Teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo

A soma dos ângulos de um triângulo é 180°.

Prova:

• O triângulo ABC é dado.
• Desenhe uma linha DK através do vértice B paralela à base AC.
• \angle CBK= \angle C como interno transversalmente paralelo DK e AC, e secante BC.
• \angle DBA = \angle A interna transversalmente em DK \parallel AC e secante AB. O ângulo DBK é reto e igual a
• \ângulo DBK = \ângulo DBA + \ângulo B + \ângulo CBK
• Como o ângulo reto é 180 ^\circ , e \angle CBK = \angle C e \angle DBA = \angle A , obtemos 180 ^\circ = \ângulo A + \ângulo B + \ângulo C.

Teorema provado

Consequências do teorema sobre a soma dos ângulos de um triângulo:

1. A soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é 90°.
2. Em um triângulo retângulo isósceles, cada ângulo agudo é 45°.
3. Em um triângulo equilátero, cada ângulo é 60°.
4. Em qualquer triângulo, ou todos os ângulos são agudos, ou dois ângulos são agudos e o terceiro é obtuso ou reto.
5. Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma de dois ângulos internos que não são adjacentes a ele.

Teorema do ângulo externo do triângulo

Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos restantes do triângulo que não são adjacentes a esse ângulo externo.

Prova:

• O triângulo ABC é dado, onde BCD é o ângulo externo.
• \angle BAC + \angle ABC +\angle BCA = 180^0
• Das igualdades, o ângulo \ângulo BCD + \ângulo BCA = 180^0
• Nós temos \angle BCD = \angle BAC+\angle ABC.

>>Geometria: A soma dos ângulos de um triângulo. Lições completas

TEMA DA LIÇÃO: A soma dos ângulos de um triângulo.

Lições objetivas:

• Consolidação e teste dos conhecimentos dos alunos sobre o tema: "A soma dos ângulos de um triângulo";
• Prova das propriedades dos ângulos de um triângulo;
• A utilização desta propriedade na resolução dos problemas mais simples;
• A utilização de material histórico para o desenvolvimento da atividade cognitiva dos alunos;
• Incutir a habilidade de precisão na construção de desenhos.

Lições objetivas:

• Verifique a capacidade dos alunos para resolver problemas.

Plano de aula:

1. Triângulo;
2. Teorema da soma dos ângulos de um triângulo;
3. Exemplo de tarefa.

Triângulo.

Arquivo: Triângulo O.gif- o polígono mais simples com 3 vértices (cantos) e 3 lados; uma parte de um plano limitada por três pontos e três segmentos de linha conectando esses pontos em pares.
Três pontos no espaço que não estão em uma linha reta correspondem a um e apenas um plano.
Qualquer polígono pode ser dividido em triângulos - esse processo é chamado triangulação.
Há uma seção de matemática inteiramente dedicada ao estudo dos padrões de triângulos - Trigonometria.

Teorema da soma dos ângulos de um triângulo.

File:T.gif O teorema da soma dos ângulos do triângulo é um teorema clássico da geometria euclidiana que afirma que a soma dos ângulos de um triângulo é 180°.

Prova" :

Seja Δ ABC. Vamos traçar uma linha paralela a (AC) através do vértice B e marcar o ponto D nele de modo que os pontos A e D fiquem em lados opostos da linha BC. Então o ângulo (DBC) e o ângulo (ACB) são iguais como cruzes internas situadas nas linhas paralelas BD e AC e na secante (BC). Então a soma dos ângulos do triângulo nos vértices B e C é igual ao ângulo (ABD). Mas o ângulo (ABD) e o ângulo (BAC) no vértice A do triângulo ABC são internos de um lado com as linhas paralelas BD e AC e secante (AB), e sua soma é 180°. Portanto, a soma dos ângulos de um triângulo é 180°. O teorema foi provado.

Consequências.

O ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos do triângulo que não são adjacentes a ele.

Prova:

Seja Δ ABC. O ponto D está na linha AC de modo que A está entre C e D. Então BAD é externo ao ângulo do triângulo no vértice A e A + BAD = 180°. Mas A + B + C = 180° e, portanto, B + C = 180° – A. Portanto, BAD = B + C. O corolário está provado.

Consequências.

Um ângulo externo de um triângulo é maior do que qualquer ângulo do triângulo que não seja adjacente a ele.

Tarefa.

O ângulo externo de um triângulo é o ângulo adjacente a qualquer ângulo desse triângulo. Prove que um ângulo externo de um triângulo é igual à soma de dois ângulos do triângulo que não são adjacentes a ele.
(Figura 1)

Decisão:

Seja Δ ABC ∠DAC externo (Fig.1). Então ∠DAC=180°-∠BAC (de acordo com a propriedade dos ângulos adjacentes), de acordo com o teorema da soma dos ângulos do triângulo ∠B+∠C =180°-∠BAC. Destas igualdades obtemos ∠DAC=∠B+∠C

Fato interessante:

A soma dos ângulos de um triângulo :

Na geometria de Lobachevsky, a soma dos ângulos de um triângulo é sempre menor que 180. Na geometria de Euclides, é sempre igual a 180. Na geometria riemanniana, a soma dos ângulos de um triângulo é sempre maior que 180.

Da história da matemática:

Euclides (século III aC) na obra “Inícios” dá a seguinte definição: “Paralelas são linhas retas que estão no mesmo plano e, estendendo-se indefinidamente em ambas as direções, não se encontram em nenhum dos lados”.
Posidônio (século I aC) "Duas linhas retas no mesmo plano, equidistantes uma da outra"
O antigo cientista grego Pappus (século III aC) introduziu o símbolo de linhas paralelas - sinal =. Posteriormente, o economista inglês Ricardo (1720-1823) utilizou este símbolo como sinal de igual.
Somente no século 18 eles começaram a usar o símbolo de linhas paralelas - o sinal ||.
A conexão viva entre gerações não é interrompida por um momento, todos os dias aprendemos a experiência acumulada por nossos ancestrais. Os antigos gregos, com base em observações e experiência prática, tiraram conclusões, expressaram hipóteses e, em seguida, em reuniões de cientistas - simpósios (literalmente "festa") - tentaram fundamentar e provar essas hipóteses. Naquela época, formou-se a afirmação: "A verdade nasce na disputa".

Questões:

1. O que é um triângulo?
2. O que diz o teorema da soma do triângulo?
3. Qual é o ângulo externo do triângulo?

Teorema. A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a dois ângulos retos.

Pegue um triângulo ABC (Fig. 208). Vamos denotar seus ângulos internos por 1, 2 e 3. Vamos provar que

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Tracemos por algum vértice do triângulo, por exemplo B, a reta MN paralela a AC.

No vértice B, temos três ângulos: ∠4, ∠2 e ∠5. Sua soma é um ângulo reto, portanto, é igual a 180 °:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Mas ∠4 \u003d ∠1 são ângulos internos cruzados com linhas paralelas MN e AC e uma secante AB.

∠5 = ∠3 são ângulos internos cruzados com linhas paralelas MN e AC e secante BC.

Assim, ∠4 e ∠5 podem ser substituídos por seus iguais ∠1 e ∠3.

Portanto, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. O teorema foi provado.

2. Propriedade do ângulo externo de um triângulo.

Teorema. Um ângulo externo de um triângulo é igual à soma de dois ângulos internos que não são adjacentes a ele.

De fato, no triângulo ABC (Fig. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, mas também ∠BCD, o ângulo externo desse triângulo, não adjacente a ∠1 e ∠2, também é igual a 180° - ∠3 .

Por isso:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Portanto, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

A propriedade derivada do ângulo externo de um triângulo refina o conteúdo do teorema anteriormente provado sobre o ângulo externo de um triângulo, no qual foi declarado apenas que o ângulo externo de um triângulo é maior que cada ângulo interno do triângulo que é não adjacente a ele; agora está estabelecido que o ângulo externo é igual à soma de ambos os ângulos internos não adjacentes a ele.

3. Propriedade de um triângulo retângulo com ângulo de 30°.

Teorema. O cateto de um triângulo retângulo oposto a um ângulo de 30° é igual à metade da hipotenusa.

Seja o ângulo B igual a 30° em um triângulo retângulo ACB (Fig. 210). Então seu outro ângulo agudo será de 60°.

Vamos provar que o cateto AC é igual à metade da hipotenusa AB. Continuamos a perna AC além do vértice do ângulo reto C e separamos o segmento CM, igual ao segmento AC. Conectamos o ponto M com o ponto B. O triângulo resultante BCM é igual ao triângulo DIA. Vemos que cada ângulo do triângulo AVM é igual a 60°, portanto, esse triângulo é equilátero.

O cateto AC é igual à metade de AM, e como AM é igual a AB, o cateto AC será igual à metade da hipotenusa AB.

. (Slide 1)

Tipo de aula: lição aprendendo novo material.

Lições objetivas:

• Educacional:
  • Considere o teorema da soma dos ângulos do triângulo,
  • mostrar a aplicação do teorema na resolução de problemas.
• Educacional:
  • promover uma atitude positiva dos alunos em relação ao conhecimento,
  • incutir confiança nos alunos por meio de uma lição.
• Educacional:
  • desenvolvimento do pensamento analítico,
  • desenvolvimento de "habilidades para aprender": usar conhecimentos, habilidades e habilidades no processo educacional,
  • desenvolvimento do pensamento lógico, a capacidade de articular claramente seus pensamentos.

Equipamento: quadro interativo, apresentação, cartões.

DURANTE AS AULAS

I. Momento organizacional

- Hoje na lição vamos relembrar as definições de triângulos retângulos, isósceles e equiláteros. Vamos repetir as propriedades dos ângulos dos triângulos. Usando as propriedades dos ângulos internos unilaterais e internos internos, provaremos o teorema da soma dos ângulos de um triângulo e aprenderemos a aplicá-lo na resolução de problemas.

II. Oralmente(Slide 2)

1) Encontre triângulos retângulos, isósceles e equiláteros nas figuras.
2) Defina esses triângulos.
3) Formule as propriedades dos ângulos de um triângulo equilátero e isósceles.

4) Na figura KE II NH. (slide 3)

– Especifique secantes para essas linhas
– Encontre ângulos internos unilaterais, ângulos internos cruzados, nomeie suas propriedades

III. Explicação do novo material

Teorema. A soma dos ângulos de um triângulo é 180º

De acordo com a formulação do teorema, os caras constroem um desenho, anotam a condição, a conclusão. Respondendo às questões, demonstre independentemente o teorema.

Dado: Provar:

Prova:

1. Desenhe uma linha BD II AC através do vértice B do triângulo.
2. Especifique secantes para linhas paralelas.
3. O que pode ser dito sobre os ângulos CBD e ACB? (fazer um registro)
4. O que sabemos sobre os ângulos CAB e ABD? (fazer um registro)
5. Substitua o ângulo CBD pelo ângulo ACB
6. Faça uma conclusão.

4. Finalize a oferta.(Slide 4)

1. A soma dos ângulos de um triângulo é ...
2. Em um triângulo, um dos ângulos é igual, o outro, o terceiro ângulo do triângulo é igual a ...
3. A soma dos ângulos agudos de um triângulo retângulo é ...
4. Os ângulos de um triângulo retângulo isósceles são iguais a ...
5. Os ângulos de um triângulo equilátero são iguais...
6. Se o ângulo entre os lados de um triângulo isósceles é 1000, então os ângulos na base são...

V. Um pouco de história.(Slides 5-7)

Demonstração do teorema sobre a soma dos ângulos de um triângulo "A soma do interior os ângulos de um triângulo são iguais a dois ângulos retos" atribuído a Pitágoras (580-500 aC)
Estudioso grego antigo Proclo (410-485 dC),