relacionados. Exemplos disso já foram dados anteriormente. Agora vamos ver alguns quebra-cabeças matemáticos com um pouco mais de detalhes. Qualquer equação do tipo descrito pode ser representada visualmente. Tal dependência, desenhada na forma de um gráfico, é chamada de parábola. Seus vários tipos são mostrados na figura abaixo.

Qualquer parábola tem um vértice, ou seja, um ponto de onde saem seus ramos. Se a>0, eles vão alto até o infinito, e quando um<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

As representações visuais de funções ajudam a resolver quaisquer equações, inclusive as quadráticas. Este método é chamado de gráfico. E o valor da variável x é a coordenada de abcissa nos pontos onde a linha do gráfico cruza com 0x. As coordenadas do vértice podem ser encontradas pela fórmula dada x 0 = -b / 2a. E, substituindo o valor resultante na equação original da função, você pode descobrir y 0, ou seja, a segunda coordenada do vértice da parábola pertencente ao eixo y.

A intersecção dos ramos da parábola com o eixo das abcissas

Existem muitos exemplos com a solução de equações quadráticas, mas também existem padrões gerais. Vamos considerá-los. É claro que a intersecção do gráfico com o eixo 0x para a>0 só é possível se y 0 assumir valores negativos. E para um<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Caso contrário D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

A partir do gráfico de uma parábola, você também pode determinar as raízes. O contrário também é verdade. Ou seja, se não for fácil obter uma representação visual de uma função quadrática, você pode igualar o lado direito da expressão a 0 e resolver a equação resultante. E conhecendo os pontos de interseção com o eixo 0x, fica mais fácil plotar.

Da história

Com a ajuda de equações contendo uma variável quadrada, antigamente, não apenas cálculos matemáticos e determinavam a área de formas geométricas. Os antigos precisavam de tais cálculos para grandes descobertas no campo da física e da astronomia, bem como para fazer previsões astrológicas.

Como os cientistas modernos sugerem, os habitantes da Babilônia estavam entre os primeiros a resolver equações quadráticas. Aconteceu quatro séculos antes do advento de nossa era. É claro que seus cálculos eram fundamentalmente diferentes daqueles atualmente aceitos e acabaram sendo muito mais primitivos. Por exemplo, os matemáticos mesopotâmicos não tinham ideia da existência de números negativos. Eles também não estavam familiarizados com outras sutilezas conhecidas por qualquer estudante de nosso tempo.

Talvez ainda antes dos cientistas da Babilônia, o sábio da Índia, Baudhayama, adotou a solução de equações quadráticas. Isso aconteceu cerca de oito séculos antes do advento da era de Cristo. É verdade que as equações de segunda ordem, os métodos de resolução que ele deu, eram os mais simples. Além dele, os matemáticos chineses também se interessavam por questões semelhantes nos velhos tempos. Na Europa, as equações quadráticas começaram a ser resolvidas apenas no início do século XIII, mas depois foram usadas em seus trabalhos por grandes cientistas como Newton, Descartes e muitos outros.

Descrição bibliográfica: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Métodos para resolver equações quadráticas // Jovem cientista. - 2016. - Não. 6.1. - S. 17-20..02.2019).



Nosso projeto é dedicado às formas de resolver equações quadráticas. O objetivo do projeto: aprender a resolver equações quadráticas de maneiras que não estão incluídas no currículo escolar. Tarefa: encontre todas as maneiras possíveis de resolver equações do segundo grau e aprenda a usá-las você mesmo e apresente aos colegas de classe esses métodos.

O que são "equações quadráticas"?

Equação quadrática- equação da forma machado2 + bx + c = 0, Onde uma, b, c- alguns números ( a ≠ 0), x- desconhecido.

Os números a, b, c são chamados de coeficientes da equação quadrática.

• a é chamado de primeiro coeficiente;
• b é chamado de segundo coeficiente;
• c - membro livre.

E quem foi o primeiro a "inventar" equações quadráticas?

Algumas técnicas algébricas para resolver equações lineares e quadráticas eram conhecidas há 4.000 anos na antiga Babilônia. As antigas tábuas de argila babilônicas encontradas, datadas entre 1800 e 1600 aC, são as primeiras evidências do estudo de equações quadráticas. As mesmas tabuinhas contêm métodos para resolver certos tipos de equações quadráticas.

A necessidade de resolver equações não só de primeiro, mas também de segundo grau na antiguidade foi provocada pela necessidade de resolver problemas relacionados com a localização das áreas de terra e terraplenagem de natureza militar, bem como o desenvolvimento da astronomia e matemática em si.

A regra para resolver essas equações, enunciada nos textos babilônicos, coincide essencialmente com a moderna, mas não se sabe como os babilônios chegaram a essa regra. Quase todos os textos cuneiformes encontrados até agora dão apenas problemas com soluções enunciadas na forma de receitas, sem indicação de como foram encontradas. Apesar do alto nível de desenvolvimento da álgebra na Babilônia, os textos cuneiformes carecem do conceito de número negativo e métodos gerais para resolver equações quadráticas.

Matemáticos babilônicos do século IV a.C. usou o método do complemento quadrado para resolver equações com raízes positivas. Por volta de 300 a.C. Euclides surgiu com um método de solução geométrica mais geral. O primeiro matemático que encontrou soluções para uma equação com raízes negativas na forma de uma fórmula algébrica foi um cientista indiano. Brahmagupta(Índia, século VII d.C.).

Brahmagupta delineou uma regra geral para resolver equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica:

ax2 + bx = c, a>0

Nesta equação, os coeficientes podem ser negativos. O governo de Brahmagupta coincide essencialmente com o nosso.

Na Índia, concursos públicos para resolver problemas difíceis eram comuns. Em um dos antigos livros indianos, o seguinte é dito sobre tais competições: “Assim como o sol supera as estrelas com seu brilho, uma pessoa instruída ofuscará a glória em reuniões públicas, propondo e resolvendo problemas algébricos.” As tarefas eram muitas vezes vestidas de forma poética.

Em um tratado algébrico Al-Khwarizmi uma classificação de equações lineares e quadráticas é dada. O autor lista 6 tipos de equações, expressando-as da seguinte forma:

1) “Quadrados são iguais a raízes”, ou seja, ax2 = bx.

2) “Quadrados são iguais a número”, ou seja, ax2 = c.

3) "As raízes são iguais ao número", ou seja, ax2 = c.

4) “Quadrados e números são iguais a raízes”, ou seja, ax2 + c = bx.

5) “Quadrados e raízes são iguais ao número”, ou seja, ax2 + bx = c.

6) “Raízes e números são iguais a quadrados”, ou seja, bx + c == ax2.

Para Al-Khwarizmi, que evitou o uso de números negativos, os termos de cada uma dessas equações são adendos, não subtrações. Nesse caso, as equações que não possuem soluções positivas obviamente não são levadas em consideração. O autor descreve os métodos para resolver essas equações, usando os métodos de al-jabr e al-muqabala. A decisão dele, é claro, não coincide completamente com a nossa. Para não mencionar o fato de ser puramente retórico, deve-se notar, por exemplo, que ao resolver uma equação quadrática incompleta do primeiro tipo, Al-Khwarizmi, como todos os matemáticos antes do século XVII, não leva em consideração o zero solução, provavelmente porque em tarefas práticas específicas, isso não importa. Ao resolver equações quadráticas completas, Al-Khwarizmi estabelece as regras para resolvê-las usando exemplos numéricos específicos e, em seguida, suas provas geométricas.

Formas para resolver equações quadráticas no modelo de Al-Khwarizmi na Europa foram descritas pela primeira vez no "Livro do Ábaco", escrito em 1202. matemático italiano Leonard Fibonacci. O autor desenvolveu de forma independente alguns novos exemplos algébricos de resolução de problemas e foi o primeiro na Europa a abordar a introdução de números negativos.

Este livro contribuiu para a difusão do conhecimento algébrico não só na Itália, mas também na Alemanha, França e outros países europeus. Muitas tarefas deste livro foram transferidas para quase todos os livros didáticos europeus dos séculos XIV-XVII. A regra geral para resolver equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica x2 + bx = c com todas as combinações possíveis de sinais e coeficientes b, c, foi formulada na Europa em 1544. M. Stiefel.

Vieta tem uma derivação geral da fórmula para resolver uma equação quadrática, mas Vieta reconheceu apenas raízes positivas. matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli entre os primeiros do século XVI. levar em conta, além de raízes positivas e negativas. Somente no século XVII. graças ao trabalho Girard, Descartes, Newton e outros cientistas, a forma de resolver equações quadráticas assume uma forma moderna.

Considere várias maneiras de resolver equações quadráticas.

Maneiras padrão de resolver equações quadráticas do currículo escolar:

1. Fatoração do lado esquerdo da equação.
2. Método de seleção de quadrados completos.
3. Solução de equações quadráticas por fórmula.
4. Solução gráfica de uma equação quadrática.
5. Solução de equações usando o teorema de Vieta.

Detenhamo-nos com mais detalhes na solução de equações quadráticas reduzidas e não reduzidas usando o teorema de Vieta.

Lembre-se de que para resolver as equações do segundo grau dadas, basta encontrar dois números tais que o produto seja igual ao termo livre e a soma seja igual ao segundo coeficiente com o sinal oposto.

Exemplo.x 2 -5x+6=0

Você precisa encontrar números cujo produto seja 6 e a soma seja 5. Esses números serão 3 e 2.

Resposta: x 1 =2, x 2 =3.

Mas você pode usar esse método para equações com o primeiro coeficiente diferente de um.

Exemplo.3x 2 +2x-5=0

Pegamos o primeiro coeficiente e o multiplicamos pelo termo livre: x 2 +2x-15=0

As raízes desta equação serão números cujo produto é - 15, e a soma é - 2. Esses números são 5 e 3. Para encontrar as raízes da equação original, dividimos as raízes obtidas pelo primeiro coeficiente.

Resposta: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Solução de equações pelo método de "transferência".

Considere a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0, onde a≠0.

Multiplicando ambas as partes por a, obtemos a equação a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Seja ax = y, de onde x = y/a; então chegamos à equação y 2 + by + ac = 0, que é equivalente à dada. Encontramos suas raízes em 1 e em 2 usando o teorema de Vieta.

Finalmente, obtemos x 1 = y 1 /a e x 2 = y 2 /a.

Com este método, o coeficiente a é multiplicado pelo termo livre, como se fosse "transferido" para ele, por isso é chamado de método de "transferência". Este método é usado quando é fácil encontrar as raízes de uma equação usando o teorema de Vieta e, mais importante, quando o discriminante é um quadrado exato.

Exemplo.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Vamos "transferir" o coeficiente 2 para o termo livre e fazendo a substituição obtemos a equação y 2 - 11y + 30 = 0.

De acordo com o teorema inverso de Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Resposta: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Propriedades dos coeficientes de uma equação quadrática.

Seja a equação quadrática ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0.

1. Se a + b + c \u003d 0 (ou seja, a soma dos coeficientes da equação é zero), então x 1 \u003d 1.

2. Se a - b + c \u003d 0, ou b \u003d a + c, então x 1 \u003d - 1.

Exemplo.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Como a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), então x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Resposta: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Exemplo.132x 2 + 247x + 115 = 0

Porque a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), depois x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Resposta: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Existem outras propriedades dos coeficientes de uma equação quadrática. mas seu uso é mais complicado.

8. Resolver equações quadráticas usando um nomograma.

Fig 1. Nomograma

Este é um método antigo e atualmente esquecido para resolver equações quadráticas, colocado na página 83 da coleção: Bradis V.M. Tabelas matemáticas de quatro dígitos. - M., Educação, 1990.

Tabela XXII. Nomograma para Resolução de Equações z2 + pz + q = 0. Este nomograma permite, sem resolver a equação quadrática, determinar as raízes da equação pelos seus coeficientes.

A escala curvilínea do nomograma é construída de acordo com as fórmulas (Fig. 1):

Assumindo OS = p, ED = q, OE = a(todos em cm), da Fig. 1 semelhança de triângulos SAN e CDF obtemos a proporção

de onde, após substituições e simplificações, a equação segue z 2 + pz + q = 0, e a carta z significa o rótulo de qualquer ponto na escala curva.

Arroz. 2 Resolvendo uma equação quadrática usando um nomograma

Exemplos.

1) Para a equação z 2 - 9z + 8 = 0 o nomograma dá as raízes z 1 = 8,0 e z 2 = 1,0

Resposta: 8,0; 1,0.

2) Resolva a equação usando o nomograma

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Divida os coeficientes desta equação por 2, obtemos a equação z 2 - 4,5z + 1 = 0.

O nomograma fornece as raízes z 1 = 4 e z 2 = 0,5.

Resposta: 4; 0,5.

9. Método geométrico de resolução de equações quadráticas.

Exemplo.X 2 + 10x = 39.

No original, esse problema é formulado da seguinte forma: "O quadrado e as dez raízes são iguais a 39".

Considere um quadrado com lado x, retângulos são construídos em seus lados para que o outro lado de cada um deles seja 2,5, portanto, a área de cada praia é 2,5x. A figura resultante é então complementada com um novo quadrado ABCD, completando quatro quadrados iguais nos cantos, o lado de cada um deles é 2,5 e a área é 6,25

Arroz. 3 Forma gráfica de resolver a equação x 2 + 10x = 39

A área S do quadrado ABCD pode ser representada como a soma das áreas: o quadrado original x 2, quatro retângulos (4∙2,5x = 10x) e quatro quadrados anexados (6,25∙4 = 25), ou seja, S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Substituindo x 2 + 10x pelo número 39, obtemos S \u003d 39 + 25 \u003d 64, o que implica que o lado do quadrado ABCD, ou seja, segmento AB \u003d 8. Para o lado x desejado do quadrado original, obtemos

10. Solução de equações usando o teorema de Bezout.

Teorema de Bezout. O resto depois de dividir o polinômio P(x) pelo binômio x - α é igual a P(α) (ou seja, o valor de P(x) em x = α).

Se o número α é a raiz do polinômio P(x), então este polinômio é divisível por x -α sem resto.

Exemplo.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Divida P(x) por (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, ou x-3=0, x=3; Resposta: x1 =2, x2 =3.

Conclusão: A capacidade de resolver rapidamente e racionalmente equações quadráticas é simplesmente necessária para resolver equações mais complexas, por exemplo, equações racionais fracionárias, equações de potências mais altas, equações biquadráticas e em equações trigonométricas, exponenciais e logarítmicas do ensino médio. Tendo estudado todos os métodos encontrados para resolver equações quadráticas, podemos aconselhar os colegas, além dos métodos padrão, a resolver pelo método de transferência (6) e resolver equações pela propriedade dos coeficientes (7), pois são mais acessíveis para compreensão .

Literatura:

1. Bradis V. M. Tabelas matemáticas de quatro dígitos. - M., Educação, 1990.
2. Álgebra 8ª série: livro didático para 8ª série. Educação geral instituições Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15ª ed., revisada. - M.: Iluminismo, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. História da matemática na escola. Um guia para professores. /Ed. V.N. Mais jovem. - M.: Iluminismo, 1964.

Apenas. De acordo com fórmulas e regras simples e claras. Na primeira fase

é necessário trazer a equação dada para a forma padrão, ou seja, para a vista:

Se a equação já foi dada a você neste formulário, você não precisa fazer o primeiro estágio. O mais importante é certo

determinar todos os coeficientes uma, b e c.

Fórmula para encontrar as raízes de uma equação quadrática.

A expressão sob o sinal da raiz é chamada discriminante . Como você pode ver, para encontrar x, nós

usar apenas a, b e c. Aqueles. probabilidades de Equação quadrática. Basta inserir com cuidado

valores a, b e c nesta fórmula e conte. Substituir por seus sinais!

por exemplo, na equação:

uma =1; b = 3; c = -4.

Substitua os valores e escreva:

Exemplo quase resolvido:

Esta é a resposta.

Os erros mais comuns são a confusão com os sinais de valores a, b e com. Pelo contrário, com substituição

valores negativos na fórmula para calcular as raízes. Aqui a fórmula detalhada salva

com números específicos. Se houver problemas com cálculos, faça-o!

Suponha que precisamos resolver o seguinte exemplo:

Aqui uma = -6; b = -5; c = -1

Pintamos tudo detalhadamente, com cuidado, sem perder nada com todos os sinais e colchetes:

Muitas vezes, as equações quadráticas parecem um pouco diferentes. Por exemplo, assim:

Agora tome nota das técnicas práticas que reduzem drasticamente o número de erros.

Primeira recepção. Não seja preguiçoso antes Resolvendo uma equação quadrática trazê-lo para a forma padrão.

O que isto significa?

Suponha que, após quaisquer transformações, você obtenha a seguinte equação:

Não se apresse em escrever a fórmula das raízes! Você quase certamente vai misturar as probabilidades a, b e c.

Construa o exemplo corretamente. Primeiro, x ao quadrado, depois sem quadrado, depois um membro livre. Assim:

Livre-se do menos. Como? Precisamos multiplicar toda a equação por -1. Nós temos:

E agora você pode escrever com segurança a fórmula para as raízes, calcular o discriminante e completar o exemplo.

Decida por conta própria. Você deve terminar com raízes 2 e -1.

Segunda recepção. Verifique suas raízes! De Teorema de Vieta.

Para resolver as equações quadráticas dadas, ou seja, se o coeficiente

x2+bx+c=0,

entãox 1 x 2 = c

x1 +x2 =−b

Para uma equação quadrática completa em que a≠1:

x 2 +bx+c=0,

divida toda a equação por uma:

→ →

Onde x 1 e x 2 - raízes da equação.

Terceiro de recepção. Se sua equação tem coeficientes fracionários, livre-se das frações! Multiplicar

equação para um denominador comum.

Conclusão. Dicas práticas:

1. Antes de resolver, trazemos a equação quadrática para a forma padrão, construímos direita.

2. Se houver um coeficiente negativo na frente do x no quadrado, nós o eliminamos multiplicando tudo

equações para -1.

3. Se os coeficientes são fracionários, eliminamos as frações multiplicando toda a equação pelo correspondente

fator.

4. Se x ao quadrado é puro, o coeficiente para ele é igual a um, a solução pode ser facilmente verificada por