O que é uma área?
Área - uma característica de uma figura geométrica fechada (círculo, quadrado, triângulo, etc.), que mostra seu tamanho. A área é medida em centímetros quadrados, metros, etc. Indicada por letra S(quadrado).
Como encontrar a área de um triângulo?
S= uma h
Onde uma- comprimento da base hé a altura do triângulo desenhado na base.
Além disso, a base não precisa estar na parte inferior. Isso vai servir também.
Se triângulo obtuso, então a altura cai para a continuação da base:
Se triângulo retangular, então a base e a altura são suas pernas:
2. Outra fórmula, não menos útil, mas que por algum motivo é sempre esquecida:
S= a b sinα
Onde uma e b dois lados de um triângulo sinαé o seno do ângulo entre esses lados.
A principal condição é que o ângulo seja tomado entre dois lados conhecidos.
3. A fórmula para a área em três lados (fórmula de Heron):
S=
Onde uma, b e com são os lados do triângulo e R- semiperímetro. p = (a+b+c)/2.
4. A fórmula para a área de um triângulo em termos do raio do círculo circunscrito:
S=
Onde uma, b e com são os lados do triângulo e R- raio do círculo circunscrito.
5. A fórmula para a área de um triângulo em termos do raio do círculo inscrito:
S= pr
Onde R- semiperímetro de um triângulo e r- raio do círculo inscrito.
Como encontrar a área de um retângulo?
1. A área de um retângulo é bastante simples:
S=uma b
Sem truques.
Como encontrar a área de um quadrado?
1. Como um quadrado é um retângulo com todos os lados iguais, a mesma fórmula se aplica a ele:
S=uma a = a2
2. Além disso, a área de um quadrado pode ser encontrada através de sua diagonal:
S= d 2
Como encontrar a área de um paralelogramo?
1. A área de um paralelogramo é encontrada pela fórmula:
S=uma h
Isso se deve ao fato de que, se você cortar um triângulo retângulo à direita e anexá-lo à esquerda, obterá um retângulo:
2. Além disso, a área de um paralelogramo pode ser encontrada através do ângulo entre os dois lados:
S=uma b sinα
Como encontrar a área de um losango?
Um losango é essencialmente um paralelogramo em que todos os lados são iguais. Portanto, as mesmas fórmulas de área se aplicam a ele.
1. Área do losango em termos de altura:
S=uma h
Para resolver problemas de geometria, você precisa conhecer fórmulas - como a área de um triângulo ou a área de um paralelogramo - além de truques simples, sobre os quais falaremos.
Primeiro, vamos aprender as fórmulas para as áreas das figuras. Nós os coletamos especialmente em uma mesa conveniente. Imprima, aprenda e aplique!
É claro que nem todas as fórmulas de geometria estão em nossa tabela. Por exemplo, para resolver problemas de geometria e estereometria na segunda parte do exame de perfil em matemática, também são usadas outras fórmulas para a área de um triângulo. Definitivamente vamos falar sobre eles.
Mas e se você precisar encontrar não a área de um trapézio ou triângulo, mas a área de alguma figura complexa? Existem maneiras universais! Vamos mostrá-los usando exemplos do banco de tarefas FIPI.
1. Como encontrar a área de uma figura não padronizada? Por exemplo, um quadrilátero arbitrário? Uma técnica simples - vamos dividir essa figura em aquelas que todos conhecemos e encontrar sua área - como a soma das áreas dessas figuras.
Divida este quadrilátero por uma linha horizontal em dois triângulos com uma base comum igual a . As alturas desses triângulos são iguais a e . Então a área do quadrilátero é igual à soma das áreas dos dois triângulos: .
Responda: .
2. Em alguns casos, a área da figura pode ser representada como a diferença de qualquer área.
Não é tão fácil calcular a que a base e a altura neste triângulo são iguais! Mas podemos dizer que sua área é igual à diferença entre as áreas de um quadrado com um lado e três triângulos retângulos. Vê-los na imagem? Nós temos: .
Responda: .
3. Às vezes em uma tarefa é necessário encontrar a área não da figura inteira, mas de sua parte. Normalmente estamos falando da área de um setor - parte de um círculo. Encontre a área de um setor de um círculo de raio , cujo comprimento de arco é igual a .
Nesta foto vemos parte de um círculo. A área de todo o círculo é igual a , uma vez que . Resta descobrir qual parte do círculo é representada. Como o comprimento do círculo inteiro é (desde) e o comprimento do arco desse setor é igual, portanto, o comprimento do arco é várias vezes menor que o comprimento do círculo inteiro. O ângulo em que este arco repousa também é vezes menor que um círculo completo (ou seja, graus). Isso significa que a área do setor será várias vezes menor que a área de todo o círculo.
Todas as fórmulas para a área de figuras planas
Área de um trapézio isósceles
1. A fórmula para a área de um trapézio isósceles em termos de lados e ângulo
a - base inferior
b - base superior
c - lados iguais
α - ângulo na base inferior
A fórmula para a área de um trapézio isósceles em termos dos lados, (S):
A fórmula para a área de um trapézio isósceles em termos de lados e ângulo, (S):
2. A fórmula para a área de um trapézio isósceles em termos do raio do círculo inscrito
R- raio do círculo inscrito
D- diâmetro do círculo inscrito
O - centro do círculo inscrito
H- altura do trapézio
α, β - ângulos trapezoidais
A fórmula para a área de um trapézio isósceles em termos do raio do círculo inscrito, (S):
FAIR, para um círculo inscrito em um trapézio isósceles:
3. A fórmula para a área de um trapézio isósceles em termos das diagonais e do ângulo entre elas
d-diagonal de um trapézio
α,β- ângulos entre diagonais
A fórmula para a área de um trapézio isósceles em termos das diagonais e do ângulo entre elas, (S):
4. A fórmula para a área de um trapézio isósceles através da linha média, lado lateral e ângulo na base
lado c
m- linha média do trapézio
α, β - ângulos na base
A fórmula para a área de um trapézio isósceles em termos da linha média, lado lateral e ângulo na base,
(S): 
5. A fórmula para a área de um trapézio isósceles em termos de bases e altura
a - base inferior
b - base superior
h - a altura do trapézio
A fórmula para a área de um trapézio isósceles em termos de bases e altura, (S):
Área de um triângulo dado um lado e dois ângulos, fórmula.
a, b, c - lados do triângulo
α, β, γ - ângulos opostos
Área de um triângulo através de um lado e dois ângulos (S):
A fórmula para a área de um polígono regular
a - lado do polígono
n - número de lados
Área de um polígono regular, (S):
A fórmula (Heroniana) para a área de um triângulo em termos do semi-perímetro (S):
A área de um triângulo equilátero é:
Fórmulas para calcular a área de um triângulo equilátero.
a - lado do triângulo
h - altura
Como calcular a área de um triângulo isósceles?
b - a base do triângulo
a - lados iguais
h - altura
3. A fórmula para a área de um trapézio em termos de quatro lados
a - base inferior
b - base superior
c, d - lados
O raio do círculo circunscrito do trapézio nos lados e diagonais
a - os lados do trapézio
c - base inferior
b - base superior
d - diagonal
h - altura
A fórmula para o raio do círculo circunscrito de um trapézio, (R)
encontre o raio do círculo circunscrito de um triângulo isósceles ao longo dos lados
Conhecendo os lados de um triângulo isósceles, você pode usar a fórmula para encontrar o raio do círculo circunscrito ao redor desse triângulo.
a, b - lados do triângulo
Raio do círculo circunscrito de um triângulo isósceles (R):
Raio de um círculo inscrito em um hexágono
a - lado do hexágono
Raio de um círculo inscrito em um hexágono, (r):
Raio de um círculo inscrito em um losango
r - raio do círculo inscrito
a - lado do losango
D, d - diagonais
h - altura do diamante
Raio de um círculo inscrito em um trapézio isósceles
c - base inferior
b - base superior
apartes
h - altura
Raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo
a, b - catetos do triângulo
c - hipotenusa
Raio de um círculo inscrito em um triângulo isósceles
a, b - lados do triângulo
Prove que a área do quadrilátero inscrito é
\/(p - a)(p - b) (p - c) (p - d),
onde p é o semi-perímetro e a, b, c e d são os lados do quadrilátero.
Prove que a área de um quadrilátero inscrito em um círculo é
1/2 (ab + cb) sen α, onde a, b, c e d são os lados do quadrilátero e α é o ângulo entre os lados a e b.
S = √[ a ƀ c d] sen ½ (α + β). - Leia mais em FB.ru:
A área de um quadrilátero arbitrário (Fig. 1.13) pode ser expressa em termos de seus lados a, b, c e a soma de um par de ângulos opostos:
onde p é o semiperímetro do quadrilátero.
A área de um quadrilátero inscrito em um círculo () (Fig. 1.14, a) é calculada usando a fórmula Brahmagupta
e descrito (Fig. 1.14, b) () - de acordo com a fórmula
Se o quadrilátero é inscrito e descrito ao mesmo tempo (Fig. 1.14, c), então a fórmula se torna bastante simples:
Fórmula de pico
Para estimar a área de um polígono em papel quadriculado, basta calcular quantas células esse polígono cobre (tomamos a área da célula como uma unidade). Mais precisamente, se S é a área do polígono, é o número de células que se encontram inteiramente dentro do polígono, e é o número de células que possuem pelo menos um ponto comum com o interior do polígono.
Consideraremos abaixo apenas esses polígonos, cujos vértices estão todos nos nós do papel quadriculado - naqueles onde as linhas de grade se cruzam. Acontece que, para esses polígonos, você pode especificar a seguinte fórmula:
onde é a área, r é o número de nós que se encontram estritamente dentro do polígono.
Essa fórmula é chamada de “fórmula do pico” em homenagem ao matemático que a descobriu em 1899.
