Descobrimos que o comportamento das funções trigonométricas, e as funções y = sen x em particular, em toda a reta numérica (ou para todos os valores do argumento X) é completamente determinado por seu comportamento no intervalo 0 < X < π / 2 .

Portanto, primeiro vamos plotar a função y = sen x exatamente neste intervalo.

Vamos fazer a seguinte tabela de valores da nossa função;

Marcando os pontos correspondentes no plano de coordenadas e conectando-os com uma linha suave, obtemos a curva mostrada na figura

A curva resultante também pode ser construída geometricamente sem compilar uma tabela de valores de função y = sen x .

1. O primeiro quarto de um círculo de raio 1 é dividido em 8 partes iguais.As ordenadas dos pontos de divisão do círculo são os senos dos ângulos correspondentes.

2. O primeiro quarto do círculo corresponde a ângulos de 0 a π / 2 . Portanto, no eixo X Pegue um segmento e divida-o em 8 partes iguais.

3. Vamos desenhar linhas retas paralelas ao eixo X, e a partir dos pontos de divisão restauramos as perpendiculares à interseção com as linhas horizontais.

4. Conecte os pontos de interseção com uma linha suave.

Agora vamos ver o intervalo π / 2 < X < π .
Cada valor de argumento X deste intervalo pode ser representado como

x = π / 2 + φ

Onde 0 < φ < π / 2 . De acordo com as fórmulas de redução

pecado( π / 2 + φ ) = co φ = pecado ( π / 2 - φ ).

Pontos do eixo X com abscissa π / 2 + φ e π / 2 - φ simétricos entre si em torno do ponto do eixo X com abscissa π / 2 , e os senos nesses pontos são os mesmos. Isso permite que você obtenha um gráfico da função y = sen x no intervalo [ π / 2 , π ] simplesmente exibindo simetricamente o gráfico desta função no intervalo relativo à linha reta X = π / 2 .

Agora usando a propriedade Função estranha y \u003d sen x,

pecado(- X) = -pecado X,

é fácil traçar esta função no intervalo [- π , 0].

A função y \u003d sin x é periódica com um período de 2π ;. Portanto, para construir todo o gráfico desta função, basta continuar a curva mostrada na figura à esquerda e à direita periodicamente com um período 2π .

A curva resultante é chamada sinusóide . É o gráfico da função y = sen x.

A figura ilustra bem todas essas propriedades da função y = sen x , que foram previamente comprovados por nós. Lembre-se dessas propriedades.

1) Função y = sen x definido para todos os valores X , de modo que seu domínio é o conjunto de todos os números reais.

2) Função y = sen x limitado. Todos os valores que leva estão entre -1 e 1, incluindo esses dois números. Portanto, o alcance desta função é determinado pela desigualdade -1 < no < 1. Quando X = π / 2 + 2k π a função leva os maiores valores iguais a 1, e para x = - π / 2 + 2k π - os menores valores iguais a - 1.

3) Função y = sen x é ímpar (a sinusóide é simétrica em relação à origem).

4) Função y = sen x periódica com período 2 π .

5) Nos intervalos 2n π < x < π + 2n π (n é qualquer número inteiro) é positivo, e em intervalos π + 2k π < X < 2π + 2k π (k é qualquer número inteiro) é negativo. Para x = k π a função vai para zero. Portanto, esses valores do argumento x (0; ± π ; ±2 π ; ...) são chamados zeros da função y = sen x

6) Em intervalos - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π função y = pecado x aumenta monotonicamente, e em intervalos π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π diminui monotonicamente.

Preste atenção especial ao comportamento da função y = sen x perto do ponto X = 0 .

Por exemplo, sen 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;

sen2° = sen π 2 / 180=pecado π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

No entanto, deve-se notar que para quaisquer valores de x

| pecado x| < | x | . (1)

De fato, seja o raio do círculo mostrado na figura igual a 1,
uma / AOB = X.

Então peca x= AC. Mas AU< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. O comprimento deste arco é obviamente igual a X, já que o raio do círculo é 1. Então, para 0< X < π / 2

pecado x< х.

Assim, devido à estranheza da função y = sen x é fácil mostrar que quando - π / 2 < X < 0

| pecado x| < | x | .

Finalmente, em x = 0

| pecado x | = | x |.

Assim, para | X | < π / 2 a desigualdade (1) é provada. De fato, essa desigualdade também é verdadeira para | x | > π / 2 devido ao fato de que | | pecado X | < 1, um π / 2 > 1

Exercícios

1. De acordo com o cronograma de funções y = sen x determine: a) sen 2; b) pecado 4; c) pecado (-3).

2. Função de agendamento y = sen x determinar qual número do intervalo
[ - π / 2 , π / 2 ] tem seno igual a: a) 0,6; b) -0,8.

3. Função agendada y = sen x determinar quais números têm um seno,
igual a 1/2.

4. Encontre aproximadamente (sem usar tabelas): a) sen 1°; b) sen 0,03;
c) sin (-0,015); d) sen (-2°30").

Transformação do gráfico de funções

Neste artigo, apresentarei transformações lineares de gráficos de função e mostrarei como usar essas transformações de um gráfico de função para obter um gráfico de função.

Uma transformação linear de uma função é uma transformação da própria função e/ou seu argumento para a forma , bem como uma transformação contendo o módulo do argumento e/ou funções.

As seguintes ações causam as maiores dificuldades na plotagem de gráficos usando transformações lineares:

1. O isolamento da função base, na verdade, o gráfico do qual estamos transformando.
2. Definições da ordem das transformações.

EÉ sobre esses pontos que nos deteremos com mais detalhes.

Vamos dar uma olhada mais de perto na função

É baseado em uma função. Vamos chamá-la função básica.

Ao plotar uma função fazemos transformações do gráfico da função base.

Se transformássemos a função na mesma ordem em que seu valor foi encontrado para um determinado valor do argumento, então

Vamos considerar que tipos de argumentos lineares e transformações de função existem e como realizá-los.

Transformações de argumentos.

1. f(x) f(x+b)

1. Construímos um gráfico de uma função

2. Deslocamos o gráfico da função ao longo do eixo OX por |b| unidades

• esquerda se b>0
• certo se b<0

Vamos plotar a função

1. Traçamos a função

2. Desloque 2 unidades para a direita:

2. f(x) f(kx)

1. Construímos um gráfico de uma função

2. Divida as abcissas dos pontos do gráfico por k, deixe as ordenadas dos pontos inalteradas.

Vamos plotar a função.

1. Traçamos a função

2. Divida todas as abcissas dos pontos do gráfico por 2, deixe as ordenadas inalteradas:

3. f(x) f(-x)

1. Construímos um gráfico de uma função

2. Nós o exibimos simetricamente em torno do eixo OY.

Vamos plotar a função.

1. Traçamos a função

2. Nós o exibimos simetricamente em torno do eixo OY:

4. f(x) f(|x|)

1. Traçamos a função

2. Apagamos a parte do gráfico localizada à esquerda do eixo OY, a parte do gráfico localizada à direita do eixo OY Completamos simetricamente em torno do eixo OY:

O gráfico da função fica assim:

Vamos plotar a função

1. Construímos um gráfico de função (este é um gráfico de função deslocado ao longo do eixo OX em 2 unidades para a esquerda):

2. Parte do gráfico localizada à esquerda do OY (x<0) стираем:

3. A parte do gráfico localizada à direita do eixo OY (x>0) é preenchida simetricamente em relação ao eixo OY:

Importante! As duas regras principais para conversão de argumentos.

1. Todas as transformações de argumentos são realizadas ao longo do eixo OX

2. Todas as transformações do argumento são realizadas "vice-versa" e "na ordem inversa".

Por exemplo, em uma função, a sequência de transformações de argumentos é a seguinte:

1. Tomamos o módulo de x.

2. Adicione o número 2 ao módulo x.

Mas fizemos a plotagem na ordem inversa:

Primeiramente, realizamos a transformação 2. - deslocamos o gráfico em 2 unidades para a esquerda (ou seja, as abcissas dos pontos foram reduzidas em 2, como se fosse "vice-versa")

Em seguida, realizamos a transformação f(x) f(|x|).

Resumidamente, a sequência de transformações é escrita da seguinte forma:

Agora vamos falar sobre transformação de função . Transformações estão sendo feitas

1. Ao longo do eixo OY.

2. Na mesma sequência em que as ações são executadas.

Estas são as transformações:

1. f(x)f(x)+D

2. Desloque-o ao longo do eixo OY por |D| unidades

• para cima se D>0
• para baixo se D<0

Vamos plotar a função

1. Traçamos a função

2. Mova-o ao longo do eixo OY em 2 unidades para cima:

2. f(x)Af(x)

1. Traçamos a função y=f(x)

2. Multiplicamos as ordenadas de todos os pontos do gráfico por A, deixamos as abcissas inalteradas.

Vamos plotar a função

1. Faça um gráfico da função

2. Multiplicamos as ordenadas de todos os pontos do gráfico por 2:

3.f(x)-f(x)

1. Traçamos a função y=f(x)

Vamos plotar a função.

1. Construímos um gráfico de funções.

2. Nós o exibimos simetricamente em torno do eixo OX.

4. f(x)|f(x)|

1. Traçamos a função y=f(x)

2. A parte do gráfico localizada acima do eixo OX permanece inalterada, a parte do gráfico localizada abaixo do eixo OX é exibida simetricamente em relação a este eixo.

Vamos plotar a função

1. Construímos um gráfico de funções. É obtido deslocando o gráfico da função ao longo do eixo OY em 2 unidades para baixo:

2. Agora a parte do gráfico localizada abaixo do eixo OX será exibida simetricamente em relação a este eixo:

E a última transformação, que, a rigor, não pode ser chamada de transformação de função, pois o resultado dessa transformação não é mais uma função:

|y|=f(x)

1. Traçamos a função y=f(x)

2. Apagamos a parte do gráfico localizada abaixo do eixo OX, depois completamos a parte do gráfico localizada acima do eixo OX simetricamente em relação a este eixo.

Vamos construir um gráfico da equação

1. Construímos um gráfico de função:

2. Apagamos a parte do gráfico localizada abaixo do eixo OX:

3. A parte do gráfico localizada acima do eixo OX é completada simetricamente em torno deste eixo.

E por fim, sugiro que você assista a AULA DE VÍDEO na qual mostro um algoritmo passo a passo para traçar um gráfico de função

O gráfico desta função fica assim:

§ 11. Gráficos de seno e cosseno
Repita: § 5. Relógio, ou uma visão moderna da trigonometria.
Vamos traçar a função y = sin x. Ao mesmo tempo, voltamos a
as horas do § 5 são adequadas.
Se x = 0, então, obviamente, y = 0. Quando x
derrete de 0 a π/2, o número sen x aumenta de 0 a
1 (imagine como a ordenada da con-
setas nos nossos relógios de assinatura). Enredo
gráfico para x de 0 a π/2 é mostrado na fig. 11.1.
Para x pequeno, nosso gráfico está próximo de uma linha reta
y = x: lembre-se que para x pequeno
fórmula aproximada sen x ≈ x. Você pode dizer
que a linha y = x é tangente à curva com a equação
y = sen x no ponto (0; 0). Observe também que nossa seção do gráfico
está localizado abaixo desta linha reta: afinal, para ângulos agudos x, medidos
em radianos, sen x< x.
Quanto mais próximo x estiver de π/2, mais plana será nossa curva. isto
ocorre porque a projeção da extremidade da seta no eixo y,
oscilando ao longo do segmento [−1; 1], se move mais rápido no meio
segmento e desacelera em suas bordas: já discutimos isso no § 5.

de π para 3π / 2, sen x diminui de 0 para -1, e quando x aumenta de 3π / 2 para 2π, aumenta de -1 para 0. Assim, a seção do gráfico para 0 6 x 6 2π está pronta (Fig. 11.2b). Observe, a propósito, que a curva da Figura 11.2 a é simétrica em relação à reta vertical com a equação x = π/2. De fato, a fórmula de redução sin(π/2 - x) = sin x mostra que os pontos com abcissas x e π - x têm as mesmas ordenadas no gráfico e, portanto, são simétricos em relação à reta x = π/ 2 (Fig. 11.3a).

Problema 11.1. Escreva a equação de uma reta tangente ao gráfico da função y = sen x em um ponto com coordenadas (π; 0).

A curva da Fig. 11.2 b é centralmente simétrica em relação ao ponto com coordenadas (π; 0); isso decorre de outra fórmula de redução: sin(2π - x) = - sin x (Fig. 11.3 b).

Depois de termos uma seção do gráfico da função y \u003d sin x para 0 6 x 6 2π, o gráfico inteiro já é fácil de construir. De fato, quando a ponta da flecha percorreu o caminho 2π, a flecha retornou à sua posição original; à medida que você avança, tudo se repetirá. Isso significa que o gráfico consistirá das mesmas partes da Figura 11.2 b. O gráfico final da função y = sin x se parece com a Fig. 11.4. Ao mesmo tempo, seções do gráfico em x , , [−2π; 0]. . . são obtidos a partir do gráfico na Figura 11.2 b deslocando ao longo do eixo x por 2π, 4π, −2π,. . . respectivamente. Isso é apenas uma reafirmação do fato de que a função y = sin x tem um período de 2π.

Arroz. 11.4. y = senx.

Arroz. 11.5. y = cos x.

Agora vamos traçar a função y = cos x. Seria possível construí-lo da mesma forma que construímos o gráfico seno. Iremos, no entanto, escolher um caminho diferente que nos permita utilizar a informação que já temos.

Ou seja, usamos a fórmula de redução sen(x + π/2) = cos x. Essa fórmula pode ser entendida da seguinte forma: a função y = cos x assume os mesmos valores que a função y = sin x, mas π/2 anterior. Por exemplo, a função y = sin x assume o valor 1 em x = π/2, e a função y = cos x = sin(x + π/2) assume o mesmo valor já em x = 0. No gráfico, isso significa o seguinte: para cada ponto do gráfico y \u003d sin x é um ponto do gráfico y \u003d cos x, cuja ordenada é a mesma, e a abcissa é π / 2 menor (Fig. 11.5). Portanto, o gráfico y = cos x será obtido se o gráfico y = sin x for deslocado ao longo do eixo x por π/2 para a esquerda. Na Figura 11.5, o gráfico da função y = cos x é mostrado como uma curva sólida.

Assim, descobrimos que o gráfico cosseno é obtido transformando

zação (deslocamento) do gráfico seno. Os casos em que o gráfico de uma função pode ser obtido por transformação do gráfico de outra função são interessantes por si mesmos, então vamos dizer algumas palavras sobre eles.

Como será, por exemplo, o gráfico da função y = 2 sen x? É claro que as ordenadas dos pontos deste gráfico são obtidas a partir das ordenadas dos pontos correspondentes do gráfico y \u003d sin x multiplicando por 2, de modo que nosso gráfico será exibido como uma curva sólida na Fig. 11.6. Podemos dizer que o gráfico y = 2 sen x é obtido a partir do gráfico y = sen x esticando duas vezes ao longo do eixo y.

Arroz. 11.6. y = 2 sen x.

Arroz. 11.7. y = sen 2x.

Agora vamos traçar a função y = sin 2x. É fácil de entender

Arroz. 11.8. y = sin(2x + π/3).

que a função y = sin 2x assume os mesmos valores que a função y = sin x, mas com o dobro dos valores de x. Por exemplo, a função y = sin x assume o valor 1 em x = π/2, e a função y = sin 2x já em x = π/4; em outras palavras, para obter um gráfico y = sen 2x, é necessário reduzir pela metade as abcissas de todos os pontos do gráfico y = sen x, e deixar as ordenadas inalteradas. O que acontece é mostrado na Fig. 11.7. Podemos dizer que o gráfico y \u003d sin 2x (linha sólida na Fig. 11.7) é obtido do gráfico y \u003d sin x encolhendo 2 vezes para o eixo y.

Vamos tentar traçar a função y = sin(2x + π/3) também. É claro que deve ser obtido por algum tipo de transformação do gráfico y = sen 2x. À primeira vista, pode parecer que essa transformação é um deslocamento para a esquerda de π / 3 ao longo do eixo das abcissas, por analogia com o que é mostrado na Fig. 11.5. No entanto, se este fosse o caso, então aconteceria, por exemplo, que a função y = sin(2x + π/3) assume o valor 1 em x = π/4 − π/3 = π/12, o que não é verdade (verifique!). O raciocínio correto é: sin(2x + π/3) = sin 2(x + π/6), então a função y = sin(2x+π/3) assume os mesmos valores que a função y = sin 2x , mas π/6 antes. Assim, o deslocamento para a esquerda não é de π/3, mas de π/6 (Fig. 11.8).

Curvas que são gráficos de funções y \u003d a sin bx, onde a 6 \u003d 0, b 6 \u003d 0, são chamadas de senoides. Observe que a curva “coseno” não precisa ser introduzida: como vimos, o gráfico cosseno é a mesma curva que o gráfico seno, só que está localizado de forma diferente

naya em relação aos eixos coordenados.

Problema 11.2. Quais são as coordenadas dos pontos marcados na fig. 11.8 pontos de interrogação?

Problema 11.3. Pegue uma vela, uma folha fina de papel e uma faca afiada. Enrole uma folha de papel ao redor da vela em várias camadas e corte cuidadosamente esta vela junto com o papel obliquamente com uma faca. Agora desdobre o papel. Você verá que acabou sendo cortado ao longo de uma linha ondulada. Prove que esta linha ondulada é uma senóide.

Problema 11.4. Trace os gráficos da função:

d) y = 3 cos 2x;

a) y = − sen x; b)

c) y = cos(x/2);

g) y = sen(πx). e)

Comente. Se você estiver plotando funções trigonométricas em papel quadriculado, é conveniente escolher escalas ligeiramente diferentes ao longo dos eixos para que um número inteiro de células corresponda ao número π no eixo x. Por exemplo, essa escala é frequentemente escolhida: ao longo do eixo das ordenadas, um segmento de comprimento 1 ocupa duas células, ao longo do eixo das abcissas, um segmento de comprimento π ocupa 6 células.

Problema 11.5. Trace os gráficos da função:

a) y \u003d arcos em x; b) y = arcos x.

Vamos ver como as soluções das equações sen x = a e cos x = a já conhecidas por nós aparecem nos gráficos. Essas soluções são as abcissas dos pontos de intersecção da linha horizontal y = a com o gráfico da função y = sin x (respectivamente, y = cos x). Na fig. 11.9 ,11.10 pode-se ver claramente duas séries de soluções obtidas em -1< a < 1.

Os gráficos do seno e do cosseno mostram em que intervalos essas funções aumentam e em que intervalos elas diminuem. É claro, por exemplo, que a função y = sin x aumenta nos intervalos [−π/2; π/2],

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Conceitos e desenhos tecnológicos Escrita em papel, desenho, escritório e envelopes. Tamanhos de fotos padrão. Ventilação e ar condicionado. Abastecimento de água e esgoto Abastecimento de água quente (DHW). Abastecimento de água potável Águas residuais. Abastecimento de água fria Indústria galvânica Refrigeração Linhas/sistemas de vapor. Linhas/sistemas de condensado. Linhas de vapor. Tubulações de condensado. Indústria alimentar Fornecimento de gás natural Soldadura de metais Símbolos e designações de equipamentos em desenhos e esquemas. Representações gráficas simbólicas em projetos de aquecimento, ventilação, ar condicionado e fornecimento de calor e frio, de acordo com a Norma ANSI/ASHRAE 134-2005. Esterilização de equipamentos e materiais Fornecimento de calor Indústria eletrônica Fornecimento de energia Referência física Alfabetos. Designações aceitas. Constantes físicas básicas. A umidade é absoluta, relativa e específica. Umidade do ar. Tabelas psicrométricas. Diagramas de Ramzin. Viscosidade no tempo, número de Reynolds (Re). Unidades de viscosidade. Gases. Propriedades dos gases. Constantes de gás individuais. Pressão e Vácuo Vácuo Comprimento, distância, dimensão linear Som. Ultrassom. Coeficientes de absorção sonora (link para outra seção) Clima. dados climáticos. dados naturais. SNIP 23-01-99. Climatologia do edifício. (Estatísticas de dados climáticos) SNIP 23-01-99 Tabela 3 - Temperatura média mensal e anual do ar, ° С. Ex-URSS. SNIP 23-01-99 Tabela 1. Parâmetros climáticos do período frio do ano. RF. SNIP 23-01-99 Tabela 2. Parâmetros climáticos da estação quente. Ex-URSS. SNIP 23-01-99 Tabela 2. Parâmetros climáticos da estação quente. RF. SNIP 23-01-99 Tabela 3. Temperatura média mensal e anual do ar, °С. RF. SNIP 23-01-99. Tabela 5a* - Pressão parcial média mensal e anual de vapor d'água, hPa = 10^2 Pa. RF. SNIP 23-01-99. Tabela 1. Parâmetros climáticos da estação fria. Ex-URSS. Densidade. Peso. Gravidade Específica. Densidade aparente. Tensão superficial. Solubilidade. Solubilidade de gases e sólidos. Luz e cor. Coeficientes de reflexão, absorção e refração Alfabeto de cores:) - Designações (codificações) de cores (cores). Propriedades de materiais e meios criogênicos. Tabelas. Coeficientes de atrito para vários materiais. Quantidades térmicas, incluindo temperaturas de ebulição, fusão, chama, etc…… para mais informações, consulte: Coeficientes adiabáticos (indicadores). Convecção e troca de calor total. Coeficientes de expansão linear térmica, expansão volumétrica térmica. Temperaturas, ebulição, fusão, outras… Conversão de unidades de temperatura. Inflamabilidade. temperatura de amolecimento. Pontos de ebulição Pontos de fusão Condutividade térmica. Coeficientes de condutividade térmica. Termodinâmica. Calor específico de vaporização (condensação). Entalpia de vaporização. Calor específico de combustão (valor calorífico). A necessidade de oxigênio. Quantidades elétricas e magnéticas Momentos de dipolo elétrico. A constante dielétrica. Constante elétrica. Comprimentos de ondas eletromagnéticas (um livro de referência de outra seção) Forças do campo magnético Conceitos e fórmulas para eletricidade e magnetismo. Eletrostática. Módulos piezoelétricos. Resistência elétrica dos materiais Corrente elétrica Resistência elétrica e condutividade. Potenciais eletrônicos Livro de referência química "Alfabeto químico (dicionário)" - nomes, abreviações, prefixos, designações de substâncias e compostos. Soluções aquosas e misturas para processamento de metais. Soluções aquosas para aplicação e remoção de revestimentos metálicos Soluções aquosas para limpeza de depósitos de carvão (depósitos de alcatrão, depósitos de carvão de motores de combustão interna ...) Soluções aquosas para passivação. Soluções aquosas para ataque ácido - remoção de óxidos da superfície Soluções aquosas para fosfatização Soluções aquosas e misturas para oxidação química e coloração de metais. Soluções aquosas e misturas para polimento químico Desengorduramento de soluções aquosas e solventes orgânicos pH. tabelas de pH. Queimaduras e explosões. Oxidação e redução. Classes, categorias, designações de perigo (toxicidade) de substâncias químicas Sistema periódico de elementos químicos de DI Mendeleev. Tabela periódica. Densidade de solventes orgânicos (g/cm3) dependendo da temperatura. 0-100 °C. Propriedades das soluções. Constantes de dissociação, acidez, basicidade. Solubilidade. Misturas. Constantes térmicas das substâncias. Entalpia. entropia. Gibbs energy… (link para o livro de referência química do projeto) Engenharia elétrica Reguladores Sistemas de alimentação ininterrupta. Sistemas de despacho e controle Sistemas de cabeamento estruturado Data centers

Curvas trigonométricas. Sinusóide. Onda de cosseno. Tangentóide. Cotangentoide.

Todos os ângulos A estão em graus por padrão. Todas as tabelas de valores e fórmulas para senos, cossenos, tangentes, cotangentes (). Em todas as fórmulas de limites e expansões em série, os ângulos estão em radianos.

Gráficos das funções y=sinA, y=cosA, y=tgA, construídas para o intervalo de 0 o a 360 o , são mostrados nas figuras abaixo.

Pode-se observar pelos gráficos que:

1. Os gráficos de seno e cosseno flutuam entre -1 e 1
2. A curva cosseno tem a mesma forma que a curva seno, mas é deslocada em relação a ela em 90 o
3. As curvas seno e cosseno são contínuas e se repetem com período de 360 ​​o , a curva tangente tem descontinuidades e se repete com período de 180 o .

Na fig. à esquerda, os eixos perpendiculares XX' e YY' são mostrados; intersectam na origem O. Ao trabalhar com gráficos, as medidas para a direita e para cima de O são consideradas positivas, para a esquerda e para baixo de O - negativas. Deixe o OA girar livremente em relação ao O. Quando o OA é girado no sentido anti-horário, o ângulo medido é considerado positivo, e quando girado no sentido horário, é negativo.

Cronograma. positivo ou negativo
direção em movimento circular.

Faça OA girar no sentido anti-horário de tal forma que Θ 1 seja qualquer ângulo no primeiro quadrante e construa uma perpendicular AB para obter um triângulo retângulo OAB na Fig. deixei. Como todos os três lados do triângulo são positivos, as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente no primeiro quadrante serão positivas. (Observe que o comprimento de OA é sempre positivo porque é o raio do círculo.)
Deixe OA girar ainda mais de tal forma que Θ 2 seja qualquer ângulo no segundo quadrante e construa o AC de modo que um triângulo retângulo OAC seja formado. Então sen Θ 2 =+/+ = +; cos Θ 2 =+/- = -; tg Θ 2 =+/- = -. Deixe OA girar ainda mais de tal forma que Θ 3 seja qualquer ângulo no terceiro quadrante e construa AD de modo que um triângulo retângulo OAD seja formado. Então sen Θ 3 = -/+ = -; cos Θ 3 = -/+ = -; tg Θ 3 = -/- =+ .

Cronograma. Construindo ângulos em
vários quadrantes.

No primeiro quadrante, todas as funções trigonométricas têm valores positivos, no segundo, apenas o seno é positivo, no terceiro, apenas a tangente, no quarto, apenas o cosseno, que é mostrado na Fig. deixei.

O conhecimento de ângulos de magnitude arbitrária é necessário ao encontrar, por exemplo, todos os ângulos entre 0 o e 360 ​​o cujo seno é, digamos, 0,3261. Se você digitar 0,3261 na calculadora e pressionar o botão sin -1, obteremos a resposta 19,03 o. No entanto, há um segundo ângulo entre 0 o e 360 ​​o que a calculadora não mostrará. O seno também é positivo no segundo quadrante. O outro ângulo é mostrado na Fig. abaixo como um ângulo Θ, onde Θ=180 o - 19,03 o = 160,97 o . Assim, 19,03 o e 160,97 o são ângulos na faixa de 0 o a 360 o, cujo seno é 0,3261.

Tome cuidado! A calculadora fornece apenas um desses valores. O segundo valor deve ser determinado de acordo com a teoria dos ângulos de magnitude arbitrária.

Exemplo 1

Encontre todos os ângulos entre 0 o e 360 ​​o cujo seno é -0,7071

Solução:
Ângulos cujo seno é -0,7071 o estão no terceiro e quarto quadrantes porque o seno é negativo nesses quadrantes (veja a figura à esquerda).

Cronograma. Encontrando todos os ângulos por
dado valor do seno (exemplo)

Da figura a seguir Θ = arcsin 0,7071 = 45 o . Dois ângulos na faixa de 0 o a 360 o cujo seno é -0,7071 são 180 o +45 o \u003d 225 o e 360 ​​o - 45 o \u003d 315 o.

Observação. A calculadora dá apenas uma resposta.
Cronograma. Encontrando todos os ângulos por
dado valor do seno (exemplo)

Exemplo 2

Encontre todos os ângulos entre 0 o e 360 ​​o cuja tangente é 1,327.

Solução:
A tangente é positiva no primeiro e terceiro quadrantes - fig. deixei.
Cronograma. Encontrando todos os ângulos por

Da figura abaixo Θ = arctan1,327= 53 o .
Dois ângulos na faixa de 0 o a 360 o cuja tangente é 1,327 são 53 o e 180 o + 53 o , ou seja, 233o.
Cronograma. Encontrando todos os ângulos por
dado valor tangente (exemplo)

Seja OR na Fig. à esquerda está um vetor de comprimento unitário, girando livremente no sentido anti-horário em torno de O. Uma volta produz o círculo mostrado na fig. e dividido por setores de 15 o . Cada raio tem uma componente horizontal e uma vertical. Por exemplo, para 30 o o componente vertical é TS e o componente horizontal é OS.

Da definição de funções trigonométricas
sin30 o =TS/TO=TS/1, ou seja TS=sen30o e cos30 o =OS/TO=OS/1, ou seja SO=cos30o

O componente vertical TS pode ser plotado como T'S', que é igual ao valor correspondente ao ângulo de 30° no gráfico de ângulo y versus x. Se todas as componentes verticais, como TS, forem transferidas para o gráfico, será obtida uma senóide, mostrada na Fig. acima de.

Se todos os componentes horizontais, como OS, são projetados em um gráfico de y vs. x, você obtém uma onda cosseno. Essas projeções são fáceis de visualizar redesenhando-se um círculo com raio OR e ângulos originados na vertical, como mostra a figura à esquerda.
Da fig. à esquerda você pode ver que a senóide tem a mesma forma que a onda cosseno, mas deslocada em 90 o .

Cada um dos gráficos de função mostrados nas quatro Figs. acima, é repetido à medida que o ângulo A aumenta, então eles são chamados funções periódicas.
As funções y=sinA e y=cosA são repetidas a cada 360 o (ou 2π radianos), então 360 o é chamado período essas funções. As funções y=sin2A ey=cos2A se repetem a cada 180 o (ou π radianos), então 180 o é o período para essas funções.
Em geral, se y=sinpA ey=cospA (onde p é uma constante), então o período da função é 360 o /p (ou 2π/p radianos). Portanto, se y=sin3A, então o período desta função é 360 o /3= 120 o , se y=cos4A, então o período desta função é 360 o /4= 90 o .

Amplitude
Amplitude chamado de valor máximo da senóide. Cada um dos gráficos 1-4 tem uma amplitude de +1 (ou seja, eles flutuam entre +1 e -1). No entanto, se y=4sinA, cada um dos valores de sinA é multiplicado por 4, então o valor de amplitude máxima é 4. Da mesma forma, para y=5cos2A, a amplitude é 5 e o período é 360 o /2= 180 o .

Exemplo 3
Construa y=3sin2A no intervalo de A= 0 o a A=360 o .

Solução:
Amplitude =3, período = 360 o /2 =180 o .

Exemplo 4
Plote y=4cos2x no intervalo de x=0 o a x=360 o

Solução:
Amplitude = 4. período = 360 o /2 =180 o .

As curvas seno e cosseno nem sempre começam em 0 o . Para levar em conta esta circunstância, a função periódica é representada como y=sin(A± α), onde α é o deslocamento de fase em relação a y=sinA e y=cosA.

Tendo compilado uma tabela de valores, você pode plotar a função y=sin(A-60 o), mostrada na fig. deixei. Se a curva y=sinA começa em 0 o , então a curva y=sin(A-60 o ) começa em 60 o (ou seja, seu valor zero é 60 o para a direita). Assim, diz-se que y=sen(A-60 o) tarde em relação a y=sinA por 60°.
Cronograma. y=sen(A-60 o) (onda senoidal).

Tendo compilado uma tabela de valores, você pode plotar a função y=cos(A+45 o), mostrada na fig. abaixo de.
Se a curva y=cosA começa em 0 o , então a curva y=cos(A+45 o) começa 45 o para a esquerda (ou seja, seu valor zero é 45 o antes).
Assim, diz-se que o gráfico é y=cos(A+45 o) à frente de plotar y=cosA a 45°.
Cronograma. y=cos(A+45o) (coseno).

Em geral, o gráfico y=sin(A-α) está atrasado em relação a y=sinA por um ângulo α.
A onda cosseno tem a mesma forma que a senóide, mas começa 90 o para a esquerda, ou seja, à frente dela por 90 o . Portanto, cosA=sen(A+90o).

Exemplo 5
Plote y=5sin(A+30 o) no intervalo de A=0 o a A=360 o

Solução:
Amplitude = 5, período = 360 o /1 = 360 o .
5sin(A+30 o) leva 5sinA por 30 o, ou seja, começa 30 o mais cedo.
Gráfico y=5sin(A+30o) (sinusóide).

Exemplo 6
Plote y=7sin(2A-π/3) no intervalo de A=0 o a A=360 o .

Solução:
Amplitude = 7, período = 2π/2= π radianos
No geral y=sin(pt-α) está atrasado em relação a y=sinpt por α/p, portanto, 7sin(2A-π/3) fica atrasado em relação a 7sin2A por (π/3)/2, ou seja. por π/6 radianos ou 30 o

Seja OR na fig. à esquerda está um vetor girando livremente no sentido anti-horário em torno de O a uma velocidade de ω radianos/s. O vetor rotativo é chamado vetor de fase. Após um tempo de t segundos, OR irá girar no ângulo ωt radianos (na figura à esquerda, este é o ângulo TOR). Se ST for construído perpendicularmente a OR, então sinωt=ST/OT, ou seja. ST=OTsinωt.
Se todas essas componentes verticais forem projetadas em um gráfico de y versus ωt, uma senóide com amplitude OR será obtida.

Se o vetor de fase OR faz uma revolução (ou seja, 2π radianos) em T segundos, então a velocidade angular ω=2π/T rad/s, de onde
Т=2π/ω(s), onde
T é período
O número de períodos completos que passam em 1 segundo é chamado frequência f.
Frequência = (número de períodos)/(segundo) = 1/T = ω/2π Hz, Essa. f= ω/2π Hz
Portanto, a velocidade angular
ω=2πf rad/s.

Se em geral a função senoidal se parece com y=sen(ωt± α), então
A - amplitude
ω - velocidade angular
2π/ ω é o período T, s
ω/2π — frequência f, Hz
α é o ângulo de avanço ou atraso (em relação a y = Аsinωt) em radianos, também é chamado de ângulo de fase.

Exemplo 7
A corrente alternada é dada como i=20sin(90πt+0,26) amperes. Determinar amplitude, período, frequência e ângulo de fase (em graus)

Solução:
i \u003d 20sin (90πt + 0,26) A, portanto,
a amplitude é 20A
velocidade angular ω=90π, portanto,
período T= 2π/ω = 2π/ 90π = 0,022 s = 22ms
frequência f\u003d 1 / T \u003d 1 / 0,022 \u003d 45,46 Hz
ângulo de fase α= 0,26 rad. \u003d (0,26 * 180 / π) o \u003d 14,9 o.

Exemplo 8
O mecanismo oscilante tem um deslocamento máximo de 3 m e uma frequência de 55 Hz. No instante t=0 o deslocamento é de 100 cm. Expresse o deslocamento na forma geral Аsin(ωt± α).

Solução
Amplitude = deslocamento máximo = 3m
Velocidade angular ω=2πf = 2π(55) = 110 rad/s
Portanto, o deslocamento é 3sen(110πt + α) m.
Em t=0 deslocamento = 100cm=1m.
Portanto, 1 = 3sin(0 + α), ou seja. sinα=1/3=0,33
Portanto α=arcsin0,33=19 o
Portanto, o deslocamento é 3sin(110 πt + 0,33).

Exemplo 9
O valor da tensão instantânea no circuito CA em quaisquer t segundos é dado como v=350sin(40πt-0,542)V. Achar:
a) Amplitude, período, frequência e ângulo de fase (em graus)
b) valor de tensão em t = 0
c) valor de tensão em t = 10 ms
d) o tempo que leva para a tensão atingir 200 V pela primeira vez.
Solução:
a) A amplitude é 350 V, a velocidade angular é ω=40π
Consequentemente,
período Т=2π/ω=2π/40π=0,05 s =50ms
frequência f=1/T=1/0,05=20 Hz
ângulo de fase \u003d 0,542 rad (0,542 * 180 / π) \u003d 31 o com um atraso em relação a v \u003d 350sin (40πt)
b) Se t \u003d 0, então v \u003d 350sin (0-0,542) \u003d 350sin (-31 o) \u003d -180,25 V
c) Se t \u003d 10 ms, então v \u003d 350sin (40π10 / 10 3 -0,542) \u003d 350sin (0,714) \u003d 350sin41 o \u003d 229,6 V
d) Se v=200 AND, então 200=350sen(40πt-0,542) 200/350=sen(40πt-0,542)

Cronograma. Mecanismo oscilante
(exemplo, sinusóide).

v=350sin(40πt-0,542) Portanto, (40πt-0,542)=arcsin200/350=35 o ou 0,611 rad.
40πt= 0,611+0,542=1,153.
Portanto, se v=200V, então tempo t=1,153/40π=9,179 ms

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