Smirnova Anastasia Yurievna
Tipo de aula: lição aprendendo novo material.
Forma de organização das atividades educativas: frontal, individual.
O objetivo da lição: introduzir um novo tipo de equações - equações racionais fracionárias, para dar uma idéia sobre o algoritmo para resolver equações racionais fracionárias.
Lições objetivas.
Tutorial:
- formação do conceito de equação fracionalmente racional;
- considere um algoritmo para resolver equações racionais fracionárias, incluindo a condição de que a fração seja igual a zero;
- ensinar a solução de equações racionais fracionárias de acordo com o algoritmo.
Em desenvolvimento:
- criar condições para a formação de competências para a aplicação dos conhecimentos adquiridos;
- promover o desenvolvimento do interesse cognitivo dos alunos pela disciplina;
- desenvolver a capacidade dos alunos para analisar, comparar e tirar conclusões;
- desenvolvimento de habilidades de controle mútuo e autocontrole, atenção, memória, fala oral e escrita, independência.
Nutrir:
- educação de interesse cognitivo no assunto;
- educação para a independência na resolução de problemas educacionais;
- educação da vontade e perseverança para alcançar os resultados finais.
Equipamento: livro, quadro-negro, giz de cera.
Livro didático "Álgebra 8". Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorov, editado por S.A.Telyakovsky. Moscou "Iluminismo". 2010
Cinco horas são alocadas para este tópico. Esta lição é a primeira. O principal é estudar o algoritmo para resolver equações racionais fracionárias e trabalhar esse algoritmo em exercícios.
Durante as aulas
1. Momento organizacional.
Olá, pessoal! Hoje eu gostaria de começar nossa aula com uma quadra:
Para facilitar a vida de todos
O que seria decidido, o que poderia,
Sorria, boa sorte a todos
Não importa quais problemas
Sorrimos um para o outro, criamos um bom humor e começamos a trabalhar.
As equações são escritas no quadro-negro, observe-as cuidadosamente. Você consegue resolver todas essas equações? Quais não são e por quê?
Equações nas quais as partes esquerda e direita são expressões racionais fracionárias são chamadas de equações racionais fracionárias. O que você acha que vamos estudar hoje na lição? Formule o tema da lição. Então, abrimos os cadernos e anotamos o tópico da lição “Solução de equações racionais fracionárias”.
2. Atualização do conhecimento. Levantamento frontal, trabalho oral com a turma.
E agora vamos repetir o principal material teórico que precisamos para estudar um novo tópico. Por favor responda as seguintes questões:
- O que é uma equação? ( Igualdade com uma variável ou variáveis.)
- Como é chamada a equação nº 1? ( Linear.) Método de resolução de equações lineares. ( Mova tudo com a incógnita para o lado esquerdo da equação, todos os números para a direita. Traga termos semelhantes. Encontre o multiplicador desconhecido).
- Como é chamada a Equação 3? ( Quadrado.) Métodos de resolução de equações quadráticas. (P sobre fórmulas)
- O que é uma proporção? ( Igualdade de duas relações.) A principal propriedade da proporção. ( Se a proporção for verdadeira, então o produto de seus termos extremos é igual ao produto dos termos médios.)
- Quais propriedades são usadas para resolver equações? ( 1. Se na equação transferimos o termo de uma parte para outra, mudando seu sinal, obtemos uma equação equivalente à dada. 2. Se ambas as partes da equação forem multiplicadas ou divididas pelo mesmo número diferente de zero, será obtida uma equação equivalente ao dado.)
- Quando uma fração é igual a zero? ( Uma fração é zero quando o numerador é zero e o denominador é diferente de zero.)
3. Explicação do novo material.
Resolva a equação nº 2 em cadernos e no quadro.
Responda: 10.
Que equação racional fracionária você pode tentar resolver usando a propriedade básica da proporção? (Número 5).
(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)
x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6
x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8
Resolva a equação nº 4 em cadernos e no quadro.
Responda: 1,5.
Que equação racional fracionária você pode tentar resolver multiplicando ambos os lados da equação pelo denominador? (Número 6).
x 2 -7x+12 = 0
D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.
Responda: 3;4.
Vamos considerar a solução de equações do tipo de equação nº 7 nas próximas lições.
Explique por que isso aconteceu? Por que há três raízes em um caso e duas no outro? Que números são as raízes desta equação racional fracionária?
Até agora, os alunos com o conceito de uma raiz estranha não se encontraram, é realmente muito difícil para eles entenderem por que isso aconteceu. Se ninguém na classe puder dar uma explicação clara desta situação, então o professor faz perguntas orientadoras.
- Como as equações nº 2 e 4 diferem das equações nº 5.6? ( Nas equações nº 2 e 4 no denominador do número, nº 5-6 - expressões com uma variável.)
- Qual é a raiz da equação? ( O valor da variável em que a equação se torna uma verdadeira igualdade.)
- Como descobrir se um número é a raiz de uma equação? ( Faça uma verificação.)
Ao fazer uma prova, alguns alunos percebem que precisam dividir por zero. Eles concluem que os números 0 e 5 não são as raízes desta equação. Surge a pergunta: existe uma maneira de resolver equações racionais fracionárias que elimine esse erro? Sim, este método é baseado na condição de que a fração seja igual a zero.
Vamos tentar formular um algoritmo para resolver equações racionais fracionárias dessa maneira. As próprias crianças formulam o algoritmo.
Algoritmo para resolver equações racionais fracionárias:
- Mova tudo para a esquerda.
- Traga frações para um denominador comum.
- Faça um sistema: uma fração é zero quando o numerador é zero e o denominador não é zero.
- Resolva a equação.
- Verifique a desigualdade para excluir raízes estranhas.
- Escreva a resposta.
4. Compreensão primária de material novo.
Trabalho em dupla. Os alunos escolhem como resolver a equação por conta própria, dependendo do tipo de equação. Tarefas do livro "Álgebra 8", Yu.N. Makarychev, 2007: Nº 600(b, c); Nº 601(a, e). O professor controla o desempenho da tarefa, responde às perguntas que surgem e presta assistência aos alunos com desempenho insatisfatório. Autoteste: As respostas são escritas no quadro.
b) 2 - raiz estranha. Resposta:3.
c) 2 - raiz estranha. Resposta: 1,5.
a) Resposta: -12,5.
5. Declaração de dever de casa.
- Leia o item 25 do livro, analise os exemplos 1-3.
- Aprenda o algoritmo para resolver equações racionais fracionárias.
- Resolva nos cadernos nº 600 (d, e); Nº 601 (g, h).
6. Resumindo a lição.
Então, hoje na lição nos familiarizamos com equações racionais fracionárias, aprendemos como resolver essas equações de várias maneiras. Independentemente de como você resolve equações racionais fracionárias, o que você deve ter em mente? Qual é a "astúcia" das equações racionais fracionárias?
Obrigado a todos, a aula acabou.
Uma expressão inteira é uma expressão matemática composta de números e variáveis literais usando as operações de adição, subtração e multiplicação. Os inteiros também incluem expressões que incluem a divisão por algum número diferente de zero.
O conceito de uma expressão racional fracionária
Uma expressão fracionária é uma expressão matemática que, além das operações de adição, subtração e multiplicação realizadas com números e variáveis literais, bem como a divisão por um número diferente de zero, também contém a divisão em expressões com variáveis literais.
As expressões racionais são todas as expressões inteiras e fracionárias. Equações racionais são equações cujos lados esquerdo e direito são expressões racionais. Se em uma equação racional as partes esquerda e direita são expressões inteiras, então tal equação racional é chamada de inteiro.
Se em uma equação racional as partes esquerda ou direita são expressões fracionárias, então tal equação racional é chamada de fracionária.
Exemplos de expressões racionais fracionárias
1.x-3/x=-6*x+19
2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)
3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))
Esquema para resolver uma equação racional fracionária
1. Encontre o denominador comum de todas as frações incluídas na equação.
2. Multiplique ambos os lados da equação por um denominador comum.
3. Resolva a equação inteira resultante.
4. Verifique as raízes e exclua aquelas que transformam o denominador comum em zero.
Como estamos resolvendo equações racionais fracionárias, haverá variáveis nos denominadores das frações. Então, eles estarão em um denominador comum. E no segundo parágrafo do algoritmo, multiplicamos por um denominador comum, então podem aparecer raízes estranhas. Em que o denominador comum será igual a zero, o que significa que a multiplicação por ele não terá sentido. Portanto, no final, certifique-se de verificar as raízes obtidas.
Considere um exemplo:
Resolva uma equação racional fracionária: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).
Vamos aderir ao esquema geral: primeiro encontramos o denominador comum de todas as frações. Obtemos x*(x-5).
Multiplique cada fração por um denominador comum e escreva a equação inteira resultante.
(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);
Vamos simplificar a equação resultante. Nós temos:
x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;
Temos uma equação quadrática reduzida simples. Resolvemos por qualquer um dos métodos conhecidos, obtemos as raízes x=-2 e x=5.
Agora verificamos as soluções obtidas:
Substituímos os números -2 e 5 no denominador comum. Em x=-2, o denominador comum x*(x-5) não desaparece, -2*(-2-5)=14. Assim, o número -2 será a raiz da equação racional fracionária original.
Em x=5, o denominador comum x*(x-5) torna-se zero. Portanto, esse número não é a raiz da equação racional fracionária original, pois haverá divisão por zero.
Neste artigo vou te mostrar algoritmos para resolver sete tipos de equações racionais, que são reduzidos a quadrados por meio de uma mudança de variáveis. Na maioria dos casos, as transformações que levam à substituição não são muito triviais e é muito difícil adivinhar por conta própria.
Para cada tipo de equação, explicarei como fazer uma mudança de variável nela e, em seguida, no tutorial em vídeo correspondente, mostrarei uma solução detalhada.
Você tem a oportunidade de continuar resolvendo as equações por conta própria e, em seguida, verificar sua solução com o tutorial em vídeo.
Então, vamos começar.
1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40
Observe que o produto de quatro colchetes está no lado esquerdo da equação e o número está no lado direito.
1. Vamos agrupar os colchetes por dois para que a soma dos termos livres seja a mesma.
2. Multiplique-os.
3. Vamos introduzir uma mudança de variável.
Em nossa equação, agrupamos o primeiro colchete com o terceiro e o segundo com o quarto, pois (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:
Neste ponto, a mudança de variável torna-se óbvia:
Obtemos a equação 
Responda: 
2 .
Uma equação desse tipo é semelhante à anterior com uma diferença: no lado direito da equação está o produto de um número por. E é resolvido de uma maneira completamente diferente:
1. Agrupamos os colchetes por dois para que o produto dos termos livres seja o mesmo.
2. Multiplicamos cada par de colchetes.
3. De cada fator, tiramos x dos colchetes.
4. Divida ambos os lados da equação por .
5. Introduzimos uma mudança de variável.
Nesta equação, agrupamos o primeiro colchete com o quarto e o segundo com o terceiro, pois:
Observe que em cada colchete o coeficiente em e o termo livre são os mesmos. Vamos tirar o multiplicador de cada colchete:
Como x=0 não é a raiz da equação original, dividimos ambos os lados da equação por . Nós temos:
Obtemos a equação: 
Responda: 
3
. 
Observe que os denominadores de ambas as frações são trinômios quadrados, nos quais o coeficiente principal e o termo livre são os mesmos. Tiramos, como na equação do segundo tipo, x dos colchetes. Nós temos:
Divida o numerador e o denominador de cada fração por x:
Agora podemos introduzir uma mudança de variável:
Obtemos a equação para a variável t:
4 .
Observe que os coeficientes da equação são simétricos em relação ao central. Tal equação é chamada retornável .
Para resolvê-lo
1. Divida ambos os lados da equação por (Podemos fazer isso já que x=0 não é a raiz da equação.) Obtemos:
2. Agrupe os termos desta forma:
3. Em cada grupo, tiramos o fator comum:
4. Vamos introduzir um substituto:
5. Vamos expressar a expressão em termos de t:
Daqui 
Obtemos a equação para t:
Responda:
5. Equações homogêneas.
Equações que têm uma estrutura homogênea podem ser encontradas ao resolver equações exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, então você precisa ser capaz de reconhecê-las.
As equações homogêneas têm a seguinte estrutura:
Nesta igualdade, A, B e C são números, e as mesmas expressões são indicadas por um quadrado e um círculo. Ou seja, no lado esquerdo da equação homogênea está a soma dos monômios que possuem o mesmo grau (neste caso, o grau dos monômios é 2), e não há termo livre.
Para resolver a equação homogênea, dividimos ambos os lados por
Atenção! Ao dividir os lados direito e esquerdo da equação por uma expressão contendo uma incógnita, você pode perder as raízes. Portanto, é necessário verificar se as raízes da expressão pela qual dividimos ambas as partes da equação são as raízes da equação original.
Vamos pelo primeiro caminho. Obtemos a equação:
Agora introduzimos uma substituição de variável:
Simplifique a expressão e obtenha uma equação biquadrática para t:
Responda: ou
7
. 
Esta equação tem a seguinte estrutura:
Para resolvê-lo, você precisa selecionar o quadrado completo no lado esquerdo da equação.
Para selecionar um quadrado completo, você precisa adicionar ou subtrair o produto duplo. Então obtemos o quadrado da soma ou a diferença. Isso é fundamental para uma substituição de variável bem-sucedida.
Vamos começar encontrando o produto duplo. Será a chave para substituir a variável. Em nossa equação, o duplo produto é
Agora vamos descobrir o que é mais conveniente para nós - o quadrado da soma ou diferença. Considere, para começar, a soma das expressões:
Excelente! esta expressão é exatamente igual a duas vezes o produto. Então, para obter o quadrado da soma entre colchetes, você precisa adicionar e subtrair o produto duplo:
Introduzimos a equação acima no § 7. Primeiro, lembramos o que é uma expressão racional. Esta é uma expressão algébrica composta de números e a variável x usando as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão e exponenciação com um expoente natural.
Se r(x) é uma expressão racional, então a equação r(x) = 0 é chamada de equação racional.
No entanto, na prática é mais conveniente usar uma interpretação um pouco mais ampla do termo "equação racional": esta é uma equação da forma h(x) = q(x), onde h(x) e q(x) são expressões racionais.
Até agora, não conseguimos resolver nenhuma equação racional, mas apenas uma que, como resultado de várias transformações e raciocínios, foi reduzida a equação linear. Agora nossas possibilidades são muito maiores: seremos capazes de resolver uma equação racional, que se reduz não apenas a
mu, mas também à equação quadrática.
Lembre-se de como resolvemos equações racionais anteriormente e tente formular um algoritmo de solução.
Exemplo 1 resolva a equação
Solução. Reescrevemos a equação na forma
Nesse caso, como de costume, usamos o fato de que as igualdades A \u003d B e A - B \u003d 0 expressam a mesma relação entre A e B. Isso nos permitiu transferir o termo para o lado esquerdo da equação com o sinal oposto.
Vamos realizar transformações do lado esquerdo da equação. Nós temos
Lembre-se das condições de igualdade frações zero: se, e somente se, duas relações são satisfeitas simultaneamente:
1) o numerador da fração é zero (a = 0); 2) o denominador da fração é diferente de zero).
Igualando a zero o numerador da fração do lado esquerdo da equação (1), obtemos
Resta verificar o cumprimento da segunda condição acima mencionada. A razão significa para a equação (1) que . Os valores x 1 = 2 e x 2 = 0,6 satisfazem as relações indicadas e, portanto, servem como raízes da equação (1), e ao mesmo tempo as raízes da equação dada.
1) Vamos transformar a equação na forma
2) Vamos realizar as transformações do lado esquerdo desta equação:
(simultaneamente mudou os sinais no numerador e
frações).
Assim, a equação dada toma a forma
3) Resolva a equação x 2 - 6x + 8 = 0. Encontre
4) Para os valores encontrados, verifique a condição 
. O número 4 satisfaz essa condição, mas o número 2 não. Então 4 é a raiz da equação dada, e 2 é uma raiz estranha.
Resposta: 4.
2. Solução de equações racionais introduzindo uma nova variável
O método de introdução de uma nova variável é familiar para você, já o usamos mais de uma vez. Vamos mostrar por exemplos como ele é usado na resolução de equações racionais.
Exemplo 3 Resolva a equação x 4 + x 2 - 20 = 0.
Solução. Introduzimos uma nova variável y \u003d x 2. Como x 4 \u003d (x 2) 2 \u003d y 2, a equação dada pode ser reescrita na forma
y 2 + y - 20 = 0.
Esta é uma equação quadrática, cujas raízes encontraremos usando o conhecido fórmulas; obtemos y 1 = 4, y 2 = - 5.
Mas y \u003d x 2, o que significa que o problema foi reduzido a resolver duas equações:
x2=4; x 2 \u003d -5.
Da primeira equação encontramos que a segunda equação não tem raízes.
Responda: .
Uma equação da forma ax 4 + bx 2 + c \u003d 0 é chamada de equação biquadrática ("bi" - dois, ou seja, por assim dizer, uma equação "duas vezes quadrada"). A equação que acabamos de resolver era exatamente biquadrática. Qualquer equação biquadrática é resolvida da mesma maneira que a equação do exemplo 3: uma nova variável y \u003d x 2 é introduzida, a equação quadrática resultante é resolvida em relação à variável y e depois retornada à variável x.
Exemplo 4 resolva a equação
Solução. Observe que a mesma expressão x 2 + 3x ocorre duas vezes aqui. Portanto, faz sentido introduzir uma nova variável y = x 2 + Zx. Isso nos permitirá reescrever a equação de uma forma mais simples e agradável (o que, na verdade, é o propósito de introduzir uma nova variável- e a gravação é mais fácil
, e a estrutura da equação fica mais clara):
E agora vamos usar o algoritmo para resolver uma equação racional.
1) Vamos mover todos os termos da equação em uma parte:
= 0
2) Vamos transformar o lado esquerdo da equação
Assim, transformamos a equação dada na forma
3) Da equação - 7y 2 + 29y -4 = 0 encontramos (já resolvemos muitas equações quadráticas, então provavelmente não vale a pena sempre dar cálculos detalhados no livro).
4) Vamos verificar as raízes encontradas usando a condição 5 (y - 3) (y + 1). Ambas as raízes satisfazem esta condição.
Assim, a equação quadrática para a nova variável y é resolvida: 
Como y \u003d x 2 + Zx, e y, como estabelecemos, assume dois valores: 4 e, - ainda temos que resolver duas equações: x 2 + Zx \u003d 4; x 2 + Zx \u003d. As raízes da primeira equação são os números 1 e - 4, as raízes da segunda equação são os números
Nos exemplos considerados, o método de introdução de uma nova variável foi, como os matemáticos gostam de dizer, adequado à situação, ou seja, correspondeu bem a ela. Por quê? Sim, porque a mesma expressão foi encontrada claramente na equação várias vezes e era razoável designar essa expressão com uma nova letra. Mas nem sempre é esse o caso, às vezes uma nova variável "aparece" apenas no processo de transformações. Isso é exatamente o que acontecerá no próximo exemplo.
Exemplo 5 resolva a equação
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Solução. Nós temos
x (x - 3) \u003d x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) \u003d x 2 -3x + 2.
Assim, a equação dada pode ser reescrita na forma
(x 2 - 3x)(x 2 + 3x + 2) = 24
Agora uma nova variável "apareceu": y = x 2 - Zx.
Com sua ajuda, a equação pode ser reescrita na forma y (y + 2) \u003d 24 e depois y 2 + 2y - 24 \u003d 0. As raízes desta equação são os números 4 e -6.
Voltando à variável original x, obtemos duas equações x 2 - Zx \u003d 4 e x 2 - Zx \u003d - 6. Na primeira equação, encontramos x 1 \u003d 4, x 2 \u003d - 1; a segunda equação não tem raízes.
Resposta: 4, - 1.
